Chuyên đề hệ thức vi ét nguồn của ngoc hùng game

Chuyên đề 1: Ph-ơng pháp cơ bản tìm cực trị đại số
Ch-ơng I: cơ sở lý thuyết
I. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

1.Định nghĩa1:
Cho biểu thức f(x,y,) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của
f(x,y,) trên D nếu hai điều kiện sau đ-ợc thoả mãn:
- Với mọi (x, y,) thuộc D thì f(x,y,) M với M là hằng số
- Tồn tại (x0, y0 ,) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,) = M
2. Định nghĩa 2:
Cho biểu thức f(x,y,) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của
f(x,y,) trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn:
- Với mọi (x, y,) thuộc D thì f(x,y,) m với m là hằng số
- Tồn tại (x0, y0 ,) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,) = m
II. Các kiến thức th-ờng dùng

Xét biểu thức chứa biến P(x), P(x,y),Ta ký hiệu giá trị lớn nhất của biểu
thức P trên tập xác định D của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trị nhỏ nhất
của P là GTNN(P) hay minP.
1) Cho P = A + B thì maxP = maxA + maxB và min P = min A + minB
Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc nếu A
và B chứa cùng một biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một giá trị xác định
x = x0, tức là maxA = A(x0), maxB = B(x0) thì maxP = P(x0).
1
1
với A 0 thì maxP =
min A
A
2n
3) a) P(x,y) = [Q(x,y)] + a a với a là hằng số, n N*

2) Cho P =

Nếu có (x0, y0) sao cho Q(x0, y0) = 0 thì min P(x,y) = a với mọi x, y thuộc D
b) P(x,y) = - [Q(x,y)]2n + b b với b là hằng số, n N*
Nếu có (x0, y0) sao cho Q(x0, y0) = 0 thì maxP(x,y) = b với mọi x, y thuộc D
4) A 0 thì max(A2) = (maxA)2 và
min(A2) = (minA)2
5) Các dạng của bất đẳng thức Cô-si:
a) a + b 2 ab ( a 0, b 0)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
b)

a
b
+ 2
b
a

(ab 0)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
6) Bất đẳng thức Bunhiacopsky
(ax + by)2 (a2 + b2) (x2 + y2)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx
Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



7) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

a + b ab
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0
8) Định lý về dấu của tam thức bậc hai.
Cho tam thức bậc hai

f ( x) ax 2 bx c (a 0)
Khi đó:
Nếu 0 thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a, x R
Nếu 0 thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a, x R , x

b
2a

Nếu 0 thì f(x) cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và trái dấu
với a nếu x nằm trong khoảng 2 nghiệm.
Ch-ơng II: Ph-ơng pháp giải toán cực trị
Các bài toán về cực trị luôn là những bài toán khó .Do đó đối với nhiều học sinh
việc giải toán cực trị là không hề đơn giản nếu không biết ph-ơng pháp giải và
kinh nghiệm. Nó đòi hỏi ng-ời làm toán phải nhìn bài toán theo những góc độ
khác nhau, biết vận dụng các kiến thức phù hợp với từng tình huống.
Sau đây, tác giả xin đ-ợc đ-a ra một số ph-ơng pháp giải toán cực trị đ-ợc đúc
rút từ kinh nghiệm giải toán :
1. Ph-ơng pháp dùng bất đẳng thức
2. Ph-ơng pháp xét biểu thức phụ
3. Ph-ơng pháp đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới
4. Ph-ơng pháp chia khoảng để tìm cực trị
5. Ph-ơng pháp dùng tam thức bậc hai
6. Ph-ơng pháp tham biến
7. Ph-ơng pháp giải toán cực trị với biểu thức chứa dấu căn
8. Ph-ơng pháp giải toán cực trị với các biến có điều kiện

I.Ph-ơng pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị

VD1:
Tìm GTNN của A = 1 4 x 4 x2 + 4 x2 12 x 9
Giải:
A = (1 2 x)2 + (2 x 3)2
= 1 2x + 2 x 3 1 2 x 2 x 3 = 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1 2x)(2x 3) 0
Lập bảng xét dấu:

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



x

1
2

1 2x
2x - 3
(1 2x)(2x 3)

+
-

0
0

3

2

+

0
0

+
-

1
3
x
2
2
1
3
Vậy GTNN của A bằng 2 với x
2
2

Từ đó ta có (1 2x)(2x 3) 0

VD2:
Tìm GTNN của hàm số
f(x) = x 1 + 2 x 4 + 3x 9 + 4 x 16 + 5x 25
Giải:
Ta có:
f(x) = ( x 1 + 2 x 4 + 3x 9 + 4 x + 25 5x ) + 3 x 4

( x 1) (2 x 4) (3 x 9) (4 x) (25 5 x) + 3 x 4

= 15 + 3 x 4 15
Mặt khác ta có f(4) = 15 suy ra minf(x) = 15
VD3:
Tìm GTNN của S = x2 + y2 + z2 với P = ax + by + cz không đổi (với a2 + b2 +
c2 0).Giá trị đó đạt đ-ợc khi nào?
Giải:
Theo bất đẳng thức Côsi Bunhiacôpski ta có:
( x2 + y2 + z2) ( a2 + b2 + c2) (ax + by + cz)2.
Do đó
S = x2 + y2 + z2

