skkn áp DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC vào GIẢI bài tập TOÁN 8

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ
Mã số: ………………..


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI BÀI TẬP
TOÁN 8”

Người thực hiện: Lê Thị Hồng
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
- Lĩnh vực khác: ………… 
Có đính kèm
Mô hình

Phần mềm

Phim ảnh

Năm học: 2015 - 2016

1

Hiện vật khác


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I.

THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1. Họ và tên: Lê Thị Hồng
2. Ngày tháng năm sinh: 01/02/1987
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: ấp 5, Nam Cát Tiên, Tân Phú, Đồng Nai
5. Điện thoại: 0613856483 (cơ quan), ĐTDĐ : 0938435453
6. Fax: ………….. E-mail: ……
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao: Giảng dạy môn toán 8, chủ đề tự chọn toán 8, nghề tin 8B,
chủ nhiệm lớp 8B.
9. Đơn vị công tác: Trường phổ thông Dân Tộc Nội Trú liên huyện Tân Phú – Định
Quán.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân đại học sư phạm.
- Năm nhận bằng: 2014
- Chuyên ngành đào tạo: Toán
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán THCS.
- Số năm có kinh nghiệm: 7 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

+ Các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử.
+ Vẽ thêm yếu tố phụ trong chứng minh hình học.

ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI BÀI TẬP TOÁN 8

2


I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Môn toán là một môn khoa học về các quan hệ định lượng và các hình thể
không gian của thế giới hiện thực, là môn khoa học chi phối các môn khoa học khác.
Ở trường phổ thông môn toán học chiếm vị trí quan trọng cơ bản đối với
các em học sinh, kiến thức toán các em cần nắm phải là một chuỗi có hệ thống logic.
Trong đó số học là một môn khoa học chiếm khối lượng kiến thức khá lớn trong bộ
môn toán. Nó là một môn khoa học mà khả năng tư duy, kĩ năng suy luận của học
sinh được thể hiện rõ nét nhất, song song đó tính chặt chẽ và logic cũng được thể
hiện.
Về phương pháp giáo dục phải khuyến khích tự học, phải áp dụng
những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng học sinh năng lực tư duy sáng
tạo, năng lực giải quyết vấn đề. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và
phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự
nghiêm cứu cho học sinh.
Tuy nhiên trên thực tế thì ý thức học tập của các em học sinh ở bậc trung
học cơ sở còn chưa cao, các em chưa tự đi sâu, đi sát vấn đề khi chưa có sự hướng
dẫn của giáo viên. Trong đó kiến thức về hằng đẳng thức thuộc chương trình Toán lớp
8, phần lớn các em chỉ nắm được một số dạng toán cơ bản trong sách giáo khoa mà
chưa tự mở rộng được vấn đề. Vì thế tôi đã mạnh dạn chọn chuyên đề “Áp dụng
hằng đẳng thức vào giải bài tập toán 8” với mục đích khắc sâu các dạng toán trong
sách giáo khoa đồng thời giới thiệu cho các em một số dạng toán mà trong sách giáo
khoa không đề cập đến.
II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Theo từ điển giáo dục (NXB Từ điển bách khoa, 2001): Kỹ năng, khả năng thực
hiện đúng hành động, hoạt động phù hợp với những mục tiêu và điều kiện cụ thể tiến
hành hành động ấy, cho dù đó là hành động cụ thể hay là hành động trí tuệ …những
thao tác cụ thể ấy phải được luyện tập nhiều lần mới quen và ghi nhớ được, để đến khi

cần thì biết cách thao tác chúng đây mới là kĩ năng bậc nhất, nghĩa là đạt được nhu
cầu biết làm.
Một trong những trọng tâm của đổi mới giáo dục phổ thông hiện nay là đổi mới
phương pháp dạy học, thực hiện dạy học dựa vào hoạt động tích cực, chủ động của
học sinh, với sự tổ chức và hướng dẫn đúng mực của giáo viên nhằm phát triển tư duy
độc lập, sáng tạo, góp phần hình thành phương pháp nhu cầu tự học, bồi dưỡng hứng
thú học tập, tạo niềm tin và niềm vui học tập, dần dần tạo cho các em học sinh có
được những kĩ năng học tập tốt hơn.
Môn Toán là một môn học khó và trừu tượng, chính vì vậy đa số học sinh trung
bình, yếu và kém rất nản lòng khi học môn toán. Do đó trong dạy học người giáo viên
phải khéo léo đặt vấn đề, tạo tình huống có vấn đề để giúp các em có hướng giải quyết
3


