skkn các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN 1: PHẦN MỞ ĐẦU
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử’’
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Khối 8 (Phân môn đại số)
3. Tác giả:
Họ và tên: Trịnh Thanh Hoài : Nữ
Ngày,tháng,năm sinh: 05/ 04/ 1978
Trình độ chuyên môn: Cao đẳng sư phạm toán
Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên -Tổ Khoa học Tự nhiên
Trường THCS Chí Minh, Chí Linh, Hải Dương.
Điện thoại: 0904612799
4. Đồng tác giả: Không
5. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trường THCS Chí Minh, Chí Linh, Hải Dương
6. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THCS Chí Minh, Chí Linh, HD
Điện thoại: 03203.585.548
7. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
+ Môi trường giáo dục gồm: Giáo viên, học sinh, và các cơ sở vật chất của
trường học.
8. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2013 - 2014

HỌ TÊN TÁC GIẢ

Trịnh Thanh Hoài

XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN VỊ
ÁP DỤNG SÁNG KIẾN


PHẦN II: TÓM TĂT SÁNG KIẾN
1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
Đã nhiều năm tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán 8,9.

Thực tế giảng dạy cho thấy rất nhiều dạng bài tập cần sử dụng các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử. Học sinh còn rất lúng túng khi làm các dạng bài
tập này. Chính vì vậy tôi đã có ý tưởng nảy sinh viết sáng kiến "Các phương
pháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp học sinh giải tỏa những khó
khăn khi làm các dạng bài tập có liên quan.
2. Đối tượng áp dụng sáng kiến
- Học sinh đại trà và học sinh khá giỏi khối 8
- Thời gian áp dụng là kì I năm học 2013 -2014
3. Nội dung sáng kiến
* Tính mới, tính sáng tạo của sáng kiến:
- Khi tôi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, tôi nhận thấy các em học sinh hào
hứng học tập, rất thích thú mỗi khi đến tiết học môn Toán. Các em không còn
thấy khó khăn khi nói đến bài tập phân tích đa thức thành nhân tử. Tùy từng đối
tượng học sinh mà tôi đưa ra các phương pháp phù hợp. Vậy tôi thấy rằng sáng
kiến thực sự mang lại giá trị hiệu quả cao trong giảng dạy. Vì vậy tôi cũng muốn
chia sẻ cùng các bạn đồng nghiệp, rất mong được sự góp ý chân thành nhất
* Khả năng áp dụng của sáng kiến:
- Sáng kiến được giáo viên dạy toán học sử dụng trong nhà trường vào các
tiết dạy lí thuyết, luyện tập và làm chuyên đề.
- Sáng kiến được học sinh vận dụng trong các bài tập từ dễ đến khó.
* Lợi ích thiết thực của sáng kiến:
- Giúp GV có thể tổ chức các buổi chuyên đề được sinh động và đơn giản
hơn. Từ đó dạy các bài luyện tập được dễ dàng hơn.
- Giúp HS phát triển tư duy, sáng tạo, kĩ năng thực hành tốt đặc biệt có kĩ
năng sống tốt hơn.

4. Khẳng định giá trị, lợi ích thiết thực của sáng kiến:


Sáng kiến này tôi đã áp dụng và thấy có tính khả thi cao, chất lượng môn toán

học ở khối 8, 9 được nâng lên rõ rệt, học sinh không còn ngại khi học môn toán,
trong các bài kiểm tra các em tự tin, yêu thích môn học hơn. Vì vậy, sáng kiến
này có thể là tài liệu tham khảo giúp các đồng chí giáo viên dạy toán học trong
trường THCS
5. Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến.
Là một giáo viên dạy toán học trường THCS nhiều năm và đã thực hiện
sáng kiến. Tôi xin đề xuất một vài ý kiến nhỏ:
- Các nhà trường cần quan tâm đến bộ môn toán học bằng cách: ngay từ đầu
năm học cần xây dựng kế hoạch tổ chức các chuyên đề ,các buổi sinh hoạt tập
thể về môn toán học
- Đối với giáo viên dạy toán cần tâm huyết với nghề, yêu thích môn mình dạy,
cần đầu tư thời gian, nghiên cứu các tài liệu tham khảo và tích cực cho học sinh
làm bài tập… để các em xác định cho mình có phương pháp học tập tốt hơn.

