CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬ
I/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
1/Thực trạng và tầm quan trọng của vấn đề:
Cho đến bây giờ có thể nói rằng đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề
không còn mới mẽ nữa những vẫn còn đang được ngành GD-ĐT nói chung chú
ý quan tâm và tiếp tục phát triển. Đổi mới phương pháp dạy học hiện nay chủ
yếu theo tinh thần “lấy học sinh làm trung tâm”. Phải làm sao cho học sinh (HS)
hoạt động trí tuệ cao, tích cực lĩnh hội tri thức một cách chủ động, nhanh chóng
mà vẫn đảm bảo hiểu sâu sắc, vững chắc vấn đề. Đổi mới phương pháp dạy học
hiện nay cũng nhằm mục đích dạy cho học sinh phương pháp học tập, làm việc
đáp ứng mục tiêu giáo dục là đào tạo học sinh thành những con người biết làm
chủ tương lai của đất nước. Chính vì thế mà mỗi môn học nói riêng đòi hỏi các
thầy giáo, cô giáo phải thường xuyên tìm hiểu, nghiên cứu để làm sao truyền đạt
đầy đủ nhất, nhanh nhất nội dung, kiến thức của từng bộ môn mình đảm nhận.
Định hướng đổi mới PPDH môn toán trong giai đoạn hiện nay đã được
xác định là: “Phương pháp dạy học toán trong nhà trường các cấp phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển
năng lực tự học, trao dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư
duy”. (Chương trình giáo dục phổ thông môn toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo
ban hành theo quyết định số 16/2006/QĐ-BGD&ĐT ngày 5 tháng 5 năm 2006).
– Trích: “Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học toán Trung học cơ
sở”.
Toán học nói riêng là môn học công cụ đắc lực không thể thiếu để hổ trợ
cho các môn khoa học khác cũng như giải quyết các vấn đề thực tế. Việc giúp
HS nắm vững kiến thức cơ bản và vận dụng toán học vào thực tế không phải của
riêng thầy giáo, cô giáo nào.
Chương trình toán THCS đã giúp HS giải quyết nhiều vấn đề cơ bản trong
thực tế. Trong chương trình toán lớp 8 có một dạng toán mang tính áp dụng cao,
nó là cơ sở để ứng dụng giải quyết các bài toán liên quan như: giải phương trình
tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, các bài toán về phân thức,chia hết… đó là

“phân tích đa thức thành nhân tử”. Có thể nói nếu không thực hiện thành thạo
việc phân tích đa thức thành nhân tử thì HS khó có thể giải một số phương trình
bậc cao đòi hỏi phải đưa về phương trình tích cũng như các bài toán liên quan
đến phân thức như: rút gọn phân thức, cộng, trừ các phân thức, chứng minh chia
hết, …
1
Trên thực tế các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (SGK toán
lớp 8) được cung cấp trong SGK gồm các phương pháp cơ bản như: Đặt nhân tử
chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử và chỉ dừng lại ở mức độ cơ bản qua
các ví dụ chứ chưa đi sâu phân tích kĩ hơn. Các phương pháp như: thêm bớt cùng
hạng tử, tách hạng tử được đưa ra dưới dạng bài tập có hướng dẫn đơn giản. Thế
nhưng trong các kì thi nhất là thi học sinh giỏi (lớp 8, 9) thì các bài tập đưa ra
đỏi hỏi HS phải vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử ở mức độ rất khó, nếu
không hiểu một cách sâu sắc các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
đã học và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác thì HS khó có
thể làm được!
Qua nhiều năm giảng dạy, bản thân tôi cũng đã không khỏi trăn trở làm
thế nào để HS có thể hiểu được và nắm vững các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử một cách hệ thống, đầy đủ và khoa học nhất. Chính vì thế tôi đã đi
vào nghiên cứu, tìm hiểu và viết đề tài này nhằm san sẻ kinh nghiệm của mình
với các em HS cùng đồng nghiệp.
2/Phạm vi đề tài:
Trong chương trình toán THCS thì dạng toán “phân tích đa thức thành
nhân tử” đã được HS chính thức học ở lớp 8 với những phương pháp hết sức cơ
bản và với mỗi phương pháp có tiết luyện tập với thời lượng tương đối ít và được
áp dụng rất nhiều vào các dạng toán khác ở lớp 8 và 9 vì thế mà đề tài này đã
được nghiên cứu và áp dụng cho HS lớp 8 và lớp 9 đặt biệt áp dụng cho HSG
toán lớp 8 và 9.
3/Đối tượng nghiên cứu:
Để tiến hành đề tài này tôi đã nghiên cứu và áp dụng cho lớp 8, lớp 9

