hoctoancapba.com-cac dang toan viet phuong trinh mat phang

Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz

hoctoancapba.com

MỤC LỤC
Viết PT mp đi qua A và có VTPT n .
Viết pt mp (P) đi qua Avà // mp (Q).
Viết pt mp(P) đi qua Avà vuông góc với đường thẳng (d).
Viết pt mp (P) đi qua A và vuông góc với 2 mp(Q) , mp(R).
Viết pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng .
Viết pt mp (P) đi qua A,B và vuông góc mp (Q).
Viết pt mp (P) đi qua A ;vuông góc mp(Q) và song song với dt (d).
Viết pt mp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt nhau.
Viết pt mp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song nhau.
Viết pt mp (P) là trung trực của AB.
Viết pt mp (P) chứa (d) và đi qua A.
Viết pt mp (P) chứa (d) và song song dt (d’).
Viết pt mp(P) chứa (d) và vuông (Q).
Viết pt mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h.
Viết pt mp (P) chứa (d) và d(A,(P))=h.
Viết pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc   900.
Viết pt mp (P) chứa (d) và hợp với (  )một góc   900.
Cho A và (d), viết pt mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất.
Viết pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Viết pt mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là
đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi) cho trước..
Dạng 21: Viết pt mp (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Dạng 22: Viết pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến làđường
tròn (C) có bán kính r (hoặc diện tích , chu vi cho trước).
Dạng 23: Viết pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường
trịn (C)có bán kính nhỏ nhất.

Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
Dạng 4:
Dạng 5:
Dạng 6:
Dạng 7:
Daïng 8:
Daïng 9:
Daïng 10:
Daïng 11:
Daïng 12:
Daïng 13:
Daïng 14:
Daïng 15:
Daïng 16:
Daïng 17:
Daïng 18:
Daïng 19:
Daïng 20:

B. PHẦN NỘI DUNG
I/Các kiến thức cơ bản:
Trước tiên học sinh phải nắm thật kĩ các kiến thức cơ bản sau:
+ Sự liên hệ giữa cặp vectơ chỉ phương (VTCP) và vectơ pháp tuyến (VTPT):
mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương a; b và vectơ pháp tuyến n thì n =[ a; b ]
+ Phương trình mặt phẳng (P) đi qua một điểm M0 (x0; y0; z0 ) và có một vectơ
pháp tuyến n  ( A; B; C) phương trinh mặt phẳng (P) : A( x  x0 )  B(y  y0 )  C(z  z0 )  0
+ Phương trình mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 (A2 +B2 +C2  0)
Để viết phương trình của mặt ta sử dụng một trong hai cách sau:

+ Biết một điểm M0 (x0; y0; z0 ) vả một vectơ pháp tuyến n  ( A; B; C) ta sử dụng
công thức: () : A( x  x0 )  B(y  y0 )  C(z  z0 )  0
Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 1 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz

hoctoancapba.com

+ Phương trình mặt phẳng (P): Ax  By  Cz  D  0 (A2 +B2 +C2  0) dựa vào giả
thiết của bài toán chúng ta xác định các hệ số A; B; C; D.
II/ Các dạng viết phương trình mặt phẳng thường gặp:
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M0 ( x0; y0; z0 ) và một

vectơ pháp tuyến n  ( A; B; C)
+Cách 1: (P) : A(x  x 0 )  B(y  y 0 )  C(z  z0 )  0
+ Cách 2: (P): Ax  By  Cz  D  0 ; M 0  (P)  D trả lời phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M0 (2;3;1) và vng góc với đường thẳng đi qua hai điểm A(3;1; 2) : B(4; 3;1)
Giải:
- VTPT n  AB  (1; 4;3)
- Cách 1: (P): 1( x  2)  4(y  3)  3(z  1)  0  ( P) : x  4y  3z  11  0
- Cách 2: (P): x  4y  3z  D  0 ; M0 (2;3;1)  (P)  D  11
 (P): x  4y  3z  11  0
Daïng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M0 ( x0; y0; z0 ) và song
song với mặt phẳng (Q) : Ax  By  Cz  D  0 .

