Tài liệu bồi dưỡng học sinh lớp 9 môn toán sưu tầm (2)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (547 KB, 64 trang )

Phương pháp giải toán Đại số 9
CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
I. CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI
1. Căn bậc hai số học
2
 Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho x = a .

 Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là
kí

a , số âm

hiệu là − a .

0 = 0.

 Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết
 Với số dương a, số

a là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng là căn bậc hai số học của

0
 Với hai số không âm a, b, ta có: a < b 

a< b.

2. Căn thức bậc hai
 Với A là một biểu thức đại số, ta gọi

A là căn thức bậc hai của A.

A xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.



A
A2 = A = 
− A

neáu A ≥ 0
neáu A < 0

DẠNG 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ

A CÓ NGHĨA

Phương pháp:



A có nghĩa  A ≥ 0



có nghĩa khi g(x)≠ 0

1
A có nghĩa  A > 0

có nghĩa khi và g(x)≠ 0

 Chú ý: Nếu bài yêu cầu tìm TXĐ thì sau khi tìm được điều kiện x, các em biểu diễn dưới
dạng tập hợp.
 Nếu |f(x)| ≥ a thì f(x) ≥ a hoặc f(x) ≤ -a. ( với a>0)
 Nếu |f(x)| ≤ a thì -a ≤ f(x) ≤ a. ( với a>0)
Bài 1.

Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a)

− 3x

b)

4 − 2x

c)

−3 x + 2

d)

3x + 1

e)

9x − 2

f)

6x − 1

HD:
a) Biểu thức có nghĩa khi: -3x ≥ 0 ó x ≤ 0 . Các câu khác làm tương tự:
GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Nhận dạy kèm học sinh L6-L12
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

b) x 2
Bài 2.

c) x

d) x

e) x

Phương pháp giải toán Đại số 9
f) x .

Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
x
+ x−2
x−2

a)

1
3 − 2x

d)

x
+ x−2
b) x + 2

e)

4
2x + 3

x
2

c) x − 4

f)

−2
x +1

+ x−2

HD:
a) Biểu thức có nghĩa khi:
b) Biểu thức có nghĩa khi:
c) Biểu thức có nghĩa khi :
d)

x<

3
2

e)

x>−

óx >2

3
2

f) Biểu thức có nghĩa khi: x+1<0 ó x < −1
Bài 3.

Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a)

x2 + 1

b)

4x2 + 3

c)

9x2 − 6x + 1

d)

−x2 + 2x − 1

e)

− x+5

f)

−2 x 2 − 1

HD:
a) Biểu thức có nghĩa khi :x2+1≥ 0 (luôn đúng) Suy ra: x ∈ R
b) x ∈ R c) x ∈ R d) x = 1
e) x = −5
f) Vì -2x2-1 <0 với mọi x nên không có giá trị nào của x để biểu thức có nghĩa
Bài 4.

Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

a)

4 − x2

b)

x 2 − 16

c)

x2 − 3

d)

x2 − 2x − 3

e)

x ( x + 2)

f)

x2 − 5x + 6

HD:
a) x ≤ 2
e) x ≤ −2 hoặc x ≥ 0

b) x ≥ 4
c) x ≥ 3
f) x ≤ 2 hoặc x ≥ 3

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

d) x ≤ −1 hoặc x ≥ 3

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12

Bài 5.

Phương pháp giải toán Đại số 9
Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:
x −1

a)

b)

x −1 − 3

4− x

c)

1

1
d)

x − 2 x −1

e)

9 − 12 x + 4 x 2

x + 2 x −1

f)

HD:
a) x ≥ 1 b) x ≤ −2 hoặc x ≥ 4

c) x ≤ 4

d) x ≥ 1

e)

x≠

3
2

f) x ≥ 1

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Phương pháp: Các em dùng hằng đẳng thức 1 và 2 trong 7 hằng đẳng thức, biến đổi biểu thức
trong căn đưa về dạng rồi áp dụng công thức:
neáu A ≥ 0
neáu A < 0

A
A2 = A = 
− A

Bài 1.

Thực hiện các phép tính sau:

2
a) −0,8 (−0,125)

b)

(−2)6

e)

 1 1
− ÷

 2 2

c)

(

3 − 2)

f)

( 0,1 −

2

2

(2

d)
Bài 2.

2 − 3)

0,1

)

2

Thực hiện các phép tính sau:

a)

( 3− 2 2)

c)

( 2 − 3)

e)
Bài 3.

