Bài Giảng Trọng Tâm Hệ Phương Trình 2014

Bài Giảng Trọng Tâm Hệ Phương Trình
Phần 1. Hệ bậc nhất x,y (hệ tuyến tính 2 ẩn x,y)(bài toán trong mặt phẳng Oxy)
a1 b1
c b
a c
a1 x  b1 y  c1
; Dx  1 1 ; Dy  1 1
với D 
Dạng hệ: 
a2 b2
c2 b2
a2 c2
a2 x  b2 y  c2

D
Dx
;y  y .
D
D
D  0
D  0
hệ VN. Nếu 
: hệ VSN.
2. Nếu 
 Dx  0( Dy  0)
 Dx  0  D y
3. Ví dụ
1. Nếu D  0 hệ có duy nhất nghiệm: x 

2mx  ( m  1) y  1  3m
từ đó tìm hệ thức

( m  2) x  my  3m  2

1. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất 
liên hệ giữa x và y độc lập m.

6mx  (2  m) y  3
từ đó tìm hệ
( m  1) x  my  2

2. Biện luận theo m số nghiệm hệ phương trình 
thức liên hệ giữa x và y độc lập m.
3.
Phần 2. Hệ đặc biệt x,y,z (bài toán trong không gian Oxyz)
x  y  z  2

1. 2 x  y  z  1
 x 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  9


x  y  z  0

2. 2 x  3 y  z  0
( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  14

Phần 3. Hệ phi tuyến x,y (trong hệ không còn dạng bậc nhất x,y hay x,y,z mà có dạng tổng,
tích, lũy thừa của biến số x,y,z)
1. Lý thuyết cơ bản
x  y  S
. Theo định lý Vi-ét đảo x, y là nghiệm của phương
Bài toán 1. Tìm hai số x,y thỏa 

 x. y  P
trình bậc 2: X 2  SX  P  0 (1). Điều kiện có nghiệm của phương trình (1) là   S 2  4 P  0 .
x  X1 x  X 2

Với điều kiện này thì phương trình (1) có hai nghiệm X 1; X 2 khi đó ta có 
 y  X 2  y  X1

x  y  S
(I)
Bài toán 2. Tìm x, y thỏa hệ  2
2
2
x  y  k  0
x  y  S
x  y  S


Ta có : (I)  
. Giải như bài toán 1.
S2  K2
2
2
(
x
y
)
2
xy
k
0





xy

P


2
xy
P


Bài toán 3. Tìm x,y thỏa  2
(I)
2
2
x  y  k  0
 xy  P
 x. y  P
 xy  P
.
Ta có hệ (I)  




2
2

2
2
 x  y   k 2  2 P  S
( x  y )  2 xy  k  0
( x  y )  k  2 P  0
Giải như bài toán 1. Lưu ý cần có   S 2  4 P  0  k 2  2 P  4 P  0  k 2  2 P  0 .

Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095


Bài Giảng Trọng Tâm Hệ Phương Trình
 x  y  xy  l
Bài toán 4. Tìm x, y thỏa hệ  2
(I)
2
 x y  xy  q
 x  y  xy  l S  x  y ;P  xy S  P  l
  
 
. Giải như bài 1.Với S, P là nghiệm của phương
Hệ (I)  
 xy ( x  y )  q
S .P  q
trình bậc 2: X 2  lX  q  0 (1). Tương tự ta làm cho đến khi ra ẩn ban đầu x,y….
l
l2
khi đó phương trình (1) có nghiệm kép X 1  X 2   S  P . Suy ra
4
2
l

l
x,y là nghiệm của phương trình bậc 2: t 2  t   0  2t 2  lt  l  0 ( 2). Từ đây ta suy ra
2
2
điều kiện có nghiệm của hệ (I)  (2) có nghiệm    l 2  8l  0  l  0  l  8 .