được vấn đề đặt ra, đưa ra các phương pháp giải và hướng dẫn học sinh loại trừ các
phương pháp không giải được. Làm được điều đó thì chắc chắn các em sẽ vui vẻ, tự
tin, có hứng thú hơn trong khi học toán. Từ đó không chỉ giúp các em xóa đi sự xa
lánh với môn học mà các em gần gũi, say mê, yêu thích môn học hơn.
Nhưng thực tế cho thấy là khi sử dụng hằng đẳng thức vào giải một bài toán cụ
thể thì học sinh phải biết phân tích để tìm hằng đẳng thức phù hợp nhưng không phải
học sinh nào cũng biết phân tích mà đa số các em chỉ làm máy móc mà không suy
nghĩ.
Bên cạnh đó một số giáo viên lại có quan niệm giúp học sinh giải được càng
nhiều bài toán càng tốt, để từ đó các em bắt chước và học theo chứ không hướng dẫn
phương pháp giải một bài toán cụ thể. Về phía học sinh thường chỉ học vẹt các qui tắc
nhưng lại rất lười giải một bài toán cụ thể dẫn đến các em không nhớ kiến thức để vận
dụng giải toán. Đặc biệt, học sinh trường PT.DTNT hầu hết là con em đồng bào dân
tộc thiểu số ở các vùng sâu, vùng xa từ hai huyện Tân Phú và Định Quán. Các em ở
nội trú tại trường để học tập và sinh hoạt nên thiếu sự quan tâm và động viên cha mẹ
mặt khác tư duy các em còn chậm, các em ít nói, thường ỷ lại, nhút nhát, thích hoạt

động chân tay do đó việc áp dụng phương pháp dạy học mới gặp rất nhiều khó khăn.
Đây là giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có.
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
A. GIẢI PHÁP: ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI BÀI TẬP TOÁN 8
1. ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ ĐỂ TÍNH
* Phương pháp giải: Đưa về một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ sau để tính:
1. (A+B)2 = A2 + 2AB + B2
2. (A– B)2 = A2 – 2AB + B2
3. A2 – B2 = (A– B) (A+B)
4. (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5. (A– B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
6. A3 + B3 = (A+ B) (A2 – AB + B2 )
7. A3 – B3 = (A– B) (A2 + AB + B2 )
a. Ví dụ:
Ví dụ 1: Tính (y – 2)3
Giải:
6y2 + 12y – 8
Ví dụ 2: Tính ( 2x + 3y)2
Giải : ( 2x + 3y)2 = (2x)2 + 12xy + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
4

(y – 2)3 = y3 –


Ví dụ 3 : Tính (a + b + c)2
Giải : (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b).c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
b. Bài tập
Bài 1 : Tính

a/ (2 + xy)2

b/ (5 – 3x)2

Bài 2 : Tính
a/ ( a + b – c)2

b/ ( a – b – c)2

* Nhận xét: Đối với dạng toán này học sinh chỉ cần vận dụng linh hoạt một trong bảy
hằng đẳng thức để giải.
* Lưu ý: với các biểu thức A, B trong hằng đẳng thức là một biểu thức gồm cả số và
biến hoặc gồm hai biến thì phải sử dụng dấu ngoặc và lũy thừa của cả biểu thức đó.
2. ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đồi
vế trái bằng vế phải hoặc vế phải bằng vế trái hoặc biến đổi hai vế
bằng nhau.
a. Ví dụ
Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức (x + y)2 – y2 = x(x + 2y)
Giải: VT = (x + y)2 – y2 = (x + y – y)(x + y + y) = x ( x + 2y) = VP (Đpcm)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (a + b)2 = (a – b )2 + 4ab
Giải: VT = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
VP = (a – b )2 + 4ab = a2 – 2ab + b2 + 4ab = a2 + 2ab + b2
Vậy VT = VP nên (a + b)2 = (a – b )2 + 4ab (Đpcm)
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab (a + b)
Cho học sinh giải tương tự:
VP = (a + b)3 – 3ab (a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2
= a3 + b3 = VT (Đpcm)
Ví dụ 4: Chứng minh (a – b)3 = – (b – a )3
Cho học sinh giải tương tự

