Tài liệu ôn thi toán lớp 12 tham khảo (1)

MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP
TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ

Ngày soạn :

Tiết:
Chuyên đề

I- MỤC TIÊU: Giúp học sinh:
1. Về kiến thức:
- Củng cố định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm, một số phương pháp tính tích
phân đã học để vận dụng tính tích phân.
- Nắm được phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ đơn giản: Dạng P(x)/Q(x)
với P(x), Q(x): có bậc cao nhất là 2
2. Về kỹ năng:
- Nhận dạng, tính được một số tích phân dạng hàm hữu tỉ đơn giản.
- Sử dụng thông thạo tính chất, bảng nguyên hàm và một số phương pháp tính
tích phân để tính tích phân.
3. Về tư duy và thái độ:
- Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức.
- Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ.
II- CHUẨN BỊ :
1. Giáo viên: - Giáo án, bảng phụ.
2. Học sinh: - Ôn trước các kiến thức đã học: Nguyên hàm, tích phân.
III- PHƯƠNG PHÁP:
- Nêu và giải quyết vấn đề, thuyết trình, phân tích, tổng hợp, gợi mở vấn đáp…
IV-TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1. Ổn định lớp :
2. Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi 1: Tính tích phân ( học sinh lên bảng)
2

I =∫
1

2x + 3
dx
x +1

Câu hỏi 2: Điền vào chỗ chấm trong bảng sau: Máy chiếu
3. Bài mới:
GV ĐVĐ: Ta vừa tính tích phân hàm hữu tỉ dạng bậc 1/bậc 1 bằng cách chia tử cho
mẫu:
Tử
= thương + dư
Mẫu
Mẫu
Trong đó: thương và dư : hằng số
rồi tách đưa về dạng có thể tính được tích phân. Tiết này ta xét tiếp tích phân hàm hữu
tỉ dạng bậc 2 / bậc 2. Vậy khi gặp dạng này, để tính tích phân ta sẽ làm như thế nào?
HSTL: Chia tử cho mẫu.
GV: Vậy thương và dư có kết quả là gì?
HSTL: Thương: là hằng số , dư : là đa thức bậc nhất hoặc hằng số.
GV: Lúc này dẫn tới việc tính tích phân của các hàm số hữu tỉ dạng:
1
Dạng 1: 2
ax + bx + c
mx + n
Dạng 2: 2
ax + bx + c
Ta sẽ lần lượt xét từng dạng:

1


g

Hoạt động 1: Tích phân hàm số hữu tỉ dạng 1: I = ∫
e

1
dx
ax + bx + c
2

(a ≠ 0)

Nội dung

Hoạt động của GV-HS
I. Dạng 1:
- GV: Dùng phương pháp
a) ∆ >0 :
gì để tách?
Cách 1: Đồng nhất
- HS: Đồng nhất 2 vế
1
1
1 A
B
- GV: Khi đồng nhất, làm

=
= (
+
)
2
thế nào để tìm A, B ?
ax + bx + c a ( x − x1 )( x − x2 ) a x − x1 x − x2
Đồng nhất để tìm a, b bằng cách giải hệ hoặc cho x các giá - HS: Ta có thể giải hệ
hoặc lấy x giá trị bất kì để
trị bất kì ( thường cho x bằng giá trị nghiệm x1, x2)
tìm A, B (thường lấy các
Cách 2: Thêm, bớt rồi tách
giá trị nghiệm để tìm A,
1
1
1
1
1
=
=
(
−
)
B cho nhanh)
ax 2 + bx + c a ( x − x1 )( x − x2 ) a( x1 − x2 ) x − x1 x − x2
- GV: Sau khi tách , tìm
nguyên hàm bằng công
thức nào?
- HS: Dùng công thức 2)

b) ∆ = 0 :
1
1
1
1
=
= .
2
2
ax + bx + c a ( x − x0 )
a ( x − x0 ) 2

c) ∆ < 0:
1
1
1
=
.
ax 2 + bx + c a (x + m) 2 + n 2

(Đặt x + m = n.tant)

