skkn dạy giải toán tìm số trung bình cộng cho học sinh lớp 4

PHẦN I: THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1.Tên sáng kiến: “ Sáng kiến dạy giải toán Tìm số trung bình cộng cho học
sinh lớp 4”.
2.Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : dành cho HS lớp 4
3.Tác giả:
Họ và tên: Trần Thị Vân
Nam(nữ) : Nữ
Ngày tháng năm sinh : 02 – 10 – 1966
Trình độ chuyên môn : Đại học
Chức vụ đơn vị công tác : Tổ trưởng Tổ 4 + 5 trường Tiểu học Sao Đỏ 2 – Chí
Lnh – Hải Dương.
Số điện thoại : 0936 164 875
4.Các điều kiện để áp dụng sáng kiến
- Có ít nhất 2 lớp 4 : 1 lớp thực nghiệm và một lớp đối chứng.
- Đối tượng học sinh tiểu học lớp 4 học chương trình 165 tuần và có thể áp
dụng cho học sinh ở tất cả các vùng miền khác nhau.
5. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Từ tháng 9 năm 2014

HỌ TÊN TÁC GIẢ(KÝ TÊN)

XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ
ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Trần Thị Vân

1


PHẦN II : TÓM TẮT NỘI DUNG SÁNG KIẾN
1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến:
Nghiên cứu việc giảng dạy môn Toán, nội dung kiến thức “Dạy giải toán

trung bình công cho học sinh lớp 4” trong môn Toán lớp 4 tại trường tiểu học
sở tại do tôi đang công tác qua, điều tra nắm rõ thực trạng học tập của học sinh,
từ đó đề xuất một số giải pháp nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy nội dung
kiến thức về giải toán TBC ở lớp 4.
2.Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến:
- Có ít nhất 2 lớp 4 : 1 lớp thực nghiệm và một lớp đối chứng.
- Đối tượng học sinh tiểu học lớp 4 học chương trình 165 tuần và có thể áp
dụng cho học sinh ở tất cả các vùng miền khác nhau.
- Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Từ tháng 9 năm 2014 – Thời gian thử
nghiệm là cuối học kì 1 ( đầu thàng 12)
3.Nội dung sáng kiến
3.1.Tính mới, tính sáng tạo của sáng kiến:
- Đây là sáng kiến lần đầu tiên được triển khai áp dụng tại trường tiểu học nơi
tôi công tác.
- Điểm mới nhất của sáng kiến là hướng dẫn giáo viên lựa chọn nội dung giảng
dạy, hệ thống bài tập phù hợp với chuẩn kiến thức kĩ năng về nội dung trong
chương trình Toán 4, phát triển năng
- Giúp học sinh nhận dạng, hiểu đúng các yếu tố của bài toán dạng toán TBC
- Hướng dẫn học sinh cách vẽ sơ đồ đoạn thẳng biểu thị nội dung bài toán và số
TBC.

2


- Rèn kĩ năng giải các dạng toán điển hình qua 4 bước.
- Phát triển năng lực học tập cho học sinh qua việc vận dụng một số kiến thức
cơ bản của TBC.
3.2.Khả năng áp dụng của sáng kiến:
- Có khả năng áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trên lớp, phù hợp với sự phân
hóa đối tượng học sinh và phát triển tư duy cho HS có năng lực, giúp các em có

thêm hứng khởi trong học tập.
3.3.Lợi ích thiết thực của sáng kiến - Sáng kiến góp phần giải quyết 1 số vấn
đề mà giáo viên vướng mắc trong thực tiễn giảng dạy kiến thức về giải toán
TBC trong nội dung toán 4 cho học sinh nhất là đối với học sinh khá, giỏi khối
lớp 4.
- Đáp ứng được mục tiêu giảng dạy phân hóa đối tượng học sinh, phát triển
năng lực học tập cho học sinh.
- Góp phần bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ, năng lực sư phạm cho giáo viên
trong trường tiểu học.
4.Kết quả và giá trị đạt được :
Đề tài này là sáng kiến của bản thân đã nghiên cứu và chỉ đạo thực hiện,
áp dụng - hiệu quả tương đối rõ ràng – học sinh nắm chắc cách giải các bài toán
TBC ở nhiều dạng bài khác nhau; đặc biệt các em biết vẽ sơ đồ đoạn thẳng để
lập kế hoạch giải toán rõ ràng.
Làm tiền đề cho HS học các dạng toán điển hình khác tốt hơn.
5.Đề xuất kiến nghị
Trong quá trình nghiên cứu để thực hiện đề tài, bản thân được sự giúp đỡ
nhiệt tình của Ban giám hiệu và sự hỗ trợ của các giáo viên khối 4 trong nhà
trường nhưng không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong quý thầy, cô cùng
tất cả các đồng nghiệp đóng góp ý kiến để cho sáng kiến của bản thân được
hoàn thiện và nhân rộng trong nhà trường.
3


