Luận văn Thạc sĩ Khoa học Phép tính tenxơ và một số ứng dụng trong cơ học vật rắn biến dạng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Mã số: 60440107
Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội- Năm 2014


LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long đã tận tình
hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường xuyên động viên để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại học Khoa
học Tự nhiên, ĐHQGHN và các thầy, cô trong Khoa Toán – Cơ – Tin học đã quan
tâm, giúp đỡ và tạọ điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên
cứu tại Khoa.
Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ học
vật rắn biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện
luận văn.
Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình
nghiên cứu của tác giả.
Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả,
những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận
văn này.

Tác giả
Đào Thị Bích Thảo


MỤC LỤC
TỔNG QUAN ......................................................................................................... 1
Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ..................................... 3
1.1 Một số khái niệm cơ bản ................................................................................ 3
1.2. Phép biến đổi tọa độ ...................................................................................... 5

1.2.1. Hệ tọa độ Đề các ........................................................................................ 5
1.2.2. Hệ tọa độ cong ........................................................................................... 7
1.2.3. Phép biến đổi tọa độ ................................................................................... 8
1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide ..................................................... 14
1.3. Thành phần vật lý của tenxơ ........................................................................ 20
1.3.1. Tenxơ hạng nhất ....................................................................................... 20
1.3.2. Tenxơ hạng hai ......................................................................................... 21
1.3.3. Khai triển cụ thể ....................................................................................... 21
1.4. Đạo hàm hiệp biến....................................................................................... 23
1.4.1. Đạo hàm véctơ cơ sở ................................................................................ 23
1.4.2. Kí hiệu Christoffel .................................................................................... 25
1.4.3. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất.................................................... 31
1.4.4. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai ..................................................... 32
Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ ........................... 33
2.1. Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động. ................ 33
2.2. Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị ...... 42
2.3. Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng...................................................... 48
2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi ......................................................... 48
2.3.2. Thành phần biến dạng của vỏ mỏng.......................................................... 49
2.3.3. Phương trình cân bằng .............................................................................. 52
2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu ...................................................................... 53


TỔNG QUAN
Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết
các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn
hồi, lý thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhà
toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán học
khác. Trong luận văn này tenxơ được sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa các
tập véctơ hình học.

Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ các
phương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng chuyển vị. Việc thiết lập các phương trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong như hệ tọa
độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tương đối phức tạp. Vì vậy trong các bài báo hay các
giáo trình cơ học nói chung thường chỉ nêu ra trực tiếp phương trình cân bằng, hệ
thức Côsi mà không nói rõ các bước biến đổi để thu được kết quả.
Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi
của tenxơ. Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phương
trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong
hệ tọa độ cong bất kỳ. Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu được các
phương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằng
trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu.
Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận và tài
liệu tham khảo. Nội dung chính của luận văn bao gồm:
-

Chương 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính
của tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai. Đồng thời
tác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu được hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric
hiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé
trong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc
xác định các phương trình cân bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biến
dạng- chuyển vị ở chương 2.

1


-

Chương 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các
phương trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phương trình liên hệ

biến dạng- chuyển vị. Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài
toán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu.

Nội dung của luận văn sẽ được trình bày chi tiết dưới đây:

2


Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ
1.1 Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa
Tenxơ là trường hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ là hằng số
hoặc là hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi tuyến tính của hệ
cơ sở các thành thay đổi theo một quy luật xác định.
Hệ thống kí hiệu
Các kí hiệu trong hệ thống đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dưới.
Ví dụ như

,

,

,

.

Theo quy ước: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3. Ví dụ, nếu kí hiệu
nghĩa là biểu thị 1 trong 3 phần tử
,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

biểu thị 1 trong 9 phần tử

.

,

Hạng của tenxơ
Hạng của tenxơ xác định bằng số lượng chỉ số trong kí hiệu tenxơ. Như
thuộc vào một chỉ số nên
vào 2 chỉ số ( , ) nên

là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử.

phụ

phụ thuộc

là hệ thống hạng 2 bao gồm 3 = 9 phần tử.

Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm 3 phần tử.
Quy ước về chỉ số
Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ số
lặp lại 2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3”. Chỉ số như vậy là chỉ số câm nên nó
có thể thay bằng chữ khác.
Ví dụ:

=

=

+

+

.

Hệ thống đối xứng
Xét hệ thống hạng hai
Nếu thay đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay
đổi dấu giá trị thì hệ thống

gọi là hệ thống đối xứng.

