Đề thi và đáp án kì thi chọn HSG cấp tỉnh Bà RịaVũng Tàu năm 20082009

SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT , NĂM HỌC 2008-2009

MÔN THI : TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài :180 phút

Bài 1 ( 4 điểm)
Cho hàm số: y = x 3 − 3x + 2 có đồ thị là ( C) và một điểm M thay đổi trên đường thẳng
(D) có phương trình: y = -3x + 2. Biện luận số tiếp tuyến kẻ được từ M tới ( C).
Bài 2 ( 4 điểm)
Tính các góc của tam giác ABC biết:
5
cos 2A + 3 ( cos 2B + cos 2C ) + = 0
2

Bài 3 ( 4 điểm)
Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính bằng a. O nhìn các cạnh AB, BC,
CD, DA một góc 60o. Tìm tứ diện có thể tích lớn nhất.
Bài 4 ( 4 điểm)
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (u n ) biết rằng:
 u1 = 2

3
 u n +1 = 9u n + 3u n ; (n = 1, 2,3...)

Bài 5 ( 4 điểm)
Hãy tìm hàm số f (x) xác định trên tập hợp các số thực không âm, nhận giá trị cũng trong
tập đó và thỏa 3 điều kiện sau:
1) f ( x.f (y) ) .f (y) = f (x + y), ∀x, y ≥ 0
2) f (2) = 0
3) f (x) ≠ 0 , ∀x ∈ [ 0;2 ) .

------------------------------------------------------ HẾT --------------------------------------------------------Họ và tên thí sinh:
Chữ ký giám thị 1:

Số báo danh:


SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO
TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 12 THPT , NĂM HỌC 2008-2009

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN-ĐỀ CHÍNH THỨC
( Hướng dẫn chấm có : 2 trang )
Bài 1 ( 4 điểm)
Gọi M(a;-3a +2) và (d) là đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k. Phương trình của (d)
là: y = k(x – a) -3a +2.
1đ
3
 x − 3x + 2 = k(x − a) − 3a + 2
⇔
(d) tiếp xúc với ( C)
 2

(2)
3x − 3 = k

(1)

1đ

Thay k từ (2) vào (1) ta:
 x = 0(kep)

x − 3x + 2 = (3x − 3)(x − a) − 3a + 2 ⇔ x (2x − 3a) = 0 ⇔ 
3a
 x = 2
3

2

2

1đ

Biện luận: - Nếu a=0, có một tiếp tuyến ( khi đó (d) trùng với (D) và M là điểm uốn của ( C))
- Nếu a khác 0, qua M có hai tiếp tuyến.
1đ
Bài 2 (4 điểm)
2
Đẳng thức đã cho ⇔ 2 cos A − 1 + 2 3 [ cos(B + C).cos(B − C) ] +

5
=0

2

⇔ 4 cos2 A − 4 3 cos A.cos(B − C) + 3 = 0

1đ
1đ

2

⇔  2 cos A − 3 cos(B − C)  + 3sin 2 (B − C) = 0

1đ

sin(B − C) = 0
B − C = 0
0


 A = 30
⇔
⇔
⇔


3
3
0
cos(B − C) cos A =
 B = C = 75
cos A =


2

2

1đ

Bài 3 ( 4 điểm )
Tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính bằng a . O nhìn các cạnh AB , BC, CD
, DA một góc bằng 600 suy ra AB = BC = CD = DA = a
1đ
⊥
⊥
Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC , BD ta có MN AC , BD (NAC)
1
3

Đặt AC = x , BD = y ta có VABCD = S NAC BD =

1
xy 4a 2 − x 2 − y 2
12

1đ

Áp dụng bất đẳng thức Cau Chy ta có:
3

VABCD

3
1
1
1  4a 2 − x 2 − y 2 + x 2 + y 2 
2a
= S NAC BD =
(4a 2 − x 2 − y 2 ) x 2 y 2 ≤
=

÷
3
12
12 
3
9 3


Dấu = xảy ra khi x = y =

2a
3

1,5đ


Vậy tứ diện thoả đề bài là tứ diện có AB = BC = CD = DA = a , AC = BD =

2a
3

0,5đ

Bài 4 ( 4 điểm)
 V1 = 6

Đặt Vn = 3u n . Ta có: 

1đ

3
 Vn +1 = Vn + 3Vn
 x1 + x 2 = 6
Chọn x1 , x 2 sao cho: 
 x1x 2 = −1
1−1

1−1

+/ Với n = 1, ta có: V1 = 6 = x1 + x 2 = x13 + x 32
k −1

1đ

k −1

+/ Với n = k, giả sử: Vk = x13 + x 32

(

k −1

k −1

+/ Với n = k+1, ta có: Vk +1 = Vk3 + 3Vk = x13 + x 32
k

k −1

k

= x13 + x 32 + 3(x1x 2 )3
n

)

(x

3

(

k −1

k −1

+ 3 x13 + x 32

3k −1
1

k −1

+ x 32

) + 3( x

)

3k −1
1

k −1

+ x 32

) =x

3k
1

n

Suy ra, theo nguyên lý quy nạp thì: Vn = x13 + x 32 ; ∀n ∈ N *
1

k

+ x 32

1,5đ

Vậy: u n = (3 − 10)3 + (3 + 10) 3  ( vì x1 , x 2 là nghiệm của pt x 2 − x − 1 = 0) 0,5đ
3
Bài 5 ( 4 điểm)
Trong 1) cho y = 2 ta có: f ( x.f (2) ) .f (2) = f (x + 2) ⇒ f (x + 2) = 0; ∀x ≥ 0.
1đ
n −1

n −1

Vì f (x) ≠ 0, ∀x ∈ [ 0;2 ) ⇒ t = x + 2 ≥ 2 . Do đó f (t) = 0, ∀t ≥ 2 hay f (x) = 0, ∀x ≥ 2.
Vậy:

 ≠ 0 neu 0 ≤ x < 2
f (x) = 
0 neu x ≥ 2

1đ

Bây giờ ta chỉ cần tìm hàm f(x) với x ∈ [ 0;2 ) . Khi đó: 2-x > 0 nên:
f ( (2 − x)f (x) ) f (x) = f (2 − x + x) = f (2) = 0

⇒ f ( (2 − x)f (x) ) = 0 ⇒ (2 − x)f (x) ≥ 2 ⇒

1
2−x
≤
f (x)
2

1đ

Do f ( (y − x)f (x) ) ≠ 0 ⇒ (y − x).f (x) < 2 . Ta cho x cố định, còn y → 2 (do tính liên tục)
thì ta có:
2−x
1
2−x
2
≤
≤
⇒ f (x) =
.
2
f (x)
2
2−x
 2
, x ∈ [ 0;2 )

Tóm lại: f (x) =  2 − x
0
x ∈ [ 2; +∞ )


1đ

LƯU Ý:
- Tổ chấm thống nhất điểm thành phần đến 0,25đ
- Thí sinh có lời giải đúng trong phạm vi kiến thức của chương trình (khác với đáp án)
thì vẫn cho điểm tối đa của phần đó.

- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,5.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------