PHẦN III. MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến.
Toán học là một một lĩnh vực rất phong phú và đa dạng, vừa cụ thể , vừa
trừu tượng, là một kho tàng tri thức vô tận.
Trong các môn học ở Tiểu học thì môn Toán có vị trí rất quan trọng vì:
- Các kiến thức kĩ năng của môn toán ở Tiểu học có nhiều ứng dụng trong cuộc

sống, chúng rất cần thiết cho người lao động, rất cần thiết để học các môn học
khác ở tiểu học và học tập tiếp các môn học ở trung học.
- Toán học giúp học sinh nhận biết những mối quan hệ về số lượng và hình học
không gian của thế giới hiện thực. Nhờ đó mà học sinh có phương pháp nhận
thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt động hiệu quả trong
cuộc sống.
- Toán học góp phần quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ,
phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề. Nó góp phần phát triển
trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo, đồng thời góp phần
vào việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người lao động
như: cần cù, cẩn thận, có ý chí vượt khó, làm việc có kế hoạch, có nền nếp và
tác phong khoa học.
Như ta đã biết, trong bậc tiểu học môn toán ở mỗi lớp có một vị trí, yêu
cầu và nhiệm vụ cụ thể khác nhau. Trong giai đoạn cuối của bậc tiểu học ( lớp 4
và lớp 5) có nhiệm vụ hoàn thành yêu cầu phổ cập giáo dục tiểu học cho học
sinh vừa tạo cơ sở cho các em có thể tiếp tục học lên các lớp trên, vừa chuẩn bị
kiến thức kĩ năng cần thiết để các em có thể tiếp tục học lên các lớp trên, vừa
4


chuẩn bị kiến thức kĩ năng cần thiết để các em bước vào cuộc sông lao động
thực tiễn. Do dó ở giai đoạn này việc học và học môn toán vừa phải quan tâm
đến việc hệ thống hóa, khái quát hóa nội dung học tập, vừa phải đáp ứng những
nhu cầu của cuộc sống để các em dễ dàng thích nghi hơn khi vào đời. Vì vậy
việc dạy học giải toán ở giai đoạn này không thể xem nhẹ được. Nhờ việc dạy
giải toán mà học sinh có điều kiện rèn luyện và năng lực trư duy, rèn luyện
phương pháp suy luận và những phẩm chất cần thiết của người lao động mới.
Qua đó mà các em biết cách vận dụng những kiến thức về toán học một cách đa
dạng phong phú.
2. Cơ sở lí luận của vấn đề.

2.1.Vị trí, tầm quan trọng của việc dạy giải toán văn điển hình lớp 4.
Trong chương trình toán ở tiểu học, môn toán lớp 4 có vị trí đặc biệt quan
trọng. Nó củng cố các kĩ năng giải các bài toán có lời văn dạng toán hợp nâng
số lượng phép tính để giải bài toán tới nhiều bước tính. Học thêm cách giải 6
loại toán điển hình với nội dung thực tế gần gũi với học sinh, biết trình bày bài
giải đầy đủ gồm các câu trả lời, các phép tính và đáp số, có thể viết gộp các
bước tính thành một dãy tính dựa vào quy tắc hoặc công thức đã học. Trong quá
trình giải toán học sinh phải tư duy một cách tích cực và linh hoạt, huy động
một cách hợp lí các kiến thức kĩ năng đẫ có vào tình huống cụ thể, trong nhiều
trường hợp phải phát hiện được những dữ kiện hay điều kiện chưa được nêu ra
một cách tường minh. Có thể nói giải toán là một trong những biểu hiện năng
động nhất của sự vật hiện tượng đối với học sinh. Thông qua việc giải toán văn
điển hình các em thấy được nhiều mặt của cuộc sống hàng ngày. Do đó toán
văn là cầu nối giữa toán học trong nhà trường tiểu học với ứng dụng trong cuộc
sống xã hội. Qua việc giải toán có văn nói chung và toán văn điển hình dạng :
Tìm số trung bình cộng nói riêng, củng cố cho các em kĩ năng thực hiện các

5


phép tính số học, kĩ năng tiến hành các bước giải toán và rèn tư duy lôgic đồng
thời rèn cách diễn đạt bằng ngôn ngữ nói, ngôn ngữ viết cho học sinh.
2.2.Vị trí, tầm quan trọng của việc dạy giải toán trung bình cộng.
Trong nhà trường tiểu học đối với học sinh lớp 4 việc dạy các em học sinh
giải toán văn là vô cùng quan trọng, việc dạy giải toán văn noi schung và dạy
giải toán trung bình cộng cho học sinh lớp 4 nói riêng là việc làm cần được coi
trọng. dạng toán Tìm số trung bình cộng là dạng toán văn đầu tiên các em được
học ở chương trình lớp 4, nó không những hình thành cách giải toán cho học
sinh mà còn dạy học sinh cách tư duy chiều sâu của một giai đoạn mới, vì thế
nó vô cùng quan trọng và là một việc làm đang được mọi người quan tâm đến

bởi lẽ khi dạy dạng toán này cả người dạy và người học đều đều còn vướng
mắc.
Thông qua việc học dạng toán này, học sinh sẽ có một cách nhìn mới về
giải toán, các cách tư duy, lập luận hoàn toàn mới, khó, đòi hỏi học sinh phải có
khả năng tưởng tượng, suy đoán và tính toán lô gic.
Việc dạy dạng toán này ở chương trình tiểu học mới chỉ dừng lại ở việc
cung cấp cho học sinh công thức để tính, vì thế đối với những bài toán mở rộng,
nâng cao cơ bản dành cho việc bồi dưỡng những học sinh có năng lực, năng
khiếu còn khó khăn. Vậy làm thế nào để khắc phục những khó khăn của thầy và
trò, nhằm nâng cao chất lượng và hiệu quả giáo dục trong nhà trường, bản thân
tôi đã tìm ra một hướng đi cho bản thân tôi mạnh dạn đưa ra “ Sáng kiến dạy
giải toán Trung bình cộng cho học sinh lớp 4”.
3. Mục đích viết sáng kiến:
- Tìm ra những biện pháp thiết thực giúp học sinh làm tốt các bài toán
dạng toán TBC .

