Tính dầm chịu uốn ngang phẳng

Chương 8

Uốn ngang phẳng

Khái niêêm và định nghĩa:
Mặt phẳng quán tính chính trung tâm: mặt phẳng tạo nên
bởi trục của thanh thẳng ( thanh có trục là đường thẳng ) và
một trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang
Khi tải trọng nằm trong măêt phẳng quán tính chính trung
tâm và vuông góc với trục thanh, nôêi lực trong măêt cắt
ngang có hai thành phần ( momen uốn và lực cắt ngang ),
trục thanh sẽ bị uốn cong nhưng vẫn là đường cong phẳng
nằm trong măêt phẳng quán tính chính trung tâm, biến dạng
của thanh là uốn ngang phẳng.
Thanh chủ yếu chịu uốn được gọi là dầm


Khi nôêi lực trong măêt cắt ngang chỉ có môêt thành phần
momen uốn thanh chịu uốn thuần túy.

P
C

D

B

A
a

P

b

a
l

a

P
-P
Pa

Các đoạn dầm CA
và BD chịu uốn
ngang
Đoạn dầm AB chịu
uốn thuần túy


Măêt cắt ngang của các dầm thường găêp có trục đối xứng.
Trục dầm và trục đối xứng của các
măêt cắt ngang tạo thành măêt phẳng
đối xứng và là măêt phẳng quán tính
y
chính trung tâm của dầm. Nếu tải
trọng nằm trong măêt phẳng đối xứng
O
và vuông góc với trục dầm sẽ gây ra
biến dạng uốn ngang phẳng.

P

P
Q

q

M

z
x

y
z
x


Trong chương này ứng suất và biến dạng của dầm chịu
biến dạng uốn ngang phẳng được xác định dựa trên những
điều kiêên sau :
1. Trục dầm là một đường thẳng, mặt cắt ngang có trục đối
xứng. Dầm có mặt phẳng đối xứng do trục dầm và trục đối
xứng của mặt cắt ngang tạo ra.
2. Ngoại lực (lực tập trung hay lực phân bố) nằm trong
mặt phẳng đối xứng và vuông góc với trục dầm, các momen
tác dụng trong mặt phẳng đối xứng của dầm.
3.Chỉ tính đến những ứng suất trong mặt cắt ngang của
dầm, ứng suất pháp giữa các thớ dọc có giá trị không đáng kể
và được bỏ qua. Sơ đồ tính của dầm là đoạn thẳng trùng với
trục dầm chịu tác dụng của ngoại lực.

4.Tải trọng tác dụng lên dầm là tải trọng tĩnh.


Giả thuyết tính toán dầm chịu
uốn thuần túy
1. Giả thuyết măêt cắt phẳng : Măêt cắt
ngang phẳng và vuông góc với trục
dầm sẽ di chuyển nhưng vẫn phẳng
và vuông góc với trục dầm đã bị uốn
cong khi biến dạng.

M

2. Giả thuyết về các thớ dọc : Trong quá
trình biến dạng Các thớ dọc không kéo, ép
lẫn nhau. Chiều dài của các thớ dọc thay
đổi dần dần từ co ngắn chuyển thành bị kéo
dài và tồn tại môêt lớp thớ dọc không thay
đổi chiều dài gọi là lớp trung hòa. Giao
tuyến của lớp trung hòa và măêt cắt ngang
Gọi là đường ( trục )trung hòa.

M


ρ

dφ

σmin

x

y

h

Mx
σz =
y;
Jx

y

y σ ( z) = E y ;
ε y ( z) = ;
z
ρ
ρ

+

b
y

σmax

1

2

O

O’

1

2
dz


Mxy
σz =
;
(8.1)
Jx
Jx
; (8.2)
M x ymax M x Wx =
σ max =
=
;
ymax
Jx
Wx
bh 2
bh 3
Hình chữ nhật :
Wx =
; Jx =
;

6
12
3
4
πd
πd
Hình tròn:
Wx =
; Jx =
;
32
64
Hình chữ I, chữ U : tra bảng.