5


VT = (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
VP = – (b – a )3 = – (b3 – 3b2a + 3ba2 – a3)
= – b3 + 3b2a – 3ba2 + a3
= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = VT (Đpcm)
b. Bài tập
Bài 1: Nhận xét sự đúng sai của kết quả sau: x2 + 2xy + y2 = ( x + 2y)2
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức:
a/ (x + y)3 = x(x – 3y)2 + y(y – 3x)2
b/ (x2 + y2)2 – (2xy)2 = (x + y)2(x – y)2
Hướng dẫn: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức
A2 – B2 =(A - B)(A+B)
* Nhận xét: Đây là dạng toán không khó nhưng học sinh thường ngại làm khi nghe
đến chứng minh vì vậy để giải được dạng toán này hướng dẫn học sinh cần nhận dạng
được hằng đẳng thức sau đó biến đổi để vế trái bằng vế phải.
3. ÁP DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ TÍNH NHANH
Phương pháp giải: Tách các số trong phép tính sao cho có thể áp dụng các hằng
đẳng thức đã học.
a. Ví dụ
Ví dụ 1: Tính nhanh 1012
Giải: 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 200 + 1 = 10201
Ví dụ 2: Tính nhanh 1992
Giải: 1992 = (200 – 1 )2 = 2002 – 400 + 1 = 40000 – 400 + 1 = 39601
Ví dụ 3: Tính nhanh 47 . 53
Giải: 47 . 53 = ( 50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – 9 = 2491
Ví dụ 4: Tính nhanh 342 + 662 + 68 . 66
Giải: 342 + 662 + 68 . 66 = 342 + 2.34.66 + 662 = (34 + 66)2 = 1002 = 10000
* Nhận xét: Đây là một phương pháp đơn giản nhưng khi giải các em cần lưu ý khi

tách các số trong phép tính.
b. Bài tập: Tính nhanh
a/ 10012; 29,9.30,1

b/ (31,8)2 – 2.31,8 .21,8 + (21,8)2

4. RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Phương pháp giải:
6


- Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển và rút gọn.
- Thay giá trị của biến x vào biểu thức đã rút gọn.
a. Ví dụ
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức: 49x2 – 70x + 25 với x = 5
Giải:

49x2 – 70x + 25 = (7x)2 – 2.7x.5 + 52 = (7x – 5)2

Với x = 5 ta có: (7x – 5)2 = (7. 5 – 5)2 = 302 = 900
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức x3 – 6x2 + 12x – 8 với x = 22
Giải:

x3 – 6x2 + 12x – 8 = x3 – 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 – 23 = (x – 2)3

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau: ( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2
Giải : ( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2
= [( x + y + z ) – (x+ y)]2
= (x + y + z – x –y )2 = z2
b. Bài tập

Bài 1: Rút gọn biểu thức rồi tính giá trị của biểu thức
a/ 4x2 – 28x + 49 với x = 4

b/ x3 – 9x2 + 27x – 27 với x = 5

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a/ (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)
b/ (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)
* Nhận xét : Qua dạng toán này đa số các em bắt tay vào làm tất cả những gì mà các
em có thể làm được mà không quan sát, tư duy để có thể tìm được lời giải nhanh hơn,
ngắn gọn hơn, thích hợp hơn.
Do đó ngay sau khi giới thiệu đề bài tôi đã đặt câu hỏi: “Các em hãy quan sát kĩ
đề bài và thử phát hiện các biểu thức đã cho có gì đặc biệt ?” để từ đó các em hình
thành cho mình được thói quen phải biết quan sát, biết đặt những câu hỏi phân tích, tự
trả lời và tìm cho mình được lời giải thích hợp nhất. Kết quả là các em đã nhận ra
được các hằng đẳng thức trong các biểu thức đó và rất tự tin bắt tay và làm bài.
* Lưu ý : “A; B” trong các hằng đẳng thức có thể là một đơn thức nhưng cũng có thể
là một đa thức.
5. ĐIỀN VÀO Ô TRỐNG CÁC HẠNG TỬ THÍCH HỢP
Phương pháp giải:
- Dựa vào một số hạng tử của đẳng thức có ô trống ta nhận dạng một trong bảy hằng
đẳng thức đáng nhớ.
- Thay vào ô trống các hạng tử thích hợp.
7


a. Ví dụ
Ví dụ 1: Hãy tìm cách giúp bạn A khôi phục lại đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số
chỗ: x2 + 6xy + ……. = ( …….. + 3y)2
Giải: x2 + 6xy + 9y2 = ( x + 3y)2

