Một phương pháp đánh giá mức độ an toàn của kết cấu khung chịu tải trọng động theo lý thuyết tập mờ

68

CHƯơNG 3
Vận dụng và triển khai công thức tỷ số diện tích
đánh giá mức độ an toàn của kết cấu

3.1. mở đầu
Trong điều kiện hiện nay, các thông tin mà ta nhận biết được hầu hết
là không chính xác hoặc không chắc chắn(uncertainty), nhưng vẫn cần phải
đưa ra các quyết định, các hành động xử lý một cách hợp lý và đúng đắn.
Chính vì vậy cần phải có một lý thuyết toán học để mô hình hóa những yếu
tố luôn chứa đựng những thông tin không chính xác, không chắc chắn, hay
mơ hồ(vague) ở bên trong nó. Hầu hết các bài toán liên quan đến hoạt động
nhận thức, trí tuệ của con người đều hàm chứa những đại lượng, thông tin
mà bản chất là không chính xác, không chắc chắn, không đầy đủ. Chẳng
hạn, chẳng bao giờ chúng ta có các thông tin, dữ liệu cũng như các mô hình
toán - lý đầy đủ và chính xác cho các bài toán về dự báo thời tiết hay dự
báo về những trận động đất, sóng thần... kể cả những thông tin về thiên tai,
thật khó mà xác định trước được một cách chắc chắn và chính xác.
Trong lĩnh vực tính toán thiết kế và xây dựng công trình, đa số các
trường hợp những mô hình được thiết lập, những sơ đồ tính của kết cấu chủ
yếu được xây dựng trên cơ sở dựa vào các giả thiết, để đơn giản và thuận
lợi trong tính toán. Bản chất của môi trường và các tác nhân tác động luôn
chứa đựng tính chất ngẫu nhiên, rất khó nhận định một cách chính xác, cho
nên chấp nhận các giả thiết trong tính toán thường không phản ánh đầy đủ
những tình huống có thể xảy ra trong thực tế.
Trong các sự vật và hiên tượng tính không chắc chắn có thể tồn tại ở
những mức độ khác nhau và xuất hiện từ nhiều nguồn khác nhau tùy thuộc
vào sự nhận thức của con người. Có những quá trình mà xét về bản chất ta
không thể sử dụng một mô hình toán học nào để mô tả một cách chính xác

69
các bản chất và qui luật vận động của chúng. Tính không chắc chắn có thể
xuất hiện do sự hiểu biết của con người không đầy đủ về vấn đề đang xét.
Nhìn chung con người luôn ở trong hoàn cảnh thực tế là không thể có
thông tin đầy đủ và chính xác cho các hoạt động ra quyết định của mình và
cũng không thể hy vọng có những quyết định đúng đắn và chính xác dưới
dạng các mệnh đề, định luật như trong ngành khoa học tự nhiên. Nói như
vậy không có nghĩa là các phép toán chính xác, các mô hình tiền định là
không cần thiết, và là phủ nhận các kết quả mà loài người đã đạt được trong
các lĩnh vực khoa học, công nghệ tồn tại nhiều đại lượng có tính không
chắc chắn. Bởi lẽ sau khi đã lựa chọn và nhận định gần đúng mô tả những
sự vật và hiện tượng chứa đựng các tham số có tính không chắc chắn, ta sẽ
phải sử dụng các công cụ là các phép toán chính xác trên các con số cụ thể
được lựa chọn.
Sự an toàn của kết cấu chỉ có thể được đánh giá một cách đầy đủ khi
tính không chắc chắn trong các tham số của kết cấu được xem xét một cách
thích đáng trong các mô hình tính toán thực tế được áp dụng. Để việc đánh
giá mức độ an toàn của kết cấu công trình một cách có hiệu quả, chúng ta
cần thiết phải đánh giá một cách chặt chẽ các mô hình kết cấu và các tham
số hàm chứa tính không chắc chắn ảnh hưởng đến mức độ an toàn của kết
cấu. Tính không chắc chắn là đặc điểm cơ bản cần phải chú ý đối với kết
cấu, tính không chắc chắn xuất hiện trong một kết cấu hay hệ kết cấu từ sự
nhầm lẫn do con người và những sai sót trong chế tạo, từ công tác khai thác
và bảo dưỡng công trình, hay từ những đánh giá thuộc về chuyên môn, và
từ sự thiếu thông tin. Tính không chắc chắn có thể được mô tả bằng các
công cụ khác nhau tùy thuộc vào mức độ thông tin không chắc chắn của
các đại lượng, của các sự vật và hiện tượng. Từ quan điểm phân loại và mô
tả tính không chắc chắn của các sự vật và hiện tượng trong [84], luận án đề
nghị được bổ sung 1 nhánh phân loại theo khoảng như trên hình 3.1.

70

Tính không chắc chắn
(Uncertainty)

Thuộc về
ngẫu nhiên
(Stochastic)

Khoảng
`
(Interval)

Ngẫu nhiên
(Randomness)

Không chính
thức
(Inforrmal)

Ngẫu nhiên mờ
(Fuzzy randomness)

Thuộc về
ngữ nghĩa
(Linguistic)

Mờ

(Fuzziness)

Hình 3.1 Phân loại tính không chắc chắn theo loại hình và đặc trưng
Qua phân tích như trên, chúng ta nhận thấy việc xét đến tính không
chắc chắn trong quá trình chọn quyết định nói chung hay đánh giá mức độ
an toàn của kết cấu nói riêng là vấn đề cần phải quan tâm nghiên cứu, đồng
thời việc lựa chọn mô hình và lý thuyết tính toán là một vấn đề rất quan
trọng. Lý thuyết tập mờ là một công cụ phù hợp giúp phân tích và đánh giá
sự an toàn của kết cấu, cho phép mô hình đồng thời tính không chắc chắn
trong các tham số đầu vào và cả trong sơ đồ tính của kết cấu như đã nêu
trong chương 2.
3.2. Triển khai và chứng minh công thức đánh giá
3.2.1. Chuyển từ đánh giá theo mô hình ngẫu nhiên sang mô hình mờ
ánh giá mc lm vic an ton ca kt cu công trình l mt
nhim v quan trng ca công tác thit k v chn oán k thut. Bài toán
ánh giá thực chất là bài toán so sánh hai tp thông tin. Tp th nht (Q)
cha các thông tin c trng cho trng thái lm vic ca kt cu hay còn
gọi là tập hiệu ứng tải trọng của kết cấu v tp th hai (R) cha các thông
tin c trng cho nng lc ca kt cu, còn gọi là tập khả năng của kết cấu
hay có thể rộng hơn là tập các tiêu chí đánh giá của kết cấu, c thit k
theo mt tiêu chun cht lng no ó. Như đã trình bày và phân tích ở
chương 1, cho đến nay, do tính chất không chắc chắn của số liệu đầu vào


