SKKN giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Sở giáo dục & đào tạo hà tây

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam

Trờng THPT Chuyên Nguyễn Hụê

Độc lập Tự Do Hạnh Phúc

đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2007 2008
I Sơ yếu lý lịch:
- Họ và tên: Lê Trung Tín
- Ngày tháng năm sinh: 1/5/1976
- Năm vào ngành: 1998
- Chức vụ : Giáo viên , đơn vị công tác: Trờng THPT Chuyên Nguyễn Hụê
- Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ ngành Toán , Hệ đào tạo: Chính quy tập trung
- Bộ môn giảng dạy: Toán

Trình độ ngoại ngữ: Tiêng Anh trình độ C

II Nội dung đề tài:
1- Tên đề tài: Giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ
2 Lý do chọn đề tài:
Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một phơng pháp nào chung để giải các bài toán. Mỗi phơng pháp đều có những u, nhợc điểm riêng. Với mỗi loại bài toán luôn đòi hỏi một phơng pháp cụ thể để
giải quyết một cách đơn giản nhất. Sự ra đời của phơng pháp toạ độ đã đơn

giản hoá đợc phần lớn các bài toán trong hình học không gian. Thông qua phơng pháp toạ độ và phơng pháp vectơ có thể xây dựng thêm một công cụ giải
toán, cho phép đại số hoá hình học, hình học hoá đại số.
Với học sinh lớp 12, các em đã đợc làm quen với phơng pháp toạ độ, vì
thế có thể sử dụng phơng pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài
toán hình học không gian một cách thuận tiện.
3- Phạm vi , đối tợng, thời gian thực hiện:
- Khách thể: Học sinh lớp 12.
- Đối tợng nghiên cứu: Một số bài toán hình học không gian. - Phạm vi nghiên
cứu: Các bài toán sơ cấp về hình học không gian trong chơng trình PTTH.
- Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp 12 chuyên Tin, 12
chuyên Pháp, 12 A4 năm học 2007 2008
III Quá trình thực hiện đề tài:
1 Tình trạng thực tế trớc khi thực hiện đề tài:
Trớc khi thực hiện đề tài , tôi đã khảo sát chất lợng của học sinh thông
qua kiểm tra viết sử dụng phơng pháp toạ độ trong không gian để giải quyết
các bài toán hình học không gian. Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau:
Tìm lời giải bằng phơng pháp toạ độ:
2


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Cho hình lập phơng ABCD. ABCD cạnh a . Tìm khoảng cách giữa
hai mặt phẳng (ABD) và (CBD).
30% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các
điểm trong bài toán đợc thuận tiện.

10% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối u
Chất lợng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu
2- Các biện pháp thực hiện đề tài:
Bớc 1: Hệ thống hoá các kiến thức
Bớc 2: Đa ra một số ví dụ điển hình
Bớc 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập ứng cho học sinh thông qua một số
bài tập bổ sung nâng cao. Gợi mở cho học sinh những hớng phát triển, mở
rộng .
3 Kết quả thực hiện đề tài:
Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phơng pháp toạ
độ: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H của cạnh AB dung
SH vuông góc với mp(ABCD) sao cho nhị diện cạnh AD của hình chóp
S.ABCD có số đo bằng 600.
a. Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD).
b. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh CK SD và tính số
đo nhị diện (A, SD, C).
c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK).
Kết quả :
100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ
các điểm trong bài toán đợc thuận tiện.
80% Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ
75% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối u.

III Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau khi thực hiện đề tài

Qua kết quả điểu tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng khi giải các bài toán
hình học không gian, học sinh thờng không chú ý đến phơng pháp toạ độ và
tính u việt của nó hoặc rất lúng túng khi giải bằng phơng pháp toạ độ. Do đó
học sinh rất ngại khi giải các bài toán không gian.
Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian và

thấy đợc tính u việt của phơng pháp toạ độ khi giải bài tập hình học không
gian, thầy giáo cần đề ra giải pháp khi giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ.
- Lựa chọn những bài toán có thể quy về toạ độ trong hệ toạ độ thích
hợp.
- Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm
trong bài toán đợc thuận tiện.
- Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ
độ và ngợc lại.
Nhận xét, đánh giá , xếp loại của

Hà Đông, ngày 1 tháng 6 năm 2008

Hội đồng khoa học cơ sở

Tác giả

(Chủ tịch HĐ ký, đóng dấu)

