Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
SƠ LƯỢC LÍ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1.Họ và tên: VŨ ĐỨC BIÊN
2.Ngày tháng năm sinh: 20/06/1985
3.Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 340, Tổ 2 ấp 2, Vĩnh Tân, Vĩnh Cửu, Đồng Nai
5. Điện thoại: 0938142284
6. Fax:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Đơn vị công tác: THCS HIẾU LIÊM
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ cao nhất): CĐSP
- Năm nhận bằng: 2006
- Chuyên ngành đào tạo: TOÁN – TIN
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Gỉảng dạy
Số năm có kinh nghiệm: 5
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 1
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài :
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa là biến đổi nó thành một tích
của những đơn thức và đa thức.Việc phân tích một đa thức thành nhân tử là một trong
những kĩ năng cơ bản nhất của chương trình đại số bậc THCS. Kĩ năng này được sử
dụng khi giải các bài toán : biến đổi đồng nhất các biểu thức toán học, giải phương
trình ,chứng minh bất đẳng thức, qui đồng mẫu các phân thức, rút gọn phân thức, chứng
minh một số bài toán chia hết. ….
Song việc lựa chọn một phương pháp như thế nào để cho phù hợp với từng bài

toán, từng dạng bài thì các em học sinh còn lúng túng rất nhiều, nhiều bài các em không
biết làm, nếu có làm được thì các em cũng không phân tích ra được kết quả tối giản
nhất nên kết quả thực hành phân tích của các em còn nhiều hạn chế dẫn đến chất lượng
học tập còn thấp.
Mặt khác việc phân tích đa thức thành nhân tử là cả một quá trình các em học
sinh phải vận dụng nhiều kiến thức có liên quan như các hằng đẳng thức đáng nhớ, các
kỹ năng thêm bớt, kỹ năng tách các hạng tử thích hợp, kỹ năng tính toán, nhẩm nghiệm,
kỹ năng chia đa thức cho đa thức .Để thực hiện tốt các dạng bài tập này đòi hỏi các em
sử dụng các thao tác tư duy trên cơ sở nắm chắc các kiến thức có liên quan.
Xuất phát từ các lý do trên và thực tế dạy học toán ở trường THCS, nhằm giúp
học sinh chủ động sử dụng các phương pháp phù hợp để thực hành giải dạng toán phân
tích đa thức thành nhân tử để trên cơ sở ấy các em vận dụng vào giải tốt các bài toán có
liên quan, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán trong nhà trường, tôi xin
được trình bày đề tài :
“Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 2
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
II.Mục tiêu chung của tiết phân tích đa thức thành nhân tử
-Với mỗi phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cần khắc sâu vào nội
dung mỗi phương pháp; giúp học sinh làm thành thạo các bài tập cơ bản.
-Cung cấp học sinh một số kiến thức liên quan để vận dụng trong việc phân
tích đa thức thành nhân tử; các bài tập cung cấp cho học sinh từ dễ đến khó, từ đơn
giản đến phức tạp. Hạn chế việc đưa ra đa thức có quá 3 biến.
-Về kỹ năng: Học sinh vận dụng được các phương pháp cơ bản phân tích đa thức
thành nhân tử : Đặt nhân tử chung, Dùng hằng đẳng thức, Nhóm các hạng tử - Phối hợp
các phương pháp phân tích nhân tử cơ bản .
-Về tư duy: Học sinh có khả năng tư duy lôgic, có khả năng tìm tòi sáng tạo, đặt ra bài
toán mới…
III. Nhiệm vụ nghiên cứu :