(8.3)

(8.4)


8.1.4. Điều kiện bền. Dạng hợp lý của mặt cắt
ngang.
(8.5)

Mặt cắt nguy hiểm cần được kiểm tra là mặt cắt
có momen uốn dương (hoặc âm) có trị số tuyệt
đối lớn nhất.
Vật liệu dẻo ( ứng suất cho phép theo kéo và nén
như nhau):
( 8. 6 )

Mặt cắt có hình dáng hợp lý phải tận dụng được
cao nhất khả năng làm việc của vật liệu .
Các ứng suất ở các điểm nguy hiểm đồng thời đạt tới
giá trị của ứng suất kéo và ứng suất nén cho phép.
Mz
Mx
yn = [σ ] n ( 8.7 )
σ max =
yk = σ k ; σ min =
Jx
I

[ ]

z

Vật liệu giòn α ‹ 1; yk ‹ │yn│
yk [ σ ] k
=
= α.
Vật liệu dẻo α = 1; yk =│yn│
yn [ σ ] n

Thép I NO30; F = 46,5 cm2 , Wx = 472 cm3; mặt cắt hình vuông cùng diện
tích Wx= 52,9 cm3 (nhỏ hơn gần 9 lần).

W đánh gíá khả năng chống uốn của mặt cắt.
β =3
F

I NO 30 β = 131,26; hình vuông cùng diện tích β=14,70.


Thí dụ 8.1. Xác định tải trọng cho phép P đặt trên dầm
NO 20 có gối đỡ bản lề ở hai đầu cho hai trường hợp đặt
dầm khác nhau như trên hình vẽ. Biết l=8m; vật liệu có ứng
suất cho phép [σ ] = 16kN / cm 2 . NO 20: Wz=152 cm3 ,
Wy = 20,5 cm3 .
a/
0,5l P
b/ y
Điều kiện bền của dầm:

A

M max
Pl
=
≤ [σ ]
W
4W

4W [σ ]
P≤
l

4.152.16
b/ [ P ]1 =
= 1216kN
8

4.20,5.16
= 164kN
c/ [ P ] 2 =
8

C
l

B

z
c/

+

Mmax=Pl/4

[P1]/[P2] =
1216/164 = 7,41

z
y


Thí dụ 8. 2. Kiểm tra độ bền theo ứng suất pháp của dầm
chịu tải trọng như hình vẽ. Vật liệu có ứng suất cho phép

[σ ] k = 4,2kN / cm 2 ; [σ ] n = 10kN / cm 2 .

q=0,56kN/cm P=10kN M = -300kNcm. M = 550 kNcm
B
C
B D
C
550.4
2
σ
=
=
4,125
kN
/
cm
;
100cm
30cm
kc

A

550kNcm
20

100
100

20

C

yc

533,34
550.8
2
σ
=
=
8,25
kN
/
cm
;
nc
300kNcm
533,34
300.8
σ kB =
= 4,5kN / cm 2› [ σ ] k
533,34
300.4
σ nB =
= 2, 25kN / cm 2 .
533,34

Dầm không đủ bền ở mặt cắt B, tại đó momen
uốn có giá trị tuyệt đối không phải là lớn nhất.

20

y
O2

100
yC

20
100

x2

C
O1
O

x

Mômen tĩnh của mặt cắt đối với trục xo:
Sxo = 10 x 2 x 1 + 2 x 10 x 7 = 160 cm3.
yC =

S xo
160
=
= 4cm
F 10 × 2 + 2 ×10

3

10.23
2
.
10
Jx =
+ 10.2.32 +
+ 10.2.32 = 533,34cm 4 ;
12
12

x1
xO


8.2. Uốn ngang phẳng.
8.2.1 Biến dạng của dầm chịu uốn ngang phẳng
z

q 2

2 s

c a

P

y
x

z

4

3

l

Q
P
-Pl

+
-

M+dM M

d b

b

h

3
p
y

4
r

dz

Nhâên xét :
- Măêt cắt ngang bị uốn cong ;
- Góc vuông trước khi biến dạng
vẫn không thay đổi ở măêt trên và
măêt dưới db;
- Góc vuông ở lớp trung hòa mn
biến đổi nhiều nhất ;
Kết luâên : Ứng suất tiếp ở măêt
trên, măêt dưới bằng không và có
giá trị cực đại ở lớp trung hòa.