trường THCS Quang Trung trong các năm học 2010-2011, 2011-2012, 2012-
2013 và đặt biệt là áp dụng cho HSG lớp 8 và lớp 9.
Đề tài này là tài liệu học tập tốt cho HSG lớp 8, lớp 9 và là tài liệu tham
khảo cho các thầy, cô giáo và phụ huynh HS nói chung.
II/ CƠ SỞ LÝ LUẬN:
Dạy học toán thực chất là dạy hoạt động toán học. HS-chủ thể của hoạt
động học cần phải được cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ
chức và chỉ đạo, thông qua đó học sinh tự lực khám phá những điều mình chưa
biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn. Theo tinh
thần này trong tiết lên lớp, giáo viên là người tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến
hành các hoạt động học tập, củng cố kiến thức cũ tìm tòi phát hiện kiến thức
mới. Giáo viên không cung cấp, không áp đặt những kiến thức có sẵn đến với
học sinh mà hướng cho học sinh thông qua các hoạt động để phát hiện và chiếm
lĩnh tri thức .
2
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học
sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự mình tìm tòi và phát hiện kiến
thức giúp rèn luyên khả năng tư duy, nhớ kỹ các kiến thức đã học.
Về mặt lí luận mà nói thì theo khung phân phối chương trình và sách giáo
khoa (SGK) hiện hành thì toàn bộ kiến thức về “phân tích đa thức thành nhân tử”
chỉ gói gọn trong 4 bài (kèm theo các tiết luyện tập) với 4 phương pháp phân tích
cơ bản nhất và việc trình bày các phương pháp ở đây chủ yếu là thông qua các ví
dụ chứ chưa đi sâu, phân tích hay khai thác gì thêm để HS dễ nhớ và nắm vững
các phương pháp đó. Các phương pháp: “thêm, bớt hạng tử”, “tách hạng tử”
được giới thiệu thông qua chỉ một bài tập với hướng dẫn gợi ý. Chính vì thế mà
HS còn rất thiếu kỉ năng cũng như phương pháp phân tích khi gặp các bài toán
khó!
III/ CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Nhìn chung trong nhiều năm qua ở trường THCS Quang Trung nói riêng
chất lượng mũi nhọn bộ môn toán có thể nói còn quá khiêm tốn. Việc nghiên cứu

viết các chuyên đề về môn toán để giảng dạy và đặt biệt là để bồi dưỡng HSG có
thể nói còn quá ít. Với đề tài “phân tích đa thức thành nhân tử” thì chưa có ai
viết bao giờ. Tôi cũng đi hỏi thăm nhiều đồng nghiệp trong huyện để tìm tư liệu
dạy học nhưng cũng chưa có ai viết về đề tài này.
Qua nhiều kì thi nhất là thi HSG thì việc phân tích đa thức thành nhân tử
được áp dụng đôi khi đòi hỏi ở mức độ cao hơn nhiều khi HS được học trên lớp
cũng như đòi hỏi những phương pháp ngoài SGK thì mới có thể “xở” nổi. Do đó
phần lớn HS đều bỏ dở!
Qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy, nghiên cứu, tìm tòi tài liệu, nhận
thấy tầm quan trọng của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình
toán THCS tôi nhận thấy cần có một đề tài đi sâu hơn về vấn đề này và tôi đã
viết đề tài này nhằm san sẻ những hiểu biết của mình với đồng nghiệp.
IV/ NỘI DUNG:
1/ Tìm hiểu vấn đề:
Như đã nói ở phần trên, nếu không phân tích đa thức thành nhân tử được
thì không thể giải được phương trình bậc cao đòi hỏi đưa về phương trình tích
cũng như làm các bài toán về phân thức, chia hết! Đề tài cũng không tìm hiểu kỉ
về các ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử mà chỉ giới thiệu các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Như tôi đã nói trong chương trình
toán lớp 8, SGK đã giới thiệu một số phương pháp cơ bản như:
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.
3
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.
Và các phương pháp được giới thiệu ở đây bằng cách thông qua một ví dụ cụ thể
chứ không phân tích kĩ cách làm như thế nào. Do đó nhiều HS còn lúng túng khi
vận dụng.
Ngoài các phương pháp trên trong đề tài tôi còn giới thiệu thêm một số
phương pháp khác. Chúng ta hãy tìm hiểu từng phương pháp cụ thể trong phần

