04 phuong trinh mu p3 BG

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
IV. PHƯƠNG PHÁP LOGARITH HÓA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Khái niệm:
Là phương trình có dạng a f ( x ) .b g ( x ) = c, (1)
trong đó a, b nguyên tố cùng nhau, f(x) và g(x) thường là hàm bậc nhất hoặc bậc hai.
Cách giải:
Lấy logarith cơ số a hoặc cơ số b cả hai vế của (1) ta được
(1) ⇔ log a a f ( x ) .b g ( x ) = log a c ⇔ log a a f ( x ) + log a b g ( x ) = log a c ⇔ f ( x) + g ( x) log a b = log a c,

(

)

( 2).

(2) thu được là phương trình bậc nhất của x, hoặc phương trình bậc hai có thể giải đơn giản.
Chú ý:
Những dạng phương trình kiểu này chúng ta cố gắng sử dụng tính chất của hàm mũ để biến đổi sao cho c = 1. Khi đó
việc logarith hóa hai vế với c = 1 sẽ cho phương trình thu được đơn giản hơn rất nhiều.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
b) 5x.3x = 1
Hướng dẫn giải:

a) 3x.2 x+1 = 72

c) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x

2

3x.2 x +1
= 1 ⇔ 3x − 2.2 x − 2 = 1 ⇔ 6 x −2 = 1 
→ x = 2.
9.8
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

a) 3x.2 x +1 = 72 ⇔

(

b) 5x.3x = 1 ⇔ log 3 5 x.3x
2

2

) = log 1 ⇔ log 5
3

3

x

+ log 3 3x = 0 ⇔ x log 3 5 + x 2 = 0
2

x = 0

⇔ x ( log 3 5 + x ) = 0 
→
 x = − log 3 5
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = –log35.

( )

( )

c) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x ⇔ 8.73 x = 8.52 x ⇔ 73 x = 52 x ⇔ lg 73 x = lg 52 x ⇔ 3 x.lg 7 − 2 x.lg 5 = 0

→ x ( 3lg 7 − 2lg 5 ) = 0 ⇔ x = 0.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
x +1
.8 x

= 500

x +1
.8 x

= 500,

a) 5

x

a) 5

x

x +1
3
x
5 .2 x

b) 5

(1) .

x

2 x −1
.2 x +1

= 50

c) 2 x −3 = 5 x
Hướng dẫn giải:

2

−5 x + 6

d) x 2lg x = 10 x

Điều kiện: x ≠ 0.

 x −3 
x−3
= 5 .2 ⇔
= 5 ⇔ log 2  2 x  = log 2 53− x ⇔
= ( 3 − x ) log 2 5
(1) ⇔


x


x = 3
⇔ ( log 2 5 ) x 2 − 3 ( log 2 5 − 1) x − 3 = 0 
→
1
 x = log 5

2
2 x −1

3

b) 5 x.2 x +1 = 50,
2 x −1

2

( 2 ).

x −3

2 x

3− x

(

)

Điều kiện: x ≠ –1.

2 x −1

−1 
2x −1
= 1 ⇔ log 2  5 x − 2.2 x +1  = log 2 1 = 0 ⇔
− 1 + ( x − 2 ) log 2 5 = 0


x +1


x = 2
x − 2 = 0

(1 + log 2 5)
1
⇔ x − 2 + ( x − 2 )( x + 1) log 2 5 = 0 
→
⇔
x = −

=−
1 + ( x + 1) log 2 5 = 0
log 2 5
lg 5


( 2 ) ⇔ 5x.2 x +1

2 x −1

= 52.2 ⇔ 5 x − 2.2 x +1

−1

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ; x = −
c) 2 x −3 = 5 x

2

(

−5 x + 6

(

)

⇔ log 2 2 x −3 = log 2 5 x

2

Facebook: LyHung95

1
.
lg 5

−5 x + 6

) ⇔ x −3 = (x

2

)

− 5 x + 6 log 2 5

x = 3
x − 3 = 0

⇔ ( x − 3) 1 − ( x − 2 ) log 2 5 = 0 
→
⇔
 x = log 2 50 = log 5 50
 x log 2 5 = 1 + 2log 2 5


log 2 5
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 ; x = log5 50.

d) x 2lg x = 10 x,

( 4 ) . Điều kiện: x > 0.