Nếu   l 2  4 q  q 

Nếu   l 2  4q  0 khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt X 1 ; X 2 làm như bài toán 1
ta sẽ tìm được x,y.
Bài toán 5. Tìm x, y thỏa hệ 2(I)
 S 2  S  k 2  l (1)
( x  y ) 2  xy  k 2 S  x  y ;P  xy  S 2  P  k 2
Hệ (I)  

  
 
( 2)
S  l  P
S  P  l
 x  y  xy  l
Giải (1) tìm S, thay vào (2) , tìm P. Giải như bài toán 1.
x2  y2  k 2
(I)
Bài toán 6. Tìm x, y thỏa hệ 
2
2
( x  y )  l
2
2


( x  y ) 2  2 xy  k 2 S  x  y ;P  xy  P  l  k
  
 
Hệ (I)  
2 . Giải như bài toán 1.
2
2
( x  y )  l
 S   l
Ngoài những bài toán trên còn có những bài ta chỉ dùng phương pháp cộng và thế, hay thử
nghiệm và đặt ẩn phụ thuộc nhau như y  kx; x  ky, k  0 .
 x 2  4 xy  y 2  1
Ví dụ1 : Giải hệ phương trình  2
(I)

3

4
y
xy

Rõ ràng y=0 không là nghiệm của phương trình ta đặt y  kx, k  0 . Ở đây ta giải bằng phương
pháp thế
 x 2  4 xy  y 2  1
2 y 4  31 y 2  16  0
 y 2  16
 x  1  x  1




Hệ (I)  



y2  4
y2  4
y2  4  
 y  4  y  4
x  3y
x  3y
x  3y



x

1
x


1



hay ghi (1;4),(-1;-4).
Vậy hệ (I) có 2 nghiệm 
 y  4  y  4

 x 2  2 xy  3 y 2  9

Ví dụ 2: Giải hệ: phương trình:  2
2
 2 x  2 xy  y  2
 x 2 (3k 2  2k  1)  9  k  2
y  kx , k  0

 2 2

 x (k  2k  2)  2
 k  8 / 3


 3 8  3 8  
;
;
 ( x; y )  (1; 2);(1; 2); 


 17 17  17 17  

2. Bài tập. Giải hệ phương trình

Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095


Bài Giảng Trọng Tâm Hệ Phương Trình
 x 2  xy  y 2  4
1. CĐ Nam Định 2001. Giải hệ phương trình 
. Đs: ( x; y )  (0;2), (2;0).
 x  xy  y  2

( x  y ) 2  xy  4
(2  xy ) 2  xy  4


 x  y  xy  2
 x  y  2  xy
( x  y )2  4  3( y  x )
2. Giải hệ phương trình: 
. Đs: ( x; y )  (2;1), ( 1;3)
2 x  3 y  7

 x  y  1
( x  y ) 2  3( x  y )  4  0

   x  y  4

2 x  3 y  7
2 x  3 y  7


x3  1  2 y
  1  5  1  5  

3. ĐH Thái Nguyên 2001.  3
. Đs: ( x; y )  (1;1); 
;

2
2




 y  1  2x

 x3  2 x  y3  2 y
 f ( x)  f ( y)
Hệ cho Û    3
 3
 y  1  2 x   
 y  1  2x
Trong đó f ( t )  t 3  2 t liên tục trên R. f '( t )  3t 2  2  0,  t  R .
ìï x + y = 1 (1)
4. HVQHQT D 2001. Giải hệ phương trình í 2
ïî( x + y 2 )( x3 + y 3 ) = 280 (2)

(2)  ( x  y ) 2  2 xy  ( x  y ) ( x  y )2  3xy   280
 (1  2 xy )(1  3xy )  280  6  xy   5 xy  279  0
2

 x( x  2)(2 x  y )  9
5. ĐH An ninh A 2001.  2
. Đs: ( x; y )  1;1;  3;9
 x  4x  y  6

( x 2  2 x)(2 x  y )  9
 x2  2 x  3
u.v  9
u  2
Hệ cho Û  2




u  v  6
v  3
2 x  y  3
 x  2 x    2 x  y   6
 x  y  1  2 xy
6. ĐH An ninh D 2001. Giải hệ phương trình  2
.Đs: ( x; y )  0;1; 1;0
2
x  y  1

 x  y  1  2 xy
 x  y  1  2 xy
 x  y  1  2 xy



2
2
2
( x  y )  2 xy  1 (1  2 xy )  2 xy  1 4( xy )  6( xy )  0
 x 2  y 2  5
 x2  y2  5
 x2  y 2  5


