Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán tỉnh quảng ngãi năm học 2015 2016(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10
Năm học: 2015-2016
Môn: TOÁN(11/6/2015)
Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (1,5 điểm)
1) Thực hiện phép tính : 4 16 – 3 9
2) Rút gọn biểu thức M = (

a+ a
a− a
+ 1)(1 +
) , với a ≥ 0 ; a ≠ 1.
a +1
1− a

Bài 2: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình và hệ phương trình:
a) x2 + 3x – 4 = 0.

2 x − y = 1
3 x + 2 y = 12

b) 

2) Cho phương trình x2 – 2x + m + 3 = 0 (với m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3 và tìm nghiệm còn lại.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức
x12 + x22 – x1x2 – 4 = 0.
Bài 3: (2,0 điểm) Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì xong một con đường. Nếu
mỗi đội làm riêng để xong con đường thì thời gian đội thứ nhất ít hơn đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu
làm riêng thì mỗi đội làm xong con đường trong thời gian bao lâu ?
Bài 4: (3,5 điểm)Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm nằm giữa hai điểm A
và B. Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn, vẻ hai tia Ax và By tiếp xúc với nửa
đường tròn đã cho. Trên tia Ax lấy điểm I (với I khác A); đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt
By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại E.
1. Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn.
2 . Chứng minh AI.BK = AC.CB.
3. Chứng minh điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB.
4. Cho các điểm A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang
ABKI lớn nhất.
Bài 5: (1,0 điểm)Cho x, y là các số dương thỏa mãn (11x + 6y + 2015)(x – y + 3) = 0. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy – 5x + 2016
---------------------------- HẾT ---------------------------Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10
Năm học: 2015-2016
Môn: TOÁN(11/6/2015)
Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề)

BÀI GIẢI
Bài 1: (1,5 điểm)

1) Thực hiện phép tính : 4 16 – 3 9
2) Rút gọn biểu thức M = (

a+ a
a− a
+ 1)(1 +
) , với a ≥ 0 và a ≠ 1.
a +1
1− a

Bài giải
2

1) Ta có : 4 16 – 3 9 = 4 4 – 3 32 = 4.4 – 3.3 = 16 – 9 = 7.
2) Với a ≥ 0 và a ≠ 1, ta có :
M=(
=[

a+ a
a− a
+ 1)(1 +
)
a +1
1− a
a ( a + 1)
+ 1][1 –
a +1

a ( a − 1)
]

a −1

= (1 + a )(1 – a ) = 1 – a
Vậy M = 1 – a.
Bài 2: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình và hệ phương trình:
a) x2 + 3x – 4 = 0.

2 x − y = 1
3 x + 2 y = 12

b) 

2) Cho phương trình x2 – 2x + m + 3 = 0 (với m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3 và tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức
x12 + x22 – x1x2 – 4 = 0.
Bài giải
1) Giải phương trình và hệ phương trình:
a) x2 + 3x – 4 = 0
Phương trình có a + b + c = 1 + 3 – 4 = 0
Nên có nghiệm x1 = 1 ; x2 = – 4.
2 x − y = 1
4 x − 2 y = 2
7 x = 14
x = 2
x = 2
⇔ 
⇔ 
⇔

⇔
3 x + 2 y = 12
3 x + 2 y = 12
3 x + 2 y = 12
3.2 + 2 y = 12
y = 3

b) 

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x ; y) = (2 ; 3).


2) a) Phương trình x2 – 2x + m + 3 = 0 (1)
Thay x = 3 vào phương trình (1), ta được : 32 – 2.3 + m + 3 = 0
⇔6+m=0 ⇔m=–6
Áp dụng hệ thức viét, ta có : x1.x2 = m + 3
Với m = – 6 , x1 = 3 ⇒ 3.x2 = – 6 + 3 ⇒ 3x2 = – 3 ⇒ x2 = – 1.
b) Phương trình (1) có ∆ ' = (– 1)2 – (m + 3) = – m – 2
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi :
∆' > 0 ⇔ – m – 2 > 0 ⇔ – m > 2 ⇔ m < – 2
 x1 + x2 = 2
(2)
 x1. x2 = m + 3

Với m < – 2, theo hệ thức viét, ta được : 