3


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Lê Trumg Tín

4


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Nội dung
------

- - - - - -

Chơng I

Một số kiến thức cơ bản.
1/ Hệ trục toạ độ.
Cho ba trục toạ độ xOx, yOy,
zOz vuông góc với nhau
từng đôi
r r r
một tại điểm O. Gọi i, j , k là các
véctơ đơn vị tơng ứng trên các trục
xOx, yOy, zOz.
Hệ ba trục toạ độ nh vậy gọi là
hệ trục toạ độ Đề các vuông góc
Oxyz hoặc đơn giản là toạ độ Oxyz.
+ Trục Ox gọi là trục hoành.
+ Trục Oy gọi là trục tung.

x
+ Trục Oz gọi là trục cao.
+ Điểm O gọi là gốc của hệ toạ độ.

z

r r
k j
rO
i

y

2/ Vectơ đối với hệ toạ độ.
r

r r r

+ Cho hệ toạ độ Oxyz và một vectơ tuỳ ý v . Vì ba vectơ i, j , k không
r r r r
đồng phẳng nên có duy nhất bộ ba số x, y, z sao cho: v = xi + y j + zk
r
r
Bộ ba số (x; y; z) gọi là toạ độ của vectơ v , kí hiệu là v( x; y; z ) hoặc
r
v = ( x; y; z ) . Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ và số z gọi là cao độ của
r
vectơ v .
+ Với hai điểm M 1 ( x1 , y1 , z1 ) và M 2 ( x2 , y2 , z2 ) thì:
uuuuuur

M 1M 2 = ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
ur
uu
r
+ Nếu có hai vectơ v1 = ( x1 , y1 , z1 ) và v2 = ( x2 , y2 , z2 ) thì:

(i).
(ii).
(iii).
(iv).

ur uu
r
v1 + v2 = ( x 1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
ur uu
r
v1 v2 = ( x 1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
ur
kv1 = (kx1 , ky1 , kz1 )
ur uu
r
v1.v2 = x 1.x2 + y1. y2 + z1.z2

5


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

ur

uu
r

(v). v1 v2 x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0
ur
uu
r
(vi). Tích có hớng của hai vectơ v1 = ( x1 , y1 , z1 ) và v2 = ( x2 , y2 , z2 )
ur uu
r

r y

z

z

x

x

y

r
là một vectơ v đợc xác định bởi: v1 , v2 = v 1 1 , 1 1 , 1 1 ữ
y2 z2 z2 x2 x2 y2

3/ Khoảng cách giữa hai điểm.
Cho hai điểm M 1 ( x1 , y1 , z1 ) và M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , thì khoảng cách d giữa M 1
uuuuuur
và M 2 là độ dài của vectơ M 1M 2 :
uuuuuur
d = M 1M 2 =

( x1 x2 )

2

2
2
+ ( y1 y2 ) + ( z1 z2 ) .

4/ Chia một đoạn thẳng cho trớc theo một tỷ số cho trớc.
uuuuur

uuuuur

Điểm M ( x, y, x ) chia đoạn thẳng M 1M 2 theo tỉ số k: MM 1 = k MM 2 đợc
xác định bởi công thức:
x1 kx2

x = 1 k

y1 ky2

y =

1 k

z1 kz2

z = 1 k


Đặc biệt nếu k= - 1, thì M là trung điểm của M 1M 2 , khi đó toạ độ của M là:
x1 + x2

x = 2

y1 + y2

y =
2

z1 + z2

z = 2


5/ Góc giữa hai vectơ
ur

uu
r

Góc giữa hai vectơ v1 = ( x1 , y1 , z1 ) và v2 = ( x2 , y2 , z2 ) xác định bởi:

cos =

x1.x2 + y1. y2 + z1.z2
x11 + y11 + z11 . x22 + y22 + z22

.

6/ Hai vectơ cùng phơng
ur

r

uu
r

r

Hai vectơ v1 = ( x1 , y1 , z1 ) 0 và v2 = ( x2 , y2 , z2 ) 0 cùng phơng với nhau khi
và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho:
6


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

uu
r

ur
y1
v2 = kv1 cả ba định thức sau đều bằng 0:
y2

z1 z1
,
z 2 z2

x1 x1
,
x2 x2

y1
y2

.

