05 dat an khong hoan toan giai pt (1)

Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

ĐẶT ẨN PHỤ KHÔNG HOÀN TOÀN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1: Giải phương trình 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 = x ( 2 x + 3) x 2 +
Câu 2: Giải phương trình

( x + 3)

1
x

3x + 2 = x 2 − 3x − 2 .

Câu 3: Giải phương trình 2 ( 2 x 2 + 3x + 3) = ( x 2 + 7 x ) x +

3
x

Câu 4: Giải phương trình 2 ( x 3 − 4 x ) − 3 ( x − 1) x 3 − x + 1 = 0
Câu 5: Giải phương trình x 2 − 3 x − 4 = ( x 2 − 4 x − 2 ) x − 1

( x ∈ R)

Câu 6: Giải phương trình 2 x 2 ( x − 1) + x = ( x − 1) 2 x ( x 2 − x + 2 ) + 6 trên tập số thực.
Câu 7: Giải phương trình

x3 + 6 x 2 − 7 x + 4

=
x3 − 2

5x − 1
x3 + 3 + 1

trên tập số thực.

Câu 8: Giải phương trình 2 2 − x − x + 3 1 − ( x − 1) = 4 − x

( x ∈ R)

2

Câu 9: Giải phương trình

( 4 x − 5)

x 2 − 2 x + 2 = 2 x 2 − 2 x + 1.

Câu 10: Giải phương trình 2 x 2 + 2 x − 6 = ( 3 x − 1) 5 x − 4.

LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP
Câu 1: Giải phương trình 2 x 3 + 3 x 2 + 2 x + 1 = x ( 2 x + 3) x 2 +

1
x

Lời giải:
 2 1

x + ≥ 0
Điều kiện: 
x
 x ≠ 0
Phương trình tương đương
1
1
1
1

2 x 2 + 3 x + 2 + = ( 2 x + 3) x 2 + ⇔  x 2 +  − ( 2 x + 3) x 2 + + x 2 + 3 x + 2 = 0
x
x
x
x

1
Đặt t = x 2 + ⇒ t 2 − ( 2 x + 3) t + x 2 + 3x + 2 = 0
x
 2x + 3 + 1
= x+2
t =
2
2
2
Ta có ∆ = ( 2 x + 3) − 4 ( x + 3 x + 2 ) = 1 ⇒ 
t = 2 x + 3 − 1 = x + 1

2
• TH1: t = x + 2 ⇔


−1 − 2
x=
 x ≥ −2

x
≥
−
2

1

2
x2 + = x + 2 ⇔  2 1
⇔ 2
⇒
2
x
−1 + 2
4 x + 4 x − 1 = 0 
 x + x = x + 4 x + 4
x =

2

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

• TH2: t = x + 1 ⇔

Facebook: Lyhung95

 x ≥ −1
 x ≥ −1
1

x + = x +1 ⇔  2 1
⇔
⇔

2
2
x
2 x + x − 1 = 0
 x + x = x + 2 x + 1
2

Vậy phương trình có nghiệm x =

Câu 2: Giải phương trình

( x + 3)

 x = −1

1
x =


2

1
−1 − 2
−1 + 2
,x =
, x = −1, x =
2
2
2
3x + 2 = x 2 − 3x − 2 .

Lời giải:
2
ĐK: x ≥ − . Khi đó ta có: PT ⇔ 2 ( 3 x + 2 ) + ( x + 3 ) 3 x + 2 − x 2 − 3 x − 2 = 0
3
Đặt t = 3 x + 2 ( t ≥ 0 ) ta có: 2t 2 + ( x + 3) t − x 2 − 3x − 2 = 0

Khi đó ta có: ∆ = ( x + 3) + 8 ( x 2 + 3x + 2 ) = 9 x 2 + 30 x + 25 = ( 3x + 5 )
2

2

− x − 3 + 3x + 5 x + 1

=
(1)
 3x + 2 = t =
4
2

Do vậy 
 3x + 2 = t = − x − 3 − 3x − 5 = − x − 2 ( 2 )

4
2
+) Với x ≥ − ⇒ ( 2 ) vô nghiệm
3
x +1
+) Với 3 x + 2 =
⇔ 4 ( 3 x + 2 ) = x 2 + 2 x + 1 ⇔ x 2 − 10 x − 7 = 0 ⇔ x = 5 ± 4 2.
2
Kết hợp ĐK: Vậy x = 5 ± 4 2 là giá trị cần tìm.