P
.
a b2 c2
2

S sẽ có giá trị bé nhất khi xảy ra dấu = tức là khi
khác Smin =
Khi

P
.
a b2 c2
aP
bP
cP

x= 2 2 2 ; y = 2 2 2 ; z = 2 2 2 .
a b c
a b c
a b c
2

VD4:
Tìm GTLN của:
a) A = x 1 +
b) B =

x y z
, hay nói cách
a b c

x 1
+
x

y 2 biết x + y = 4
y2
x

Giải:
Điều kiện x 1, y 2
Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



Ta có x 1 = 1.( x 1)

1.( x 1) 1 x 1 1
x 1



x
x
2x
2

y2 =

2.( y 2)
2

Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
1.( x 1) 1 x 1 1
x 1



x
x
2x
2

y2
2.( y 2) 2 y 2
1
2

y
4
y 2
2y 2
2 2

Max B =

x 1 1
x 2
1
2 2 2




2 4
4
y 2 2
y 4

VD5:
Tìm GTLN, GTNN của
A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 5
Giải:
Ta xét biểu thức A2 = (2x + 3y)2

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
A2 =

2. 2 x 3. 3 y



2





2 3 x2

1

2 3 x 2 y 3
2

2

2

2




= (2 + 3) (2x2 + 3y2) 5.5 = 25

x y
x 2 y 3

x y
x y 1
2
3
2 x 3 y 5

A2 = 25

Do A2 25 nên -5 A 5
x y
x y 1
2 x 3 y 5

MinA = -5

x y
x y 1
2 x 3 y 5

MaxA = 5

VD6:
Nếu x > 0, a > o, b > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(a x)(b x)
.
x

Khi nào đạt giá trị đó?
Giải: Biểu thức có dạng:
(a x )(b x ) ab(a b) x x 2 ab


ab x
x
x
x
Đối với hai số d-ơng

ab
và x, ta có bất đẳng thức Cô-si:
x

ab
ab
x2
x 2 ab
x
x

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



Khi đó:

(a x )(b x )
a b 2 ab ( a b ) 2

x

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là ( a b ) 2 đạt đ-ợc khi x ab
VD7:
Tìm giá trị lớn nhất của:
a) f ( x) (2 x 1)(3 5x) ;
b) f ( x) (1 x) 3 (1 x) ;
x
;
x 2
x2
d) f ( x) 2
.
( x 3) 3

c) f ( x)

2

Giải:
1
4

a) Do ab (a b) 2 , nên ta có:
2

2
5
2 1
5

2 1 1 1

f ( x ) (2 x 1)(3 5x ) (5x )(3 5x ) . 5x (3 5x ) . .
5
2
5 4
2
5 4 4 40

1
1
Vậy f(x) lớn nhất là
khi x .
40
20
3
b) f ( x) (1 x) (1 x)

*) Nêú x < -1 hoặc x > 1 thì f(x) 0
*) Nếu -1 < x < 1 thì
1
1 3 3x 1 x 1 x 1 x
3 1
f ( x ) (3 3x )(1 x )(1 x )(1 x )
.
3
3
4

2 3

27
1
Vậy f(x) lớn nhất là
khi x
16
2
x
x
1
c) f ( x ) 2
Ta có: 2 x 2 2 2 x 2 2 2 x suy ra 2

x 2
x 2 2 2
1
Vậy f(x) lớn nhất là
khi x 2
2 2
1
x2
d) f(x) = 2
. Ta có: x 2 1 1 33 x 2 ( x 2 2) 3 27 x 2 f ( x ) .
3
27
( x 2)
1
Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất là
, khi x 1 .
27
4

4

VD8:
Tìm giá trị d-ơng nhỏ nhất của
2x 2 3
f ( x)
.
x

Giải:
Do f(x) > 0 nên x > 0. ta có: f ( x ) 2 x

3
3
2 2 x. 2 6
x
x

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



Vậy f(x) d-ơng bé nhất là 2 6 khi x

6
2

VD9:
Cho các số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức
f ( x, y, z ) x 4 y 4 z 4 .
Giải:
áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có:
(12 12 12 )( x 4 y 4 z 4 ) x 2 y 2 z 2

2

x

2

y 2 z 2 y 2 z 2 x 2 ( xy 2 yz 2 zx 2 ) 2

2
Từ đó suy ra 3x 4 y 4 z 4 xy yz zx
16
Suy ra 3 f x, y, z 16 f x, y, z
3

Vậy f x, y, z bé nhất bằng

2
16
, khi x y z
3
3

Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của:

A x 2 y 1 trong đó x y 5
Bài 2. Tìm GTNN của:
A x2 1 x2 2x 5

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
A 2x 5 x2

Bài 4. Tìm GTNN của:
A = x + y biết x , y là các số d-ơng thoả mãn

a b
1 (a và b là hằng số d-ơng)
x y

Bài 5. Tìm GTLN của:
A x y biết rằng x 2 4 y 2 1
II.ph-ơng pháp xét biểu thức phụ

VD1:
Tìm GTLN, GTNN của
A=

1
2 3 x2

Giải:
Điều kiện: x 3
Dễ thấy A 0
Ta xét biểu thức:

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



B=

1
= 2 3 x2
A

0 3 x2 3

Ta có:

3 3 x2 0
2 3 2 3 x2 2

MinB = 2 3 3 3 x2 x 0
MaxA =

1
2 3
2 3

MaxB = 2 3 x2 0 x 3
Khi đó minA =

1
2

Nhận xét:
Trong ví dụ trên, để tìm cực trị của A, do A 0 nên ta có thể xét biểu thức phụ
1
. Các biểu thức phụ th-ờng xét có thể là -A, A2, A .Trong ví dụ d-ới đây, ta
A

xét biểu thức phụ B sai khác với A một hằng số.
VD2:
Tìm GTNN của:
A=

2
1
với 0 < x <1

1 x x

Giải:
Để áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta xét biểu thức:
B=

2
1 x

1 x
x

áp dụng bất đẳng thức Côsi với hai số d-ơng
B 2.

2x
1 x
và
, ta có:
1 x
x

2x 1 x
2 2
1 x x

B=2 2
2x 1 x

(1)

1 x
x
0 x 1(2)

Giải (1):
2x2 = (1 x)2
x 2 1 x

Do 0 < x < 1 nên x 2 = 1 x

1 1 x
1
x
2 1

x
2 1

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



Vậy minB = 2 2 x 2 1
Bây giờ ta xét hiệu A- B
2
1 2x 1 x 2 2x 1 1 x
A B =




1 x

x 1 x

x 1 x

x

= 2 + 1 =3
Do đó minA = 2 2 + 3 khi và chỉ khi x = 2 - 1
VD3:
TìmGTLN, GTNN của:
A 1 x 1 x

Giải:
Xét A2 2 2 1 x2
Do 0 1 x2 1 2 2 1 x2 4 2 A2 4
Suy ra minA = 2 với x = 1
MaxA = 2 với x = 0
VD4:
Tìm GTNN của:
x2 4 x 12 x 2 2 x 3

Giải:
2

( x 2)(6 x) 0
x 4 x 12 0
TXĐ: 2

1 x 3
x 2 x 3 0
( x 1)(3 x) 0


(1)

Xét hiệu ( x2 4 x 12) ( x2 2 x 3) 2 x 9
Do (1) nên 2x + 9 > 0 nên A > 0
Xét A2 ( x2 4 x 12 x2 2 x 3)2
Hiển nhiên A2 0 nh-ng dấu = không xảy ra ( vì A > 0 )
Ta biến đổi A2 d-ới dạng khác:
A2 ( x 2)(6 x) ( x 1)(3 x) 2 ( x 2)(6 x)( x 1)(3 x)
( x 1)(6 x) (6 x) ( x 2)(3 x) (3 x) 2 ( x 2)(6 x)( x 1)(3 x)

( x 1)(6 x) ( x 2)(3 x) 2 ( x 2)(6 x)( x 1)(3 x) 3
A2 3

Do A > 0 nên minA = 3 với x = 0
Bài tập đề nghị:
Bài 1. TìmGTLN, GTNN của:



A x 99 101 x 2



Bài 2. TìmGTLN, GTNN của:
A 2x 5 x2

Bài 3. Tìm GTNN của:
A x2 x 1 x2 x 1

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



III. Ph-ơng pháp đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới

VD1:
Tìm GTLN, GTNN của
A= (x4 + 1) (y4 + 1) biết x, y > 0, x + y = 10
Giải:
A= (x4 + 1) (y4 + 1)

= x4 + y4 + x4y4 + 1
Ta có x + y = 10
x2+ y2 = 10 2xy

x4 + y4 + 2 x2y2 = 100 40xy + 4x2y2

x4 + y4
= 100 40xy + 2x2y2

Đặt xy = t thì x4 + y4 = 100 40t + 2t2
Do đó A = 100 40t + 2t2 + t4 + 1
= t4 + 2t2 40t + 101
a) Tìm GTNN
A = t4 8t2 + 16 + 10t2 40t + 40 +45
= (t2 4)2 + 10(t - 2)2 + 45

9
1
1
7
y 2 x x 45
4
2
4
4

MinA = 45 t = 2
Khi đó xy = 2 , x + y = 10 nên x và y là nghiệm của ph-ơng trình
X2 - 10 X + 2 =0
Tức là x =

10 2
,y=
2

10 2
2

Hoặc x =

10 2
,y=
2

10 2
2

b) Tìm GTLN
2

2
5
x y 10 5
Ta có 0 xy
0 t (1)

2
2
2 2

Viết A d-ới dạng:
A = t(t3 + 2t 40 ) + 101
125
, 2t 5
8
125
t3 + 2t 40
+ 5 40 < 0
8
t > 0 nên A 101

Do (1) nên t3

Max A = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0 , y= 10
hoặc x = 10 , y = 0
VD2:
Tìm GTNN của:
Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



A x 2 x 1 x 2 x 1

Giải:
Đặt x 1 y 0
A y 1 y 1 1 y y 1 2

Suy ra minA = 2 0 y 1 1 x 2
VD3:
Tìm GTLN, GTNN của:

A = x x y y biết x y 1
Giải:
Đặt x a, y b , ta có a, b 0, a b 1





A a3 b3 a b a 2 ab b2 a 2 ab b2 a b 3ab 1 3ab
2

Do ab 0 nên A 1
MaxA = 1 a 0 hoặc b 0 x 0, y 1 hoặc x 1, y 0

a b
Ta có: ab

2

1
1
1
ab 1 3ab
4
4
4
4
1
1
1

min A a b x y
4
2
4


Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của:
x2 y 2 x y
M 3 2 2 8 10
x y x
y

với x, y 0

Bài 2. Tìm GTNN của:
A

5 3x
1 x2

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
A

x 2 xy y 2
x 2 xy y 2

IV. ph-ơng pháp chia khoảng để tìm cực trị

VD1

Tìm GTLN của
A = x2 (3 x) với x 0
Giải:
a) Xét 0 x 3
Viết A d-ới dạng:
A=4

x x
(3 x)
2 2

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm

x x
, , 3 x ta đ-ợc:
2 2

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



3

x x

2 2 3 x
xx
(3 x)
1
22

3





Do đó A 4
(1)
b) Xét x > 3, khi đó A 0 (2)
So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận:
x
3 x
MaxA 4 2
x2
x 0

VD2:
Tìm GTNN của:
A x 2 2 x biết x 4
Giải:
Với x < 2 thì A 0
(1)
2
Với 2 x 4 xét A x x 2
áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
3

x x

2 2 x 2 2 x 2 2

A x x
. . x 2

8
4 2 2
3

3


A 32 A 32

Suy ra minA = - 32 với x = 4
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của:
A x 1 x2

Bài 2. Tìm GTLN của:
A x2 9 x2

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
biết 0 x 3
A x x2 6
V. Ph-ơng pháp dùng tam thức bậc hai

1. Đổi biến để đ-a về tam thức bậc hai đối với biến mới
VD:
Tìm GTLN của:
A = x + 2 x
Giải:

Điều kiện: x 2
Đặt 2 x = y 0

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



Ta có y2 = 2 x
1 2 9 9
) +
2
4 4
9
1
1
7
MaxA = y 2 x x
4
2
4
4

A = 2 - y2 + y = - (y-

2. Đổi biến để đ-a về bất ph-ơng trình bậc hai đối với biến mới
VD:
Tìm GTLN, GTNN của
A = x2 + y2
Biết rằng x2 (x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = 1
(1)

Giải:
Từ (1) suy ra
(x2 + y2)2 4 (x2 + y2) + 3 = - x2 0
Do đó A2 4A + 3 0 (A 1)(A 3) 0
1 A 3
Min A = 1 x = 0, khi đó y = 1
MaxA = 3 x = 0, khi đó y = 3
3. Đ-a về ph-ơng trình bậc hai và sử dụng điều kiện 0
VD1:
Tìm GTLN, GTNN của:
A=

x2 x 1
x2 x 1

Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi ph-ơng trình sau đây có nghiệm
a=

x2 x 1
x2 x 1

(1)

Do x2 + x + 1 0 nên
(1) ax2 + ax + a = x2 x 1
(2)
(a 1)x2 + (a + 1)x + (a 1) = 0
Tr-ờng hợp 1:
Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0

Tr-ờng hợp 2:
Nếu a 1 thì điều kiện cần và đủ để (2) có nghiệm là 0, tức là:

(a +1)2 4(a 1)2 0

(a + 1 + 2a 2) (a + 1 2a +2) 0
(3a 1) (a 3) 0

1
a3
3



Với a =

(a 1)

1
hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là :
3

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



(a 1)
a 1

2(a 1) 2(1 a)

1
Với a = thì x = 1
3
x

Với a = 3 thì x = -1
Gộp cả hai tr-ờng hợp (1) và (2), ta có:
MinA =

1
khi và chỉ khi x = 1
3

MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1
Nhận xét:
a) Ph-ơng pháp giải nh- trên còn gọi là ph-ơng pháp miền giá trị của hàm số.
x2 x 1
1
Đoạn ;3 là tập giá trị của hàm số A = 2
x x 1
3
b) Cách khác tìm GTLN của A:

A=

3x 2 3x 3 2 x 2 4 x 2
2( x 1) 2

3

3
x2 x 1
x2 x 1

MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1
c) Cách khác tìm GTNN của A:
3x 2 3x 3
x2 x 1
2( x 2 2 x 1) 1 2( x 1) 2 1




3x 2 3x 3 3( x 2 x 1) 3( x 2 x 1) 3 x 2 x 1 3
1
MinA = khi và chỉ khi x = 1
3

A=

VD2:
Tìm GTLN và GTNN của:
A=

2 x2 4 x 5
x2 1

Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi ph-ơg trình sau đây có nghiệm
a=

2 x2 4 x 5
x2 1

(1)

Do x2 + 1 > 0 nên
(1) x2(a 2) 4x + a 5 = 0
Tr-ờng hợp 1:
Nếu a = 2 thì (2) có nghiệm x = -

(2)
3
4

Tr-ờng hợp 2:
Nếu a 2 thì ph-ơng trình (2) có nghiệm
' = 4 (a 2)(a 5) 0

a 2 7a 6 0 1 a 6 a 2

Với a = 1 thì x = -2
Với a = 6 thì x =

1
2

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu

Kết hợp cả hai tr-ờng hợp (1) và (2), ta có:
MinA = 1 khi và chỉ khi x = -2
MaxA = 6 khi và chỉ khi x =