7/ Phơng trình mặt phẳng.
a. Khái niệm.
r

r

Một vectơ n 0 đợc gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) nếu
nằm trên đờng thẳng vuông góc với ( ) .
Mặt phẳng ( ) hoàn toàn xác định nếu cho biết một điểm M 0 ( ) và
một vectơ pháp tuyến của nó.
b. Định lý.
Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả những điểm có toạ độ thoả mãn phơng

trình dạng:
Ax + By + Cz + D = 0

( A2 + B 2 + C 2 0)

và ngợc lại mỗi phơng trình dạng đó là phơng trình của một mặt phẳng.
8/ Phơng trình đờng thẳng
r

a. Định nghĩa: Vectơ a là vectơ chỉ phơng của đờng thẳng (d)
r r
a 0
r
a //(d )

b. Phơng trình tổng quát của đờng thẳng:
Vì đờng thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai
mặt phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phơng trình tổng quát của (d) có dạng:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
(d ) :
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

( 1)
với điều kiện
( 2)

A1 : B1 : C1 A 2 : B2 : C2

trong đó (1), (2) theo thứ tự là phơng trình của hai mặt phẳng (P) và (Q).
9/ Phơng trình mặt cầu

Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp các điểm cách điểm I (a, b, c) cho trớc một
khoảng R>0 không đổi là một mặt cầu có phơng trình:
( x a ) 2 + ( y b) 2 + ( z c ) 2 = R 2 .

7


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Chơng II

Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ.
I/ Hớng dẫn học sinh sử dụng phơng pháp toạ độ.
Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học không gian nói
riêng chúng ta hải dựa vào các yếu tố, các quan hệ về hình học, đồng phẳng,
song song, vuông góc, bằng nhau. . . Nếu ta chọn một hệ toạ độ thích hợp thì
ta có thể chuyển thể bài toán hình học sang bài toán đại số với những số,
những chữ, vectơ với phép toán trên nó. Với bài toán đại số này chúng ta có sự
định hớng rõ ràng hơn và khả năng tìm đợc lời giải nhanh hơn. Để thực hiện
đợc điều đó, đòi hỏi học sinh phải có sự luyện tập, vận dụng các kiến thức và
cần nắm đợc quy trình giải toán bằng phơng pháp toạ độ thích hợp.
Bớc 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp.
Bớc 2: Phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ.
Bớc 3: Dùng các kiến thức về toạ độ để giải toán.
Bớc 4: Phiên dịch kết quả bài toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ

hình học.
Trong các bớc trên, bớc 2 và bớc 4 học sinh có thể hoàn toàn làm đợc
nhờ các kiến thức liên hệ giữa hình học không gian và hệ toạ độ đã biết, ở bớc
3 học sinh có thể sử dụng các kiến thức trên hệ toạ độ một cách sáng tạo để
giải các bài toán. Buớc 1 học sinh gặp khó khăn hơn cả do không có phơng
pháp cụ thể. Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện và phải biết
dựa vào một số dặc điểm của bài toán này. Chọn hệ toạ độ sao cho gốc trùng
với điểm cố định đã biết, dựa vào các đờng thẳng vuông góc để gắn với các
trục toạ độ, các điểm đã biết gắn với các toạ độ đơn giản, thuận lợi.

II/Giải bài toán định lợng trong hình học không gian.
Đối với loại bài toán tính toán, nếu không chuyển về phơng pháp toạ độ
thì rất khó khăn vì hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà chỉ có phơng pháp toạ
độ ta mới biểu diễn đợc khoảng cách một cách đơn giản.
phơng pháp chung

Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các
điểm cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thờng
bao gồm:
- Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng hoặc mặt phẳng.
- Góc, khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau.
8


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

- Tính độ dài đoạn thẳng.
Chú ý: Với hình hộp chữ nhật ABCDABCD ta thờng thết lập hệ
trục toạ độ dựa trên ba cạnh AB, AD và AA tơng ứng với các trục Ox, Oy, Oz.
Bài 1: Cho hình lập phơng ABCD. ABCD cạnh bằng a.
a.
Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và AC.
b.
Gọi K là trung điểm DD. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đờng
thẳng CK và AD.
c.
Mặt phẳng (P) qua BB và hợp với hai đờng thẳng BC, BD hai góc
bằng nhau. Tính các góc này.
z
Giải.
Chọn hệ trục toạ độ Axyz với

A
B

B Ax, D Ay và A Az , khi đó:
A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0; a;0 )

a.

