Rèn kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN

Mã số: ………………..

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO
HỌC SINH LỚP 8”

Người thực hiện: Bùi Thị Thủy
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
- Lĩnh vực khác: ………… 

Có đính kèm
 Mô hình

Phần mềm
Phim ảnh
Năm học: 2014-2015

Hiện vật khác

1


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1.
Họ và tên: Bùi Thị Thủy
2.
Ngày tháng năm sinh: 20/9/1976
3.
Nam, nữ: Nữ
4.
Địa chỉ: Tổ 14 - Khu 10 - Tân Phú - Đồng Nai.
5.
Điện thoại: 0613856483 (cơ quan), ĐTDĐ : 01652793569
6.
Fax: ………….. E-mail:
7.
Chức vụ: Giáo viên
8.
Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy môn Toán 8, Lý 9.
9.
Đơn vị công tác: Trường phổ thông Dân Tộc Nội Trú liên
huyện Tân Phú – Định Quán
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân Đại học sư
phạm.
- Năm nhận bằng: 2005
- Chuyên ngành đào tạo: Toán
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán THCS.
- Số năm có kinh nghiệm: 17 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
+ Làm thế nào để dạy tốt được một định lý hình học 8 đạt hiệu quả

+ Giúp học sinh lớp 7 hình thành và phát triển một số kĩ năng cơ bản trong
quá trình học hình học.
+ Giúp học sinh lớp 9 phát hiện và tránh sai lầm trong khi giải toán về căn
bậc hai
+ Một vài kinh nghiệm giúp học sinh yếu, kém học tốt môn Toán
+ Phương pháp giải một số dạng toán tỉ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau trong
đại số 7.

2


RÈN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ CHO HỌC
SINH LỚP 8
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết Toán học hình
thành cho các em tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học và tính logic,… vì
thế nếu chất lượng dạy và học toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng ta tiếp cận
với nền kinh tế tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại.
Cùng với sự đổi mới chương trình và sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết
bị, đổi mới phương pháp dạy học nói chung và đổi mới phương pháp dạy và học
toán nói riêng trong trường THCS hiện nay là tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt
động tư duy, độc lập sáng tạo của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học,
nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện và hình thành kĩ
năng vận dụng kiến thức một cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn.
Trong chương trình Đại số lớp 8, dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử là
nội dung hết sức quan trọng, việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú, đa
dạng cho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân
thức, giải phương trình,... Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, cũng như qua việc
theo dõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8 (2 lớp đang giảng dạy),
việc phân tích đa thức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn còn nhiều học sinh

làm sai hoặc còn lúng túng và chưa thực hiện được, chưa nắm vững chắc các
phương pháp giải, chưa vận dụng kĩ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo vào
từng bài toán cụ thể.
Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ
và giải quyết tốt những khó khăn, vướng mắc trong học tập đồng thời nâng cao
chất lượng bộ môn nên bản thân đã chọn đề tài: “ Rèn kĩ năng phân tích đa thức
thành nhân tử cho học sinh lớp 8 ”.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lý luận
Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệ thông
tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triển trong thời kỳ
đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ và
thách thức mới. Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo luôn đảm
nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi
dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông
theo Nghị quyết số 40/2000/QH10 của Quốc hội”.
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy
nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là
giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ
dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học đáp ứng
đầy đủ những yêu cầu đó.
3


Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập
do thầy, cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá
vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán phân tích đa thức thành
nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8 đáp ứng yêu cầu này, là
nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi học về rút
gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giải phương

trình, … Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng nhận thức của học sinh đại trà
mà chương trình chỉ đề cập đến bốn phương pháp cơ bản của quá trình phân tích
đa thức thành nhân tử thông qua các ví dụ cụ thể, việc phân tích đó là không quá
phức tạp và không quá ba nhân tử.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành
nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt
điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát,
nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng bài
toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp trên
cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh học tập tốt
bộ môn.
2. Cơ sở thực tiễn
Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét, biến đổi
và thực hành giải toán, phần lớn do các em tư duy yếu, không nhớ kiến thức căn
bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8,
do lười biếng trong học tập, ỷ lại, trông nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự
học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém.
Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi
gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp, không
biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương pháp nào là
phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất.
Giáo viên đôi lúc chưa thật sự đổi mới phương pháp dạy học hoặc đổi mới
chưa triệt để, giáo viên chưa tích cực tìm hiểu, sáng tạo để áp dụng các phương
tiện dạy học mới vào giảng dạy .
Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con em mình
việc học tập của các em hầu như khoán trắng cho giáo viên.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
1. Giải pháp 1: Các phương pháp cơ bản và những sai lầm cần tránh.
1.1) Phương pháp đặt nhân tử chung.
a) Phương pháp.

Bước 1: Tìm nhân tử chung. Nhân tử chung là những đơn thức hoặc đa thức
có mặt trong tất cả các hạng tử. Nhân tử chung này là tích của hệ số với phần biến:
+ Hệ số là ƯCLN của các hệ số của các hạng tử (nếu các hệ số là số nguyên).
+ Phần biến gồm có các biến chung của các hạng tử với số mũ nhỏ nhất.
4


Bước 2: Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử
khác.
Bước 3: Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc rồi viết các nhân tử còn lại của
mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể cả dấu của chúng).
b) Ví dụ.
* Nhân tử chung là đơn thức
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 4x3 – 12x2 + 18x
b) 28x2y4 - 21xy5 + 14x2 y2;
Phân tích và giải:
a) Ta thấy: ƯCLN (4;12;18) = 2, biến chung là x với số mũ nhỏ nhất là 1.
 nhân tử chung là 2x. Vì vậy
4x3 – 12x2 + 18x = 2x.2x2 – 2x.6x + 2x.9 = 2x(2x2 – 6x + 9).
b) Ta thấy: ƯCLN (28;21;14) = 7, biến chung là x với số mũ nhỏ nhất là 1 và
biến y với số mũ nhỏ nhất là 2.
 nhân tử chung là 7xy2. Vì vậy
28x2y4 - 21xy5 + 14x2 y2 = 7xy2.4xy2 – 7xy2.3y3 + 7xy2.2x
= 7xy2 4xy2 (4xy2 – 3y3 + 2x)
* Nhân tử chung là đa thức
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) 3x2(x + 1) – 2x(x + 1)
b) (x – y + z)2 – z(x – y + z) + x – y + z
Phân tích và giải:

a) Dễ dàng nhận ra nhân tử chung là x(x + 1). Vì vậy
3x2(x + 1) – 2x(x + 1) = x(x + 1)(3x – 2)
b) Dễ dàng nhận ra nhân tử chung là x – y + z. Vì vậy
(x – y + z)2 – z(x – y + z) + x – y + z
= (x – y + z)2 – z(x – y + z) + (x – y + z)
= (x – y + z)(x – y + z – z + 1) = (x – y + z) (x – y + 1).
* Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung, ta phải đổi dấu hạng tử.
Chú ý: A = -(-A).
Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 4x(x – 2y) – 12(2y – x)
b) 3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x – z)
5