=

3

.


Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu
mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống
=−

là hệ thống phản đối xứng.
.

Ví dụ hệ thống Kronecker
=

1 , nếu =
0 , nếu ≠

là hệ thống đối xứng

Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số
Hệ thống đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi
khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau.
đối xứng theo 2 chỉ số ( , ) thì

Ví dụ: Nếu hệ thống

=

.

Hệ thống Levi-Civita là một hệ thống phản đối xứng hạng 3
khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau
khi , , là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3.
khi , , là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3

0,
= 1,
−1,
=

Cụ thể:
=

=
=

=1,
= −1,

Cách thành phần còn lại của

= 0.

Loại tenxơ
Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) được xác định bởi vị trí của chỉ số.
Hệ thống hạng hai

gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai.

Hệ thống hạng hai

gọi là tenxơ phản biến hạng hai.

Hệ thống hạng hai

gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai

4


1.2. Phép biến đổi tọa độ
1.2.1. Hệ tọa độ Đề các
Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc
,

với véc tơ cơ sở { ⃗ , ⃗ , ⃗ }

,

(Hình 1)
⃗ = ⃗(
O

,

,

) là véctơ bán kính của

điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác.
Hình 1.

Véc tơ ⃗ được biểu diễn dưới dạng
⃗=

⃗ +

⃗ +

⃗ ( = 1,2,3).

⃗ =

(1.1)

Xét điểm Q là lân cận của điểm P.
⃗=

⃗= (

= ⃗

.

⃗)=
(

⃗ = 0)
⃗

là độ dài bình phương vô cùng nhỏ của
=

⃗.

⃗ +⃗

⃗= ⃗

.⃗

= ⃗.⃗
Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở { ⃗ , ⃗ , ⃗ } là các véctơ đơn vị và
trực giao nên tích vô hướng ⃗ . ⃗ =0 nếu ≠ , ⃗ . ⃗ = 1 nếu = nên ⃗ . ⃗ =
Suy ra:
= ⃗.⃗
=(

=
) +(

=
) +(

) .

a. Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ )

Xét một hệ thống ⃗ có các thành phần

trong hệ cơ sở ⃗ .

Phép cộng
⃗+ ⃗=
=(

⃗ +

⃗ =(

+

+

)⃗ + (

+

Nhân với một số
5

)⃗
)⃗ + (

+

)⃗ .

.


⃗= (

⃗)=

=

⃗

⃗ +

⃗ +

⃗.

Nhân vô hướng
⃗. ⃗ =

⃗.

=

⃗ =

⃗.⃗ =

=

+

+

.

Nhân véctơ
⃗× ⃗=

⃗

⃗

=(

⃗

)⃗ + (

−

)⃗ + (

−

−

)⃗ .

Hay viết dưới dạng:

⃗× ⃗=
=
=(

⃗ ×

⃗ =

⃗ ×⃗ =

⃗

⃗ −

⃗ −

⃗ −

⃗ +

⃗ +

⃗

−

)⃗ + (

−

)⃗ + (

−

)⃗ .

Tích hỗn hợp
⃗× ⃗ ⃗=

⃗ .

⃗ =

=

⃗ .⃗

=

=

−

−

+

+

−

=

+

+

−

−

−

.

Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là ⊗)
⃗⨂ ⃗ =

⃗ ⊗

=

⃗ =

⃗ ⨂⃗ +
+

⃗ ⨂⃗
⃗ ⨂⃗ +

⃗ ⨂⃗ +

⃗ ⨂⃗ +

⃗ ⨂⃗ +

⃗ ⨂⃗ +

⃗ ⨂⃗ +

⃗ ⨂⃗

⃗ ⨂⃗

b. Các phép tính đối với tenxơ hạng hai. Tenxơ hạng cao
Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng được thực hiện tương
tự như đối với tenxơ hạng nhất.
Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng được với các tenxơ cùng hạng và cùng
loại. Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ.
Ví dụ: xét tenxơ hạng hai :

=

⃗⃗
6


Phép cộng
⃗ ⃗ +

⃗⃗ =

+

⃗ ⃗ .

⃗ ⃗ −

⃗⃗ =

−

⃗ ⃗ .

Phép trừ

Phép nhân vô hướng
⃗ ⃗.

⃗ =

⃗ ⃗.⃗

=
⃗ ⃗.

⃗

⃗ ⃗ =

=

⃗ .