( 4 ) ⇔ lg ( x

lg x = 1
 x = 10
= lg (10 x ) ⇔ 2lg x − lg x − 1 = 0 ⇔ 
⇔
1
lg x =
 x = 10

2

2lg x

)

2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 10 ; x = 10.

BÀI TẬP LUYỆN TÂP:
Bài 1: [ĐVH]. Giải phương trình
x −1

x

a) 5x.8
x

b) 3 .8

= 500

x
x +1

= 36

c) 34 = 43
x

x

Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau :
a) 53− log5 x = 25 x

b) 9.x log9 x = x 2

c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3

d) x

3 2
3( log x ) − log x

3

= 100. 3 10

Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau :
a) x log 9 + 9log x = 6

b) 3log 2 x + x log 2 3 = 63log2 x

c) 4log2 2 x − x log2 6 = 2.3log2 4 x

d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3

(

lg 100 x 2

2

)

Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau :
a) 2

(

2 log 3 x 2 −16

)

+2

(

)

log 3 x 2 −16 +1

= 24

b) 21+( log2 x ) + 224 = x 2log 2 x
2

c) xlgx −3lg x−4,5 = 10−2lg x
2

Bài 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau :
a) 4 x

2

+ 2 x −8

9

= 5x−2

b) 7 x.2 x+1 = 392

2 x −1

d) 5x.2 x +1 = 50

e) 2 x

2

−2 x

.3x =

3
2

c) 2 x.39− x = 8
2

f) 3x −1 = 5x

2

−1

HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 1: [ĐVH]. Giải phương trình
a) 5 x.8
a) 5 x.8

x −1
x

x −1
x

x

= 500
= 500 ⇔ 5 x.2

b) 3x.8 x+1 = 36
3( x −1)
x

= 53.2 2 ⇔ 2

3( x −1)
x

−2

= 53 − x ⇔

c) 34 = 43
x

x−3
= ( 3 − x ) log 2 5 ⇔
x

x

x = 3
 x = − log 5

2

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
x

b) 3x.8 x +1 = 36 ⇔ 3

3x
x+1

3x

−2

= 22.32 ⇔ 3 x +1 = 4 ⇔

Facebook: LyHung95

 x ≠ −1
2 + log3 4
x−2
= log3 4 ⇔ 
⇒x=

x +1
1 − log3 4
(1 − log3 4 ) x = 2 + log3 4

x

x
x
 4
c) 34 = 43 ⇔ 4 x = 3x.log3 4 ⇔   = log3 4 ⇒ x = log 4 ( log3 4 )
 3
3

Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau :
a) 53− log5 x = 25 x

b) 9.x log9 x = x 2
3 2
3( log x ) − log x
3

c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3

3− log5 x

a) 5

d) x
Lời giải:

= 100. 3 10

x > 0
x > 0

= 25 x ⇔  53
⇔ 3
⇔ x2 = 5 → x = 5
2 2
=
x
5
5
=
x
25

 log5 x
5

b) 9.x 9 = x 2 ⇔ Lấy loga cơ số 9 hai vế , ta có phương trình :
 x > 0
 x > 0
x > 0
⇔
⇔
⇔
⇔ x=9>0

2

2
1 + ( log 9 x ) − 2log 9 x = 0 ( log 9 x − 1) = 0 log 9 x = 1
log x

c) x log 2 9 = x 2 .3log 2 x − x log2 3 . Sử dụng công thức : a logc b = blogc a . Phương trình biến đổi thành :
3log2 x > 0
⇔ 9log2 x − x 2 .3log2 x + 3log2 x = 0 ⇔ 3log2 x ( 3log2 x − x 2 + 1) = 0 ⇔  log x
⇔ 3log2 x = x 2 − 1
2
2
x
3
−
+
1
=
0

t
2
t
Đặt : t = log 2 x ⇒ x = 2 ↔ x = 4 . Phương trình :
t

t

3 1
⇔ 3log2 x = x 2 − 1 = 3t = 4t − 1 ⇔   +   − 1 = 0 .
4 4
t

t

t

t

3 1
3 3 1 1
Xét hàm số f (t ) =   +   − 1 → f '(t ) =   ln   +   ln   < 0 .
4 4
4 4 4 4
Chứng tỏ hàm số f(t) là một hàm số nghịch biến.
Do f(1) = 0 cho nên với t = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất log 2 x = 1 → x = 2 .
d) x

