skkn PHƯƠNG PHÁP CHỌN hệ TRỤC tọa độ để GIẢI bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.01 MB, 30 trang )
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
PHƯƠNG PHÁP CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học
sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các
mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh chủ
động phân tích từng vấn đề và xác định các bước đi thích hợp. Từ thực tế giảng dạy, tôi đã
rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn học sinh lớp 12 phương pháp chọn hệ
trục toạ độ để giải một số bài toán hình học không gian, giúp các em cảm thấy thoải mái
tiếp thu và chủ động giải quyết các bài toán hình học không gian.
Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn được cùng chia sẻ cùng đồng nghiệp, đồng
môn ; cùng chung sức để tìm ra biện pháp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán .
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi
Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương trình lớp 11,
làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng
với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng, tính góc và tính khoảng cách.
Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách
diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu. Mặt khác
một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trong
không gian mà nội dung chương trình hình học lớp 12 đã nêu, một công cụ hữu ích để giải
nhiều bài toán hình học không gian.
2. Khó khăn
Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân
tích đề bài, dựng hình và định hướng cách giải quyết bài toán mà các em chỉ làm một cách
máy móc, lập luận thiếu căn cứ, thiếu chính xác, đôi lúc không phân biệt được đâu là giả
thiết, đâu là phần cần chứng minh. Do đó kết quả đạt được không như mong đợi.
Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12. Do chưa tìm ra được phương pháp
thích hợp để giải toán nên sẽ nẩy sinh nhiều vướng mắc, từ đó các em ngán ngại, thiếu hứng
thú trong học tập. Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới,
đòi hỏi sự nỗ lực và quyết tâm cao của cả thầy và trò.
3. Số liệu thống kê.
Qua thống kê sơ bộ điểm môn toán của 2 lớp; 12A7 ; 12A9 năm học 2010 - 2011,
lớp 12A3 ; 12A11 , năm học 2011 - 2012, cụ thể là kết qủa 2 bài kiểm tra như sau :
+ Bài kiểm tra một tiết (2010 - 2011 ), trong 87 bài kiểm tra có :
4 bài diểm 8
tỷ lệ 4,6 %
12 bài điểm 6, 7
tỷ lệ 13,8 %
22 bài điểm 5
tỷ lệ 25,3 %
49 bài điểm dưới 5
tỷ lệ 56,3 %
+ Bài kiểm tra một tiết (2011 - 2012 ), trong 86 bài kiểm tra có :
5 bài diểm 8
tỷ lệ 5,8 %
14 bài điểm 6, 7
tỷ lệ 16,3 %
26 bài điểm 5
tỷ lệ 30,2 %
41 bài điểm dưới 5
tỷ lệ 47,7 %
1
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Trong các lớp tôi được nhà trường phân công giảng dạy có đến 60 % học sinh có kết quả
môn toán cuối năm học 2008 - 2009 xếp loại trung bình - yếu. Qua tìm hiểu, tôi cảm nhận
được rằng trong số những em có học lực yếu, cũng có những em có kỹ năng tính toán tương
đối tốt nhưng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải toán còn rất hạn chế .
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản
cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu
một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra
phương pháp toạ độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số
thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá
và trừu tương hoá toán học trong nhiều lĩnh vực.
Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được
tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy
trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :
Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2 : Xây dựng thuật giải
Bước 3 : Thực hiện thuật giải
Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy
hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vào giải toán, nghĩa là biết
vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độ điểm, toạ độ vectơ và các công thức
có liên quan vào giải toán. Để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ ta thực hiện theo
các bước sau :
Bước 1 : Thực hiện việc chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, chú ý đến vị trí của gốc
toạ độ O, chuyển bài toán đã cho về bài toán hình học giải tích
Bước 2 : Giải bài toán hình học giải tích nói trên.
Bước 3 : Chuyển các kết luận của bài toán hình học giải tích sang các tính chất hình
học tương ứng.
Do vậy, để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ trước hết cần chọn hệ trục toạ độ
phù hợp. Việc làm này không đơn giản đối với học sinh; đòi hỏi học sinh phải có khả năng
kết hợp giữa khái quát hoá và cụ thể hoá các nội dung liên quan đến bài toán.
Các dạng toán thường gặp :
Tính độ dài đoạn thẳng
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng, hai mặt phẳng.
Tính góc giữa hai đường thẳng
Tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
Tính góc giữa hai mặt phẳng
Tính thể tích khối đa diện
Tính diện tích thiết diện
Các bài toán về quan hệ song song, vuông góc.
2
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.
