NGHIÊN CỨU SỰ PHÁ VỠ VÀ PHỤC HỒI ĐỐI XỨNG Ở NHIỆT ĐỘ CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

LỜI CẢM ƠN
Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn
Phó giáo sư, Tiến sĩ Lê Viết Hòa, cảm ơn thầy đã tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ, động viên và cung cấp cho em vốn kiến thức, tài liệu
quý báu để em có thể hoàn thành được luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lý
– Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã trang bị cho em những kiến
thức khoa học căn bản cũng như đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất
trong suốt quá trình em thực hiện luận văn.

Hà Nội, ngày tháng năm 2012
Tác giả luận văn
Lê Thị Hương
MỤC LỤC
TÀI LIỆU THAM KHẢO 71


MỞ ĐẦU
Theo quan điểm đối xứng có thể chia các hệ vật lý thành hai loại: Loại
thứ nhất bao gồm các hệ mà đối xứng bị phá vỡ ở nhiệt độ T= 0 sẽ được phục
hồi ở nhiệt độ cao như các chất sắt từ trong vật lý các môi trường đậm đặc,
mô hình chuẩn hoặc mô hình thống nhất lớn trong vật lý hạt. Bên cạnh đó
cũng có hiện tượng phá vỡ đối xứng nghịch đảo (ISB) tức là đối xứng ban đầu
bị phá vỡ khi nhiệt độ tăng. Loại thứ hai bao hồm các hệ mà đối xứng bị phá
vỡ tường minh sẽ không được phục hồi (SNR) khi nhiệt độ tăng như các hệ
tinh thể lỏng, các muối Rochelle, một số hợp chất mangan …. Trong khuân
khổ lý thuyết trường lượng tử, vấn đề không phục hồi đối xứng đã thu hút
được sự quan tâm của nhiều nhà vật lý trong thời gian gần đây vì nó liên quan
đến những vấn đề quan trọng trong vũ trụ học như về sự tồn tại của các vách
ngăn (domain wall), các hạt đơn cực (monopole)…Chính vì vai trò quan trọng
của bài toán về SNR/ISB ở nhiệt độ cao chúng tôi chọn đề tài “Nghiên cứu sự

phá vỡ và phục hồi đối xứng ở nhiệt độ cao” với nhiệm vụ sau:
1) Tìm hiểu hình thức luận tích phân đường trong cơ học lượng tử và
trong lý thuyết trường lượng tử.
2) Tìm hiểu phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữu hạn.
3) Tính thế nhiệt động, các tham số trật tự từ đó rút ra các phương trình
khe, phương trình Swchinger-Dyson, từ đó nghiên cứu điều kiện để xảy ra
phá vỡ đối xứng nghịch đảo hoặc không phục hồi đối xứng trong mô hình lý
thuyết trường được mô tả bằng mật độ Lagrangian:
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
* * * *
1
1
ψ
2
* * * *
2
2
λ
£ = i +ψ i ψ μ +
t 2.m t 2.m 2
λ λ
μ ψ ψ + ψ ψ + ψ ψ
2 2
,
φ
δ δ
− − − − φ φ

δ δ
φ φ
 
 
∇ ∇
φ φ − φ φ −
 ÷
 ÷
 
 
−
1
ở đây
1 2
μ μ,
tương ứng là thế hóa học của các trường
φ
, ψ; m
1
, m
2
là khối
lượng thuần của các nguyên tử được biểu diễn bằng các trường
φ
, ψ tương
ứng; λ
1,
λ
2
, λ là các hằng số liên kết.

Từ những kết quả đạt được, luận văn được trình bày với bố cục như sau:
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo luận văn
gồm 3 chương:
Chương 1: Phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ không.
Chương 2: Phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở nhiệt độ hữa hạn.
Chương 3: Sự phá vỡ và phục hồi đối xứng trong hệ pha trộn nhị nguyên.


