Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh quảng ngãi năm học 2015 2016(có đáp án)

Tên : Trương Quang An
Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng
Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi
Điện thoại : 01208127776
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Ngày thi : 24/3/2015
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1: (4,0 điểm )
a) Với a,b là các số nguyên .CMR : Nếu 4a2  3ab 11b2 5 chia hết
cho 55 thì a4  b4 5 chia hết cho 5
b) Tìm các số nguyên tố p để p 2  2 p cũng là số nguyên tố .
c) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số tự nhiên và số đo diện tích
bằng số đo chu vi
Bài 2 :(4,0 điểm)
3x
 3x  1  1
3x  10
x  y  xy  3


b) Giải hệ phương trình:  1
1
2
 x2  2 x  y 2  2 y  3


a) Giải phương trình :

Bài 3 : (4 điểm )
a) Cho ba phương trình ( ẩn x):
x2  2ax  bc  0(1); x2  2bx  ac  0(2); x2  2cx  ab  0(3);

CMR trong ba phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm.
b) Tìm GTNN của biểu thức A= x  2 xy  3 y  2 x  1 .
Bài 4 : (4 điểm )
Cho tam giác ABCABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Trên cũng nhỏ
BC lấy điểm M ( M khác B,C ).Gọi H,I,K lần lượt là điểm đối xứng của M qua
AB,BC,AC.
a) Chứng minh ba điểm H,I, K thẳng hàng .
b) Tìm vị trí của điểm M để HK lớn nhất.
Bài 5 (4 điểm )
1) Cho đường tròn tâm (O;R) và điểm A cố định sao cho OA=2R .Một đường
thẳng d quay quanh điểm A ( không đi qua tâm O) và cắt đường tròn (O;R) tại hai
điểm phân biệt M, N (M nằm giữa 2 điểm A,N).
a) Tính diện tích tam giác AON theo R khi M là trung điểm AN.


b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MON luôn đi qua 1 điểm cố
định
(khác điểm O) .
2) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM.Tính số đo các góc B và C của tam
giác ABC, biết rằng MAB  150 MAC  300 .
Bài giải :
Bài 1: (4,0 điểm )
a) Với a,b là các số nguyên .CMR : Nếu 4a2  3ab 11b2 5 chia hết

cho 5 thì a4  b4 5 chia hết cho 5.
b) Tìm các số nguyên tố p để p 2  2 p cũng là số nguyên tố .
c) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số tự nhiên và số đo diện tích
bằng số đo chu vi.
Giải
2
2
a) Ta có 4a  3ab 11b 5 hay (4a  b)(a  b) 5 (1) .Mà ta có
(4a  b)  (a  b)  5a 5

Nên một trong hai biểu thức 4a-b và a+b phải có một biểu thức chia hêt cho 5 .
Gỉa sử (a  b) 5 thì a4  b4  (a  b)(a  b)(a2  b2 ) 5 .
Gỉa sử (4a  b) 5 hay (5a  a  b) 5 nên (a  b) 5 thì
a4  b4  (a  b)(a  b)(a 2  b2 ) 5 .
b) Nếu p=2 thì p2  2 p  4  4  8 (không thỏa ) .
Nếu p=3 thì p2  2 p  9  8  17 ( thỏa ) .
Nếu p  3 thì p2  2 p  ( p2 1)  (2 p  1) 3
Kết luận p=3 là giá trị cần tìm .
c) Gọi a,b,c là độ dài hai cạnh của tam giác vuông cần tìm .Khi đó ta có
a  b  a 2  b2 
2 a 2  b2 

ab

2

ab
 (a  b)  ab  4a  4b  8  0  (a  4)(b  4)  (1).(8)  (2).(4)
2

Ta có các trường hợp sau :
a  4  1  a  5

(thỏa mãn ) khi đó c  13 .
b  4  8 b  12

TH1 : 

a  4  8 a  12

(thỏa mãn )khi đó c  13 .
b  4  1
b5

TH2 : 

a  4  1  a  3

( không thỏa mãn ).
b  4  8 b  4

TH3 : 


a  4  8 a  4
( không thỏa mãn ).

 b  4  1  b  3

TH4 : 

a  4  2
a  6
(thỏa mãn ) khi đó c  10 .

b  4  4
b  8

TH5: 

a  4  4
a  8
(thỏa mãn ) khi đó c  10 .

b  4  2
b  6

TH6: 

a  4  2
a  2
( không thỏa mãn ).

b  4  4
b  0

TH7: 

a  4  4
a  0

(không thỏa mãn ).

b  4  2
b  2

TH5: 

Vậy độ dài 3 cạnh của tam giác vuông đó là : (5;12;13) ; (12;5;13) ;(6;8;10) và
(8;6;10).
Bài 2 :(4,0 điểm)
3x
 3x  1  1
3x  10
x  y  xy  3


b) Giải hệ phương trình:  1
1
2
 x2  2 x  y 2  2 y  3


a) Giải phương trình :