Ví dụ 2: Điền vào ô trống: (3x + y)(□ – □ + □) = 27x3 + y3
Giải: (3x + y)(9x2 – 3xy + y2) = (3x)3 + y3 = 27x3 + y3
b. Bài tập : Điền vào chỗ trống
a/ x2 - ………….. + 4y2 = ( …… - ……)2
b/ (5x – □)(□ + 20xy + □) = 125x3 – 64y3
*Nhận xét: Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp là một phương pháp rất đơn giản
học sinh chỉ cần quan sát các hạng tử đã cho ở hai vế là các em có thể điền được các
hạng tử thích hợp.
6. CHỨNG MINH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO GIÁ
TRỊ CỦA BIẾN.
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã
cho không còn chứa x.
a. Ví dụ
Ví dụ 1: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y
(x + y)(x2 – xy + y2) + (x – y)(x2 + xy + y2) – 2x3
Giải:
(x + y)(x2 – xy + y2) + (x – y)(x2 + xy + y2) – 2x3
= (x3 + y3) + (x3 – y3) – 2x3
= 0; ∀ x, y
Giá trị của biểu thức bằng 0 với mọi x, y. Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào
x, y.
Ví dụ 2: Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào x
(2x + 3)(4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 – 1)
Giải:
(2x + 3)(4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 – 1)
= (2x + 3)[(2x)2 – 2x.3 + 32] – 2(4x3 – 1)
= (2x)3 + 33 – 8x3 + 2 = 8x3 + 27 – 8x3 + 2 = 29
Giá trị biểu thức bằng 29 với mọi x. Vậy biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.
8

b. Bài tập: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
a/ (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + 7
b/ (x2 + 2x + 3)(3x2 – 2x + 1) – 3x2(x2 + 2) – 4x(x2 – 1)
c/ (x + 3)3 – (x + 9)(x2 + 27)
* Nhận xét: Học sinh thường e sợ khi gặp bài toán chứng minh vì vậy hướng dẫn học
sinh rút gọn biểu thức đã cho để biểu thức đã rút gọn không còn chứa x.
7. TÌM x THỎA MÃN ĐẲNG THỨC CHO TRƯỚC
Phương pháp giải: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ rút gọn vế trái của đẳng
thức và đưa về dạng ax + b hoặc đưa về phương trình tích từ đó tìm x
a. Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm x, biết :
a/ (x + 2)2 – 9 = 0

b/ (x + 2)2 – x2 + 4 = 0
Hướng dẫn giải:

a/ (x + 2)2 – 9 = 0
Giải: (x + 2)2 – 9 = (x + 2)2 – 32 = (x + 2 – 3)(x + 2 + 3) = (x – 1)(x + 5).
Vậy (x – 1)(x + 5) = 0 từ đó ta có x = 1 hoặc x = - 5
b/ (x + 2)2 – x2 + 4 = 0
Cách 1: (x + 2)2 – x2 + 4 = x2 + 4x + 4 – x2 + 4 = 4x + 8.
8
4

Vậy 4x + 8 = 0 suy ra x = − = −2
Cách 2: (x + 2)2 – x2 + 4 = (x + 2)2 + ( 4 – x2) = (x + 2)2 + ( 2 + x)(2 – x)
= (x + 2) (x + 2 + 2 – x) = 4(x + 2). Vậy 4(x + 2) = 0 suy ra x = -2
b. Bài tập: Tìm x, biết:
a/ x(x – 2) + x – 2 = 0

b/ 5x(x – 3) – x + 3 = 0

* Nhận xét: Với phương pháp này đòi hỏi cần có sự linh hoạt trong quá trình biến đổi,
vận dụng các hằng đẳng thức phù hợp với từng bài toán.
* Lưu ý: Trong một bài toán có rất nhiều cách giải ta nên chọn cách giải phù hợp,
ngắn gọn và dễ hiểu.
8. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC
Phương pháp giải:
Dựa vào hằng đẳng thức:
Hoặc
9

