04 phuong trinh mu p2 BG

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1: Phương trình chia rồi đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình: 3.9 x + 7.6 x − 6.4 x = 0 .
Hướng dẫn giải:
 3  x 2
  = ⇒ x = −1
2x
x
3
2
3
3
Phương trình đã cho tương đương: 3.   + 7.   − 6 = 0 ⇔ 
.
x

2
2
3


  = −3 < 0
 2 
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = −1.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
−

1

−

1

−

1

b) 4 x + 6 x = 9 x
d) (ĐH khối A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0

a) 64.9 x − 84.12 x + 27.16 x = 0
c) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0

Hướng dẫn giải:

a) Chia cả hai vế của (1) cho 9x ta được
 4  x 4
  =
x
x
2x
x
 12 

 16 
4
4
3
3
x =1
→   x
⇔
(1) ⇔ 64 − 84.  + 27.  = 0 ⇔ 27.   − 84.  + 64 = 0 
2
 4  16  4 
x = 2
 9
9
3
3
  = =  
9 3
 3 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
b) Điều kiện: x ≠ 0.
 3 t 1 + 5
  =
t
t
2t
t
1
9 6
3

3



2
t
t
t
Đặt − = t , ( 2 ) ⇔ 4 + 6 = 9 ⇔   −   − 1 = 0 ⇔   −   − 1 = 0 ⇔  2 t
 3  1 − 5
x
4 4
2
2
<0
  =
2
 2 
t
1+ 5 
1
 3  1+ 5
3
Từ đó ta được   =
⇔ t = log 3 
→ x = − = − log 1+ 5   .
 

2
2 

t
2
2
2
2

c) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0 ⇔ 81.9 x + 45.6 x − 36.4 x = 0
 3  x 4  3  −2
  = =  
x
x
2x
x
9 2
2
9
6
3
3
⇔ 81.   + 45.   − 36 = 0 ⇔ 81.  + 45.   − 36 = 0 ⇔ 

→ x = −2.
x

4
4
2
2
3




= −1 < 0
 2 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = –2.
d) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0
  3 x 3
.  =

x
x
x
3x
2x
x
2
2
 12   18 
 27 
3
3
3

⇔ 3 + 4.   −   − 2.   = 0 ⇔ 2.   +   − 4.  − 3 = 0 ⇔

→ x = 1.
x

8 8
 8 

2
2
2
3


.
= −2 < 0
  2 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Dạng 2: Phương trình có tích cơ số bằng 1
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Cách giải:
Do ab = 1 ⇔ ( ab )

f ( x)

1

= 1 
→ b f ( x) =

a

f ( x)

1
t

→ b f ( x) =
Từ đó ta đặt a f ( x ) = t , (t > 0) 
Chú ý:

(
(

Một số cặp a, b liên hợp thường gặp:

)(
5 + 2 )(

) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 1
5 − 2 ) = 1; ( 7 + 4 3 )( 7 − 4 3 ) = 1...

2 +1

2 − 1 = 1;

( 2 ± 1)
3 = (2 ± 3)

3± 2 2 =

2

7±4

2

Một số dạng hằng đẳng thức thường gặp:

Ví dụ: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a)

(

2+ 3

) +(
x

2− 3

)

x

=4

b)

c) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 x +3
x

(

3

...

3+ 8

d) ( 2 + 3 )

x

) +(
x

( x −1) 2

3

3− 8

)

+ (2 − 3)

x

=6

x 2 − 2 x −1

=

4
2− 3

Hướng dẫn giải:

a)

(

Do

Đặt

2+ 3

) +(
x

(

2+ 3

(

2+ 3

2− 3

)

x

)(

2 − 3 =1⇔

)

)

= t , (t > 0) 
→

x

(1) .

= 4,

(

2+ 3

(

) .(

x

2− 3

)

x

)

2− 3

x

= 1 
→

(

2− 3

)

x

=

1

(

2+ 3

)

x

1
= .
t

t = 2 + 3
1
→
Khi đó (1) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 1 = 0 
t
t = 2 − 3

(
3⇔(

)
3) =2−

Với t = 2 + 3 ⇔

2+ 3

Với t = 2 −

2+

x

=2+ 3 =

(
(

x

) → x = 2.
3) = ( 2 + 3 )
2

2+ 3

3 = 2+

−2

−1


→ x = −2.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2.

b)

(

Do

Đặt

3+ 8

3

(

3

(

3

) +(
x

3+ 8

)(

3+ 8

)

3

x

3

3− 8

)

x

( 2).