A ( 0;0; a ) , B ( a;0; a ) , C ( a; a; a ) , D ( 0; a; a ) .
uuur
uuuu
r

Ta có AB ( a;0; a ) & AC ( a; a; a )
Gọi là góc tạo bở AB và AC ta có:

x

B A

D
C
Dy
C

uuur uuuu
r
AB. AC

cos = uuuur uuuu
r =0 = .
2
A ' B . AC '

Gọi d1 là khoảng cách giữa AB và AC. ta có:
uuuur uuuur uuur
A ' B, A ' C . AA '
a


d1 =
=
.

uuuur uuuur
6
A ' B, A ' C


uuur

a

uuuur

b. Ta có: K 0; a; ữ, KC a;0; ữ & A ' D ( 0; a; a ) .
2
2


Gọi là góc tạo bởi CK và AD, ta có:
a

uuur uuuur
KC. A ' D
1
cos = uuur uuuur =
.
10
KC . A ' D

Gọi d2 là khoảng cách giữa CK và AD, ta có:
uuur uuuur uuur
KC , A ' D , KD a

d2 =
=
uuur uuuur
3
KC , A ' D



c. Ta có BB là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABBA) và (BCCB) nên:
y = 0
x a = 0
( BB ' ) :
x = a
y = 0

( BB ') :

Mặt phẳng (P) qua BB có dạng:
9


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

r

( P ) : x a + my = 0 ( P ) : x + my a = 0 vtpt n ( 1; m;0 )
ur
uu
r
Vì (P) hợp với BC, BD (có vtcp là u1 ( 0;1;1) và u2 ( 1; 1;1) ) hai góc bằng

nhau ( giả sử là ) nên:
sin =

m

1 m

=

2 ( m + 1)
2

3 ( m + 1)
2

3 m = 2 1 m m 2 + 4m 2 = 0

m = 2 6 .
Với m = 2 + 6 ta đợc:
6 2

sin =

2


(

)

2
6 2 + 1


=

6 2
22 8 6

=

6 2

( 4 6)

2

6 1
5

=

Với m = 2 6 ta đợc:

sin =

6+2

(

)

2
2 6 2 + 1



=

6+2
22 + 8 6

=

6+2

( 4+ 6)

2

=

6 +1
5 .

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có góc tam diện vuông đỉnh A, AB=a. AC=b,
AD=c.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(ABCD).
z
Giải
D
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:
A = (0;0;0); B = (a;0;0)
C y
A I
C = (0; b;0); D = (0;0; c)
B
a/ Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
x
tứ diện, giả sử toạ độ của I là I ( x; y; z ) .
a

x
=

2

b

a b c
Tacó y =
Toạ độ điểm I là: I = ( ; ; ) .
2

2 2 2

c

z = 2
* Xác định bán kính R

g

2

2

2

a
b
c
1 2
R = IA =
+ +
=
a + b2 + c 2
4
4 4
2
a b c
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có tâm I = ( ; ; )
2 2 2
10

www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

và bán kính: R =

1 2
a + b2 + c 2
2

b. Phơng trình mp(BCD):
x y z
x y z
+ + = 1 + + 1 = 0
a b c
a b c
Gọi khoảng cách từ A đến mp(BCD) là h. ta có:
0 0 0
+ + 1
1
abc
a b c
h=
=
=
1

1
1
1
1 1
a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
( )2 + ( )2 + ( )2
+
+
a
b
c
a2 b2 c2
Vậy khoảng cách từ A đến mp(BCD) là:
abc
h=
a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2
Bài 3: Chứng minh rằng trong hình lập phơng ABCD.ABCD có AC
vuông góc với mặt phẳng (BCD).
Giải
Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.
Giả sử hình lập phơng có cạnh a.
Ta có toạ độ các điểm là:
A(0;0;0); B(a;0;a); C(a;a;0);
D(0;a;a); C(a;a;a).
Ta
có:
uuuu
r
uuuu
r

AC = ( a; a; a ) ; BC = ( 0; a; a )
uuuur
D ' C = ( a;0; a ) .

z

A
C

B

x

B

D

D y

A
O

uuuu
r uuuu
r
uuuu
r uuuur
AC .BC = a.0 + a.a + a. ( a ) = 0 AC ' B ' C AC ' B ' C
uuuu
r uuuur

uuuu
r uuuur
AC '.D ' C = a.a + a.0 + a.(a ) = 0 AC ' D ' C AC ' D ' C
Từ (1) và (2) suy ra AC ' ( B ' CD ') .