2

(

2

2

+

+
2

5 − 2) +

( 3+ 2 2)

(1− 3)

(

2

b)

( 5− 2 6)2 − ( 5+ 2 6)2

d)

( 3+

f)

(

2

5 + 2)

2

2

2) −
2

2 + 1) −

( 1−

(

2)

2 − 5)

2

2

Thực hiện các phép tính sau:

a)

5+2 6 − 5−2 6

b)

7 − 2 10 − 7 + 2 10

c)

4−2 3 + 4+2 3

d)

24 + 8 5 + 9 − 4 5

e) 17 − 12 2 + 9 + 4 2

f)

6 − 4 2 + 22 − 12 2

Bài 4.
a)

Thực hiện các phép tính sau:

5 − 3 − 29 − 12 5

b)

13 + 30 2 + 9 + 4 2

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

c)

(

3 − 2) 5+2 6

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12

Phương pháp giải toán Đại số 9
d)

5 − 13 + 4 3 + 3 + 13 + 4 3

e)

1 + 3 + 13 + 4 3 + 1 − 3 − 13 − 4 3

ĐÁP SỐ
Bài 1:
a)-0,8 = -0,8|-0,125|=-0,8.0,125= −0,1

1
b) 8 c) 2 − 3
Bài 2:

a)
b) −4 6
Bài 3:

d) 3 − 2 2

c) 1

e)

d) 4

2

−

1
2

e) 2 5

f)

0,1 − 0,1

f) 2 2 − 4

a) 2 2
b) Chú ý:
c) Chú ý:

d) Chú ý: ;
e) 4 Chú ý: ; .
f) Chú ý: ;
Bài 4: Ta thực hiện từ trong ra ngoài:
a)

b)
c)
d)
e)

.
( = (.

DẠNG 3: SO SÁNH CĂN BẬC 2
Phương pháp:
- So sánh với số ).
- Bình phương hai vế .
- Đưa vào (đưa ra ) ngoài dấu căn.
- Dựa vào tính chất: nếu a>b≥0 thì
BÀI TẬP: So sánh:
Bài 1: ; 11 và ; 7 và ; 6 và ;
Bài 2:
a) 2 và
d) 2 và

b) -3 và - 5
e) 2 - 1 và 2

c) 21, 2 , 15 , f) 6 và g) và 1

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

h) - và - 2
Nhận dạy kèm học sinh L6-L12

Phương pháp giải toán Đại số 9
k) và

i) - 1 và 3 j) 2 - 5 và 1
l) 6 , 4 , - , 2 ,
m) - 2 và n) 2 - 2 và 3
o) 28, , 2, 36
q) và r) - 7 và 4
p) - 27, 4, 16 , 21

DẠNG 4: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Phương pháp: Các em dùng hằng đẳng thức 1 và 2 trong 7 hằng đẳng thức, biến đổi biểu thức trong
căn đưa về dạng rồi áp dụng công thức:
A
A2 = A = 
− A

neáu A ≥ 0
neáu A < 0

Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Bài 1.

Rút gọn các biểu thức sau:

2
a) x + 3 + x − 6 x + 9 ( x ≤ 3)

c)
Bài 2.

b)

x2 − 2x + 1
( x > 1)
x −1

d)

x 2 + 4 x + 4 − x 2 (−2 ≤ x ≤ 0)
x−2 +

x2 − 4x + 4
( x < 2)
x −2

* Rút gọn các biểu thức sau:

2
2
2
a) A= 1 − 4a + 4a − 2a b)B= x − 2 y − x − 4 xy + 4 y

2
4
2
c)C= x + x − 8 x + 16

x 4 − 4x2 + 4

x 2 − 10 x + 25
2x −1 −
x−5
d)D=

e) E=

( x − 4)2 +

x2 − 2

f)F=

x−4
x 2 − 8 x + 16

2
2
2
2
Bài 3.
Cho biểu thức A = x + 2 x − 1 − x − 2 x − 1 .

a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa?

b) Tính A nếu x ≥ 2 .
Bài 4.
Cho 3 số dương x , y, z thoả điều kiện: xy + yz + zx = 1 . Tính:
A=x