71
và sơ đồ tính công trình các mô hình đánh giá mức độ an toàn của kết cấu
từng bước phát triển chuyển dần từ mô hình đánh giá đơn giản sang mô
hình đánh giá đầy đủ, bao quát hơn. Khi kể đến các yếu tố không chắc
chắn ta có thể biểu diễn chúng dưới dạng đại lượng khoảng, đại lượng ngẫu
nhiên, đại lượng mờ hoặc các đại lượng phức tạp hơn khi có biến thời gian

là quá trình ngẫu nhiên, quá trình mờ và phức tạp nhất là quá trình ngẫu
nhiên mờ đã nêu trong [84]. Sau đây sẽ xem xét việc chuyển mô hình đánh
giá của một hệ thống kỹ thuật (HTKT) chứa các đại lương ngẫu nhiên sang
mô hình đánh giá khi hệ thống chứa các đại lượng mờ.
Theo lý thuyết độ tin cậy, xét một hệ chịu tác động của môi trường
mà véc tơ trạng thái và véc tơ chất lượng được biễu diễn bởi hệ phương
trình :

trong đó:

Lu = q

(3.1)

Gv = u

(3.2)

u = {ui} l véc t trng thái ca h thng kỹ thuật
q = {qi} l véc tơ tác động ngoi qui v ti trng
v = {vi} l véc tơ cht lng ca h thống kỹ thuật.

L: Toán t vi phân hoc i s, l phép ánh xạ từ véc tơ tác động sang
véc tơ trạng thái.
G: Phép ánh xạ từ véc tơ trạng thái sang véc tơ chất lượng.
Các véc t u, q, v l các tham số ngẫu nhiên, chứa các biến không gian x
v thi gian t. Gi 0 l véc tơ không gian cht lng, cha các phn t ch
tiêu cht lng qui nh trc, biu din min an ton ca h thng (các
giá trị cho phép, cng phá hoi, tn s dao ng, gia tc dao ng,
bin dng, chuyển vị ) v W l véc tơ cha HTKT (Véc tơ HT chim

ch trong phm vi cho phép). tin cy ca HTKT tại thời điểm t l xác
sut:
P(t) = Prob[v(x,)0; xW, 0t]

(3.3)


72
iu kin bo m tin cy (gi tt l iu kin tin cy)
P(t) P0

t [0,T]

(3.4)

vi P0 l xác sut tin cy tiêu chun theo qui phm, T l tui th ca
HTKT. Có th minh ho các quan h trong phương trình (3.3) bng s
v hình v trong không gian 3 chiu như hình 3.2.

q


u

L


v

G

u3

q3
q(t)

L

v3

q1

u1

v1
B
0

u2

q2

v(t)

G

u(t)

v2

Hình 3.2. Sơ đồ đánh giá độ tin cậy của HTKT
Qua hai phép ánh x L, G nu:
- nh thuc min trong 0: H thng k thut lm vic an ton
- nh thuc min ngoi 0: H thng k thut lm vic không an ton
- nh thuc biên B ca min 0: H thng k thut trng thái gii hn
v an ton.
Chuyển sang mô hình mờ, nhận thấy khi véc tơ tác động q, véc tơ chất
lượng v, và các phép ánh xạ L, G là mờ thì véc tơ trạng thái v(t) là véc
tơ mờ và không gian giới hạn bởi 0 là một không gian mờ được biễu diễn
v3

như trên Hình 3.3.
B2

v(t)

B0
B1

v1

0
v2
Hình 3.3. Không gian mờ chỉ tiêu chất lượng


73
Như ta đã trình bày ở phần trên, trong bài toán đánh giá độ tin cậy
của một hệ thống kỹ thuật, trường hợp đầu vào là các đại lượng ngẫu nhiên,

L, G tiền định thì V cũng là đại lượng ngẫu nhiên. Nếu biên B không tiền


định thì độ tin cậy được đo bằng xác suất của V rơi vào trong 0. Khi các
~

~

tham số đầu vào và HT mờ và qua hai phép ánh x mờ L , G thì biến
trạng thái và biến chất lượng sẽ là các số mờ. Để ý rằng trong mô hình mờ,
phần tử hoặc hệ kết cấu bị phá hoại được quan niệm ở các mức độ khác
nhau và được biểu diễn bằng một hàm mờ. Trên hình 3.4a khi đặc trưng
chất lượng đạt đến giá trị 1 kết cấu bắt đầu bị phá hoại, quá trình tiếp
tục xảy ra cho đến khi 2 kết cấu bị phá hoại hoàn toàn. Với kết cấu có
i (1 , 2 ), ta nói kết cấu bị phá hoại một phần. Trong khoảng (1 , 2 )

tồn tại ít nhất một giá trị C mà tại đó qua thống kê và kinh nghiệm cho
thấy kết cấu đã được xem là bị phá hoại. Ta gọi giá trị C là giá trị trung
tâm, nó kết hợp với hai giá trị 1 , 2 tạo thành số mờ đặc trưng cho sự phá
hoại của kết cấu.(Hình 3.4b)
( )

( )

1

0

1

1

2



Hình 3.4a.

0



1

c

2



Hình 3.4b.

Hình 3.4. a). Đặc trưng sự phá hoại mờ
b). Hàm thuộc đặc trưng sự phá hoại mờ
Với khái niệm phá hoại mờ, ta có không gian chất lượng 0 gồm 3 lớp
tương ứng với 3 đường biên B1, B0, B2 như trên Hình 3.3. Trong đó đường
biên B1 ứng với trạng thái giới hạn trái, bắt đầu bị phá hoại, và đường biên
B2 ứng với các giá trị của trạng thái phá hỏng hoàn toàn.