- Hệ thống hóa được các phương pháp cơ bản và một số phương pháp nâng cao
để trang bị cho các em học sinh, giúp các em vận dụng một cách linh hoạt các
phương pháp này vào từng dạng bài tập cụ thể để góp phần nâng cao chất lượng
dạy học toán trong nhà trường.
- Nêu ra một số dạng bài tập cơ bản thường gặp và cách giải các bài tập đó.
IV. Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8 trườngTHCS Hiếu Liêm.
Điểm KSCL đầu năm:
Tổ
ng
số
Giỏi Khá Trung bình Yếu
Kém
SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ
43
1 2,3% 7 16,3% 15 34,9% 13 30,2% 7
16,3
%
V.Các phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình làm đề tài này tôi có dùng một số phương pháp nghiên cứu sau:
1. Nghiên cứu lý luận qua đọc sách giáo khoa hướng dẫn giảng dạy, sách tham
khảo, tạp chí toán học có liên quan đến đề tài.
2. Quan sát thực tiễn sư phạm (dự giờ thăm lớp).
3. Tổng kết các kinh nghiệm của đồng nghiệp.
4. Qua thực nghiệm sư phạm bằng các tiết giảng dạy của giáo viên.
5. Tăng cường kiểm tra, trắc nghiệm để nghiệm lại kết quả, từ đó điều chỉnh các
bước cho phù hợp.
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 3
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
PHẦN 2 : NỘI DUNG

A . CƠ SỞ LÝ LUẬN
Việc phân tích đa thức thành nhân tử nhằm giúp học sinh thực hiện tốt các dạng bài
toán: Biến đổi đồng nhất các biểu thức toán học, giải phương trình, chứng minh bất
đẳng thức, chứng minh một số bài toán chia hết…
Ngoài ra việc phân tích đa thức thành nhân tử là cả một quá trình các em học sinh phải
vận dụng nhiều kiến thức có liên quan như: các hằng đẳng thức, kỹ năng thêm bớt, kỹ
năng tách hạng tử thích hợp, kỹ năng tính toán, nhẩm nghiệm, kỹ năng chia đa thức…
Thực trạng trước khi thực hiện đề tài:
• Thuận lợi:
-Được sự quan tâm giúp đỡ của Ban giám Hiệu, sự hậu thuẫn đắc lực của nhiều thầy cô
trong tổ
-Cơ sở vật chất khá đầy đủ.
-Tài liệu tham khảo phong phú.
• Khó khăn:
-Là một mảng kiến thức rộng,được sử dụng trong nhiều dạng bài tập
-Thời lượng số tiết học quá ít, nên sự phân tích đầy đủ các dạng bài tập chưa sâu.
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
* PHƯƠNG PHÁP 1: ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG.
1. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG:
- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
a(b+c) = ab + ac.
- Nhân đơn thức.
- Đổi dấu một đa thức.
2. PHƯƠNG PHÁP:
-Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác.
-Tìm nhân tử chung.
-Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử
ở trong ngoặc với dấu của chúng.
3. CÁC VÍ DỤ:
a/ Ví dụ1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 15x
2
y
2
- 5x
2
y - 25xy
2
Giải :
Các hạng tử của đa thức đã cho có thể viết:
15x
2
y
2
= 5xy.3xy
-5x
2
y = 5xy.(-x)
-25xy
2
= 5xy(-5y)
Nhân tử chung của đa thức là : 5xy
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 4
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Vậy: 15x
2
y
2
- 5x

2
y - 25xy
2

= 5xy(3xy - x - 5y)
b/ Ví dụ2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
3x
2
(x - y) + 12y(y - x)
Giải :
Để làm xuất hiện nhân tử chung (x-y) ta cần đổi dấu đa thức như sau
(y –x) =-(x -y)
Do đó : 3x
2
(x-y) + 12y(y-x)
=3x
2
(x-y) - 12y(x - y)
= 3(x-y)(x
2
- 4y)
c/ Ví dụ 3: ( 4x - 8)(x
2
+6) – (4x - 8)(x +7) + 9.(8 - 4x)
Giải
( 4x - 8)(x
2
+6) – (4x - 8)(x +7) + 9.(8 -4x)
=( 4x - 8)[x
2