Phân tích và giải:
a) Hạng tử thứ nhất có nhân tử là x – 2y, còn hạng tử thứ hai có nhân tử là
2y -x.
Ta thấy: 2y – x = - (x – 2y). Từ đó xuất hiện nhân tử chung là (x – 2y). Vì vậy:
4x(x – 2y) – 12(2y – x) = 4x(x – 2y) + 12(x - 2y) = 4(x – 2y)(x + 3).
b) Hạng tử thứ nhất có nhân tử là (x – y + z), còn hạng tử thứ hai có nhân tử là
(x – y - z). Ta thấy: (y – x - z) = - (x – y + z). Từ đó xuất hiện nhân tử chung là
(y – x - z)). Vì vậy:
3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x – z) = 3x2y2(x – y + z) - 2xy(x – y + z)
= xy(x – y + z)(3xy – 2)
c) Một số sai lầm học sinh hay mắc phải.
* Học sinh xác định nhân tử chung không hết, dẫn đến phân tích không triệt
để.
Chẳng hạn: Một học sinh phân tích như sau:
x2(x – 1) + 2x(x – 1) = (x – 1)(x2 + 2x)!
Đến đây, học sinh đó dừng lại.

Rõ ràng, học sinh này phân tích chưa triệt để vì xác định nhân tử chung không
hết. Nhân tử chung chính xác phải là x(x - 1).
Cách làm đúng: x2 (x - 1) + 2x(x - 1) = x(x - 1)(x + 2).
* Học sinh không biết cách đổi dấu hạng tử hoặc đổi dấu hạng tử sai, dẫn đến
việc không phân tích được, hoặc phân tích không triệt để, hoặc phân tích sai.
Chẳng hạn: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(x – y) – 2(y – x) ;
b) 3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z)
Phân tích bài làm của một số học sinh:
a) Nhiều em không phân tích được vì không biết đổi dấu số hạng để xác định
nhân tử chung hoặc phân tích được nhưng lại sai do đổi dấu không đúng:
x(x – y) – 2(y – x) = x(x – y) – 2(x – y) = (x – y)(x – 2)!
Rõ ràng, việc đổi dấu sai (x – y = y – x!) dẫn tới việc phân tích sai.
Cách làm đúng: x(x – y) – 2(y – x) = x(x – y) + 2(x – y) = (x + 2)(x – y)
b) 3x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) = xy[xy(x – y + z) + 2(y – x – z)]
Đến đây, học sinh không biết đổi dấu số hạng để làm xuất hiện nhân tử chung
dẫn tới việc phân tích không triệt để.
Cách làm đúng:
x2y2(x – y + z) + 2xy(y – x - z) = xy[xy(x – y + z) + 2(y – x – z)]
6


= xy[xy(x – y + z) - 2(x – y + z)]
= xy(xy – 2)(x – y + z).
* Học sinh không quan sát kĩ các số hạng nên gặp bế tắc khi phân tích
Chẳng hạn, khi phân tích đa thức: 3y(6x – 4y) + 2x(9x – 6y) thành nhân tử,
một số học sinh vì quan sát không kĩ nên gặp bế tắc vì tưỏng rằng các số hạng
không có nhân tử chung. Nhưng nếu chúng ta quan sát kĩ từng số hạng thì thấy
từng số hạng có thể phân tích tiếp, và khi đó nhân tử chung mới xuất hiện:
3y(6x – 4y) + 2x(9x – 6y) = 3y.2(3x – 2y) + 2x.3(3x – 2y)

= (3x – 2y)(6y + 6x) = 6(x + y)(3x – 2y).
1.2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
a) Phương pháp.
Vận dụng một trong các hằng đẳng thức sau đây để phân tích:
1. Bình phương của một tổng: (A + B)2 =A2 + 2AB + B2
2. Bình phương của một hiệu: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3. Hiệu hai bình phương:

A2 – B2 = (A – B)(A + B)

4. Lập phương của một tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
5. Lập phương của một hiệu: (A – B)3 = A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3
6. Tổng hai lập phương:

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

7. Hiệu hai lập phương:

A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

Ngoài ra, ta có thể áp dụng các hằng đẳng thức sau:
8. Bình phương của một tổng ba biểu thức:
A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2BC = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC)
= (A + B + C)2
9. Hiệu hai lũy thừa cùng số mũ.
an - bn = (a – b)(an - 1 + an - 2b + ... + abn - 2 + bn - 1)
Hệ quả: an – 1 = (a – 1) )(an - 1 + an – 2 + ... + a + 1)
10. Tổng hai lũy thừa cùng bậc lẻ.
a2k + 1 + b2k+1 = (a + b)(a2k - a2k - 1b + a2k - 2b2 - ... + b2k)
b) Ví dụ

* Nếu đa thức có hai số hạng, ta thường nghĩ đến việc vận dụng các hằng đẳng
thức 3, 6, 7, 9, 10.
A2 – B2 = (A – B)(A + B)
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
7


an - bn = (a – b)(an - 1 + an - 2b + ... + abn - 2 + bn - 1)
a2k + 1 + b2k+1 = (a + b)(a2k - a2k - 1b + a2k - 2b2 - ... + b2k)
Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 4x2 – 9y2 ;

b) x3 – 8y3 ;

c) 27 + 64y6.

Phân tích và giải:
a) Ta viết: 4x2 = (2x)2, 9y2 = (3y)2, đa thức có dạng hiệu hai bình phương
4x2 – 9y2 = (2x)2 - (3y)2 = (2x – 3y)(2x + 3y).
b) Ta viết: 8y3 = (2y)3, đa thức có dạng hiệu hai lập phương
x3 – 8y3 = x3 – (2y)3 = (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2).
c) Ta viết: 27 = 33, 64y6 = (4y2)3, đa thức có dạng tổng hai lập phương
27 + 64y6 = 33 + (4y2)3 = (3 + 4y2)(9 – 12y2 + 16y4).
Ví dụ 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) x7 - 1;

b) 1 + x10

Phân tích và giải:

a) Ta thấy x7 - 1 = x7 - 17. Đa thức có dạng hằng đẳng thức số 9. Vì vậy:
x7 - 1 = (x – 1)(x6 + x5+ x4 + x3 + x2 + x + 1)
* Nếu đa thức có ba số hạng, ta thường nghĩ đến việc vận dụng các hằng đẳng
thức 1, 2.
(A + B)2 =A2 + 2AB + B2
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
Ví dụ 6. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) 4x2 - 4x + 1;

b) x2 + x +

1
.
4

Phân tích và giải:
a) 4x2 - 4x + 1 = (2x)2 – 2.2x.1 + 12 = (2x – 1)2;
2

2

1
1
1
1
b) x + x + = x2 + 2.x. +   =  x   .
4
2
2


2
2

Chú ý: Nhiều khi ta phải đổi dấu đa thức mới nhận ra hằng đẳng thức:
Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: -16 + 24x - 9x2.
Phân tích và giải: Đa thức đã cho không có dạng hằng đẳng thức nào. Nhưng
nếu ta đối dấu đa thức thì sẽ nhận ra hằng đẳng thức ở trong dấu ngoặc.
-16 + 24x - 9x2 = - (9x2 - 24x + 16) = [(3x)2 – 2.3x.4 + 42] = - (3x – 4)2
* Nếu đa thức có bốn số hạng, ta thường nghĩ đến việc vận dụng các hằng
đẳng thức 4, 5.
8


(A + B)3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3
(A – B)3 = A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 .
Ví dụ 8. Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x3 + 15x2 + 75x + 125;

b) 27x3 - 18x2y2 + 36xy4 – 8y6 .