74
Trong trường hợp chung, hình dung một pháp tuyến trên mặt B tại một
điểm xét k sẽ cắt không gian chất lượng 0 qua 3 điểm, tạo thành một số
mờ v~k* tại điểm đó. Tham số chất lượng đầu ra tương ứng là ~vk cũng là một
số mờ. Bài toán đánh giá độ tin cậy chuyển sang bài toán so sánh ~vk với ~vk* .
Từ hình 3.3-Không gian mờ chỉ tiêu chất lượng, ta nhận xét về mức độ
an toàn của hệ thống kỹ thuật qua các trường hợp sau :
- Khi ảnh (tham số chất lượng đầu ra ~vk ) thuc min bên trong đường
biên B1 tức là ~vk hoàn toàn không cắt ~vk* nghĩa là ~vk < ~vk* thì h thng k
thut lm vic với mức độ an toàn là 100% hay mức độ phá hoại là 0%.
- nh thuc min ngoi của đường biên B2 tức là ~vk hoàn toàn cũng
không cắt v~k* và ~vk > v~k* thì h thng k thut lm vic với mức độ phá hoại
là 100% hay mức độ an toàn là 0%.
- nh thuc miền nằm khoảng giữa 2 đường biên B1 và B2: H thng k
thut lm vic với các mức độ an toàn khác nhau phụ thuộc vào mức độ
giao nhau của ảnh(trạng thái) với 3 lớp của không gian chất lượng 0.
Như đã nói ở trên, mọi phép đánh giá đều là phép so sánh hai véc tơ,
rộng hơn là hai tập, tổng quát là hai không gian, để thống nhất với sơ đồ
trên Hình 3.2 ta sử dụng phép so sánh của hai véc tơ.
Véc tơ 1 là véc tơ tiêu chuẩn hay có thể gọi là véc tơ chứa các tiêu
chí đánh giá, có số chiều bằng số lượng các tiêu chí về chất lượng kỹ thuật,
mỹ thuật, kinh tếTrị số xác định của mỗi tiêu chí là một điểm hay một
khoảng trên trục của nó. Đối với lĩnh vực kỹ thuật xây dựng, thông thường
giá trị của mỗi tiêu chí xác định một điểm hoặc một khoảng trên trục tiêu
chí. Nói cách khác, biên của véc tơ 1 tùy thuộc vào tiêu chuẩn.
Véc tơ 2 là véc tơ trạng thái của đối tượng được đánh giá. Véc tơ này,
có số chiều và đơn vị đo mỗi chiều tương ứng với véc tơ 1. Với bản chất
của công trình xây dựng là chất lượng suy giảm theo thời gian do sử dụng

75
và điều kiện môi trường nên véc tơ 2 cũng thay đổi theo thời gian và điều
kiện môi trường.
Để đánh giá độ tin cậy của công trình xây dựng tại một thời điểm
nào đó ta cần có đầy đủ thông tin về trạng thái của đối tượng, nghĩa là cần
xây dựng được véc tơ 2. Sau đó đem so sánh với véc tơ 1.
Trong thực tế, để có được hình ảnh đúng và chính xác của véc tơ 2 là
rất khó vì thông thường không thể thu thập được đầy đủ thông tin hoặc
thông tin không thật chính xác, mà ta gọi chung là thông tin không chắc
chắn. Do vậy, việc sử dụng lý thuyết mờ để giải quyết bài toán đánh giá, so
sánh trong trường hợp này là cách tiếp cận hợp lý và hiệu quả.
Trên cơ sở ý tưởng công thức (1.17), trong chương này, tác giả đi sâu
~

nghiên cứu tập M , là tập mờ nhận được từ phép so sánh tập trạng thái với
tập khả năng hoặc tiêu chuẩn, tác giả luận án vận dụng và chứng minh
công thức tính độ tin cậy cho kết cấu dựa trên định nghĩa hình học về xác
suất, từ đó đặt tên cho công thức đánh giá độ tin cậy là Công thức tỷ số
diện tích . Công thức được triển khai cho các trường hợp 2 tập mờ trạng
thái và khả năng là hai tập mờ có dạng tổng quát, tiếp đó triển khai công
thức tính cho hai tập mờ có dạng tam giác và trường hợp tập mờ trạng thái
là tập mờ tam giác còn tập mờ khả năng là tập mờ có độ rộng đáy bằng
không. Đồng thời áp dụng công thức để đánh giá độ tin cậy cho các bài
toán kết cấu trong luận án.
3.2.2. Công thức đánh giá trong trường hợp tổng quát
Từ tập chứa các phần tử của hệ kết cấu cần đánh giá, chia véc tơ 1 và
véc tơ 2 thành các véc tơ con có dạng các tập mờ đơn tương ứng:
~ ~ ~
~

~
R R1 , R2 ,..., Ri ,..., Rn



~
~ ~
~
~
Q Q , Q ,..., Q ,..., Q
1

2

i

n

Từ tiêu chuẩn đánh giá, dựa vào các phương pháp xây dựng hàm
thuộc trong lý thuyết tập mờ sẽ nêu trong mục 3.4, xây dựng được hàm
~

thuộc của mỗi tiêu chuẩn Ri (i=1,2,,n) (H.3.5) dưới dạng số mờ tuyến


76
tính (thường dùng số mờ tam giác) hoặc dạng số mờ phi tuyến (thường
dùng dạng Gauss hoặc dạng hình chuông).
Từ kết quả giải bài toán cơ học kết cấu bằng PTHH mờ, xác định
được trạng thái chuyển vị và nội lực của hệ kết cấu dưới dạng các số mờ

~
Qi (i=1..n). Để đánh giá mức độ an toàn hoặc phá hoại của hệ kết cấu so với

tiêu chuẩn, thực hiện phép so sánh các tập mờ con của từng phần tử tương
ứng trong các cặp của 2 véc tơ theo công thức được trình bày sau đây trên
cơ sở lý thuyết tập mờ.
Ri (x )

1

0

Qi (x)

~
Ri

1

c1

a1

~
Qi

0

b1 x

a2

c2

b2

x

~

~

Hình 3.6.Tập mờ Qi dạng tổng quát

Hình 3.5.Tập mờ Ri dạng tổng quát
~

Xét tập mờ Qi của phần tử kết cấu thứ i trong tập trạng thái của hệ
~

kết cấu cần đánh giá có hàm thuộc Q (x) và tập mờ Ri của tiêu chuẩn thứ i
i

trong tập tiêu chuẩn được dùng để đánh giá có hàm thuộc R (x) như trên
i

~

~

~

~

Hình 3.5 và Hình 3.6. Gọi tập M i = Ri - Qi là tập khoảng an toàn, vì Ri và
~
~
Qi là các tập mờ nên tập M i cũng là một tập mờ. Dựa trên các phép toán
~

của số mờ đã giới thiệu trong chương 2 để xác định tập mờ M i , có thể xảy
ra ba trường hợp như trên Hình 3.7.
M (x)
M (x)
i

1 M

M i (x)

i

M

1

1
2 0

M 1 2

M

1
2 M

1 0

a

0
Hình 3.7a

x

b x

0
Hình 3.7b

2

1

a 0

b
Hình 3.7c
~

Hình 3.7. Các trường hợp tập mờ khoảng an toàn mờ M i

x


77
Trên hình 3.7 sử dụng các ký hiệu:
+ 1 : Diện tích phần gạch chéo bên trái trục tung.
+ 2 : Diện tích phần bên phải trục tung.
~