3 2
3( log x ) − log x
3

3 2
3( log x ) − log x
3

x

= 100. 3 10 . Lấy log hai vế , phương trình trở thành :


t = log x


2
1
3


= 100. 3 10 ⇔  3( log x ) − log x  log x = 2 + ⇔ 0 < x ≠ 1
3
3 


2
7
3t 4 − t 2 − = 0
3
3






0 < x ≠ 1
7

t = log x
−

3
x

=
10
7



⇔ 0 < x ≠ 1 ⇔ log x = −
⇔
7
3
 2

 x = 10 3

t
=
−
1



7
 2 7
log x =
3

 t =
9
 
Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau :

a) x log 9 + 9log x = 6

b) 3log 2 x + x log 2 3 = 63log2 x

c) 4log2 2 x − x log2 6 = 2.3log2 4 x

d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3

2

(

lg 100 x 2

)

Lời giải:
0 < x ≠ 1
1
0 < x ≠ 1
0 < x ≠ 1  0 < x ≠ 1

2
a) x log 9 + 9log x = 6 ⇔  log x
⇔
⇔
⇔
↔
x
=

10
= 10
 log x
 2log x

1
log x
= 3 log x =
9 + 9 = 6
9 = 3
3

2

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
 3
b) 3log 2 x + x log2 3 = 63log2 x ⇔ 3log2 x + 3log2 x = 63log2 x ⇔ 2.3log2 x = 63log2 x ⇔  3 
6 

Facebook: LyHung95
log 2 x

=

1
2

1

log 1
1
2
⇔ x = 2 72
2

⇔ log 2 x = log 1
72

c) 4

log 2 2 x

−x

log 2 6

2 )
− 6log2 x = 2.3(
⇔ 4.22 log 2 x − 6log2 x = 18.32log2 x
  3 log2 x
x > 0
>0
t =

2 log 2 x
⇔   6 log2 x
⇔   2 

3
= 18.  
4 −  
 2
2
 4
18t + t − 4 = 0

= 2.3log2 4 x ⇔ 2
2

⇔ 4.22 log2 x − 6log 2 x = 18.32log2 x

2(1+ log 2 x )

2 + 2log x

t > 0

 t = − 1 < 0  3  log2 x 4  3  −2
1
⇔ 
⇒ 
= =   ↔ log 2 x = −2 → x =
2
9 2
4
2
 4


 t=
  9

(

)

⇔ 41+ lg x − 6lg x = 2.32+ 2 lg x ⇔ 4.22 lg x − 6lg x = 18.32 lg x .
d) 4lg(10 x ) − 6lg x = 2.3
Chia hai vế cho 22 lg x > 0 ta được
t > 0
lg x


3
lg x
2 lg x
 t = − 1 < 0  3  log2 x 4  3  −2
t
=
>
0
6
3
1

 
 
4 −   = 18.  
⇔   2 

⇔ 
⇒ 
= =   ↔ log 2 x = −2 → x =
2
9 2
4
4
2
2
 2
 4

18t + t − 4 = 0
 t=
  9
Bài 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau :
lg 100 x 2

(

(

)

+ 224 = x

2log 2 x

2 log 3 x 2 −16

)