+Cách 1: (P)//(Q)  VTPTn( P)  VTPTn(Q)  ( A; B; C)
(P) : A(x  x 0 )  B(y  y 0 )  C(z  z0 )  0

+ Cách 2: (P) // (Q)  (P) : Ax  By  Cz  D '  0(D '  D) ; M0  ()  D '
 phương trình mp (P).
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M0 (2;3;1) và song song với mặt phẳng (Q): 4x  2y  3z  5  0
Giải:
+ Cách 1: (P) // (Q)  VTPTn( P)  VTPTn(Q)  (4; 2;3)
(P) : 4(x  2)  2(y  3)  3(z  1)  0
 (P) : 4x  2y  3z  11  0
+ Cách 2: ( P) // (Q)  ( P) : 4x-2y  3z  D  0(D  5)

M0 (2;3;1)  ( P)  D  11  ( P) : 4x-2y  3z  11  0
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P)đi qua điểm M0 ( x0; y0; z0 ) và vng

góc với đường thẳng(d)
+ (P)  (d)  VTPTn( P)  VTCPu( d )
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 2 -


hoctoancapba.com

Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
x 1 y  3 z 4


M0 (2;3;1) và vng góc với đường thẳng (d):
2
1
3
Giải:
(P)  (d)  VTPTn( P)  VTCPu( d )  (2;1;3)
( P) : 2( x  2)  ( y  3)  3(z  1)  0
 ( P) : 2z  y  3z  10  0
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M0 ( x0; y0; z0 ) và vng

góc với hai mặt phẳng (P)&(Q)
(P)  (Q)  VTPTn(P)  VTPTn(Q) 

+
  VTPTn(P)   n(Q) ,n(R) 


(P)  (R)  VTPTn(P)  VTPTn(R) 


Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M0 (2;3;1) và vng góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0
Giải:

(P)  (Q)  VTPTn(P)  VTPTn(Q)  (1; 3;2) 

  VTPTn(P)   n(Q) ,n(R)   (1;5;7)


(P)  (Q)  VTPTn(P)  VTPTn(R)  (2;1; 1) 


(P) : (x  2)  5(y  3)  7(z  1)  0
 (P) : z  5y  7z  20  0

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A( xA; yA; zA );
B( xB; yB; zB ); C( xC ; yC ; zC ) không thẳng hàng:
 AB
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P)   VTPTn( P)   AB, AC 

 AC






Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm
A(2; 0; 1); B(1; 2;3); C(0;1;2)

Giải:
 AB  (1; 2; 4)


 VTPTn( P)   AB, AC   (10; 5; 5)


 AC  (2;1;3)


Cặp VTCP mặt phẳng (P) 

( P) : 10( x  2)  5( y  0)  5(z  1)  0
 ( P) : 2x  y  z  3  0

Daïng 6: Viết ptmp (P) đi qua A( xA; yA; zA ); B( xB; yB; zB ) và  (Q)

 AB

 VTPTn( P)   AB, n(Q) 
+ Cặp VTCP mặt phẳng ( ) 


n(Q)


Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 3 -

Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

hoctoancapba.com

Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm
A(2; 0; 1); B(1; 2;3) và vng góc với mặt phẳng (Q): x  y  z  1  0
Giải:
 AB  (1; 2; 4)

 VTPTn( P)   AB, n(Q)   (2;5;3)


n(Q)  (1; 1;1)


Cặp VTCP mặt phẳng (P) 

( P) : 2( x  2)  5( y  0)  3(z  1)  0
 ( P) : 2x  5y  3z  1  0

Daïng 7: Viết ptmp (P) đi qua A( xA; yA; zA ) ;  (Q) và // với đt (d)

n
 ( Q)
 VTPTn( P)   n(Q) , u( d ) 
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) 


u( d )



Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
A(1; 2;3) vng góc với mặt phẳng (Q): x  2y  z  5  0 và song song với đường
thẳng (d):

x 1 y  3 z 4


2
1
3

Giải:
n  (1;2; 1)
 ( Q)
 VTPTn( P)   n(Q) , u( d )   (7;1;5)
Cặp VTCP mặt phẳng (P) 


u( d )  (2;1;3)


( P) : 7( x  1)  ( y  2)  5(z  3)  0
 ( P) : 7x  y  5z  20  0

Daïng 8: Viết ptmp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt nhau.

u

 (d)
 VTPTn( P)  u( d ) , u( d ') 
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) 


u( d ')

+ Lấy điểm M0  (d) hoặc M0  (d’)
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P)chứa hai đường

 x  1 t

x  1 y  1 z  12


thẳng cắt nhau (d):
và (d’):  y  2  2t
1
1
3
z  3

Giải:
d  M (1; 1;12)VTCP u( d )  (1; 1; 3) ; d '  M '(1;2;3)VTCP u( d ')  (1;2; 0)

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 4 -


hoctoancapba.com

Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

MM '  (0;3; 9); u( d ) , u( d ')   (6;3;1)


( d) & ( d ') cắt nhau
u , u  .MM '  0
 ( d ) ( d ') 
u
 (d)
 VTPTn( P)  u( d ) , u( d ')   (6;3;1)
Cặp VTCP mặt phẳng (P) 


u( d ')



( P) : 6( x  1)  3( y  2)  (z  3)  0
 ( P) : 6x  3y  z  15  0

Daïng 9: Viết ptmp (P)chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song nhau.