+ M = (1 + 2) : Diện tích toàn phần của M i .
~

Trên hình 3.7a ta thấy hàm thuộc của tập mờ M i nằm hoàn toàn phía
~

bên trái trục tung , nghĩa là toàn bộ tập trạng thái Qi của phần tử thứ i vượt
quá tập tiêu chuẩn R của nó, phần tử bị vi phạm tiêu chuẩn hoàn toàn, hay
mức vi phạm so với tập tiêu chuẩn của phần tử là 100%. Khi trong phép so
sánh ta thay thế tập tiêu chuẩn bằng tập khả năng, mức vi phạm khả năng
tương ứng sẽ là mức phá hoại FP(Failure Possibility) là 100%. Ngược lại,
~

trên hình 3.7b ta thấy hàm thuộc của tập mờ M i nằm hoàn toàn phía bên
~

phải trục tung, nghĩa là tập trạng thái Qi của phần tử thứ i hoàn toàn không
vi phạm so với tập khẳ năng hay mức an toàn SP(Safe Possibility) của tập
trạng thái được hiểu là đạt 100%.

Từ hai nhận xét trên, ta hoàn toàn có thể xem khi mức an toàn của
phần tử là SP =100% thì tương đương với độ tin cậy của nó là Ps =1; và
trong trường hợp ngược lại độ tin cậy của nó là Ps = 0.
~

Trường hợp tổng quát như hình 3.7c, hàm thuộc của tập mờ M i có
một phần bên trái và một phần bên phải trục tung, nghĩa là tập trạng thái có
một phần bị vượt tiêu chuẩn hoặc bị phá hoại (tương ứng với phần gạch
chéo bên trái trục tung) và một phần đạt tiêu chuẩn hoặc an toàn ( tương
ứng với phần bên phải trục tung). Xuất phát từ ý tưởng mô hình giao thoa
~

ngẫu nhiên, về mặt toán học có thể xem hàm thuộc của M i là một dạng
~

phân bố của khoảng an toàn M i , khi đó theo định nghĩa hình học về xác
suất [73]: xác suất xuất hiện phần phân bố bên trái trục tung(phần gạch
~

chéo) của khoảng an toàn M i được tính bằng tỷ số của phần phân bố đó
~

trên toàn bộ phân bố của M i . Xác suất xuất hiện phần phân bố bên trái trục


78
~

tung của khoảng an toàn M i chính bằng xác suất phá hoại của phần tử(độ
không tin cậy Pf của phần tử) được xác định với công thức như sau:

0

~
Prob( M i <0)=Pf = 1 / M =



Mi



Mi

( x)dx

(3.5)

a
b

( x)dx

a

Theo định nghĩa, thì độ tin cậy Ps của phần tử chính bằng xác suất
không hỏng của phần tử được tính theo công thức:
b

Prob( M i >0)=Ps = 2 / M =

~
M

( x)dx

0
b



(3.6)
~
M

( x)dx

a

Dễ dàng nhận thấy : Pf + Ps = 1 như trong định nghĩa độ tin cậy theo
mô hình ngẫu nhiên.
Sau khi xác định được độ tin cậy của tất cả các phần của hệ kết cấu
ta hoàn toàn có thể xác định độ tin cậy của hệ kết cấu dựa trên định nghĩa
về sự phá hoại cụ thể, xây dựng mô hình tính độ tin cậy theo các sơ đồ điện
hoặc xác định độ tin cậy của hệ kết cấu theo khoảng như công thức sau:
n
i
s

P

Ps min( Ps1 , Ps2 ,..., Psn ) Psi min

(3.7)

i 1

~

~

3.2.3. Công thức đánh giá trong trường hợp Ri và Qi có dạng tam giác
ở phần trên luận án đã triển khai công thức (3.5), (3.6) đánh giá độ
tin cậy cho kết cấu trong trường hợp số mờ (tập mờ trên trường số thực)
trạng thái kết cấu và số mờ tiêu chuẩn là các số mờ có hàm thuộc dạng
tổng quát.
Trong thực tế hiện nay, số mờ có hàm thuộc dạng tam giác được sử
dụng rất phổ biến trong các ngành kỹ thuật điện, điện tử, điều khiển [33],
[34], [40], [49],và kể cả trong ngành kỹ thuật xây dựng [25], [27], [28],
[45], [69], [78], [83], [85], [89], [90], [91], [95]. Số mờ có hàm thuộc dạng
tam giác là được gọi là số mờ tuyến tính, có đặc điểm là tính toán đơn giản


79
hơn số mờ có hàm thuộc dạng phi tuyến nhưng vẫn phản ánh đầy đủ các
đặc trưng mờ của đại lượng không chắc chắn, cho nên được rất nhiều tác
giả nghiên cứu sử dụng. Số mờ có hàm thuộc dạng tam giác cũng được sử
dụng trong luận án để mô tả các đại lượng không chắc chắn ở các bài toán
tĩnh và động.

Từ công thức (3.5), (3.6) được trình bày ở trên, để thuận tiện cho
việc sử dụng công thức tính toán độ tin cậy cho các bài toán có các đại
lượng không chắc chắn ở dạng các số mờ tam giác, dưới đây tác giả triển
khai công thức tính độ tin cậy mờ cho kết cấu trong trường hợp số mờ trạng
thái kết cấu và số mờ tiêu chuẩn là các số mờ có hàm thuộc dạng tam giác
như sau.
~

Xét tập mờ Qi của phần tử kết cấu thứ i trong tập trạng thái của hệ
~

kết cấu cần đánh giá có hàm thuộc Q (x) và tập mờ Ri của tiêu chuẩn thứ i
i

trong tập tiêu chuẩn được dùng để đánh giá có hàm thuộc R (x) dạng tam
i

~

~

giác như trên hình 3.8a và hình 3.8b. Ta có các tập mờ Ri , Qi là các số mờ
dạng tam giác, dựa trên các phép toán tính số mờ đã giới thiệu trong
~

~

~

chương 2 xác định được tập mờ khoảng an toàn M i = Ri - Qi cũng là một số

~

mờ tam giác. Không mất tính tổng quát xét tập M i như trên hình 3.8c.
Qi (x)

1

Ri (x)

~
Qi

1

Mi (x)

~
Ri

1
1

0 a1

c1
Hình 3.8a.
Hình 3.8.

b1 x

0

a2

c2

b2

x

a

~
Mi

2

0 c b

x

Hình 3.8c.