tiếp theo.
2/ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
a) Khái niệm:
Theo SGK toán lớp 8 thì: “Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số)
là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức”.
Ta cần chú ý rằng mỗi đơn thức cũng được gọi là đa thức do đó nhiều khi
một đa thức được biến đổi thành tích của những đơn thức và đa thức cũng được
coi là đã phân tích thành nhân tử.
b) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
PP1: Phương pháp đặt nhân tử chung:
PP: Khi tất cả các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta đặt nhân tử
đó ra ngoài làm nhân tử chung.
Tóm tắc: A.B + A.C +… +A.D = A(B + C + …. +D)
* Lưu ý:
+ Nhân tử chung có thể là đơn thức hay đa thức. Nếu nhân tử chung là
đơn thức thì nhân tử chung được xác định gồm 2 phần: Phần hệ số (là
ƯCLN của các hệ số) và phần biến (là những biến chung của các hạng tử
lấy với số mũ nhỏ nhất).
+ Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta phải đổi dấu các hạng tử.
PP đổi dấu: -(-A) = A.
AB = (-A).(-B). (Đổi dấu số chẳn các nhân tử của hạng
tử).
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
14x
2
y – 21xy
2
+ 28x
2
y

2
* Ta xác định nhân tử chung như sau: Phần hệ số là 7 (ƯCLN(14,21,28))
Phần biến là: xy
Giải: 14x
2
y – 21xy
2
+ 28x
2
y
2
= 7xy(2x – 3y + 4xy).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
)1y(y
5
2
)1y(x
5
2
−−−
.
*Nhân tử chung là:
)1y(
5
2
−
Giải:
)yx)(1y(
5
2

)1y(y
5
2
)1y(x
5
2
−−=−−−
4
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 10x(x-y) -8y(y-x).
Nhận xét: x-y và y-x khác dấu nên ta đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung.
Giải: 10x(x-y) -8y(y-x) = 10x(x-y) +8y(x-y)
= 2(x-y)(5x+4y).
PP 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức:
Vì phương pháp này dùng hằng đẳng thức nên HS cần thuộc lòng các hằng
đẳng thức sau:
1. (A+B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
2. (A-B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
3. A
2
- B

2
= (A+B)(A-B)
4. (A+B)
3
= A
3
+3A
2
B+3AB
2
+B
3
= A
3
+B
3
+3AB(A+B)
5. (A-B)
3
= A
3
-3A
2
B+3AB
2
-B
3
= A
3
-B

3
-3AB(A-B)
6. (A+B)(A
2
- AB+B
2
) = A
3
+B
3
7. (A-B)(A
2
+ AB+B
2
) = A
3
-B
3
8.(A+B+C)
2
= A
2
+B
2
+C
2
+2AB+2AC+2BC
9. A
n
- B

n
= (A - B)(A
n-1
+ A
n-2
B +A
n-3
B
2
+…… + AB
n-2
+ B
n-1
)
*Các hằng đẳng thức 8 và 9 dành cho HS khá, giỏi.
Ta cần lưu ý rằng mỗi hằng đẳng thức luôn có một vế là tích (lưu ý lũy
thừa là một tích của các đa thức giống nhau). HS cần phải biết quan sát, biến
đổi hợp lý thì mới sử dụng được.
* Chú ý : Nhiều khi phải đổi dấu thì mới áp dụng hằng đẳng thức được.
Ví dụ 1: x
2
+ 6x + 9 = (x – 3)
2
Ví dụ 2: 8x
3
-
8
1
= (2x)
3

-
3
2
1






=
( )














++







−
2
2
2
1
2
1
.x2x2.
2
1
x2
=






++






−
4

1
xx4
2
1
x2
2
Ví dụ 3: - x
3
+9x
2
-27x+27 = - (x
3
– 9x
2
+ 27x – 27)
= -(x – 3)
3
.
PP3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:
Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm hạng tử một cách thích hợp.
* Khi nhóm hạng tử ta phải nhóm sao cho các hạng tử trong một nhóm làm
thành một vế của hằng đẳng thức hoặc các hang tử trong cùng một nhóm có
nhân tử chung.
Ví dụ 1: 3x
2
– 3xy – 5x + 5y = (3x
2
– 3xy) - (5x – 5y)
= 3x(x – y) - 5(x – y)
= (x – y)(3x - 5).