⃗ ⃗ ⃗.⃗

=

⃗⃗

=

⃗ ⃗ .

Tích tenxơ
⃗ ⃗ ⊗

⃗ ⃗ =

⃗ ⃗ ⊗⃗ ⃗

=

⃗ ⃗⃗ ⃗ .

Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các
phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dưới vẫn là chỉ số dưới, chỉ số trên vẫn là chỉ số
trên.
1.2.2. Hệ tọa độ cong

Hệ tọa độ cong

,

,

với hệ véc

tơ cơ sở { ⃗ , ⃗ , ⃗ } (Hình 2).
⃗ = ⃗(

⃗

⃗

) là véctơ bán kính

cong.
Biểu diễn véc tơ ⃗ dưới dạng :

⃗

⃗=

Hình 2
+

,

của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ

O

Lấy điểm (

,

=

) là lân cận của điểm
⃗=

( ).

⃗= ⃗
7

.

⃗ +
⃗.

⃗ +

⃗
(1.2)


⃗ được xác định bằng

Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ
⃗.

=

⃗= ⃗

= ⃗. ⃗
Trong đó

⃗
=

.

= ⃗. ⃗ .

Phép tính đối với vectơ
Cho hai véctơ ⃗ =

⃗ =

và ⃗ =

⃗

⃗ =

⃗

)⃗ =(

±

Phép cộng, trừ
⃗± ⃗=(

±

)⃗ .

Tích vô hướng
⃗. ⃗ =

⃗.

⃗ =

⃗. ⃗ =

=

⃗.

⃗ =

⃗.⃗ =

.

1.2.3. Phép biến đổi tọa độ
Bán kính ⃗ của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác ( , ⃗ , ⃗ , ⃗ ) biểu diễn dưới
dạng:
⃗= ⃗=

⃗ =

⃗ +

⃗ +

⃗ .

Với các véc tơ cơ sở ⃗ là không đổi.
,

Trong tọa độ cong

,

bất kỳ, các biến

liên hệ với tọa đồ Đề các

miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị.
(

=

,

,

)

=

và

(

,

,

).

Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không.
≠ 0; ̅=

=

≠ 0.

Ta có:
=
Suy ra 2 ma trận

∙

;

=

∙

+

∙

là nghịch đảo của nhau.

Ta kí hiệu :

8

+

∙

=

.

trong


⃗

⃗ =

hay

; ⃗ =
⃗

⃗ =

Các véctơ ⃗ = ⃗ ( ) = ⃗ (

,

⃗

; ⃗ =

⃗

= ⃗, .

(1.3)

) thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là

,

hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong. Trong đó
⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ

;

⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ

;

⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ

.

Cùng với hệ véctơ cơ sở ⃗ , ta đưa vào hệ véctơ cơ sở phản biến ⃗ liên hệ theo hệ
thức sau
⃗. ⃗ =

(1.4)

Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vô
cùng nhỏ từ

( ) tới điểm (

) cho ta vi phân vô cùng nhỏ của véc tơ bán

+

kính ⃗ của điểm .
⃗≈

⃗

⃗=
= ⃗

+

⃗

+

+ ⃗

+ ⃗

Vậy véctơ ⃗ được biểu diễn dưới dạng: ⃗ =

⃗
= ⃗

.

⃗.

Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân được từ hệ tọa độ cong này (
sang hệ tọa độ cong khác

;

;

,

∙

(1.5)

.

Ta kí hiệu ⃗ là các rêpe địa phương trong hệ tọa độ cong

;

;

. Do đó ⃗

sẽ được xác định từ biểu thức:
⃗

⃗

=

(1.6)

∙

Thay ⃗ ở (1.3) vào ( 1.6), biểu thức trở thành:
⃗ = ⃗

=

)

.

=

⃗ =

,

∙ ⃗

9

;

≠ 0.

(1.7)


Khai triển cụ thể sẽ được kết quả:
⃗ =

∙ ⃗ +

∙ ⃗ +

∙ ⃗

⃗ =

∙ ⃗ +

∙ ⃗ +

∙ ⃗

⃗ =

∙ ⃗ +

∙ ⃗ +

∙ ⃗ .
;

Ngược lại, nếu biến đổi từ hệ tọa độ cong
(

,

,

(1.8)

;

sang hệ tọa độ cong

).

⃗

⃗ =

⃗

=

∙

∙ ⃗.