1
2

VD3:
Tìm GTLN và GTNN của:
B = 2x2 + 4xy + 5y2 biết rằng x2 + y2 = a ( a là hằng số, a 1)
Giải:
Vì a 1 nên ta có:
B 2 x 2 4 xy 5 y 2 2 x 2 4 xy 5 y 2
=

a
a
x2 y 2

Tr-ờng hợp 1:
Nếu y = 0 thì

B
=2
a

Tr-ờng hợp 2:
B 2t 2 4t 5
x

Nếu y 0 ta đặt t = thì =
t2 1
a
y

Theo VD2 điều kiện để ph-ơng trình ẩn t trên có nghiệm là
1

b
6 nên a b 6a ( vì a 1)
a

Từ đó suy ra
MaxB = 6a khi và chỉ khi

x 1
y 2x
y 2
5a 2 5a 5a 2 5a
,
,
;

5 5
5
5

Hay khi và chỉ khi (x, y) nhận giá trị

x 2 mx n x

MinB = a khi và chỉ khi 2
2 x 2 y
x 2x 4 y
2 5a 5a 2 5a 5a
,
,
;

5
5
5
5



Hay khi và chỉ khi (x, y) nhận giá trị
VD4:
Tìm GTLN và GTNN của:
c= 2 x

3
7
1 x
2
2

Giải:
Điều kiện: 0 x 1
Đặt z = x thì z2 + y2 = 1
(1)

Ta cần tìm GTLN và GTNN của d = 4z + 3y với 2c = d + 7
Điều kiện: 0 z 1,0 y 1,0 d 7
Thay 9y2 = (d 4z)2 vào (1), ta đ-ợc:
25z2 8dz + d2 9 = 0
Để ph-ơng trình này có nghiệm z thì 0 d2 25 d 5
Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



Maxd = 5 Maxc = 6 và đạt đ-ợc khi
z=

4d
4
16
= x z2
(thoả mãn 0 x 1 )
25 5
25

d = 4 z 3 y 2 12 yz
Đẳng thức xảy ra khi 4z = 3y. Thay vào (1) ta tính đ-ợc z =

3
1
9
,y ,x
20
5
400

(thoả mãn 0 x 1 )
Lúc đó Mind = 2

9 6
41
Minc =
4,1
25 5
10

VD5:
Cho biểu thức A =

x 2 mx n
x2 2 x 4

Tìm các giá trị của m, n để biểu thức A có GTNN bằng

1
, GTLN bằng 3
3

Giải:
Gọi a là giá trị tuỳ ý của biểu thức A. Ta có:
a=

x 2 mx n
x2 + mx + n = ax2 + 2ax + 4a
2

x 2x 4
(a 1)x2 + (2a m) + (4a n) = 0

(1)
Theo điều kiện của bài toán, giá trị a = 1 không là GTLN, không là GTNN của A
nên ta chỉ xét a 1.
Điều kiện để (1) có nghiệm là:
f ( x, y ) 0 g x, y 0 y 2 x 0 y 2 x 0
2

12a 2 4 m n 4 a 4n m2 0

(2)

Nghiệm của bất ph-ơng trình (2) là a1 a a2
Trong đó a1, a2 là các nghiệm của ph-ơng trình:
12a 2 4 m n 4 a 4n m2 0

(3)

1
3

Theo đề bài, ta phải có a1 , a2 3
Theo hệ thức Vi- et đối với ph-ơng trình (3) :

4nm
4 m n 4 1
3
a1 a2

4 n m 10
3
3
12





2
2
2
4n m 12
a a 4n m
1 .3 4n m
1 2
12
3
12


Thay n = 6 + m vào 4n m2 = 12 ta đ-ợc:
4n m2 12 = 0 nên m = 6 hoặc m = -2
Với m = 6 thì n = 12, khi đó
x 2 6 x 12
1
A 2
có GTNN là và GTLN là 3
x 2x 4

3

Với m = -2 thì n = 4, khi đó
Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



A

x 2 6 x 12
1
có GTNN là và GTLN là 3
2
x 2x 4
3

Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của:
M x 1 x 2 x 3 x 4

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của:
A

x
x 1
2

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
B

2x2 4x 5
x2 1

Bài 4. Tìm GTLN, GTNN của:
C

2 x2 2 x 2
2 x2 2 x 2

Bài 5. Tìm GTLN, GTNN của:
2 x2 2 x 2
D
x2 1

Bài 6. Tìm GTNN của:
E

5 3x
1 x2

Bài 7. Tìm GTNN của:
F x x2

1
x

với x > 0

VI. Ph-ơng pháp tham biến để tìm cực trị của một biểu thức

Giả sử cần tìm cực trị một biểu thức Q(x). Để đơn giản ta chỉ cần xét biểu thức
Q(x) luôn xác định trên tập số thực. Ta đ-a thêm tham biến t để xét biểu thức
f x Q x t . Nếu f x 0 hoặc f x 0 với mọi x thuộc tập xác định của
Q(x) và tồn tại giá trị t0 để f x 0 thì t0 chính là GTLN hoặc GTNN của biểu
thức Q(x)
VD1:
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
Q=

x2 8x 7
x2 1

Giải:
Xét f(x) = Q(x) - t






x2 8x 7 t x2 1
x 1
2

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



Vì x 2 1 0 với mọi số thực x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x) =
(1)

x 2 8x 7 t x 2 1 hay g(x) = 1 t x 2 8x 7 t
Xét tam thức g(x) = ax2 bx c
= a x

b
2a



2




4a

với b2 4ac

(*)