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 – 2AB + B2 = (A – B)2


Để đưa biểu thức về dạng:
a/ T = a + [f(x)]2 với a là hằng số, f(x) là biểu thức có chứa biến x, vì [f(x)] 2 ≥ 0 với
mọi x nên T ≥ a. Khi đó giá trị nhỏ nhất của T bằng a khi f(x) = 0 ( ta phải tìm x để
f(x) = 0).
b/ T = b - [f(x)]2 với b là hằng số, f(x) là biểu thức có chứa biến x, vì - [f(x)] 2 ≤ 0 với
mọi x nên T ≤ b. Khi đó giá trị lớn nhất của T bằng b khi f(x) = 0.
a. Ví dụ
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 4x2 + 4x + 11
Giải:
A = 4x2 + 4x + 11 = (4x2 + 4x + 1) + 10 = (2x + 1)2 + 10
Vì (2x + 1)2 ≥ 0 với mọi x nên A = (2x + 1)2 + 10 ≥ 10.
1
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 10 khi 2x + 1 = 0 hay x = − .
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 4x – x2 + 3
Giải:
B = 4x – x2 + 3 = - (x2 – 4x – 3) = - [(x2 – 4x + 4) – 7]
= - [(x – 2)2 – 7] = 7 – (x – 2)2
Vì – (x – 2)2 ≤ 0 nên B = 7 – (x – 2)2 ≤ 7. Vậy giá trị lớn nhất của B bằng 7 khi
x – 2 = 0 hay x = 2.
b. Bài tập
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a/ A = x2 – 4x + 7
b/ B = x2 + 8x
c/ C = x2 – 2x + y2 – 4y + 7
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a/ C = - 2x2 + 8x – 15
b/ B = x – x2
c/ A = 5 – 8x – x2
* Nhận xét: Đây là dạng toán khó vì vậy để giải được bài toán này cần có sự linh hoạt
trong quá trình biến đổi các em phải biết tách hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.
9. PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp giải:
Biến đổi đẳng thức về dạng A2 + B2 = 0, từ đó suy ra A = 0, B = 0.
a. Ví dụ
10


Ví dụ 1: Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca, chứng minh a = b = c.
Giải: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca, ta có:
2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2bc + 2ca
2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca = 0

Suy ra: (a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2) = 0
Hay: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0
Từ đó suy ra a = b = c
Ví dụ 2: Tìm a, b, c thỏa đẳng thức: a2 – 2a + b2 + 4b + 4c2 – 4c + 6 = 0
Giải: a2 – 2a + b2 + 4b + 4c2 – 4c + 6 = 0
a2 – 2a + 1 + b2 + 4b + 4 + 4c2 – 4c + 1 = 0
(a – 1)2 + ( b + 2)2 + (2c – 1)2 = 0. Tứ đó suy ra a = 1, b = - 2, c =

1
2

b. bài tập : Chứng minh rằng nếu:
(x – y)2+ (y – z)2 + (z – x)2 = (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 + (x + y – 2z)2 thì x = y = z
* Lưu ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
(a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
10. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THỎA MÃN VỚI MỌI BIẾN SỐ.
Phương pháp giải:
Để chứng minh biểu thức dương với mọi x ta biến đổi về dạng: [f(x)]2+ m > 0
( với m > 0).
Để chứng minh biểu thức âm với mọi x ta biến đổi về dạng: - [f(x)]2+ n < 0
(với n < 0).
a. Ví dụ
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: x2 + x + 1 > 0 với mọi x
Giải: x2 + x + 1 = x2 + x +

1
3
1

3
1
+ = (x + )2 + > 0 với mọi x vì (x + )2 ≥ 0 với
4
4
2
4
2

mọi x.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng – 4x2 – 4x – 2 < 0 với mọi x.
Giải: – 4x2 – 4x – 2 = – [(4x2 + 4x + 1) + 1] = - [ (2x +1)2 + 1] = - (2x +1)2 – 1 < 0 với
mọi x.
11