Phân tích và giải:
a) Để kiểm tra xem đa thức có dạng hằng đẳng thức hay không, ta phân tích:
x3 + 15x2 + 75x + 125 = x3 + 3.x2.5+ 3.x.52 + 53
Đến đây, ta thấy đa thức có dạng hằng đẳng thức thứ 4. Vì vậy:
x3 + 15x2 + 75x + 125 = (x + 5)3
b) Ta phân tích:
27x3 - 18x2y2 + 36xy4 – 8y6 = (3x)3 – 3.(3x)2 .2y2 + 3.3x.(2y2)2 – (2y2)3
Đến đây, ta thấy đa thức có dạng hằng đẳng thức thứ 5. Vì vậy:
27x3 - 18x2y2 + 36xy4 – 8y6 = (3x - 2y2)3
c) Một số sai lầm học sinh hay mắc phải.

* Học sinh xác định hằng đẳng thức sai.
Chẳng hạn, khi phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 - 2xy + 4y2

b) 125x3 - 25x2 + 15x – 1.

Một số học sinh phân tích:
a) x2 - 2xy + 4y2 = (x + 2y)2!
b) 125x3 - 25x2 + 15x – 1 = (5x - 1)3!
Sai lầm ở đây là học sinh đã nhận dạng sai hằng đẳng thức, nên đã vội vàng
phân tích mà không kiểm tra xem đa thức có đúng dạng các hằng đẳng thức đã biết
hay chưa:
a) Ta thấy đa thức chỉ là bình phương thiếu của một hiệu:
x2 - 2xy + 4y2 = x2 - x.2y + (2y)2
Đa thức này có dạng A2 - AB + B2 chứ không phải là A2 - 2AB + B2!
b) Phân tích đa thức 125x3 - 25x2 + 15x – 1 = (5x)3 – (5x)2.1 + 3.5x.12 – 13
Đa thức này có dạng A3 – A2 B + 3AB2 – B3 chứ không phải A3- 3A2B+ 3AB2 - B3.
* Học sinh lúng túng khi đa thức được sắp xếp không theo thứ tự như các
hằng đẳng thức.
Chẳng hạn, khi phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) - x2 + 4y2

b) – 4x + x2 + 4.

Nhiều học sinh sẽ lúng túng dẫn tới việc không phân tích được.
Dễ dàng nhận ra hằng đẳng thức nếu ta đổi chỗ các số hạng.
9


a) - x2 + 4y2

= 4y2 - x2 = (2y – x)(2y + x).

b) – 4x + x2 + 4 = x2 – 4x + 4 = (x – 2)2.
* Học sinh không biết đổi dấu các số hạng để nhận ra hằng đẳng thức hoặc
đổi dấu sai dẫn tới nhận nhầm hằng đẳng thức.
Chẳng hạn, khi phân tích các đa thức – 16 + 24x – 9x2 thành nhân tử, nhiều
học sinh sẽ lúng túng không biết áp dụng hằng đẳng thức nào hoặc áp dụng sai
hằng đẳng thức: – 16 + 24x – 9x2 = (– 4 – 3x)2!
Cách làm đúng: – 16 + 24x – 9x2 = - (9x2 - 24x +16) = - (3x – 4)2 .
Một ví dụ nữa là khi phân tích đa thức – x2 – 4y2 thành nhân tử, có học sinh
phân tích như sau: – x2 – 4y2 = - (x2 – 4y2) = - (x – 2y)(x + 2y) = (2y – x)(2y + x).
Sai lầm ở đây là học sinh đổi dấu số hạng sai dẫn tới nhận nhầm hằng đẳng
thức hiệu hai bình phương. Thực ra, đa thức không phân tích được vì nó không có
dạng hằng đẳng thức nào.
* Học sinh không phân tích triệt để.
Chẳng hạn, khi phân tích các đa thức x4 – 9 thành nhân tử, có học sinh phân
tích như sau: x4 – 9 = (x2)2 – 32 = (x2 – 3)(x2 + 3)! Ở đây, học sinh chỉ áp dụng một
lần hằng đẳng thức hiệu hiệu hai bình phương và hài lòng khi phân tích được như
vậy.
Cách làm đúng: Ta thấy x2 – 3 = x2 –

 3  = (x 2

3 )( x +

3 ). Vì vậy:

x4 – 9 = (x2)2 – 32 = (x2 – 3)(x2 + 3)= (x - 3 )( x + 3 )(x2 + 3).
* Học sinh chưa khéo léo khi áp dụng hằng đẳng thức.

Chẳng hạn, khi phân tích các đa thức x6 – 1 thành nhân tử, một học sinh phân
tích như sau: x6 – 1 = (x2)3 – 13 = (x2 – 1)(x4 + x2 +1) = (x – 1)(x + 1)( x4 + x2 +1).
Nhìn qua, ta thấy có vẻ hợp lý, nhưng đa thức đã được phân tích chưa triệt để.
Nếu ta thay đổi cách áp dụng hằng đẳng thức, thì đa thức sẽ được phân tích triệt
để:
x6 – 1 = (x2)3 – 13 = (x3 – 1)(x3 + 1) = (x – 1)(x2 + x + 1)(x + 1)( x2 - x +1).
= (x – 1)(x + 1) )(x2 + x + 1)( x2 - x +1).
Thực ra ở cách thứ nhất, ta có thể phân tích:
x4 + x2 +1 = x4 + 2x2 +1 – x2 = (x2 – 1)2 – x2 = (x2 + x + 1)( x2 - x +1).
Nhưng rõ ràng cách này không phải học sinh nào cũng nhìn ra và do đó không
thể làm được.
1.3) Phương pháp nhóm hạng tử
a) Phương pháp
- Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.