Nếu a = 0 thì g(x) = bx + c luôn cùng dấu khi b = 0 (g(x) = c) và khi
c = 0 (g(x) = 0)
Nếu a > 0 thì g ( x) 0 với mọi x khi 0 và g(x) = 0 khi và chỉ khi 0
Nếu a < 0 thì g x 0 với mọi x khi 0 và g(x) = 0 khi và chỉ khi 0
áp dụng vào (1) ta có:

16 1 t 7 t t 2 8t 9

0 khi t = -1 hoặc t = 9

Với t = -1 thì a = 1 t = 2 > 0 nên g(x) 0
f ( x) 0

Suy ra f(x) = 0 g ( x) 0 2 x 2 0 x 2
Với t = 9 thì a = 1 t = -8 < 0 nên g ( x) 0 f ( x) 0
Suy ra Q(x) có GTLN là 9 và xảy ra khi f(x) = 0
2

g ( x) 0 2 2 x 1 0 x
2

1
2

Nh- vậy ph-ơng pháp tham biến cho phép ta chuyển việc xét cực trị một biểu
thức Q(x), tức là xét một bất ph-ơng trình Q(x) t hoặc Q(x) t về việc xét một
ph-ơng trình t 0 , nên có thể nói ph-ơng pháp tham biến là chiếc cầu nối
giữa bất ph-ơng trình và ph-ơng trình.
Ta có thể mở rộng việc xét cực trị của biểu thúc một biến Q(x) sang biểu thức
hai biến Q(x,y) bằng ph-ơng pháp tham biến, lúc đó f(x,y) = Q(x,y) t
Và xét tử thức của f(x,y) theo một biến nào đó sao cho tử thức luôn cùng dấu và
tồn tại giá trị bằng 0
VD2:
Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
3 y 2 4 xy
Q= 2 2
x y

Với ( x,y ) khác ( 0, 0 )

Giải:
Vì x2 + y2 luôn luôn d-ơng trừ giá trị x = y = 0 nên dấu của f( x,y) chính là dấu
của tử thức g(x,y) = 3 y 2 4 xy t x2 y 2
Hay g(x,y) = (3 t ) y 2 4 xy tx2
(1)
Nếu t = 3 thì g(x,y) = 3x2 4 yx
Vì 4 y 2 0 nên g(x,y) = 0 khi và chỉ khi y = 0, (x = 0 đã bị loại trừ)
Xét (1) theo biến y ta có:
y 4 x 2 t 3 t x 2 4 3t t 2 x 2

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



y 0 với mọi x khi t = -1 hoặc t = 4

Với t = -1 thì a = 3 t = 4 > 0 nên g ( x) 0 f ( x, y) 0
Suy ra Q(x,y) có GTNN là -1 và xảy ra khi
f ( x, y) 0 g x, y 0 2 y x 0 x 2 y( 0)
2

Với t = 4 thì a = 3 t = -1 < 0 nên g ( x, y) 0 f x, y 0
Suy ra f ( x, y) 0 g x, y 0 y 2 x 0 y 2 x 0
-u thế của ph-ơng pháp tham biến càng đ-ợc thể hiện qua ví dụ sau:
VD3:
2

Tìm u, v để biểu thức Q =

ux v

x2 1

đạt GTLN bằng 4 và GTNN bằng -1
Giải:
Đặt f(x) = Q(x) t =





ux v t x 2 1
x 1
2

2

Vì x + 1 > 0 với mọi x nên dấu của f(x) chính là dấu của tử thức g(x) =
2
2
Q x 2 y 1 2 x ay 5 ux v t x 2 1 hay g(x) = tx2 ux v t
Để GTLN của Q(x) là 4 và GTNN của Q(x) là -1 xảy ra đồng thời thì dựa
vào (*) ta phải có:
1 1
Hay

2 0

2

v 3

u 16 v 4 0
2
2
u 16

u 4 v 1 0

nghĩa là (u,v) = (4,3) hoặc (4,-3)
Bài tập đề nghị:
Bài 1.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Q sau đây:
x2 4 2 x 3
x2 1
1 x4
2) Q
(1 x 2 ) 2

1) Q

x 2 xy y 2
x 2 xy y 2
x 2 y 1
4) Q 2 2
x y 7
2x 1
5) Q 2
x x4
2x 3
6) Q 2
x x 1

3) Q

7) Q x 2 y 1 2 x ay 5
2

2

Bài 2.Tìm m để biểu thức Q =

xm
chỉ nhận giá trị thuộc 1;1
x x 1
2

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



VII.ph-ơng pháp giải toán cực trị của biểu thức chứa dấu căn

Các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa dấu căn th-ờng gặp trong
các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 và các kỳ thi học sinh giỏi. Với cơ sở lý thuyết
đã đ-ợc cung cấp ở ch-ơng I, tác giả xin đ-a ra một số ví dụ minh hoạ
VD1:
Tìm GTNN của biểu thức sau với x R
1) D x 1996 x 1997
2