6


- Tìm ra cách khắc phục hiệu quả , phù hợp trong việc giảng dạy học sinh
giải các dạng toán văn điển hình.
4. Phương pháp nghiên cứu :
- Phỏng vấn , điều tra , lấy số liệu , phân tích số liệu .
- Dự giờ , khảo sát .
- Nghiên cứu tài liệu .
- Phương pháp phân tích tổng hợp
- Phương pháp thực hành, luyện tập
- Khảo sát , thống kê , rút ra bài học
- Phương pháp kiểm tra, đánh giá
5.Thực trạng của vấn đề dạy giải toán Trung bình cộng cho học sinh lớp 4:

5.1. Thực trạng việc dạy giải toán trung bình cộng của giáo viên.
Dạng toán này được đưa vào chương trình sách giáo khoa Toán 4 gồm 3
tiết. cụ thể:
- Tiết 1: Tìm số trung bình cộng ( trang 26 – 27). Tiết này giới thiệu qui tắc và
cách tính trung bình cộng của nhiều số.
- Tiết 2 : Luyện tập ( trang28) – Củng cố cách tìm số trung bình cộng và mở
rộng thêm cách tìm cách tổng của các số khi biết trung bình cộng của nhiều số.
- Tiết 3: Ôn tập về tìm số trung bình cộng ( trang 175) - Ôn tập cuối năm.
Với thời lượng chương trình ít như vậy nên giáo viên chưa thực sự đầu
tư thời gian vào dạng toán này. Hơn nữa đây là dạng toán đầu tiên trong chuỗi
các bài toán điển hình mà giáo vên phải cung cấp cho các em, sau dạng toán
này phải một thời gian sau mới có dạng toán khác nên giáo viên chưa thực sự
thấy tầm quan trong của dạng toán nên chỉ dừng lại ở việc áp dụng qui tắc sách
giáo khoa.
- Chưa thực sự chú tâm vào việc bồi dưỡng, phát triển năng lực học sinh.
7


- Một số giáo viên trình độ chuyên môn còn hạn chế, ngại tìm tòi các bài tập
khác sách giáo khoa, ngại nghiên cứu cách giải dạng toán này nên không đầu
tư.
5.2. Thực trạng việc học giải toán về trung bình cộng của học sinh.
- Học sinh vừa ở lớp 3 chuyển lên, chưa quen với các cách học ở lớp 4. Tư duy
ở lớp 3 của các em là tư duy trực quan, lên lớp 4 các em bắt đầu giai đoạn học
sâu, lượng kiến thức nhiều, phân phối chương trình dày nên các em gặp khó
khăn trong việc học tập.
- Dạng toán điển hình đầu tiên nên các em còn nhiều bỡ ngỡ.
- Chưa có thói quen học thuộc các qui tắc của toán học để áp dụng vào bài tập.
- Có nhiều thuật ngữ mới lạ các em phải làm quen .
- Cách vẽ sơ đồ bằng đoạn thẳng, nhìn sơ đồ để tư duy cách giải là hoàn toàn

mới, nhiều em chưa biết vẽ sơ đồ.
5.3. Kết quả điều tra giải toán về trung bình cộng:
- Sau khi hoàn thành tiết 1 : Tìm số trung bình cộng ( trang 26 – 27) của
chương trình sách giáo khoa lớp 4, tôi tiến hành làm một bài kiểm tra cho 32
em học sinh do chính lớp tôi chủ nhiệm qua 2 bài toán sau:
Bài 1: Một ô tô trong 2 giờ đầu mỗi giờ đi được 48 km, trong 3 giờ sau mỗi giờ
đi được 43 km. Hỏi trung bình mỗi giờ ô tô đó đi được bao nhiêu ki – lô – mét.
Bài 2: Tìm trung bình cộng của 5 số chẵn liên tiếp biết tổng của chúng là 100.
Bài 3: Tìm 5 số chẵn liên tiếp biết tổng của chúng là 100
Do các em mới học xong cách tìm số trung bình cộng nên khi chép xong
đầu bài tôi gợi ý cách giải cho các em:
- Áp dụng qui tắc Tìm số trung bình cộng để tính.
8


- Tự tìm cách giải khác để có đáp số.
Sau khi chấm bài, tôi thu được kết quả như sau:
Số HS giải
BÀI
TOÁN
Bài 1
Bài 2
Bài 3

TỔNG SỐ
HỌC SINH
32 em
32 em
32 em

Theo qui tắc
SL - Tỉ lệ
22 em – 68,7
25 em – 78,1
0

Số HS giải
cách khác
SL - Tỉ lệ
0
0
5 em – 15,6

Số HS không
làm được
SL – Tỉ lệ
10 em – 31,3
7 em – 21,9
27 em – 84,4

Nhìn vào kết quả trên, tôi thấy thật sự có nhiều lo lắng. Bài tập 1 học sinh áp
dụng công thức để tính nhưng có khá nhiều em khi lấy số ki lô mét đi được
trong 2 giờ đầu cộng với số ki lô mét đi được trong 3 giờ sau, đáng lẽ phải chia
đều cho 5 thì các em lại chỉ chia cho 2 vì theo suy luận của các em là lấy 2 số
cộng với nhau thì chỉ chia cho 2.
Bài tập 2 thực ra rất dễ nhưng vẫn có em không biết làm cách nào để tìm
được TBC của 5 số, vì các em cho rằng phải có 5 số cộng với nhau, chia đều
cho 5 mới ra được số TBC của 5 số.
Bài tập 3 thì thật sự đáng buồn vì hầu như các em không biết làm gì. Một số
em nhẩm ra kết quả đúng song không biết trình bày bài giải, phần lớn là do các

em tự mày mò chứ không theo một công thức nào.
Trước thực trạng trên tôi tiến hành tìm hiểu nguyên nhân và thấy nguyên
nhân chính là nằm ở giáo viên, do đó tôi đã lựa chọn những giải pháp thích hợp
để nhằm nâng cao chất lượng về dạng toán này cho học sinh (sẽ trình bày ở
phần sau.
6. Các giải pháp, biện pháp thực hiện.
6.1. Kiểm tra nhận thức của học sinh về dạng toán trung bình cộng