Câu 3: Giải phương trình 2 ( 2 x 2 + 3x + 3) = ( x 2 + 7 x ) x +

3
x

Lời giải:
3
3
3
3


ĐK: x > 0 . Khi đó PT ⇔ 2  2 x + 3 +  = ( x + 7 ) x + ⇔ 2  x +  − ( x + 7 ) x + + 2 x + 6 = 0 .
x
x
x
x



Đặt t = x +

3
x

(t ≥ 0)

ta có: 2t 2 − ( x + 7 ) t + 2 x + 6 = 0 .

 x + 7 + x −1 x + 3
=
t =
2
2
4
2
2
Khi đó: ∆ = ( x + 7 ) − 16 ( x + 3) = x − 2 x + 1 = ( x − 1) .Do đó: 
t = x + 7 − x + 1 = 2

4

3 x+3
x2 + 3 x2 + 6 x + 9
=
⇔
=
⇔ x3 + 2 x 2 + 9 x − 12 = 0 ⇔ x = 1.

x
2
x
4
x = 1
3
+) Với t = 2 ta có: x + = 2 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ 
( tm )
x
x = 3
Kết hợp ĐK: Vậy nghiệm của PT là: x = 1; x = 3 .
+) Với t =

x+3
ta có:
2

x+

Câu 4: Giải phương trình 2 ( x 3 − 4 x ) − 3 ( x − 1) x 3 − x + 1 = 0
Lời giải:

ĐK: x − x + 1 ≥ 0 ta có: PT ⇔ 2 ( x − x + 1) − 3 ( x − 1) x3 − x + 1 − 6 x − 2 = 0
3

3

( t ≥ 0 ) ta có: 2t 2 − 3 ( x − 1) t − 6 x − 2 = 0
2
2

∆ = 9 ( x − 1) + 16 ( 3 x + 1) = 9 x 2 + 30t + 25 = ( 3 x + 5 ) .

Đặt t = x3 − x + 1
Khi đó:

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

 3x − 3 + 3 x + 5 3 x + 1
=
t =
4
2
Do vậy ta có: 
t = 3 x − 3 − 3 x − 5 = −2 ( loai )

4
1

x = 3
3x + 1
x ≥ −
3
Với t =
ta có: 2 x − x + 1 = 3 x + 1 ⇔ 
⇔

3
1
x =
2
4 x3 − 9 x 2 − 10 x + 3 = 0

4

1
Vậy nghiệm của PT là: x = 3; x = .
4
Câu 5: Giải phương trình x 2 − 3 x − 4 = ( x 2 − 4 x − 2 ) x − 1

( x ∈ R)

Lời giải
Điều kiện: x ≥ 1 , phương trình đã cho tương đương
( x 2 − 4 x − 2 ) + ( x − 1) − 1 = ( x2 − 4 x − 2 ) x − 1
⇔
Ta có: ∆

(

)

x − 1 − ( x2 − 4 x − 2) x − 1 + x2 − 4 x − 3 = 0
2

= ( x 2 − 4 x − 2 ) − 4 ( x 2 − 4 x − 3) = ( x 2 − 4 x − 3) − 2 ( x 2 − 4 x − 3) + 1 = ( x 2 − 4 x − 4 ) ≥ 0 nên
2

x −1

2

2

phương trình trên có hai nghiệm theo ẩn x − 1 là
x2 − 4 x − 2 − x2 + 4 x + 4
x2 − 4 x − 2 + x2 − 4 x − 4
x −1 =
= 1 hoặc x − 1 =
= x 2 − 4 x − 3 , do đó
2
2
• Với x − 1 = 1 suy ra x − 1 = 1 ⇔ x − 1 = 1 ⇔ x = 2
1


• Với x − 1 = x 2 − 4 x − 3 suy ra x − 1 − 2 = x 2 − 4 x − 5 ⇔ ( x − 5 ) 
− x − 1 = 0 ⇔ x = 5
 x −1 + 2

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm: x = 2; x = 5 .

