Đề thi hsg toán 8 ( chọn đội tuyển tỉnh) vòng 1

TRƯỜNG THCS LÊ THANH NGHỊ
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TỈNH VÒNG 1
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN TOÁN 9
Thời gian làm bài 150 phút
Đề gồm 01 trang

Câu 1: (2,0 điểm)
 x +1
x +1
1
2 − x2 
:
−
+
Cho biểu thức: A = 2

÷
x − 2x +1  x
1 − x x2 − x 

a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm x để A < 1.
Câu 2: (2,0 điểm)
a) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c đôi một khác
nhau. Hãy tính giá trị biểu thức:

B=

1
1
1
+ 2 2
+ 2
;
2
2
2
a + b − c b + c − a c + a 2 − b2
2

b) Giải phương trình: (x – 1)(x + 1)2(x + 3) = 192
Câu 3: (1,0 điểm)

Tìm dư của phép chia đa thức f(x) = x2016 + x2015+ x4 + 22 cho x2 – 1;
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một
đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
·
·
a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và EAD
= ECB
b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng
BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi.
c) Kẻ DH ⊥ BC ( H ∈ BC ) . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH,
DH. Chứng minh CQ ⊥ PD .
Câu 5:(2,0 điểm)
a) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 2.
1

1 1 49
Chứng minh: 16 x + 4 y + z ≥
32
b) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b +c = 1. Tìm GTNN của biểu thức
B=

a + bc b + ca c + ab
+
+
b+c
c+a
a+b


TRƯỜNG THCS LÊ THANH NGHỊ

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TỈNH VÒNG 1
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN TOÁN 9

(Gồm 04 trang)

Câu
1

Ý

a

Nội dung
Tìm ĐKXĐ: x ≠ 1; x ≠ 0; x ≠ -1.
A=
=
=
=

b

2

a

 x +1
x +1
1
2 − x2 
:
−
+

÷
x2 − 2 x + 1  x
1 − x x2 − x 

 ( x + 1)( x − 1)
x
2 − x2 

:
+
+
÷
2 
x( x − 1) x( x − 1) 
( x − 1)  x( x − 1)
x +1

x +1

( x − 1)

0,25đ

2

x2 −1 + x + 2 − x2
x( x − 1)

.

x( x − 1)
x
=
x +1
x −1

0,25đ

2

x +1

( x − 1)

0,25đ

:

x
x
<1 ⇔
−1 < 0
x −1
x −1
x − x +1
1
⇔
<0 ⇔
<0
x −1
x −1
⇔ x – 1 <0 ⇔ x < 1
So sánh ĐKXĐ với x <1; x ≠ 0 và x ≠ -1 thì A <1.

A<1 ⇒

0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ

a3 + b3 + c3 = 3abc
⇔ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
⇔ (a + b)3 + c3 – 3ab(a +b) -3abc = 0
2
⇔ (a + b +c) ( a + b ) − (a + b)c + c 2  - 3ab(a +b + c) = 0


⇔ (a + b +c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ) =0
⇔ (a + b + c)(2 a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca) =0
⇔ (a + b + c) ⇔ [ (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ] = 0

Mà a, b,c đôi một khác nhau nên a + b + c = 0
⇒ a + b = -c ⇒ (a + b)2 = c2 ⇒ a2 + b2 - c2 = -2ab
Tương tự như trên ta có: b2 + c2 – a2 = -2bc và
c2 + a2 – b2 = - 2ca
Thay vào biểu thức B ta được:
B=
b

Điểm
0,25đ

1
1
1
1 c+a+b
+

+
=− .
=0
−2ab −2bc −2ca
2 abc

(x – 1)(x + 1)2(x + 3) = 192
⇔ (x – 1)(x + 3)(x+1)2 = 192
⇔ (x2 + 2x – 3)(x2 + 2x + 1) = 192 (*)