9


Bước này được kiểm tra ngay sau tiết 1 – Tìm số trung bình cộng các em đã
học như sách giáo khoa biên soạn ( bài kiểm tra như trên) để giáo viên nắm bắt
được trình độ nhận thức của học sinh từ đó có phương pháp giảng dạy cho phù
hợp.
6.2. Phân loại một số dạng bài toán trung bình cộng và cách giải chúng.
- Tìm trung bình cộng của nhiều số (dạng toán cơ bản)
- Tìm tổng của các số hạng biết trung bình cộng của chúng.
- Tìm TBC của dãy số cách đều.
- Tìm các số biết một trong các số đó bằng, lớn hơn (hoặc kém) TBC của các số
n lần.
- Tìm các số khi có thêm một số hạng để mức TBC của tất cả tăng thêm n đơn
vị.
- Một số bài toán tính tuổi có liên quan đến trung bình cộng.
- Bài toán tổng hợp nâng cao nhằm phát triển năng lực học sinh.
6.3. Giải pháp thực hiện.
6.3.1. Làm rõ khái niệm về số TBC cho học sinh hiểu.
Dạng toán tìm số trung bình cộng có thể được mô tả như sau: Tìm một số
bằng cách lấy tổng của tất cả các số trong tập hợp được xét rồi chia cho số các
số đó.

6.3.2.Hướng dẫn học sinh cách vẽ sơ đồ tìm số trung bình cộng.
- Ở lớp 3 các em đã được làm quen với cách vẽ sơ đồ bài toán nhiều hơn – ít
hơn, hình vẽ hoàn toàn trực quan, dễ hiểu đối với học sinh. Tuy nhiên với dạng
toán TBC, để vẽ được sơ đồ biểu thị đung nội dung là một việc làm vô cùng
khó khăn đối với các em. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi thấy cần phải
hướng dẫn học sinh cách vẽ ngay từ bài đầu tiên.
Bài toán 1: Rót vào can thứ nhất 6 lít dầu, rót vào can thứ hai 4 lít dầu. Hỏi nếu
số lít dầu đó được rót đều vào 2 can thì mỗi can có bao nhiêu lít dầu.
10


- Ngoài việc hướng dẫn học sinh đi sâu vào tìm hiểu đề, phân tích đề, giải quyết
vấn đề ( bài này có thể làm như sách giáo khoa ) thì tôi đặc biệt chú ý đến phân
tích đề bài bằng sơ đồ đoạn thẳng và hướng dẫn học sinh cách biểu thị bài toán,
biểu thị số TBC bằng sơ đồ đoạn thẳng.
+ GV vừa hỏi học sinh vừa vẽ sơ đồ
. Can thứ nhất có mấy lít dâu? Can thứ hai có ? lít dầu. – ta biểu thị số lít dầu
của mỗi can bằng 1 đoạn thẳng
. Bài toán hỏi gì ? (Số lít dầu đó rót đều vào 2 can thì mỗi can có mấy lít dầu)
. Em hiểu số lít dầu rót đều vào 2 can nghĩa là rót như thế nào ?(số lít dầu rót
vào mỗi can bằng nhau)
+ GV vẽ sơ đồ và ghi số liệu lên sơ đồ - yêu cầu hs nhìn sơ đồ nhắc lại đầu bài
toán.

6l

4l

TBC

TBC

+ Vấn đề ở đây là học sinh hoàn toàn mới lạ với kiểu vẽ sơ đồ 2 đoạn thẳng như
thế này, vì thế GV cần giải thích rõ : Đoạn thẳng 1 là tổng số lít dầu của thùng
1 và thùng 2 – Đoạn thẳng 2 là số lít dầu đó chia thành 2 phần bằng nhau và
mỗi phần chính là số TBC của 2 thùng.
+ Ngoài ra GV có thể hướng dẫn cách vẽ thứ hai như sau:
6l

4l

11
TBC

TBC


+ Sau khi hướng dẫn cách vẽ, GV yêu cầu các em thực hành vẽ lại trên giấy
nháp(cả 2 cách vẽ) và kiểm tra trực tiếp từng học sinh.
+ Gọi học sinh trình bày bài giải.
=> Qua 2 ví dụ của tiết 1 giáo viên cần chốtt cho học sinh cách biểu thị số TBC:
- Vẽ TBC của 2 số thì đoạn thẳng biểu thị số TBC của 2 số được chia thành 2
phần bằng nhau.
- Vẽ TBC của 3 số thì đoạn thẳng biểu thị số TBC của 3 số được chia thành 3
phần bằng nhau.
-> Vẽ TBC của n số thì đoạn thẳng biểu thị số TBC của n số được chia thành n
phần bằng nhau.
6.3.3. Phương pháp giải cụ thể đối với từng dạng bài
- Với mỗi dạng toán điển hình của lớp 4 thì có rất nhiều các kiểu bài toán khác
nhau, cách phát triển đề bài khác nhau, tuy nhiên các em nắm chắc một số bài