10


- Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng
thức.
b) Ví dụ
* Thông thường ta hay nhóm hai hạng tử rồi xem có thể đặt nhân tử chung
hoặc dùng các hằng đẳng thức (số 3, 6, 7) được hay không.
Ví dụ 9. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2 – 2xy – x + 2y ;
b) 2xy - 4y2 + 3x + 9;
c) 125x3 – 10x2 + 2x – 1.
Phân tích và giải:
a) Ta thấy, có thể nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối hoặc nhóm hạng
tử thứ nhất với hạng tử thứ ba và hạng tử thứ hai với hạng tử thứ tư. Còn nếu nhóm

hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ tư và nhóm hai hạng tử còn lại thì đa thức không
thể phân tích được. Vì vậy, ta chỉ có hai cách làm như sau:
Cách 1: x2 – 2xy – x + 2y = (x2 – 2xy) – (x - 2y) = x(x – 2y) – (x – 2y)
= (x – 2y)(x – 1);
Cách 2: x2 – 2xy – x + 2y = (x2 – x) – (2xy - 2y) = x(x – 1) – 2y(x – 1)
= (x – 2y)(x – 1).
b) Nếu nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối hoặc hạng tử thứ nhất với
hạng tử thứ tư, hạng tử thứ hai với thứ ba thì đa thức không phân tích được. Do đó,
ta nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ ba và nhóm hạng tử thứ hai với thứ tư:
2xy - 4y2 + 3x + 9 = (2xy + 3x) – (4y2 - 9) = x(2y + 3) – (2y – 3)(2y + 3)
= (2y + 3)(x – 2y + 3).
c) Nếu nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối hoặc hạng tử thứ nhất với
hạng tử thứ ba, hạng tử thứ hai với thứ tư thì đa thức không phân tích được. Do đó,
ta nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ tư và nhóm hạng tử thứ hai với thứ ba:
125x3 – 10x2 + 2x – 1 = (125x3 – 1) – (10x2 – 2x)
= (5x – 1)(25x2 + 5x + 1) – 2x(5x – 1)
= (5x – 1)(25x2 + 3x + 1).
* Nếu nhóm hai hạng tử mà đa thức không phân tích được thì chuyển sạng
nhóm ba hạng tử và có thể nghĩ đến việc áp dụng các hằng đẳng thức như bình
phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu rồi sau đó là hiệu hai bình
phương.
Ví dụ 10. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 – 9y2 + 9 - 6x;
b) x2 + 3xy – 4x – 6y + 4;
11


c) x3 – 3x2 - 3xy + 3x + 3y – 1.
Phân tích và giải:
a) Ta thấy nếu nhóm hai hạng tử thì đa thức không phân tích thành nhân tử

được.Từ đó, ta nghĩ đến việc nhóm ba hạng tử. Hạng tử thứ nhất và hai hạng tử
cuối lập thành một hằng đẳng thức. Do đó, ta có thể làm như sau:
x2 – 9y2 + 9 - 6x = (x2 – 6x + 9) – 9y2 = (x – 3)2 – (3y)2
= (x – 3 – 3y)(x – 3 + 3y)
= (x – 3y – 3)(x + 3y – 3).
b) Đa thức có năm số hạng, nếu nhóm hai số hạng với nhau thì sẽ lẻ một số
hạng, đa thức sẽ không phân tích được. Như vậy sẽ có một nhóm chứa ba số hạng.
Khi đó, ta nghĩ nhóm này phải có dạng hằng đẳng thức 1 hoặc 2. Ta thấy, nếu
nhóm số hạng thứ nhất, thứ ba và số hạng cuối thì nhóm này có dạng hằng đẳng
thức bình phương một hiệu. Vậy ta làm như sau:
x2 + 3xy – 4x – 6y + 4 = (x2 – 4x + 4) + (3xy – 6y) = (x – 2)2 + 3y(x – 2)
= (x – 2)(x + 3y – 2).
c) Đa thức có sáu số hạng, nếu nhóm hai số hạng hoặc ba số hạng bất kì với
nhau thì đa thức sẽ không phân tích được. Ta thử nhóm bốn số hạng. Khi đó, ta
nghĩ nhóm này phải có dạng hằng đẳng thức 4 hoặc 5. Ta thấy, nếu nhóm hai hạng
tử đầu với hạng tử thứ tư và thứ 6 thì có dạng hằng đẳng thức lập phương một hiệu.
Vậy ta làm như sau:
x3 – 3x2 - 3xy + 3x + 3y – 1 = (x3 – 3x2 + 3x – 1) – (3xy + 3y)
= (x – 1)3 – 3y(x – 1)
= (x – 1)(x2 – 2x – 3y + 1).
* Nhiều khi ta phải khai triển đa thức rồi mới tìm cách nhóm thích hợp.
Ví dụ 11. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = (x + y)(y + z)(z + x) + xyz
Phân tích và giải:
Đây là một đa thức khó phân tích vì không thể áp dụng các phương pháp trên
ngay được. Nhưng nếu ta khai triển đa thức thì đa thức có thể phân tích được.
Cách 1: Khai triển A ta được:
A = xyz + xy2 + xz2 + x2z + x2y + y2z + yz2 + xyz + xyz
= (x2y + xy2 + xyz) + (xyz + y2z + yz2) + (x2z + xyz + xz2)
= xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz(x + y + z).
Cách 2: Đặt t = x + y + z  x + y = t – z, y + z = t – x, z + x = t – y. Từ đó :

A = (t – z)(t – x)(t – y) + xyz = t3 – t2y – t2x + xzt – t2z + yzt + xyt – xyz + xyz
= t3 – (x + y + z)t2 + (xy + yz + zx)t = t3 – t3 + (xy + yz + zx)t
= (xy + yz + zx)(x + y + z).
12


c) Một số sai lầm học sinh hay mắc phải.
* Học sinh nhóm hạng tử đồng thời biến thành nhân tử dẫn tới phân tích sai.
Chẳng hạn, khi phân tích x2 – xy + x - y thành nhân tử, có em làm như sau:
x2 – xy + x – y = (x2 – xy)(x – y) = x(x – y)(x – y) = x(x – y)2!
Ở đây, học sinh nhóm số hạng đồng thời không viết dấu “+” vào giữa các số
hạng dẫn tới sai lầm kể trên.
Cách làm đúng:
x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x + 1)(x – y).
* Học sinh nhóm hạng tử không linh hoạt dẫn tới bế tắc trong phân tích.
Chẳng hạn, khi phân tích xy – y2 + 3x + 9 thành nhân tử, có em làm như sau:
xy – y2 + 3x + 9 = (xy - y2) + (3x + 9) = y(x – y) + 3(x + 3)
Đến đây học sinh đó dừng lại và kết quả là bế tắc khi phân tích.
Cách làm đúng: xy – y2 + 3x + 9 = (xy + 3x) – (y2 - 9)
= x(y + 3) – (y – 3)(y + 3) = (y + 3)(x – y + 3).
Một ví dụ khác nữa, khi phân tích x2 – 4x – y2 + 4 thành nhân tử, đa số các em
chỉ nhóm hai hạng tử như:
x2 – 4x – y2 + 4 = (x2 – 4x) – (y2 – 4) = x(x – 4) – (y – 2)(y + 2)
x2 – 4x – y2 + 4 = (x2 – y2) – (4x – 4) = (x – y)(x + y) – 4(x – 1).
và cho rằng đa thức không thể phân tích thành nhân tử được. Rất ít em chuyển
sang nhóm ba hạng tử
Cách làm đúng: x2 – 4x – y2 + 4 = (x2 – 4x + 4) – y2 = (x – 2)2 – y2
= (x – y – 2)(x + y – 2).
* Học sinh khi nhóm hạng tử hay mắc lỗi đổi dấu dẫn tới không phân tích
được.