7. Giải hệ  4
 2


4
2 2
2 2
2 2
 x  y  x y  13
 x  y   3x y  13  xy  2
Đs: ( x; y )  (1;2), (1;2), ( 1;2), ( 1;2), (2;1), (2;1), ( 2;1), ( 2;1)

 x 2 y  xy 2  6
8. ĐH Thủy sản 1997 
. Đs: ( x; y )  (1;2), (2;1)
 xy  x  y  5

 x 2 y  xy 2  6
 xy ( x  y )  6
 xy (5  xy )  6



 x  y  5  xy
 x  y  5  xy
 xy  x  y  5
x  y  1
9. ĐH An ninh 1997. Giải hệ  3
. Đs: (x;y)=(0;1)và (1;0)
3
2
2
x  y  x  y

Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095


Bài Giảng Trọng Tâm Hệ Phương Trình
x  y  1
x  y  1



3
2
 xy  0
( x  y )  3xy ( x  y )  ( x  y )  2 xy
 x 2  y 2  xy  7
. Đs: (x;y)=(1;2),(2;1),(-1;-2),(-2;-1)
10. ĐHSP HN B 2001. Giải hệ  4
4
2 2
 x  y  x y  21
2
2
 x 2  y 2  7  xy
 x  y  7  xy

 2
2
2 2
2 2
x


y

x
y

21
7

xy
 x 2 y 2  21








 


x3  1  2 y
  1  5  1  5  

11. ĐH Thái Nguyên 2001.  3
. Đs: ( x; y )  (1;1); 
;

2

2



 y  1  2x

 x3  2 x  y3  2 y
 f ( x)  f ( y)
 3
, f (t )  t 3  2t , f '(t )  3t 2  2  0
 3
y


x
1
2

 y  1  2x
 

y  x
 3
x  2x  1  0

 x 2  2 xy  3 y 2  9
12. HVNH TPHCM A 2001.  2
.Đs: xem ví dụ 2
2
2 x  13xy  15 y  0


 5 1    5  1 
;
;
( x; y )   3;2; 3;2 ; 

; 
 2 2   2 2 


1 5 
1 5
1
1


x
x


x
y



x

1





2
2
x
y . Đs: 
13. A.2003. Giải hệ 
,
,
.
y

1

y  1 5 y  1 5
2 y  x 3  1



2
2

1
1
1
= y - Û f ( x) = f ( y )  với  f (t ) = t -  liên tục trên  R \{0}  , 
t
x
y
1

f '(t ) = 1 + 2 > 0, "t ¹ 0   Như vậy  x = y  
t

Ta có:  x -


y2  2
y

3
(1)

x2

. Đs: x=y=1.
14. B2003. Giải hệ 
2
3 x  x  2 (2)

y2
Điều kiện x > 0, y > 0
y y2 + 2 y2
=
. 2
Û x 2 + 2 x = y 2 + 2 y Û f ( x) = f ( y )
2
x
x
x +2
2

3
Trong đó f (t ) = t + 2 t = t + 2t Þ f '(t ) = 3t 2 + 2 > 0, "t

(

Lấy (1) chia (2):

(

) (

)

)

(1)
® 3x3 - x 2 - 2 = 0
Vậy x = y ¾¾¾¾¾

1
 2
 2 x  y  y
15. HVCTQGHCM 2001. Giải hệ phương trình 
. Đs: x=y=1.
1
2
2 y  x 

x
Điều kiện: x  0, y  0

Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095


Bài Giảng Trọng Tâm Hệ Phương Trình
 
 
 
 

1
x y
 2

 2 x  y  y
 2( x  y )( x  y )  ( y  x )  xy ( x  y )  2 xy ( x  y )  xy  1  0


 2
1
1
2
2 y  x 
2 y 2  x  1
2 y  x 
x


x
x


y  x
y  x

Trường hợp 1.  2
1 3
2
2 x  x  x
 2 y  x  x
Trường hợp 2. 2 y 2  x 

 y2  1
x  1
1
2

 2 xy ( x  y )  xy  1  0
y
1

x
x
0,
y
0





2 xy ( x  y )  xy  1  0

vô nghiệm.
1
 2
2 y  x  x
16. Giải hệ:
ì æ
æ
ö
ö
ì
1
ì x4 + x2 = y 4 + y 2
ï x 3 çç x + 1 ÷÷ = y 3 ç y + 1 ÷
ï2 x 3 = y +
ç
÷
y
y
ï
ïï è x ø
è
ø Û ïï
Ûí
í
í 3
1
ï 3
ï 3