cơ bản sẽ có thể giải quyết được các bài toán về TBC.
*Dạng 1: Tìm trung bình cộng của nhiều số (dạng toán cơ bản)
Bài toán 1: Tìm TBC của các số : 12; 14; 16; 18; 20. Em có cách nào để tính
nhanh số TBC của các số trên không ?
-B1: nhận dạng bài toán – Bước này tương đương với bước tìm hiểu nội dung
bài toán. HS đọc kĩ đề, thiết lập mối quan hệ giữa các dữ kiện của đề bài toán:
cái đã cho, cái cần tìm…
- B2: hướng dẫn lập kế hoạch giải toán:
Ở yêu cầu 1 – Các em chỉ cần áp dụng đúng công thức là giải được bài toán;
GV gọi 1 học sinh nhắc lại qui tắc giải, nêu phép tính cần làm.

12


Ở yêu cầu 2 – Sau khi các em giải xong yêu cầu 1 – GV gọi học sinh nêu yêu
cầu 2 – cho học sinh nhắc lại số TBC của 5 số trên là bao nhiêu ? Em có nhận
xét gì về số TBC so với các số đã cho ( bằng 16 ) - Em có nhận xét gì về các số
đã cho (5 số tự nhiên chẵn liên tiếp – dãy số cách đều). theo cách giải của bài
tập 1 thì số TBC bằng số thứ mấy của 5 số đã cho (số thứ ba – số ở chính giữa)
= > Theo lí thuyết các em đã được học thì đây là dạng bài tập thứ mấy ? (dạng
bài số 4) – nêu cách tìm số TBC của dãy số cách đều ( 2em nêu).
- B3: Trình bày bài giải:
. Cách 1: Tổng của 5 số phải tìm là
12 + 14 + 16 + 18 + 20 = 80
Trung bình cộng của 5 số đó là
80 :

5 = 16

Đáp số : 16

. Cách 2 (tính nhanh)
Vì các số phải tìm là dãy các số tự nhiên chẵn từ 12 đến 20 – có tất cả 5 số
hạng ( số lượng số hạng là lẻ ) nên TBC của các số đó chính là 16 – số ở
chính giữa (số thứ 3).
Đáp số : 16
- > GV chốt kiến thức : Muốn tìm TBC của nhiều số ta lấy tổng chia cho số
lượng các số hạng.
Đây là bài toán cơ bản và qui tắc đã được các em rút ra ngay sau khi học
xong tiết 1 vì vậy GV chỉ cần cho học sinh nhắc lại, áp dụng công thức và giải
ngay bài tập
*Dạng 2 : Tìm tổng của các số hạng biết trung bình cộng của chúng.
Bài toán 1: Số trung bình cộng của hai số bằng 20. Biết một trong 2 số đó bằng
30. Tìm số kia.
13


B1: Nhận dạng bài toán: GV hướng dẫn học sinh phân tích đề : Bài toán cho
biết gì ? Bài toán hỏi gì ? = Bài có dạng toán ?
B2: Hướng dẫn học sinh lập kế hoạch giải toán
- Muốn tìm được số chưa biết ta cần biết gì ?
( cần biết tổng của hai số đó và một số hạng)
- Muốn biết tổng của hai số đó ta làm thế nào?
( lấy số TBC của hai số đó đem nhân với 2):
20

× 2

= 40

- Khi biết tổng và 1 số hạng ta sẽ tìm được số hạng (kia) chưa biết dựa vào

qui tắc tìm số hạng chưa biết trong một tổng : lấy tổng - số hạng đã biết.
40

- 30

= 10.

Vậy số cần phải tìm là 10
= > Như vậy để giải bài toán này có dạng bài tập số mấy? (số 2) ta thấy phương
pháp chung như sau:
- Tính tổng của các số hạng ( bằng cách lấy số TBC nhân với số các số hạng)
- Lấy tổng đó trừ đi số hạng đã biết để tìm số hạng còn lại.
B3 : Cách trình bày bài giải:
Tổng của hai số đó là
20

× 2

= 40

Số phải tìm là
40 - 30 = 10
Đáp số : 10
=> GV chốt kiến thức : gọi học sinh nhắc lại cách tìm tổng của các số hạng biết
TBC của chúng – chốt kiến thức bài tập dạng 2.
- Muốn tìm tổng của các số hạng ta lấy TBC nhân với số các số hạng.

14

*Dạng 3: Tìm TBC của dãy số cách đều (đây chính là bài tập dành để phát
triển năng lực học sinh – yêu cầu 2 của bài tập dạng 1 đã được đề cập đến).
VD 1: Tìm 5 số lẻ liên tiếp có tổng là 75.
B1: Nhận dạng bài toán : Nêu những điều kiện đã cho của bài toán.
- Theo em bài toán có dạng toán gi?
B2 : Lập kế hoạch giải toán
- Dạng toán này giáo viên nên hướng dẫn các em thực hành ngay việc giải
toán và cho các em nhận xét kết quả - so sánh với các số trong dãy số rồi rút ra
kết luận chung cho cách giải dạng toán này.
B3 : Trình bày bài giải
+ Cách 1:
Vì các số phải tìm là dãy 5 số lẻ liên tiếp nên số ở chính giữa là TBC
của 5 số phải tìm.
Số ở chính giữa ( số thứ 3) là:
75

:

5

= 15

Số thứ hai là
15 - 2

= 13

Số thứ nhất là
13 - 2

= 11

Số thứ tư là
15 + 2

= 17

Số thứ năm là
17 + 2 = 19
Đáp số: 11, 13, 15, 17, 19.
Cách 2: GV phân tích để học sinh thấy:

15


Vì 2 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị nên ta có thể biểu thị số lẻ
thứ nhất là một đoạn thẳng thì số lẻ thứ hai là một đoạn thẳng như thế và thêm
2 đơn vị. Cứ tiếp tục như thế cho đến số lẻ thứ năm.
Theo bài ra ta có sơ đồ:
Số lẻ thứ nhất
Số lẻ thứ hai

2
2

Số lẻ thứ ba
Số lẻ thứ tư
Số lẻ thứ năm

2

75

2

2

2

2

2

2

2

Theo sơ đồ ta có:
5 lần số lẻ thứ nhất là :
75 - 2 x 10 = 55
Số lẻ thứ nhất là:
55 : 5 = 11
Số lẻ thứ hai là
11 + 2 = 13
Số lẻ thứ ba là
13 + 2 = 15
Số lẻ thứ tư là
15 + 2 = 17
Số lẻ thứ năm là
17 + 2 = 19

Đáp số : 11, 13, 15, 17, 19.

16


Cách 2 các em sẽ ngại làm hơn vì nó dài, phải vẽ sơ đồ. Tuy nhiên thực
hiện cách 2 các em sẽ hiểu bản chất của bài toán sâu hơn và áp dụng được cho
nhiều các bài toán khác tương tự.
VD 2: Tìm 4 số chẵn liên tiếp có tổng bằng 52.
Cách 1: Theo lí thuyết đã học, vì là dãy 4 số chẵn liên tiếp nên TBC của 4 số
bằng tổng của một cặp chia cho 2.
Trung bình cộng của 4 số là:
52 : 4 = 13
Vì dãy có 4 số chẵn cách đều nên TBC chính là số đứng giữa số thứ hai và
số thứ ba, TBC lớn hơn số chẵn thứ hai 1đơn vị và kém số chẵn thứ ba 1 đơn
vị.
Số chẵn thứ hai là :
13 - 1 = 12
Số chăn thứ nhất là:
12 - 2 = 10
Số chẵn thứ ba là :
13 + 1 = 14
Số chẵn thứ tư là
14 + 2 = 16
Đáp số 10, 12, 14, 16
GV cũng có thể hướng dẫn học sinh tìm ra số TBC của 4 số, sau đó giúp các
em hiểu TBC là nửa tổng của số đàu và số cuối hay cũng chính là nửa tổng của
2 số ở giữa – sau đó tiếp tục tìm tổng của số đầu, số cuối – tìm hiệu của số đầu,
số cuối rồi tìm số đầu tiên theo bài toán Tổng – hiệu rồi tìm các số còn lại.

17


+ > Cách giải này là cách giải nâng cao, hoàn toàn không có trong Sách giáo
khoa. Cách này phải kết hợp suy luận và kết hợp phương pháp giải của cả 2
dạng toán điển hình, học sinh tư duy khá khó, chóng quên, phải thực hiện nhiều
lần mới nhớ.
Cách 2: Bằng cách lập luận như cách 2 của VD 1
- Ta có thể vẽ sơ đồ như sau:
Số chẵn thứ nhất
Số chẵn thứ hai

2

Số chăn thứ ba

2
2

Số chẵn thứ tư

2
2

2

52
5

- Theo sơ đồ, 4 lần số chẵn thứ nhất là: 52 – ( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) = 40

Số chẵn thứ nhất là : 40 : 4 = 10
Số chẵn thứ hai là

10 + 2 = 12

Số chẵn thứ ba là

12 + 2 = 14

Số chẵn thứ tư là

14 + 2 = 16

Đáp số : 10, 12, 14, 16.
Như vậy ta thấy cách giải 1 sẽ rất khó khăn hơn cho ví dụ 2. Còn cách giải
2 sẽ thuận lợi và phù hợp cho cả hai ví dụ, vì thế việc cung cấp cáh giải 2 này
cho học sinh sẽ phù hợp với nhiều bài tập.
Điểm mấu chốt ở đây là giáo viên phải cho học sinh hiểu bản chất của bài toán
để các em biểu thị bài tập trên sơ đồ đoạn thẳng.
=> GV chốt kiến thức cách tìm nhanh số TBC của dãy số cách đều:
- Muốn tìm TBC của dãy số cách đều ta lấy giá trị của một cặp chia cho 2.
- Nếu số lượng trong dãy số là lẻ thì số hạng ở chính giữa của dãy số đó chính
là số TBC.

18


*Dạng 4. Tìm các số biết một trong các số đó bằng, lớn hơn (hoặc kém) TBC
của các số n lần.
Đây là dạng toán khó, học sinh phải biểu thị được bài toán trên sơ đồ đoạn