* Ví dụ áp dụng:
1

-VD1:

dx
I1 = ∫ 2
x + 6x + 8

0

dx
1
1 1
1
=
= (
−
)
x + 6x + 8 ( x − 2).( x − 4) 2 x − 4 x − 2
2

b
( x0 = − )
2a

- GV: Để tìm nguyên
hàm của dùng công thức
nào?
- HS: Dùng công thức 4)
- GV: Để tìm nguyên
hàm của dùng công thức
nào?
- HS: Dùng công thức 6)
- GV: Cho 3 ví dụ, hãy
nêu cách làm của từng ví
dụ?
- HS:
VD1: dạng 1 với ∆ >0

VD2: dạng 1 với ∆ = 0
VD3: dạng 1 với ∆ < 0
- GV: Yêu cầu 3 nhóm
hoạt động và cử đại diện
nhóm lên trình bày.
- Học sinh dưới nhận xét
và GV chính xác hóa

2


1

1
1
1
=> I1 = ∫ (
−
) dx
2 0 x −4 x −2

- GV: yêu cầu học sinh
dùng cách thêm bớt rồi
tách ( về nhà)

1
1
(ln x − 4 − ln x − 2 ) 0
2

=

1
x −4
= ln
2 x −2

1

0

1
(ln 3 − ln 2)
2
1 3
= ln
2 2
=

-VD2:
1

I2 = ∫
0

dx
4 x + 4x +1
2

1

=∫
0

dx
1
4( x + ) 2
2
1

1 −1
.
4 x+1
20
−1 1 1
=
+ =
6
2 3
=

- GV: Còn cách phân tích
nào khác không?
- HS: Có thể dùng hằng
đẳng thức

NX:
1

1

1

dx
dx
1
2 dx
I2 = ∫ 2
=∫
=
4 x + 4x +1 0 (2x +1) 2 2 ∫0 (2x +1) 2
0
1

1 −1
1 1  1
= .
= − .  −1 ÷=
2 2x +1 0
2 3  3
- VD3:
1

1

dx
dx
I3 = ∫ 2
=∫
x + 2x + 5 −1 (x +1) 2 + 2 2

−1

Đặt: x+1=2tant

π
 π
− < t < ÷
2
 2

x
t

-1
0

1

π
4

dx=2(1+tan2t).dt

3


π
4

=> I 3 = ∫

0

π
4

2(1 + tan t )dt 1
1 π π
=
dt
=
. =
4(tan 2 t + 1)
2 ∫0
2 4 8
2

Hoạt động 2: Tích phân hàm số hữu tỉ dạng 2:
g
mx + n
I =∫ 2
dx
(m ≠ 0, a ≠ 0)
ax
+
b
x
+
c
e
Nội dung

Hoạt động của GV- HS

II. Dạng 2:
a) ∆ >0 :

mx + n
mx + n
=
2
ax + bx + c a ( x − x1 )( x − x2 )

Cách 1: Đồng nhất

- GV: Ta có thể dùng phương
pháp đồng nhất để phân tích và
tách được không?
- HS: Ta có thể làm được tương tự

4


mx + n
mx + n
1 A
B
=
= (
+
)

2
ax + bx + c a ( x − x1 )( x − x2 ) a x − x1 x − x2

như dạng 1 trong trường hợp ∆ >0
- GV: Ngoài ra có thể dùng
Đồng nhất để tìm a, b bằng cách giải hệ hoặc cho x phương pháp nào để tách?
các giá trị bất kì ( thường cho x bằng giá trị nghiệm - HS: Ta có thể thêm bớt để tách
x1, x2)
Cách 2: Thêm bớt dựa theo nghiệm ở mẫu rồi tách
Cách 3: Thêm bớt dựa theo đạo hàm của mẫu rồi
tách
- VD 4:
1

I4 = ∫
0

x +4
dx
x 2 + 3x + 2
- GV: Hãy phân tích rồi tách bằng
phương pháp đồng nhất?