+ M1  (d) , VTCP

u d; , M2  (d') VTCP u d’.

M M
 1 2
 VTPTn( P)   M1M2 , u( d ) 
+ Cặp VTCP mặt phẳng ( ) 


ë
u( d ) (hoac u( d ') )


Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường

 x  1 t

x  1 y  1 z  12


thẳng song song với nhau (d):
và (d’):  y  2  t
1
1
3
z  3  3t

Giải:
d  M (1; 1;12)VTCP u( d )  (1; 1; 3)
d '  M '(1;2;3)VTCP u( d ')  (1; 1; 3)

 (d) ( d ')

MM '  (0;3; 9);  MM ', u( d )   (18; 9; 3)  0



Cặp VTCP mặt phẳng (P)
 M M  (0;3; 9)
 1 2
 VTPTn( P)   M1M2 , u( d )   (18; 9; 3)



u( d )  (1; 1; 3)


( P) : 18( x  1)  9( y  2)  3(z  3)  0
 ( P) : 6x  3y  z  15  0

Daïng 10: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.

+ VTPTn( P)  AB
+ Tìm tọa độ trung điểm M0 của đoạn AB
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của
đoạn AB biết A(1;1; 1); B(5;2;1).
Giải:

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 5 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

hoctoancapba.com

3
VTPTn( P)  AB  (4;1;2) Trung điểm M0 của đoạn AB: M 0 (3; ; 0)
2
3
27
(P) : 4(x  3)  (y  )  2(z  0)  0  (P) : 4x  y  2z 
0
2
2
Daïng 11: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A

+ (d)  M0 , VTCP

ud

M A
 0
 VTPTn( P)   M 0 A, u( d ) 
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) 



u( d )

Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường
x  1 y  1 z  12


thẳng (d):
và đi qua điểm A(1;1; 1)
1
1
3
Giải:

d  M 0 (1; 1;12)VTCP u( d )  (1; 1; 3) ; M 0 A  (0;2; 13)

Cặp VTCP mặt phẳng (P)
 M A  (0;2; 13)
 0
 VTPTn( P)   M0 A, u( d )   (19; 13; 2)



u( d )  (1; 1; 3)


( P) : 19( x  1)  13( y  1)  2(z  1)  0
 ( P) :19x  13y  2z  30  0

Daïng 12: Viết pt mp (P) chứa (d) và // (  )

+ Tìm điểm M0 (d)

u
 (d)
 VTPTn( P)  u( d ) , u(  ) 
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) 


u(  )

Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)

Ví dụ:
( )

x
1

Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng (d): 

y z
 ;
1 2

x 1 y z 1
 
Viết phương trình mp (P) chứa (d) và song song với (  )
2

1
1
Giải:
u  (1;1;2)
 (d)
 VTPTn( P)  u( d ) , u(  )   (1; 5;3)
Cặp VTCP mặt phẳng (P) 


u(  )  (2;1;1)

(d)  M 0  (0;0;0) Mặt phẳng (P) đi qua M0 và có VTPT n( P)  (1; 5;3)

 (P) : 1(x  0)  5(y  0)  3(z  0)  0  (P) : x  y  3z  0

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 6 -


hoctoancapba.com

Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz

Dạng 13: Viết Pt mp(P) chứa (d) và  (Q)

+ Tìm điểm M0 (d)

u
 (d)
 VTPTn( P)  u( d ) , n(Q) 
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) 


n(Q)

Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian oxyz cho đường thẳng (d):

x 1 y z  2
 
và mặt
2
1
3

phẳng (Q) : 2x  y  z  1  0 . Viết phương trình mp (P) chứa (d) và vng góc với
mp (Q)
Giải:
(d)  M(1; 0; 2) VTCP u(d)  (2;1; 3)

u  (2;1; 3)
 (d)
 VTPTn( P)  u( d ) , n(Q)   (4; 8; 0)
Cặp VTCP mặt phẳng (P) 


n(Q)  (2;1;1)