Chẳng hạn, khi phân tích x2 – 2xy – x + 2y thành nhân tử, có em làm như sau:
x2 – 2xy – x + 2y = (x2 – 2xy) – (x + 2y) = x(x – 2y) – (x + 2y).
Rõ ràng việc không đổi dấu số hạng khi đưa hạng tử vào trong dấu ngoặc mà
đằng trước có dấu trừ dẫn tới bế tắc trong phân tích.
Cách làm đúng: x2 – 2xy – x + 2y = (x2 – 2xy) – (x - 2y)
= x(x – 2y) – (x - 2y) = (x – 2y)(x – 1).
* Học sinh không nghĩ đến việc khai triển đa thức nên bế tắc trong phân tích.
Chẳng hạn, khi phân tích đa thức (xy – 1)2 + (x + y)2, nhiều học sinh cho rằng
đa thức này không phân tích được vì không có dạng hằng đẳng thức nào
Thực ra, nếu khai triển đa thức, ta thấy:
(xy – 1)2 + (x + y)2 = x2y2 – 2xy + 1 + x2 + 2xy + y2
13


= x2y2 + 1 + x2 + y2 = (x2y2 + x2) + (y2 + 1)
= x2(y2 + 1) + (y2 + 1) = (x2 + 1)(y2 + 1).
Một ví dụ khác, khi phân tích đa thức: x(x + 2) – (y – 1)(y + 1), có học sinh
cho rằng đa thức này không phân tích được vì nhìn các số hạng không có nhân tử
chung! Sai lầm này xuất phát từ việc khi đa thức không phân tích được, học sinh
không nghĩ đến khai triển đa thức. Ta phân tích đa thức như sau:
x(x + 2) – (y – 1)(y + 1) = x2 + 2x – y2 + 1 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2
= (x + 1 – y)(x + 1 + y) = (x – y + 1)(x + y + 1).
1.4) Phối hợp các phương pháp
a) Phương pháp
Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên:
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm nhiều hạng tử.
b) Ví dụ
Ví dụ 12. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 2x2 + 4x + 2 - 2y2;
b) x3 - 2x2 - 4xy2 - 4xy;
c) x3 – 2x2 - 4x + 8.
Phân tích và giải:
a) Các hạng tử đều có nhân tử chung là 2. Vì vậy ta dùng phương pháp đặt
nhân tử chung trước:
2x2 + 4x + 2 - 2y2 = 2(x2 + 2x + 1 – y2) = 2[(x + 1)2 – y2]
= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y) = 2(x – y + 1)(x + y + 1).
b) Các hạng tử đều có nhân tử chung là x. Vì vậy ta dùng phương pháp đặt
nhân tử chung trước:
x3 - 2x2 - 4xy2 - 4xy = x(x2 - 2x – 4y2 – 4y)
= x[(x2 – 4y2) – (2x + 4y)]
= x[(x – 2y)(x + 2y) – 2(x + 2y)]
= x(x + 2y)(x – 2y – 2).
c) Các hạng tử không có nhân tử chung nào, vì vậy ta nghĩ đến việc nhóm các
hạng tử: x3 – 2x2 - 4x + 8 = (x3 – 2x2) – (4x – 8) = x2(x – 2) – 4(x – 2)
= (x – 2)(x2 – 4) = (x – 2)2(x + 2).
c) Một số sai lầm học sinh hay mắc phải.
14


* Học sinh không đặt nhân tử chung ngay mà hay nghĩ đến việc nhóm hạng
tử. Do đó gặp bế tắc trong phân tích.
Chẳng hạn, khi phân tích đa thức: 2x2 + 4x + 2 - 2y2 có học sinh làm như sau:
2x2 + 4x + 2 - 2y2 = (2x2 + 4x) – (2y2 – 2) = 2x(x + 2) – 2(y – 1)(y + 1)
= 2[x(x + 2) – (y – 1)(y + 1)].
Đến đây học sinh không phân tích nữa và dừng lại.
Cách làm đúng: Xem Ví dụ 12a.
Từ thực tế giảng dạy khi áp dụng Giải pháp 1 tôi nhận thấy học sinh nắm vững
kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập này. Kinh nghiệm này đã

giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững chắc về cách phân tích đa thức
thành nhân tử trong chương trình đã học, được học và rèn luyện kĩ năng thực hành
theo hướng tích cực hoá hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông
qua một chuỗi bài tập. Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện
tìm hiểu một số phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm
phát huy tài năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh
trong học toán.
Khảo sát chất lượng qua bài kiểm tra một tiết thu được kết quả như sau:
Lớp
Khi chưa
áp dụng
giải pháp
1
8
Sau khi áp
dụng giải
pháp 1

i i %

65

Lớp
Khi chưa
áp dụng
chuyên đề
Sau khi áp
dụng
chuyên đề

ĩ
số

4

6,1
%

há %

10

68

10

14,7
21
%

ĩ
số

i i

%

65

4

6,1
%

68

9

13,2
%

15,4
%

TB

30

%

ếu

%

ém %

46,2
%

15

23,1
%

6

30,9
31
%

45,6
6
%

%

TB

%

ếu

%

10

15,4
%

27

41,5
%

18

19

27,9
%

33

48,5
%

7

há

8,8
%

9,2
%
0
%

0

ém

%

27,7
%

6

9,2
%

10,3
%

0

0%

8

2. Giải pháp 2: Các phương pháp nâng cao và những sai lầm cần tránh.
Các phương pháp sau chủ yếu hướng dẫn và rèn luyện cho học sinh khá, giỏi;
cũng có một số phương pháp có thể rèn luyện cho học sinh trung bình khá, tùy
từng đối tượng học sinh mà giáo viên áp dụng các phương pháp vào bài tập sao
cho phù hợp và hiệu quả.
15


2.1) Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.

a) Phương pháp.
Ở đây chúng ta chỉ xét đa thức bậc hai.
Xét đa thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c, có ba hướng tách hạng tử:
Cách 1: Tách hạng tử ax2
Cách 2 (phương pháp chung): Tách hạng tử bx.
Bước 1: Tìm ac, rồi phân tích ac ra thành tích của hai thừa số nguyên bằng
mọi cách: a.c = a1.c1  a2 .c2  a3 .c3  ...  ai .ci  ...
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai .ci với
b = a i  ci .
Bước 3: Tách bx = ai x  ci x . Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích
tiếp.
Cách 3: Tách hạng tử c.
Cách 4: Viết đa thức thành:
c  2
b
b2 c b2 
 2 b


a
x

x


a
x

2
.

x
.