b. Bài tập: Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau thỏa với mọi x, y:
a/ x2 + xy + y2 + 1 > 0
b/ x2 + 5y2 + 2x – 4xy – 10y + 14 > 0
* Nhận xét: Đây là phương pháp đòi hỏi học sinh vận dụng linh hoạt các hằng đẳng
thức, phải biết tách hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.
11. ÁP DỤNG VÀO SỐ HỌC
Phương pháp giải:
- Số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số nguyên k sao cho a = b.k.
- Phân tích biểu thức ra thừa số để xuất hiện số chia.
a. Ví dụ
Ví dụ 1: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 1, số tự nhiên b chia cho 5 dư 2. Chứng
minh rằng tổng bình phương của hai số a và b chia hết cho 5.
Giải: Ta có: a = 5K + 1; b = 5I + 2 (K, I ∈ N), Khi đó:
a2 + b2 = (5K + 1)2 + (5I + 2)2 = 25K2 + 10K + 1 + 25I2 + 20I + 4

= 25K2 + 10K + 25I2 + 20I + 5 = 5(5K2 + 2K + 5I2 + 4I + 1)  5
Ví dụ 2: Cho a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng a3 + b3 chia hết hết cho 3 khi và
chỉ khi a + b chia hết cho 3.
Giải: Ta có: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
Vì (a + b)  3 nên (a + b)3  3 và 3ab(a + b)  3
Do đó a3 + b3  3
b. Bài tập:
Bài 1: Cho a + b = 1. Tính giá trị M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2)
Bài 2: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp thì chia hết
cho 9.
*Nhận xét: Đây là dạng toán đòi hỏi học sinh phải có tư duy, nhớ lại kiến thức đã học
ở lớp 6: Số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu có số nguyên k sao cho a = b.k từ
đó áp dụng hằng đẳng thức để giải bài toán.
* Lưu ý:
Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức
an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b + … + abn-2 + bn-1)
do đó (an – bn)  (a- b)
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
12


1. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính
a/ (2x2 + 3y)3

1
2

b/ ( x - 3)3

Bài 2: Tính
a/ (a + b + c + d)2

b/ ( a – b + c – d)2

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
a/ 8x3 – 60x2 + 150x – 125 với x = 4
b/ - 8x3 + 36x2 – 54x + 27 với x = 1
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
a/ (a + 3)(a2 – 3a + 9) – a(a2 + 1)
b/ (x – 2)(x2 + 2x + 4) – (2 – x)(2 + x)
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a/ x2 – 20x + 101
b/ 4a2 + 4a + 2
c/ 4x – x2 + 3
Bài 6: Cho số tự nhiên n chia cho 7 dư 4. Hỏi n 2 chia cho 7 dư bao nhiêu? n3 chia cho
7 dư bao nhiêu?
2. Bài tập chứng minh:
Bài 1: Chứng minh rằng (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
Từ đó tính:
a/ (a + b)2, biết a – b = 3 và a.b = 4;
b/ (a – b)2, biết a + b = 6 và a.b = 8
Bài 2: Chứng minh rằng:
a/ x3 + y3 – xy(x + y) = (x + y)(x – y)2
b/ x3 – y3 + xy(x – y) = (x – y)(x + y)2
Bài 3: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến x:
a/ x2 – 10x + 40
b/ 4x2 + 4x + 2
Bài 4: Chứng tỏ rằng đa thức sau không phụ thuộc vào x
(x2 + 2x + 3)(3x2 – 2x + 1) – 4x(x2 – 1) – 3x(x3 + 2x)

13


Bài 5: Chứng minh rằng:
a/ a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
b/a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Năm học này tôi được nhà trường phân công giảng dạy bô môn toán 8. Rút kinh
nghiệm của những năm trước chất lượng của học sinh thấp nên ngay khi bắt đầu vào
dạy từ những hằng đẳng thức đầu tiên tôi đã mạnh dạn vận dụng đề tài này vào giải
bài tập trong các tiết luyện tập, phụ đạo thì tôi nhận thấy học sinh đã có sự đam mê
tìm tòi, hứng thú trong quá trình làm các bài tập và không thấy sợ khi gặp các bài toán
chứng minh tôi thấy tỉ lệ học sinh hiểu bài và làm bài được chiếm đa số, số lượng học
sinh yếu, lười học đã giảm, giờ học trở nên sôi động hơn, các em tích cực phát biểu
xây dựng bài hơn trước, kết quả kiểm tra học sinh đạt điểm trên trung bình tăng lên rõ
rệt so với khi chưa vận dụng đề tài. Cụ thể như sau:
Phâ
n
môn
Khi chưa áp
dụng đề tài
Sau khi áp
dụng đề tài