2) F

2

1
x x 1

Giải:
1) D x 1996 x 1997
Cách 1: Xét các khoảng giá trị của x
Với x < 1996 thì D = 1996 - x + 1997 x = 3993 2x > 1
Với 1996 x 1997 thì D = 1
Với x > 1997 thì D = 2x 3993 > 1
Do đó minD = 1 xảy ra khi 1996 x 1997
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức a + b a b
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0
D x 1996 x 1997 x 1996 1997 x 1

MinD = 1 xảy ra khi x 19961997 x 0 1996 x 1997
1
x x 1
Điều kiện : x 0

2) F

Cách 1:
F
Vì F < 0 nên xảy ra min
x0
( x a) y a 0 xy a x y a 2 xy as a 2 a(s a)

Vì x 0 nên min x = 0

x 0

Vậy minF = -1 xảy ra khi x = 0
Cách 2:

1
1
1 vì x 0 Do đó
1
1 x 1
1 x 1

Vậy minF = -1 xảy ra khi x = 0
VD2:
Tìm GTLN của biểu thức
K

yz x 1 xz y 2 xy z 3
xyz

Giải:
Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



x 1 y 2
z 3


x

y
z

K

với điều kiện x 1, y 2, z 3

áp dụng bất dẳng thức Cô-si ta có:
x 1 1 x 1

1 x 1 x

2
2

1
1 2 y2
y
2 y 2
.

2
2
2
2 2
1
1 3 y 3
z
z 3
3 z 3

.

2
3
3
2 3
y2

Do đó
K



x
y
z


2 x 2 2 y 2 3z

1
1
1
1
1
1


1

2 2 2 2 3 2
2
3

Vậy maxK =

1
1
1
1



2
2
3

Xảy ra khi x = 2, y = 4, z = 6
VD3:
Tìm GTNN của biểu thức sau
H

5 3x
1 x2

Giải:
H

5 3x

1 x2

xác định khi -1 < x < 1 H 0

5 3x
2
Ta có H
1 x2


2

2

2
2
2
3 5x
25 30 x 9 x 9 30 x 25 x 16 16 x
16 16

1 x2
1 x2
1 x2

3
Vậy minH = 4 khi x =
5

VD4:

Tìm GTNN của biểu thức sau
K = x 2 1 x 1 x 2 1 x 1
Giải:
Điều kiện :

x 1

K = x 2 1 x 1 x 2 1 x 1
K=
=





x 1 1

x 1 1

2







x 1 1

2

x 1 1

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu





x 1 11 x 1 2

minK = 2 x 1 11 x 1 0
Vì x 1 1 0 nên 1 x 1 0 x 0
Vậy minK = 2 xảy ra khi 1 x 0
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của biểu thức:
A=

2
x 6 x 13

Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức:
B=

x 2 x 37
2

x 1

Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức:
C=

3x
3x
3 2 x x2
3 2 x x2
2
2

Bài 4. Tìm GTLN của biểu thức:
D

1
2
2 x


2 x 2 x x4

VIII.ph-ơng pháp giải toán cực trị đại số với các biến có
điều kiện

Chúng ta đã quen biết bài toán tìm cực trị của hai biến có một điều kiện ràng
buộc, chẳng hạn nh- bài toán sau:
VD1:
Tìm GTLN của tích xy với x, y là các số d-ơng thoả mãn điều kiện x + y = s,

trong đó s là số d-ơng cho tr-ớc
Giải:
Cách 1: áp dung trực tiếp bất đẳng thức Cô-si
s2
x y s
xy



4
2 2
2

2

s2
s
khi và chỉ khi x y
2
4

Vậy GTLN (xy) =

Cách 2:
Đ-a về xét cực trị của hàm một biến
s2
s2 s2
s
s2
xy x s x sx x x 2 sx x

4
4 4
2
4
2

2

Vậy GTLN (xy) =

s2
s
khi và chỉ khi x y
2
4

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



Cách 3:
Sắp thứ tự giá trị các biến (theo điều kiện hoặc khi vai trò của chúng nh- nhau)
và so sánh với giá trị không đổi xen giữa chúng.
Giả sử x y . Từ x + y = s ta có:
x

s
s
s
s

s2
s

y nên x y 0 xy x y 0 xy
2
2
2
2
2
4


s2
s
Vậy GTLN (xy) =
khi và chỉ khi x y
2
4

Việc giải bài toán trên sẽ khó khăn hơn khi các biến bị ràng buộc thêm một điều
kiện nữa
VD2:
Tìm GTLN của tích xy với x, y là các số d-ơng thoả mãn hai điều kiện
(1) x + y = s
(2) y a
trong đó s, a là những số d-ơng cho tr-ớc và a < s
Giải:
Nếu a
x y

s2
s
thì theo cách giải ở VD1 ta có GTLN (xy) =
khi và chỉ khi
4
4

s
a
2

Xét tr-ờng hợp a >

s
2

Theo cách 2 ở VD1, đặt y = a + t với t 0
Từ đó xy s y y s a t a t t t 2a s a s a a s a
(vì t 0, t 2a s 0 )
Đẳng thức xảy ra khi t = 0, y = a và GTLN (xy) = a (s a)
s
2