 
f(x) = 

a
a  
2a 4a 2 a 4a 2 

2

b  b 2  4ac 
= a  x   
.
2a 
4a 2 


Đến đây, nếu đa thức trong ngoặc có dạng hiệu hai bình phương thì ta tiếp tục
phân tích.
Trong bốn cách trên, cách thứ hai thường dùng hơn cả.
b) Ví dụ
Ví dụ 13. Phân tích các đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử.
Phân tích và giải:
Cách 1. (tách hạng tử bậc nhất bx)
- Phân tích: ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
- Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6 (a.c = ai .ci ).
- Tách 8x = 2x + 6x (bx = ai x  ci x ).
Ta phân tích như sau: f(x) = 3x2 + 8x + 4 = 3x2 + 2x + 6x + 4

= (3x2 + 2x) + (6x + 4)
= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2).
Ngoài cách tách hạng tử bx, ta còn một số cách tách như sau:
16


Cách 2. (tách hạng tử bậc hai ax2)
- Làm xuất hiện hiệu hai bình phương:
f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + 2 – x)(2x + 2 + x)
= (x + 2)(3x + 2).
- Tách thành 4 số hạng rồi nhóm thích hợp:
f(x) = 4x2 – x2 + 8x + 4 = (4x2 + 8x) – (x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(3x + 2)
f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = ... = (x +2)(3x + 2).
Cách 3. (tách hạng tử tự do c)
Tách thành 4 số hạng rồi nhóm thích hợp:
f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x +16) = ... = (x +2)(3x + 2).
Cách 4. (tách 2 số hạng, 3 số hạng)
f(x) = (3x2 + 12x + 12) – (4x + 8) = 3(x + 2)2 – 4(x + 2) = (x + 2)(3x – 2)
f(x) = (x2 + 4x + 4) + (2x2 + 4x) = ... = (x +2)(3x + 2).



8
3

4
3





4 16 4 16 
  
3 9 3 9

2
2
Cách 5. f(x) = 3  x  x    3 x  2.x. 

2

4  4 
4 2 
4 2
= 3  x      3 x    x   
3  9  
3 3 
3 3





2
3

= 3  x  x  2  3x  2x  2 .
Chú ý: Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2  2AC + c hoặc ax2  2BC + C2
thì ta tách như sau: f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)

hoặc f(x) = ax2 – B2 + B2 ± 2BC + C2 = (ax2 – B2) + (B – C)2.
Ví dụ 14. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
a) f(x) = 4x2 - 4x - 3 ;

b) g(x) = 7x2 + 12x – 4

Phân tích và giải:
a) Ta có thể dùng cách tách như đã trình bày ở các ví dụ trên. Để ý kĩ hơn, ta
thấy: 4x2 - 4x = (2x)2 – 2.2x.1
Để 4x2 - 4x thành bình phương một hiệu, ta cần thêm b2 = 1. Từ đó ta có cách
tách: f(x) = (4x2 – 4x + 1) – 4 = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1).
b) Nhận xét: 12x - 4 = -(2.3x.2 + 22). Ta cần thêm 9x2 vào trong dấu ngoặc để
được hằng đẳng thức bình phương một hiệu (9x2 - 2.3x.2 + 22 = (3x – 2)2. Từ đó,
ta có cách tách:
f(x) = 16x2 - 9x2 + 12x - 4 = 16x2 – (9x2 - 12x + 4)
17


= (4x)2 – (3x – 2)2 = (x + 2)(7x – 2).
c) Chú ý:
* Đa thức f(x,y) = ax2 + bxy + cy2 có cách phân tích giống như đa thức ở trên.
Ví dụ 15. Phân tích các đa thức A = 4x2 – 4xy – 3y2 thành nhân tử.
Phân tích và giải:
Cách 1. A = 4x2 – 4xy – 3y2 = 4x2 – 6xy + 2xy – 3y2
= 2x(2x – 3y) + y(2x – 3y) = (2x – 3y)(2x + y).
Cách 2. A = 4x2 – 4xy – 3y2 = 4x2 – 4xy + y2 – 4y2
= (2x – y)2 – (2y)2 = (2x – 3y)(2x + y).
* hông phải đa thức nào có dạng đa thức f(x) = ax2 + bx + c cũng phân tích
được.
Chẳng hạn, khi phân tích đa thức f(x) = x2 + x + 1, nhiều học sinh cố gắng

phân tích theo các cách đã nêu nhưng không thể tìm ra cách tách thích hợp nào!
Thực ra, đa thức trên không phân tích được. Tại sao? Vì đa thức này không có
nghiệm. Những đa thức bậc hai không có nghiệm thì không thể phân tích được.
Vậy, ta giải quyết vấn đề như sau:
2

1
3
1
3
Ta có: f(x) =  x 2  x      x     0 x
4 4 
2 4


Suy ra đa thức không có nghiệm và do đó đa thức không thể phân tích được.
2.2) Phương pháp nhẩm nghiệm.
a) Phương pháp.
- Ta chú ý đến một định lí quan trọng sau:
Định lí: Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0. Khi đó f(x) có một nhân tử là x
–a và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x –a).q(x).
- Lúc đó tách các số hạng của f(x) thành các nhóm, mỗi nhóm đều chứa nhân
tử là x – a. Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, phải là một
ước của hệ số tự do.
Thật vây, giả sử đa thức an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0 với an , an1 ,..., a1 , a0
nguyên, có nghiệm nguyên x = a. Thế thì:
an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0 =

x  a bn1 x n1  bn2 x n2  ...  b1 x  b0  , trong

đó bn1 , bn2 ,..., b1 , b0 là các số nguyên. Hạng tử bậc thấp nhất ở vế phải là  ab0 , hạng
tử thấp nhất ở vế trái là a 0 . Do đó  ab0 = a 0 , suy ra a là ước của a 0 .
b. Ví dụ
Ví dụ 16. Phân tích đa thức f(x)= x3 – x2 + 4 thành nhân tử.
Phân tích và giải:
18


Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0. Đa
thức f(x) có một nghiệm x = – 2, do đó nó chứa một nhân tử là x + 2. Từ đó, ta tách
như sau:
Cách 1: f(x) = x3 + 2x2 – x2 + 4 = (x3 + 2x2) – (x2 – 4)
= x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 2: f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 3: f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 4: f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2)
= (x + 2)(x2 – x + 2).
c) Một hệ quả rút ra từ định lí trên.
Từ định lí trên ta có hệ quả sau:
Hệ quả 1: Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nghiệm là x = 1.
Từ đó f(x) có một nhân tử là x – 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 là
một nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x – 1 . Ta phân tích như sau :
f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4)
= x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2.
Hệ quả 2: Nếu f(x) có tổng các hệ số của các lũy thừa bậc chẵn bằng tổng các
hệ số của các lũy thừa bậc lẻ thì f(x) có một nghiệm là x = - 1. Từ đó f(x) có một
nhân tử là x + 1.

Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + 9 có 1 + 3 = –5 + 9 nên x = –1 là một
nghiệm của đa thức. Đa thức có một nhân tử là x + 1. Ta phân tích như sau :
f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9)
= x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)(x – 3)2.
Hệ quả 3: Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a; f(1) và f(-1) khác 0 thì

f 1
f 1
và
đều là số nguyên.
a 1 a 1

Chứng minh
Đa thức f(x) có nghiệm x = a nên f(x) có một nhân tử là x – a. Do đó f(x) có
dạng: f(x) = (x – a).q(x)
(1)
Thay x = 1 vào (1), ta có : f(1) = (1 – a).q(1).

