Dạng toán về đường trung bình

Bài toán: Cho ΔABC, trung tuyến AD. Trên AC lấy điểm E sao cho AE= AC. Gọi M là
giao điểm của BE và AD. I là trung điểm của CE. Chứng minh:
a)
b)
c)

ID // EM
M là trung điểm của AD
Lấy K ϵ AB sao cho AK=AB. Chứng minh BE; AD; CK gặp nhau tại điểm M.
Hình vẽ

Chứng minh
a)

Ta có: AE + EC = AC
AE= AC
Mà EC= AC
Theo giả thiết ta có: EI=IC


b)

AE=EI=IC= AC
Xét BCE, có:

CI=IE
CD=BD (gt)
ID là đường trung bình
 DI // BE ( tính chất đường trung bình)
Do M BE => ID // ME
Vậy ID // ME

Xét AID, có:
AE=EI (cmt)
DI // ME (cmt)




M là trung điểm của AD (đoạn thẳng đi qua trung điểm một cạnh // với cạnh thứ
2 thì là trung điểm cạnh thứ 3)

c)

Hình vẽ:

Lấy N là trung điểm của BK.
Ta có: BK + AK = AB
AK =AB (gt)
BK =AB
Theo cách lấy điểm N, có: KN=NB







AK=KN=NB
Xét AND, có:
AK=KN (cmt)
AM=MD (cmt)

KM là đường trung bình của AND
KM // ND (t/c đường trung bình)
Xét BKC, có:
BN=NK (cách lấy N)
BD=DC (gt)
N là đường trung bình của BKC






ND // KC (t/c đường trung bình)
Mà ND // KM => K,M,C thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit)
MKC
Do M là giao điểm của AD và BE (gt)
KC, AD, BE giao nhau tại M là trung điểm của AD
Vậy KC, AD, BE giao nhau tại điểm M.