c
m
m1
d1

a
c1 a1
n
n1

d b
b1


8.2.2. Xác định ứng suất.

Mx
σz =

y;
Jx

P

T = N2 – N 1 ;

T = τ y bdx;

τ zy =

by J x

;

( 8.8 )

N2
y

;

Jx
( M + dM ) S y ( x )
N2 =
;
Jx
QS y ( x )

p3

4 r
h/2

N1 =

MS y ( x )

-Pl

Q
+
M+dM
M
-

4

Q

Q

s

q

T
dz

N1

3


8.2.3 Biểu đồ ứng suất tiếp ( mặt cắt hình chữ nhật).

τ max

Q
= ;
Ft

τ max

4Q
=
;
3F

Ft - diện tích mặt
cắt ngang phần
thành chữ I
( a2e2e3a3 ).

y

z
( 8. 10 )

a

τmax

B

c

( 8. 11 )

Fy

d s
e g

a2

e2

a3

b
e3 e1

f

m

y

Mặt cắt hình tròn

( 8.9 )

h

τ max

3Q
=
;
2F

dF

y

a1
c1

d1

r

k

t

n

τmax

Kiểm tra toàn phần đôê bền
- tại A và D trên mặt cắt có momen uốn lớn nhất.
Đối với dầm làm bằng vật liệu dẻo
Dy

σ

max

≤ [σ ];

(8. 12)

Dầm bằng vật liệu giòn
(8. 13)

B
xC

z

A

σmin

τ

τmax

σ
σmax

-tại điểm B (trượt thuần tuý) trên
τ max ≤ τ .
mặt cắt có lực cắt lớn nhất:
(8. 14)
vật liệu dẻo [τ ] = [σ ] 2 (thuyết bền thứ ba);
vật liệu giòn: thuyết bền Mo.
- tại C (trạng thái căng phẳng): mặt cắt có Q và M có giá
trị lớn. Kiểm tra điểm có ứng suất σ, có giá trị khá lớn.
Vật liệu dẻo dung thuyết bền ba : σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ] ,
Vật liệu giòn dùng thuyết bền Mo.

[ ]

τ


Thí dụ 8. 3. Chọn và kiểm tra toàn phần độ bền của dầm chữ
I chịu tải như hình vẽ. Vật liệu có ứng suất cho phép

t

q=40kN/m
D
4m
87,5kN
+

+

d

h

A

P=30kN
B
C
1m

[σ ] = 16

kN / cm 2 .
.

b

∑ M A = 40.4.2 − B.4 − 30.5 = 0;

40.4.2 − 30.5
B=
= 42,5kN .
4
2,1875
30kN A = 40.4 − 42,5 − 30 = 87,5kN .
72,5kN
Mặt cắt D:Mmax= 97,5kNm.

Qmax = 87,5kN.
+
30kNm Mặt cắt A
Mặt cắt B: M = 30 kNm và Q=72,5 kN.
97,5kNm


87,5kN
A

D
B C
+
2,187
30kN
5
72,5kN

+

Tại D: Mmax= 97,5kNm.
Tại A: Qmax = 87,5 kN.
Tại B: M = 30 kNm;
Q = 72,5 kN.
Chọn số hiệu của dầm
chữ I theo ứng suất pháp
cực đại (tại D):

30kNm
97,5kNm

t
d

h
b

Chọn thép chữ I NO 33 có Jx = 9840 cm4;
S(z) = 339 cm3; Wx = 597 cm3;
h = 33 cm; d = 0,7 cm; t = 1,12 cm.


