skkn tìm tòi PHƯƠNG PHÁP GIẢI các bài TOÁN về hệ PHƯƠNG TRÌNH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Chuyên đề:
Tìm tòi phương
phápNGUYỄN
giải các bài HỮU
toán vềCẢNH
hệ phương trình
TRƯỜNG
THPT

Mã số: ................................

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

TÌM TÒI PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI
TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Người thực hiện:

NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN

Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục:



- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN



- Lĩnh vực khác: ....................................................... 
Có đính kèm:
 Mô hình

 Đĩa CD (DVD)

 Phim ảnh

 Hiện vật khác

Năm học: 2015-2016

Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

1


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I.THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và Tên: Nguyễn Thị Hồng Vân
2. Ngày tháng năm sinh: 18/09/1978
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: 71/32, tổ 9, KP1, Phường Long Bình Tân, TP Biên Hoà, Tỉnh Đồng Nai
5. Điện thoại: 0613834289 (CQ)/ 0613832425 (NR); ĐTDĐ: 0974 669 039
6. Fax:
E-mail:

7. Chức vụ: tổ trưởng chuyên môn
8. Nhiệm vụ được giao: giảng dạy môn Toán các lớp 10A2, 12A7,10A8 và chủ nhiệm
lớp 10A2
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị cao nhất: thạc sỹ
- Năm nhận bằng: 2013
- Chuyên ngành đào tạo: Toán giải tích .
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học
Số năm có kinh nghiệm: 15 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
1. Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về tích vô hướng.
2. Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập về công thức lượng giác.
3. Dạy học theo chủ đề và sự vận dụng nó vào giải phương trình lượng giác.

Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

2


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

TÌM TÒI PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN
VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I.
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
- Mục tiêu dạy học của bộ môn toán không chỉ đòi hỏi người giáo viên cần phải

truyền đạt những tri thức mà còn phải giúp cho các em rèn luyện các kĩ năng cơ bản,
phát triển tư duy.
- Nhằm nâng cao năng lực giảng dạy, tổ chức các hoạt động giáo dục cho giáo
viên, đáp ứng yêu cầu đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, Bộ Giáo dục và
Đào tạo chủ trương đổi mới các hoạt động sinh hoạt chuyên môn trong nhà trường.
- Dạy học theo chủ đề ở cấp trung học phổ thông là sự cố gắng tăng cường sự
tích hợp kiến thức, làm cho kiến thức (các khái niệm) có mối liên hệ mạng lưới nhiều
chiều, là sự tích hợp vào nội dung học những ứng dụng kỹ thuật và đời sống thông
dụng làm cho nội dung học có ý nghĩa hơn, đó là “thổi hơi thở” của cuộc sống ngày
hôm nay vào những kiến thức cổ điển, nâng cao chất lượng “cuộc sống thật”.
- Với mục tiêu giáo dục đặt ra cũng như định hướng đổi mới phương pháp giảng
dạy, cùng với mong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy và có những hiểu biết sâu
sắc, truyền thụ cho học sinh về mảng kiến thức liên quan đến “hệ phương trình” có
hiệu quả nhất, giúp các em định hướng được phương pháp giải, chinh phục được câu
giải hệ phương trình trong các đề thi học sinh giỏi khối 10,12 và đặc biệt là trong các
đề thi tốt nghiệp THPT để dành được điểm 9, 10 chúng tôi chọn chuyên đề nghiên
cứu là “Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình”.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của cách tiếp cận dạy học theo chủ đề. Mục tiêu
giáo dục theo định hướng phát triển năng lực học sinh thì việc dạy học sẽ chú ý nhiều
đến việc tạo cơ hội cho học sinh tham gia vào trong các hoạt động học tập, quá trình
học tập sẽ được tiến hành bằng các hoạt động và thông qua các hoạt động, các vấn đề,
các bài tập, các tình huống cụ thể đưa ra yêu cầu học sinh giải quyết. Qua đó các em
có cơ hội tìm tòi những vấn đề mình yêu thích, khi đó kiến thức được phát huy tối đa,
khắc sâu .
- Mô hình dạy học theo hướng đổi mới và tuỳ thuộc vào từng điều kiện, hoàn
cảnh của từng trường, từng lớp mà khuyến khích sự sáng tạo của giáo viên, giáo viên
tổ chức dạy học sao cho mục tiêu đạt được có hiệu quả và chất lượng nhất.
- Các kiến thức về hệ phương trình được tổng hợp từ sách giáo khoa hiện hành
và các sách tham khảo. Kĩ năng giải các bài toán đòi hỏi tư duy, sáng tạo. Mục tiêu là