Phần III. MÔ TẢ SÁNG KIẾN


I.Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
1. Lí do chọn đề tài.
Hiện nay, nước ta đang tiến hành công cuộc "Công nghiệp hoá, hiện đại
hoá" đất nước, nhanh chóng hoà nhập được với các nước trong khu vực và
trên thế giới. Để chuẩn bị cho xã hội tương lai, "Hơn bao giờ hết bước vào
giai đoạn này nhà trường phải đào tạo ra những con người năng động, sáng
tạo tiếp thu được những kiến thức hiện đại, tự tìm ra giải pháp cho những vấn
đề do cuộc sống hiện đại đặt ra". Đổi mới phương pháp dạy học nhằm đáp
ứng yêu cầu xây dựng nguồn lực con người trong thời kì "Công nghiệp hoá Hiện đại hoá" đất nước. Giáo dục toàn diện thế hệ trẻ, đào tạo lớp người lao
động có trí tuệ, tay nghề cao, làm chủ được khoa học kĩ thuật công nghiệp
hiện đại, có ý chí tự lực, tự cường dân tộc, chính là nhân tố cơ bản quyết định
sự phát triển rút ngắn của đất nước tới xã hội văn minh, giàu mạnh.
Khi đề ra chiến lược phát triển kinh tế - xã hội . Nghị quyết Hội nghị trung

ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo nêu rõ: “ Tiếp
tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy
tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học,
khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách
học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi
mới tri thức, kĩ năng, phát triển năng lực. Chuyển tự học chủ yếu sang tổ chức
hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu
khóa học. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và
học”.
Mục tiêu của môn toán học là góp phần giáo dục con người phát triển toàn
diện nhằm đào tạo nhân lực và phát triển nhân tài cho đất nước. Do vậy qua việc
học môn toán , học sinh phải được hình thành kỹ năng học tập và nghiên cứu đó
là kĩ năng làm bài tập, nhận xét, giải thích, rút ra kết luận, từ đó có suy luận
logic, các kĩ năng so sánh, phân tích tổng hợp....
Sử dụng các phương pháp trong hoạt động dạy học góp phần quan trọng
hình thàng những kĩ năng cho học sinh, tạo cho học sinh thái độ học tập tích
cực, có hứng thú học tập bộ môn toán nói riêng và yêu thích khoa học nói
chung.
2. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

* Mục đích:
- Nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn trong các dạng bài tập có áp
dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử.
- Giúp cho học sinh có khả năng khám phá khoa học. Đồng thời trong quá
trình dạy học phần này sẽ giúp các em không những giỏi về suy luận, phán đoán
logic, mà giúp các em có thêm kĩ năng trong cuộc sống.

* Nhiệm vụ:
- Hiểu được và xác định được các dạng bài tập
- Vận dụng kiến thức đã học để làm các dạng bài tập

- Tổ chức dạy thực nghiệm qua buổi học để xác định hiệu quả của đề tài.


3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
- Nghiên cứu sử dụng đề tài ở chương trình toán THCS và từng bước vận
dụng vào quá trình tổ chức các tiết dạy,các chuyên đề...
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo
- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết
- Phương pháp nghiên cứu lí luận, thực tiễn.
- Thực nghiệm trên các tiết dạy trong nhà trường
- Thăm dò ý kiến giáo viên, học sinh sau khi dạy thực nghiệm.
II. Cơ sở lí luận
Toán học là bộ môn đòi hỏi tính sáng tạo, tư duy logic, tính khoa học cẩn
thận của mỗi học sinh. Khi học sinh đã học tốt bộ môn toán thì sẽ học được tất
cả các môn khác.
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường
duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ
thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến
thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán là môn học
đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó.
Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài tập
do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát
hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán phân tích đa thức
thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8 đáp ứng yêu cầu
này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này, nhất là khi
học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức và việc giải
phương trình.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành
nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực hiện tốt

điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan
sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ năng vận dụng
bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù
hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, để giúp học sinh
học tập tốt bộ môn.