Phân tố ở trạng thái trượt thuần tuý (mặt cắt A ):
16
τ max ≤ [τ ] = = 8kN / cm 2 .
2
Phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng (mặt cắt B):

t

2

Q
d h  
τ zy =
S( x ) −  − t   =
J x d 
2  2  

h

2
b

72,5
0,7  33

2
=
 − 1,12   = 2,7 kN / cm .
339 −
9840.0,7 
2 2
 
.

σ td= 4,69 + 3.2,7 = 6,62kN / cm < [σ ].
2

2

2

d
z


8.3. Quỹ đạo ứng suất chính khi uốn ngang.
Điểm B
τ

A

q
M

P

B

M σ3

C

Q

σ

Q

σ1
Điểm D
τ

D

P

E
σ3

σ
σ1


8.4. Thế năng biến dạng đàn hồi của dầm chịu uốn.
Thế năng riêng biến dạng đàn hồi được xác định theo
công thức (3.14):

[

]

1 2
u=
σ 1 + σ 22 + σ 32 − 2µ ( σ 1σ 2 + σ 2σ 3 + σ 3σ 1 ) .
2E

Các phân tố vật liệu của dầm chịu uốn ở trạng thái ứng suất
phẳng đặc biệt. Trị số của ứng suất chính được xác định
theo công thức:

σ =
1

(3. 14)

σ

2

σ2

+

τ2

+4

> 0; σ =
3

σ

2

− σ 2 + 4τ 2 < 0;

σ =o
2

2
2
1
σ
τ
u=
σ 2 + 2(1 + µ )τ 2 =
+
.

2E
2 E 2G

[

]

E=2G(1+μ)


Thế năng biến dạng của toàn bộ dầm:

σ 2 τ 2 
2
2
σ
τ


;
U = ∫ udV = ∫ 
+
dV
U = ∫ dx ∫  +
dF ;

2
E
2
G

V
V

2 E 2G 

l
F
2
2
Q S y ( z)
M2 2
U = ∫ dx ∫
y dF + ∫ dx ∫
dF .
2
2 2
l
F 2 EI
l
F 2GI b
2
2
y
∫ dF = I

F S y ( z)
k = 2 ∫ 2 dF
I F b

Đặt

F

M2
Q2
U =∫
dx + ∫ k
dx
l 2 EI
l 2GF

(8.15)

Mặt cắt hình chữ nhật:
Mặt cắt hình tròn :

k = 1,2
k = 1,1;

Thép chữ I:

k = 2,2 – 2,4 ;

Dầm có chiều dài lớn

U ≈

∫
l

M z2 dx
;
2 EI z

(8.16)


8.5. Biến dạng và chuyển vị của dầm chịu uốn.
8.5.1. Biến dạng của dầm chịu uốn.
Chuyển vị (độ võng, góc xoay).
Độ võng y của dầm là chuyển vị của trọng tâm mặt cắt theo
phương vuông góc với trục dầm:
y = y( x ).
Góc xoay của mặt cắt hay chuyển vị góc là góc giữa hai
vị trí của mặt cắt trước và sau khi biến dạng. Dựa theo giả
thuyết măêt cắt phẳng ta có:

dy
tgϕ =
= y'
dx
Độ cong (8. 3)

1 Mz
=
ρ EI z

(8.17)

8.5.2. Phương trình vi phân của độ võng.
Độ cong của đường cong phẳng y = y( x ) :

(8. 3), (8. 23)

1
y' '
=±
ρ
(1 + y '2 )3
y' '
M z ( x)
=±
EI z ( x)
(1 + y '2 )3

(8.18)
(8.19a)

Nếu chọn chiều dương của trục y hướng lên trên và chiều
dương của trục x hướng sang phải thì dấu của độ cong và
momen uốn trùng nhau, ta sẽ lấy dấu cộng trong biểu thức
(8. 19a ):

y' '
M z ( x)
=
(1 + y '2 )3 EI z ( x)

(8.19b)