thẳng thì mới tư duy ra cách giải bài tập.
VD 1: Nam có 10 cái nhãn vở, Bình có 20 cái nhãn vở, Hùng có nhiều hơn
TBC số nhãn vở của cả 3 bạn là 6 cái. Hỏi bạn Hùng có bao nhiêu cái nhãn vở?
- Rất nhiều năm dạy bài toán này và không ít em học sinh đều chữa đầu bài của
tôi : Hùng có nhiều hơn TBC của 2 bạn là 6 cái và cho rằng GV chép nhầm đầu
bài - phải mất khá nhiều thời gian để hướng dẫn các em giải bài tập này. Vì thế
tôi đã rút kinh nghiệm đối với năm học này và hướng dẫn học sinh ngay từ đầu:
B1: Nhận dạng toán: Tìm số TBC – dạng bài 4 (đã được nêu ở lí thuyết)
GV hướng dẫn học sinh phân tích đề - nêu yêu cầu của đề - bài toán cho biết
gì ? bài toán hỏi gì ? – Muốn tìm số nhãn vở của Hùng em cần biết gì? (TBC số
nhãn vở của 3 bạn) – Tìm TBC số nhãn vở của 3 bạn bằng cách nào? Đây là
vấn đề mấu chốt của bài toán.
Sau khi hướng dẫn học sinh nhận dạng bài toán, tôi hướng dẫn cách giải sau
B2: Hướng dẫn HS lập kế hoạch giải toán :
- Bài toán cho biết gì ?
Nam có 10 cái nhãn vở, Bình có 20 cái nhãn vở.
Hùng có nhiều hơn TBC số nhãn vở của cả 3 bạn là 6 cái.
- Bài toán hỏi gì?
Hỏi bạn Hùng có bao nhiêu cái nhãn vở ?
B3: Hướng dẫn học sinh cách vẽ sơ đồ
(Đây là bước quan trọng nhất)

19


- Nhận xét: Đầu bài yêu cầu tìm số nhãn vở của Hùng song số nhãn vở của
Hùng nhiều hơn số TBC của 3 bạn nên đoạn thẳng biểu thị tổng số nhãn vở
của 3 bạn được chia thành 3 đoạn bằng nhau.

Bạn Hùng có nhiều hơn mức TBC của ba bạn là 6 nhãn vở. Vậy đoạn thẳng

biểu thị số nhãn vở của bạn Hùng dài hơn đoạn thẳng biểu thị số TBC của ba
bạn là 6 nhãn vở.
Đoạn còn lại biểu thị số nhãn vở của 2 bạn Nam và Bình.
Như vậy ta có thể biểu thị sơ đồ bài toán theo 2 cách sau:
Cách 1:
Hùng

Nam + Bình
6

TBC

TBC

TBC

Cách 2:
Nam + Bình

Hùng
6

TBC

TBC

TBC

B4 : Trình bày bài giải
Giải thích cho HS thấy: Bạn Hùng có số nhãn vở nhiều hơn TBC số nhãn vở

của cả ba bạn là 6 cái – như vậy nếu bạn Hùng bù cho 2 bạn Nam và Bình 6
20


nhãn vở rồi chia đều thì số nhãn vở của cả ba bạn bằng nhau và bằng TBC của
cả 3 bạn.
Ta có sơ đồ:
Nam + Bình

Hùng
6

TBC

TBC

TBC

Theo sơ đồ ta có, TBC số nhãn vở của cả ba bạn là:
(10 + 20 + 6) : 2 = 18 ( nhãn vở)
Số nhãn vở của bạn Hùng là:
18 + 6 = 24 ( nhãn vở)
Đáp số : 24 nhãn vở.
=> GV chốt kiến thức cần ghi nhớ:
- Trong các số, nếu có một số lớn hơn mức TBC của các số n đơn vị thì TBC
của các số đó bằng tổng các số còn lại cộng với n đơn vị rồi chia cho số lượng
các số hạng còn lại.
VD 2: Nam có 10 cái nhãn vở, Bình có 20 cái nhãn vở, Hùng có ít hơn trung
bình cộng số nhãn vở của cả ba bạn là 6 cái. Tính số nhãn vở của Hùng.
B1: Nhận dạng toán: Tìm số TBC – dạng bài 4 (đã được nêu ở lí thuyết)

B2: Hướng dẫn HS lập kế hoạch giải toán :
- Bài toán cho biết gì ?
Nam có 10 cái nhãn vở, Bình có 20 cái nhãn vở.
Hùng có ít hơn TBC số nhãn vở của cả 3 bạn là 6 cái.
- Bài toán hỏi gì?
Hỏi bạn Hùng có bao nhiêu cái nhãn vở ?
B3: Hướng dẫn học sinh cách vẽ sơ đồ
21


- Nhận xét: Đầu bài yêu cầu tìm số nhãn vở của Hùng ,song số nhãn vở của
Hùng it hơn số TBC của 3 bạn nên đoạn thẳng biểu thị tổng số nhãn vở của
3 bạn được chia thành 3 đoạn bằng nhau.

Bạn Hùng có ít hơn mức TBC của ba bạn là 6 nhãn vở. Vậy đoạn thẳng biểu
thị số nhãn vở của bạn Hùng ngắn hơn đoạn thẳng biểu thị số TBC của ba bạn
là 6 nhãn vở.
Đoạn còn lại biểu thị số nhãn vở của 2 bạn Nam và Bình.
Như vậy ta có thể biểu thị sơ đồ bài toán theo 2 cách sau:
Cách 1:

Nam + Bình

Hùng
6

TBC

TBC

TBC

Cách 2:
Nam + Bình

Hùng
6

TBC

TBC

TBC

B4: Trình bày bài giải
Giải thích cho HS thấy: Bạn Hùng có số nhãn vở ít hơn TBC số nhãn vở
của cả ba bạn là 6 cái – như vậy nếu 2 bạn Nam và Bình bù cho Hùng 6 nhãn
vở rồi chia đều thì số nhãn vở của cả ba bạn bằng nhau và bằng TBC của cả 3
bạn.
Ta có sơ đồ:
22