(1 + y 2 )(1 + z2 )
1 + x2

+y

(1 + z2 )(1 + x 2 )
1 + y2

+z

(1 + x 2 )(1 + y 2 )
1 + z2

ĐÁP SỐ
Bài 1:
a) x+3+ = x+3+|x-3|=x+3-(x-3)=6
b) 2
c) 1
d) 1− x

(vì x≤ 3 nên |x-3|=-(x-3) )

Bài 2:

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12

Phương pháp giải toán Đại số 9
a) -2a =|1-2a|-2a.
Nếu 1-2a ≥ 0 ó a ≤ 1/2 thì A=(1-2a)-2a=1-4a
Nếu 1-2a<0 ó a>1/2 thì A=-(1-2a)-2a=-1.
b)B=x-2y-|x-2y|: B=0 nếu x≥ 2y; B=2x nếu x<2y.
c)C=x2+|x2-4|: C=2x2-4 nếu |x|≥ 2; C=4 nếu |x|≤2.
d)D=2x-1- : Nếu x>5 thì D=2x-2; Nếu x<5 thì D=2x.
e) E= ; Nếu hay |x|> thì E=1. Nếu hay |x|< thì E=-1.
f) F= |x-4| + ; Nếu x>4 thì F= x-3; Nếu x<4 thì F=3-x.
Bài 3: a) x ≤ −1 hoặc x ≥ 1
b) A = 2
2
2
Bài 4: A = 2 . Chú ý: 1 + y = ( xy + yz + zx ) + y = ( x + y )( y + z) ,

1 + z2 = ( y + z)(z + x ) , 1 + x 2 = (z + x )( x + y )
Nên A=x(y+z)+z(x+y)+y(x+z)=2(xy+yz+zx)=2.
DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Phương pháp:
2

2

 A = B ⇔ A = ±B ;



 A ≥ 0 (hay B ≥ 0)
A= B ⇔
A = B

A ≥ 0
A < 0
A =B⇔
hay 
A = B
 A = −B




A = 0
A+ B =0⇔
B = 0



B ≥ 0
A=B⇔
2
A = B

B ≥ 0
A =B⇔

 A = B hay A = − B


 A = B ⇔ A = B hay A = − B
 Chú ý: ó |A|=B ;
Bài 1.
a)
d)
Bài 2.
a)
d)
Bài 3.
a)

A = 0
A + B =0⇔
B = 0


|A|=A khi A ≥ 0; |a|=-A khi A≤ 0.

Giải các phương trình sau:

( x − 3)2 = 3 − x

b)

x + 2 x −1 = 2

e)

Giải các phương trình sau:

2x + 5 = 1 − x

2x − 1 = x −1

b)

e)
Giải các phương trình sau:
x2 + x = x

4 x 2 − 20 x + 25 + 2 x = 5 c) 1 − 12 x + 36 x 2 = 5

x − 2 x − 1 = x − 1 − 1 f)

1
1 1
x2 − x +
= −x
2
16 4

x2 − x = 3 − x

c)

2x2 − 3 = 4x − 3

x2 − x − 6 = x − 3

f)

x 2 − x = 3x − 5

2
b) 1 − x = x − 1

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

c)

x2 − 4x + 3 = x − 2

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12

Phương pháp giải toán Đại số 9
x2 − 1 − x2 + 1 = 0

d)
Bài 4.

e)

x2 − 4 − x + 2 = 0

2
f) 1 − 2 x = x − 1

b)

4x2 − 4x + 1 = x − 1

c)

Giải các phương trình sau:
x2 − 2 x + 1 = x2 − 1

a)

x2 + x +

d)
Bài 5.

1
=x
4

e)
Giải các phương trình sau:

2
b) x − 3 = x − 3

3x + 1 = x + 1

a)

x 4 − 8 x 2 + 16 = 2 − x

x4 − 2x2 + 1 = x − 1

f)

9 x 2 + 6 x + 1 = 11 − 6 2

c)

9 x 2 − 12 x + 4 = x 2

x 2 − 4 x + 4 = 4 x 2 − 12 x + 9

d)
Bài 6.