Trong chương III - §1 sách giáo khoa (SGK) hình học 12 nâng cao, Đoàn Quỳnh
(Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), NXBGD 2008, đã nêu định nghĩa và một số
tính chất sau :
z
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho :
v x.i y. j z.k v ( x; y; z )
M ( x; y, z )
OM x.i y. j z.k M ( x; y; z )
Với : a ( a1 ; a2 , a3 ) và b (b1; b2 ; b3 ) , ta có :
k
a.b a . b . cos( a, b)
a.b a1b1 a2b2 a3b3
r
a a12 a22 a32
a b a.b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0
i
O
y
j
x
M1
Tích có hướng của hai vectơ
[ a, b ] (a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 )
r r
r
r r
r
a, b a ; a, b b
Tọa độ của các vectơ đơn vị :
r
i 1;0;0
r
j 0;1;0
r
k 0;0;1
a cùng phương với b [ a, b ] O
r r r
r r r
a, b, c đồng phẳng a, b c 0
a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian
Ta có : Ox, Oy, Oz vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh
vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :
Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD.A' B'C' D'
Với hình lập phương ABCD.A' B' C' D'
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
z
D’
A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C (a; a;0) ; D(0;a;0)
A '(0;0; a) ; B '(a;0; a) ; C '( a; a; a) ; D'(0;a;a)
B’
C’
Với hình hộp chữ nhật ABCD.A' B' C' D'
D
A
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
y
A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C ( a; b;0) ; D(0;b;0)
A '(0;0; c) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c)
A’
x
B
C
3
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Với hình hộp có đáy là hình thoi ABCD.A' B' C' D'
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
z
D’
A’
O’
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của
hai đường chéo của hình thoi ABCD
B’
y
C
A
D
- Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy
O
B
C
x
Bài tập áp dụng :
Bài toán 1. Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :
Cho hình lập phương ABCD.A' B' C' D' có cạnh bằng a.
a.Chứng minh rằng đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng ( AB' D' )
b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A' C và mặt phẳng ( AB' D' ) là trọng tâm G
của tam giác AB' D' .
c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( AB' D' ) và (C ' BD )
d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( DA' C ) và ( ABB ' A' )
( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
z
Chọn hệ trục toạ độ Descartes vuông
góc Oxyz như sau : O A(0;0;0) ;
A' (0;0; a ) ; B (a;0;0) ;
B' (a;0; a) ; C (a; a;0) ;
C ' (a; a; a ) ; D (0; a;0) ; D' (0; a; a )
A’
B’
G
D’
C’
D
A
B
x
a. Chứng minh : A' C ( AB' D' )
A' C AB'
A' C ( AB' D' )
A' C AD'
Nếu
y
C
A' C (a; a; a)
Ta có : AB' (a;0; a)
AD' (0; a; a )
4
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
2
2
A' C AB'
A' C. AB' a 0 a 0
Vì
2
2
A' C AD'
A' C. AD' 0 a a 0
Nên A' C mp( AB' D' )
b. Chứng minh :
G là trọng tâm của tam giác AB’D’
Phương trình tham số của đường thẳng
x t
A' C : y t (t R)
z a t
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
( AB' D' )
:x yz 0
Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng ( AB' D' )
n1 AB', AD' (a 2 ;a 2 ; a 2 )
So sánh (1) và (2), kết luận
c. Tính d ( AB' D' ), (C' BD )
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
(C ' BD )
(C ' BD ) : x y z a 0
Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng (C ' BD )
Gọi G A' C ( AB' D' )
Toạ độ giao điểm G của đường thẳng A' C và
mặt phẳng ( AB' D' ) là nghiệm của hệ :
a
x
x t
3
y t
a
a a 2a
G ; ; (1)
y
3
3 3 3
z a t
2a
x y z 0
z 3
x A xB ' xD ' a
xG
3
3
y
y
y
a
Mặt khác : yG A B ' D '
(2)
3
3
z A z B ' z D ' 2a
zG
3
3
Vậy giao điểm G của đường chéo A' C và
mặt phẳng ( AB' D' ) là trọng tâm G của tam
giác AB' D'
Ta có :
( AB' D' ) : x y z 0
(C ' BD ) : x y z a 0
( AB' D' ) // (C ' BD )
d ( AB' D' ), (C ' BD ) d B, ( AB' D' )
n2 C ' B, C ' D (a 2 ; a 2 ;a 2 )
d. Tính cos( DA' C), ( ABB' A' )
Oy ( ABB ' A' ) Vec tơ pháp tuyến của
( ABB ' A' ) là j (0 ; 1 ; 0)
Vectơ pháp tuyến của ( DA' C ) :
n3 DA', DC (0; a 2 ; a 2 ) a 2 (0;1;1)
a
3
Vec tơ pháp tuyến của ( ABB ' A' ) là j (0 ; 1 ; 0)
Vectơ pháp tuyến của ( DA' C ) : n3 (0;1;1)
cos( DA' C ), ( ABB ' A' )
1
2
( DA' C ), ( ABB ' A' ) 45
o
Bài toán 2. Cho hình lập phương ABCD.A' B' C' D' có cạnh bằng a.