Ví dụ 2: x
2
– 3x – 2xy + y
2
+ 3y = (x
2
– 2xy + y
2
) – (3x – 3y)
5
= (x – y)
2
– 3(x – y)
= (x – y)(x – y – 3).
*Một số lưu ý:
- Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm nhưng kết quả cuối cùng là một.
- Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta nên phân tích “đến cùng” tức là
phân tích ra càng nhiều nhân tử càng đúng.
- Khi phân tích đa thức thành nhân tử có thể phối hợp nhiều phương
pháp.
Ví dụ: 5x
3
+ 10x
2
y +5xy
2
= 5x(x
2
+ 2xy + y
2

) = 5x(x+y)
2
.
PP4: Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta có thể tách hạng tử thành nhiều
hạng tử rồi nhóm thích hợp.
Khi tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích:
- Làm xuất hiện hệ số tỉ lệ nhờ đó mà xuất hiện nhân tử chung.
- Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x
2
- 8x + 4
Giải: Cách 1: 3x
2
- 8x + 4 = 3x
2
- 6x -2x + 4 = 3x(x - 2) - 2(x - 2)
= (x - 2)(3x - 2).
(Ta tách: – 8x= - 6x – 2x)
Cách 2: 3x
2
- 8x + 4 = 4x
2
- 8x + 4 - x
2
= (2x - 2)
2
- x
2

= (2x - 2 +x)(2x - 2 - x)
= (3x - 2)(x - 2).
(Ta tách: 3x
2
= 4x
2
– x
2
).
* Đặc biệt: Phân tích tam thức bậc hai: ax
2
+bx +c thành nhân tử (nếu
phân tích được) ta tách bx thành b
1
x + b
2
x sao cho b
1
b
2
=ac.
+ PP thực hành:
Bước 1: Tìm tích ac
Bước 2: Phân tích ac thành 2 thừa số.
Bước 3: Chọn 2 thừa số có tổng bằng b. Hai thừa số đó là b
1
và b
2
.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x

2
+10x+8.
Ta có: ac=3.8 = 24=2.12
=3.8
=4.6
Ta nhận thấy: 4 +6 = 10. Vậy đa thức được tách và phân tích như sau:
Giải: 3x
2
+10x+8 = 3x
2
+ 6x + 4x + 8 = (3x
2
+6x)+(4x+8)
= 3x(x+2) + 4(x+2)
= (x+2)(3x+4).
Việc thực hiện các bước trên trong thực tế HS có thể nhẩm được!
* Chú ý: Tam thức bậc hai dạng: ax
2
+ bx + c
6
- Nếu b
2
- 4ac là bình phương của một số hữu tỉ thì sẽ phân tích được
thành nhân tử.
- Nếu b
2
- 4ac không là bình phương của một số hữu tỉ nào thì sẽ không
phân tích được thành nhân tử.
PP5: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử:
Nhiều khi để phân tích đa thức thành nhân tử ta cần phải thêm và bớt cùng

một hạng tử thì mới phân tích được. Việc thêm, bớt cùng một hạng tử thường
nhằm mục đích như sau:
a/ Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bình phương:
Ví dụ: 4x
2
+ 81 = 4x
2
+ 36x
2
+81 - 36x
2
= (2x
2
+ 9)
2
- (6x)
2
=
(2x
2
+9+6x)(2x
2
+9-6x)
b/ Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung:
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử: x
5
+x - 1
Cách 1: x
5
+x - 1 = x

5
- x
4
+ x
3
+ x
4
- x
3
+ x
2
- x
2
+ x -1
= x
3
(x
2
- x +1) + x
2
(x
2
- x +1) - (x
2
- x +1)
= (x
2
- x +1)(x
3
+ x

2
- 1)
Cách 2: x
5
+x - 1 = x
5
+ x
2
- x
2
+x -1 = x
2
(x
3
+ 1) -(x
2
- x +1)
=x
2
(x+1)(x
2
- x +1) – (x
2
- x +1)
= (x
2
- x +1)[x
2
(x+1)-1 ]
=(x