III. Thùc tr¹ng cña vÊn ®Ò
Đã nhiều năm tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn toán 8,9 qua
thực tế giảng dạy kết hợp với dự giờ các giáo viên khác. Tôi nhận thấy em học
sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm dạng các bài tập có sử dụng các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
- Ví dụ 1: Khi giáo viên đưa bài tập. Yêu cầu học sinh rút gọn phân thức:
3x 2 − 12 x + 12
x2 − 2x

Nhiều học sinh thể hiện sự lúng túng khi gặp ví dụ trên, có rất ít học sinh dơ
tay phát biểu, chỉ có một vài học sinh khá, giỏi
Nguyên nhân: do học sinh thiếu kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử (mặc
dù vừa được học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử)
- Ví dụ 2: giáo viên đưa bài tập. Giải các phương trình sau bằng cách phân
tích vế trái thành nhân tử.
a.

5x(x - 2000) - x + 2000 = 0

b.

x2 +x - 6 = 0

Học sinh gặp rất nhiều lúng túng và chưa tìm ra cách giải.
Vì để giải được các bài toán trên học sinh cần có kỹ năng phân tích đa thức
thành nhân tử một cách thành thạo.
Nhưng ngay đối với việc giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử
thông thường thì đa số các em cũng đã gặp rất nhiều khó khăn. Để ứng dụng các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào các dạng bài tập trên là vô
cùng khó khăn đó vớ học sinh đặc biệt là học sinh trung bình yếu. Do các em có
thể quên kiến thức hoặc chưa biết vận dụng kiến thức một cách hợp lý.
Qua khảo sát thực trạng của học sinh trường tôi sau một số tiết dạy về “Các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” học sinh đều lúng túng khi làm
các dạng bài tập này.
Như vậy qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu cũng như dự giờ các đồng
nghiệp, trao đổi cùng học sinh, tôi đã đánh giá và rút ra một số thực trạng như
trên trong việc dạy và học của giáo viên và học sinh trường tôi.
IV. Các giải pháp và phương pháp thực hiện


1. Lý thuyết
* Định nghĩa :Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi Đa
thức đó thành một tích của những đa thức
2. Các phương pháp cơ bản
Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung
a. Phương pháp
- Tìm nhân tử chung là các Đơn thức, Đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác
- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi
hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng ).
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)
+) Phương pháp tìm nhân tử chung (với các Đa thức có hệ số nguyên):
- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các

hạng tử.
- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong tất
cả các hạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử.
b. Ví dụ.
Ví dụ 1.1: Phân tích Đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử.
Giải:

14x2y – 21xy2 + 28x2y2

= 7xy. 2x – 7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy( 2x – 3y + 4xy)
Phân tích ví dụ.
- Ta thấy hệ số nguyên dương của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: 14; 21; 28
và ƯCLN(14, 21, 28) = 7. Vậy hệ số của nhân tử chung là: 7
- Lũy thừa bằng chữ có mặt trong tất cả các hạng tử là x và y, số mũ nhỏ
nhất của x là 1 và của y là 1. Vậy ta có lũy thừa bằng chữ của nhân tử chung là :
xy
Vậy nhân từ chung của đa thức trong ví dụ 1.1 là: 7xy
Ví dụ 1.2: Phân tích đa thức 3(x – y) – 15x(y – x) thành nhân tử.


Với ví dụ này có thể lúc đầu học sinh sẽ gặp lúng túng trong cách xác định
nhân tử chung. Giái viên có thể đưa gợi ý:
? - Tìm nhân tử chung của các hệ số 3 và 15 ?
? - Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
- GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) hoặc ngược lại để xuất hiện
nhân tử chung. Ta có: (y – x) = - (x – y). Vậy ví dụ 2 được giải như sau:
Giải: 3(x – y) – 15x(y – x) = 3(x – y) + 15x(x – y))
= 3(x – y).1+ 3(x – y) .5x
= 3(x – y)(5x + 1)