Câu 6: Giải phương trình 2 x 2 ( x − 1) + x = ( x − 1) 2 x ( x 2 − x + 2 ) + 6 trên tập số thực.
Lời giải
Điều kiện: x ≥ 0 , phương trình đã cho được viết lại thành:

2 x 3 − 2 x 2 + x − 6 = ( x − 1) 2 x3 − 2 x 2 + 4 x

( ∗)

Đặt t = 2 x 3 − 2 x 2 + 4 x ≥ 0 ⇔ 2 x3 − 2 x 2 + 4 x = t 2 ⇔ 2 x3 − 2 x 2 + x = t 2 − 3x , khi đó phương trình ( ∗) trở
thành
t 2 − 3x − 6 = ( x − 1) t ⇔ t 2 − ( x − 1) t − ( 3x + 6 ) = 0
( ∗ ∗)
Ta có: ∆ (∗∗) = ( x − 1) + 4 ( 3 x + 6 ) = x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5 ) ≥ 0 nên ( ∗∗) có hai nghiệm theo ẩn t là
2

2

x −1+ x + 5
x −1− x − 5
= x + 2 hoặc t =
= −3 mà t ≥ 0 do đó suy ra
2
2
x ≥ 0
t = x + 2 ⇔ 2 x3 − 2 x 2 + 4 x = x + 2 ⇔  3
⇔x=2
2
2 x − 3x − 4 = 0
Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
t=

x3 + 6 x 2 − 7 x + 4
Câu 7: Giải phương trình
=
x3 − 2

Điều kiện: x ≠ 3 2 , nhận thấy x =

5x − 1

trên tập số thực.
x3 + 3 + 1
Lời giải

1
không là nghiệm của phương trình nên phương trình ban đầu trở thành
5

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

x3 + 6 x2 − 7 x + 4
=
5x − 1

x3 − 2

(x

3

+ 3) − 1

= x3 + 3 − 1

x + 3 +1
x + 6x − 7 x + 4
x3 + 6 x2 − 2 x + 3
3
⇔
+1 = x + 3 ⇔
= x3 + 3
5x − 1
5x − 1
3

x + 3 +1

=

Facebook: Lyhung95

3

3

2

( ∗)

Đặt t = x3 + 3 ≥ 0 ⇔ x3 + 3 = t 2 , khi đó phương trình ( ∗) tương đương

Ta có: ∆ (∗∗)

t 2 + 6 x2 − 2 x
= t ⇔ t 2 − ( 5 x − 1) t + 6 x 2 − 2 x = 0
( ∗ ∗)
5x − 1
2
2
= ( 5 x − 1) − 4 ( 6 x 2 − 2 x ) = x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1) ≥ 0 , nên có hai nghiệm theo ẩn t là

5x − 1 + x − 1
5x − 1 − x + 1
= 3 x − 1 hoặc t =
= 2 x , do đó:
2
2
1

x = 1
x ≥
3
Với t = 3 x − 1 suy ra 3 x − 1 = x + 3 ⇔ 
⇔
3
x = 4 + 3 2
 x3 − 9 x 2 + 6 x + 2 = 0

t=

x = 1
x ≥ 0

Với t = 2 x suy ra 2 x = x + 3 ⇔  3
⇔
.
2
 x = 3 + 21
x
−
4
x
+
3
=
0


2
3 + 21
; x = 4+3 2
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: x = 1; x =
2
3

Câu 8: Giải phương trình 2 2 − x − x + 3 1 − ( x − 1) = 4 − x

( x ∈ R)

2

Lời giải
Điều kiện: 2 ≥ x ≥ 0 , phương trình đã cho tương đương x − 4 + 2 2 − x − x + 3 x ( 2 − x ) = 0

Ta thấy: 4 − x = α

(

2−x

)

2

+β

( x)

2

α = 2
= 2α + ( β − α ) x ⇔ 
do đó phương trình trên được viết lại
β = 1

thành

x + 2( 2 − x) − 2 2 − x + x − 3 x ( 2 − x) = 0

(

)

Đặt t = 2 − x ≥ 0 , khi đó ( ∗) tương đương 2t 2 − 3 x + 2 t + x + x = 0

(

)

2

(

)

Ta có: ∆ (∗∗) = 3 x + 2 − 8 x + x = x + 4 x + 4 =

(

x +2

)

2

( ∗)
( ∗ ∗)