2
- x +1)(x
3
+x
2
– 1).
PP6: Phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ):
- Khi trong đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần thì ta có thể đặt
ẩn phụ cho biểu thức ấy để đa thức đơn giản hơn.
Ví dụ: A = (x
2
+ 3x + 1)(x
2
+ 3x - 3) - 5
Đặt x
2
+ 3x + 1 = y ta được:
A = y(y - 4) - 5 = y
2
- 4y - 5 = y
2
+ y - 5y - 5 = y(y + 1) -5(y + 1)
= (y + 1)(y - 5).
Thay x
2
+ 3x + 1 = y ta được:
A = (x
2
+ 3x + 2)(x
2

+ 3x -4) = (x + 1)(x + 2)(x - 1)(x + 4).
(Ở đây ta tiếp tục phân tích 2 tam thức bậc hai (x
2
+ 3x + 2); (x
2
+ 3x -4) thành
nhân tử như đã hướng dẫn ở phân trên để có kết quả như vậy.)
PP7: Phương pháp hệ số bất định: (áp dụng cho đa thức một biến)
Vì hai đa thức “bằng nhau” khi và chỉ khi các hệ số của các hạng tử đồng
dạng lần lượt bằng nhau ví dụ:
a x
n
+ bx
m
+ … + c =a’x
n
+b’x
m
+…+c’
Suy ra: a = a’ , b = b’, …. và c = c’ nên ta có thể áp dụng tính chất này để
phân tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ: Phân tích đa thức x
3
+ 11x + 30 thành nhân tử?
Giải: Nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì kết quả phân tích có
thể viết dưới dạng: (x + a)(x
2
+ bx + c)
7
Vì (x + a)(x

2
+ bx + c) = x
3
+ (a+b)x
2
+ (ab+c)x +ac
Nên: x
3
+ 11x + 30 = x
3
+ (a+b)x
2
+ (ab+c)x +ac
Khi đó ta có: a+b = 0 (Vì ở vế trái hệ số của lũy thừa bậc hai bằng 0)
ab+c = 11
ac = 30
Có thể chọn ra: a = 2; c = 15 ; b = -2 là một bộ số thoả mãn.
Vậy: x
3
+ 11x + 30 = (x +2)(x
2
- 2x + 15)
PP8: Phương pháp xét giá trị riêng:
Nếu đẳng thức đúng với mọi giá trị của tham số k thì ta có thể gán cho k
một giá trị tùy ý thích hợp.
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử:
P = x
2
(y - z) + y
2

(z - x) + z
2
(x -y).
Giải: Thử thay x bởi y thì P = 0. Vậy P chia hết cho x -y.(Xem phần phụ
lục)
Tương tự khi thay y bởi z hoặc thay z bởi x thì P = 0. Vậy P chia hết cho
(y - z) và (z - x).
Do đó P = k(x - y)(y - z)(z - x).
Ta thấy k là một hằng số vì P có bậc ba đối với các biến x, y, z còn (x - y)
(y - z)(z - x) cũng có bậc ba đối với các biến.
Vì x
2
(y - z) + y
2
(z - x) + z
2
(x -y) = k(x - y)(y - z)(z - x) với mọi x, y, z nên
ta gán cho x, y,z các giá trị riêng. Chẳng hạn: x = 2, y = 1, z = 0 ta được:
4.1 + 1(-2) + 0 = k.1.1.(-2) => k = -1.
Vậy P = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)
(Lưu ý: x, y, z đôi một khác nhau).
3/ Dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho HS:
Trên đây là một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy
nhiên tiến hành dạy các phương pháp này cho HS lại là một vấn đề cần quan
tâm. Theo qui định của chương trình thì không có thời gian để dạy hết các
phương pháp trên được.
Với các phương pháp:
- Đặt nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức.
- Nhóm hạng tử.

