08 bai toan lap pt mat phang p3 pros(2016)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

08. BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – P3
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

DẠNG 4. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG DẠNG ĐOẠN CHẮN
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho điểm A(3; 0; 0) và điểm M(0; 2; –1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, M
1
sao cho (α) cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho VOABC = , với O là gốc tọa độ.
2
x y z
Đ/s: ( ABC ) : + + = 1
3 1 1

Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho điểm A(–1; 0; 0) và mặt phẳng (P): x + 2y + 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi
3
qua A, vuông góc với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho S ABC = .
2
y z
+ =1
2 1
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z − 5 = 0 . Viết phương trình (Q) chứa đường
125
∆ = ( P) ∩ ( xOy ) và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho VOABC =
36

Đ/s: ( ABC ) : − x +

Đ/s: ( ABC ) : 2 x − y + 3z − 5 = 0; 2 x − y − 3z − 5 = 0
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hai điểm M (1; 2;1) , N ( −1;0; −1) . Viết (P) đi qua M, N và cắt các trục Ox, Oy theo
thứ tự tại A, B (khác O) sao cho AM = 3BN .

Đ/s: ( P ) : x + 3 y − 4 z − 3 = 0
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hai điểm M (1;9; 4 ) . Viết (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ theo thứ tự tại A, B, C
(khác O) sao cho 8OA = 120 B + 16 = 37OC , với xA > 0; zC < 0.

Đ/s: ( P ) : 8 x + 20 y − 37 z − 40 = 0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1: [ĐVH]. Cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − 1 = 0;(Q ) : 2 x − y + 2 z − 2 = 0 . Gọi ∆ = ( P) ∩ ( Q ) . Lập
phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho VOABC = 1

Đ/s: ( ABC ) :12 x ± 3 y + 8 z − 12 = 0
Lời giải:
Ta có: M ( 0;0;1) , N (1; 0;0 ) ∈ ∆ ⇒ M , N ∈ (α )
Giả sử A ( a; 0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0; 0; c )( abc ≠ 0 ) ⇒ (α ) :

x y z
+ + =1
a b c

M , N ∈ (α ) ⇒ a = c = 1
VOABC = 1 ⇒

1
y
abc = 1 ⇒ b = 6 ⇒ (α ) : x + + z = 1
6

6

Câu 2: [ĐVH]. Cho điểm A(0; 3; 0) và điểm M(4; 0; –3). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, M
sao cho (α) cắt các trục Ox, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho VOABC = 3 , với O là gốc tọa độ.
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Lời giải:
x y z
Giả sử B ( b; 0;0 ) , C ( 0;0; c )( bc ≠ 0 ) ⇒ (α ) : + + = 1
b 3 c
4 3

3
− =1

x y 2z
x y z
 b = −4; c = −
b c
+ −
= 1; + + = 1
2 ⇒ ( ABC ) :
⇒

1

−4 1 3
2 3 3
= 3 ⇒ 3 bc = 3 ⇒ bc = 6  b = 2; c = 3

6


M ∈ (α ) ⇒
VOABC

Câu 3: [ĐVH]. Cho điểm M(1; 2; 3), viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M sao cho (α) cắt các trục
1
1
1
+
+
nhỏ nhất, với O là gốc tọa độ.
Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho
2
2
OA OB OC 2
Đ/s: ( ABC ) : x + 2 y + 3z − 14 = 0
Lời giải:
x y z
Giả sử: A ( a; 0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0; 0; c )( abc ≠ 0 ) ⇒ (α ) : + + = 1
a b c
M ∈ (α ) ⇒
Ta có:

1 2 3

+ + =1
a b c

1
1
1
1
1 1
+
+
= 2+ 2+ 2
2
2
2
OA OB OC
a
b
c

1
1
1 1
+ 2≥ . 
2
7 a
a 14
1
1 1 2 
1
1 1

1
Do: 2 + 2 ≥ .  ⇒ 2 + 2 + 2 ≥
7 b  a
14
b
7
b
c
2
1 3
1 3
+ 2≥ . 
2
7 c
c 14


a = 14

Dấu bằng xảy ra khi b = 7 ⇒ ( ABC ) : x + 2 y + 3 z − 14 = 0
 14
c =
3

Câu 4: [ĐVH]. Cho điểm A(0; 2; 0) và điểm M(1; 2; –2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, M
5
sao cho (α) cắt các trục Ox, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho VOABC = , với O là gốc tọa độ.
6
x y z
Đ/s: ( ABC ) : + + = 1