Cách 1:
x+4
A
B
=
+
x 2 + 3x + 2 x + 1 x + 2

A( x + 2) + B ( x + 1)
=
( x + 1).( x + 2)

- HS: nhận nhiệm vụ, tính toán và
đưa kết quả.
- GV: Hãy dùng 2 cách còn lại để
phân tích ( Yêu cầu về nhà, có
hướng dẫn)

Đồng nhất, ta có: A=3; B= − 2
1

=> I 4 = ∫ (
0

3
2
−
)dx
x +1 x + 2

1

1

dx
dx
= 3∫
− 2∫

x +1
x+2
0
0
1

= 3ln x + 1 0 − 2 ln x + 2

1
0

= 3ln 2 − 2ln 3 + 2 ln 2
= 5ln 2 − 2ln 3
Cách 2:
x+4
x+4
=
x 2 + 3x + 2 ( x + 1).( x + 2)

x +1
3
+
( x + 1).( x + 2) ( x + 1).( x + 2)
1
3
1
1
=
+
.(

−
)
x + 2 −1 + 2 x + 1 x + 2
3
2
=
−
x +1 x + 2
=

- GV: Nếu không phân tích theo
x+1 ta có thể phân tích theo x+2
được không?
- HS: Ta có thể phân tích được
theo x+2 như sau:

5


x+2
2
+
( x + 1).( x + 2) ( x + 1).( x + 2)
1
2
1
1
=
+
(

−
)
( x + 1) −1 + 2 x + 1 x + 2
1
1
1
=
+ 2(
−
)
( x + 1)
x +1 x + 2
3
2
=
−
x +1 x + 2
=

Cách 3:

x+4
1 2( x + 4)
= . 2
x + 3x + 2 2 x + 3x + 2
2

1
2x + 3
5

= ( 2
+ 2
)
2 x + 3x + 2 x + 3x + 2
}
6 44 7 4 48
du
dang 1 (∆>0)
u
b) ∆ = 0 :
- VD 5:
1

I5 = ∫
0

3 x −1
dx
x 2 + 6x + 9

Cách 1:
3x − 1
3x − 1
=
2
x + 6x + 9 ( x + 3) 2
A
B
=
+

( x + 3) ( x + 3) 2
A( x + 3) + B
=
( x + 3) 2
=> A = 3; B = −10

Cách 2:

3x − 1
3x − 1
=
x + 6x + 9 ( x + 3) 2
3( x + 3)
10
=
−
2
( x + 3) ( x + 3) 2
3
10
=
−
x + 3 ( x + 3) 2
2

Đáp số: 3ln

4 5
−
3 6

- GV: Hãy nêu cách giải ?
- HS: Có thể làm theo 3 cách
giống như trên:
Cách 1: Đồng nhất
Cách 2: Thêm bớt theo nghiệm ở
mẫu để tách
Cách 3: Thêm bớt theo đạo hàm
của mẫu
- GV: Tuy nhiên chọn theo cách
nào cho hợp lý, lời giải ngắn gọn,
ít phức tạp.
- GV: Gọi học sinh tại chỗ giải
theo cách 1, cách 2
- GV: Yêu cầu học sinh về nhà
làm theo đủ 3 cách và rút ra kinh
nghiệm cho bản thân.

c) ∆ < 0 :
- VD 6:
3
2x + 5
I =∫ 2
dx
x
−
2
x
+
5

1

2x + 5
2x − 2
3
= 2
+
x − 2 x + 5 x − 2 x + 5 ( x − 1) 2 + 22
64 7 48
6 4 7 48
I1
I2
2

3

3
d ( x 2 − 2 x + 5)
I1 = ∫ 2
= ln x 2 − 2 x + 5 = ln 2
1
x − 2x + 5
1

- GV: Ta phân tích như thế nào để
có thể đưa về các dạng đã biết?
6


π

 π
− < t < ÷
2
 2

Đặt : x – 1 = 2tant

- HS: Phân tích thành I1 và I2 rồi
áp dụng công thức 2) và dạng 1
(với ∆ < 0)

2

dx = 2(1+tan t)dt
x
t

π
4

-1
0

1

π
4

- Yêu cầu học sinh thực hiện, GV
chính xác hóa.