19


f 1
. Vì các hệ số của f(x) nguyên nên
a 1
f 1
các hệ số của q(x) cũng nguyên. Do đó, q(1) là số nguyên. Vậy 
là số
a 1
f 1
nguyên. Thay x = –1 vào (1) và chứng minh tương tự ta có

là số nguyên.
a 1

Do f(1) ≠ 0 nên a ≠ 1, suy ra q(1) = 

Ví dụ 17. Phân tích đa thức f(x) = 4x3 – 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử.
Phân tích và giải:
Các ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18.
f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± 1 không phải là nghiệm của f(x).
Dễ thấy

 18  18  18
 18
,
,
,
không là số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18
 3  1  6  1  9  1  18  1

không là nghiệm của f(x). Chỉ còn –2 và 3. Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của f(x).
Do đó, ta tách các hạng tử như sau :
f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 = 4x2(x – 3) – x(x – 3) + 6(x – 3)
= (x – 3)(4x2 – x + 6)
Hệ quả 3: Nếu f(x) = an x n  an1 x n1  an2 x n2  ...  a1 x  a0 (với an , an1 ,..., a1 , a0 là
các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x =

p
, trong đó p, q  Z và (p,q) =1, thì p là ước
q

của a 0 , q là ước của a n .
Chứng minh
p
nên nó có một nhân tử là (qx – p). Vì các hệ số
q
của f(x) đều nguyên nên f(x) có dạng:f(x) = (qx – p)( bn1 x n1  bn2 x n2  ...  b1 x  b0  .

Ta thấy f(x) có nghiệm x =

Đồng nhất hai vế ta được q bn1  an , pb0  a0 . Từ đó suy ra p là ước của a 0 , còn
q là ước dương của a n (đpcm).
Ví dụ 18. Phân tích đa thức f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x - 5 thành nhân tử.
Phân tích và giải:
Các ước của –5 là ±1, ± 5. Thử trực tiếp ta thấy các số này không là nghiệm
của f(x) . Như vậy f(x) không có nghiệm nguyên.
1
3

1
5

Xét các số  , , ta thấy

1
là nghiệm của đa thức, do đó đa thức có một nhân
3

tử là 3x – 1. Ta phân tích như sau :
f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5).
d) Chú ý

Để việc phân tích theo phương pháp này được thuận lợi, ta cần nắm được một
số cách thêm số hạng để xuất hiện nhân tử chung là x – a. Việc này gi p ta dễ dàng
phân tích hơn và có thể phân tích đa thức theo nhiều cách.
20


* Nếu đa thức có bậc nhất, ta thường tách hạng tử thành các đa thức có chứa
nhân tử x – a như: x – a; kx – ka (k là hằng số).
* Nếu đa thức có bậc hai, khi phân tích bẳng phương pháp này ta thường tách
hạng tử thành một trong các đa thức có chứa nhân tử x – a như:
x2 – ax = x(x – a); x2 – a2 = (x – a)(x + a); x2 – 2ax + a2 = (x – a)2.
* Nếu đa thức có bậc ba, khi phân tích bẳng phương pháp này ta thường tách
hạng tử thành một trong các đa thức có chứa nhân tử x – a như:
x3 – ax2 = x2(x – a); x3 – ax = x(x – a)(x + a); x3 – a3 = (x – a)(x2 + ax + a2);
x3 – 2ax2 + a2x = x(x – a)2.
* Nếu đa thức có bậc bốn, ta cũng có cách tách tương tự:
x4 – ax3 = x3(x – a); x4 – a2x2 = x2(x2 – a2) = x2(x – a (x + a) ; ...
2.3) Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
a) Phương pháp.
Thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm làm xuất hiện các hằng đẳng thức (hiệu
hai bình phương, hiệu hai lập phương, tổng hai lập phương hoặc làm xuất hiện
nhân tử chung.
b) Ví dụ
Ví dụ 19. Phân tích các đa thức thành nhân tử.
a) x2- 2x – y2 + 2y;

b) x2 + x – y2 – y.

Phân tích và giải:
Quan sát nhanh, ta thấy các đa thức này có thể phân tích bằng phương pháp

nhóm hạng tử. Ngoài cách đó ra, ta có thể thêm bớt hạng tử để phân tích:
a) Cách 1:

x2 - 2x – y2 + 2y = (x2 – y2) – (2x – y) =... = (x – y)(x + y – 2).

Cách 2: Ta thấy x2 – 2x = x2 – 2.x.1, -y2 + 2y = -(y2 – 2.y.1)
Các đa thức này cần thêm 12 = 1 để trở thành hằng đẳng thức.
x2- 2x – y2 + 2y = x2 - 2x + 1 – y2 + 2y – 1 = (x – 1)2 – (y – 1)2
= (x – 1 – y + 1)(x – 1 + y – 1) = (x – y)(x + y – 2).
2

b) Cách 1: x + x – y2 - y = (x2 – y2) + (x – y) = ... = (x – y)(x + y + 1).
Cách 2: x2 + x – y2 - y = x2 + x +
= (x +

1
1
1
1
– y2 – y - = (x + )2 – (y + )2
4
4
2
2

1
1
1
1
- y - )(x + + y + )

2
2
2
2

= (x – y)(x + y + 1).
Ví dụ 20. Phân tích các đa thức thành nhân tử.
a) x4 + x2 + 1;

b) x4 + 4.
21


Phân tích và giải:
a) Ta có thể thêm bớt theo nhiều cách như sau:
- Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương
Cách 1 : x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
- Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
x4 + x2 + 1

Cách 2:

= (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1)

= x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1).
= (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 3: x4 + x2 + 1 = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1)
= x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
b) Ta có thể thêm bớt theo nhiều cách như sau:

- Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương
Cách 1 :

x4 + 4 = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2
= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)

- Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Cách 2 : x4 + 4 = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4)
= (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2).
Ví dụ 21. Phân tích đa thức x5 + x – 1 thành nhân tử.
Phân tích và giải:
Cách 1: x5 + x – 1 = x5 - x4+ x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x - 1
= x3(x2 - x + 1) + x2(x2- x + 1) - (x2- x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 + x2 - 1).
Cách 2. Thêm và bớt x2 :
x5 + x - 1 = x5 + x2 - x2 + x - 1= x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1)
= (x2 - x + 1)[x2 (x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 + x2 - 1).
2.4) Phương pháp đổi biến.
a) Phương pháp.
Phương pháp đổi biến nhằm mục đích hạ bậc đa thức để đưa đa thức ban đầu
về dạng đa thức mới dễ phân tích hơn.
b) Ví dụ
* Với đa thức: a(f(x))2 + bf(x) +c, trong đó f(x) là đa thức biến x
Cách giải: Đặt t = [f(x)]2 rồi đưa đa thức về dạng: at2 + bt + c, rồi phân tích
tiếp.
Ví dụ 22. Phân tích các đa thức thành nhân tử.
22


