02 2 ki thuat an phu giai he phuong trinh baigiang

Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

KĨ THUẬT SỬ DỤNG ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

x+3
 2 = ( x + 3 y )( y − 1)


2
 6 y − 7 + 4 − 2 x = 9 x + 16

8
 4 x − 3 + y 3 − 4 y ( y + 1) = 5 + y

3x + 1

= 3x + 1 + y
2 x + 1 +
x+ y


3 x + ( x + y ) 2 x − y + 2 = 9

 2
2
2 x + x + y + 2 = ( x + y ) ( x + 1) + 2 y − x + 1
 x 2 + xy + 2 x + 1 = 6 x 2 + 8 x + 4 + y ( x − 1)

 2 x − 1 + y + 2 = 2 y + 3

(

)

 y ( x + 1) + 2 x − 1 = 2 xy + 7 x − 1
Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2
 x + x + xy = y + 9
Lời giải:
ĐK: x ≥ 1; y ≥ 0 . Khi đó: PT (1) ⇔ xy + y + 4 ( x − 1) + 4 y ( x + 1)( x − 1) = 2 xy + 7 x − 1

⇔4

( xy − y )( x + 1) = xy + 3x + 3 − y = ( xy − y ) + 3 ( x + 1)

a = b
Đặt a = xy − y ; b = x + 1 ( a; b ≥ 0 ) ta có: a 2 − 4ab + 3b 2 = 0 ⇔ ( a − 3b )( a − b ) = 0 ⇔ 
 a = 3b
 x = 2; y = 3
Với a = b ⇔ xy − y = x + 1 thế vào PT(2) ta có: x 2 + 2 x + 1 = 9 ⇔ 

 x = −4 ( loai )
Với a = 3b ⇔ xy − y = 9 ( x + 1) thế vào (2) ta có: x 2 + 10 x = 0 ( loai )
Vậy HPT có nghiệm duy nhất là x = 2; y = 3 .
 x 2 − 3 y + y + 1 = x 2 + 3
Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 4 y − 2 + 2 x 2 − 2 x − 3 = x
Lời giải
1
Điều kiện: x 2 − 3 y ≥ 0, 2 x 2 − 2 x − 3 ≥ 0, y ≥
2
Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương

Đặt a = x 2 − 3 y , b =

x2 − 3 y + y + 1 =

(x

2

− 3 y ) + 3 ( y + 1)

y + 1 ⇒ a + b = a 2 + 3b 2 ⇔ a 2 + 2ab + b 2 = a 2 + 3b 2

b = 0
2ab − 2b 2 = 0 ⇔ 2b ( a − b ) = 0 ⇔ 
a = b
• TH1: b = 0 ⇒ y + 1 = 0 ⇔ y = −1( loai )
Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015

Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

• TH2: a = b ⇒ x 2 − 3 y =

y + 1 ⇔ x2 − 3 y = y + 1 ⇔ 4 y = x2 − 1

Với 4 y = x 2 − 1 phương trình (2) tương đương

x2 − 3 + 2 x2 − 2 x − 3 = x ⇔
x2 − 4

⇔

x2 − 3 + 1

+

Facebook: LyHung95

(

) (

x2 − 3 − 1 +

2 x 2 − 2 x − 3 − ( x − 1)

2

2 x2 − 2 x − 3 + x − 1

=0⇔

)

2 x 2 − 2 x − 3 − ( x − 1) = 0

x2 − 4
x2 − 3

+

x2 − 4
2 x2 − 2 x − 3 + x − 1

3
 2
x − 4 = 0 ⇔ x = ±2 ⇒ y =



4
1
1
⇔ ( x2 − 4) 
+
=0⇔ 1
2
2

1

2x − 2x − 3 + x − 1 
 x −3
+
= 0 ( *)
2
 x 2 − 3
2x − 2x − 3 + x − 1
x > 1
Ta có: x 2 − 1 = 4 y ≥ 2 ⇒ x 2 ≥ 3 > 1 ⇒ 
 x < −1
Mà x = 4 y − 2 + 2 x 2 − 2 x − 3 ⇒ x > 0 ⇒ x > 1 ⇒ x − 1 > 0 ⇒ ( *) vô nghiệm

 3  
3 
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =  2;  ,  −2;  
4 
 4  
2 x 3 = y y − x 2

Ví dụ 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
x2 + 2
2
 y − x + 2x − 3 =
2

Lời giải
3
Điều kiện: y − x 2 ≥ 0, x ≥

2

Đặt a =

y − x2 ⇒ a2 = y − x2 ⇔ y = a 2 + x2

Phương trình (1) tương đương 2 x 3 = ( a 2 + x 2 ) a ⇔ 2 x 3 − ax 2 − a 3 ⇔ ( x − a ) ( 2 x 2 + ax + a 2 ) = 0

 x = a
⇔ 2
⇔ x = a ⇒ x = y − x2
2
2 x + ax + a = 0 ( vn )
Phương trình (2) tương đương
2
x2 + 2
x + 2x − 3 =
⇔ 2 x + 2 2 x − 3 = x2 + 2 ⇔ 2 x − 3 + 2 2 x − 3 + 1 = x2 ⇔ 2 x − 3 + 1 = x2
2
 2x − 3 + 1 = x
⇔
⇔ 2x − 3 + 1 = x ⇔ 2 2x − 3 + 2 = 2x ⇔ 2x − 3 − 2 2x − 3 + 1 = 0
 2 x − 3 + 1 = − x ( vn do x > 0 )