C
(1)
(2).

Vậy suy ra điều phải chứng minh.
* Bài tập làm thêm

Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDABCD đờng cao h. Mặt phẳng
(ABD) hợp với mặt bên (ABBA) một góc . Tính thể tích và diện tích xung
quanh hình lăng trụ.
Bài 2: Cho hình hộp ABCDABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh
bằng a, góc àA = 600 , BO vuông góc với đáy ABCD, cho BB=a.
a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy.
b.
Tính khoảng cách từ B, B đến mp(ACD)
11


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA

vuông góc với đáy. Tính độ dài đoạn SA biết rằng số đo góc nhị diện (B. SC.
D) bằng 1200.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H của cạnh AB
dung SH vuông góc với mp(ABCD) sao cho nhị diện cạnh AD của hình chóp
S.ABCD có số đo bằng 600.
d. Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD).
e. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh CK SD và tính số
đo nhị diện (A, SD, C).
f. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK).

III/ Giải bài toán định tính trong hình học không gian
phơng pháp chung

Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các
điểm cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ đó suy ra kết quả
cần chứng minh.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh bằng nhau:
AB=CD=a;
BC=AD=b;
AC=BD=b.
Chứng minh rằng đoạn thẳng nối hai trung điểm vủa cặp cạnh là đờng
vuông góc chung của hai cạnh đó.
Giải
CD.

cho

z

Gọi I, K lần lợt là trung điểm AB và

B

g

I

IK AB
Ta cần chứng minh:
IK CD
Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz sao

A
x

C

y

gK

D

A(0;0;0) .
Giả sử trong hệ trục toạ độ đó
B = ( x1; y1; z1 ); C = ( x2 ; y2 ; z2 ); D = ( x3 ; y3 ; z3 )
Khi đó
x y z

x + x y + y3 z2 + z3
I = ( 1 ; 1 ; 1 );
K =( 2 3; 2
;
)
2 2 2
2
2
2
uur x + x x y + y y z + z z
3
1
IK = ( 2 3 1 ; 2
; 2 3 1)
2
2
2
Theo giả thiết, ta có:

12


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

uuu
r

AB = AB = a x12 + y12 + z12 = a 2
uuur
AC = AC = b x22 + y22 + z22 = b 2
uuur
AD = AD = c x32 + y32 + z32 = c 2
BC = c BC 2 = c 2 ( x2 x1 ) 2 + ( y2 y1 ) 2 + ( z2 z1 ) 2 = c 2
Ta có

a 2 + b 2 2( x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 )

= c2

a2 + b2 c2
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 =
2
2
2
Tơng tự ta cũng có: BD = b BD = b
a 2 + b2 c 2
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 =
2
2
2
2
b +c a
và
x2 x3 + y2 y3 + z2 z3 =
2
uur uuu
r

x +x x
y + y3 y1
z +z z
IK . AB = x1 2 3 1 + y 2
+ z1 2 3 1
2
2
2
2
2
x x + x x x + y1 y2 + y1 y3 y1 + z1 z2 z12
= 1 2 1 3 1
2
2
2
2
2
2
a + b c a + c b2
ì
a2
2
2
=
2
=0
uur uuu
r
IK AB
uur uuur

Chứng minh tơng tự ta có: IK CD
uur uuu
r
IK AB
uur uuur
IK CD
IK là đờng vuông góc chung của cặp cạnh đối diện AB và CD.
Chứng minh tơng tự ta cũng có IK là đờng vuông góc chung của các cặp
đối diện còn lại.
ĐPCM.

13


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Bài 2: Cho hình lập phơng ABCD. ABCD cạnh a.
Trên BD và AD lần lợt lấy hai điểm thay đổi M,N sao cho
DM = AN = x
(0 x a 2)
CMR: MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:
A = (0;0;0); B = (a;0;0)
D = (0; a;0); A = (0;0; a)
Khi đó

C = ( a; a;0)
D = (0; a; a)
Gọi M = ( x1; y1; z1 ), N = ( x2 ; y2 ; z2 )
uuur
uuu
r
BC = (0; a;0); BA = (a;0;0);
Ta có: uuuu
r
MN = ( x2 x1; y2 y1; z2 z1 )
Vặt khác theo giả thiết:
DM = AN = x
Đặt

k=

z
A
C

B

N

(0 x a 2)
x
a 2

(0 k 1)