giúp cho các em học sinh thấy được những kiến thức nào là trọng tâm, nắm vững
được những dạng toán cơ bản và phương pháp giải quyết các dạng toán ấy. Ngoài ra,
các em còn được tiếp cận với những kiến thức có tính nâng cao để chuẩn bị cho các
kì thi sau này.
- Chuyên đề được trình bày gồm 4 bài toán minh hoạ và 2 bài tập đề nghị. Mỗi
bài toán đưa ra, chúng tôi trình bày tìm tòi lời giải theo hai hướng. Hướng thứ nhất là
biến đổi một trong hai phương trình đã cho của hệ về phương trình tích, sau đó dùng
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

3


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

các phép biến đổi tương đương để giải quyết tiếp bài toán. Hướng thứ hai là sử dụng
phương pháp hàm số. Với đối tượng là học sinh lớp 10, chúng tôi hướng dẫn cho các
em tiếp cận theo hướng thứ nhất vì các em chưa học phần “ứng dụng của đạo hàm”.
Với đối tượng là học sinh lớp 12, chúng tôi sẽ định hướng tìm tòi lời giải bằng cả hai
hướng để các em có cái nhìn mới hơn, tự tin hơn về lĩnh vực này.
- Các kết quả trong chuyên đề chủ yếu là đã có sẵn trong sách giáo khoa, trong
các tài liệu tham khảo, bản thân đã tìm hiểu, trình bày lại theo bố cục mới.
- Các giải pháp mà chúng tôi đưa ra đã có tác động khắc phục được một số hạn
chế ở đơn vị mình, là các giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có mà chúng tôi
đã thực hiện và có hiệu quả.
III.

TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
 x3 + y 3 + 3 x 2 + 6 x − 3 y + 4 = 0

Bài toán 1: Giải hệ phương trình

2
( x − 1) y + 1 + ( x + 6) y + 6 = x − 5 x + 12 y
• Định hướng tìm tòi lời giải
Hướng 1
Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta biến đổi về phương trình
( x + 1)3 + 3( x + 1) = y 3 + 3 y
⇔ ( x + 1 − y )[( x + 1) 2 + y ( x + 1) + y 2 + 3] = 0

Từ đó suy ra x + 1 = y . Sau đó thay y = x + 1 vào phương trình thứ
hai, ta nhận được phương trình một ẩn là x . Bằng các phép biến đổi
tương đương ta sẽ tìm được giá trị của x .
Hướng 2
Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta biến đổi về phương trình
( x + 1)3 + 3( x + 1) = y 3 + 3 y . Quan sát phương trình này ta nhận thấy có
thể dùng phương pháp hàm số để giải phương trình này bằng cách
xét hàm số f (t ) = t 3 + 3t với t ∈ R . Bằng phương pháp hàm số chứng tỏ
được x + 1 = y . Sau đó thay y = x + 1 vào phương trình thứ hai, ta nhận
được phương trình một ẩn là x . Bằng các phép biến đổi tương
đương ta sẽ tìm được giá trị của x .
• Lời giải
Cách 1
Điều kiện: y ≥ −1
Ta có:
x3 + y3 + 3x 2 + 6 x − 3 y + 4 = 0
⇔ ( x + 1)3 + 3( x + 1) = y 3 + 3 y
⇔ ( x + 1)3 − y 3 + 3( x + 1 − y ) = 0
⇔ ( x + 1 − y )[( x + 1) 2 + y ( x + 1) + y 2 + 3] = 0
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

4


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

x +1− y = 0
⇔
2
2
( x + 1) + y ( x + 1) + y + 3 = 0 ( vô nghiêm )
⇔ y = x +1
Thay y = x + 1 vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được

( x + 1) x + 2 + ( x + 6) x + 7 = x 2 + 7 x + 12
⇔ ( x + 1)

(

)

x + 2 − 2 + ( x + 6)

(

)

x + 7 − 3 = x2 + 2x − 8

( x + 1)( x − 2) ( x + 6)( x − 2)
+
= ( x − 2)( x + 4)
x+2+2
x+7 +3
x+6 
 x +1
⇔ ( x − 2) 
+
÷ = ( x − 2)( x + 4)
x + 7 +3
 x+2+2
x+6
 x +1