Hình 3.8b.
~

a).Tập mờ dạng tam giác Qi
~

b).Tập mờ dạng tam giác Ri

~

c). Tập mờ tam giác M i
Trong hình 3.8c v trí im 0 trên on ab cho thông tin cn thit
xác nh Pf vi tp m dng chun có chiu cao bng n v.


80
đặt : đoạn oa = x
h1 = c - a
h2 = b - c

(3.8)

h = h1 + h2
~ ~

v t phép hiu Ri - Qi ta có :
a = a2 - b1 , b = b2 - a1 , c = c2 - c1

(3.9)

áp dụng công thức (3.5) và (3.6) cho trường hợp như trên hình 3.8c.
Độ không tin cậy : Pf =

1
M

(3.10)

Độ tin cậy

2
M

(3.11)

: Ps =

T (3.8), (3.9), (3.10) v (3.11) có 2 trng hp :
+ Khi im 0 thuc on ac :
Pf = x2 / hh1

(3.12)

+ Khi im 0 thuc on cb :
Pf = 1 - (h-x)2 / hh2
x2 / hh1 vi

hay :

(3.13)
0 x h1

Pf(x) =

(3.14)
1 - (h-x)2/ hh2 vi h1 x h1 h2

T (3.10) v (3.13) suy ra độ tin cậy :

1 - x2 / hh1 vi 0 x h1
Ps(x) =

(3.15)
(h-x)2/ hh2 vi h1 x h1 h2

th hm (3.14) v (3.15) cho trên hình 3.9. Vi mi hm Pf(x) v
Ps(x) ta d dng chng minh ti x= h1 ng cong trn v ti x=xi bt k
[0,h] u có :
Pf(xi) + Ps(xi) = 1

(3.16)


81
Nhn thy hai hm Ps(x), Pf(x) có c im v min giá tr nh hai
hm P(t) v Q(t) trong lý thuyt tin cy của mô hình ngẫu nhiên.
Pf(x)

Ps(x)

1
2

0.5
1

0
Hình 3.9.

x

h

xi

hh1 / 2

1-Đồ thị hàm Ps(x)
2-Đồ thị hàm Pf(x)

~

~

Xét trường hợp tập mờ Ri dạng số tỏ và Qi dạng tam giác :
Trong thực tế, tập tiêu chuẩn có thể ở dạng số tỏ, là một giá trị xác
định. Khi đó xem tập tiêu chuẩn là một trường hợp riêng của số mờ tam
giác với độ rộng trái và độ rộng phải bằng không như trên Hình 3.10b.
~

Nghĩa là tập tiêu chuẩn Ri là một số mờ tam giác với giá trị cận dưới, giá
trị trung tâm và giá trị cận trên bằng nhau (a2 = b2 = c2 ). Việc tính toán tập
~

~

~

mờ khoảng an toàn M i = Ri - Qi , được tính như đối với phép hiệu hai số mờ

tam giác và độ tin cậy được tính như công thức (3.15).
Qi (x)

1

Ri (x)

~
Qi

1

Mi (x)

~
Ri Ri

~
Mi

1

0 a1

c1

b1 x

Hình 3.10a.

0

a2 = c2 = b2

x

a

2

0 c

Hình 3.10c.

Hình 3.10b.
~

~

~

Hình 3.10. Hàm thuộc tập mờ dạng tam giác Qi , Ri và M i
3.3. Ví dụ minh họa

b

x


82

Để minh họa cho việc sử dụng công thức đánh giá, xét kết cấu dầm
bêtông cốt thép chịu tác dụng của tải trọng dạng số mờ [4](Danh mục công
trình của tác giả). Kết cấu dầm được tính toán có hàm thuộc của mô men
mờ tại tiết diện nguy hiểm C do tải trọng gây ra như trên hình 3.11. Và
hàm thuộc mô men mờ khả năng tại tiết diện C như trên hình 3.12. Tính độ
tin cậy của kết cấu dầm tại tiết diện C.
M C (x)

~ ~
Q MC

1

0

x (Tm)
Hình 3.11. Hàm thuộc của mômen mờ tại C
3.95 5.25

6.00

Tam giác khả năng chịu mômen mờ của tiết diện cho trên hình 3.12.
[M ] ( x )

~
~
R [M ]

1

0

5.970594 6.061381

6.152168 x (Tm)

Hình 3.12. Hàm thuộc mômen mờ khả năng tại C
Đánh giá độ tin cậy của kết cấu tại tiết diện C.
~

~

Sau khi xác định được hàm thuộc của hai tập mờ M C và [M ] , ta tiến
hành đánh giá độ tin cậy của kết cấu theo công thức Tỷ số diện tích, công
thức (3.14) và (3.15). Trong bảng dưới đây trình bày kết quả tính độ tin cậy
của kết cấu dầm tính theo một số công thức trong [25], [96], [106] và theo
công thức Tỷ số diện tích đã được vận dụng và triển khai trong luận án.
Bảng 3.1: So sánh kết quả sử dụng công thức tính.
Công thứcTỷ số diện

Công thức [25]

Công thức [96]

Công thức [107]

tích
PS

Pf

0.999621

0.000379

PS

Pf

PS

Pf

PS

Pf

0.999621 0.000379 0.999611 0.000389 0.982513 0.017487


83
Kết quả tính toán theo các công thức đánh giá cho kết quả xấp xỉ
nhau, sai khác giữa các công thức [25], [96] và công thức triển khai là rất
bé. Trong đó kết quả đánh giá độ tin cậy theo công thức của [107] cho kết
quả sai khác 1.7% so với công thức vận dụng, lý do sai khác là trong công
thức [107] chỉ mới xét đánh giá qua một tham số chiều cao phần giao nhau
~