Chứng minh hai đường chéo B ' D ' và A' B của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B ' D ' và A' B
5
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Hướng dẫn
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Oxyz như sau :
Bài giải
z
A’
O A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) ;
B (0; a;0) ; B ' (0; a; a )
C (a; a;0) ; C ' (a; a; a )
D(a;0;0) ; D ' ( a;0; a )
D’
B’
C’
y
A
D
B
C
x
Chứng minh B ' D ' và A' B chéo
nhau, ta chứng minh ba vectơ
B' D'; A' B, BB ' không đồng
phẳng.
Cần chứng minh:
A' B (0; a;a) ;
B' D', A' B.BB' a
BB ' (0;0; a)
2
2
2
B' D', A' B (a ; a ; a )
3
0
ba vectơ B' D'; A' B, BB ' không đồng phẳng.
hay B ' D ' và A' B chéo nhau.
uuuuur uuuur uuur
B ' D ', A ' B .BB ' 0
Tính d B' D' , A' B theo công thức:
d B' D' , A' B
Ta có : B' D' (a;a;0)
d B' D' , A' B
[ B' D', A' B].BB '
a3
a a a
4
4
4
a3
a
2
3
a 3
3
[ B' D', A' B]
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
z
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và
đường cao SO a 6
S
y
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
a 2
a 2
;0;0 ; C
;0;0
2
2
Khi đó : A
a 2 a 2
B 0;
;0 ; D 0;
;0 ; S (0;0; a 6 )
2
2
D
A
O
B
C
x
6
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Bài tập áp dụng :
Bài toán 3 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a .
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Hướng dẫn
Bài giải
z
Dựng hình :
S
Gọi O AC BD SO ( ABCD )
SO SC 2 OC 2 a 2
a2 a 2
2
2
Chọn hệ trục toạ độ như sau :
a 2
O (0;0;0) ; S 0;0;
;
2
a 2
a 2
;0;0
A
; C
;0;0
2
2
a 2
a 2
; B 0;
D 0;
;
0
;0
2
2
y
A
D
O
B
(SCD):
a 2
2
y
z
a 2 a 2
2
2
a 2
x yz
0
2
1
x
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Phương trình mặt phẳng (SCD)
x
C
VS . ABCD
1
1 a 2 a3 2
SO.S ABCD .
.a
3
3 2
6
b.Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD): x y z
d A, ( SCD)
a 2
0
2
a 2 a 2
2
2
3
a 2 a 6
(đvđd)
3
3
Bài toán 4 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN và AC.
( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )
7
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Hướng dẫn
Bài giải
z
Dựng hình :
Gọi O là tâm của hình vuông
ABCD SO ( ABCD )
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyz như sau :
O (0;0;0) ; S 0;0; h ;
a 2
a 2
;0;0
A
; C
;0;0
2
2
a 2
a 2
; B 0;
D 0;
;
0
;0
2
2
Toạ độ trung điểm P của SA
a 2
a 2 a 2
h
; 0 ; ; E
;
; h
P
4
2
2
2
a 2 a 2 h a 2 a 2
M
;
; N
;
;0
2
4 2 4
4
Tính (theo a) khoảng cách giữa hai
đường thẳng MN và AC.
Chứng minh MN và AC chéo nhau
Sử dụng công thức tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau
S
E
P
M
y
A
D
O
B
N
C
x
uuuur 3a 2
h uuur
MN
;0; ; BD (0; a 2;0)
2
4
Vì : MN .BD 0 MN BD
uuuur uuur
ah 2
Ta có : MN , AC 0;
;0
2
uuuur
a 2 h
AM 0;
;
4
2
uuuur uuur uuuur a 2 h
0
Vì : MN , AC . AM
4
MN và AC chéo nhau
a 2h
[ MN , AC ]. AM
a 2
d MN , AC
4
4
a 2h2
[ MN , AC ]
2
Bài toán 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình thoi. AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2;0;0) ; B (0;1;0) ; S (0;0;2 2 ) . Gọi M là trung
điểm của SC .
1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 )
8
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
z
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như sau :
O (0;0;0) ; A(2;0;0) ; B (0;1;0) ;
S
S (0;0;2 2 )
M
N
Ta có :
C (2;0;0) ; D(0;1;0) ; M (1;0; 2 )
SA 2;0;2 2 ; BM 1;1; 2
1a.Tính góc giữa SA và BM
Gọi là góc giữa SA và BM
Sử dụng công thức tính góc giữa hai
đường thẳng.