+2

log 3 x 2 −16 +1

= 24

1+ ( log 2 x )

lg2x −3lg x −4,5

2

+ 224 = x 2 log 2 x
c) x
Lời giải:
t > 0
t = 2log3 ( x2 −16) > 0
2 log3 ( x 2 −16 )
log3 ( x 2 −16 ) +1
log ( x 2 −16 )

a) 2
+2
= 24 ⇔ 
⇔  t = −6 ⇔ 2 3
= 22
2
 t = 4

t + 2t − 24 = 0

2
2
2
2
⇒ log 3 ( x − 16 ) = 2 ⇔ x − 16 = 3 = 9 ⇔ x = 25 → x = 5
a) 2

1+ ( log 2 x )

b) 2

2

⇔ 2.2

( log 2 x )2

b) 2

+ 224 = ( 2

)

log 2 x 2 log 2 x

= 10−2lg x

t = 2( log2 x ) > 0

⇔
2
t − 2t − 224 = 0
2

t > 0
1

x = 2−2 =
 log 2 x = −2

2
( log 2 x )2
4

⇔  t = −14 ⇔ 2
= 2 ⇔ ( log 2 x ) = 4 ⇔ 
⇔
4

2
 log 2 x = 2
 t = 16 = 24
 x = 2 = 4

c) x lg x − 3lg x − 4,5 = 10−2lg x
2

Lấy lg hai vế ⇒

(

lg 2x − 3lg x − 4,5

)


 lg x = 0
x = 1


3− 10
3 − 10

2

lg x = −2 lg x ⇔ lg x ( lg x − 3lg x − 4,5 + 2 ) = 0 ⇔  lg x =
⇔ x = 10 2

2
3+ 10


2
3 + 10


x
=
10


lg
x
=

2

V. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Cơ sở của phương pháp:
Xét phương trình f(x) = g(x), (1).
Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) và f(x) là hàm hằng thì (1) có nghiệm duy nhất x = xo.
Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) và f(x) nghịch biến (hoặc đồng biến) thì (1) có nghiệm duy nhất x = xo.
Các bước thực hiện:

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Biến đổi phương trình đã cho về dạng (1), dự đoán x = xo là một nghiệm của (1).
Chứng minh tính đồng biến, nghịch biến hay hằng số của (1).
Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến kết luận ở trên để chứng tỏ khi x > xo và x < xo thì (1) vô nghiệm. Từ đó ta
được x = xo là nghiệm duy nhất của phương trình.
Chú ý:
Hàm f(x) đồng biến thì x2 > x1 
→ f ( x2 ) > f ( x1 ) ; f(x) nghịch biến thì x2 > x1 
→ f ( x2 ) < f ( x1 )
Hàm f ( x ) = a u( x ) 

→ f ′( x ) = u(′ x ) .a u( x ) .ln a . Khi a > 1 thì hàm số đồng biến, ngược lại hàm nghịch biến.

Tổng hoặc tích của hai hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) là một hàm đồng biến (hoặc nghịch biến), không có tính
chất tương tự cho hiệu hoặc thương của hai hàm.

(

)

Với những phương trình có dạng f x;a u( x ) = 0, hay đơn giản là phương trình có chứa x ở cả hệ số và trên lũy
thừa, ta coi đó là phương trình ẩn là hàm mũ và giải như bình thường. Bài toán sẽ quy về việc giải phương trình bằng
phương pháp hàm số để thu được nghiệm cuối cùng.

Dạng 1: Phương trình sử dụng sự biến thiên của hàm số mũ
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
x

c) ( 3 + 2 2 ) + ( 3 − 2 2 ) = 6 x
x

b) 2 x = 3 2 + 1
Lời giải:

a) 3x = 5 − 2 x

 f ( x) = 3x
a) 3x = 5 − 2 x, (1) . Đặt 
→ g ′( x) = −2 < 0
 g ( x) = 5 − 2 x 
Từ đó ta thấy f(x) đồng biến, còn g(x) nghịch biến.

Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của (1).
 f ( x) > f (1) = 3
Khi x > 1 thì 

→ (1) vô nghiệm.
 g ( x) < g (1) = 3
 f ( x) < f (1) = 3
Khi x < 1 thì 

→ (1) vô nghiệm. Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1).
 g ( x) > g (1) = 3

b) 2

x

x
2
=3

+1 ⇔ 2 =
x

( 3)

x

x

 3   1 x

+ 1 ⇔ 
 +   = 1,
 2  2

x

( 2 ).

x

x
 3   1 x
 3
3 1
1
Đặt f ( x) = 
→ f ′( x) = 
+   ln < 0 
→ f(x) là hàm nghịch biến.
 +   
 ln
2 2
2
 2  2
 2 
Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của (2).
Khi x > 2 thì f(x) < f(2) = 1 → (2) vô nghiệm.
Khi x < 2 thì f(x) > f(2) = 1 → (2) vô nghiệm.
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

c) ( 3 + 2 2 ) + ( 3 − 2 2 )
x

x

x

x

x

 3+ 2 2   3−2 2 
=6 ⇔
 +
 = 1,
6
6

 

x

x

x

( 3) .
x

 3+ 2 2   3− 2 2 

 3+ 2 2 
3+ 2 2  3− 2 2 
3+ 2 2
Đặt f ( x) = 
→ f ′( x) = 
+
< 0.
 +
 
 ln
 ln
6
6
6
6
6
6

 





Do đó f(x) là hàm nghịch biến.
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của (3).
Khi x > 1 thì f(x) < f(1) = 1 → (3) vô nghiệm.
Khi x < 1 thì f(x) > f(1) = 1 → (3) vô nghiệm.
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
x

x

1
1
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải phương trình   − ( 3 x + 11) .   + 3 x + 10 = 0 .
4
2
Lời giải:
x
t = 3 x + 10
1
Đặt t =   ⇒ t > 0. Khi đó phương trình đã cho trở thành t 2 − ( 3 x + 11) t + 3x + 10 = 0 ⇔ 
2
t = 1

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

x


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

x

1
+) Với t = 1 ⇔   = 1 ⇔ x = 0 .
2

x

1
+) Với t = 3 x + 10 ⇔   = 3 x + 10 (*).
 2
Ta có x = −2 thỏa mãn phương trình (*) nên là nghiệm của phương trình (*).
x

1
Mà hàm số y =   luôn nghịch biến trên R, hàm số y = 3x + 10 luôn đồng biến trên R. Do đó x = −2 là nghiệm duy
 2
nhất của phương trình (*). Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0, x = −2.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau :
a) 6 x + 8 x = 10 x

(

b)

) (

)

(

) (
x

5+ 2 6

+

5−2 6

x

x

)=
x

10 x

x

1
1 1
d) 3x −   + 2 x −   −   = −2 x + 6
3
 
2 6
Lời giải:
x
x
x
x
x
x

 6 8
 6 8
 6  6 8
8
a) 6 x + 8 x = 10 x ⇔   +   = 1 ⇔ f ( x) =   +   − 1 ⇔ f '( x) =   ln   +   .ln   < 0
10
10
10
10
10
10
10
   
   
     
 10 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.

c) 2 − 3

b)

(

x

+ 2+ 3

5+ 2 6

) +(
x

x

= 2x

5−2 6

)

x

x

x

 5+ 2 6   5−2 6 
 +
 =1
= 10 ⇔ 

10  
10 

 

x

x

x

 5+ 2 6   5−2 6 
 +
 −1 = 0
⇔ f ( x) = 

10  
10 

 

x

x

 5+2 6 
 5+ 2 6   5−2 6 
 5−2 6 
 .ln 
+
 .ln 
>0
⇒ f '( x) = 



10 
10  

10 
10 



 



Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1

(

c) 2 − 3

) + (2 + 3 )
x

x

x

x

x

x

2− 3  2+ 3
2− 3 2+ 3 

= 2 ⇔ 
 + 
 = 1 ⇔ f ( x) = 
 + 
 − 1 = 0
 2   2 
 2   2 
x

x

x

2− 3  2− 3  2+ 3  2+ 3
⇒ f '( x) = 
 ln 
 + 
 ln 
 > 0
 2   2   2   2 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1.
x

x

x

x

x

x

1
1 1
1 1 1
d) 3 −   + 2 x −   −   = −2 x + 6 ⇔ 3x + 2 x + 2 =   +   +   + 6
3
2 6
3  2  6
x
x
x
x
VT = f ( x) = 3 + 2 + 2 → f '( x) = 3 ln 3 + 2 ln 2 > 0 ; f (1) = 7
x