≥ 0 , nên có hai nghiệm theo ẩn t là

3 x +2+ x +2
3 x +2− x −2
x
= x + 1 hoặc t =

=
, do đó:
4
4
2
Với t = x + 1 suy ra

 1
4+3 2
 x ∈ 0; 
2 − x = x + 1 ⇔ 2 − x = x + 1 + 2 x ⇔ 1 − 2x = 2 x ⇔ 
⇔x=
 2
4
4 x 2 − 8 x + 1 = 0

x
8
suy ra 2 2 − x = x ⇔ 4 ( 2 − x ) = x ⇔ x =
Với t =
2
5
8
4+3 2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = ; x =
5
4
t=

Câu 9: Giải phương trình

( 4 x − 5)

x 2 − 2 x + 2 = 2 x 2 − 2 x + 1.
Lời giải

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

ĐK: x 2 − 2 x + 2 ≥ 0 ⇔ ( x − 1) + 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ (*) .
2

Đặt

x 2 − 2 x + 2 = t ( t ≥ 0 ) ⇒ 2 x 2 − 2 x + 1 = 2 ( x 2 − 2 x + 2 ) + 2 x − 3 = 2t 2 + 2 x − 3.

Khi đó (1) trở thành ( 4 x − 5 ) t = 2t 2 + 2 x − 3 ⇔ 2t 2 − ( 4 x − 5 ) t + 2 x − 3 = 0

(2)

Coi (2) là PT bậc hai với t là ẩn số và x là tham số ta có

∆ = ( 4 x − 5 ) − 8 ( 2 x − 3) = 16 x 2 − 56 x + 49 = ( 4 x − 7 ) ≥ 0.
2

2

 4x − 5 − ( 4x − 7) 1
=
t =
4
2

Do đó ( 2 ) ⇔
 4x − 5 + ( 4x − 7)
= 2x − 3
t =

4
1
1
2
⇒ x 2 − 2 x + 2 = ⇔ 4 ( x 2 − 2 x + 2 ) = 1 ⇔ 4 ( x − 1) + 3 = 0. PT vô nghiệm.
2
2

•

TH1. t =

•

TH2. t = 2 x − 3 ⇒ x 2 − 2 x + 2 = 2 x − 3

3


x≥

3

3
2


7
x ≥ 2
x ≥
⇔
⇔
⇔   x = 1 ⇔ x = . Đã thỏa mãn (*).
2
3
 x 2 − 2 x + 2 = ( 2 x − 3) 2
3 x 2 − 10 x + 7 = 0

7


 x =
3

7
Đ/s: x = .
3

Câu 10: Giải phương trình 2 x 2 + 2 x − 6 = ( 3 x − 1) 5 x − 4.

Lời giải
ĐK: x ≥

4
(*) . Đặt
5

5 x − 4 = t ( t ≥ 0 ) ⇒ 2 x − 6 = t 2 − 3 x − 2.

Khi đó (1) trở thành 2 x 2 + t 2 − 3x − 2 = ( 3x − 1) t ⇔ t 2 − ( 3x − 1) t + 2 x 2 − 3x − 2 = 0

(2)

Coi (2) là PT bậc hai với t là ẩn số và x là tham số ta có

∆ = ( 3 x − 1) − 4 ( 2 x 2 − 3x − 2 ) = x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3) ≥ 0.
2

2

 3 x − 1 − ( x + 3)
= x−2
t =
2
Do đó ( 2 ) ⇔ 
 3 x − 1 + ( x + 3)
= 2x +1
t =

2

•

TH1. t = x − 2 ⇒ 5 x − 4 = x − 2

x ≥ 2
 x ≥ 2
x ≥ 2

⇔
⇔   x = 1 ⇔ x = 8. Đã thỏa mãn (*).
2 ⇔  2
x
−
9
x
+
8
=
0
5
x
−
4
=
x
−
2
(
)



 x = 8

•

TH2. t = 2 x + 1 ⇒ 5 x − 4 = 2 x + 1
Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!


Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: Lyhung95

1

1
x≥−

1


2
x ≥ − 2
x ≥ −

(Vô nghiệm).
⇔
⇔
⇔
2

2
5 x − 4 = ( 2 x + 1)2
4 x 2 − x + 5 = 0
3 x 2 +  x − 1  + 19 = 0





2
4


Đ/s: x = 8.

Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!