ï2 x = y +
1
1
y
ïî
ï2 y = x +
ï2 x = y +
x
î
y
ïî
éìï y = x ¹ 0
2
2
ìæ
êí
ïç x 2 + 1 ö÷ = æç y 2 + 1 ö÷
ì
y
x
=
±
êï2 x 4 - x 2 - 1 = 0
÷ ç
÷
ïïçè
ï
î
2ø è
2ø

Ûí
Ûí 3
1 Û êê
ï 3
ï2 x = y +
1
êïíì y = - x
y
ïî
ï2 x = y +
êï2 x 4 + x 2 + 1 = 0
y
îï
êëî

 x  y  2 xy  0
. Đs: x=y=1.
2 2
2
 x  y  x y  ( xy  1)  1

17. Giải hệ 

 x  y  2 xy  0
 x  y  2 xy  0



2 2
2

2
2
 2 xy  x y  ( xy  1)  1
1  ( xy  1)  ( xy  1)  1
2
1  t  0
Đặt : t  xy  1  1  t  t  1  
2
4
2
1  2t  t  t  1
2

2

x  y  2
1  t  1

 t  0  xy  1  
 xy  1
t  0, t   3
( x  y )( x 2  y 2 )  13
18. DB.B 2006. Giải hệ 
. x, y  R .
2
2
( x  y )( x  y )  25

Đs: Hệ có nghiệm (x;y)  3;2 , ( 2;3) .

Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095


Bài Giảng Trọng Tâm Hệ Phương Trình
( x  y )( x 2  y 2 )  13 6 x 2  13 yx  6 y 2  0
(2 x  3 y )(3x  2 y )  0





2
2
2
( x  y )( x  y )  25
( x  y )( x  y )  25
( x  y )( x  y )  25
2

 y  3 x
 2 x  3 y  0


3
 
 3x  2 y  0
y x
( x  y )( x  y ) 2  25  
2



2
( x  y )( x  y )  25
( x 2  1)  y ( y  x )  4 y
19. DB1.A 2006. Giải hệ phương trình  2
, ( x, y  R )
( x  1)( y  x  2)  y
Đs: Hệ có nghiệm (x;y): 1;2, (2;5) .
Ta thấy y  0 không là nghiệm hệ. Nên hệ có nghiệm khi y  0 .

 ( x 2  1)
 y  ( y  x)  4
( x 2  1)  y ( y  x )  4 y
u  v  4

 2

 2
( x  1)( y  x  2)  y
 ( x  1) ( y  x  2)  1 u( v  2)  1
 y
u  4  v

(4  v )( v  2)  1
x2  y2  x  y  4
20. DB1.A 2005. Giải hệ phương trình 
.
 x( x  y  1)  y ( y  1)  2
Đs: Hệ có nghiệm (x;y): 2 ; 2 ,  2 ; 2 , 1;2 , (  2;1).







 x2  y2  x  y  4
( x  y )2  2 xy  x  y  4
( x  y ) 2  x  y  0


 2


2
 xy  2
 xy  2
 x  y  xy  x  y  2
 x  y  0

   x  y  1
 xy  2

 2x  y  1  x  y  1
21. DB2. A 2005. Giải hệ phương trình 
3x  2 y  4
. Đs: Hệ có nghiệm (x;y): 1;1, ( 1;1).

u  v  1
u  1  v

 2 x  y  1  x  y  1
 2


2
2
2
u  v  5
(1  v )  v  5
 2 x  y  1   x  y   5
5
 2
3
2
 x  y  x y  xy  xy  4
22. A.2008. Giải hệ 
 x 4  y 2  xy (1  2 x )   5