⇔ ( x − 2) 
+
− ( x + 4)  = 0
x+7 +3
 x+2+2

x = 2
⇔  x +1
x+6

+
= x + 4 (2)
 x + 2 + 2
x+7 +3

x =2⇒ y =3
Ta có y ≥ −1 nên x ≥ −2
x +1
x+6
≤ 0 và
+ Nếu −2 ≤ x ≤ −1 thì
x+2+2
x+7 +3
Do đó phương trình (2) vô nghiệm
x +1
x +1
x+6
x+6
≤
<
+ Nếu x > −1 thì
và
2
2
x+2+2
x+7 +3
Do đó phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3)
Cách 2
Điều kiện: y ≥ −1
Ta có: x 3 + y 3 + 3 x 2 + 6 x − 3 y + 4 = 0
⇔ ( x + 1)3 + 3( x + 1) = y 3 + 3 y (1)
Xét hàm số f (t ) = t 3 + 3t trên ¡
Vì f '(t ) = 3t 2 + 3 > 0, ∀t ∈ ¡ nên hàm số đồng biến trên ¡ .

Do đó phương trình (1) trở thành f ( x + 1) = f ( y ) hay x + 1 = y
Thay vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được
( x + 1) x + 2 + ( x + 6) x + 7 = x 2 + 7 x + 12
⇔

⇔ ( x + 1)

(

)

x + 2 − 2 + ( x + 6)

Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

(

)

x + 7 − 3 = x2 + 2x − 8
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

5


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

( x + 1)( x − 2) ( x + 6)( x − 2)
+
= ( x − 2)( x + 4)

x+2+2
x+7 +3
x+6 
 x +1
⇔ ( x − 2) 
+
÷ = ( x − 2)( x + 4)
x
+
2
+
2
x
+
7
+
3


x+6
 x +1

⇔ ( x − 2) 
+
− ( x + 4)  = 0
x+7 +3
 x+2+2

x = 2
⇔  x +1

x+6

+
= x + 4 (2)
 x + 2 + 2
x+7 +3
x =2⇒ y =3
Ta có y ≥ −1 nên x ≥ −2
x +1
x+6
≤ 0 và
+ Nếu −2 ≤ x ≤ −1 thì
x+2+2
x+7 +3
Do đó phương trình (2) vô nghiệm
x +1
x +1
x+6
x+6
≤
<
+ Nếu x > −1 thì
và
2
2
x+2+2
x+7 +3
Do đó phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có nghiệm x = 2, y = 3

⇔

 x 12 − y + y (12 − x 2 ) = 12 (1)
Bài toán 2: Giải hệ phương trình  3
(2)
 x − 6 x − 1 = 2 y − 2

( Trích đề thi đại học khối A, A1 năm 2014 )
• Định hướng tìm tòi lời giải
Hướng 1
Từ phương trình đầu của hệ ta biến đổi về phương trình
y (12 − x 2 ) = 12 − x 12 − y . Sau đó bình phương hai vế của phương trình
ta được phương trình mới: y = 12 − x 2 với x ≥ 0 . Thay y = 12 − x 2 vào
phương trình thứ hai của hệ ta được: x 3 − 8 x − 1 = 2 10 − x 2 . Từ phương
trình này giải tìm được x . Nhớ chú ý phải thử lại nghiệm vào hệ vì ta
có sử dụng một phép biến đổi bình phương hai vế của phương trình
để bỏ nghiệm ngoại lai
Hướng 2
−2 3 ≤ x ≤ 2 3
2 ≤ y ≤ 12

Điều kiện: 

Với điều kiện của hệ, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số
ta có: x 12 − y ≤

x 2 + 12 − y
và
2

Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

y (12 − x 2 ) ≤

y + 12 − x 2
2

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

6


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

Nên x 12 − y + y (12 − x 2 ) ≤ 12
x ≥ 0

Do đó phương trình (1) ⇔ 

 y = 12 − x

2

Đến đây nút thắt của bài toán đã được giải quyết. tiếp tục giải bài
toán bằng cách thay y = 12 − x 2 vào phương trình thứ hai của hệ ta
được: x 3 − 8 x − 1 = 2 10 − x 2 . Từ phương trình này giải tìm được x , từ đó
suy ra y .
• Lời giải
Cách 1
−2 3 ≤ x ≤ 2 3

2 ≤ y ≤ 12

Điều kiện: 