Chú ý: Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung chúng ta cần đổi dấu các hạng
tử (lưu ý tích chất: A = -(-A))
Kết luận: Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp.
- Khi dạy phương pháp này giáo viên cần nhấn mạnh cách tìm nhân tử
chung trong các bài tập .
- Khắc phục một số sai lầm học sinh hay mắc phải
Ví dụ 1: Phân tích đa thức 3(x – y) – 15x(y – x) thành nhân tử
3(x – y) – 15x(y – x) = 3(x – y) + 15x(x – y)
= 3(x – y)+ 3(x – y) .5x
= 3(x – y)(5x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)
Ví dụ 1.3 : Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử
Sai lầm của học sinh ở đây là:
Thực hiện đổi dấu sai: (y – x)2 = - (x – y)2 nên dẫn đến :
9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 là sai
- Khi thực hiện bài toán này giáo viên phải nhấn mạnh chú ý đẳng thức
A2 =(-A)2
Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
a. Phương pháp:
- Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về
“dạng tích”


1.

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

2.

A2 – 2AB + B2 = (A – B)2

3.

A2 – B2 = (A – B)(A + B)

4.

A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3

5.

A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3

6.

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

7.

A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

b. Ví dụ:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ2 .1:

x2 + 8xy + 16y2 = x2 + 2.x.4y + y2 = (x + 4y)2

Ví dụ 2.2:

25x2 - 10x + 1 = (5x)2- 2.5x.1 + 12 = (5x - 1)2

Ví dụ 2.3: a. (x + y)2 – 9y2 = [(x + y) – 3y].[(x + y) + 3y]
= (x + y – 3y)(x + y + 3y)
= (x- 2y)(x + 4y)
Kết luận:
- Qua các ví dụ trên giáo viên có thể hướng cho học sinh cách nhận dạng và
vận dụng một cách hợp lý các hằng đẳng thức trong quá trình phân tích đa thức
thành nhân tử.
- Giáo viên yêu cầu học sinh học thuộc bảy hằng đẳng thức theo chiều biến
đổi từ tổng thành tích.
- Lưu ý đôi khi cần phải đổi dấu để xuất hiện hằng đẳng thức

Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
a. Phương pháp
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện
một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng
thức.
b.Ví Dụ:


* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:
Ví dụ 3.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
x2 – 3x + xy – 3y
Giải:
x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y)
= x(x – 3) + y.(x – 3)
= (x – 3)(x + y)
* Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Ví dụ 3.2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
x2 – 4x + 4 – y2
Giải: x2 – 4x + 4 – y2 = (x2 – 4x + 4) – y2

= (x – 2)2 – y2
= (x – 2 – y)(x – 2 + y)
* Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:
Ví dụ 3.3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
x2 + 2x – y2 – 2y
Giải:
x2 + 2x – y2 – 2y = (x2 – y2 ) + (2 x - 2y )
= (x + y)(x – y) + 2(x - y)
= (x - y)(x + y + 2)
Kết luận:
- Như vậy đa thức chỉ có thể phân tích được tiếp sau khi nhóm một cách hợp
lý các hạng tử, việc nhóm một cách hợp lý các hạng tử trong đa thức đều phải
phân tích được .
- Giáo viên cần lưu ý cho học sinh khi nhóm ban đầu thì phân tích được nhưng
đi tiếp thì không thực hiện được nữa
Ví dụ : x2 + 2x – y2 – 2y = (x2 +2x) – ( y2+ 2y)


= x( x+2) – y (y + 2) (không phân tích được
nữa)
-Trong quá trình nhóm các hạng tử, phải chú ý tới dấu của các hạng tử sau khi
nhóm.
Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp
a. Phương pháp:
Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán một
cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp.
Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:
- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức nếu có.

- Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc là hằng
đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu các hạng tử.
b. Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 4.1 : 5x3 – 10x2y+ 5xy2 =5x( x2 – 2xy + y2) ( Đặt nhân tử chung)
=5x (x - y )2 ( Dùng hằng đẳng thức)
Ví dụ 4.2: 2x3y - 2xy3 - 4xy2 – 2xy
= 2xy(x2 – y2 – 2y – 1) ( Đặt nhân tử chung)
= 2[x2 –( y2 + 2y + 1) ] (Nhóm các hạng tử)
= 2[x2 – ( y + 1 )2] ( Dùng hằng đẳng thức)
= 2(x – y - 1)(x + 1 + y)
Kết luận: Khi dạy phương pháp này giáo viên cần lưu ý cho học minh một số
vấn đề sau:
- Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau khi đặt nhân tử
chung ta thấy các hạng tử còn lại trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức) sau đó
nhóm các hạng tử thích hợp, dùng hằng đẳng thức phân tích tiếp đa thức.
Như vậy để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta có thể sử dụng phối hợp
nhiều phương pháp nhưng không nhất thiết phải theo một trình tự nhất định nào.
Các phương pháp được sử một cách phù hợp trong từng trường hợp, từng bài
toán cụ thể.