a) x4 + 24x2 – 112;
b) x6 + 9x3 + 8;

c) (x2 – 2x – 1)2 - 5(x2 – 2x – 1) – 14;
d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12.
Phân tích và giải:
a) Đặt t = x2 , đa thức trở thành : t2 + 24t – 112 = (t – 4)(t + 28).
Suy ra : x4 + 24x2 – 112 = (x2 – 4)(x2 + 28) = (x – 2)(x + 2)(x2 + 28).
b) Đặt t = x3 , đa thức trở thành : t2 + 9t + 8 = (t + 1)(t + 8).
Suy ra : x6 + 9x3 + 8 = (x3 + 1)(x3 + 8)
= (x + 1)(x2 – x + 1)(x + 2)(x2 – 2x + 4)
= (x + 1)(x + 2)(x2 – x + 1)(x2 – 2x + 4).
c) Đặt t = x2 – x – 1 , đa thức trở thành : t2 – 5t – 14 = (t + 2)(t – 7)
Suy ra : (x2 – 2x – 1)2 - 5(x2 – 2x – 1) – 14
= (x2 – 2x – 1 + 2)(x2 – 2x – 1 – 7)
= (x2 – 2x + 1)(x2 – 2x – 8) = (x – 1)2(x + 2)(x – 4).
d) Đặt t = x2 + x + 1 , đa thức trở thành :
t(t + 1) – 12 = t2 + t – 12 = (t – 3)(t + 4).
Suy ra : (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x2 + x + 1 – 3)(x2 + x + 1 + 4)
= (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2) (x2 + x + 5).
* Đa thức: f(x) = (x + a)4 + (x + b)4 +c
Cách giải : Đặt t = x +

ab
, đưa đa thức về dạng mt4 + nt2 + p.
2

Ví dụ 23. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x + 1)4 + (x + 3)4 - 16
Phân tích và giải:
Đặt x + 2 = t, thì phương trình đã cho trở thành:
(t – 1)4 + (t +1)4 – 16 = t4 – 4t3 + 6t2 – 4t + 1 + t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 - 16
= 2t4 + 12t2 – 14 = 2(t2 – 1)(t2 + 7).
Suy ra : (x + 1)4 + (x + 3)4 – 16 = 2(x2 – 1)(x2 + 7) = 2(x – 1)(x + 1)(x2 + 7).

* Đa thức: f(x) = (x + a(x + b(x + a(x + d) +m, với a + c = b + d.
Cách giải: Đặt t = x2 + (a + c)x + k, trong đó k là một số thực được chọn thích
hợp.
Ví dụ 24. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x – 1)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 112;
b) (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) – 24.
23


Phân tích và giải:
a) Ta biến đổi đa thức đã cho thành :
[(x – 1)(x + 4)][(x – 2)(x + 5)] – 112 = (x2 + 3x – 4)(x2 + 3x – 10) - 112
Đặt t = x2 + 3x – 7, ta được: (t + 3)(t – 3) - 112 = t2 - 121 = (t – 11)(t + 11).
Hay (x – 1)(x – 2)(x + 4)(x + 5) – 112 = (x2 + 3x – 18)(x2 + 3x + 4)
= (x – 3)(x + 6)(x2 + 3x + 4).
b) Ta thấy không thể đặt ẩn phụ ngay. Dễ thấy các đa thức trong ngoặc có thể
phân tích được: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) – 24
= (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 24
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 24
Đặt t = x2 + 5x + 5, ta được: (t – 1)(t + 1) – 24 = t2 – 25 = (t – 5)(t + 5).
Hay: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) – 24 = (x2 + 5x)(x2 + 5x + 10)
= x(x + 5) (x2 + 5x + 10).
Chú ý: Một số dạng tương tự cũng có thể giải được theo cách trên.
Ví dụ 25. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
(3x – 2)(6x + 5)(2x + 1)(x – 1) - 10.
Phân tích và giải:
Ta biến đổi đa thức thành :
[(3x – 2)(2x + 1)][(6x + 5)(x – 1)] – 10 = (6x2 – x – 2)(6x2 – x – 5) - 10
Đặt t = 6x2 – x – 5, ta được: (t + 3)t - 10 = t2 + 3t – 10 = (t – 2)(t + 5).
Suy ra : (3x – 2)(6x + 5)(2x + 1)(x – 1) – 10 = (6x2 – x – 7)(6x2 – x)

= (x + 1)(6x – 7)x(6x – 1) = x(x + 1)(6x – 1)(6x – 7).
* Đa thức dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e với

e d2

.
a b2

Cách giải : Xét x ≠ 0, chia cả hai vế của đa thức cho x2 ≠ 0 và đặt t = x +

d
,
bx

rồi đưa về đa thức bậc hai biến t.
Ví dụ 26. Phân tích đa thức A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 thành nhân tử.
Phân tích và giải:
Cách 1: Giả sử x ≠ 0. Ta viết đa thức dưới dạng:
6
1 
1  
1 
 2
2  2
A = x2  x  6 x  7   2   x  x  2   6 x    7
x
x 
x  
x 




Đặt x -

1
1
= y thì x2 + 2 = y2 + 2. Do đó:
x
x

24


A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2
2



1
=  x x    3x = (x2 + 3x -1)2.
x
 


Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0.
Cách 2: A = x4 + 6x3 -2x2 + 9x2- 6x + 1 = x4 + (6x3- 2x2) + (9x2- 6x + 1)
= x4 + 2x2(3x - 1) + (3x - 1)2 = (x2 + 3x - 1)2.
2.5) Phương pháp hệ số bất định.
a) Phương pháp.
Phân tích đã cho thành tích của hai hay nhiều đa thức có thể phân tích được

với các hệ số chưa biết. Sau đó đồng nhất hệ số của đa thức đã cho với đa thức mới
để tìm hệ số chưa biết.
b) Ví dụ
Ví dụ 27. Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 19x - 30
Phân tích và giải:
Nếu đa thức này phân tích được thành nhân tử thì tích đó phải có dạng:
x3 - 19x - 30 = (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac.
a  b  0
Vì hai đa thức đồng nhất nên: ab  c  19
ac  30


Từ ac = - 30 ta chọn các giá trị thích hợp. Ở đây chọn a = 2; b = -15
Khi đó ta tìm được b = - 2 thoả mãn cả 3 điều kiện
Vậy x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x -15) = (x + 2)(x2 - 5x + 3x - 15)
= (x + 2)[(x2 - 5x) + (3x - 15)] = (x - 5)(x + 2)(x + 3).
2.6) Phương pháp xét giá trị riêng.
a) Phương pháp.
Coi đa thức cần phân tích là đa thức của một biến nào đó (trong các biến của
đa thức, rồi gán cho biến đó giá trị cụ thể. Nếu giá trị của đa thức bằng không, ta
đưa ra nhân tử rồi tiếp tục làm như vậy với các biến khác.
b) Ví dụ
Ví dụ 28. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) A = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y);
b) B = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3;
c) C = (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3
Phân tích và giải:
25