Từ phương trình đầu của hệ ta có: x 12 − y + y (12 − x 2 ) = 12
⇔

y (12 − x 2 ) = 12 − x 12 − y

Bình phương hai vế của phương trình ta được:
y (12 − x 2 ) = 144 − 24 x 12 − y + x 2 (12 − y )
⇔ 12 y = 144 − 24 x 12 − y + 12 x 2
⇔ 12 − y − 2 x 12 − y + x 2 = 0
⇔

(

12 − y − x

)

2

=0

⇔ 12 − y − x = 0
x ≥ 0
⇔
2
12 − y = x

x ≥ 0
⇔
2
 y = 12 − x
Thay y = 12 − x 2 vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
x 3 − 8 x − 1 = 2 10 − x 2
⇔ x3 − 8 x − 3 = 2

(

)

10 − x 2 − 1

⇔ ( x − 3)( x 2 + 3 x + 1) =

2(9 − x 2 )

10 − x 2 + 1

2( x + 3) 
⇔ ( x − 3)  x 2 + 3 x + 1 +
=0
2
10
−
x
+
1



Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

7


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

⇔ x−3= 0
⇔ x=3
 x 2 + 3x + 1 ≥ 1
2( x + 3)

2
>0
Vì x ≥ 0 nên ta có  2( x + 3)
Do đó x + 3x + 1 +
2
>
0
10 − x + 1

2
 10 − x + 1
Với x = 3 ta được y = 3
Thử lại: thay x = 3, y = 3 vào hệ phương trình đã cho thấy thoả mãn
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) = (3;3)

Cách 2
−2 3 ≤ x ≤ 2 3
2 ≤ y ≤ 12

Điều kiện: 

x 2 + 12 − y
Ta có x 12 − y ≤
và
2

y + 12 − x 2
y (12 − x ) ≤
2
2

Nên x 12 − y + y (12 − x 2 ) ≤ 12
x ≥ 0

Do đó phương trình (1) ⇔ 

 y = 12 − x

2

Thay y = 12 − x 2 vào phương trình (2) ta được
x 3 − 8 x − 1 = 2 10 − x 2
⇔ x3 − 8 x − 3 = 2

(

⇔ ( x − 3)( x + 3 x + 1) =
2

)

10 − x 2 − 1

2(9 − x 2 )

10 − x 2 + 1

2( x + 3) 
⇔ ( x − 3)  x 2 + 3 x + 1 +
=0
10 − x 2 + 1 

⇔ x−3= 0
⇔ x=3
 x 2 + 3x + 1 ≥ 1
2( x + 3)

2
>0
Vì x ≥ 0 nên ta có  2( x + 3)
Do đó x + 3x + 1 +
2
>0
10

−
x
+
1

2
 10 − x + 1
Với x = 3 ta được y = 3
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) = (3;3)
 x − 2 − 3 − y = y 2 − x 2 + 4 x − 6 y + 5
Bài toán 3: Giải hệ phương trình 
2
 2 x − x + 3 y − 5 − 2 x + 1 = 3 − y

• Định hướng tìm tòi lời giải
Hướng 1:
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

8


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

Từ phương trình đầu của hệ: x − 2 − 3 − y = y 2 − x 2 + 4 x − 6 y + 5 (1)
Ta nhận thấy vế trái của phương trình nếu thêm bớt lượng liên
hợp được
x − 2 − 3− y =

x + y −5
x − 2 + 3− y

Mặt khác nhận thấy vế phải của phương trình cũng đưa được
về dạng tích
y 2 − x 2 + 4 x − 6 y + 5 = ( x + y − 5)(− x + y − 1)

Khi đó phương trình (1) đưa về phương trình tích. Đến đây thì
nút thắt của bài toán đã được tháo gỡ.
Hướng 2:
Khi quan sát phương trình thứ nhất của hệ, nếu chuyển x về
một vế và y về một vế ta được:
x − 2 − 3 − y = y 2 − x2 + 4 x − 6 y + 5
⇔ ( x 2 − 4 x + 4) + x − 2 = 3 − y + (9 − 6 y + y 2 )
⇔ ( x − 2) 2 + x − 2 = (3 − y ) 2 + 3 − y

Đến đây ta nghĩ ngay đến việc sử dụng phương pháp hàm số để
giải quyết bài toán này bằng cách xét hàm f (t ) = t 2 + t với t ≥ 0
• Lời giải
Cách 1
Điều kiện: x ≥ 2, y ≤ 3, 2 x 2 − x + 3 y − 5 ≥ 0.
Từ phương trình đầu của hệ ta có:
⇔

x − 2 − 3 − y = y 2 − x2 + 4 x − 6 y + 5
x+ y −5
= ( x + y − 5)(− x + y − 1)
x − 2 + 3− y