= 6,

) (

)(

(

)

3− 8 = 3 3+ 8 3 + 8 =1⇔

= t ,(t > 0) 
→

(

3

3− 8

)

x

3

3+ 8

) .(
x

3

3− 8

)

x

= 1 
→

(

3

3− 8

)

x

=

1

(

3

3+ 8

1
= .
t

t = 3 + 8
1
Khi đó ( 2 ) ⇔ t + − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 1 = 0 
→
t
t = 3 − 8

(
8⇔(

)
8) =3−

Với t = 3 + 8 ⇔

3

3+ 8

Với t = 3 −

3

3+

x

x

(

= 3+ 8 ⇔ 3+ 8

(

8 = 3− 8

)

)

x
3

−1

= 3 + 8 
→ x = 3.

(

⇔ 3+ 8

x
3

) = (3 − 8 )

−1


→ x = −3.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

)

x

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±3.
c) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2
x

x

x

x

x+ 3

x

 5 − 21 
 5 + 21 
⇔
 + 7.
 = 8,
 2 

2 

x

( 3) .

x

x

 5 − 21   5 + 21   5 − 21 5 − 21 
 5 − 21 
1
Ta có 
.
→
 
 = 
 = 1 
 =
x
 2  
2   2
2 
 2 
 5 + 21 



2 
x

x

 5 + 21 

 5 − 21  1
Đặt 
→
 = t ,(t > 0) 
 = .
2 
 2 

t

t = 1
1
2
Khi đó ( 3) ⇔ + 7t − 8 = 0 ⇔ 7t − 8t + 1 = 0 
→ 1
t
t =
 7
x

 5 + 21 
Với t = 1 ⇔ 
→ x = 0.
 = 1 

2 
x

 5 + 21 
1

1
Với t = ⇔ 
→ x = log 5+
 = 
7

2 
7

21
2

1
 .
7

x = 0
1
Vậy phương trình có hai nghiệm  x = log

5 + 21  
7

2

d) ( 2 + 3 )

(

( x −1)2

+ (2 − 3)

)

2 − 3 ( 2 + 3 )( 2 + 3 )

Đặt t = ( 2 + 3 )

x2 − 2 x

x 2 − 2 x −1

x2 − 2 x

=

(

)

(

)

+ (2 − 3)

x2 − 2 x

x 2 − 2 x +1

x 2 − 2 x −1
4
⇔ 2 − 3 (2 + 3)
+ 2 − 3 (2 − 3)
=4
2− 3

+ (2 − 3)

x2 − 2 x

, (t > 0) 
→(2 − 3)

= 4 ⇔ (2 + 3)

x2 − 2 x

x2 − 2 x

= 4,

( 4 ).

1
= .
t

(
(


t = 2 + 3
 2+ 3
1
2
Khi đó ( 4 ) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t − 4t + 1 = 0 
→
⇔
t
t = 2 − 3
 2+ 3


)
)

x2 − 2 x

x2 − 2 x

=2+ 3

 x2 − 2 x = 1
⇔ 2
 x − 2 x = −1
=2− 3

Với phương trình x 2 − 2 x = 1 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 2 ± 2
Với phương trình x 2 − 2 x = −1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1.

x = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm 
x = 2 ± 2
Dạng 3: Phương trình đặt ẩn phụ trực tiếp bằng phép quan sát
2x
18
= x −1 1− x
x −1
x
2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2
Hướng dẫn giải:
8
1
18
Viết lại phương trình dưới dạng: x −1
+
=
2 + 1 21− x + 1 2 x −1 + 21− x + 2
u = 2 x −1 + 1
Đặt 
, u, v > 1
1− x
v = 2 + 1

Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình:

(

)(

8

+

)