4

Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095


Bài Giảng Trọng Tâm Hệ Phương Trình

5
x  3
4

. Đs: Hệ có nghiệm 

 y   3 25

16

x  1

,
3
 y   2

5
5
5
 2


2
 x  y  xy ( x  y )  xy  4
u  uv  v  4
u  0, v  4



u  1 , v   3
( x 2  y ) 2  xy  5
 u 2  v  5



4

4
2
2
4
3
2 2
x  x y  x y  1
23. DB.A 2007  3
2
 x y  x  xy  1

  x 2  xy 2  x 3 y  1 u 2  v  1 u  1, v  0


 2
3
u  0, v  1
u  v  1
  x  xy  x y  1
 x 4  2 x3 y  x 2 y 2  2 x  9
x4  2 x3 y  x2 y 2  2 x  9

24. B2008. Giải hệ  2

6x  6  x2
y

 x  2 xy  6 x  6

2x


 x  4

Đs:Hệ có nghiệm 
17
 y   4
ìï xy + x + y = x 2 - 2 y 2 (1)
x  5
. Đs:Hệ có nghiệm 
25. D.2008 . Giải hệ í
ïî x 2 y - y x - 1 = 2 x - 2 y (2)
y  2

x 2  ( y  1) x  2 y 2  y  0    (3 y  1) 2
y  1  3y  1

 1 2y
x 
2

 x  y  1  (3 y  1)   y

2
 3 x  y  x  y

 x  y  0  x  y  1
.

 x  y  x  y  2
 x  y  x  y  2

26. B.2002. Giải hệ 

3

x
 x  1 
2
Đs:Hệ có nghiệm 
,
y

1

y  1

2
 x  1  2  y  1
27. B.2005 
; Đs: (1;1),(2;2).
2
3
3log 9 (9 x )  log 3 ( y )  3.

Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095


Bài Giảng Trọng Tâm Hệ Phương Trình
 x  y  xy  3
28. A 2006. Giải hệ 

Đs: (x;y)=(3;3).
 x  1  y  1  4

  

 x  y  xy  3
 x  y  xy  3


 x  1  y  1  4
 x  y  2  2 x  y  xy  1  16
 x  y  xy  3

 x  y  t  3, t  xy
 x  y  t  3



2
2
2 t  t  4  11  t
 xy  2 xy  xy  4  11 t  2 t  t  4  11
 x 3  3x  y 3  3 y
29. Giải hệ  6
6
x  y  1

 f ( x)  f ( y)

3

2
 f (t )  t  3t , f '(t )  3(t  1)  0,| t | 1
1
 . Đs: x=y= 6 .
Giải hệ  
2
 x  1, y  1
 x6  y6  1

 x 3  3x 2  9 x  22  y 3  3 y 2  9 y

30. A 2012.  2
1
2
 x  y  x  y  2
( x  1)3  12( x  1)  ( y  1)3  12( y  1)

2
2

1 
1
 x     y    1
2 
2

 x  1  4 x  1  y 4  2  y
31. A. 2013. 
( x, y  R )
2

2
 2 x  2 x ( y  1)  y  6 y  1  0
 2 x 2  y 2  3 xy  3 x  2 y  1  0
32. B.2013.  2
( x, y  R )
2
 4 x  y  x  4  2 x  y  x  4 y
2
 x  2 y  4 x  1
33. B. 2013. 
 2log 3 ( x  1)  log 3 ( y  1)
 xy  3 y  1  0
34. CĐABD .2013. 
2
 4 x  10 y  xy  0
 xy  x  2  0
35. D.2012  3
2
2
2
 2 x  x y  x  y  2 xy  y  0
 xy  x  2  0
 xy  x  2  0

 2
2
2
2
 x (2 x  y )  x  y ( y  2 x )  y  0 (2 x  y )( x  y )  ( x  y )  0

 x 2  xy  y 2  3( x  y )
.
36. DB1. D 2006. Giải hệ  2
2
2
 x  xy  y  7( x  y )
Đs: (x;y)=(0;1),(2;1),(-1;-2).

Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095


Bài Giảng Trọng Tâm Hệ Phương Trình
( x  y ) 2  xy  3( x  y )
u 2  v  3u
u 2  v  3u
u  v  0






 u  1, v  2
2
2
2
2
2

( x  y )  3xy  7( x  y )

u  3v  7u
 v  2u
 x  2  x 3
      12
37. ĐH Công Đoàn 2001. Giải hệ  y   y 
 2 2
 x y  xy  6
1  x 3 y 3  19 x 3
38. ĐH Thương mại 2001. Giải hệ phương trình 
.
2
2
y
xy
6
x





1
3
1 
1

y
 x 3  y  19
u
 u  6

x 
x 
x

Đs: 
3 ;
2

1 
v  y
x
v  1
 y  2  y  3
 y  1  y   6
 x  x

 y (1  2 x 3 )  3 x 6

39. Giải hệ phương trình 

6 2
6
1  4 x y  5 x

Vì x=0 không là nghiệm hệ phương trình nên hpt cho

t  y  1
 yt 2  2 y 2 t  3  yt (t  2 y )  3

 2



1
2
2
t  2, y 
t
y
yt



(
2
)
4
5
t
y


4
5


2

t

1

x3

1 1

 x  y  x  y  5
.
40. ĐH Ngoại thương 1997. 
x2 y2  1  1  9

x2 y2
 3  5   3  5   3  5   3  5  
; 1;
; 
Đs: ( x; y )  1;
;1; 
;1 
2  
2   2

 2
 

1

1
1
u  x  x ,| u | 2 u  x  , v  y   u  v  5
x
y



1
 v  y  ,| v | 2 u 2  v 2  5

y

 x 2  xy  y 2  19( x  y )2
41. ĐH Hàng hải A 2001. Giải hệ phương trình  2
.
2
 x  xy  y  7( x  y )
Đs ( x; y )  (0;0), (3;2), ( 2;3)
 x3  8x  y3  2 y
42. DB2.A 2006. Giải hệ phương trình:  2
.
2
x
y

3

3
(

1
)


6
6 

6
6  

;  4

Đs: ( x; y )  (3;1), ( 3;1);   4
;
;


13 13   13
13  



 x 3  y 3  2(4 x  y )(1)
 2
2
 x  3 y  6(2)
thế (2) vào (1)

Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095


Bài Giảng Trọng Tâm Hệ Phương Trình
( 2 x  y ) 2  4( 4 x 2  y 2 )  6( 2 x  y ) 2  0

43. ĐH XDHN 1997. Giải hệ 
.
1

2 x  y  2 x  y  3

3 
3

 x  8  x  4
Đs: 
;
y  1 y  1

2
4 
1

log 1 ( y  x )  log 4 y  1
44. A.2004.  4
 x2  y2  1

 23 x  5 y 2  4 y

45. D.2002.  4 x  2 x 1
; Đs: (0;1), (2;4).
y
 x
 2 2

ln(1  x )  ln(1  y )  x  y

46. 

2
2
 x  12 xy  20 y  0

 x  x 2  2 x  2  3 y 1  1
47. 
x 1
2
 y  y  2 y  2  3  1
2
v
uv
u  x  1 u  u  1  3
u  v








2
u
2
u
v  y  1 v  v 2  1  3u
u  u  1  3
1  f (u )  u  1  u 3
 u


f (u )  u 2  1  u 3u  f '(u )   3u ln 3 u 2  1  u  3u  2
 1
 u 1 

1 
f '(u )  u 2  1  u 3u  ln 3  2
  0, u
u 1 

Mà f (u )  1  f (0)  u  0
y
 x
e


2013

y2  1

Chứng minh hệ phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
48. 
x
y
e  2013 

x2  1
x
f ( x )  f ( y )  x  y  h( x )  e x 
 2013, x : x  1

2
x 1
TH1: x  1: Ptvn
Th2: x  1: h ''( x )  0,lim h ( x )  lim h ( x )   . Vậy hàm h(x) liên tục lõm trên













x 1



x 

(1; ) . Nên ycbt chỉ cần có giá trị x0  1 thỏa h( x0 )  0 thì phương trình h(x) có 2
nghiệm dương.

 e x  e y  ln(1  x )  ln(1  y )
x  y  a
. Chứng minh rằng với mọi a  0 hệ có nghiệm duy nhất.

49. 

Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095




Bài Giảng Trọng Tâm Hệ Phương Trình
 e x  e a  x  ln(1  x )  ln(1  a  x )
 f ( x )  e a  x  e x  ln(1  x )  ln(1  a  x )

y  a  x
f '( x )  0, lim h( x)  , lim f ( x )  
x 1

. Đpcm.

x 

50. SDSD
Hệ không mẫu mực
51. S
52. S
Các bài toán hệ chứa tham số.

 x  my  1
có nghiệm (x;y) thỏa xy  0 .
mx  y  3
3 m
3m  1

( 2)
x  my  1 
y 2
x 2
m 1
m 1
m  3
(3m  1)(3  m )
Ycbt 
0
2
 m  1 / 3
 m 2  1

53. D.2008. Tìm m để hệ 

 xy  y 2  12
54.  2
 x  xy  26  m
Vì hệ đối xứng x,y nên hệ có nghiệm duy nhất khi x=y ..

26  m

x
y


 y ( x  y )  12
12



(
)
26
x
x
y
m




 26  m y  26  m y  y   26  m
 12

 12
a. Giải hệ khi m=2
b. Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm.
1
1

x  x  y  y  5

.
55. D-2007. Tìm m để hệ có nghiệm thực 
 x 3  1  y 3  1  15m  10
x3
y3


u  v  5

 u, v là 2 nghiệm phương trình f (t )  t 2  5t  8  m (*)
uv  8  m
Ycbt  f (t )  m có 2 nghiệm t1 , t2 thỏa mãn t1  2; t2  2
Đs:

7
 m  2  m  22
4

 x  y  1

56. Tìm m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt 

 x x  y y  1  3m

  0
u  x
u  v  1 ycbt 
1


 S  0  0  m 

4
uv  m
v  y

P  0

( x  1) 2  y  m
57. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất: 
2
( y  1)  x  m

Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095


Bài Giảng Trọng Tâm Hệ Phương Trình
Giả sử (x,y) là một nghiệm thì ta thấy (y,x) cũng là nghiệm hệ nên x=y.

3
4
3
x  2 y  x  m
58. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất:  3
 y  2x  y  m
Xét phương trình ( x  1) 2  x  m khảo sát.. m 

Giả sử (x,y) là một nghiệm thì ta thấy (y,x) cũng là nghiệm hệ nên x=y.
KS
Xét phương trình f ( x )  x 3  3 x  m 
m  2  m  2
59. Với giá trị nào của m hệ sau có 2 nghiệm phân biệt

log 3 ( x  1)  log 3 ( x  1)  log 3 4

2
log 2 ( x  2 x  5)  m log x 2 x 5 2  5
1  x  3


2
 y  x  2 x  5  (4,8)
 t  log ( x 2  2 x  5)  (2,3)
2

m
t   5

t
3

3

2

 x 2  3x  0
3
2
 x  2 x x  2  m  4m  0

60. Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm: 

61. S
Bài toán xác định m để phương trình có nghiệm.
2
2
1. A.2002. Cho phương trình log3 x  log3 x  1  2m  1  0

a) Giải hệ khi m=2.

b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3  .





2. A.2008. Tìm các giá trị m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt
4
2x  2x  2 4 6  x  2 6  x  m
3. B.2004. Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

m





1  x2  1  x2  2  2 1  x4  1  x2  1  x2

4. B. 2006. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt

x 2  mx  2  2 x  1 .
5. B.2007. Chứng minh rằng với mọi m dương, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân
biệt.

x 2  2 x  8  m( x  2)
6. Tìm m để bất phương trình m 4 x  ( m  1)2 x  2  m  1  0 đúng x  R .
7. Tìm m để bất phương trình có nghiệm x x 

x  12  m log 2 (2  4  x )

2


8. Tìm m để bất phương trình có nghiệm ( x  61 x ) ( m  1)6 x  x  2m  1  0 với
6


x  [0;1]
2
0  x  1  1  61 x  x  61 x  0  ( m  1)6 x  x  2m  1  0, x  [0;1]
6
9.
10.

Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095


Bài Giảng Trọng Tâm Hệ Phương Trình

Nếu được nói: Tôi nguyện sẽ nói những điều hay, lẽ phải.
Nếu được làm: Tôi nguyện sẽ cố gắng làm những điều ý nghĩa và tốt.
Nếu còn sống: Tôi nguyện sẽ sống vì mọi người.
Còn bây giờ: Tôi sống vui từng ngày và có ích cho mọi người.

Ths. Phan Công Thu Nguyên 0933 668 095