=

(1.9)

Khai triển cụ thể (1.9)
⃗ =

∙ ⃗ +

∙ ⃗ +

∙ ⃗

⃗ =

∙ ⃗ +

∙ ⃗ +

∙ ⃗

⃗ =

∙ ⃗ +

∙ ⃗ +

∙ ⃗ .

Xét một véctơ (tenxơ hạng nhất) bất kỳ ⃗ (

,

(1.10)

). Có thể biểu diễn véc tơ ⃗

,

dưới dạng:
⃗=

⃗ =

⃗ .

Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác, véctơ ⃗ không đổi.
Biểu diễn ⃗ với các thành phần phản biến

⃗=
=

. ⃗ =
⃗

. ⃗ =

∙

∙

⃗

⃗.

=

Suy ra:
=
Khai triển (1.11) cho biểu thức sau:

10

∙

(1.11)


=

+

+

=

+

+

=

+

+

(1.12)
∙

Biểu diễn ⃗ với các thành phần hiệp biến
⃗=
⃗=

⃗ =

⃗ . ⃗. ⃗

⃗ =

=

⃗

⃗ =

⃗

từ đó suy ra
=

∙

(1.14)

Biểu diễn cụ thể (1.14) như sau
=

+

+

,

=

+

+

,

=

+

+

.

(1.15)

Đối với tenxơ hạng hai
Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:
=
Trong đó

⃗ ⃗ =

⃗ ⃗ =

⃗ ⃗ .

là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ.
là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ.
là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ.

Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở
⃗ ; ⃗ ; ⃗

tenxơ hạng 2 sẽ được biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành

phần 2 lần phản biến như sau:

11


⃗ ⃗ =

=

⃗

=
=

⃗

⃗ ⃗ =
⃗

∙

∙

∙

∙ ⃗ ⃗ .

⃗

∙

∙

Suy ra:
=

∙

,

bao gồm 9 thành phần:

,

,

,

Ví dụ nếu khai triển chi tiết thành phần

,

,

,

+

∙

+

∙

+

∙

+

∙

+

∙

+

∙

+

∙

+

∙

+
∙

,

.

ta sẽ được

∙

2

+
+2

+

∙

+2

Tượng tự với 8 thành phần còn lại của
=

(1.16)

=

=

;

.

∙

.
=

với chú ý là

;

.

Nếu biểu diễn dưới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng:
⃗. ⃗ =

=
=

.

.

. ⃗ . ⃗.⃗ . ⃗ . ⃗. ⃗

⃗ .⃗ =

. ⃗ . ⃗ =

∙ ⃗′ ∙ ⃗′ .

∙

Vậy:
=
Hệ thống

gồm có 9 phần tử

∙
,

,

12

.
,

(1.17)
,

,

,

,

,

=


=

trong đó

;

=

;

=

.

Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ được:
=

+

2

∙

+

+2

+

∙

+

∙

.

Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến:
=
=

⃗ ⃗ =
⃗ .
⃗

=

⃗ ⃗ =
⃗

. ⃗ =
∙

∙

⃗ ⃗ ⃗. ⃗
∙

∙ ⃗

∙ ⃗ =

∙ ⃗′ ∙ ⃗′ .

∙

Vậy:
=

∙

.

(1.18)

=

∙

∙

.

=

∙

∙

.

Tương tự đối với tenxơ hạng cao ta có:

′

=

∙

∙

.

Tenxơ kết hợp
Do các véc tơ ⃗ ; ⃗ đều là các véctơ cơ sở nên véctơ ⃗ có thể biểu diễn thông qua
hệ véctơ cơ sở ⃗ và ngược lại.
⃗ =

Ví dụ:

⃗ +

⃗ +

⃗ ,

(1.19)

Nhân cả hai vế của (1.19) với ⃗ ta được
⃗ .⃗ =
⇔

=

⃗ .⃗ +
⃗ . ⃗ +

⃗.⃗ +
⃗ . ⃗ +

Vì ⃗ ⊥ ( ⃗ , ⃗ ) nên ⃗ . ⃗ = ⃗ . ⃗ = 0

13

⃗ . ⃗ ,
⃗. ⃗

(1.20)
(1.21 )


Thay (1.21) và ( 1.20) có
=

.

Làm tương tự, ta nhân hai vế của ( 1.19) với ⃗

Tương tự tính được
;

Thay các

;

⃗ .⃗ =

⃗.⃗ +

⇔

.