C
D
O
A
x
B
y
Ta có :
SA.BM
cos cos SA, BM
SA BM
3
2
30o
1b. Tính khoảng cách giữa SA và BM
[ SA, BM ] (2 2 ;0;2) ; AB (2;1;0)
Chứng minh SA và BM chéo nhau
Sử dụng công thức tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau
[ SA, BM ]. AB 4 2 0
d ( SA, BM )
[ SA, BM ]. AB
[ SA, AB]
2. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
Dễ dàng nhận thấy :
MN ( ABM ) ( SCD)
VS . ABMN VS . ABM VS . AMN
Trong đó :
VS . ABM
VS . AMN
1
[ SA, SM ].SB
6
1
[ SA, SM ].SN
6
Kết luận:
4 2
2 6
3
84
MN // AB // CD N là trung điểm của SD
1
Toạ độ trung điểm N 0; ; 2
2
SA (2;0;2 2 ) ;
SM (1;0; 2 )
SB (0;1;2 2 ) ;
SM (1;0; 2 )
[ SA, SM ] (0;4 2 ;0)
1
4 2 2 2
[ SA, SM ].SB
6
6
3
1
2 2
2
[ SA, SM ].SN
6
6
3
VS . ABM
VS . AMN
Vậy VS . ABMN VS . ABM VS . AMN 2 (đvtt)
9
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)
z
ABCD là hình chữ nhật AB a; AD b
chiều cao bằng h
S
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
sao cho A(0;0;0)
D y
A
Khi đó : B a;0;0 ; C a; b;0
D 0; b;0 ; S (0;0; h)
O
B
C
x
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi và SA (ABCD)
z
S
ABCD là hình thoi cạnh a
chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho O(0;0;0)
D y
A
O
B
C
x
Bài tập áp dụng :
Bài toán 6 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ( ABCD); SA 2a .
Mặt phẳng qua BC hợp với AC một góc 300 , cắt SA, SD lần lượt tại M, N. Tính diện
tích thiết diện BCNM
Hướng dẫn
Bài giải
z
Dựng hình :
S
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau :
M
A(0;0;0) ; B a;0;0 ; C a; a;0 ;
D 0;2a;0 ; S 0;0;2a
N
D
A
Đặt AM h 0 h 2a
y
M 0;0; h
Xác định vị trí điểm M
B
x
C
10
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
uuuur
uuur
BM a;0; h ; BC 0; a;0
uuuur uuur
BM , BC ah;0; a 2 a h;0; a
Nguyễn Thanh Lam
Pháp vectơ của mặt phẳng :
uur
uur
uuuur uuur
n BM , BC n h;0; a
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC :
uuur
r
AC a; a;0 a 1;1;0 u 1;1;0
uuur
AC a; a;0 a 1;1;0
mặt phẳng hợp với AC một góc 300
Ta có :
MN (SAD)
MN / / BC / / AD
BC / / AD
BC ( SAB) BC BM
uur r
n
1.h 1.0 0.a
.u
sin 300 uur r
n u
1 1 0 h2 0 a 2
h
1
h 2 h2 a 2
2
2 h2 a 2
h a M là trung điểm của SA
MN / / BC
BCNM là hình thang vuông
BM BC
+
ABM vuông cân tại A BM a 2
1
a
MN AD
2
2
+ Diện tích thiết diện BCNM :
S BCNM
1
3a 2 2
BM MN BC
2
4
Bài toán 7 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ( ABCD); SA a 2 .
Mặt phẳng P qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P.
a/ Chứng minh : Tứ giác AMNP có hai đướng chéo vuông góc với nhau.
b/ Tính diện tích của tứ giác AMNP.
Hướng dẫn
Bài giải
S
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau :
N
D y
A
.
uuur
ur
SC a; a; a 2 a 1;1; 2 au1
uur
uur
SB a;0; a 2 a 1;0; 2 au2
uuur
uur
SC 0; a; a 2 a 0;1; 2 au3
P
M
A(0;0;0) ; B a;0;0 ; C a; a;0 ;
D 0; a;0 ; S 0;0; a 2
z
B
O
C
x
11
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
uuur uuur
Cần chứng minh: AN .MP 0
+ Tìm toạ độ điểm N.
N SC P
Nguyễn Thanh Lam
a/ Chứng minh : AN MP
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với
ur
SC (P) nhận vectơ u1 1;1; 2 làm vectơ
pháp tuyến.
( P) : x y 2 z 0
ur
SC qua C a; a;0 và nhận u1 1;1; 2 làm
vec tơ chỉ phương.
x a t
SC : y a t
z 2t
N SC P .Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ:
a
t 2
x a t
x a
y a t
a a a 2
2
N ; ;
2 2 2
z 2t
y a
2
x y 2z 0
z a 2
2
uur
+ Tìm toạ độ điểm M.