+6 –(x + 7) – 9]
=( 4x - 8)(x
2
- x - 10)
* PHƯƠNG PHÁP 2: DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
1. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG:
- Trong nhiều trường hợp ta có thể sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ theo chiều
biến đổi từ một vế là đa thức sang vế kia là một tích của các nhân tử hoặc lũy thừa
của một đa thức đơn giản hơn.
- Ôn tập các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2. PHƯƠNG PHÁP:
- Phát hiện và quy về dạng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Áp dụng các hằng đẳng thức viết các đa thức thành dạng tích của các nhân tử hoặc
lũy thừa của một đa thức đơn giản hơn.
3. CÁC VÍ DỤ:
a/ Ví dụ 1. Phân tích đa thức 4x
2
+ 16x + 16 thành nhân tử:
Giải:
4x
2
+ 16x + 16 = (2x)
2
+ 2.2x.4 + 4
2
=(2x + 4)
2
b/ Ví dụ 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 27 + x
3
y

3
Giải:
27 + x
3
y
3
= 3
3
+ (xy)
3
= (3 + xy)(9 - 3xy

+ x
2
y
2
)
. Chú ý : Đôi khi ta phải đổi dấu của đa thức để làm xuất hiện hằng đẳng thức
c/ Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 5
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
( )
2
22
2
222
2
2
44224422

5
2
3
5
2
5
2
.3.23
25
4
9
5
12
25
4
9
5
12






−−=















+−−=






++−−=−−
yxyyxx
yxyxyxyx
d/ Ví dụ 4 : 4x
2
– ( x
2
+1)
2
Giải
4x
2
– ( x
2

+1)
2
=( 2x + x
2
+ 1)(2x – x
2
– 1 )
= -(x + 1)
2
(x -1)
2
e/ Ví dụ 5: (x - y - 1)
2
+ 2(x - y - 1)+ 1
Giải
(x - y - 1)
2
+ 2(x - y -1) + 1
=(x - y -1 +1)
2
=(x - y )
2
* PHƯƠNG PHÁP 3: NHÓM NHIỀU HẠNG TỬ.
1. NHỮNG KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG:
- Ôn tập tính chất kết hợp của phép cộng.
- Khi sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
nhóm nhiều hạng tử ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử, nhóm các hạng tử
thích hợp nhằm làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức giữa các nhóm.
2. PHƯƠNG PHÁP:
- Phát hiện các hạng tử có chứa nhân tử chung kết hợp chúng thành từng nhóm rồi

đặt nhân tử chung (hay dùng hằng đẳng thức).
- Phân tích riêng từng nhóm để làm xuất hiện các nhân tử chung mới hoặc làm xuất
hiện hằng đẳng thức mới.
- Làm liên tục như vậy cho đến khi viết được đa thức thành dạng tích.
3. CÁC VÍ DỤ:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) Ví dụ 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x
2
– 3x + xy - 3y
Cách 1: x
2
– 3x + xy -3y
= (x
2
– 3x) + (xy -3y)
= x(x - 3) + y(x – 3)
=(x – 3)(x +y)
Cách 2: x
2
– 3x + xy -3y
= (x
2
+ xy) – (3x + 3y)
= x(x + y )- 3 (x + y)
= (x +y)(x – 3)
b) Ví dụ2 : Tính nhanh: 15.64 +25.100 + 36.15 + 60.100
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 6
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Giải:

15.64 +25.100 + 36.15 + 60.100
= (15.64 + 36.15) +(25 .100 + 60.100)
= 15( 64 + 36) + 100 (25 +60)
= 15.100 + 100.85
=100(15 + 85) = 100 .100 = 10000
c) Ví dụ3: x
2
- 2xy + y
2
- ax + ay
Giải:
x
2
-2xy+y
2
-ax+ay
=( x
2
-2xy+y
2
)-(ax-ay)
=(x-y)
2
-a(x-y)
=(x-y)(x-y-a)
d/ Ví dụ 4 : x
2
- xz – 9y
2
+3yz

Giải
x
2
- xz – 9y
2
+3yz
= (x
2
– 9y
2
) + (-xz + 3yz)
=(x -3y)(x +3y)-z(x -3y)
=(x -3y)(x +3y- z)
e/ Ví dụ 5 : x
2
+ 4x – y
2
+ 4
Giải
x
2
+ 4x – y
2
+ 4 = (x
2
+ 4x + 4) – y
2