Giải các phương trình sau:

a)

x2 − 1 + x + 1 = 0

d)

x2 − 4 + x2 + 4x + 4 = 0

b)

x 2 − 8 x + 16 + x + 2 = 0 c) 1 − x 2 + x + 1 = 0

ĐÁP SỐ
Bài 1:
a) x ≤ 3 b)
Bài 2:

x=−

a)
Bài 3:

x≤

5
2
x = 1; x = −
2 c)
3

4
3 b) x = ± 3

c) x = 2

d) x = 2

e) x ≥ 2

d) vô nghiệm e) x = 3

f)

x≤

1
4

f) vô nghiệm

a) x = 0 b) x = 1 c) vô nghiệm d) x = ±1; x = ± 2
e) x = 2 f) vô nghiệm
Bài 4:
a) x = 1; x = −2
b) vô nghiệm c) x = 1
d) vô nghiệm e) x = 2; x = −3; x = −1
f)
Bài 5:

x=

2− 2
2 −4
;x =
3
3

x = 0; x = −

a)

Bài 6:
a) x = −1

1
2

b) x = 3; x = − 3 + 1; x = − 3 − 1

b) vô nghiệm c) x = −1

c)

x = 1; x =

1
5
x = 1; x =
2 d)
3

d) x = −2

II. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP KHAI PHƯƠNG VÀ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12

Phương pháp giải toán Đại số 9
Phương pháp:
A.B = A . B ( A ≥ 0, B ≥ 0)

 Khai phương một tích:

A . B = A.B ( A ≥ 0, B ≥ 0)

Nhân các căn bậc hai:

A
=
B

 Khai phương một thương:

A
B
A
B

Chia hai căn bậc hai:

( A ≥ 0, B > 0)
=

A
( A ≥ 0, B > 0)
B

DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Bài 1.

Thực hiện các phép tính sau:

a) 12 + 2 27 + 3 75 − 9 48

b) 2 3( 27 + 2 48 − 75) c) ( 2 2 − 3 )

d) ( 1 +

(
e)

(
f)
Bài 2.

3−

2 ) ( 1+

11 + 7 −

3+

11 −

2)
7)

3− 5 + 3+ 5

)

2

2

2

Thực hiện các phép tính sau:

2+ 3 − 2− 3

a)
c)

(

6 + 2 ) ( 3 − 2)

(
) ( 10 − 6 ) 4 − 15
d) 4 + 15

3+2

e) 13 − 160 − 53 + 4 90
Bài 3.

21 − 12 3 − 3

b)

6−2

f)

2 + 12 + 18 − 128

Thực hiện các phép tính sau:

a) 2 5 − 125 − 80 + 605
8 3 − 2 25 12 + 4

d)
Bài 4.

192

2 − 3 ( 6 + 2)

e)

3− 5 + 3+ 5

f)

(

2 + 1) − ( 2 − 1)
3

3

Thực hiện các phép tính sau:

10 + 2 10
8
+
5 + 2 1− 5
a)

d)

b) 15 − 216 + 33 − 12 6 c)

3 − 5. ( 3 + 5 )
10 + 2

2− 3
2+ 3
+
2+ 3
2− 3

2 8 − 12
5 + 27
−

30 + 162 c)
b) 18 − 48
1

e)

2 + 2+ 3

+

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

(

1
2 − 2− 3

f)

5 + 2) − 8 5
2 5−4
2

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12

Phương pháp giải toán Đại số 9
Bài 5.

Thực hiện các phép tính sau:

a) A = 12 − 3 7 − 12 + 3 7

b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5

c) C = 3 − 5 + 3 + 5
ĐÁP SỐ
Bài 1:
a) −13 3
Bài 2:

Chú ý:
a)
Bài 3:

2

b)

3 −3

6

b)

−

6
2

d) 2 + 2 3

e) 10

f) 2

e) −4 5

f)

2

(

4±2 3
2± 3 =
=
2

a) 4 5 b)
Bài 4:
a) –2
Bài 5:

c) 11 − 4 6

b) 36

3 ± 1)

3 ±1
=
2
2

c) −2

d) 2

c) 0

d) 2

c) 4

d) 1

e) 10

3 −1

f) 14

2 2 2
Chứng tỏ A < 0, B > 0, C > 0 . Tính A , B , C  A = − 6 ; B = 5 + 1 , C = 10

DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Bài 1.

Rút gọn các biểu thức:

15 − 6

a)

35 − 14

b)

2 + 3 + 6 + 8 + 16

Bài 2.

x+ y
x −1

c)

8 + 12

c) 2 5 − 2 10 − 3 + 6

x + xy

f)

a +a b − b −b a
ab − 1

Rút gọn các biểu thức sau:
x x+y y

a)

2 15 − 2 10 + 6 − 3

e) y + xy

2+ 3+ 4

d)

10 + 15

y −1

−

(

x− y

)

2

x − 2 x +1
b)

( y−2

)

y +1

( x − 1)4

x + 2 x +1

( x ≥ 0)

2

( x ≠ 1, y ≠ 1, y > 0)

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12

Phương pháp giải toán Đại số 9
Bài 3.