x

x

x

1  1 1
VP = g ( x) =   +   +   + 6 . Là một hàm số nghịch biến, mặt khác g(1) = 7
3  2  6
Chứng tỏ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau :
a) 4 x − 3x = 1

c) 3x + 4 x + 12 x = 13x

b) 2 x + 3x + 5 x = 10 x
d) 3x + 5 x = 6 x + 2
Lời giải:
x
x
x
x
1 3
1 3
a) 4 x − 3x = 1 ⇔ 1 + 3x = 4 x ⇔   +   = 1 ⇔ f ( x) =   +   − 1 = 0
4 4
4 4
x

x

1 1 3 3
Ta có f '( x) =   ln   +   ln   < 0 ⇒ f ( x) là hàm nghịch biến.
4 4 4 4

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Mặt khác f(1) = 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1

x

x

x

 2  3  5
b) 2 x + 3x + 5 x = 10 x ⇔   +   +   = 1
 10   10   10 
x

x

x

x

x

x

x

x

 2  3  5
 2  2  3  3 5 5
Đặt f ( x) =   +   +   − 1 ⇒ f '( x) =   ln   +   ln   +   ln   < 0
 10   10   10 
 10   10   10   10   10   10 

Suy ra f(x) là hàm nghịch biến, nên phương trình sẽ có nghiệm duy nhất.
Mặt khác f(1) = 0, vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
x

x

x

 3   4   12 
c) 3 + 4 + 12 = 13 ⇔   +   +   = 1
 13   13   13 
x

x

x

x

x

x

x

x

 3   4   12 
 3   3   4   4   12   12 
Đặt f ( x) =   +   +   − 1 ⇒ f '( x) =   ln   +   ln   +   ln   < 0

13
13
13
     
 13   13   13   13   13   13 
Vậy f(x) là hàm số nghịch biến.
Mặt khác f(2) = 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
d) 3x + 5 x = 6 x + 2 ⇔ f ( x) = 3x + 5 x − 6 x − 2 .
Rõ ràng phương trình có hai nghiệm là x = 0 và x = 1.
Ta có f '( x) = 3x.ln 3 + 2 x ln 2 − 6; f ''( x) = 3x (ln 3)2 + 2 x (ln 2)2 > 0
lim f ( x) = +∞; lim f ( x) = −6
x →+∞

x →−∞

Suy ra f '( x) là một hàm số liên tục , đồng biến và nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm trên R, nên phương trình
f '( x) = 0 có nghiệm duy nhất x0.
Ta lập bảng biến thiên sẽ suy ra hai nghiệm của phương trình, sẽ không còn nghiệm nào khác.

Dạng 2: Phương trình sử dụng phép đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Ví dụ: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
a) 25x − 2(3 − x).5x + 2 x − 7 = 0

b) 3.25x −2 + (3x − 10).5x −2 + 3 − x = 0

2
2
c) 4 x + ( x 2 − 7).2 x + 12 − 4 x 2 = 0

d) 4 x 2 + x.3

x

+ 31+

x

= 2.3 x .x 2 + 2 x + 6

Lời giải:
a) 25x − 2(3 − x).5x + 2 x − 7 = 0 ⇔ 52 x − 2(3 − x).5x + 2 x − 7 = 0, (1) .
Ta coi (1) là phương trình bậc hai ẩn 5x.
2
2
Ta có ∆′ = ( 3 − x ) − ( 2 x − 7 ) = x 2 − 6 x + 9 − 2 x + 7 = x 2 − 8 x + 10 = ( x − 4 )
5 x = 3 − x + ( x − 4 )
5 x = −1 < 0
Khi đó, (1) ⇔ 
⇔

→ 5 x = 7 − 2 x , ( *)
 x
x
5 = 3 − x − ( x − 4 )
5 = 7 − 2 x
(*) là phương trình quen thuộc ở ví dụ 1 đã xét đến, ta dễ dàng tìm được nghiệm x = 1 là nghiệm duy nhất của (*).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1.