Đại
số 8

Si
sô

Giỏi %

Kh
á

%

T
B

%

Yê
u

%

Kém %

69

7

10,1
%

10

14,5
43,5

30
%
%

16

23,2
%

6

8,7
%

69

12

17,4
%

17

24,6
43,5
30
%
%

10

14,5
%

0

0%

V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Áp dụng hằng đẳng thức vào giải bài tập toán 8 là dạng toán đòi hỏi học
sinh phải có sự yêu thích môn học cũng như phải có khả năng tư duy sáng tạo cao. Do
đó, tùy thuộc vào đối tượng học sinh mà đưa ra các bài toán phù hợp. Đối với học
sinh trung bình, yếu giáo viên đưa ra các bài tập đơn giản áp dụng hằng đẳng thức để
giải quyết các bài tập; đối với học sinh khá giỏi, giáo viên nâng mức độ bài tập như
bài tập chứng minh, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Phương pháp dạy học rất đa dạng và phong phú, không có phương pháp nào là
hoàn toàn ưu việt. Chính vì vậy trong quá trình dạy học nói chung và dạy học môn
Toán nói riêng, giáo viên phải năng động, sáng tạo kết hợp linh hoạt giữa các phương
pháp thì chắc chắn học sinh sẽ không khó khăn gì trong khi học môn Toán.
Đồ dùng dạy học cần chuẩn bị thường xuyên và có hiệu quả cao.

14


VI. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tôn Thân và cộng sự (2009). Các dạng toán và phương pháp giải toán 8 tập 1,
tái bản lần thứ ba, Nhà xuất bản Giáo dục, Đà Nẵng.
2. Nguyễn Văn Lộc và công sự (2010). Rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán 8 tập
1, Nhà xuất bản Giáo dục, Huế.
3. Phan Đức Chính và công sự (2010). Sách giáo khoa toán 8 tập 1, tái bản lần

thứ sáu, Nhà xuất bản Giáo dục, Phú yên.
4. Tôn Thân và công sự (2006). Sách bài tập toán 8 tập 1, tái bản lần thứ hai, Nhà
xuất bản Giáo dục, TPHCM.

15


VII. PHỤ LỤC
BÀI KIỂM TRA KHI CHƯA ÁP DỤNG ĐỀ TÀI
Môn: toán 8
Câu 1: Tính:
a/ (x + 2y)2
(x + 3y)

b/ (x – 3y)

Câu 2: Tìm x, biết: (x – 3)2 – 4 = 0
Câu 3: Tính giá trị của biểu thức sau: x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101
Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức: P = x2 – 2x + 5

BÀI KIỂM TRA SAU KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI
Môn: toán 8

Câu 1:
a/ (3x – 2y)2

b/ (2x -

1 2
)

2

Câu 2: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:
2(x – y)(x + y) + (x + y)2 + (x – y)2 tại x = 1 và y = -1
Câu 3: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

16

A = 2x – 2x2 – 5


Trang
Sơ lược lý lịch khoa học .......................................................................... 2
I. Lý do chọn đề tài ................................................................................. 3
II. Cơ sở lí luận và thực tiễn .................................................................... 3
III. Tổ chức thực hiện các giải pháp......................................................... 3
A. Giải pháp: Áp dụng hằng đẳng thức vào giải bài tập toán 8.............4
1. Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để tính ...................................... 4
2. Áp dụng hằng đẳng thức chứng minh đẳng thức.............................. 5
3. Áp dụng hằng đẳng thức để tính nhanh............................................ 6
4. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức........................................7
5. Điền vào ô trống các hạng tử thích hợp ............................................8
6. Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến. 8
7. Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước.................................................9
8. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức...................10
9. Phương pháp tổng bình phương.......................................................11
10.Chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với mọi biến số.....................11
11. Áp dụng vào số học ......................................................................12
B. Bài tập áp dụng..................................................................................13

IV. Hiệu quả đề tài ..................................................................................14
V. Đề xuất, khuyến nghị khả năng áp dụng ............................................14
* Bài kiểm tra.........................................................................................16
VI. Danh mục tài liệu tham khảo ............................................................17
NGƯỜI THỰC HIỆN

Lê Thị Hồng

17