(P) : 4(x  1)  8(y  0)  0(z  2)  0
 (P) : 2x  4y  2  0
Daïng 14: Viết PT mp (P) // với (Q): Ax + By +Cz + D=0 và d(A;(P))=h

A(xA ;yA ;zA ) cho trước
+ Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D’=0 (trong đó D’  D)
+ Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D’ . Kết luận pt mặt phẳng (P)
Ví dụ: Trong không gian oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và điểm
A(3; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) //mp (Q) và d(A;(P))=2
Giải:
Vì (P) // (Q) nên pt mp (P): x - 2y + 2z + D = 0 ( D  - 3)
d(A;(P))=2 

3 D
3

 D  9(n)
 2  3 D  6  
 D  3(n)

Vậy (P) : x  2y  2z  9  0;(P ) : x  2y  2z  3  0
1
2
Daïng 15: Viết PT mp (P) chứa (d) và d(A,( P))=h; A( xA; yA; zA )

+ Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2  0
+ (d)  M0(x0; y0; z0), VTCP u d
+ Vì (d) nằm trong (P)  n(P)  u(d)  u d. n ( P ) = 0 (1)
+ PT mp (P) đi qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

+ d(A,( P)) = h (2)
+ Giải (1); (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ, ta viết được
pt mp(P).
Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 7 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz

hoctoancapba.com

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d):

x 1 y z  2
 
và điểm
2
1
3

A(3;1;1). Viết pt mp (P) chứa (d) và d (A,( P))= 2 3 .
Giải:
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2  0
(d)  M 0 (1; 0; 2) VTCP u(d)  (2;1; 3)

Vì  d  (P)d.  n(P)  u(d)  2A  B  3C  0  B  3C  2A 1

(P): A(x  1)  B(y  0)  C(z  2)  0  Ax  By  Cz  A  2C  0
d(A,( P))= 2 3
2A  B  3C

 2 3  2A  B  3C  2 3 A 2  B2  C2 (2)
2
2
2
A B C
(1)(2)   6 C  2 3 5A 2  12AC  10C2


A  C
2
2
 5A  12AC  7C  0  
A  7 C

5

*A  C choï A=C=1  B=1  (P):x+y+z+1=0
n
7
*A  C choï C=5;A=7  B  1  (P):x+y+z+3=0
n
5
Daïng 16: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc   900

+ Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2  0
+ (d)  M0(x0;y0;z0), VTCP u d

+ Vì d  (P)  u d . n ( P ) = 0 (1)
+ cos ((P),(Q))= cos  (2)
+ Giải (1) ; (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết
được pt mp(P).
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (Q): x + 2y +z -3 = 0 và
đường thẳng (d):

x 1 y  2 z  3


. Viết phương trình mp (P) chứa (d) và hợp với
1
1
1

mp (Q) một góc  thỏa cos  =

3
.
6

Giải:
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2  0
(d)  M 0 (1;2; 3),VTCP u(d)  (1; 1; 1)

Vì d  (P)  u d. n ( P ) = 0  A  B  C  0  A  B  C (1)

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 8 -


hoctoancapba.com

Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

cos


 P  ,  Q   cos   cos(n

A  2B  C
3
3


6
6
6 A 2  B2  C2

,n(Q) ) 
(P)

 6 A  2B  C  3 A 2  B2  C2 (2)
 B  C
(1)(2)  2 4C  3B  3 A  B  C  8B  11B  3C  0  



 B  3 C

8

2

2

2

2

2

*B  C choïn B=1;C=-1  A=0  (P):(y-2)-(z+3)=0  (P):y-z-5=0
3
C choïn B=3;C=-8  A=-5  (P):-5(x+1)+3(y-2)-8(z+3)=0
8
 -5x+3y-8z-35=0
Daïng 17: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đth(  )một góc   900
+ Gọi VTPT của mp (  ) là n ( P ) = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2  0
*B 

+ (d)  M0(x0;y0;z0), VTCP u d
+ Vì d  (P)  u d. n ( P ) = 0 (1)
+ sin ((P),(  )) = sin  (2)
+Giải (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được
pt mp(P).
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng (d) và (  ) lần lượt có
x2

z5
 y 3
. Viết phương trình
2
1
mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với (  ) một góc 300

phương trình: (d): x 

y2
 z và
1

( ) :