π
4

2(1 + tan t )dt 3
3 π 3π
=
dt
=
. =
2
∫
4(tan
t
+
1)
2
2
4
8
0
0
3π
=> I = ln 2 +
8

=> I 3 = 3∫

2

Hoạt động 3: Một vài ví dụ dạng khác có thể đưa về dạng 1, dạng 2
Hoạt động của GV

Hoạt động của HS

- VD 7:
1

xdx
4
x + 13 x 2 + 36
0
Đặt t = x2
dt = 2xdx
x 0
t
0
I7 = ∫

1
1

- GV: I7 có ở dạng 1, dạng 2 hay không?
- HS: Không rơi vào dạng nào
- GV: Liệu ta có thể biến đổi hoặc dùng
phương pháp nào đó để đưa về một trong
các dạng trên hay không?
- HS: Ta có thể đặt ẩn phụ và đưa về dạng
1 với ∆ > 0

- GV: Sử dụng một trong các cách đã học
để phân tích rồi tách.
- HS: Thực hiện.

7


1

1
dt
=> I = ∫ 2
2 0 t − 13t + 36
1

1
dt
= ∫
2 0 (t − 4).(t − 9)
1

1 1 1
1
= ∫ (
−
) dt
2 0 5 t −9 t −4
=

1

1
(ln t − 9 − ln t − 4 ) 0
10

1
t −9
= ln
10 t − 4

1

- GV: I8 có ở dạng 1, dạng 2 hay không?
- HS: Không ở dạng nào.
- GV: Liệu ta có thể biến đổi hoặc dùng
phương pháp nào đó để đưa về một trong
các dạng trên hay không?
- HS: Ta có thể đặt ẩn phụ và đưa về dạng
2 với ∆ > 0

0

1
8
9
(ln − ln )
10 3
4
1 32
= ln
10 27

=

- VD 8:
1

x 5 dx
I8 = ∫ 6
x − x3 − 2
0
Đặt t = x3
dt = 3x2 dx
x 0
t
0
1

- GV: Sử dụng một trong các cách đã học
để phân tích rồi tách.
- HS: Thực hiện.

1
1
1

x 3 .x 2 .dx
1
tdt
I8 = ∫ 6
= ∫ 2
3

x − x − 2 3 0 t −t − 2
0
1

1 2 1
1 1
= ∫( .
+ .
) dt
3 0 3 t − 2 3 t +1
1
1
2
1
ln t − 2 0 + ln t +1 0
9
9
1
= − ln 2
9

=

- VD 9:
0

2x 2 +41x-91
I9 = ∫
dx
2

(
x
−
1)(
x
−
x
−
12)
−1

- GV: Ta có thể biến đổi hoặc dùng
phương pháp đổi biến đưa về các dạng đã
biết không?
- HS: Ta không đổi biến giống VD 7, VD
8 như trên.
- GV: Vậy hãy tìm A, B, C sao cho
∀x ∉{ 1; 4; −3} ta co':

2 x 2 + 41x − 91
A
B
C
=
+
+
( x −1).( x − 4).( x + 3) x −1 x − 4 x + 3

- HS: Ta hoàn toàn có thể làm được bằng
phương pháp đồng nhất. Từ đó tách để có

thể tính được tích phân.
- GV: Yêu cầu học sinh về nhà tự hoàn
8


thiện.
- GV: Vậy với các hàm hữu tỉ bậc cao hơn
ta cũng có thể sử dụng các phương pháp
giống như các hàm hữu tỉ dạng 1, dạng 2.
Như vậy, trên cơ sở tiết này được cung cấp
cách tính tích phân hàm hữu tỉ dạng 1 và
dạng 2, các em có thể vận dụng một cách
linh hoạt khi gặp các dạng bậc cao hơn.

4. Củng cố, dặn dò:
- Kiến thức cơ bản đã học trong bài: Cách tính tích phân hàm hữu tỉ dạng 1 và dạng 2.
- Chú ý: Phải biết nhận dạng hàm số dưới dấu tích phân để lựa chọn phương pháp và
cách biến đổi hoặc cách đặt phù hợp với từng hàm số.
- Giờ sau tiếp tục luyện tập về tích phân
5. HDVN: Về nhà làm các bài tập sau:
2

dx
1) I= ∫ 2
x + 6x − 7
0
1

2) I= ∫
0

dx
25x + 10x + 1
2

1

dx
3) I= ∫ 2
x + 4x + 7
−1
1

( x − 2)dx
4) I= ∫ 2
x + 5x + 4
0

1

5) I= ∫
0

6

6) I= ∫
2

(2x − 5) dx
x 2 + 8x + 16

(2x − 1) dx
x 2 − 4x + 20

V. Rút kinh nghiệm
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………….

9