1
⇔ ( x + y − 5) 
+ ( x − y + 1)  = 0
 x − 2 + 3 − y

⇔ x+ y −5 = 0
⇔ y = 5− x

Vì x ≥ 2, y ≤ 3 nên x − y + 1 ≥ 0 . Do đó

1
+ ( x − y + 1) > 0
x − 2 + 3− y

Thay y = 5 − x vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
2 x 2 − x + 3(5 − x) − 5 − 2 x + 1 = 3 − (5 − x)
⇔ 2 x 2 − 4 x + 10 − 2 x + 1 = x − 2
⇔ 2 x 2 − 4 x + 10 = 2 x + 1 + x − 2
⇔ 2 x 2 − 4 x + 10 = 2 x + 1 + 2( x − 2) 2 x + 1 + ( x − 2) 2
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

9


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

⇔ (2 x − 4) 2 x + 1 = x 2 − 2 x + 5

⇔ x 4 − 12 x 3 + 42 x 2 − 36 x + 9 = 0
⇔ ( x 2 − 6 x) 2 + 6( x 2 − 6 x) + 9 = 0
⇔ x 2 − 6 x = −3
x = 3 + 6
⇔
 x = 3 − 6
x = 3+ 6 ⇒ y = 2− 6
x = 3 − 6 không thoả mãn vì x ≥ 2

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) = (3 + 6;2 − 6)
Cách 2
Điều kiện: x ≥ 2, y ≤ 3, 2 x 2 − x + 3 y − 5 ≥ 0.
Từ phương trình đầu của hệ ta có:
x − 2 − 3 − y = y 2 − x 2 + 4 x − 6 y + 5 (1)
⇔ ( x 2 − 4 x + 4) + x − 2 = 3 − y + (9 − 6 y + y 2 )
⇔ ( x − 2) 2 + x − 2 = (3 − y ) 2 + 3 − y

Xét hàm số f (t ) = t 2 + t với t ≥ 0
Ta có f '(t ) = 2t +

1

2 t
Nhận thấy f '(t ) > 0, ∀t > 0 Do đó hàm số f (t ) đồng biến trên [0; +∞)
Khi đó f ( x − 2) = f (3 − y ) ⇒ x − 2 = 3 − y là nghiệm duy nhất của phương

trình (1)
Thay y = 5 − x vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
2 x 2 − x + 3(5 − x) − 5 − 2 x + 1 = 3 − (5 − x)
⇔ 2 x 2 − 4 x + 10 − 2 x + 1 = x − 2

⇔ 2 x 2 − 4 x + 10 = 2 x + 1 + x − 2
⇔ 2 x 2 − 4 x + 10 = 2 x + 1 + 2( x − 2) 2 x + 1 + ( x − 2) 2
⇔ (2 x − 4) 2 x + 1 = x 2 − 2 x + 5
⇔ x 4 − 12 x 3 + 42 x 2 − 36 x + 9 = 0
⇔ ( x 2 − 6 x) 2 + 6( x 2 − 6 x) + 9 = 0
⇔ x 2 − 6 x = −3
x = 3 + 6
⇔
 x = 3 − 6
x = 3+ 6 ⇒ y = 2− 6
x = 3 − 6 không thoả mãn vì x ≥ 2
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

10


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) = (3 + 6;2 − 6)
 y 2 + 2( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 2 x 2 − 4 x
Bài toán 4:Giải hệ phương trình 
 xy + 2 = y x 2 + 2

• Định hướng tìm tòi lời giải
Hướng 1
Từ phương trình thứ hai của hệ: xy + 2 = y x 2 + 2 , ta có thể rút y
theo x . Từ phương trình thứ nhất của hệ thay theo biến x ta được

(

phương trình

)

2

x 2 + 2 + x + 2( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 2 x 2 − 4 x . Quan sát phương

trình này ta có thể đưa phương trình về dạng tích số. Khi đó bài toán
đã được giải quyết.
Hướng 2
Từ phương trình thứ hai của hệ: xy + 2 = y x 2 + 2 , ta có thể rút y
theo x . Từ phương trình thứ nhất của hệ thay theo biến x ta được

(

phương trình

)

2

x 2 + 2 + x + 2( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 2 x 2 − 4 x