Giải
1
. Ta có :
3
3x
3x

3x
1
1
 3x  1  1 

 3x.(

)0
3x  10
3x  10
3x  1  1
3x  10
3x  1  1

a) Điều kiện x 

3x  0

x  0



1
1


x  5
3x  1  1
 3x  10

Vậy nghiệm của phương trình là S  0;5 .
x  y  xy  3
( x 2  2 x  1).( y 2  2 y  1)  16

 ( x  1).( y  1)  4



b)  1
1
2  1
1
2 
1
1
2
 2

2

 x2  2 x  y 2  2 y  3
 x2  2x  y 2  2 y  3
x  2x y  2 y 3



2
2
Đặt a  x  2 x; b  y  2 y . Hệ phương trình trên trở thành :

(a  1).(b  1)  16
 x2  2 x  3
 x  y 1
a  3

 2



1 1 2
 
b  3
 y  2 y  3  x  y  3

a b 3

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là (1;1) và (-3;-3).
Bài 3 : (4 điểm )
d) Cho ba phương trình ( ẩn x):
x2  2ax  bc  0(1); x2  2bx  ac  0(2); x2  2cx  ab  0(3);

CMR trong ba phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm
b) Tìm GTNN của biểu thức A= x  2 xy  3 y  2 x  1
Giải
1

a) 1'  '2  3'  a 2  bc  b2  ac  c2  ab  . (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2   0 nên trong ba
2
phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm .

b) Ta có 3A= x  2 xy  3 y  2 x  1 hay 3A=
( x  3 y )2  2( x  1,5)2  1,5  A  0,5 .
Gía trị nhỏ nhất của A là -0,5 khi x=2,25 và y=0,25 .
Bài 4 : (4 điểm )
Cho tam giác ABCABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O.Trên cũng nhỏ
BC lấy điểm M ( M khác B,C ).Gọi H,I,K lần lượt là điểm đối xứng của M qua
AB,BC,AC.
a) Chứng minh ba điểm H,I, K thẳng hàng
b) Tìm vị trí của điểm M để HK lớn nhất
Giải
A

K
O
I
Q
H
B

N

P
M

C


a)Gọi P,N,Q lần lượt là giao điểm của MH với AB ,MI với BC ,MK với AC.Ta có
cá tứ giác MNBP ,MNQC nội tiếp trong một đường tròn .Suy ra
PMB  PNB ; CMQ  CNQ .

Mặt khác MBP  MCQ suy ra PMB  CMQ . Do đó PNB  CNQ nên P,M,Q
thẳng hàng.
Mà ta có NP,NQ là các đường trung bình của tam giác MHI và MKI nên IH song
song với PQ (1)
và IK song song với PQ (2) .Từ (1) và (2) suy ra ba điểm H,I, K thẳng hàng .
b) HK lớn nhất khi PQ lớn nhất (Vì HK = 2PQ) mà PQ lớn nhất khi PQ là đường
kính đường tròn ngoại tiếp từ giác APMQ hay PQ = AM mà AM lớn nhất khi AM
là đường kính đường tròn (O) hay M là điểm chính giữa cung BC
Bài 5 (4 điểm )
1) Cho đường tròn tâm (O;R) và điểm A cố định sao cho OA=2R .Một đường
thẳng d quay quanh điểm A ( không đi qua tâm O) và cắt đường tròn (O;R) tại hai
điểm phân biệt M, N (M nằm giữa 2 điểm A,N).
a) Tính diện tích tam giác AON theo R khi M là trung điểm AN.
b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MON luôn đi qua 1 điểm cố
định
(khác điểm O) .
2) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM.Tính số đo các góc B và C của tam
giác ABC, biết rằng MAB  150 ; MAC  300 .
Giải

N
C
M
P
A
H

I

T

1)

O


a)Gọi I là trung điểm AO=>I thuộc (O) .
Mà M là trung điểm AN => IM 
IM 

ON R
 .Tam giác OMI cân tại O có OM=OI=R;
2
2

ON R
 .
2
2

Kẻ đường cao OP của tam giác MIO ,ta có OP  MO 2  MP 2  R 2 
Nên SOIM

R 2 R 15
.

16
4

1 R R 15 R 2 15

R 2 15 R 2 15
. Mà S AON  4.SOIM  4.
.
 . .


2 2
4
16
16
4

b.Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác MON .Gọi H là giao của đường tròn
ngoại tiếp MON và AO .
Tứ giác MION nội tiếp đường tròn (O) nên =>AM.AN=AH.AO .
Lại có AM .AN  AT 2 (với AT là tiếp tuyến của (O) tại T) .
=> AH .AO  AT 2 => AH không đổi=>H cố định.
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác MON luôn đi qua H cố định

2)
Lấy H đối xứng với B qua AM =>Tam giác ABH cân =>AH=BH

(1) .

BC
Mà AM là trung trực BH=>BM=MH => MH 
.
2
Nên tam giác BHC vuông tại H => AHC  600  900  1500

Mà HAC  150 => HAC  HCA  150 =>Tam giác AHC cân tại H .
Lúc đó ta có AH=HC (2) .
Từ (1),(2)=>BH=HC .Mà BHC  900 =>Tam giác BHC vuông cân tại H .
Suy ra HBC  450 nên ta có ABC  1050 và ACB  300 .