Khi đó : x12 + x22 – x1x2 – 4 = 0 ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 – x1x2 – 4 = 0
⇔ (x1 + x2)2 – 3x1x2 – 4 = 0 (3)
Từ (2) và (3) suy ra : 22 – 3(m + 3) – 4 = 0 ⇔ – 3m – 9 = 0
⇔ – 3m = 9 ⇔ m = – 3 (thỏa điều kiện)

Vậy m = – 3 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức
x12 + x22 – x1x2 – 4 = 0.
Bài 3: (2,0 điểm) Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì xong một con đường. Nếu
mỗi đội làm riêng để xong con đường thì thời gian đội thứ nhất ít hơn đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu
làm riêng thì mỗi đội làm xong con đường trong thời gian bao lâu ?
Bài giải
Gọi x (giờ) là thời gian đội thứ nhất làm riêng xong con đường. Điều kiện : x > 0
Khi đó, thời gian đội thứ hai làm riêng xong con đường là : x + 6 (giờ)
1
(con đường)
x
1
Một giờ đội thứ hai làm được : x + 6 (con đường)

Một giờ đội thứ nhất làm được :

Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì xong nên một giờ hai đội làm được :
1
(con đường)
4
1
1
1
Ta có phương trình : + x + 6 =
x
4
⇔ 4(x + 6) + 4x = x(x + 6)
⇔ 4x + 24 + 4x = x2 + 6x
⇔ x2 – 2x – 24 = 0
∆ ' = 25 > 0 ⇒ ∆ ' = 5

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :
x1 = 1 + 5 = 6 (nhận)
x2 = 1 – 5 = – 4 (loại)
Vậy :


Đội thứ nhất làm riêng xong con đường trong 6 giờ
Đội thứ hai làm riêng xong con đường trong 6 + 6 = 12 giờ.
Bài 4: (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm nằm giữa hai điểm A và
B. Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường tròn, vẻ hai tia Ax và By tiếp xúc với nửa đường
tròn đã cho. Trên tia Ax lấy điểm I (với I khác A); đường thẳng vuông góc với CI tại C cắt By tại K.
Đường tròn đường kính IC cắt IK tại E.
1. Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn.
2 . Chứng minh AI.BK = AC.CB.
3. Chứng minh điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB.
4. Cho các điểm A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích hình thang
ABKI lớn nhất.
Bài giải
x
y 1. Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được
K
đường tròn.
·
Ta có : AB ⊥ By ⇒ CBK
= 900
·
Ta lại có : IEC
= 900 (góc nội tiếp chắn nửa
·

đường tròn) ⇒ CE ⊥ IK ⇒ CEK
= 900
E
Tứ giác CEKB
I
·
·
+ CEK
= 900 + 900 = 1800
CBK
Suy ra tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn.
A

C

O

B

2 . Chứng minh AI.BK = AC.CB.
·
·
·
·
·
·
Ta có : ACI
+ ICK
+ KCB
= 1800 mà ICK

= 900 (vì IC ⊥ CK) nên ACI
+ KCB
= 900 (1)
·
·
Trong ΔCBK vuông tại B, ta lại có : BKC
+ KCB
= 900 (2)
·
·
Từ (1) và (2) suy ra : ACI
= BKC
·
·
·
·
Xét ΔIAC và ΔCBK có : IAC
= CBK
= 900 và ACI
= BKC
(cmt)
⇒ ΔIAC ∽ ΔCBK (g.g) ⇒

AI
AC
⇒ AI.BK = AC.CB.
=
CB BK

Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn (11x + 6y + 2015)(x – y + 3) = 0. Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức P = xy – 5x + 2016
Bài giải
Ta có : (11x + 6y + 2015)(x – y + 3) = 0
⇒ x – y + 3 = 0 (vì x, y > 0 nên 11x + 6y + 2015 > 0 với mọi x, y∈ R)
⇒ y=x+3
Khi đó : P = xy – 5x + 2016
= x(x + 3) – 5x + 2016
= x2 + 3x – 5x + 2016
= x2 – 2x + 2016
= x2 – 2x + 1 + 2015


= (x – 1)2 + 2015 ≥ 2015 với mọi x ∈ R

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = xy – 5x + 2016 bằng 2015 khi x – 1 = 0
⇒ x = 1 và y = 3 + 1 = 4