M SB P
SB qua B a;0;0 và nhận u2 1;0; 2 làm
vec tơ chỉ phương.
x a t
SB : y 0
z 2t
M SB P .Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ:
a
t 3
x a t
y 0
x 2a
2a
a 2
3 M ;0;
3
3
z 2t
y 0
x y 2z 0
a 2
z 3
12
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
uur
SD qua D 0; a;0 và nhận u3 0;1; 2 làm
+ Tìm toạ độ điểm P.
vec tơ chỉ phương.
P SD P
x 0
SD : y a t
z 2t
P SD P .Toạ độ điểm P là nghiệm của hệ:
a
t 3
x 0
y a t
x 0
2a a 2
2a P 0; ;
3
3
z 2t
y 3
x y 2z 0
a 2
z 3
uuur
uuur
+ Tìm toạ độ vectơ AN và MP
uuur uuur
+ Tính : AN .MP
Tứ giác ANMP có hai đường
chéo AN và MP vuông góc với
nhau
uuur a a a 2
AN ; ;
AN a
2 2 2
uuur 2a 2a
2a 2
MP ; ;0 MP
3
3 3
uuur uuur a 2a a 2a a 2
AN .MP .
.0 0
2 3 2 3
2
AN MP
Tứ giác ANMP có hai đường chéo vuông góc
với nhau
b/ Tính diện tích của tứ giác AMNP.
S ANMP
1
1 2a 2 a 2 2
AN .MP .a.
2
2
3
3
Với hình chóp tam giác đều S.ABC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
z
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và
S
đường cao bằng h . Gọi I là trung điểm
của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
a
a
Khi đó : A ;0;0 ; B ;0;0
2
2
a 3 a 3
C 0;
;0 ; S 0;
; h
2
6
(đvdt)
y
C
A
I
H
B
x
13
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại A
z
Tam giác ABC vuông tại A có
AB a; AC b đường cao bằng h .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó : B a;0;0 ; C 0; b;0
S
S 0;0; h
y
C
A
x
B
Với hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ABC vuông tại B
Tam giác ABC vuông tại B có
BA a; BC b đường cao bằng h .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho B(0;0;0)
Khi đó : A a;0;0 ; C 0; b;0
z
S
y
x
S a;0; h
C
A
B
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông tại C
ABC vuông tại C CA a; CB b
chiều cao bằng h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho C(0;0;0)
Khi đó : A a;0;0 ; B 0; b;0
z
S
y
x
A
B
H
C
a b
S ( ; ; h)
2 2
14
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông tại A
z
ABC vuông tại A AB a; AC b
chiều cao bằng h
S
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
C
A
y
Khi đó : B a;0;0 ; C 0; b;0
H
B
a
S (0; ; h)
2
x
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), SAB cân tại S
và ABC vuông cân tại C
Tam giác ABC vuông cân tại C có
CA CB a đường cao bằng h .
z
S
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho H(0;0;0)
a
a
;0;0 ; A 0;
;0
2
2
a
B 0;
;0 ; S 0;0; h
2
Khi đó : C
y
A
H
B
C
x
Bài tập áp dụng :
Bài toán 8. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại
đỉnh O. Gọi , , lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng
(ABC).Chứng minh rằng : cos 2 cos 2 cos 2 1
( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000,
SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
15
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Hướng dẫn
Dựng hình :
Bài giải
z
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau : O (0;0;0) ; A(a;0;0) ;
B(0; b;0) C (0;0; c) ;
C
AB (a ; b ; 0)
y
O
AC (a ; 0 ; c)
B
C’
A
x
Tìm vectơ pháp tuyến của :
Mặt phẳng (ABC)
Mặt phẳng (OBC)
Mặt phẳng (OCA)
Mặt phẳng (OAB)
Sử dụng công thức tính góc giữa hai
mặt phẳng:
i ( 1, 0, 0)
vì : Ox (OBC )
j ( 0, 1, 0)
vì : Oy (OCA)
k ( 0, 0, 1)
vì : Oz (OAB )
cos cos(OBC ), ( ABC )
cos cos(OBC ), ( ABC )
cos cos(OBC ), ( ABC )
Kết luận
n AB, AC (bc ; ac ; ab)
cos
cos
cos
b.c
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
c.a
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
a.b
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
cos 2 cos 2 cos 2
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
1
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
Bài toán 9 . Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC);
AC AD 4cm ; AB 3cm ; BC 5cm . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD)
( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
z
ABC có : AB 2 AC 2 BC 2 25 nên
D
vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ
Đêcac vuông góc Oxyz như sau
O A(0;0;0) ; B(3;0;0) ; C (0;4;0)
D(0;0;4) ;
Tính : AH d A, ( BCD)
A
B
H
C
y
I
x
16
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Viết phương trình tổng quát của mặt