Thì phân phối chương trình đã qui định và có thời gian dạy cho HS như
SGK.
Còn với hai phương pháp:
- Thêm bớt cùng hạng tử.
- Tách hạng tử.
Thì giáo viên có thể tranh thủ dạy kĩ hơn cho HS trong các tiết luyện tập
kể cả hướng dẫn cách phân tích tam thức bậc hai ax
2
+ bx +c cho HS.
8
Với các phương pháp còn lại, vì đây là những phương pháp khó, nâng cao
nên theo tôi chỉ nên dạy cho HSG khi tham gia bồi dưỡng HSG. Cũng tùy theo
trình độ HS mà thời gian dạy các phương pháp nâng cao còn lại GV cần phân
phối thích hợp.
Một vấn đề cần lưu ý là dù dạy cho đối tượng HS nào cũng nên nhớ rằng
khi phân tích đa thức thành nhân tử ta nên áp dụng các phương pháp theo như
thứ tự đã được học!
V/ KẾT QUẢ:
Qua việc áp dụng dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
như trên trong 2 năm gần đây bản thân tôi nhận thấy đã đem lại kết quả khá tốt.
Đa số HS nắm được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
HS nắm được thứ tự áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử.
HS biết vận dụng thành thạo các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử vào các bài tập cụ thể.
Đối với HSG: HS có thể thực hiện các bài phân tích đa thức thành nhân tử
ở mức độ khó thậm chí rất khó.
Kết quả cụ thể:
Với HS đại trà ở lớp 8, cùng một đề kiểm tra (về phân tích đa thức thành
nhân tử hay có ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử) tôi thu được kết quả

như sau:
Chưa áp dụng đề tài Đã áp dụng đề tài
75% trên trung bình 82% trên trung bình
Với HSG:
- Năm học 2010-2011: tôi bồi dưỡng HSG toán 9 (chưa áp dụng đề tài) kết
quả không đạt giải nào ở huyện.
- Năm học 2011-2012: tôi bồi dưỡng HSG toán 9 (có áp dụng đề tài) kết
quả đạt 1 giải khuyến khích ở huyện.
- Năm học 2012-2013: tôi bồi dưỡng HSG toán 8 (có áp dụng đề tài) đến
nay chưa tiến hành thi HSG nhưng kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử
có thể nói HS nắm khá tốt.
Kết quả trên đây cũng chỉ là rất khiêm tốn nhưng cũng minh chứng được
cho tính hiệu quả của đề tài này.
Nhưng dù sao tôi cũng nghĩ rằng kết quả thi HSG toán không chỉ phụ
thuộc vào người thầy vào đề tài này mà còn phụ thuộc rất nhiều yếu tố khác nữa.
VI/ KẾT LUẬN:
Với kinh nghiệm trong giảng dạy và tìm tòi nghiên cứu cũng như áp dụng
tôi thấy rằng việc hướng dẫn HS các phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử như trên đã đem lại hiệu quả nhất định, góp phần nâng cao chất lượng đăc biệt
9
là chất lượng HSG. Đại đa số HS nắm được các phương pháp một cách hệ thống,
khoa học, biết đối chiếu so sánh, nhận dạng và biết vận dụng một cách sáng tạo
vào các bài tập.
Khi tiến hành hướng dẫn HS các phương pháp phân tích đa thức thành
nhân tử cần nắm được các yêu cầu sau:
1/ Yêu cầu HS nắm được cách áp dụng từng phương pháp.
2/ HS cần nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học. Riêng HSG
cần nắm thêm 2 hằng đằng thức 8 và 9 đã nêu trên.
3/ HS cần nắm được thứ tự vân dụng các phương pháp theo như thứ tự đã
học.