⇔ 1 + x x 2 + 2 + ( x + 1) x 2 + 2 x + 3 + 2 x = 0

Quan sát phương trình này ta nhận thấy x x 2 + 2;( x + 1) x 2 + 2 x + 3 có
vai trò như nhau nên có thể dùng phương pháp hàm số để giải

(

)

2
phương trình này bằng cách xét hàm số f (t ) = t 1 + t + 2 với t ∈ ¡

• Lời giải
Cách 1
Từ phương trình thứ hai của hệ:
xy + 2 = y x 2 + 2

⇔y

)

(

x2 + 2 − x = 2

⇔ y=

2
x +2−x
2

⇔ y = x2 + 2 + x

Thay y = x 2 + 2 + x vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

⇔

(

y 2 + 2( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 2 x 2 − 4 x

)

2

x 2 + 2 + x + 2( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 2 x 2 − 4 x
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

11


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

⇔ x 2 + 2 + 2 x x 2 + 2 + x 2 + 2( x + 1) x 2 + 2 x + 3 − 2 x 2 + 4 x = 0
⇔ 1 + x x 2 + 2 + ( x + 1) x 2 + 2 x + 3 + 2 x = 0
⇔ (2 x + 1) + x
⇔ (2 x + 1) −

(

)

x 2 + 2 − x 2 + 2 x + 3 + (2 x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 0

x(2 x + 1)

x + 2 + x + 2x + 3
x
2

2

+ (2 x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 0



⇔ (2 x + 1) 1 −
+ x2 + 2x + 3 ÷= 0
x2 + 2 + x2 + 2 x + 3


2 x + 1 = 0
⇔
x
1 −
+ x 2 + 2 x + 3 = 0 (vô nghiêm)
2
2
x + 2 + x + 2x + 3

1
⇔x=−
2
1

Thay x = − vào phương trình y = x 2 + 2 + x ta được y = 1
2
 1 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) =  − ;1÷
 2 

Cách 2
Từ phương trình thứ hai của hệ:
xy + 2 = y x 2 + 2
2
⇔ y=
x2 + 2 − x
⇔ y = x2 + 2 + x

Thay y = x 2 + 2 + x vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:

(

)

2

x 2 + 2 + x + 2( x + 1) x 2 + 2 x + 3 = 2 x 2 − 4 x

⇔ x 2 + 2 + 2 x x 2 + 2 + x 2 + 2( x + 1) x 2 + 2 x + 3 − 2 x 2 + 4 x = 0
⇔ 1 + x x 2 + 2 + ( x + 1) x 2 + 2 x + 3 + 2 x = 0
⇔ ( x + 1) 1 + ( x + 1) 2 + 2  = (− x) 1 + (− x) 2 + 2  (1)






)

(

2
Xét hàm số f (t ) = t 1 + t + 2 với t ∈ ¡
2
Ta có f '(t ) = 1 + t + 2 +

t2

t2 + 2
Nhận thấy f '(t ) > 0, ∀t ∈ ¡
Do đó hàm số f (t ) đồng biến trên ¡
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

12


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

Khi đó f ( x + 1) = f (− x) ⇔ x + 1 = − x ⇔ x = −

1
là nghiệm duy nhất của
2

phương trình (1)
1
vào phương trình y = x 2 + 2 + x ta được y = 1
2
 1 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x; y ) =  − ;1÷
 2 

Thay x = −

3.2 Bài tập đề nghị

(

)(

)

 x + x2 + 4 y + y 2 + 1 = 2

Bài toán 5:Giải hệ phương trình 
12 y 2 − 10 y + 2 = 2 3 x 3 + 1

• Định hướng tìm tòi lời giải
Hướng 1:
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có thể sử dụng phép nhóm
liên hợp để đưa về phương trình tích

)( y+

x + 4 = 2( y

( x+

⇔ x+

x2 + 4

2

⇔ x + 2y =

)
+1 − y)

y2 + 1 = 2

2

4 y 2 − x2
2 y 2 + 1 + x2 + 4



2y − x
⇔ ( x + 2y) 
− 1 = 0
 2 y 2 + 1 + x 2 + 4 

Đến đây ta chứng minh phương trình

2y − x
2 y2 + 1 + x2 + 4

− 1 = 0 là vô

nghiệm
Thay y = −

x
vào phương trình thứ hai của hệ ta được
2

3x 2 + 5 x + 2 = 2 3 x3 + 1


2
⇔ (3 x 2 + 3 x) 1 +
=0
2
3 3
3 3
x
+
1
+
(
x
+
1)

x
+
1
+
(
x
+
1)