~

của hai tập Ri và Qi mà chưa xét đến tham số bề rộng đáy của phần giao
nhau này, vì vậy dẫn đến kết quả sai khác nhiều so với ba công thức còn
lại.
Như đã biết, để phân tích và đánh giá độ tin cậy của kết cấu công

trình cần phải có dữ liệu ban đầu của các đại lượng trong bài toán đánh giá
độ tin cậy để xây dựng hàm thuộc cho tập trạng thái của phần tử kết cấu và
xây dựng hàm thuộc cho tập tiêu chuẩn. Trong định nghĩa về tập mờ, hàm
thuộc thể hiện vai trò đầy đủ tạo thành tập mờ, do vậy xác định một tập mờ
có nghĩa là xác định hàm thuộc của nó. Do tính năng đa dạng của tập mờ
trên nhiều lĩnh vực và phạm vi nghiên cứu nên hàm thuộc được xác định
theo những phương pháp khác nhau, dưới đây, tác giả luận án trình bày một
số phương pháp thường được sử dụng để xây dựng tập mờ.
3.4. Một số phương pháp xây dựng tập mờ
Các nhà nghiên cứu đã đưa ra rất nhiều phương pháp để tính mức độ
~

thuộc của một đối tượng x vào một tập mờ A , tức là tính (x). Giá trị (x)
có thể xác định được bằng phương pháp trực quan, phương pháp chuyên
gia, phương pháp sử dụng mạng nơron, sử dụng thuật toán di truyền hoặc
có thể tính được thông qua lập luận logic, phương pháp hồi quy mờ [40],
[49], [62], [84]... Dưới đây NCS trình bày tóm tắt một số phương pháp xác
định hàm thuộc cho các đại lượng có tính chất mờ thường được các nhà
nghiên cứu sử dụng trong các ngành kỹ thuật.
3.4.1. Phương pháp chuyên gia [40], [49]
Hàm thuộc của tập mờ được xây dựng dựa vào chuyên gia hiểu biết
về vấn đề quan tâm. Phương pháp chuyên gia gồm hai bước :


84

- Thu thập ý kiến chuyên gia qua các mệnh đề ngôn ngữ.
- Xây dựng hàm thuộc từ các mệnh đề ngôn ngữ.
Phương pháp này có n chuyên gia được hỏi để gán hàm. Gọi ai(x), i
= 1n là ý kiến của chuyên gia thứ i về mức độ thuộc của x lên tập A.
Mức độ thuộc của n chuyên gia có thể dùng công thức sau :
n

a ( x)
i

A ( x)

(3.17)

i 1

n

Hay là trung bình trọng số các ý kiến, với ci là hệ số tin cậy của
chuyên gia thứ i :
n

A ( x) c1 ai ( x) ,
i 1

n

c

1

1

,0 C i 1

(3.18)

i 1

Phương pháp này thường được sử dụng trong công tác chẩn đoán kỹ
thuật và đánh giá sự cố của công trình.
3.4.2. Phương pháp sử dụng mạng nơron [40], [62]
Phương pháp xác định hàm thuộc bằng cách sử dụng mạng truyền
thẳng từ các dữ liệu đầu vào và thu được đầu ra trong một hệ thống gồm
nhiều nơron, là những đơn vị xử lý, cấu tạo và sự hoạt động của nó theo mô
phỏng nơron trong não người. Với đầu vào là dữ liệu x, xử lý qua mạng
nơron ta được dữ liệu đầu ra yi, được xem là mức độ thuộc của điểm dữ liệu
x vào tập mờ Ai, với yi = Ai(x). Phương pháp này được sử dụng trong lĩnh
vực điều khiển mờ, các hệ chuyên gia, robot...
3.4.3. Phương pháp sử dụng thuật toán di truyền [62]
Phương pháp được áp dụng phổ biến trong các bài toán đánh giá khả
năng của một hay nhiều sự kiện, các bài toán chọn quyết định trong trường
hợp bất định... Về bản chất, tập mờ là sự tổng quát hóa của tập kinh điển
nên khi sử dụng các thuật toán di truyền kèm theo những ràng buộc nhất
định ta hoàn toàn có thể xác định được hàm thuộc theo các tập mờ trong
một số trường hợp. Ví dụ, một số hàm thuộc xác định bằng thuật toán di
truyền có thể tìm thấy trong [62].
3.4.4. Phương pháp hồi qui tuyến tính mờ [91]

85
Vì các biến là ngẫu nhiên nên chúng có mối quan hệ tự nhiên về xác
suất, do vậy ta có thể sử dụng thuật toán thống kê phân tích hồi qui để
nghiên cứu và lập mô hình cho mối quan hệ xác suất này. Khi xác định mối
quan hệ tuyến tính giữa hai biến, người ta gọi là phân tích hồi qui tuyến
tính đơn, và khi xác định mối quan hệ nhiều hơn hai biến được gọi là phân
tích hồi qui tuyến tính bội.
Mục đích của sự phân tích hồi qui là :
a) Tìm một mô hình thích hợp.
b) Xác định các hệ số phù hợp nhất của mô hình từ dữ liệu đã cho.
Trong phương pháp hồi qui thông thường, sự sai lệch giữa các giá trị
quan sát và các ước lượng là do bởi các sai số quan sát. Tuy nhiên, mặt
khác, chúng ta có thể xem những sai lệch này liên quan đến sự không chính
xác (imprecision) hoặc không rõ ràng (vagueness) của cấu trúc hệ thống.
Các sai lệch giữa các giá trị thực và các giá trị tính toán này phụ thuộc vào
tính mờ của cấu trúc hệ thống, hay nói một cách khác, là tính mờ của các
tham số hệ thống. Nó được phản ảnh trong mô hình hồi qui tuyến tính mờ
mà các hệ số hồi qui của hàm hồi qui là các phần tử mờ.
Việc xây dựng mô hình các hệ tuyến tính mờ được biểu diễn trong
phân tích hồi qui tuyến tính mờ. Mô hình sau đây thể hiện sự phụ thuộc của
biến đầu ra từ các biến đầu vào.
~
Y f ( x, ~ ) ~1 x1 ~2 x 2 ... ~n x n

(3.19)

~

Trong đó, Y là đầu ra mờ, x =[x1, x2,..., xn]T là vectơ đầu vào được xác định
bằng các giá trị thực, và ~ ={ ~1 , ~2 ,..., ~n } là một tập hợp các số mờ.

Lúc này, bài toán phân tích hồi qui được xác định như sau :
Từ tập hợp các dữ liệu tỏ đã cho (x1 , y1), (x2 , y2),..., (xn , yn), chúng ta cần
tìm các hệ số mờ ~1 , ~2 ,..., ~n , mà với các hệ số này, phương trình (3.19)
biểu diễn phù hợp nhất đối với các điểm dữ liệu theo tiêu chuẩn nào đó
thích hợp. Trong [78] sử dụng phương pháp này để xác định hàm thuộc cho
ứng suất mờ của trạng thái kết cấu.