Rút gọn và tính:
a −1
b +1

a)

:

b −1

2

a + 1 với a = 7,25; b = 3,25 b) 15a − 8a 15 + 16 với

2

c) 10a − 4a 10 + 4 với

a=

2
5
+
5
2

a=

3
5
+
5
3

2
2
2

2
d) a + 2 a − 1 − a − 2 a − 1 với a = 5

ĐÁP SỐ
Bài 1:

3
7

a)

3− 2

5
b) 2

c) 1 − 2

x

e)

d) 1 + 2 . Tách 16 = 4 + 4

a− b

y

f)

ab − 1

Bài 2:
x −1
xy

a)

b)

x +1

1
1
0
<
y
<
1
c) 1− x nếu
và x − 1 nếu y > 1

a −1 5
;
b −1 3

Bài 3: a)

c) 5

b) 4

d) 2

DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1.

a)

Giải các phương trình sau:

9x − 7
d)

2x − 3

2x − 3
=2
x −1

7x + 5

ĐS: a)

x=

b)

= 7x + 5
e)

x −1

=2
c)

4 x − 20 + 3

1
3
7
x = − ;x =
2 b) vô nghiệm c)
2
2

4x2 − 9 = 2 2x + 3

x −5 1
−
9 x − 45 = 4
9
3

d) x = 6

e) x = 9

DẠNG 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1.

a)
Bài 2.

So sánh các số:

7 − 2 và 1

b)

8 + 5 và

7+ 6

c)

2005 + 2007 và

2006

Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh:

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12

Phương pháp giải toán Đại số 9

a+b

≥ ab
a) 2

a+b < a + b

b)

d) a + b + c ≥ ab + bc + ca
Bài 3.

e)

c)

a+b+

1
≥ a+ b
2

a+b
a+ b
≥
2
2

Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) A = x − 2 + 4 − x

b) B = 6 − x + x + 2

c) C = x + 2 − x

ĐÁP SỐ
Bài 1:
Bài 2:
Bài 3:
a) A = 2 ⇔ x = 3

b) B = 4 ⇔ x = 2

c) C = 2 ⇔ x = 1

III. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
A2 B = A B

+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì

2
 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B = A B

+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì

 Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì
A2 B = − A B

A B = − A2B

 Với A.B ≥ 0 và B  0 thì

A
=
B

C
2
 Với A ≥ 0 và A ≠ B thì

A±B

A

AB
B

=

+ Với B > 0 thì

A B
B

C ( A mB)
A − B2

C
 Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A  B thì

B

=

A± B

=

C( A m B )
A−B

DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Bài 1.

Thực hiện các phép tính sau:

125 − 4 45 + 3 20 − 80

a)
c)

2

27
48 2 75
−
−
4
9 5 16

b)

d)

(

99 − 18 − 11 ) 11 + 3 22

3

9
49
25
−
+
8
2
18

GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Nhận dạy kèm học sinh L6-L12

Phương pháp giải toán Đại số 9
 5 − 5  5 + 5

+ 1÷
 1 +
÷
÷

÷

e)  1 − 5  1 + 5

Bài 2.

1
3− 2

f)

1

+

3+ 2

Thực hiện các phép tính sau:

7 −5 6−2 7
6
5
−
+
−
2
4
7 −2 4+ 7

a)

1
3+ 2− 5

c)

1
3

e)

+

1
3 2

+

−

2
6 −2

b)

2

+

6 +2

5

+

6

 6− 2
5 
1
−

÷
÷:
5 5− 2
d)  1 − 3

1
3+ 2+ 5

2 3 − 3 + 13 + 48

1

5
1
−
3 12
6

6− 2

f)
ĐÁP SỐ:

Bài 1:

7 3
c) 6

a) −5 5 b) 22
Bài 2:

32 7 − 20
9
a)

17 6
b) 6

d)

c)

−

5 2
12

30

6

f) 2 3

e) −4

3
e) 2

d) −3

f) 1

DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Phương pháp: Đơn giản biểu thức rồi thay số.
Bài 1.