3 1 1
Lời giải:
x y z
Giả sử B ( b; 0;0 ) , C ( 0;0; c )( bc ≠ 0 ) ⇒ (α ) : + + = 1
b 2 c
1
2

+ 1 − = 1 ⇒ c = 2b 
5
x
y z

b
c
; c = 5 ⇒ (α ) :
+ +
=1
⇒b =
5
1
5
2
5 2
5

= ⇒ 2bc = ⇒ 2bc = 5

6
6

6
2

M ∈ (α ) ⇒
VOABC

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Câu 5: [ĐVH]. Cho điểm A(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x – y + z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi
qua A, vuông góc với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho S ABC = 6
Đ/s: ( ABC ) : x + 2 y + z − 2 = 0
Lời giải:
x y z
Giả sử B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c )( bc ≠ 0 ) ⇒ ( ABC ) : + + = 1
2 b c
1
1
1
1 1 1
c −b 1
Do ( P ) ⊥ ( ABC ) ⇒ .1 + . ( −1) + 1. = 0 ⇔ − = ⇒
= (1)
2
b
c

b c 2
bc
2
Ta lại có: AB = ( −2; b; 0 ) , AC = ( −2;0; c ) ⇒  AB; AC  = ( 0; 2c; 2b )
1
 AB; AC  = b 2 + c 2 = 6 ⇒ b 2 + c 2 = 6 ⇔ ( c − b )2 + 2bc = 6 ( 2 )

2
Từ đó ta có: ( ABC ) : x + 2 y + z − 2 = 0
S ABC =

Câu 6: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(0;0;3), M(1;2;0). Viết phương trình mặt
phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường
thẳng AM.
Lời giải:
Gọi B là giao điểm của mặt phẳng với Ox, B(b; 0; 0).
C là giao điểm của mặt phẳng với Oy, C(0; c; 0).
x y z
b c 
Khi đó, phương trình mặt phẳng có dạng + + = 1 và trọng tâm tam giác ABC là : G  ; ;1
b c 3
3 3 
x y z −3
Ta có AM = (1; 2; −3) , suy ra phương trình đường thẳng AM : = =
1 2
−3
b c −2
Vì G ∈ AM nên = =
⇒ b = −2, c = −4
3 6 3

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là 6 x + 3 y − 4 z + 12 = 0.
Câu 7: [ĐVH]. Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho điểm I (1;1;1) . Viết phương
trình mặt phẳng (P) qua I cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho I là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC.
Lời giải:
Giả sử A(a; 0; 0), B(b; 0; 0), C(c; 0; 0), với abc ≠ 0
x y z
1 1 1
⇒ Phương trình mặt phẳng (P) là: + + = 1 . (P) qua I nên + + = 1 (1)
a b c
a b c
Mà IA = IB = IC nên ( a − 1) + 1 + 1 = 1 + ( b − 1) + 1 = 1 + 1 + ( c − 1) ⇔ ( a − 1) = ( b − 1) = ( c − 1)
2

2

2

2

2

2

b = a − 2
c = 2 − a
⇔ a = b = c hoặc 
hoặc 
hoặc b = c = 2 − a
c = a

b = a
Với a = b = c thay vào (1) ta được a = b = c = 3. Khi đó pt (P): x + y + z = 3
b = a − 2
c = 2 − a
2
1
V ới 
hoặc 
thay vào (1) ta được +
= 1 ⇔ a 2 − 3a + 4 = 0 (VN)
a 2−a
c = a
b = a
1
2
Với b = c = 2 − a thay vào (1) ta được +
= 1 ⇔ a 2 − a + 2 = 0 (VN)
a 2−a
Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: x + y + z = 3

Câu 8: [ĐVH]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C
sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Lời giải:

• Giả sử mặt phẳng cần lập cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Do mặt phẳng cắt
các tia nên ta có a, b, c > 0
x y z
Phương trình mặt chắn ( P ) : + + = 1.
a b c
2 2 2
1 1 1 1
• Do M ∈ ( P ) 
→ + + =1⇔ + + =
a b c
a b c 2
1
Ta có OA = a; OB = b; OC = c 
→VOABC = abc
6
1 1 1
3
1
3
• Do a, b, c là ba số dương nên ta có + + ≥ 3
⇔ ≥3
⇔ 3 abc ≥ 6 ⇔ abc ≥ 216
a b c
2
abc
abc
1

→VOABC ≥ .216 = 36 ⇒ Vmin = 36 ⇔ a = b = c = 6 , từ đó ta được phương trình (P): x + y + z – 6 = 0
6

Câu 9: [ĐVH]. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt
phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK
Lời giải:
x y z
Gọi I(a; 0; 0), J(0; b; 0), K(0; 0; c) với a, b,c đều khác 0 ⇒ (P ) : + + = 1
a b c
Ta có:

IA = (4 − a;5; 6),
JK = (0; −b; c ),

JA = (4;5 − b; 6)
IK = (− a; 0; c )


77
4 5 6
a = 4
+
+
=
1
a b c

77
⇒ −5b + 6c = 0 ⇒ .................................................. b =
5

−4a + 6c = 0
77

c =

6

KL: PT mặt phẳng cần tìm là: 4x + 5y + 6z - 77 = 0

Câu 10: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4;0;0) và M(6;3;1). Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua A và M sao cho (P) cắt ba trục Oy, Oz lần lượt tại B, C và thể tích tứ diện
OABC bằng 4.
Lời giải:
Đặt B(0; b; 0) và C(0; 0; c) lần lượt là giao điểm giữa mặt phẳng (P) với Oy, Oz.
x y z
Do (P) qua A(4; 0; 0) ⇒ (P) là mặt phẳng chắn ba trục tọa độ ⇒ (P): + + = 1 (*) (b, c ≠ 0)
4 b c
3 3 1
3 1 -1
-bc
Mặt phẳng (P) qua (6; 3; 1) ⇒ + + = 1 ⇒ + = ⇒ 3c + b =
(1)
2 b c
b c 2
2
1  → → → 
bc = 6
VOABC = OA; OB. OC = 4 ⇔ |bc| = 6 ⇔ bc = -6


6

(1)

Với bc = 6 ⇒ 3c + b = -3 ⇒ b = - 3c - 3 = -3(c + 1)
Do đó (c + 1)c = -2 ⇔ c2 + c + 2 = 0 (vô nghiệm)
(1)
Với bc = -6 ⇒ 3c + b = 3 ⇒ b = 3 - 3c = 3(1 - c)

c = 2 ⇒ b = -3
Do đó (1 - c)c = -2 ⇔ c2 - c - 2 = 0 ⇔ 
c = -1⇒ b = 6
Vậy có hai phương trình (P) thỏa yêu cầu bài toán là (P1):

x y z
x y z
+ + = 1 hay (P2): + + = 1
4 -3 2
4 6 -1

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Câu 11: [ĐVH]. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng
( P ) : x − y − z + 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) biết rằng
mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy, Oz lần lượt tại điểm phân biệt M và N sao cho OM = ON.
Lời giải:
Giả sử nQ là một vecto pháp tuyến của (Q). Khi đó nQ ⊥ nP (1; −1; −1)
Mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy và Oz tại M ( 0; a;0 ) , N ( 0;0; b ) phân biệt sao cho OM = ON nên
a = b ≠ 0

a = b ⇔
 a = −b ≠ 0
Nếu a = b thì MN = ( 0; − a; a ) // u ( 0; −1;1) và nQ ⊥ u nên nQ = u , nP  = ( 2;1;1) .
Khi đó mặt phẳng (Q): 2 x + y + z − 2 = 0 và ( Q ) cắt Oy, Oz tại M ( 0; 2;0 ) và N ( 0;0; 2 ) (thỏa mãn)
Nếu a = −b thì MN = ( 0; − a; − a ) // u ( 0;1;1) và nQ ⊥ u nên nQ = u , nP  = ( 0;1; −1) .
Khi đó mặt phẳng (Q ) : y − z = 0
(Q) cắt Oy, Oz tại M ( 0;0;0 ) và N ( 0;0;0 ) (loại). Vậy ( Q ) : 2 x + y + z − 2 = 0 là mặt phẳng cần lập.
Câu 12: [ĐVH]. Trong không gian tọa độ cho A ( 4;0;0 ) và M ( 2; 2; 2 ) . Mặt phẳng ( P ) qua AM cắt các