phẳng (BCD)
Nguyễn Thanh Lam
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)
( BCD ) :
Sử dụng công thức tính khoảng cách
từ một điểm đến một mặt phẳng
x y z
1 4 x 3 y 3z 12 0
3 4 4
d A, ( BCD )
12
16 9 9
12
6 34
17
34
Bài toán 10 . Cho hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận
AB a (a 0) là đoạn vuông góc chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho
AM BN 2a . Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABMN. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
z
B
Dựng Ay' // By Ax Ay'
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Axy' z như sau :
A(0;0;0) ; B (0;0; a ) ; M (2a;0;0)
N
A
N (0;2a; a)
I
M
Toạ độ trung điểm I của MN
a
Ia ; a ;
2
y
y'
x
Hai tam giác AMN và BMN là hai tam
giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên
a
2
1a. Xác định tâm I của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABMN
trung điểm I a ; a ; của MN là tâm
Ax By
Ax Ay'
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN
Chú ý :
1b.Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABMN
Ta có : MN a(2 ; 2 ; 1)
Bán kính mặt cầu : R
MN 3a
2
2
Ta có : AM (2a;0;0) ;
2. Tính d ( AM , BI )
Chứng minh AM và BI chéo
nhau
Sử dụng công thức tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau
a
BI a; a; ; AB (0;0; a)
2
[ AM , BI ] (0; a 2 ;2a 2 )
d ( AM , BI )
[ AM , BI ]. AB
[ AM , BI ]
2a 5
5
17
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Bài toán 11 . Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC
vuông tại A; AD a, AC b, AB c .
a. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c
b. Chứng minh rằng : 2S abc a b c
Hướng dẫn
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
z
D
Khi đó : B c;0;0 ; C 0; b;0
D 0;0; a
uuur
Ta có : BC c; b;0
uuur
BD c;0; a
uuur uuur
BC , BD ac; ac; bc
y
C
A
x
B
a. Tính diện tích S của tam giác BCD
1 uuur uuur
1 2 2
S BC , BD
a b a 2 c 2 b 2c 2 b.
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
a 2b 2 b 2 c 2 2ab 2 c
b 2 c 2 c 2 a 2 2abc 2
c 2 a 2 a 2b 2 2a 2bc
Chứng minh : 2S abc a b c
Ta có :
abc a b c a 2bc b 2 ac c 2 ab
b2 c 2 2 a 2 c 2 2 a 2 b2
a2
b
c
2
2
2
a 2b 2 a 2 c 2 b 2 c 2 2S BCD
Bài toán 12 . Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh đáy bằng a . Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN. Biết
rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
a 3
a
Bài giải
z
S
M
Khi đó : A 0;
;0 ; B ;0;0
2
2
a 3 a 3
S 0;
; h ; H 0;
;0
6
6
a a 3 h a a 3 h
M ;
; ; N ;
;
4 12 2 4 12 2
a
C ;0;0 ;
2
y
N
A
B
I
H
C
x
18
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
+ vectơ pháp tuyến của mp (AMN) :
ur
uuuur uuur
ah 5a 2 3
n1 AM , AN 0; ;
24
4
uuuur a 5a 3 h
AM ;
;
12 2
4
uuur a 5a 3 h
AN ;
;
12 2
4
uur a a 3
SB ;
; h
6
4
uuur a a 3
SC ;
; h
6
2
ur uur
ur uur
AMN SBC n1 n2 n1.n2 0
+ vectơ pháp tuyến của mp (SBC) :
uur
uur uuur
a2 3
n2 SB, SC 0; ah;
6
Diện tích tam giác AMN :
SAMN
a 2 h 15a 4
a 2 h 15a 4
0
4
24.6
16
242
1 uuuur uuur 1 a 2 h 2 75a 4
AM , AN
2
2 16
242
1 15a 4 75a 4
1
a 2 10
4
(đvdt)
90
a
2 242
242
48
16
Bài toán 13 . Cho hình chóp O.ABC có OA a; OB b; OC c đôi một vuông góc. Điểm M
cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC); (OCA);
(OAB) là 1; 2; 3. Tính a; b; c để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn
Bài giải
z
Dựng hình :
C
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau : O (0; 0; 0)
A a;0;0 ; B 0; b;0 ; C 0;0;c
M
d M ,(OBC ) 1 xM 1
d M ,(OCA) 2 yM 2
B
H
d M ,(OAB) 3 zM 3
M 1;2;3
uuur
A a;0;0 OA (a;0;0)
uuur
B 0; b;0 OB (0; b;0)
uuur
C 0;0; c OC (0;0; c)
y
O
E
A
x
+Thể tích khối chóp O.ABC
VO. ABC
1 uuur uuur uuur 1
OA, OB OC abc
6
6
+ Phương trình mặt phẳng (ABC) :
x y z
1
a b c
1 2 3
M ( ABC ) 1
a b c
(ABC) :
19
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
1 2 3
a 3
a b c
b 6
Giải hệ :
1 2 3 1 c 9
a b c
1 2 3
1 2 3
6
33 . . 33
a b c
a b c
abc
1
abc 27
6
a 3
1 2 3
MinVO. ABC 27 b 6
a b c
c 9
1
Bài toán 14 . Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC,
khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) vuông góc nhau.