= (x + 2)
2

– y
2
= (x + 2 – y)(x + 2 + y)
* PHƯƠNG PHÁP 4: PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
1. PHƯƠNG PHÁP :
Trong một số trường hợp ta phải phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức
thành nhân tử.
Thông thường để phân tích một đa thức thành nhân tử ta xét đến phương pháp đặt
nhân tử chung trước tiên, tiếp đó xét xem có thể sử dụng được các hằng đẳng thức đã
học hay không.
- Nếu đa thức có nhân tử chung thì đầu tiên nên đặt nhân tử chung ra ngoài dấu
ngoặc. Đa thức trong ngoặc sẽ đơn giản hơn đa thức đã cho, sau đó ta phân tích tiếp
(nếu cĩ thể).
- Nhóm nhiều hạng tử sao cho mỗi nhóm có nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức.
- Phân tích mỗi nhóm để làm xuất hiện tiếp nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức.
2. VÍ DỤ : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 7
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
a) ) Ví dụ 1:
2 2
2 2 2x y x xy y− − + −
Giải:
2 2
2 2 2x y x xy y− − + −
=
( )
( )
( ) ( )
2

2 2
2 2 2 2x y x xy y x y x y
− − − + = − − −
=
( ) ( )
2x y x y− − +
b) Ví dụ 2: x
2
– 2xy + y
2
– 9
Giải:

( )
2 2 2 2
2 9 2 9x xy y x xy y− + − = − + −
=
( )
2
9x y− −
=
( ) ( )
3 3x y x y− − − +
c) Ví dụ 3 :
3 2 2
2 9x x y xy x+ + −
Giải:
3 2 2
2 9x x y xy x+ + −
=

( )
2 2
2 9x x xy y+ + −
=
( )
2
2
3x x y
 
+ −
 
=
( ) ( )
3 3x x y x y+ − − −
d/ Ví dụ 4 : (xy +4)
2
- 4(x +y)
2
Giải
(xy +4)
2
-4(x +y)
2
=[(xy+4) -2(x +y)][(xy +4)+2(x +y)]
=(xy +4 -2x -2y)(xy +4+2x+2y)
=[x(y -2) – 2(y -2)][x(y +2)+2(y+ 2)]
=(x - 2)(y – 2)(x +2)(y+ 2)
* MỘT VÀI KĨ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬ:
1. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ

1.1. PHƯƠNG PHÁP:
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử một cách hợp lý rồi áp dụng các phương
pháp cơ bản để phân tích tiếp.
Mỗi một đa thức có thể có nhiều cách tách một hạng tử thành hai hạng tử ,trong đó
hai cách sau là thông dụng nhất :
- Tách hạng tử tự do(hằng số) rồi áp dụng các phương pháp cơ bản để phân tích
tiếp.
- Trong tam thức ax
2
+bx+c hệ số b được tách thành b = b
1
+ b
2
sao cho
b
1
.b
2
= a.c, trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích a.c.
Bước 2: Phân tích ac thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 8
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Bước 3: Chọn hai thừa số có tích bằng ac nói trên mà có tổng bằng
1.2. CÁC VÍ DỤ:
a/ Ví dụ1.Phân tích đa thức 3x
2
+ 5x - 2 thành nhân tử:
Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp

nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
b1 : Tính a.c = 3.(-2) = -6
b2: Phân tích -6 thành tích hai thừa số trái dấu, trong đó thừa số dương có giá trị
tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 5)
-6 = (-1).6= (-2).3
b3 : Chọn hai thừa số có tổng bằng 5 đó là -1 và 6.
Vậy ta có thể phân tích như sau:
3x
2
+ 5x - 2
= 3x
2
- x + 6x - 2
= (3x
2
- x) + (6x - 2)
= x(3x - 1) + 2(3x - 1)
= (3x - 1)(x + 2)