A
x

D

B

D
M

y

C

x1 a = k (a ) x1 = a ka
uuuur
uuur


DM = k DB y1 = ka
y1 = ka
z = 0
z = 0
1
1
x2 = ka
uuur
uuuu
r

AN = k AD y2 = 0
z = ka
2
uuur uuur uuuu
r
Xét D ( BC , BA ', MN ) = a. ( a ) . ( z2 z1 ) + 0. ( y2 y1 ) .0 + ( x2 x1 ) .0.a

( x2 x1 ) . ( a ) .0 a ( y2 y1 ) .a 0.0. ( z2 z1 )

= a 2 ( z2 z1 ) a 2 ( y2 y1 )
= a 2 ( z2 z1 y2 + y1 )
= a2 ( ka 0 0 ka )

uuur uuur uuuu
r =0
Suy ra BC , BA ', MN luôn luôn đồng phẳng.

Suy ra MN luôn luôn song song với (ABCD) cố định.
Bài 3: Cho tứ diện DABC trong đó góc tam diện đỉnh D là vuông. Gọi O là
14


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện. Chứng minh nếu ( ) là mặt phẳng bất kỳ
qua O thì khoảng cách từ D xuống ( ) bằng tổng đại số 3 khoảng cách A,

B, C xuống ( ) .
z

Giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz vuông góc
sao cho:

A

D

O

C

y

B
x
D ( 0;0;0 ) ; A ( 0;0; a ) ; B ( b;0;0 ) ; C ( 0; c;0 )
b c a
Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện. thì toạ độ của O là: O ; ; ữ
2 2 2
Mặt phẳng ( ) bất kỳ đi qua O có dạng:
x + y + z + d = 0

Không mất tính tổng quát. giả sử d 0
Do ( ) qua O nên:
b
c

a
+ + + d = 0
2
2
2
b + c + a + 2d = 0 ( 1)




Kí hiệu hD , hA , hB , hC tơng ứng là khoảng cách từ D, A, B, C xuống mặt phẳng

( ) . Theo công thức tính khoảng cách ta có:
hD =
hB =
hA =
hC =

d

2 + 2 + 2
a + d
2 + 2 + 2

a + d
2 + 2 + 2
c+d
2 + 2 + 2

=

d

2 + 2 + 2
a + d
2 + 2 + 2

a + d
2 + 2 + 2
c + d
2 + 2 + 2

, ( 2)
= hB Sgn ( a + d ) , ( 3)
= hA Sgn ( a + d ) , ( 4 )
= hC Sgn ( c + d ) , ( 5 )

15


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Cộng trừ vế (3), (4), (5) ta đợc:

b + c + a + 3d
2 + 2 + 2

= Sgn ( a + d ) hA + Sgn ( b + d ) hB + Sgn ( c + d ) hC

( 6)

Từ (1), (2), (6) suy ra:
hD = Sgn ( a + d ) hA + Sgn ( b + d ) hB + Sgn ( c + d ) hC

Điều đó chứng tỏ hD là tổng đại số của hA , hB , hC
1

Chú ý: Sgn( x) = 0
1


x>0
x=0
x<0

*Bài tập làm thêm.
Bài 1: Cho hình lập phơng ABCDABCD cạnh bằng a. CMR khoảngcách từ
một điểm bất kì trong không gian đến một trong các đờng thẳng AA, AC,
CD không thể đồng thời nhỏ hơn

a
.
2

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ằng a, SA
vuông góc với đáy. Gọi M, N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho
BM =

a
3a
. DN = . CMR hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
2
4

Bài 3: Đờng thẳng (d) tạo với 2 đờng thẳng (d1) và (d2) cắt nhau các góc bằng
nhau, ngoài ra nó không vuông góc với mặt phẳng ( ) chứa các đờng thẳng
này. CMR hình chiếu vuông góc (d) của đờng thẳng (d) lên mặt phẳng ( )
cũng tạo thành những góc bằng nhau với 2 đờng thẳng (d1) và (d2)

16


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Iv/ Giải bài toán về điểm và quỹ tích trong hình học
không gian
phơng pháp chung

Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các

điểm cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm càn tìm quỹ tích, từ đó suy
ra quỹ tích của nó.
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC vuông cân với
AB=AC=a và AA1=h. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của BC và A1C1. Tìm
trên đoạn EF điểm I cách đều hai mặt phẳng (ABC) và (ACC1A1). Tính
khoảng cách đó.
Giải.
z

Chọn hệ trục toạ độ Axyz với B Ax,
khi đó:
A(0;0;0). B(a;0;0). C(0;a;0).
A1(0;0;h). B1(a;0;h). C1(0;a;h).
Vì E, F là trung điểm của BC và A1C1
nên:
a a
2 2

a
2

E ( , ,0) và F (0, , h) .