(

b) 3.25x −2 + (3x − 10).5x −2 + 3 − x = 0 ⇔ 3. 5x −2

)

2

+ (3x − 10).5x − 2 + 3 − x = 0,

( 2) .

Ta có ∆ = ( 3x − 10 ) − 12 ( 3 − x ) = 9 x 2 − 60 x + 100 − 36 + 12 x = 9 x 2 − 48 x + 64 = ( 3 x − 8 )
2

2

 x −1 10 − 3 x + ( 3x − 8 )
 x−2 1
5 =
5 = , (*).
6

3
Khi đó, ( 2 ) ⇔ 
⇔
 x−2
 x − 2 10 − 3x − ( 3 x − 8 )
5 = 3 − x, (**)
5 =
6


1
1
1
25
Xét phương trình (*) ⇔ 5 x − 2 = ⇔ x − 2 = log 5 ⇔ x = 2 + log5 = log 5
3
3
3
3
x−2
x −2
 f ( x) = 5
 f ′( x) = 5 ln 5 > 0
Xét phương trình (**) ⇔ 5x −2 = 3 − x. Đặt 

→
 g ( x) = 3 − x
 g ′( x) = −1 < 0
Từ đó ta được f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến.
Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của (**).
 f ( x) > f (2) = 1
Khi x > 2 
→

→ (**) vô nghiệm.
 g ( x) < g (2) = 1

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

 f ( x) < f (2) = 1
Khi x < 2 
→

→ (**) vô nghiệm.
 g ( x) > g (2) = 1

→x = 2 là nghiệm duy nhất của (**), vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = log5

(

2
2
c) 4 x + ( x 2 − 7).2 x + 12 − 4 x 2 = 0 ⇔ 4t + (t − 7).2t + 12 − 4t = 0, t = x 2 ≥ 0

Ta có ∆ = ( t − 7 ) − 4. (12 − 4t ) = t 2 − 14t + 49 − 48 + 16t = t 2 + 2t + 1 = ( t + 1)
2

)

25
; x = 2.
3

( 3)

2

 t 7 − t + ( t + 1)
2 =
 2t = 4 
→ t = 2.
2
Khi đó, ( 3) ⇔ 
⇔
t
 t 7 − t − ( t + 1)
 2 = 3 − t , (*)
2 =

2
Với t = 2 ⇔ x = ± 2.
Với 2t = 3 − t 
→ t = 1 ⇔ x = ±1.
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x = ±1; x = ± 2.

d) 4 x 2 + x.3

x

+ 31+

x

Điều kiện: x ≥ 0.

( 4 ) . ⇔ x 2 ( 4 − 2.3

(

⇔ 2−3

x

)(2x

2

x

= 2.3 x .x 2 + 2 x + 6,

) + x (3

x

)

− 2 + 6 − 31+

( 4).
x

(

= 0 ⇔ 2 x2 2 − 3

x

) − x ( 2 − 3 ) + 3( 2 − 3 ) = 0
x

x

2 − 3 x = 0
2
− x + 3 = 0 
→ 2

→ x = log 3 2 ⇔ x = ( log3 2 ) .
 2 x − x + 3 = 0 ( vno )

)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau :
a) 32 x −1 + 3x −1 ( 3 x − 7 ) + 2 − x = 0
b) 255− x − 2.55− x ( x − 2 ) + 3 − 2 x = 0
c) 9 x + 2 ( x − 2 ) .3x + 2 x − 5 = 0
Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau :
a) 32 x − 3 + ( 3 x − 10 ) .3x − 2 + 3 − x = 0
b) 3.4 x + ( 3 x − 10 ) .2 x + 3 − x = 0

(

c) 2 + 2

)

log 2 x

(

+ x. 2 − 2

)

log 2 x

= 1 + x2

HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau :
a) 32 x −1 + 3x −1 ( 3 x − 7 ) + 2 − x = 0
b) 255− x − 2.55− x ( x − 2 ) + 3 − 2 x = 0

c) 9 x + 2 ( x − 2 ) .3x + 2 x − 5 = 0

Lời giải:
a) 32 x −1 + 3x −1 ( 3 x − 7 ) + 2 − x = 0 .
x
t = 3 > 0
Ta nhân hai vế phương trình với 3 ta được 32 x + 3x ( 3 x − 7 ) + 3 ( 2 − x ) = 0 ⇔  2
t + ( 3 x − 7 ) t + 3 ( 2 − x ) = 0
t > 0
 3x = 1

x = 0

⇔
⇔  t = 6 − 3 x ⇔ 
x
x
 f ( x) = 3 + 3 x − 6 = 0
 f '( x) = 3 ln 3 + 3 > 0
 t = 1

Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0, x = 1.