Rút gọn và tính giá trị biểu thức:

x − 11

A=

x − 2 − 3 , x = 23 − 12 3

a)

c)

C=

b)

a 4 − 4a2 + 3

D=

a 4 − 12a2 + 27 , a = 3 − 2

d)

1
2(1 + a )

x 2 − 4 + x + 2 , x = 2( 3 + 1)

e)

+

1
2(1 − a )

1
h + 2 h −1

2x + 2 x2 − 4

E=

a=

B=

f)

+

−

a2 + 2
1 − a3 , a = 2

1
h − 2 h −1 , h = 3

 3
  3

F =
+ 1 − a ÷: 
+ 1÷
÷
 1+ a
  1 − a2
,

3
2+ 3
B=

−1

=

1 + a + a2
ĐS: a) A = x − 2 + 3 = 2 3 b)
GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

2 −3
7

C=

a2 − 1
a2 − 9

= 5−2 6

c)
Nhận dạy kèm học sinh L6-L12

Phương pháp giải toán Đại số 9
d)

D=

2 h −1

=2 2
h−2

E=
e)

1
x+2

=

3 −1
2

f) F = 1 − a = 3 − 1

DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1.
a)
c)

Giải các phương trình sau:

x − 1 + 4 x − 4 − 25 x − 25 + 2 = 0

1
3
x −1
x −1 −
9 x − 9 + 24

= −17
2
64
b) 2

9 x 2 + 18 + 2 x 2 + 2 − 25 x 2 + 50 + 3 = 0

2
2
d) 2 x − x + 6 x − 12 x + 7 = 0

2
e) ( x + 1)( x + 4) − 3 x + 5 x + 2 = 6

ĐS: a) x = 2 b) 290

e) x = 2; x = −7

c) vô nghiệm d) x = 1 ± 2 2

DẠNG 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

Bài 1.

Cho biểu thức:

a) Tính

S2 ; S3

Sn = ( 2 + 1)n + ( 2 − 1)n

(với n nguyên dương).

.

S
= Sm .Sn − Sm − n
b) Chứng minh rằng: Với mọi m, n nguyên dương và m > n , ta có: m + n
c) Tính
Bài 2.

S4

.

Cho biểu thức:

a) Chứng minh rằng:
Bài 3.

Cho biểu thức:

a) Chứng minh rằng:

Sn = ( 3 + 2)n + ( 3 − 2)n

S2 n = Sn2 − 2

b) Tính

S2 , S4

Sn = (2 − 3)n + (2 + 3)n

S3n + 3Sn = Sn3

b) Tính

S3 , S9

(với n nguyên dương).

.
(với n nguyên dương).
.

ĐÁP SỐ:
Bài 1:

S = 6; S3 = 10 2
a) 2
Bài 2:

b) Chứng minh

Sm + n + Sm − n = Sm Sn

2
2

2
a) Sử dụng hằng đẳng thức a + b = (a + b) − 2 ab
Bài 3:

b)

c)

S4 = 34

S1 = 2 3; S2 = 10; S4 = 98

3
3
3
S = Sn3 − 3Sn
a) Sử dụng hằng đẳng thức a + b = (a + b) − 3ab(a + b) . Chứng minh 3n
.
GV: Nguyễn Chí Thành 0975705122
Nhận dạy kèm học sinh L6-L12
Dạy trước chương trình cho học sinh đi du học.

Phương pháp giải toán Đại số 9
b)

S1 = 4; S3 = 61; S9 = 226798

.

IV. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép
biến đổi đơn giản như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở
mẫu và trục căn thức ở mẫu để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một biểu thức dưới
dấu căn.
Trong tất cả các bài toán rút gọn, nếu bài chưa cho điều kiện của x thì các em phải đi tìm
điều kiện trước khi thực hiện rút gọn.
Chú ý: Sau khi rút gọn biểu thức A, ta thường có các câu hỏi đi kèm sau:
1. Tính giá trị của A tại x= x0: Thông thường các em phải biến đổi x0 rồi mới thay vào A.
2. Tìm x để A=a; A>a; Aphải so sánh x với điều kiện trước khi kết luận.
3. Tìm GTLN, GTNN:
4. Chứng minh A>a; Abiểu thức đúng.
5. Tìm x nguyên để A nguyên:

A=
Bài 1. Cho biểu thức:

x +1
x −2

+

a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa.
ĐS: a) x ≥ 0, x ≠ 4

A=
b)