86
3.4.5. Phương pháp trực quan[40], [49], [84]
Phương pháp dựa vào sự hiểu biết trực quan, dựa vào ngữ nghĩa của
các từ để đưa ra các hàm thuộc, phương pháp này được áp dụng để xác định
các tập mờ trên đường thẳng thực dựa trên tập dữ liệu kỹ thuật cho dưới
dạng khoảng, thường biểu diễn các tập mờ thể hiện bằng ngôn ngữ như
chuyển vị lớn, kết cấu rất cứng, ... Ví dụ, khi nói động đất, thường sử
dụng khái niệm: rất yếu, yếu, vừa, hơi mạnh, mạnh, rất mạnh. Về mặt toán
học, có thể quan niệm đó là giá trị của các biến ngôn ngữ (miền xác định là
tập hợp kinh điển) theo từng mức độ thuộc khác nhau, chẳng hạn từ gia tốc
nền đất [37] có thể xây dựng tập mờ cấp động đất D={Rất Yếu, Yếu, Vừa,
Hơi Mạnh, Mạnh, Rất mạnh} trên tập giá trị rõ của gia tốc đỉnh nền đất.
Mỗi giá trị ngôn ngữ trong tập D được mô tả bằng một tập mờ có tập xuất
xứ là các giá trị vật lý của gia tốc nền agR.
Như vậy từ một giá trị rõ của gia tốc nền là a A ta được một vectơ
hàm thuộc D(a) thể hiện mức độ thuộc của cấp động đất thông qua biến
ngôn ngữ là :

a D (a )

Rất Yếu (a)
Yếu (a)

Vừa(a)
Hơi Mạnh (a)
Mạnh (a)
Rất Mạnh (a)

(3.20)

Hay là trong thực tế, khi quan sát các hệ dao động, ta thấy dao động
của các hệ nói chung là tắt dần theo thời gian. Tính chất này của hệ dao
động được lý giải bởi ảnh hưởng của lực cản , phổ biến nhất là lực cản do
ma sát nhớt tỷ lệ bậc nhất với vận tốc, mà độ cản c của kết cấu hoàn toàn
phụ thuộc vào tỷ số cản tới hạn của mô hình kết cấu. Thông thường tỷ số
cản tới hạn của mô hình được chọn trước với tỷ lệ phần trăm, qua khảo
sát nhiều bài toán và số liệu ở các tài liệu tham khảo [56], [58], [59], [80],


87
[81] cho thấy 1% 10% , NCS giả thiết hàm thuộc cho tỷ số cản tới
hạn mô hình có dạng số mờ tam giác như trên hình 3.13.
(x)

~


1

0 1

5

10

x(%)

Hình 3.13. Hàm thuộc tỷ số cản tới hạn mờ của mô hình
Dựa vào các giá trị trên tam giác ta có hàm thuộc của tỷ số cản mờ
như sau:
5 x
1 5 1 ; khi 1 x 5
( x)
1 x 5 ; khi 5 x 10
10 5

(3.21)

3.5. Kết luận chương 3
Trong chương 3 tác giả luận án đã nghiên cứu vận dụng và chứng
minh một công thức đánh giá độ tin cậy cho kết cấu trên cơ sở lý thuyết tập
mờ. Từ kết quả tính toán ta thấy các công thức đánh giá cho kết quả gần
như giống nhau, sai khác giữa các công thức gần như bằng không, cho thấy
công thức Tỷ số diện tích là đáng tin cậy và có thể xem là một công thức
tổng quát để đánh giá độ tin cậy của kết cấu theo mô hình mờ.
Tuy đã có ý tưởng trình bày như trong tài liệu [103] nhưng cho đến
nay trong khả năng tìm kiếm tác giả chưa thấy có công bố nào về việc vận
dụng công và triển khai công thức(4) để đánh giá độ tin cậy trong lĩnh vực
kết cấu, có thể nói đây cũng là một đóng góp của NCS trong việc nghiên
cứu vận dụng cái mới theo hướng chứng minh khác vào lĩnh vực đánh giá
độ tin cậy của kết cấu.
Công thức đánh giá độ tin cậy theo công thức Tỷ số diện tích được
triển khai và chứng minh đủ chặt chẽ và có khả năng áp dụng trong lĩnh

vực đánh giá kết cấu xây dựng do chỉ cần xây dựng riêng các hàm thuộc


88
~

~

~

của R và Q hoặc xây dựng trực tiếp hàm thuộc M . Việc xác định hàm
thuộc cho các đại lượng mờ trong bài toán phân tích trạng thái cũng như
đánh giá là khá công phu. Trong trường hợp các đại lượng mờ là các tập
mờ có hàm thuộc dạng tổng quát, đòi hỏi phải sử dụng các phép toán của
số học mờ kết hợp với sự hỗ trợ của các phần mềm tính toán thì mới có thể
xác định được hàm thuộc cho khoảng an toàn mờ. Trong trường hợp các
đại lượng mờ có hàm thuộc dạng tam giác có thể sử dụng thuật toán phân
tích hồi qui tuyến tính mờ để xây dựng hàm thuộc cho các tập mờ cũng
không quá phức tạp.


89
CHƯƠNG 4
phân tích và đánh giá mức độ an toàn cho kết cấu
khung phẳng nhiều tầng chịu tảI trọng động

Trong chương này tác giả luận án, vận dụng và mở rộng thuật toán
giải hệ phương trình đại số tuyến tính mờ đã được trình bày trong chương 2
để đưa ra cách giải hệ phương trình vi phân dao động của kết cấu khung
phẳng chịu tải trọng động có tham số mờ để xác định trạng thái, đồng thời

ứng dụng công thức đề xuất trong chương 3 đánh giá mức độ an toàn cho
kết cấu về điều kiện chuyển vị và điều kiện bền.
4.1. Sơ đồ tổng quát các bước đánh giá mức độ an toàn cho kết cấu
Tham số vật liệu,kích thước hình học dạng số mờ

Số liệu đầu vào

Tham số tải trọng tĩnh dạng số mờ
Tham số tải trọng động dạng số mờ
Tập mờ khả năng, tiêu chuẩn về độ bền và độ cứng

mô hình tính kết cấu & PTVP dao
động có tham số mờ

M~ ~x C~ ~x K~ ~x F~

Các giả thiết: -Sàn tuyệt đối cứng
-Khối lượng tập trung ở mức sàn
-Bỏ qua ảnh hưởng biến dạng dọc trục
Sử dụng Nguyên lý Đa Lăm Be viết phương trình
cân bằng động cho các bậc tự do

giảI pTVP dao động có tham số
mờ bằng pp khai triển theo dạng
riêng

nghiệm dạng symbolic của các
thành phần chuyển vị mờ Tại các
bậc tự do

Xác định ma trận thành phần và véc tơ tải trọng mờ
-Ma trận khối lượng mờ
-Ma trận độ cứng mờ
-Ma trận cản mờ
-Véc tơ tải trọng động đất mờ
-Hệ số cản mờ



dùng thuật toán tối ưu mứctính
từng thành phần chuyển vị mờ tại
các bậc tự do

thành phần chuyển vị mờ Tại
các bậc tự do

nội lực mờ tại tiết
diện nguy hiểm

ĐáNH GIá An TOàN về độ cứng

CÔNG THứC Tỷ Số
DIệN TíCH

của kết cấu

ĐáNH GIá AN TOàN
về độ bền KếT CấU

Hình 4.1. Sơ đồ tổng quát các bước đánh giá mức độ an toàn cho kết cấu.