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

t > 0
t = 55− x > 0

b) 25 − 2.5 ( x − 2 ) + 3 − 2 x = 0 ⇔  2
⇔  t = −1
t − 2 ( x − 2 ) t + 3 − 2 x = 0  t = 2 x − 3

5− x
5− x
5− x

⇒ 5 = 2 x − 3 ⇔ f ( x) = 5 − 2 x + 3 = 0 ⇒ f '( x) = −5 ln 5 − 2 < 0
Mặt khác f(4) = 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 4
t > 0
t = 3x > 0

x
x
c) 9 + 2 ( x − 2 ) .3 + 2 x − 5 = 0 ⇔  2
⇔  t = −1
⇔ 3x = 5 − 2 x
t + 2 ( x − 2 ) t + 2 x − 5 = 0  t = 5 − 2 x

x
x
⇔ f ( x) = 3 + 2 x − 5 = 0 → f '( x) = 3 ln 3 + 2 > 0
Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến.
Mặt khác f(1) = 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1.
5− x

5− x

Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau :
a) 32 x − 3 + ( 3 x − 10 ) .3x − 2 + 3 − x = 0
b) 3.4 x + ( 3 x − 10 ) .2 x + 3 − x = 0

(

)

c) 2 + 2

log 2 x

(

+ x. 2 − 2

)

log 2 x

= 1 + x2

Lời giải:
t = 3x − 2 > 0
a) 32 x − 3 + ( 3 x − 10 ) .3x − 2 + 3 − x = 0 ⇔ 3.32( x − 2 ) + ( 3 x − 10 ) .3x − 2 + 3 − x = 0 ⇔  2
3t + ( 3 x − 10 ) t + 3 − x = 0
t > 0

3x − 2 = 3−1
x =1
 1
⇔  t =
⇔  x−2
⇔
⇒ f '( x) = 3x − 2 ln 3 + 1 > 0
x−2

3
 f ( x) = 3 + x − 3 = 0

3 = 3 − x
 t = 3 − x

Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến. Mặt khác f(2) = 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = 2.
t > 0
x

t = 2 > 0
 2 x = 3−1
 1
b) 3.4 x + ( 3 x − 10 ) .2 x + 3 − x = 0 ⇔  2
⇔  t =
⇔ x

3
 2 = 3 − x
3t + ( 3 x − 10 ) .t + 3 − x = 0
 t = 3 − x

 x = − log 2 3
⇔
⇒ f '( x) = 2 x ln 2 + 1 > 0
x
 f ( x) = 2 + x − 3 = 0
Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến. Mặt khác f(1) = 0 nên f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1.
Vậy chứng tỏ phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = − log 2 3.

(

c) 2 + 2

Vì

)

log2 x

(2 + 2 )

(

+ x. 2 − 2

log 2 x

(

. 2− 2

)

)

log2 x

log 2 x

=1+ x2 .

(

= 2log2 x = x ⇒ 2 − 2

(

)

)

log 2 x

=

x

(2 + 2 )

log 2 x

(
(

t = 2 + 2 log2 x > 0
 2+ 2

t = 1
t > 0

Khi đó, phương trình đã cho trở thành : 
⇔ 2
⇔

⇔
2
2
2
2
x
t
−
1
+
x
t
+
x
=
0
( )
t = x
t + − (1 + x2 ) = 0 
 2 + 2

t
 log 2 x = 0
x =1
⇒
⇔
↔ x =1
 log 2 x 2 + 2 = 2 log 2 x
 2 log 2 x = 0

(

)
)

log2 x

=1

log2 x

= x2

)

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!