2
> 0 với mọi x
Chứng minh được 1 + 3 3
x + 1 + ( x + 1) 3 x 3 + 1 + ( x + 1) 2
1

Đáp số: Hệ có nghiệm (0;0) và  −1; ÷
2


Hướng 2

Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

13


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có

)( y+
x + 4 = 2( y

( x+

⇔ x+

x2 + 4

2

)
+1 − y)

y2 + 1 = 2

2

⇔ x + x 2 + 4 = −2 y +

( −2 y )

2

+4

Phương trình này có thể sử dụng phương pháp hàm số với việc

xét hàm số f (t ) = t + t 2 + 4, t ∈ ¡ . Chứng tỏ được rằng hàm số f (t ) đồng
biến trên ¡ .
Từ đó f ( x) = f (−2 y ) ⇔ x = −2 y , tiếp tục giải như hướng 1.
 3

2
3
3
 x − ( y + y) = y  y + 1 −
Bài toán 6: Giải hệ phương trình 

 3
3
2
2 x − 12 y = xy (1 + y )

x
÷
y

• Định hướng tìm tòi lời giải
Hướng 1
Điều kiện của x,y để hệ có nghĩa
Biến đổi hệ đã cho bằng cách chia cả hai vế của phương trình thứ
nhất của hệ cho y 3 ta được hệ sau:
 x 3
x
= ( y + 1)3 + y + 1 (1)
 ÷ +
y

 y 

3
 x
x
2  y ÷ − 12 = y ( y + 1)
  

Từ phương trình (1) ta biến đổi về phương trình tích
3

x
 ÷+
 y

x
= ( y + 1)3 + y + 1
y

3

x
x
⇔  ÷ − ( y + 1)3 = y + 1 −
y
 y
2

 x
  x

 x  x
⇔
− y + 1 ÷1 + 
− y + 1 ÷  ÷ + ( y + 1) + ( y + 1) 2 ÷ = 0
÷
y
 y
   y
   y 

x
⇔
− y +1 = 0
y

Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

14


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

Ta có thể chứng minh phương trình:
2

 x
  x 
x

1+ 
− y + 1 ÷ ÷ + ( y + 1) + ( y + 1) 2  = 0 vô nghiệm bằng cách kết hợp
y

 y
  y 

với điều kiện ban đầu của hệ. Sau đó thay

x
=
y

y + 1 vào phương

trình thứ hai của hệ ta được phương trình

2


3

2

x  x
÷ −  ÷ − 12 = 0
y  y
x
⇔ =2
y

Đáp số: Hệ có nghiệm ( x; y ) = (2;1)
Hướng 2
Biến đổi hệ đã cho bằng cách chia cả hai vế của phương trình thứ
nhất của hệ cho y 3 ta được hệ sau:
 x 3
x
= ( y + 1)3 + y + 1 (1)
 ÷ +
y
 y 

3
 x
x
2  y ÷ − 12 = y ( y + 1)
  

Từ phương trình thứ nhất của hệ ta sử dụng phương pháp hàm số bằng cách xét
hàm số f (t ) = t 3 + t , ∀t ≥ 0
Chứng tỏ được rằng hàm số f (t ) đồng biền trên [0; +∞) .
 x
÷ = f ( y + 1) ⇔
y



Từ đó f 

x

=
y

y + 1 , tiếp tục giải như hướng 1.

IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Nội dung của đề tài chúng tôi đã sử dụng để dạy bồi dưỡng học sinh giỏi khối 10
với định hướng giải thứ nhất và đã dạy luyện thi cho học sinh khối 12 với hai hướng
giải quyết như trên để các em có thể chinh phục được điểm 9,10 trong đề thi.
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
- Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ khi tiếp cận dạy học theo chủ đề về mảng
kiến thức liên quan đến hệ phương trình. Tuy chưa đem lại hiệu quả cao cho toàn thể
học sinh song đối với bản thân là cả một quá trình tìm tòi, đúc kết qua nhiều năm
đứng lớp. Thiết nghĩ, mỗi giáo viên chúng ta thường xuyên gom nhặt, tích lũy, sắp
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

15


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

xếp khoa học và cùng nhau thảo luận, chia sẻ, mở rộng kiến thức thì hiệu quả dạy học
bộ môn cũng từ đó được nâng lên.
- Cuối cùng xin cảm ơn toàn thể các thầy cô giáo trong tổ Toán – trường THPT
Nguyễn Hữu Cảnh đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình
nghiên cứu.
- Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thời
gian nên sai sót là điều khó tránh khỏi, kính mong nhận được ý kiến đóng góp của

quý thầy cô để đề tài được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn.

VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Ts. Lê Xuân Sơn (chủ biên) (2013), Giới thiệu và giải chi tiết Bộ đề thi thử
trọng tâm, nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
2. Nguyễn Thanh Tuyên (chủ biên) (2016), Thần tốc luyện đề THPT quốc gia
2016, nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.
Người thực hiện

Nguyễn Thị Hồng Vân

Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

16


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
–––––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
––––––––––––––––––––––––
Biên Hoà, ngày 24 tháng 05 năm 2016

PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2016
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương
trình
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Hồng Vân

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn

Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
Họ và tên giám khảo 1: .Trần Thị Lan Anh Chức vụ: giáo viên tổ Toán
Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
Số điện thoại của giám khảo: 0974 074054
* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm:
1. Tính mới
Thay thế một phần giải pháp đã có với mức độ tốt

Điểm: 4,0/6,0.

2. Hiệu quả
Có minh chứng thực tế để thấy được hiệu quả giải pháp của tác giả thay thế
một phần giải pháp đã có tại đơn vị
Điểm: 5,0/8,0.
3. Khả năng áp dụng
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

17

Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu
quả trong phạm vi rộng
Điểm: 5,0/6,0.
Tổng số điểm:14/20. Xếp loại: Khá

GIÁM KHẢO 1

Trần Thị Lan Anh
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
–––––––––––

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
––––––––––––––––––––––––
Biên Hoà, ngày 24 tháng 05 năm 2016

PHIẾU ĐÁNH GIÁ, CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2016
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương
trình
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Hồng Vân

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn

Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
Họ và tên giám khảo 2: Mai Thị Hải

Chức vụ: giáo viên tổ Toán

Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
Số điện thoại của giám khảo: 0915 750255
* Nhận xét, đánh giá, cho điểm và xếp loại sáng kiến kinh nghiệm:
1. Tính mới
Thay thế một phần giải pháp đã có với mức độ tốt

Điểm: 4,0/6,0.

2. Hiệu quả
Có minh chứng thực tế để thấy được hiệu quả giải pháp của tác giả thay thế
một phần giải pháp đã có tại đơn vị
Điểm: 5,5/8,0.
3. Khả năng áp dụng
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

18


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả. Đưa ra các giải pháp khuyến nghị
có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện .
Điểm: 5,0/6,0.

Tổng số điểm:14,5/20. Xếp loại: Khá
GIÁM KHẢO 2

Mai Thị Hải

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Biên Hòa, ngày 25 tháng 05 năm 2016
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2015-2016
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình.
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Hồng Vân
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán

- Phương pháp giáo dục



- Lĩnh vực khác:




Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị 
Trong Ngành 
1.

Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô dưới đây)

- Đề ra giải pháp thay thế hoàn toàn mới, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 
- Đề ra giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, bảo đảm tính khoa học, đúng đắn 
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình,
nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị

2.

Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 5 ô dưới đây)

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu quả cao 
Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

19


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện trong toàn ngành có hiệu
quả cao 

- Giải pháp thay thế hoàn toàn mới, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có, đã được thực hiện tại đơn vị có hiệu quả 
- Giải pháp mới gần đây đã áp dụng ở đơn vị khác nhưng chưa từng áp dụng ở đơn vị mình,
nay tác giả tổ chức thực hiện và có hiệu quả cho đơn vị

3.
Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT Trong ngành 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi
vào cuộc sống:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT 
Trong ngành 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong
phạm vi rộng:
Trong Tổ/Phòng/Ban  Trong cơ quan, đơn vị, cơ sở GD&ĐT
Trong ngành 
Khá 

Xếp loại chung: Xuất sắc 

Đạt



Không xếp loại 

Tôi xin cam kết và chịu trách nhiệm không sao chép tài liệu của người khác hoặc sao chép
lại nguyên văn nội dung sáng kiến kinh nghiệm cũ của mình.
NGƯỜI THỰC HIỆN SKKN

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

Nguyễn Thị Hồng Vân
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

20


Chuyên đề: Tìm tòi phương pháp giải các bài toán về hệ phương trình

Gv: Nguyễn Thị Hồng Vân

Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh

21