3. Các phương pháp khác (nâng cao)
Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đối với đa thức bậc hai
ax2 + bx + c ).
a. Phương pháp:
- Tách một trong các hạng tử của đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất
hiện dạng nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức.
b. Ví dụ:
Có những đa thức ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, cũng không
có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể nhóm các

hạng tử. Như vậy để phân tích đa thức trên thành nhân tử chung ta cần phải có
cách biến đổi khác. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn
bằng cách tách một trong các hạng tử của đa thức thành 2 hay nhiều hạng tử.
Giải: . Ví dụ 5. 1: 3x2 – 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)
= (x – 2)(3x – 2)
Tổng quát: Trong phương pháp này giáo viên nên đưa ra phương pháp chung
để học sinh biết cách thực hiện .
Để phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử ta đưa về dạng
ax2 + b1x + b2x + c bằng cách tách hạng tử bx thành b1x + b2x sao cho
b1
c
=
hay b1b2 = ac
a
b2

Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Lập tích ac.
Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách .
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Áp dụng: Phân tích đa thức: 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử
Ta có: a = 3 ; b = -8 ; c = 4


Bước 1: ac = 3.4 = 12
Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1

Bước 3: b = -8 = (-6) + ( - 2)
Vậy ta tách hạng tử: -8x = -6x - 2x
Khi đó ta có lời giải: 3x2 – 8x + 4
= 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Chú ý:
*. Đa thức dạng ax2 + bxy + cy2 khi phân tích cách làm tương tự như đa
thức bậc 2 một biến
Ví dụ: 5.2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 7xy + 3y2
Giải
Cách 1:

4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 4xy - 3xy + 3y2
= 4x(x - y) - 3y(x - y)
= (x - y)(4x - 3y)

Cách 2:

4x2 - 7xy + 3y2 = 4x2 - 8xy + 4y2 + xy - y2
= 4(x2 - 2xy + y2) + y(x - y)
= 4(x - y)2 + y(x - y)
= (x - y)(4x - 3y)

*. Đa thức bậc hai ax2 + bx + c không phân tích thành tích các nhân tử
trong phạm vi số hữu tỷ. Nếu:
- Khi phân tích a.c ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách không có 2
thừa số nào có tổng bằng b.
Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
a. Phương pháp:
Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc
nhóm nhiều hạng tử. Thông thường hay đưa về dạng a2- b2 sau khi thêm bớt .

b. Ví dụ:
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:
Ví dụ 6.1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)


= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)
2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 6.2: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
Ví dụ 6. 3: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x +
1)
Ghi nhớ:
Các đa thức có dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1
x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ; … đều có nhân tử chung là x2 + x + 1
Phương pháp 7: Phương pháp đặt ẩn phụ ( đổi biến số)
a) Phưong pháp:
- Đặt ẩn phụ, đổi biến của đa thức đã cho thành đa thức mới có bậc nhỏ hơn và
đơn giản hơn. Thực hiện phân tích đa thức theo các phương pháp cơ bản.
b. Ví dụ 7.1:

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] +

128
= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng

(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Phương pháp 8: Phương pháp tìm nghiệm của đa thức
a. Phương pháp: Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự
do, q là ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của
các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1


+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì

f(1)
f(-1)
và
đều là
a-1
a+1

số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
b. Ví dụ 8.1: x3 – x2 - 4
Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = ±1; ±2; ±4 , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2
là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành
các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2
Cách 1:
3
2
2
2

x3–x2–4= ( x − 2 x ) + ( x − 2 x ) + ( 2 x − 4 ) = x ( x − 2 ) + x( x − 2) + 2( x − 2) =