Ta có u.v = 2 x −1 + 1 . 21− x + 1 = 2 x −1 + 21− x + 2 = u + v

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

18
8 1
u = v = 2
u + 8v = 18 
 + =
⇔
Phương trình tương đương với hệ  u v u + v ⇔ 
u = 9; v = 9
u + v = uv
u + v = uv
8


2 x −1 + 1 = 2
+) Với u = v = 2, ta được:  1− x

⇔ x =1
2 + 1 = 2
 2 x −1 + 1 = 9
9

+) Với u = 9; v = , ta được:  1− x
9 ⇔ x=4
8
+
=
2
1

8

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = 1 và x = 4.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải phương trình: 22 x − 2 x + 6 = 6
Hướng dẫn giải:
x
Đặt u = 2 ; u > 0.
Khi đó phương trình thành u 2 − u + 6 = 6

Đặt v = u + 6, điều kiện v ≥ 6 ⇒ v 2 = u + 6
2
u − v = 0
u = v + 6
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ  2
⇔ u 2 − v 2 = − ( u − v ) ⇔ ( u − v )( u + v ) = 0 ⇔ 
u + v + 1 = 0

v = u + 6

u = 3
+) Với u = v ta được: u 2 − u − 6 = 0 ⇔ 
⇔ 2x = 3 ⇔ x = 8
=
−
2(
)
u
L


−1 + 21
u =
21 − 1
21 − 1
2
+) Với u + v + 1 = 0 ta được u 2 + u − 5 = 0 ⇔ 
⇔ 2x =
⇔ x = log 2

2
2
−1 − 21
(1)
u =
2


Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 8 và x = log 2

21 − 1
.
2

Các ví dụ giải mẫu trong video:
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình
a) 125 x + 50 x = 2 3 x +1
b) 4

−

1
x

+6

−

1
x

=9

−

1
x

c) (ĐH khối A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải phương trình

(

a) 3 + 5

) + (3 − 5 )
x

x

− 7.2x = 0

b) 4lg10 x − 6lg x = 32lg100 x
Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải phương trình
a) ( 2 − 1) x + ( 2 + 1) x − 2 2 = 0

( 10 + 3) + ( 10 − 3) =
c) ( 2 + 3 )
+ (2 − 3 )
x2 − 1

x2

b)

x 2 − 2 x +1

10 + 4

x 2 − 2 x −1

=

(

101

10 2 − 3

)

Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải phương trình
a)

(

(

7+4 3

b) 7 + 5 2

) (
sin x

) +(
x

+

7−4 3

)(

)

sin x

2 −5 3+ 2 2

)

=4
x

+ 3(1 + 2) x + 1 − 2 = 0

Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải phương trình
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
a) 5.2

3 x −1

Facebook: LyHung95

− 3.25−3 x + 7 = 0

b) 4.33 x − 3x +1 = 1 − 9 x

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) ( 5 +

c)

(

24 )

x

+ (5 −

) (
x

5 + 21 +

(

e) 2 + 3

24 )

x

x

)

= 10
x

x

5 − 21 = 5.22

d)

) + (7 + 4 3 )(2 − 3 )
x

x

7+3 5 
7−3 5 
b) 
 + 7 
 =8
2 
2 



x

(

= 4 2+ 3

(

4 − 15

) (
x

+

4 + 15

)

x

=8

)

Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
1
x

1
x

1
x

1

1

1

a) 6.9 − 13.6 + 6.4 = 0

b) 2.4 x + 6 x = 9 x

c) 6.32 x − 13.6 x + 6.22 x = 0

d) 3.16 x + 2.81x = 5.36 x

e) 64.9 x − 84.12 x + 27.16 x = 0
Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) 3

(

(

) (
x

5 +1 −

b) 26 + 15 3

)

x

)

x

5 − 1 = 2 x+1

(

+2 7+4 3

)

x

(

−2 2+ 3

)

x

−1 = 0

Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) 5.3 2 x −1 −7.3x −1 + 1 − 6.3x + 9 x +1 = 0

b) 4 x + 4− x + 2 x + 2− x = 10

c) 31− x − 31+ x + 9 x + 9− x = 6

d) 8 x +1 + 8.(0,5)3 x + 3.2 x + 3 = 125 − 24.(0,5) x

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!