Chú ý: Đối với tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c (a ≠ 0) để thuận tiện khi phân tích
thành nhân tử ta dựa vào nhận xét sau:
- Nếu b
2
- 4ac là bình phương của một số hữu tỷ thì có thể tiếp tục phân tích tam thức
thành nhân tử bằng một trong các phương pháp đã biết hoặc bằng cách đề ra bình
phương đủ.
- Nếu b
2

- 4ac không là bình phương của một số hữu tỷ nào thì không thể phân tích
tiếp được nữa.
b/ Ví dụ 2 : Tam thức f(x) = 2x
2
- 7x + 3
Có b
2
- 4ac = (-7)
2
- 4.2.3 = 49 - 24 = 25 = 5
2
nên có thể phân tích tiếp được bằng
cách tách số hạng 7x = 6x + x hoặc bằng cách tổng quát là đề ra bình phương đủ.
( )
2 2 2
2 2
7 3 7 49 25
2 7 3 2 2
2 2 2 16 16
7 5 1
2 2 3
4 4 2
x x x x x x
x x x
   
− + = − + = − + −
 ÷  ÷
   
 
     

= − − = − −
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
 
+ Nếu f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì f(x) = a(x - x
1
)(x - x
2
)
c/ Ví dụ 3:
2
4 3x x− +
Giải
2
4 3x x− +
=
2
3 3x x x− − +
=
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 1 1 3x x x x x− − − = − −

d/ Ví dụ 4: x
2
– y
2
+10x - 6y +16
Giải
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 9
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
x
2
– y
2
+10x - 6y +16
=x
2
– y
2
+ 10x - 6y + 25 - 9
=(x
2
+ 10x + 25) –( y
2
+ 6y + 9)
=(x + 5)
2
- (y + 3)
2

=(x – y +2)(x + y + 8)

2. THÊM BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
2.1. PHƯƠNG PHÁP:
Cộng thêm vào đa thức một hạng tử thì đồng thời cũng phải bớt hạng tử đó để
đa thức không đổi.
Khi sử dụng phương pháp này (thêm, bớt) phải nhằm hướng đến xuất hiện hằng
đẳng thức (thường là A
2
- B
2
, A
3
- B
3
… ) hoặc xuất hiện nhân tử chung.
2.2. CÁC VÍ DỤ:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) Ví dụ1: 4y
4
+ 81
Giải:
4 y
4
+ 81
=(2 y
2
)
2
+ 2.18 y
2
+ 9

2
– 36y
2

= (2y
2
+ 9)
2
- (6y)
2

= (2y
2
+ 9 – 6y)(2y
2
+ 9 + 6y)
b/ Ví dụ2: x
4
+ 4
Giải:
= (x
2
)
2
+ 2.2x
2
+ 4 - 4x
2
= (x
2

+ 2)
2
- (2x)
2

= (x
2
+ 2 - 2x)(x
2
+ 2 + 2x)
c/ Ví dụ3: x
7
+ x
2
+ 1
Giải:
x
7
+ x
2
+ 1
= x
7
– x + x
2
+ x + 1
= x(x
6
- 1) + (x
2

+ x + 1)
= x(x
3
- 1)(x
3
+ 1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x - 1)(x
2
+ x + 1)(x
3
+ 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)[x(x - 1)(x
3
+ 1) + 1]
d/ Ví dụ 4: x
5
+ x + 1
Giải
Cách 1: x
5
+ x + 1
= x
5
+ x

4
+ x
3
– x
4
– x
3
– x
2
+ x
2
+ x +1
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 10
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
= x
3
(x
2
+ x +1 ) – x
2
(x
2
+ x + 1) +(x
2
+ x +1)
=(x
2
+ x +1 )(x
3

- x
2
+ 1)
Cách 2: x
5
+ x + 1
=x
5
- x
2
+ x
2
+ x +1
=x
2
(x
3
-1)+ ( x
2
+ x +1)
= x
2
(x -1) ( x
2
+ x +1) + ( x
2
+ x +1)
=( x
2
+ x +1)( x