( x − 2) ( x2 + x + 2)
3
2
3
2
3
2
2
Cách 2: x − x − 4 = x − 8 − x + 4 = ( x − 8 ) − ( x − 4 ) = ( x − 2)( x + 2 x + 4) − ( x − 2)( x + 2)
2
2
= ( x − 2 ) ( x + 2 x + 4 ) − ( x + 2)  = ( x − 2)( x + x + 2)

Ví dụ 8.2: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xét: ±1, ±5 không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm
nguyên. Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x =

1
là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên
3

f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 =
3 x 3 − x 2 − 6 x 2 + 2 x + 15 x − 5 = ( 3 x 3 − x 2 ) − ( 6 x 2 − 2 x ) + ( 15 x − 5 )

= x 2 (3x − 1) − 2 x(3x − 1) + 5(3x − 1) = (3 x − 1)( x 2 − 2 x + 5)
Vì x 2 − 2 x + 5 = ( x 2 − 2 x + 1) + 4 = ( x − 1)2 + 4 > 0 với mọi x nên không phân tích được
thành nhân tử nữa

Ví dụ 8.3: x3 + 5x2 + 8x + 4
Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các
hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4)
= x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Ví dụ 8.4: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2


Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x –
1) ta có:
x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vì x4 - x3 + 2 x2 - 2 x -2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ
nên không phân tích được nữa
Phương pháp 9: Phương pháp hệ số bất định
a. Phương pháp:
Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc
nhất, một đa thức bậc hai rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này với
hệ số của đa thức kia.
b.Ví dụ 9.1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xét: các số ± 1, ± 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có
nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
 a + c = −6
 ac + b + d = 12

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có: 
 ad + bc = −14

bd = 3

Xét bd = 3 với b, d ∈ Z, b ∈ { ±1, ±3} với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở
thành
 a + c = −6
 ac = −8
2c = −8 c = −4

⇒
⇒

a
+
3
c
=
−
14
ac
=
8

a = −2

bd = 3

Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
Biện pháp:
Để thực hiện tốt kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử nêu trên thành thạo
trong thực hành giải toán, giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ

bản sau:


- Củng cố lại các phép tính, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu
ngoặc ở các lớp 6, 7.
- Học sinh cần lắm được quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức
với đa thức. Học sinh cần học thuộc 7 hằng đẳng thức đáng nhới theo chiều
từ tổng thành tích.
- Nhận xét quan hệ giữa các hạng tử trong bài toán (về các hệ số, các biến)
- Xét xem bài toán đã cho thuộc dạng nào? Áp dụng phương pháp nào
trước, phương pháp nào sau (đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức hoặc
nhóm nhiều hạng tử, hay dạng phối hợp các phương pháp)
- Chọn lựa phương pháp giải thích hợp
V. Kết quả đạt được:
Tôi nhận thấy trước khi chưa áp dụng sáng kiến vào dạy bộ môn toán các
em học sinh học theo tính tiêu cực như: Đa số các em lười làm bài cũ trước khi
đến lớp, một số em có làm thì sai rất nhiều .
Sau khi tôi áp dụng sáng kiến “Các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử". Các em hứng thú hơn trong việc tìm hiểu, khám phá các bài tập một
cách dễ dàng hơn. Đặc biệt trong các tiết luyện tập các em say mê làm bài tập
và học hỏi lẫn nhau. Ngay cả học sinh trung bình yếu, các em cũng xác định cho
mình phương pháp học tập tốt hơn. Đối với học sinh giỏi, khá các em đã phát
triển tư duy, cách nghĩ, cách làm tích cực và chủ động hơn. Khi giải các bài tập
khó các em có tự tin, kết quả đạt được trong các bài kiểm tra đã được nâng cao.
Tôi cho rằng đó là yếu tố quan trọng để học sinh ngày càng học tập tốt. Điều đó
góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đào tạo. Sau khi dạy thực nghiệm với
phương pháp tích cực bằng những câu hỏi trắc nghiệm tôi đã thăm dò ý kiến học
sinh, kết hợp việc đánh giá qua các bài kiểm tra với kết quả như sau:
* Kết quả trước khi thực hiện:
Giỏi