Giải:
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2  0
d)  M1 (0;2; 0) và VTCP u(d)  (1; 1;1) ; ()  M2 (2;3; 5) và VTCP u(  )  (2;1; 1)
Vì d  (P)  u d.

n ( P ) = 0  A  B  C  0  B  A  C (1)

sin ((P),())  sin300   cos(n(p) ; u(  ) )  sin 300 


2A  B  C
6 A 2  B2  C2



1
2

 2 2A  B  C    6 A 2  B2  C2  (2)   
A  C
(1)(2)  2 3A  6 A  (A  C)  C  2A  AC  C  0  


 A  1 C

2

2

2

2

2

2

*A  C choïn A=C=1  B=2  (P):(x-0)+2(y-2)+(z-0)=0  (P):x  2y  z  4  0

*A 

1
C choïn C=-2;A=1  B=-1  (P):(x-0)-(y-2)-2(z-0)=0(P):x  y  2z  2  0
2

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 9 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz

hoctoancapba.com

Dạng 18: Cho A (xA; yA; zA) và (d), viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là

lớn nhất
+ Gọi H là hình chiếu  của A lên (d)
+ Ta có: d (A,(P)) = AK  AH (tính chất đường vng góc và đường xiên). Do
đó d(A(P)) max  AK = AH  K  H
+ Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
 x  1  2t

Ví dụ: Trong không gian oxyz cho đường thẳng (d):  y  t
z  1 t

và điểm A(1;2;3).Viết phương trình mp (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn
nhất. hoctoancapba.com
Giải:
Gọi H là hình chiếu  của A lên (d)
Ta có: d (A, (P)) = AK  AH (tính chất đường vng góc và đường xiên).
Do đó d(A, (P)) max  AK = AH  K  H
Mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT

H  (d)  H(1  2t; t;1  t)  AH  (2  2t; t  2; t  2)
Vì H=hc(d) (A)  AH  u(d)  (2;1;1)  6t  0  t  0
 H(1; 0;1)  VTPT n(p)  AH  (2;2;2)
 (P) : 2(x  1)  2(y  0)  2(z  1)  0  (P) : x  y  z  0
Daïng 19: Viết Pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz + D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu

(S)
+ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+ Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D' = 0 (D’  D)
+ Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d (I, (P))= R  tìm được D'
+ Từ đó ta có pt (P) cần tìm
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và mặt
cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z 19 = 0. Viết pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz
+ D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Giải:
2
2
2
(S): (x  1)  (y  2)  (z  1)  25  I(1;2;1) BK R=5
Vì (P) // (Q)  (P): x - 2y + 2z + D = 0 (D  -3)
D3
 (P)tiếp xúc với mặt cầu (S)  d I,  P   R 
 5  D  3  15
3





 D  18   P1  : x  2y  2z  12  0

 D  12   P2  : x  2y  2z  18  0


2 Daïng 20: Viết PT mp(P) // (Q): Ax + By + Cz + D=0 và cắt mặt cầu (S) theo
giao tuyến là đường trịn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi) cho trước.
Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 10 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz

hoctoancapba.com

+ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S =  r 2 tính r.
+ d(I,(P)) = R2  r 2 (1)
+ Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 ( D'  D)
+ Suy ra d (I,(P)) (2)  1   2   D'  pt (P).


Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz. Cho mặt phẳng (Q): x + y - 2z + 4 = 0 và mặt
cầu
(S): x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 . Viết pt mp(P) // (Q và cắt mặt cầu (S) theo
giao tuyến là đường trịn(C) có bán kính r = 2
Giải:

(S): (x-1)2+(y+2)2+(z+1)2=9  Tâm I (1;-2;-1), bán kính R = 3
Vì (P) // (Q)  (P): x+y-2z+D = 0 (D  4)



d I,  P 



 D  1  30   P  : x  y  2z  1  30  0
 R  r   1  D  30  

 D  1  30   P  : x  y  2z  1  30  0

2

2

Daïng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ((d)khơng cắt mặt

cầu)
+Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+ (d)  M0(x0; y0; z0), VTCP u d
+ Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2  0
=>pt mp (P) đi qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
+ (d)  (P)  u(d) .n(P)  0 (1)
+ Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R (2)
+ Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C  pt mp (P). hoctoancapba.com+Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0
x 1 y z  2
 

và  d  :
. Viết pt mp (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
1 1
4
Giải:
(S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2 = 9  tâm I (1;-2;3), bán kính R = 3
(d)  M 0 (1; 0; 2),VTCP u(d)  (1;1; 4)
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2  0

 mp(P) đi qua điểm M0:
(P): A(x -1) + B(y – 0) + C(z +2) = 0  Ax + By + Cz -A +2C = 0
(d)  (P)  u(d) .n(P)  0  A  B  4C  0  A  B  4C (1)
2
2
2
(P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R  5C  2B  3 A  B  C (2)