3
- x
2
+1)
e/ Ví dụ 5: x
4
+ 5x
3
+ 10x – 4
Giải
x
4
+ 5x
3
+ 10x – 4
= x
4
+ 5x
3
+ 10x – 4 +2x
2
– 2x
2
=(x
4
+5x
3
-2x
2
) +(2x

2
+ 10x -4)
=x
2
( x
2
+5x -2)+2( x
2
+5x -2)
=( x
2
+5x -2)(x
2
+2)
3. ĐẶT ẨN PHỤ
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a/ Vídụ1: A = (x
2
+ x)(x
2
+ x + 1) – 2;
Giải:
A = (x
2
+ x)(x
2
+ x +1) – 2
Đặt t = x
2
+ x , ta có:

A = t(t + 1) – 2
= t
2
+ t – 1 - 1
= (t
2
- 1) + (t - 1)
= (t -1)(t + 1) + (t - 1)
= (t - 1)(t + 1 + 1)
= (t - 1)(t + 2)
Thay trở lại ta có: A = (x
2
+ x - 1)(x
2
+ x + 2)
b/Vídụ 2: B = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Giải:
Ta có: B = x(x + 10)(x + 4)(x + 6) + 128
= ( x
2
+10x)(x
2
+10x+24)+128
Đặt t =x
2
+10x+12:
B = (t-12)(t+12)+128
= t
2
-16

= (t-4)(t+4)
= (x
2
+10x+16)(x
2
+10x+8)
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 11
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
= (x+8)(x+2)(x+5-
17
)(x+5+
17
).
c/ Ví dụ 3: x(x +4)(x +6)(x +10) + 128
Giải
x(x +4)(x +6)(x +10) + 128
=x(x +10)(x+4)(x +6) +128
=(x
2
+ 10x)(x
2
+10x +24) +128
Đặt x
2
+10x +12= y Đa thức đã cho có dạng :
=(y -12)(y +12) +128
=y
2
- 16

=(y -4)(y +4)
Thay trở lại ta có:
(x
2
+10x +16)(x
2
+10x +8)
=(x +2)(x +8)(x
2
+10x + 8)
Nhận xét: ở ví dụ a) nhờ đặt ẩn phụ ta đã đưa đa thức bậc bốn đối với x thành đa
thức bậc hai đối với y.

Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 12
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Qua thực tế ứng dụng đề tài này, trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy:
-Việc tổ chức giờ dạy trở nên sinh động, học sinh mạnh dạn trình bày ý kiến của
mình để thực hành giải toán phân tích đa thức thành nhân tử rất tự tin và chính xác.
-Học sinh rất thích thú trong việc giải dạng toán này và tính ứng dụng của nó.
-Trong thực hành giảng dạy trên lớp giáo viên đã tạo ra không khí học tập sôi nổi
trong học sinh, tạo ra sự thi đua trong học tập, học sinh chăm chú nghe giảng và
tham gia hoạt động tìm kiếm kiến thức rất chủ động, tích cực. Chính vì vậy mà qua
kiểm tra đánh giá chất lượng đạt như sau :
Điểm kt 45’

Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 13
Tổ

ng
số
Giỏi Khá Trung bình Yếu
Kém
SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ
43
2 4,6% 10 23,3% 16 37,2% 12 27,9% 3 7%
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
PHẦN 3: BÀI HỌC KINH NGHIỆM. KẾT LUẬN
1. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Qua đề tài này, tôi rút ra một số kinh nghiệm sau :
a/ Đối với giáo viên :
- Cần nghiên cứu kĩ lưỡng nội dung bài dạy, có biện pháp, phương pháp giảng dạy
phù hợp với từng dạng bài.
- Không ngừng tìm tòi, học hỏi nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
- Tích cực tự học tập, tự nghiên cứu việc vận dụng phương pháp giảng dạy, ứng dụng
CNTT trong quá trình giảng dạy.
b/ Đối với học sinh :
- Phải thật sự ý thức nghiêm túc về nhiệm vụ của bản thân là chuyên cần, chịu khó
trong học tập và rèn luyện đạo đức, với phương châm :
“ Gắng học sau này không thành Danh ắt sẽ thành Nhân”.
- Phát huy hơn nữa tính tích cực, chủ động trong học tập,tìm kiếm kiến thức trong
hoạt động học của mình.
2.KẾT LUẬN
Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề không đơn giản nó đòi hỏi người
Thầy, người Trò phải biết vận dụng các kiến thức đã học và sử dụng linh hoạt các
phương pháp để có cách giải tối ưu.
Bằng phép tổng hợp các phương pháp đã nêu ở trên đã giúp các em nắm vững cơ
sở lý luận của từng phương pháp. Đồng thời nêu ra một số bài toán vận dụng và nâng
cao để các em thực hành qua đó rèn được kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử và