Nam + Bình

Hùng
6

TBC

TBC

TBC

Theo sơ đồ ta có, TBC số nhãn vở của cả ba bạn là:
(10 + 20 - 6) : 2 = 12 ( nhãn vở)
Số nhãn vở của bạn Hùng là:
12 - 6 = 6 ( nhãn vở)
Đáp số : 6 nhãn vở.
=> GV chốt kiến thức cần ghi nhớ của bài:
- Trong các số, nếu có một số kém TBC của các số n đơn vị thì TBC của các số
đó bằng tổng các số còn lại trừ đi n đơn vị rồi chia cho số lượng các số hạng
còn lại.
*Dạng 5: Tìm các số khi có thêm một số hạng để mức TBC của tất cả tăng
thêm n đơn vị.
VD: Một ô tô trong ba giờ đầu, mỗi giờ đi được 40 km, trong ba giờ sau mỗi
giờ đi được 50 km. Nêu muốn tăng TBC mỗi giờ thêm 1km nữa thì đến giờ thứ
7, ô tô cần đi bao nhiêu ki –lô – mét nữa?
B1 : Nhận dạng: Bài toán cho biết gì? Bài toán hỏi gì?
+ Muốn tăng TBC mỗi giờ tăng thêm 1 km nữa thì cần tìm gì trước?
(tìm TBC của 6 giờ lúc đầu )
-> Bài thuộc dạng toán ? (dạng toán TBC)
B 2: Hướng dẫn học sinh lập kế hoach giải toán:
+ Muốn tính được TBC của 6 giờ đầu ta cần biết gì?
(Tổng số ki lô mét đi được lúc đầu)
40 x 3 + 50 x 3 = 270 (km)
23


+ Tìm TBC của 6 giờ đầu ta làm thế nào?

(lấy tổng số ki lô mét đi được lúc đầu chi đều cho 6)
270 : 6 = 45 (km)
+ Nếu tăng TBC mỗi giờ thêm 1 ki lô mét thì TBC mới là bao nhiêu?
45 + 1 = 46 (km)
+ Nếu mỗi giờ tăng thêm 1 ki lô mét thì tìm tổng mới bằng cách nào?
(lấy TBC mới nhân với số lượng số hạng mới)
46 x 7 = 322 (km)
+ Biết tổng số ki lô mét của 7 giờ và tổng số ki lô mét của 6 giờ đã đi- làm cách
nào để tính được số ki lô mét đi trong giờ thứ 7?
( lấy tổng mới trừ đi tổng lúc đầu)
322 - 270 = 52 (km)
B4 : Trình bày bài giải
Trong 6 giờ đầu đi được tất cả số ki lô mét là:
40 x 3 + 50 x 3 = 270 (km)
Trong 6 giờ đầu trung bình mỗi giờ ô tô đi được số ki lô mét là:
270 : 6 = 45(km)
Nếu TBC mỗi giờ ô tô đi tăng thêm 1 ki lô mét nữa thì trong 7 giờ quãng đường
ô tô đi được là: (45 + 1) x 7 = 322 (km)
Vậy giờ thứ 7 ô tô cần phải đi số ki lô mét là:
322 - 270 = 52 (km)
Đáp số : 52 km
=> GV chốt kiến thức cần ghi nhớ:
.Ở dạng bài : Tìm các số khi có thêm một số hạng để mức TBC của tất cả tăng
thêm n đơn vị.
- Ta có thể giải theo các trình tự sau:
.Tính tổng ban đầu
24


.Tính TBC của các số đã cho.

.Tính tổng mới (tổng mới = TBC của các số đã cho + n rồi nhân với số lượng
các số hạng mới)
. Tìm số đó bằng cách lấy tổng mới trừ đi tổng lúc đầu.
*Dạng 6: Bài toán tổng hợp nâng cao nhằm phát triển năng lực học sinh.
VD1 : Tuổi trung bình của 11 cầu thủ trong một đội bóng đá là 21 tuổi. Nếu
không kể tuổi của thủ môn thì tuổi trung bình của 10 cầu thủ đá bóng là 20 tuổi.
Tính tuổi của thủ môn.
B1: Nhận dạng bài toán : Bài toán cho biết gì ? Bài toán hỏi gì ?
(tuổi TBC của 11 cầu thủ; tuổi TBC của 10 cầu thủ không kể thủ môn)
-> Thực chất bài thuộc dạng toán TBC ( dạng 2)
B2: Hướng dẫn học sinh lập kế hoạch giải toán :
- Tìm tổng số tuổi của cả 11 cầu thủ.
- Tìm tổng số tuổi của 10 cầu thủ không kể tuổi thủ môn
- Lấy tổng số tuổi của 11 cầu thủ trừ đi tổng số tuổi của 10 cầu thủ không
kể thủ môn ta có thể tìm được tuổi của thủ môn.
- > Dạng toán này không cần vẽ sơ đồ, các em chỉ cần suy nghĩ kĩ đề bài,
nhớ lại lí thuyết cách tìm tổng của các số khi biết TBC của các số đó là
có thể giải được bài toán.
B3: Trình bày bài giải (Gv hướng dẫn hs trình bày như phần hướng dẫn giải)
VD2: Trong một tuần có 4 bài kiểm tra, ba bài kiểm tra trước Hải tính được
trung
bình mỗi bài kiểm tra được 6 điểm. Hỏi để trung bình cả bốn bài kiểm tra được
7 điểm thì bài kiểm tra số 7 của Hải phải được mấy điểm?
B1: Nhận dạng : Bài toán cho biết gì?
25