Khá

TB

Yếu

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

8A

40

10

25

10

25

15

37,5

5

12,5

8B

40

2

5

11

27,5

15

37,5

12

30


8C

39

0

0

2

5,1

20

51,2

17

43,7

Tổng

119

12

10,1

23

19,3

50

42,0

34

28,6

* Kết quả sau khi thực hiện:
Giỏi

Khá

TB

Yếu

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

8A

40

13

32,5

14

35

13

32,5

0

8B

40

4

10

13

32,5

16

40

7

17,5

8C

39

0

0

5

12,8

24

61,5

10

25,6

32

26,8

53

44,5

17

14,5

Tổng

17
14,2
119
VI. Bài học kinh nghiệm:

Qua quá trình dạy thực nghiệm và bằng nhiều năm giảng dạy tôi đã rút ra
được những kinh nghiệm sau:
1. Đối với giáo viên:
- Giáo viên phải có lòng nhiệt tình, yêu nghề, say mê với công việc giảng dạy,

tìm hiểu rõ tâm lý của từng lứa tuổi, từ đó tìm ra những phương pháp phù hợp
với đặc trưng bộ môn, giúp học sinh có khả năng tiếp thu lĩnh hội kiến thức tốt
hơn.
- Hàng năm mỗi giáo viên ngoài việc giảng dạy trên lớp phải có kế hoạch xây
dựng các hoạt động dạy học như tổ chức học chuyên đề, sinh hoạt tập thể, ngày
hội vui toán học....., luôn tìm ra những phương pháp mới, hợp lý mang tính sáng
tạo, phù hợp với từng nội dung và đặc thù từng bộ môn để kích thích sự tò mò,
tìm tòi, nghiên cứu và khả năng phát triển tư duy của học sinh.
- Để tổ chức các hoạt động dạy học đạt kết quả cao giáo viên phải chuẩn
bị chu đáo các phương pháp cho từng nội dung. Đồng thời giáo viên nên
hướng dẫn tỉ mỉ cácdạng bài tập, để thu hút được mọi đối tượng học sinh
tham gia, làm cho bài giảng đạt hiệu quả cao nhất.
- Trong mỗi bài giảng giáo viên phải lường trước những tình huống, sự cố có
thể xảy ra, để không bị động khi có những thí nghiệm không thành công
2. Đối với học sinh:
- Phải yêu khoa học, say mê trong học tập, thích tìm hiểu cái mới, phải rèn
cho mình có bản lĩnh khi làm bài tập. Chuẩn bị chu đáo và thực hiện nghiêm túc


những nội dung yêu cầu của giáo viên đặt ra.
- Rèn luyện tính tư duy sáng tạo, ý thức tự giác, hứng thú với môn học và cần
linh động trong học tập, đồng thời rèn luyện tính tập thể và ý thức tham gia
trong các hoạt động học tập, nắm bắt được kiến thức cơ bản ngay trên lớp và có
thể áp dụng vào thực tiễn.
- Trong quá trình học tập các em cần cố gắng tìm tòi, khám phá những cái
mới, cái chưa từng thấy bao giờ thì sẽ đem lại những kết quả cao và bền vững
hơn.
- Sau mỗi buổi học yêu cầu học sinh cần lĩnh hội được những kiến thức cơ
bản để học sinh biết cách vận dụng một cách linh hoạt trong thực tế cũng như
trong bài học.

3. Đối với nhà trường:
- Trang bị đầy đủ đồ dùng giảng dạy, các thiết bị dạy học.
- Tạo điều kiện thuận lợi nhất để giáo viên thiết kế bài giảng đạt chất lượng
cao.
4. Phạm vi áp dụng đề tài.
Sáng kiến kinh nghiệm: “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”
nhằm phát huy khả năng tư duy, sáng tạo trong học sinh có thể áp dụng trong
các tiết luyện tập.
5. Những vấn đề còn bỏ ngỏ.
Sáng kiến kinh nghiệm: “Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”
là quá trình đúc kết kinh nghiệm, tìm tòi và nghiên cứu tài liệu, học hỏi
đồng nghiệp qua các họat động dạy học. Xong vì thời gian hạn hẹp, bề dày
kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên trong quá trình thực hiện không
tránh khỏi những sai sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các độc giả
và các đồng nghiệp để đề tài của tôi hoàn thiện hơn, nhằm góp phần nâng
cao chất lượng dạy và học bộ môn toán học THCS.
VII. Điều kiện để sáng kiến được nhân rộng:
* Nhân lực: Nhà trường cần có kế hoạch xây dựng, đầu tư về con người cũng
như vật chất trong các hoạt động chuyên môn.
* Trang thiết bị:


- Cơ sở vật chất: Phải có đủ phòng chức năng cho bộ môn, máy tính có gắn
loa, máy chiếu, ánh sáng phòng học đầy đủ...
- Đồ dụng dạy học: hành năm cần bổ xung các dụng cụ còn thiếu hay bị hỏng.
- Phòng thư viện cần mua các sách nâng cao, tài liệu tham khảo cho giáo viên,
học sinh để nâng cao chất lượng dạy và học.
* Kỹ thuật: Nắm chắc các bước tiến hành dạy học, hiểu được từng đối tượng
học sinh mà có cách giảng phù hợp nhất .

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ:
1. Kết luận:
Như vậy, việc áp dụng sáng kiến trong hoạt động dạy học ở trường THCS đã
có những tiến bộ vượt bậc, mang lại kết quả khả quan. Thông qua các bài giảng
học sinh không chỉ được hình thành, rèn luyện, củng cố kiến thức, kỹ năng làm
bài tập mà học sinh còn được mở rộng, nâng cao kiến thức, biết vận dụng vào
thực tế trong đời sống, đồng thời rèn cho học sinh có kĩ năng sống tốt, có bản
lĩnh vững vàng khi đứng trước một tình huống xảy ra. Qua các dạng bài tập học
sinh ngày một say mê, hứng thú tìm tòi hơn với môn toán học.Căn cứ vào kinh
nghiệm của bản thân và đồng nghiệp, tôi đã hệ thống hóa một cách khá đầy đủ,
cụ thể, tỉ mỉ về biện pháp thực hiện, cách thức tiến hành từng dạng bài tập.Từ đó
tôi cũng rút ra cho mình cần thay đổi các phương pháp dạy học sao cho phù hợp
với từng kiểu bài, từng nội dung để chất lượng giáo dục ngày càng nâng cao.
2. Khuyến nghị:
Bộ môn toán học là bộ môn khoa học,giúp rèn luyện tư duy sáng tạo của mỗi
học sinh. Tuy nhiên, mục đích cuối cùng của bài giảng là giúp học sinh nắm
vững, hiểu sâu nội dung kiến thức bài học, phát triển khả năng tư duy, nhận thức
từ đó biết vận dụng kiến thức để giải các bài tập từ khó đến dễ. Để chuẩn bị cho
một buổi học người giáo viên mất rất nhiều thời gian và công sức, nhất là trong
hoàn cảnh hiện nay các trường học không phải trường nào cũng có đủ các điều
kiện về cơ sở vật chất đáp ứng được yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học. Vì
vậy tôi xin có những kiến nghị sau:
+ Đối với nhà trường


- Cần phải có cán bộ phụ trách thiết bị chuyên trách có chuyên môn được đào
tạo bài bản.
- Các trường học cần có đủ máy chiếu, máy tính trong phòng học cho học
sinh quan sát, tránh tình trạng giáo viên giảng chay mất đi sự hứng thú của học
sinh.

- Tạo điều kiện về thời gian, không gian, tổ chức các chuyên đề cấp trường
để giáo viên có thể áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy.
+ Đối với phòng giáo dục:
- Tổ chức các chuyên đề về vấn đề nghiên cứu (phân tích các đa thức thành
nhân tử) để giáo viên được dự giờ, nghiên cứu trao đổi học hỏi các đồng nghiệp,
cùng tìm ra các biện pháp hay.
- Đưa thêm vào chương trình Tự chọn Toán 8, chuyên đề “phân tích đa thức
thành nhân tử”.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 . Sách GV, SGK Toán THCS - Phan Đức Chính – Tôn Thân – Nhà xuất
bản GD
2. Nâng cao và phát triển Toán 8 - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản GD
3. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8 - Bùi Văn Tuyền - Nhà xuất
bản GD.
4.Tài liệu tập huấn dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả hoc tập theo định


hướng phát triển năng lực học sinh (Bộ giáo dục và đào tạo)