vận dụng nó để giải một số dạng toán có liên quan như giải phương trình bậc cao, rút
gọn biểu thức v.v…
Nhờ đó khi học sinh thực hành dạng toán này không bị lúng túng đồng thời góp
phần đáng kể nâng cao chất lượng dạy học môn toán trong nhà trường.
Thực tế qua trực tiếp giảng dạy môn toán lớp 8 tôi đã mạnh dạn ứng dụng đề tài
này và chất lượng giảng dạy được nâng lên rõ ràng. Tỷ lệ học sinh khá giỏi cũng được
nâng dần, học sinh yếu kém đã giảm nhiều.
Tuy nhiên, sự hạn chế và thiếu sót của đề tài là không thể tránh khỏi, rất mong
được sự góp ý xây dựng chân thành của quý Thầy, Cô giáo.

Người thực hiện
Vũ Đức Biên

Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 14
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. [19] Ôn tập đại số 8 - Nguyễn Ngọc Đạm - Vũ Dương Thụy -Nhà xuất bản Giáo
Dục – 2004.
2. [29 37] Luyện tập đại số 8 - Nguyễn Bá Hòa - Nhà xuất bản Giáo dục – 2004
3. [24 33] Những bài toán cơ bản và nâng cao chọn lọc toán 8 – Tập 1- Lê Thị
Hương – Nguyễn Kiếm - Hồ Xuân Thắng - Nhà xuất bản Đại học sư phạm Hà Nội
– 2004.
4. [12 15] Phương pháp giải các dạng toán 8 - Nguyễn Văn Nho - Nhà xuất bản
Giáo dục – 2004.
5. [5 7] Bài tập toán 8 tập 1 - Tôn Thân (chủ biên) - Nhà xuất bản Giáo dục – 2004.
6. [18 25] Toán 8 tập 1- Tôn Thân (chủ biên) -Nhà xuất bản Giáo dục – 2004.
7. [25 30] - SGVToán 8 - Tôn Thân (chủ biên) - Nhà xuất bản Giáo dục – 2004.

Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm

Trang 15
Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Đơn vị: Trường THCS Hiếu Liêm Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Hiếu Liêm, ngày……… tháng……….năm 2011
PHIẾU NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2011 – 2012
Tên sáng kiến kinh nghiệm: Giúp học sinh vận dụng tốt các phương pháp phân tích đa
thức thành nhân tử
Họ tên tác giả: Vũ Đức Biên Đơn vị: Trường THCS Hiếu Liêm ( tổ ) tự nhiên.
Lĩnh vực:
Quản lí giáo dục: Phương pháp dạy học bộ môn:
Phương pháp giáo dục: Lĩnh vực khác:
1.Tính mới:
- Có giải pháp hoàn toàn mới
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có
2.Hiệu quả:
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong
toàn ngành có hiệu quả cao
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại
đơn vị có hiệu quả cao
3.Khả năng áp dụng
-Cung cấp các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách
Tốt Khá Đạt
-Đưa ra những giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn. Dễ thực hiện và
dễ đi vào cuộc sống
Tốt Khá Đạt
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả

trong phạm vi rộng:
Tốt Khá Đạt
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Kí ghi rõ họ tên) (Kí ghi rõ họ tên)
Người Thực Hiện: Vũ Đức Biên - THCS Hiếu Liêm
Trang 16