Theo cách 3 ta thấy x a y nên
( x a) y a 0 xy a x y a 2 xy as a 2 a(s a)

Đẳng thức xảy ra khi y = a và x = s a
Vậy GTLN (xy) = a (s a)
VD3:
Tìm GTLN của tích xyz với x, y, z là các số d-ơng thoả mãn hai điều kiện

(1) x + y +z = s
(2) z a
trong đó s, a là những số d-ơng cho tr-ớc và a < s
Giải:
Nếu a

s
thì áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
3

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



x yz s
xyz

3

3
3

3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z
s
Lúc đó, GTLN(xyz) =
3

s

3

3



s
sa
Xét tr-ờng hợp a
a
3
2
2

x y

2

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: xy

2

(*)

Ta có: x y a x y z s 3a x y 2a
áp dụng cách giải 3, từ

x y
a
2

x y
a z ta có
2

x y

a z a 0

2

x y
x y


z a
z a
2
2


(**)

Từ (*),(**) và áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
2

x y x y


za

2




x y x y
x y x y
2 2
sa

xyz
z a
a

z a


2

2 2
2 2

2




s
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = a và x y
2

sa
Lúc đó, GTLN(xyz) = a


2

2

VD4:
Tìm GTLN của tích xyz với x, y, z là các số d-ơng thoả mãn các điều kiện
(1) x + y +z = s
(2) z a
(3) y b với b là số d-ơng cho tr-ớc, x b y b a s
trong đó s, a là những số d-ơng cho tr-ớc và a < s
Giải:
sa
thì giải nh- VD3
2
sa
Xét tr-ờng hợp b
s a 2b
2

Nếu b

Lúc đó:
x= s (y + z) < s (a + b) < a + 2b (a + b) = b
Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu

áp dụng cách giải 3 với x b y ta có

x b y b 0 xy b x y b

(***)

Lại có x y b s z b s a b a 2b a b b a
Từ x y b a z ta có
( x y b a ) z a 0 x y b z a ( x y b z a ) a ( s a b)

Từ đó và (***) ta suy ra

xyz b x y b z ba(s a b)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z = a, y = b, x = s a b
Lúc đó: GTLN(xyz) = ab(s a b)
Nh- vậy, từ một bài toán cực trị đại số với các biến có một điều kiện ta đã đề
xuất và giải các bài toán cực trị đại số với các biến bị ràng buộc bởi nhiều điều
kiện hơn
Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN của xy + yz + xz với x, y, z là các số d-ơng thoả mãn các
điều kiện
(1) x + y +z = s
(2) z a
(3) y b với b là số d-ơng cho tr-ớc, x b y b a s
trong đó s, a là những số d-ơng cho tr-ớc và a < s
Bài 2. Tìm GTLN của tích xyzt với x, y, z, t là các số d-ơng thoả mãn các điều
kiện :
(1) x + y +z + t = s

(2) t a
(3) z b
(4) y c
trong đó s, a, b, c là những số d-ơng cho tr-ớc và c < b < a < s
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức x + y thoả mãn điều kiện
2 x y 10

Bài 4. Tìm GTNN của biểu thức A = x2 y 2 z 2
thoả mãn điều kiện x + y + z = 3
ch-ơng III. Một số sai lầm khi giải toán cực trị
Một trong những ph-ơng pháp giải toán cực trị hiệu quả là dùng các bất đẳng
thức quen thuộc. Nh-ng cũng chính ph-ơng pháp này lại dễ gây ra những sai
lầm nếu không nắm vững bản chất của nó.
Bài toán 1. Biết rằng x + y + z = 1 và x, y, z d-ơng
Tìm GTLN của
S = xyz x y y z z x
Có bạn đã giải nh- sau:
Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu



z x y 2 z x y
x y z 2 x y z

(1)

y z x 2 y z x

Nhân từng vế của (1) ta có:
1 8 xyz x y y z z x

Từ đó S

(2)

1
1
Sma x
64
64

Nhận xét: Cách giải trên cho đáp số sai vì điều kiện xảy ra dấu bằng của các bất
đẳng thức đã dùng không đạt đ-ợc đồng thời. Cụ thể:
1
đạt đ-ợc khi và chỉ khi
64
z x y
y x z
x y z 0


x z y x y z 1
x y z 1 x, y , z 0


x, y, z 0
S

Nh- vậy không tồn tại (x,y,z) để tại đó S
Sma x

1
. Do đó không thể kết luận
64

1
64

Lời giải đúng:
Với x,y,z 0 , ta có:
x y z
S = xyz x y y z z x
x y y z z x
3


1

x y y z z x
27
3

1 x y y z z x
8


2
27
3
27

3

Vậy S

8
27 2

x y z 1
x, y , z 0

Với mọi x,y,z thoả mãn

x y z
x y y z z x
1
x yz
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
x y z 1
x, y, z 0
8
1
Kết luận: Sma x 2 đạt tại x = y = z =
27
3

Hóy luụn truy cp cp nht mi ti liu