(

⇔

(

)

2x − 3 − 1

2

= 0 ⇔ 2x − 3 = 1 ⇔ 2x − 3 = 1 ⇔ x = 2 ⇒ 2 =

)

y−4 ⇔ y−4=4⇔ y =8

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2;8 )

 x + 1 + y + 1 = x 2 + 2 x + 3 y + 4
Ví dụ 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 x − 1 + y − 7 = x 2 + 5 x − 10
Lời giải
Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 7
Phương trình (1) của hệ phương trình tương đương

x + 1 + y + 1 = x2 + 2 x + 1 + 3 y + 3 ⇔ x + 1 + y + 1 =
Đặt a = x + 1, b =

( x + 1)

2

+ 3 ( y + 1)

y + 1 ⇒ a + b = a 2 + 3b 2 ⇔ a 2 + 2ab + b 2 = a 2 + 3b 2 ⇔ 2ab − 2b 2 = 0

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

b = 0
⇔ 2b ( a − b ) = 0 ⇔ 
a = b
• TH1: b = 0 ⇒ y + 1 = 0 ⇔ y = −1( loai )
• TH2: a = b ⇒ x + 1 = y + 1 ⇔ x 2 + 2 x + 1 = y + 1 ⇔ y = x 2 + 2 x
Phương trình (2) tương đương
x − 1 + x 2 + 2 x − 7 = x 2 + 5 x − 10 ⇔

x − 1 + x 2 + 2 x − 7 = x 2 + 2 x − 7 + 3 ( x − 1)

Đặt m = x − 1, n = x 2 + 2 x − 7 ⇒ m + n = n 2 + 3m 2 ⇔ m 2 + 2mn + n 2 = n 2 + 3m2 ⇔ 2mn − 2m2 = 0
 x −1 = 0
x = 1
m = 0
⇔ 2m ( n − m ) = 0 ⇔ 
⇔
⇔ 2
⇔
x
x
6

0
+
−
=
 x − 1 = x 2 + 2 x − 7
m = 1


 x = 1 ⇒ y = 3 ( loai )

x = 2 ⇒ y = 8
 x = −3 ( loai )


Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2;8 )

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
 4 x + 5 y + 3 x + y = 2 x + 7 y + x + 3 y
Bài 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 10 x + 1 + 3 y − 5 = 7 x + 2 y + 4 + 2 x − 2
 x3 + xy 2 − y = x 2 y + y 3 − x

Bài 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
3 2 x2 − y 2 + 7
 x + y = 2 x +1
( )

4 x 2 + 4 xy + y 2 + 2 x + y = 2
Bài 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2

8 1 − 2 x + y = 9

Bài 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Bài 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Bài 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Bài 7: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Bài 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

Bài 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình

2 xy 2 − 2 y 3 + 3x = 3 y

2
2
2 2 y − 3 + x + 3 y − 4 = y + 19 x − 28
( x − y + 1) 2 y − 1 + xy + x + 1 = y 2

2
2
9 ( y − 1) − 5 x = ( 3 − y ) 3 x − 8 x + 3
1 − 4 xy
2

( x − y ) + 1 − x − y = x + y

2 x 2 + y − 2 x = ( x − y ) y 2 + 2


 x3 + y 3 = x 2 + y 2 + ( x − y )2
 2
 x − 3 y + 10
= 2 5− y

x +1

 x 2 − 2 y + 1 + 3 ( xy )2 + y 2 = 0


2 y − 7 x + 9 = x + y − 12 x + 19
 x + 3 xy + x − y 2 − y = 5 y + 4

 4 y 2 − x − 2 + y − 1 = x − 1

 3x + y + x + y = 2
Bài 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2
2
 x + ( 2 x − 1) x + y = y

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: LyHung95

 x + 2 y − 1 + 3 2 x − y = 2 7 x − y − 1

Bài 11: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
2
 x + x + 3 y + 1 = 3 x + 4
( x + y ) x − y + 2 = x + 3 y + 2
Bài 12: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
 x − y + 2 + 2 x − 3 y = 3

3 x+ y
 1 + x =
y
2 ( 2x + y )
Bài 13: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  2 x
 2
2
 y + ( 4 x − 3) y − 4 x − 1 = 16 x
 2 4y
3
 x + x = 2 ( 9 x − 1) 2 x − y
Bài 14: [ĐVH]. Giải hệ phương trình 
4 ( x + 2 )2 − 6 x 2 + 6 x + 4 y = 13

 x2 + 2 y 2
2 3
1

= 2  − ( x + y) −
2
 y x
Bài 15: [ĐVH]. Giải hệ phương trình  xy


2
 x − 1 + 2 y 4 y + 1 + 2 x − x = 3

(

(

)

)

Tham gia trọn vẹn khóa TỔNG ÔN và LUYỆN ĐÊ tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015