tia Oy, Oz lần lượt tại B và C. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) biết diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.
Lời giải:
x y z
Gọi B ( 0; b;0 ) , C ( 0; 0; c ) với ( b, c > 0 ) . Phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng: + + = 1
4 b c
1 2 2
Do M ∈ ( P ) ⇒ 4 ( b + c ) = bc . Khi đó AB ( −4; b; 0 ) , AC ( −4;0; c ) ⇒ S ABC =
b c + 16 b 2 + c 2
2
1
2
⇔ S ABC =
2 ( bc ) + 32bc
2
Mặt khác ta có: bc = 4 ( b + c ) ≥ 8 bc ⇒ bc ≥ 64 ⇒ S ABC ≥ 16 10

(

)

x y z

Vậy diện tích tam giác ABC nhỏ nhất b = c = 8 . ⇒ ( P ) : + + = 1
4 8 8

Câu 13: [ĐVH]. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm

A ( −2; 2; −2 ) và đường thẳng

x y −1 z + 2
=
=
. Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A song song với d và cắt các trục Ox,Oy,Oz
2
1
1
lần lượt tại M ,N ,P khác O sao cho ON = 2OP .
Lời giải:
 b = 2c
+) Gọi M ( a; 0;0 ) , N ( 0; b; 0 ) , P ( 0;0; c ) ta có: b = 2 c ⇔ 
 b = −2 c
x y z
+) Phương trình mặt phẳng ( P ) : + + = 1
a b c
2
1
1

d / / ( P )  a + b + c = 0
+) 
⇒
 A ∈ ( P )

 −2 + 2 − 2 = 1
 a b c
d:

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

−2
2 3

 a + b = 0
a = 3
−3 x
• TH1: b = 2c ⇒ 
⇔
⇒ ( P) :
+ y + 2z = 1
2
 −2 − 2 = 1 b = 1 ⇒ c = 1

 a b
2
2 1
a − b = 0

x y 2z

⇒ (P) : + −
=1
• TH2: b = −2c ⇒ 
a = 10
10 5 5
 −2 + 6 = 1 ⇔ 
−5
a b
b = 5 ⇒ c = 2

−3 x
x y 2z
Vậy ( P ) :
+ y + 2z = 1 , ( P) : + −
= 1.
2
10 5 5
Câu 14: [ĐVH]. Trong không gian tọa độ , viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm M (1; 4;1) và
1
1
1
+
+
đạt giá trị nhỏ nhất.
2
2
OA OB OC 2
Lời giải:
+) Gọi A ( a;0; 0 ) , B ( 0; b; 0 ) , C ( 0;0; c ) với ( a, b, c > 0 ) . Phương trình mặt phẳng ( P ) có
cắt các tia Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C sao cho

x y z
+ + =1
a b c
1 4 1
1
1
1
1
1 1
+) M ∈ ( P ) ⇒ + + = 1 . Xét F =
+
+
= 2+ 2+ 2
2
2
2
a b c
OA OB OC
a b
c

dạng:

(

)

2

1 1
1
 1
 1 4 1
+) Mặt khác ta có:  2 + 2 + 2  12 + 42 + 12 ≥  + +  ⇒ F ≥
18
b c 
a
a b c
1 4 1
 a + b + c = 1 
9
+) Dấu bằng xảy ra ⇔ 
⇔ b = , a = c = 18
2

1 = 1 = 1
 a 4b c
x 2y z
Vậy ( P ) : +
+ =1
18 9 18
1
1
1
1
1
Cách 2: Ta có
+
+

=
≥
(với H là trực tâm tam giác ABC)
2
2
2
2
OA OB
OC
OH
OM 2
Dấu bằng xảy ra ⇔ OH = OM ⇒ OH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( P ) : x + 4 y + z − 18 = 0

Chương trình Luyện thi PRO–S: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!