Vấn đề khó khăn trong đề tài là thời gian để dạy các phương pháp phân
tích đa thức thành nhân tử cho HS. Với HSG có thể nói thời gian là rất thuận lợi
khi bồi dưỡng riêng. Cái khó là khi dạy đại trà thì không có thời gian để chuyển
tải hết được. Vì thế GV cần tranh thủ trong các tiết luyện tập mà chuyển tải cho
HS một cách hợp lý. Cần phải có hệ thống bài tập để cho HS rèn luyện thêm sau
khi dạy mỗi phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như đã nêu trên.
VII/ ĐỀ NGHỊ:
Trong quá trình viết và vận dụng đề tài, vì chủ yếu là để bồi dưỡng HSG
nhằm rèn luyện kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử nên tôi chưa đi sâu phân
tích về mặt lý thuyết từng phương pháp cũng như chưa nêu ra các ứng dụng của
phân tích đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy mà đôi khi có bài toán không nêu
trực tiếp yêu cầu phân tích đa thức thành nhân tử (ví dụ chứng minh chia hết) thì
HS vẫn còn bỡ ngỡ.
Trong khi viết tài liệu này tôi cũng không đi sâu vào việc phân phối thời
gian cũng như lựa chọn số lượng bài tập cũng cố và cũng không đề cập đến việc
dặn dò, hướng dẫn về nhà mà chỉ đề cập đến việc hướng dẫn HS các phương
pháp phân tích đa thức thánh nhân tử. Vì vậy tuỳ theo từng tình hình thực tế của
địa phương, trình độ HS trong lớp mà GV có thể điều chỉnh hợp lý. Rất mong
bạn đọc tìm hiểu nghiên cứu, phân tích cụ thể, nêu ra các ứng dụng của phân tích
đa thức thành nhân tử, cũng như sắp xếp các bài tập theo loại để giúp HS có có
nhìn tổng quát và sâu sắc hơn về vấn đề này.
Với thời gian ngắn ngủi và kinh nghiệm chưa nhiều chắc rằng tài liệu này
còn có nhiều thiếu sót, hạn chế rất mong các thầy cô giáo, học sinh cùng bạn đọc
góp ý kiến phê bình.
Chân thành cảm ơn !
Đại Lộc, ngày 01/03/2013
Người viết: Nguyễn Mính
(TT tổ Toán-Lí-Tin trường THCS Quang Trung).
10
VIII/ PHỤ LỤC

1/ Đa thức, nghiệm của đa thức, ứng dụng vào phân tích đa thức thành nhân
tử:
* Chú ý 1:
+Cho đa thức P(x). Nếu P(a) = 0 thì a là nghiệm của đa thức P(x)
và P(x) chia hết cho (x-a). Nên P(x) = (x -a).Q(x). Do đó ta có thể dùng
phép chia đa thức để phân tích đa thức thành nhân tử.
+ Nếu P(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức
P(x).
+ Nếu P(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẳn bằng tổng các
hệ số của hạng tử bậc bậc lẻ thì -1 là một nghiệm của đa thức.
* Chú ý 2:
Nghiệm của đa thức a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1
x + + a
n
nếu có phải là
ước của hệ số tự do a
n
.
Thật vậy giả sử đa thức:
a
0

x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1
x + + a
n
. với các hệ số là a
0
, a
1
, a
2
, a
n
nguyên có nghiệm x = a (a thuộc Z) thì a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1
x + + a
n

= (x – a)(b
0
x
n-1
+ b
1
x
n-2
+ + b
n-1
) trong đó b
0
, b
1
, , b
n-1
nguyên.
Hạng tử có bậc thấp nhất ở vế phải bằng – ab
n-1
; hạng tử có bậc thấp
nhất của vế trái bằng a
n
. Do đó –ab
n-1
= a
n
tức là a là ước của a
n
.
2/ Một số bài tập rèn luyện:

Phân tích các đa thức thành nhân tử:
Bài 1: a/ x
2
+ 7x + 10. b/ x
2
- 6x +5. c/ 3x
2
-7x - 6
d/ 10x
2
- 29x + 10 e/ x
3
+ 4x
2
- 3x - 18
f/ x
3
+ 4x
2
- 29x + 24 g/ x
3
+ 6x
2
+11x + 6.
Bài 2: a/ x
4
+ 4 b/ x
4
+ x
2

+1.
Bài 3: a/ x
4
+ 4y
2
b/ x
5
+ x + 1.
Bài 4: a/ ( x + 1)(x + 3)(x +5)(x +7) +15
b/ (x
2
- 2x +2)
4
- 20x
2
(x
2
-2x +2)
2
+ 64x
4
.
Bài 5: a/ ab(a - b) + bc(b - c) +ca(c - a)
b/ a(b + c)(b
2
-c
2
) + b(c + a)(c
2
- a

2
) + c(a - b)(a
2
- b
2
).
Bài 6: a/ x
4
+x
3
- 5x - 3 b/ 3x
4
- 5x
3
- 18x
2
- 3x +5.
Bài 7: a/ 2a
2
b
2
+ 2a
2
c
2
+ 2b
2
c
2
- a