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 11 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

hoctoancapba.com

(1)(2)  5C  2B  3 2B2  8BC  17C2  14B2  92BC  128C2  0



 B  2C

 B  32 C

7

*B  2C choïn B=-2; C=1  A=2  (P):2x-2y+z=0

*B 

32
C choïn B=32;C=-7  A=4  (P): 4x+32y-7z-18=0
7

Daïng 22: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường

trịn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi) cho trước.
+ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) hoctoancapba.com
+ Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S =  r 2 tính r.
+(d)  M0(x0;y0;z0), VTCP u d
+ Gọi VTPT của mp (P) là n ( P) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2  0,
=>pt mp (P) đi qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
+ Vì d  (P)  ud . n ( P )=0 (1)
+ Vì (P) cắt (S) theo đường trịn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)
+Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C  pt mp (P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):
x3 y z 4
 
x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 và  d  :

. Viết pt mp (P) chứa
3
1
1
(d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường trịn (C) có bán kính r = 6 .
Giải:
(S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z +1)2 = 9  tâm I(1;-2;-1), bán kính R = 3
(d)  M 0 (3; 0; 4),VTCP u(d)  (3; 1;1)
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2  0
=>pt mp (P) đi qua M0
(P): A(x - 3) + B(y - 0) + C(z - 4) = 0  Ax + By + Cz –3A – 4C = 0
(d)  (P)  u(d) .n(P)  0  3A – B + C = 0  B = 3A + C (1)
Vì (P) cắt (S) theo đường trịn bán kính r nên d(I,(P)= r
 2A  2B  5C  6 A 2  B2  C2 (2)
(1)(2)  8A  7C  6 10A 2  6AC  2C2  4A 2  76AC  37C2  0




1
 A  2 C choïn A=1; C=-2  B=1  (P):x+y-2z+5=0

 B  37 Cchoïn A=37;C=-2  B=109  (P): 37x+109y-2z-103=0

2


Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 12 -


hoctoancapba.com

Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz

Dạng 23: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường

tròn (C) có bán kính nhỏ nhất ((d) cắt mặt cầu) .
+Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+ Bán kính r = R 2  d 2 (I,(P))
+Để r min  d(I,(P)) max
+ Gọi H là hình chiếu  của I lên (d) ; K là hình chiếu  của I lên (P)
+Ta có: d(I,(P))= IK  IH ( tính chất đường vng góc và đường xiên)
+Do đó: d(I,(P)) max  AK = AH  K  H
+ Mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT  pt mp(P).
Ví
dụ:
Trong
khơng
gian
Oxyz,
cho
mặt
cầu
(S):
x 1 y 1 z


 . Viết pt mp (P) chứa (d)
x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 và  d  :
2
1 1
và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r nhỏ nhất
Giải:
(S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z +1)2 = 9  tâm I(1;-2;-1), bán kính R = 3
(d)  M 0 (1; 1; 0),VTCP u(d)  (2; 1;1); IM 0  (0;1;1); IM 0 ,u(d)   (2;2; 2)


 IM ,u 
 0 (d) 
d(I,(d)) 
 2  R  (d) cắ mặ cầ
t
t u
u(d)
Bán kính r = R 2  d 2 (I,(P)) = 9  d 2 (I,(P)) hoctoancapba.com
Để r min  d(I,(P)) max
Gọi H là hình chiếu  của I lên (d) ; K là hình chiếu  của I lên (P)
Ta có: d(I,(P))= IK  IH ( tính chất đường vng góc và đường xiên)
Do đó: d(I,(P)) max  AK = AH  K  H
Mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT
Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm I và vng góc vơi (d)
 VTPT n ( Q ) =(2;-1;1)
 (Q) 2x –y +z – 3=0; H là hình chiếu  của I lên (d); tọa độ điểm H lả
x  1
 x 1 y 1 z





  y  1  H(1; 1;0)
nghiệm của hệ phương trình:  2
1 1
2x – y  z – 3  0 z  0



 VTPT n ( P ) = IH =(0;1;1)
(P): (y + 1) + (z – 0) = 0  y + z + 1 = 0

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường

- Trang 13 -