01 mo dau ve luy thua BG

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

01. MỞ ĐẦU VỀ LŨY THỪA
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1) Khái niệm về Lũy thừa
Lũy thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a.a...a, với n là số tự nhiên.
1
Lũy thừa với số nguyên âm: a − n = n , với n là số tự nhiên.
a
m

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a n = n a m =

( a)
n

m

với m, n là số tự nhiên.

1

Đặt biệt, khi m = 1 ta có a n = n a .
2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa
 a 0 = 1, ∀a
Tính chất 1:  1
 a = a, ∀a
 a > 1: a m > a n ⇔ m > n

Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến): 
m
n
0 < a < 1: a > a ⇔ m < n
 am > bm ⇔ m > 0
Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): với a > b > 0 thì  m
m
 a < b ⇔ m < 0
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa
Nhóm công thức 1:
a .a = a
m

n

Nhóm công thức 2:

m+ n

m

am
= a m−n
n
a

(a )

m n

= a mn = ( a n )

( )

n

am = a n =

n

ab = n a . n b ,

n

a

m

1


→ a = a2 ;

1

3

∀a, b ≥ 0

n

m
n

a
a
= n , ∀a ≥, b > 0
b
b

Ví dụ 1: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau :
1
a) a 2 .  
a

( )

c) a

3

2 −1

b) a π . 4 a 2 : a 4π

3

3

d) a 2 . .a1,3 : a 3

2

Lời giải:
1
a) a 2 .  
a

2 −1

=a

2

(a )
−1

2 −1

= a 2 a1−

2

=a.

1

b) a π . 4 a 2 : a 4π

( )

c) a

3

3

=a

1
a2
= aπ π = a 2 = a
a
3. 3

= a3

2

=

a 2. .a1,3

= a1,3
a 2
Ví dụ 2: [ĐVH]. Đơn giản các biểu thức :

d) a 2 . .a1,3 : 3 a 3

1

a = a3 ; n a = an

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
a)

a2

(a

2

−b

a

c)
a

a)

− b2

2

2 5
3

a2

(a
(a
b)

a

3

)

−b

5

3

− b2

2
2

2 3

3

2 5
3

5

2 3
3

−b
3

+b

+1 =

2

a4

7

7
3

3

)
− 1)( a

−b

(a
b)

+1

2

+a 3 b

a

c)

3

7

2 7
3

(a

+a

−a

3

2

−b

(a
+ a3

3

3

2

) +1 = a

3

3

+b

3

2 7
3


a


=

)(

− 1 a2
a4

3

3

−b

3

)

5
3

−b
a

7
3

2

+b

3

3

+a 3 b

2

2

−b

3

3

3

3

7
3

+b

3

)

3

 1π 
π
π 2
a
+
b
−
(
)  4 ab 



+a

=

2 7
3

2a

π

2

−b

2

2 3

2 3

3
7
2 7
 2 5
3
3
3
3
a
+
a
b
+
b




2 5
3

+ a3

3

Lời giải:

3

3

+a

−a

a
(a − b )
) = ( a − 1)( a + 1) a ( a + 1 + a ) = a
(
a ( a − 1)( a + 1 + a )

2

3

)( a

2

3

7

+a 3 b 3 +b

d)

2 3

Facebook: LyHung95




=a

5
3

−b

3

3

)

+1

7
3

π

 1 
2

d) ( a + b ) −  4 π ab  = a 2 π + b 2 π + 2a π b π − 4a π b π = ( a π − b π ) = a π − b π


Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
π

π 2

11

a) A = 5 2 3 2 2

b) B = a a a a : a 16

c) C = 4 x 2 3 x

d) D =

5

b3 a
a b

( a > 0)

( ab > 0 )

Lời giải:

1

  1  3 
5
3

a) A = 2 2 2 =   2 2 .2  .2 


 
 




b) B = a a a a : a

11
16

1
5


1
1
31
3
  3  3   1  5


25

10
2
2
 =  2  .2  =  2 .2  = 2 = 2

    

 


 3 1
   2  2
=  a 

  



1
5

1



a



1

2

1
2
1
1
15
2


11
11
7
11
3
1
16
+1  2
+1  2


a

.a  : a 16 =   a 4  .a  : a 6 =  a 8  : a 16 = 11 = a 4


 




a 16
 



Ví dụ 4: [ĐVH]. Rút gọn biểu thức sau :
3
3
  34

 34

4
4
a
−
b
a
+
b







1
1


a −b
a −b   4





4
a) A = 3
− 1
: a −b 
b) B = 
− ab 
1
1
1 1
1  




a2 − b2
 a 4 + a 2 b 4 a 4 + b 4  




Lời giải:



1
1
1
1
1 1




1
1
1
1
2
2
2 2



a −b
a2 − b2   4
a
−
b
a
−
b
a
−
b

−
a
+
a
b
1



4
4
a) A = 3
− 1
: a − b4  = 1 1
−
:
a
−
b
=
. 1
=


1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
 




 4
  4





4
2 4
4
4
4
4
2
4
4
2
4
4
a + b 
a a + b  a + b 

a a + b  a −b 
 a + a b
 



 