=
=

⃗. ⃗ +

⃗ . ⃗

.

vào ( 1.19) suy ra
⃗ =

⃗ +

⇒ ⃗ =

⃗ +

⃗

⃗ .

( 1.22)

Ngược lại véc tơ ⃗ có thể biểu diễn qua các cơ sở ⃗ . Ví dụ
⃗ =

⃗ +

⃗ +

⃗

( 1.23)

Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với ⃗ sẽ được
⃗ . ⃗ =

⃗ ⃗ +

⇔

.

=

⃗ ⃗ +

⃗ ⃗

Do ⃗ ⊥ ( ⃗ , ⃗ ) nên ⃗ . ⃗ = ⃗ . ⃗ = 0; ⃗ . ⃗ = 1.
Thực hiện tương tự, nhân hai vế của ( 1.23) với ⃗ sẽ có
=

.

=

.

Nhân 2 vế của ( 1.23) với ⃗

Thay

,

,

vào ( 1.23)
⃗ =

. ⃗ +

. ⃗ +

. ⃗

Hay
⃗ =

. ⃗

(1.24 )

Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số như sau:
⃗ =

⃗ .

⃗ =

. ⃗ .

( phép nâng chỉ số)
( phép hạ chỉ số)

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide
a. Tenxơ mêtric hiệp biến

14

Xét trong hệ tọa độ Đềcác. Gọi

là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là

⃗
=

⃗.

⃗= ⃗

= ⃗. ⃗
=(

) +(
,
⃗.

) +(

) .

)

,

⃗= ⃗

= ⃗. ⃗

Trong đó

( 1.25)

=

Xét trong tọa độ cong (
=

. ⃗

⃗
=

.

( 1.26)

= ⃗ . ⃗ là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong.

Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi
=

=

=

∙

∙

( 1.27)

Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận được
=

(1.28)

∙

=

∙

+

∙

+

∙

Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến như sau
=

+

+

,

=

+

+

,

=

+

+

,

=

∙

+

∙

+

∙

=

∙

+

∙

+

∙

15

(1.29)
,
,


=

∙

+

∙

+

∙

.

b. Xác định tenxơ mêtric phản biến.
Hệ véctơ cơ sở phản biến ⃗ liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức
⃗. ⃗ =

- tenxơ Kronecker

Với hệ cơ sở ⃗ , ⃗ , ⃗ đã biết ta xác định được
= ⃗ (⃗ × ⃗ )

=

hay

.

Đặt:
⃗ =

⃗ × ⃗

;

⃗ =

⃗ × ⃗

; ⃗ =

⃗ × ⃗

.

(1.30)

Hoặc
⃗ =

⃗ × ⃗

; ⃗ =

⃗ × ⃗

; ⃗ =

⃗ × ⃗

.

Trong đó :
1

= ⃗ (⃗ × ⃗ )=

.

Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao ( ⃗ ⊥ ( ⃗ , ⃗ ); ⃗ ⊥ ( ⃗ ; ⃗ )), các véc tơ cơ
sở ⃗ , ⃗ trùng nhau về hướng nhưng độ lớn khác nhau.

Thật vậy, ta có ⃗ × ⃗ =

⃗

mà
⃗ =

⃗ × ⃗

⃗

=

Suy ra : ⃗ , ⃗ cùng hướng, khác nhau về độ lớn.
Tương tự các cặp ⃗ , ⃗ ; ⃗ , ⃗ cũng cùng chiều và khác độ lớn.
Trong

trường

hợp

= ⃗. ⃗ =0 ( ≠ )

này:

= ⃗. ⃗ =0 ( ≠ )
0
=
=

=

=

0
0

.

Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính

16

ta được:

0

0
0


= ⃗ . ⃗ . ⃗ . ⃗ = ⃗ . 1. ⃗ = 1
⇒

=

1

Thực hiện tương tự ta cũng nhận được
=

1

;

1

=

.

= ⃗. ⃗ =(⃗) ⇒ ⃗ =
Giống như trên ta có thể suy ra ⃗ =
⃗ =
⃗ =

.

; ⃗ =

; ⃗ =

; ⃗ =

; ⃗ =

,
.

c. Ví dụ:

Hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu là hai hệ tọa độ cong trực giao. Ta đi xác định tenxơ
metric trong hai hệ tọa độ này.
Tọa độ trụ (

,

,

)=( , , )

( Hình 3.)
z

Phép biến đổi tọa độ
=

=

,

=

=

,

=

P

= .
Hình 3.