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ


Đặt x2 + 2x – 1 = y Phương trình (*) trở thành:
( y – 2)(y + 2) = 192 ⇔ y2 – 4 = 192 ⇔ y2 = 196
⇔ y = 14 hoặc y = -14.
+) Nếu y = 14 thì x2 + 2x – 1 = 14
⇔ x2 + 2x – 1 = 14 ⇔ x2 + 2x – 15 = 0
⇔ x2 - 3x + 5x – 15 = 0
⇔ x(x – 3) + 5(x -3) = 0
⇔ (x – 3)(x + 5) = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = -5.
+) Nếu y = -14 thì x2 + 2x – 1 = -14
⇔ x2 + 2x + 13 = 0 ( vô nghiệm)
Vậy phương trình (*) có nghiệm là: x = 3 hoặc x = -5
Gọi dư của phép chia f(x) = x2016 + x2015+ x4 + 22

cho x2 – 1 là ax + b và thương là q(x) ta có:
f(x) = x2016 + x2015+ x4 + 22 = (x2 – 1)q(x) + ax + b
ta có: f(1) = 12016 +12015 +14 +22 = (12 – 1)q(x) +a.1 + b
⇔ a + b = 25
(1)
2016
2015
4
Và: f(-1) = (-1) +(-1)
+(-1) +22 = a.(-1) + b
⇔ -a + b = 21
(2)
⇔
Từ 1 và 2 ta có 2b = 46
b = 23
Thay b = 23 vào 1 ta được a = 2
Vây dư của phép chia f(x) = x2016 + x2015+ x4 + 22
cho x2 – 1 là 2x + 23.

3

0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ

E

D

0,25

A

4

M
Q

B

P

I

H

a) * Chøng minh EA.EB = ED.EC
- Chøng minh ∆ EBD ®ång d¹ng víi ∆ ECA (gg)
EB ED
=
⇒ EA.EB = ED.EC
- Tõ ®ã suy ra
EC EA

C

0,25
0,25


·
·
* Chøng minh EAD
= ECB

- Chøng minh ∆ EAD ®ång d¹ng víi ∆ ECB (cgc)
·
·
- Suy ra EAD
= ECB
b) - Chøng minh ∆ BMI ®ång d¹ng víi ∆ BCD (gg)
- Chøng minh CM.CA = CI.BC (1)
Tương tự chứng minh: BM.BD =BC.BI (2)
Từ (1) và (2) ta chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2
Mà BC không đổi nên BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi
khi điểm M di chuyển trên AC.
c) Chøng minh ∆ BHD ®ång d¹ng víi ∆ DHC (gg)
BH BD
2 BP BD
BP BD
⇒
=
⇒
=

⇒
=
DH DC
2 DQ DC
DQ DC
- Chøng minh ∆ DPB ®ång d¹ng víi ∆ CQD (cgc)

·
·

⇒ BDP
= DCQ
·
·
⇒ DCQ
+ PDC
= 90o

·
·
ma`BDP
+ PDC
= 90o 
Suy ra CQ ⊥ PD
5a

a 2 b 2 c 2 ( a + b + c )2
+ + ≥
CM bđt: Với x,y,z > 0 ta có
x

y z
x+y+z
a b c
Dấu = xảy ra khi = =
x y z
1
1 1
1 1 4 16
1 ( 1 + 2 + 4 )2 49
+
+ =
( + + )≥ .
=
16 x 4 y z 16 x y
z
16 x + y + z
32
Dấu = xảy ra khi x =

5b

2
4
8
;y= ;z=
7
7
7

- Nhận xét: Có a + bc = a(a + b + c) + bc = (a + b)(c + a)

Tương tự có b + ca = (b + a)(b + c)
c + ab = (c + a)(c + b)
do đó:

B=

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,5
0,25

0,25
0,25

(a + b)(a + c) (b + a)(b + c) (c + a)(c + b)
+
+
b+c
c+a

a+b

áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có

(a + b)(a + c) (b + a )(b + c)
+
≥ 2( a + b )
b+c
c+a

0,25


(a + b)(a + c ) (c + a )(c + b)
+
≥ 2( a + c )
b+c
a+b
(b + a )(b + c) (c + a)(c + b)
+
≥ 2(b + c )
a+c
a+b
Suy ra 2.B ≥ 4(a + b + c) = 4 hay B ≥ 2

Vậy GTNN của biểu thức B là 2
Dấu bằng xảy ra khi: a = b = c =

1
3

0,25