Hướng dẫn
Bài giải
Gọi H là tâm của ABC và M là trung
điểm của BC
z
SA SB SC
u)
HA HB HC (ABC ñeà
S
Ta có:
Dựng hệ trục tọa độ Axyz,
với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc
A(0; 0; 0),
H
a a 3 a a 3 a 3 a 3
B ;
; 0 , C ;
; 0 , H 0;
; 0 , S 0;
; h
2
3
2 2
2 2
uuur a 3 uur a a 3
uuur a a 3
SA 0;
; h , SB ;
; h , SC ;
; h
3
2 6
2 6
uuur a 3 uur a a 3
uuur a a 3
SA 0;
; h , SB ;
; h , SC ;
; h
3
2
6
2
6
r
với n1 (3h 3; 3h; a 3)
C
A
x
M
y
B
Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương
uuur uur
r
SA; SB nên có pháp vectơ n1 .
Mặt
(SAC) có cặp vectơ chỉ phương
uuur phẳng
uuur
r
SA; SC nên có pháp vectơ n2 .
r r
(SAB) (SAC) cos(n1; n2 ) 0
3h 3.3h 3 3h.3h a 3(a 3) 0 27h2 9h2 3a2 0
18h2 3a2 h
Vậy: h
a 6
.
6
a 6
.
6
20
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Bài toán 15 . Cho tứ diện OABC có đáy là OBC vuông tại O, OB = a, OC = a 3, (a 0)
và đường cao OA a 3 . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và OM.
Hướng dẫn
Bài giải
z
Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz
đôi một vuông góc O(0; 0; 0),
a 3 A
N
A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0),
a a 3
a 3 a 3
M ;
; 0 và N 0;
;
2
2
2 2
là trung điểm của AC.
C
O
y
a 3
M
B
a
x
MN là đường trung bình của ABC
AB // MN
AB // (OMN)
d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)).
uuuur a a 3 uuur a 3 a 3
OM ;
; 0 , ON 0;
;
2
2
2
2
uuuur uuur 3a2 a2 3 a2 3 a2 3
a2 3 r
[OM; ON] ;
;
3;
1;
1
n
4
4
4
4
4
r
với n ( 3; 1; 1)
Phương trình mp (OMN) qua O với pháp
r
vectơ n : 3x y z 0 Ta có:
d(B; (OMN))
3.a 0 0
3 1 1
Vậy, d(AB; OM)
a 3 a 15
5
5
a 15
.
5
Bài toán 16 . Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a,
cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm SC. Chứng minh MAB cân
và tính diện tích MAB theo a.
21
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
Hướng dẫn
Bài giải
z
2a
Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz,
S
với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc
M
và A 0;0;0 ; C 0; a 5;0 ;
H
A
2a a
;
;0
S 0;0;2a ; B
5 5
C
y
a 5
K
x
a
B
5
ABC vuông tại B có:
AC2 AB2 BC2 a2 4a2 5a2
AC a 5
Dựng BH AC (H AC), ta có:
AB2
a2
a
AC a 5
5
1
1
1
5
2a
2 BH
2
2
2
BH
AB BC
4a
5
a 5
Tọa độ trung điểm M của SC là M 0;
; a
2
uuuur a 5
3a
Ta có: MA 0;
; a MA
2
2
AH
uuur 2a 3a
3a
MB
;
; a MB .
2
5 2 5
suy ra: MA = MB
MAB cân tại M.
Ta có:
uuuur uuur
uuuur uuur
a2
2a2 2
[MA; MB]
;
; a [MA; MB] a2 2
5
5
Diện tích MAB:
SMAB
1 uuuur uuur
1 2
a2 2
[MA; MB] .a 2
.
2
2
2
22
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Nguyễn Thanh Lam
MỘT SỐ DẠNG HÌNH CHÓP KHÁC.