Ta tính được
=

=

=

=−

=

=0

;
;
;

=

=

;

=

=

;

=

=0

Suy ra từ công thức (1.31)
⃗ =(

,

, 0) ,
17

;

=

=0

=

=0

=

=1

(1.31)

⃗ = (−

, 0) ,

,

(1.32)

⃗ = (0,0,1) .
Thay (1.31) vào (1.29) ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa
độ trụ
=

+

=

=1
+

=

=1
. (−

=

=

=

=0

=

=0

)+

.

=0

Vậy:
1
0
0

=

0

0
0 =
1

0

= .

Suy ra

Thay (1.32) vào (1.30) ta sẽ thu được các thành phần của tenxơ metric phản biến
trong hệ tọa độ trụ
⃗ × ⃗ =(

;

; 0)

⃗ × ⃗ = (−

;

; 0)

⃗ × ⃗ =(0 ; 0 ;

Suy ra :

⃗ =(
⃗ = −

; 0) ,

;
;

;0 ,

)
⃗ = (0 ; 0 ; 1).

Vậy:
= 1,

=
=

=

= 1,

,
=

=

=

= 0.

Trong hệ tọa độ cầu (Hình 4)
(

,

,

)=( , ,

)
=

Phép biến đổi tọa độ:
=

=

,

=

=

,

18

=

.


=

Hình 4.

Ta tính được các đạo hàm riêng

=

,

=−

=

,

=

=

,

,
,

= 0,

=

,

=

, (1.33)

=−

.

Vậy từ (1.3) ta có
⃗ =(

,

)

,

⃗ = (−

, 0)

,

⃗ =(

,

(1.34)
)

,−

Thay (1.33) vào (1.29) ta có các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ
cầu
=

+

= 1,

=

+

=

=

+

+

=

=

+

=

=

=
0

=

1
0
0

=

.

19

=

= 0.
0
0 =

0

,

.


Từ (1.34) ta tính được
⃗ × ⃗ = (−

; −

⃗ × ⃗ =(

),

;−

; 0 ),

;−

⃗ × ⃗ = (−

(1.35)

;−

).

;

Vậy theo (1.30) ta có:
⃗ = (−

; −

⃗ =

;−

⃗ = −

),

;−

(1.36)

;0 ,
,−

,

.

Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong tọa độ cong.
= 1,

1

=

=

=

=

,

=

=

=

1

,

= 0.

1.3. Thành phần vật lý của tenxơ
1.3.1. Tenxơ hạng nhất
Xét véctơ ⃗ ( tenxơ hạng nhất )
⃗=
Gọi các véc tơ

⃗∗ ,

⃗=

⃗

⃗∗

=

⃗∗

⃗∗ =

;

Ta gọi

∗

⃗∗ ,

⃗

.

.
⃗ trùng nhau về hướng, khác nhau về độ

Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao, ⃗ ,
lớn nên các véc tơ

⃗

⃗∗ là các véctơ phản biến và hiệp biến đơn vị
⃗∗ =

Suy ra:

⃗=

⃗∗ trùng nhau. Vậy

=

là thành phần vật lý của tenxơ hạng nhất.

Kí hiệu:
=

1

20

=

,

=

∗

.


gọi là hệ số Lamé. Thành phần vật lý của véctơ ⃗ có dạng :
∗

=

=

=

.

( không tổng theo i )

1.3.2. Tenxơ hạng hai
Một tenxơ hạng 2 bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:
=

⃗ ⃗ =

⃗∗

⃗ ⃗ =
⃗∗ ⃗∗ =

=

⃗∗
⃗∗ ⃗∗ =

1 1

⃗ ∗⃗ ∗ .

Suy ra:
∗

∗

=

1 1

=

( không tổng theo , )

là thành phần vật lý của tenxơ hạng hai.

Tương tự như trên ta có thể xác định được thành phần vật lý của tenxơ hạng bất kỳ.
1.3.3. Khai triển cụ thể
=
∗

1

=

=

,

∗

=

(

∗

∗

,

=
∗

=

,
(

) ,

∗

=

=

,

∗

=

,

∗

1

=

,

=
∗

=

=

.
(

∗

=

=

,

∗

=

,

=

,

∗

=

.

) ,

Áp dụng đối với hệ tọa độ trụ ( , , )
=

,

=1.

Đối với hệ tọa độ cầu ( , , )
=1,

=

,

21

,

(1.37)

) ,

= 1,

1

= .

(1.38)