4
- b
4
- c
4
. b/ x
8
+ x
4
+ 1
c/ a
4
+ a
2
b
2
+b
4
.
Bài 8: a/ a
3
(b - c) + b
3
(c -a) + c
3
(a -b) b/ x
3
+y
3
+z

3
- 3xyz
c/ (a -b)
3
+ (b - c)
3
+ (c - a)
3
d/ (a
2
+ b
2
)
3
+ (c
2
- a
2
)
3
- (b
2
+ c
2
)
3
.
Bài 9: [4abcd + (a
2
+ b

2
)(c
2
+ d
2
)]
2
- 4[cd(a
2
+ b
2
) + ab(c
2
+ d
2
)]
2

Bài 10: (x - y)
3
+ (y - z)
3
+ (z - x)
3

11
Bài 11: A = x
2
y
2

(y - x) + y
2
z
2
(z - y) - z
2
x
2
(z - x).
Bài 12: a/ a(b +c)
2
(b -c) + b(c +a)
2
(c -a) + c(a+b)
2
(a -b).
b/ a(b -c)
3
+ b(c -a)
3
+ c(a -b)
3

c/ a
2
b
2
(a -b)+ b
2
c

2
(b -c) + c
2
a
2
(c -a)
d/ a(b
2
+ c
2
) + b(c
2
+ a
2
) + c(a
2
+ b
2
) - 2abc - a
3
- b
3
- c
3
.
e/ a
4
(b -c) + b
4
(c -a) + c

4
(a -b)
Bài 13: a/ (a + b + c)
3
- (a + b - c)
3
- (b +c - a)
3
- (c + a - b)
3

b/ abc - (ab + bc + ca) + ( a +b +c) - 1
Bài 14: a/ (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a
4

b/ (x
2
+ y
2
+ z
2
)(x + y + z)
2
+ (xy + yz + zx)
2
.
c/ 2(x
4
+ y
4

+z
4
) - (x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
- 2(x
2
+ y
2
+ z
2
)(x + y +z)
2
+ (x + y + z)
4

Bài 15: (a + b +c)
3
- 4(a
3
+ b
3
+ c
3
) -12abc

(HD: đặt a +b = m; a - b = n).
Bài 16: a/ 4x
4
- 32x
2
+1 b/ x
6
+ 27
c/ 3(x
4
+ x
2
+ 1) - (x
2
+ x + 1)
2
d/ (2x
2
- 4) + 9
Bài 17: a/ 4x
4
+ 1 b/ 4x
4
+ y
4
c/ x
4
+ 324
Bài 18: a/ x
5

+ x
4
+1 b/ x
8
+ x
7
+1 c/ x
5
- x
4
-1
d/ x
7
+ x
5
+ 1
Bài 19: a/ a
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
- b
6
b/ x
3

+ 3xy + y
3
- 1
Bài 20: a/ 4x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 2x +1 b/ x
4
- 7x
3
+ 14x
2
- 7x + 1
c/ x
4
- 8x +63 d/ (x + 1)
4
+ (x
2
+ x +1)
2

Bài 21: a/ x
8
+ 14x
4
+ 1 b/ x

8
+ 98x
4
+1
Bài 22: a/
1+++ aabab
b/
2233
xyyxyx −+−
c/
233
)( baabba +++
d/
2
65 xyxy +−
e/
42
2
−+− xx
12
VIII/ TÀI LIỆU THAM KHẢO:
Để viết đề tài này tôi đã tham khảo một số tài liệu như sau:
1/ Các chuyên đề toán tải về từ Webside WWW.diendantoanhoc.com.vn
2/ Để học tốt đại số 8 NXB Giáo dục – Năm 2006
3/ Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học toán Trung học cơ sở. (Tài
liệu bồi dưỡng thường xuyên môn toán THCS năm học 2008-2009).
4/ Sách bài tập toán lớp 8 tập 1 NXB Giáo dục - Năm 2004
5/ Sách giáo khoa Toán lớp 8 tập 1 NXB Giáo dục - Năm 2004
6/Tạp chí Toán học và tuổi trẻ
13

MỤC LỤC
THỨ TỰ MỤC TRANG
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Đặt vấn đề
Cơ sở lý luận
Cơ sở thực tiển
Nội dung nghiên cứu
Kết quả nghiên cứu
Kết luận
Đề nghị
Phụ lục
Tài liệu tham khảo
1
2
3
3
9
9
10
11
13
14