Bài toán 17 . Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D với
AD CD a ; AB 3a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt
đáy một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
(Trích đề tuyển sinh ĐH khối A năm 2011)
Hướng dẫn
Bài giải
Chọn B làm gốc tọa độ, ta có:
z
S
B 0;0;0 ; A 2a;0;0 ;
S 2a;0; 2a 3 ; N a; a;0
uuur
uuur
AB 2a;0;0 ; SN a; a; 2a 3 ;
uuur
NA a; a;0
x
N
A
C
M
E
B
uuur uuur
AB, SN 0; 4a 2 3; 2a 2
uuur uuur uuur
AB, SN NA 4a3 3
AB và SN chéo nhau.
uuur uuur uuur
AB, SN NA
4a 3 3
d AB, SN
uuur uuur
AB, SN
48a 4 4a 4
4a 3 3 2a 39
13
2a 2 13
Bài toán 18 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA a ;
SB a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc
giữa hai đường thẳng SM, DN
( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 )
Hướng dẫn
Bài giải
Dựng hình :
z
S
Gọi H là hình chiếu vuông góc
của S trên AB SH (ABCD)
Ta có : SA2 SB 2 a 2 3a 2 AB 2
SAB vuông tại S SM a
a 3
Do đó : SAM đều SH
2
A
D
K
H
B
x
y
M
N
C
23
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyz như sau : H (0;0;0) ;
S 0;0;
a 3
;
2
a
A ;0;0 ;
2
3a
a
B ;0;0 ; D ; 2a;0 ;
2
2
a
3a
M ; 0; 0 ;
N ; a;0
2
2
uuur a
a 3
SM ;0;
2
2
uuur 3a
a 3
SN ; a;
2
2
uur 3a
a 3
SB ;0;
2
2
uuur a
a 3
SD ; 2a;
2
2
uuur
DN 2a; a;0
+ Công thức tính góc giữa SM, DN
uuur uuur
SM .DN
cos SM , DN uuur uuur
SM . DN
Nguyễn Thanh Lam
+ Thể tích khối chóp S.BMDN
VS .BMDN VSMNB VSMND
2
2
uuur uuur
2
SM , SN a 3 ; a 3 ; a
2
2
2
3
3
uuur uuur uur
uuur uuur uuur
SM , SN SB a 3 ; SM , SN SD 3a 3
2
2
3
uuur
uuu
r
uur
1
a 3
VSMNB SM , SN SB
6
12
1 uuur uuur uuur a 3 3
VSMND SM , SN SD
6
4
VS . BMDN VSMNB VSMND
a3 3 a3 3 a3 3
12
4
3
+ Tính cosin của góc giữa SM, DN
a2
1
cos SM , DN
2
2
5
a 3a
4a 2 a 2
4
4
·
·
ABC 900
Bài toán 19 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , BAD
AB BC a , AD 2a , SA vuông góc với đáy và SA 2a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm
của SA và SD. Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp
S.BCNM theo a
( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 )
Hướng dẫn
Bài giải
z
Dựng hình :
S
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyz như sau :
A(0;0;0) ; B a;0;0 ; C a; a;0 ;
D 0;2a;0 ; S 0;0;2a
D
A
M 0;0; a ; N 0; a; a
uuuur
uuur
MN 0; a;0 ; BC 0; a;0
uuur
MB a;0; a
N
M
y
B
x
C
24
Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian
uuur
uuur
SM 0;0; a ; SC a; a; a
uur
uuur
SB a;0; 2a ; SN 0; a; a
uuur uuur
SM , SC a 2 ; a 2 ;0
Nguyễn Thanh Lam
+ Chứng minh BCNM là hình chữ nhật
uuuur uuur
MN BC
BCNM là hình chữ nhật
uuuur uuur
MN .MB 0
+ Tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a
uuur uuur uur
SM , SC SB a 3
uuur uuur uuur
SM , SC SN a3
VS .BCNM VSMCB VSMCN
1 uuur uuur uur a 3
VSMCB SM , SC SB
6
6
uuur
uuu
r
uuu
r
1
a3
VSMCN SM , SC SN
6
6
VS . BCNM VSMCB VSMCN
a3
3
(đvtt)
·
ABC BAD
900 AB BC a ,
Bài toán 20 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang , ·
AD 2a , SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng
minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 )
Hướng dẫn
Bài giải
z
Dựng hình :
S
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau :
A(0;0;0) ; B a;0;0 ; C a; a;0 ;
D 0;2a;0 ; S 0;0;2a
H
A
uur
SB a;0; a 2
uuur
SC a; a; a 2
uuur
SD 0; 2a; a 2
uuur uuur
SC , SD a 2 2; a 2 2; 2a 2
a 2 2 1;1; 2
(t R )
D
y
B
C
+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB
Phương trình tham số của SB :
x a at
SB : y 0
z a 2t
I
x
+ Chứng minh tam giác SCD vuông
uuur
uuur
SC a; a; 2a ; CD a; a;0
uuur uuur
SC.CD 0 SC CD
Tam giác SCD vuông tại C
25