A1
F

C1

A

C

B1

x

B

y

E

Phơng trình đờng thẳng EF đợc cho bởi:
a a

x= t

a a
2 2


Qua E ( 2 , 2 ,0)
a

EF :
EF y =
t R.
uuur a
2

vtcp EF ( ,0, h)

z = ht

2


a
2

a a
2 2

Vì I EF nên I ( t , , ht ) . t[0. 1].
Vì I cách đều (ABC) và (ACC1A1) nên
a a
a
ah a ah
t = ht t =
I(
, ,
).
2 2
a + 2h
a + 2h 2 a + 2h

Khi đó điểm I chia đoạn EF theo tỉ sô k, tức là:
17

www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

a
x kxF
a
a
xI = E

= 2 k=
1 k
a + 2h 1 k
2h

*Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) và (ACC1A1) là
d = zI =

ah
.
a + 2h

Bài 2: Cho 2 điểm A, B cố định. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
AM:BM=k. với 0Giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho A( - a;0;0) & B(a;0;0), khi đó với
điểm M(x;y;z) ta có:
2

2
AM
AM 2 ( x + a ) + y + z
= k k2 =
=
BM
BM 2 ( x a ) 2 + y 2 + Z 2
2

2

a(1+ k2 )
2ak
2
2
x +
+ y +z =
2 ữ
1 k 2
1 k


2

Phơng trình trên là phơng trình mặt cầu có:
a ( 1 + k 2 )

2ak
ữ bán kính R =
;0;0

tâm I
.
2
1 k
ữ
1 k 2



*Bài tập làm thêm.
Bài 1: Trong mặt phẳng cho đờng tròn (C) đờng kính AB=2R, SA=h
(0tròn (C). Tính h theo R để tồn tại điểm M trên (C) để đoạn nối trung điểm hai
đoạn AM và SB là đoạn vuông góc chung của chúng, khi đó tính độ dài của
đoạn vuông góc chung này.
Bài 2: Cho hình trụ có hai đáy là hai đờng stròn tâm O và O1, bán kính R,
18


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

chiều cao hình trụ bằng h. Trên hai đờng tròn (O) và (O1) có hai điểm di động
A, B. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm OO1 và AB.
a. CMR IK là đờng vuông góc chung của OO1 và AB.
b. Tính độ dài IK trong các trờng hợp:
+ AB=kh. với 1

2

h

uuu
r uuur
+ OA, O1B =

(

)

Từ đó suy ra quỹ tích điểm K khi AB di động.
Bài 3: Cho góc tam diện vuông Oxyz trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A, B, C sao
cho OA=OB=OC. Giả sử (d) là đờng thẳng qua O, các điểm A, B, C là các
điểm đối xứng với A, B, C qua (d). Các mặt phẳng đi qua A, B, C tơng ứng
vuông góc với các đờng thẳng OA, OB, OC cắt nhau tại M. Tìm tập hợp các
điểm M.

19


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

-

Tài liệu tham khảo
1. Đặng Khắc Nhân, Lê Đỗ Tập. Giải các bài toán hình học trong
không gian bằng phơng pháp toạ độ. NXB Giáo dục - 1997.
2. Phan Huy Khải, Phơng pháp toạ độ để giải các bài toán sơ cấp. NXB
Thành phố Hồ Chí Minh
3. Văn Nh Cơng, Trần Đức Huyên. Hình học 11. NXB Giáo dục - 1993
4. Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí. Phơng pháp giải toán hình học giải tích
trong không gian. Nhà xuất bản Hà Nội - 2002.

20


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Mục lục
Nội dung...4
Chơng I. Một số kiến thức cơ bản........2
Chơng II. Giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ.4
1. Hỡng dẫn học sinh sử dụng phơng pháp toạ độ.......5
2. Giải bài toán định lợng trong hình học không gian.......5
3. Giải bài toán định tính trong hình học không gian..9
4. Bài toán về điểm và quỹ tích trong không gian..13

21