1
1
1


b2  a2 − b2 
b
= 1
=
1 
 1
a
a 2  a 2 − b 2 
1
2

1
2

−1

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

3
3
3
1 1
1
1
  34
  32
 34

 12
   12

4
4
2
2 2
2
2
−
+
−
−
−

−
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b

 



 
(a − b)












b) B = 
− ab  = 
= a −b
1
1
1
1
1
1
=



 

a2 − b2
a2 − b2
 a2 − b2 

 




 

Ví dụ 5: [ĐVH]. Đơn giản các biểu thức sau (với giả thiết chúng có nghĩa)
2
 3 32

1
 a b   a    14

a2 + 4

4
a) A =  3  + 
:
a
+
b
b)
B
=
 

2
b a   a b3   

 a2 − 4 


a 
 +4
 2a 

Lời giải:
a
1



+
1
1
a 2b2 + 1
 + a  :  a 4 + b 4  = b ab3 =


1
1
2
3
1
1


 ab  
 a 4 + b 4 ab3  a 4 + b 4 






2 a 2 ⇔ a ≥ 0
=
=
a
−2 ⇔ a < 0

3
2
 32 12
 3
1
 a b  2  a    14

 a b

a) A =  3  + 
 :  a + b 4  =  3 1
3  
  b 2 a 2
b a  a b   




a2 + 4

b) B =

=

a2 + 4

 a2 − 4 
( a2 + 4)
a 
 +4 a

4a 2
 2a 
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau :
2
1
 2

 1
 
a
b
a) 3 a + 3 b  a 3 + b 3 − 3 ab 
b)  a 3 + b 3  :  2 + 3 + 3 
b
a



 
Lời giải:
2
2
2
2
3
3


a) 3 a + 3 b  a 3 + b 3 − 3 ab  = 3 a + 3 b  3 a − 3 a 3 b + 3 b  = 3 a + 3 b = a + b





1
1
 13
 31 31  31
 13 13
3
3
1 1
a
+
b
a
b
a
+
b



a b
1
3 3


 13

a

b
a
b

b)  a + b 3  :  2 + 3 + 3  =  1 1 2
=
= 1
2
2
1
1
b
a
 13


 
3
3
3
2a 3 b 3 + a 3 + b 3
a
+
b
a +b 


2

(

)

(

)

2

(

)( )

( )

( ) ( )

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi các biểu thức đã tồn tại)
a) A = 4 x 2 3 x .

d) D = 3

b) B = 5

23 3 2
.
3 2 3

b3 a

.
a b

c) C = 5 2 3 2 2 .

e) D = 4 3 a8 .

5

f) F =

3

b2 b

.

b b

Bài 2: [ĐVH]. Có thể kết luận gì về số a trong các trường hợp sau?
2

1

−
−
a) ( a − 1) 3 < ( a − 1) 3 .

−3
−1

b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) .

1
c)  
a

−0,2

< a2 .

1

d) (1 − a )

−

1
3

> (1 − a )

−

1
2

e) ( 2 −

.

3
a)4

> (2 − a) .
2

 1 2  1 
f)   >  
a
a

−

Bài 3: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = 


3+ 2 −

(

3− 2



 

) (
1

2

3+ 2

)

1
2

+


3− 2


−1

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

1
2

.


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 .

Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x) =

4x
.
4x + 2

a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1.
 1 
b) Tính tổng S = f 
+
 2011 

 2 
f
 + ... +
 2011 

 2010 
f
.
 2011 

Bài 5: [ĐVH]. So sánh các cặp số sau
5

π 2
π
a)   và  
2
2

6
d)  
7

3

10
3

7
và  
8

2

π
b)  
2

2

π
và  
5

π
e)  
6

5

π
và  
5

3

 3
c)  
5

10
4

 4
và  
7

5
2

2

Bài 6: [ĐVH]. So sánh các cặp số sau
30 và

5

20

b)

c) 17 và

3

28

d) 4 13 và

a)

3

4

5 và

3

7
5

23

Bài 7: [ĐVH]. Tìm x thỏa mãn các phương trình sau?
1) 4 x = 5 1024
4) ( 3 3 )

2x

2)

1
= 
9

x−2

x

(

12 ) . ( 3 ) =
x

x

x +1

=

2  8 
5)   .  
 9   27 

1
 0, 25 
7)

.322 x −8 = 

0,125
 8 

10)

5 2
 
25

1
6

−x

8
125

−x

27
=
64

8) 0, 2 = 0,008
x

11) 71− x.41− x =

3) 81 − 3 x =
3
6)  
2

1
32

x 2 −5 x + 6

3 x −7

 9 
9)  
 49 

=1

7
= 
3

1
28

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

7 x −3