90
4.2. Phương trình vi phân dao động có tham số mờ.
4.2.1. Phương trình vi phân dao động của kết cấu khung chịu tải trọng
động trong trường hợp có tham số mờ
Trong chương 1, NCS đã trình bày nội dung cơ bản về mô hình tính
kết cấu khung phẳng chịu tác dụng của tải trọng động và đưa ra phương
trình vi phân dao động của kết cấu, theo (1.25) ta có:

M x C x K x F

(4.1)

Trong trường hợp bài toán dao động chứa các tham số không chắc chắn
dưới dạng tham số mờ thì phương trình (1.25) được biểu diễn dưới dạng
phương trình vi phân dao động mờ như sau [84]:

M~ ~x C~~x K~ ~x F~
~

~

(4.2)

~

trong đó: [ M ], [ K ], [ C ] lần lượt là các ma trận khối lượng, ma trận độ
cứng và ma trận cản nhớt mờ của hệ kết cấu ( n bậc tự do), có dạng:
~

m
1
0
~
[M ] =


0

0 0
~ 0
m
~
2
; [K
]=

~
0 m
n

~
x1
~
~ x2
và x ,

~

xn

~
x1
~
~ x 2
x ,

~

x n



r11
~
~
r21

~
rn1

~
r12 ~
r1n
~
r22 ~
r2 n
~

; [C ] =


~
rn 2 ~
rnn

c11
~
~
c21

~
c n1

c~12 ~
c1n
~
c 22 ~
c2 n
;


c~n 2 ~
cnn

x1
~
~

x2
~
x lần lượt là véc tơ gia tốc mờ, tốc độ

~
xn

mờ và chuyển vị mờ của các bậc tự do của hệ kết cấu.
~
~
~
F1 (t ) P1
P1
~ ~
~
~
~~
~ P2
F2 (t ) P2 ~
F P . f (t )
= . f (t ) là véc tơ tải trọng động, với P là



~
~
F~ (t ) P
P
n n
n

~
biên độ của tải trọng động, và f (t ) là hàm phụ thuộc thời gian của tải trọng



động.




91
4.2.2. Một thuật giải phương trình vi phân dao động có tham số mờ
Việc giải phương trình vi phân dao động mờ (4.2) của kết cấu chịu
tải trọng động được NCS đề xuất tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: Sử dụng phương pháp phân tích theo các dạng chính để giải
phương trình vi phân dao động (4.2) với các tham số được biễu diễn dạng
symbolic(dạng chữ), nghĩa là tìm biểu thức giải tích biễu diễn nghiệm véc
tơ chuyển vị là các hàm số phụ thuộc tất cả các tham số trong bài toán dao
động theo trình tự :
~

~

. Xác định ma trận khối lượng [ M ] và ma trận độ cứng [ K ].
. Giải phương trình (4.3), xác định được n tần số dao động riêng mờ
~i (i 1,2...,.n) .
~

~

det ([ K ] ~ 2 [ M ]) = 0

(4.3)

. Xác định ma trận dạng riêng { ~i } tương ứng với dạng dao động
~
Aki
~
~
riêng thứ i chứa các phần tử ki với ki ~ ;
A1i
~

Trong đó Aki là biên độ dao động của khối lượng thứ k tương ứng
~

với dạng dao động thứ i, và A1i là biên độ dao động của khối lượng thứ 1
tương ứng với dạng dao động thứ i.
Tương ứng với từng tần số dao động riêng mờ ~i (i 1,2...,.n) , để xác
~
định các biên độ dạng dao động riêng Aki (k=1..n), thay ~i vào phương trình

sau :
~
~ ~
([ K ] ~i2[ M ]){ Ai } 0

(4.4)

Giải phương trình (4.4) lần lượt với tất cả ~i (i 1,2...,.n) xác định tất

~

cả các biên độ dạng dao động riêng Aki , rồi xác định ma trận { ~i }.
Tuy nhiên để thuận lợi cho việc sử dụng phần mềm tính toán, ta có
thể xác định ma trận ~i theo cách sau:
~

~

~

đặt ma trận : [ Bi ] ([ K ] ~i2 [M ]) ;


92
~
~
[ Bi ]11 là ma trận được tạo từ [ Bi ] bằng cách bỏ đi đồng thời hàng 1 và
~

cột 1 của [ Bi ] ;
~
~
{Bi }1 là ma trận cột, được tạo từ cột đầu tiên của [ Bi ] đồng thời bỏ đi

phần tử đầu tiên và:
~

~

{ ~i* }=- ([ Bi ]11 ) 1 . {Bi }1 .
Ta có ma trận dạng riêng thứ i chứa các phần tử ~ki được xác định
1 ~1i

1 ~ ~
{ ~i }= ~ * = 2i = 2i ;
i
~ni ~ni
~

. Xác định ma trận vuông [ ] chứa tất cả các ma trận dạng riêng
{ ~i } được gọi là ma trận các dạng chính:
1 1
~ ~
~
~
~
~
[ ]=[ 1 2 n ] = 21 22

~ ~
n1 n 2

1 ~11
~2 n ~21
=


~nn ~n1

~12
~22

~n 2

~1n
~2 n
;


~nn

. Tìm nghiệm của phương trình vi phân dao động mờ (4.2) dưới
dạng các tọa độ chính u~i (i=1..n):
x1
~
u~1
~
u~
x
~x 2 =[ ~ ].{ u~ }=[ ~ ]. 2 ;


~
xn
u~n

(4.5)

Lấy đạo hàm (4.5) và thay vào (4.2) sẽ nhận được phương trình với

ẩn số u~ (t ) biểu diễn hệ số biên độ dao động:
~ ~ ~
~ ~ ~
~ ~
~
[ M ][ ]{u} [C ][ ]{u } [ K ][ ]{u~} {F }

(4.6)

Để có thể nhận được hệ phương trình mà trong đó mỗi phương trình
biểu diễn độc lập một dạng dao động chính, ta nhân 2 vế của phương trình
(4.6) với ma trận {~i }T :

~i T [M~ ][~]{u~} ~i T [C~][~]{u~ } ~i T [ K~ ][~]{u~} ~i T {F~} (4.7)