2
Chương I:
PHƯƠNG PHÁP TÁC DỤNG HIỆU DỤNG CJT Ở
NHIỆT ĐỘ KHÔNG
Chương này trình bày một cách tổng quan về tác dụng hiệu dụng cho các
toán tử Composite đã được Cornwall, Jackiw và Tomboulis (CJT) đưa ra lần
đầu tiên vào 1976. Trước hết chúng tôi đưa ra khái niệm về tác dụng hiệu
dụng CJT cùng với khai triển chu tuyến (loop) của nó, tiếp đó là thế hiệu
dụng và sau cùng là một vài ví dụ minh họa.
I.1. Các phiếm hàm sinh và tác dụng hiệu dụng.
I.1.1. Tác dụng hiệu dụng của trường vô hướng.
Xét trường vô hướng
( )
xφ
được mô tả bởi mật độ Lagrangian
( )
£[ x ]φ
và hàm tác dụng:

( )
4
S £[ x ]d x. (1.1)= φ

∫
Mọi đặc trưng động lực của trường đều được xác định từ biên độ chuyển dời
chân không thành chân không với sự có mặt của nguồn ngoài J mà nó được
biểu diễn bằng tích phân đường:

[ ]
[ ] [ ]
i(S .j) iw j
out in
J 0 0 D e e ,Z (1.2)
φ +φ
≡ = φ =
∫
ta dùng kí hiệu:

4
.J (x)J(x)d x. (1.3)φ = φ
∫
[ ]
Z J
chính là phiếm hàm sinh cho các hàm Green toàn phần vì các đạo phiếm
hàm của nó cho các hàm Green:

[ ]
[ ]
n
1 n 1,2 n
n
n 2 1
J

1
0 T( ) 0 G . (1.4)
Z J i J J J
Zδ
= φ φ ≡
δ δ δ
3
Còn các hàm Green liên kết G
C
nhận được từ phiếm hàm sinh
[ ]
W J
liên quan
với
[ ]
Z J
bởi (1.2)

[ ]
[ ]
iW J
Z J = e ,
Suy ra:

[ ] [ ]
W J = ilnZ J
(1.5)
Từ đây bằng cách đưa vào “trường cổ điển”
( )
xφ

là trị trung bình của trường
lượng tử
( )
xφ
:

[ ]
[ ]
( )
[ ]
( )
i S + .J
i S + .J
i D (x)e
δW J
= (x) = (x)
δJ
i D e
φ φ
φ φ
φφ
≡ φ φ
φ
∫
∫

(1.6)
thì tác dụng hiệu dụng
[ ]Γ φ
sẽ nhận được bằng phép biến đổi Legendre loại I

[ ]
( )
Γ[ ] = W J .J. 1.7φ − φ
Cũng như (1.3), ở đây

( ) ( ) ( )
4
.J = x J x d x, 1.8φ φ
∫
có thể coi (1.6) là phép biến đổi biến từ J thành
φ
là biến tự nhiên của phép
biến đổi Legendre. Đạo phiếm hàm của
[ ]Γ φ
theo biến số tự nhiên
φ
sẽ cho
hệ thức liên hợp Legendre:
( )
1.9J.
φ
 
 
δΓ
= −
δφ
Trạng thái cơ bản của hệ ứng với J = 0 ứng với sự triệt tiêu nguồn ngoài sẽ
cho ta xác định
( )

xφ
J 0
[ ]
0. (1.10)
=
δΓ φ
=
δφ
Để đi đến biến đổi Legendre loại II ta xét phiếm hàm sinh tổng quát hơn:
4
[ ]
[ ]
[ ]
( )
1
i S + .J+ .K.
iW J,K
2
Z J,K = D e = e , 1.11
 
 ÷
φ

φ φ φ

φ
∫
ở đây K là nguồn ngoài đặc trưng cho tính Composite của trường.
Tương tự như trên, bằng cách đưa vào “trường cổ điển”
( )

xφ
theo (1.6) và
hàm truyền G bởi hệ thức:

[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
δW J,K
1 1
x y = x y + G x,y , 1.12
δK x,y 2 2
 
≡ φ φ φ φ
 
ta sẽ nhận được tác dụng hiệu dung CJT bằng biến đổi Legendre loại II:

[ ] [ ]
( )
1 1
Γ[ ,G] = W J,K .J .K. Tr G.K . 1.13
2 2
φ −φ − φ φ −
Cũng như (1.3), ở đây ta dùng các ký hiệu:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
4
4 4
4 4

.J = x J x d x,
.K. x K x,y y d xd y,
Tr G,K G x,y K x,y d xd y. 1.14
φ φ
φ φ = φ φ
=
∫
∫
∫
Các phương trình (1.6) và (1.12) có thể xem như phép biến đổi từ (J,K) thành
các biến tự nhiên
( )
,Gφ
của phép biến đổi Legendre loại II (1.13).
Các đạo phiếm hàm của
[ ,G]Γ φ
theo biến số tự nhiên
φ
sẽ cho các phương trình:

( )
δΓ[ ,G]
= J K. , 1.15
δ
φ
− − φ
φ

( )
δΓ[ ,G] 1

= K. 1.16
δG 2
φ
−
Trạng thái cơ bản của hệ sẽ tương ứng với sự triệt tiêu của nguồn ngoài và do
đó được xác định bởi phương trình khe (Gap):
5

( )
J=K=0
δΓ[ ,G]
=0 1.17
δ
φ
φ
và phương ttrình Schwinger-Dyson (SD):

( )
J=K=0
δΓ[ ,G]
= 0. 1.18
δG
φ
Như vậy khi có thêm nguồn ngoài K đặc trưng cho tính chất Composite
thì thay cho tác dụng hiệu dụng
[ ]Γ φ
sẽ là tác dụng hiệu dụng
[ ,G]Γ φ
tổng
quát hơn, tác dụng này không chỉ phụ thuộc vào trung bình chân không của

toán tử trường mà còn phụ thuộc vào hàm truyền G là trị trung bình của T-
tích của các toán tử trường.
I.1.2. Tác dụng hiệu dụng của trường Fermion.
Việc xây dựng biểu thức cho tác dụng hiệu dụng đối với trường Fermion
cũng hoàn toàn tương tự như đối với trường vô hướng. Khi đó ta xét một hệ
với sự có mặt của các trường Fermion
ψ
và
ψ
được mô tả bởi mật độ
Lagangien
Lψ,ψ
é ù
ê ú
ë û
và tác dụng:

( )
4
I = Lψ,ψ d x. 1.19
 
 
∫
Biên độ chuyển dời chân không thành chân không với sự có mặt của các
nguồn
η
và
η
cặp với các trường
ψ

và
ψ
là:

i{Iψ,ψ +ψ.η+η.ψ}

out in
Zη,η O O = DψDψe . (1.20)
é ù
ê ú
ë û
é ù
=
ê ú
ë û
ò
Phiếm hàm sinh cho các hàm Green liên kết xác định bởi:

iWη,η
Zη,η = e . (1.21)
é ù
ê ú
ë û
é ù
ê ú
ë û
Bằng cách đưa vào các trường cổ điển
σ(x)
và
σ(x)

tương ứng là giá trị
trung bình của trường
ψ(x)
và
ψ(x)
:
6
δW η,η
<ψ> = σ(x),
δη
δW η,η
<ψ> = σ(x), (1.22)
δη
é ù
ê ú
ë û
º
é ù
ê ú
ë û
º
ta thu được tác dụng hiệu dụng
[ ]
Γ σ(x),(x)
bằng phép biến đổi Legendre loại I:
[ ] [ ]
Γ σ(x),σ(x) = W η,η σ(x).η η.σ(x). (1.23)- -
Hệ thức liên hợp Legendre thu được từ đạo phiếm hàm của của
[ ]
(x), (x)Γ φ φ

theo các biến tự nhiên:
[ ]
[ ]
δΓ σ(x),σ(x)
=η(x),
δσ(x)
δΓ σ(x),σ(x)
=η(x). (1.24)
δσ(x)
-
-
Để đi đến biến đổi Legendre loại II ta xét phiếm hàm sinh tổng quát hơn:

. .
iW
i{Iψ,ψ + ψ η + η ψ + ψ.ς.ψ}
η,η,ς
Zη,η,ς = e = DψDψe .
é ù
é ù
ê ú ê ú
ë û ë ûé ù
ê ú
ë û
ò
(1.25)
Bằng cách đưa vào trường cổ điển
σ(x),σ(x)
theo (1.22) và hàm truyền S
thỏa mãn:

δW η,η,ς
<ψψ> = σ(x)σ(x) + S(x,y).
δς
é ù
ê ú
ë û
º
(2.16)
Ta sẽ nhận được tác dụng CJT bằng phép biến đổi Legendre loại II:

[ ] [ ] [ ]
Γ σ,σ,S = W η,η,ς σ.η η.σ σ.ς.σ Tr Sς , (1.27)- - - -
ở đây đã dùng các kí hiệu:

4
ση = σ(x)η(x)d x,
ò

4
ση = σ(x)η(x)d x,
ò
7

[ ]
4 4
4 4
σ.ς.σ = σ(x)ς(x,y)σ(y)d xd y,
Tr Sς = S(x,y)ς(x,y)d xd y. (1.28)
ò

ò
Các đạo phiếm hàm của tác dụng hiệu dụng theo các biến tự nhiên
σ, σ, S
của
biến đổi Legendre loại II sẽ cho:
[ ] [ ] [ ]
δΓ σ,σ,S δΓ σ,σ,S δΓ σ,σ,S
=η σ.ς; = η ς.σ; = ς. (1.29)
δσ δσ δS
- - - - -
Trạng thái cơ bản của Trường sẽ được mô tả bằng phương trình Gap:

[ ]
[ ]
η = η = ς
η = η = ς
δΓ σ,σ,S
= 0,
δσ
δΓ σ,σ,S
= 0, (1.30)
δσ
và phương trình SD:
[ ]
η = η = ς
δΓ σ,σ,S
= 0. (1.31)
δS
I.2. Khai triển Loop của tác dụng hiệu dụng.
Trong mục này ta sẽ xem xét các khai triển bất khả quy một hạt (một

loop) và hai hạt (hai loop) của tác dụng hiệu dụng. Điều này rất cần thiết cho
các tính toán tác dụng hiệu dụng trong những trường hợp cụ thể về sau.
I.2.1. Khai triển bất khả quy một hạt.
Xét trường vô hướng.
Từ phiếm hàm:
[ ]
( )
[ ]
( )
( )
δΓ
i S .
δ
iΓ i W J .J
e = e = D e , 1.32
  
φ
 
 
φ − φ− φ
 
φ
 
φ − φ
 
   
φ
∫
với mối ràng buộc bởi hệ thức liên hợp Legendre (1.9).
Nếu biểu diễn tác dụng cổ điển

[ ]
S φ
dưới dạng:
8

[ ] [ ]
( )
-1
0 int
1
S = .iG . + S , 1.33
2
φ φ φ φ
thì với
0φ =
phương trình (1.32) có dạng:

[ ]
[ ]
( )
-1
0 int
=0
δΓ
1
i .iG . + S .
2δ
iΓ 0
e = D e . 1.34
φ

 
 
φ
 
 
φ φ φ − φ
 
φ
 
 
φ
∫
Từ đây ta hãy tìm phiếm hàm
1
[ ]Γ φ
thỏa mãn phương trình (1.34) và
trở nên đồng nhất với nó khi làm một số thay đổi thích hợp trong số hạng
tương tác và hàm truyền, tức là:

%
( )
% % %
( )
1
-1
0 int
1
δΓ
1
i .iG . . + S , .

2δ
iΓ [ ]
e = D e . 1.35
 
 
φ
 
 
 
φ φ φ φ φ −φ
 
 
φ
φ
 
 
φ
∫
%
Tiến hành phép biến đổi:

%
( )
1.36φ = φ − φ
và khai triển
[ ]
S φ
quanh giá trị
φ
:

[ ]
% %
( )
%
( )
-1
0 int
δS[ ] 1
S = S[ + ] = S[ ]+ + .iG . . +S [ , ], 1.37
δ 2
φ
φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ
φ
% %
ở đây
( )
2
-1
0
δ S
iG . =
δ ( )δ ( )x y
φ
φ φ

và
[ ]
°
%

°
-1
0 int
δS[ ] 1
S[ ] = S .iG .[ ]. S [ , ].
δ 2
φ
φ φ − φ − φ φ φ − φ φ
φ
%
Khi đó (1.35) trở thành :

{ }
[ ]
%
( )
1
1
δΓ δS
i S .( + )
δ δ
iΓ +S
e = D e . 1.38
 
φ φ
 
   
φ − φ
 
φ φ

φ φ
 
   
 
φ
∫
So sánh (1.38) và (1.32) ta nhận được:

[ ] [ ] [ ]
( )
1
S , 1.39Γ φ = Γ φ + φ
9
ở đây
[ ]
1
Γ φ
là tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy 1 hạt tương
ứng với tác dụng tương tác
int
S ,φ φ
 
 
và hàm truyền
( )
1
0
G .
−
φ

.
Xét trường fermion.
Từ phiếm hàm:
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
iΓ σ(x),σ(x) i{W η,η σ(x).η η.σ(x)}
δΓ σ,σ δΓ σ,σ
i Iψ,ψ (ψ σ) (ψ σ)
δσ δσ
e = e
= DψDψe , (1.40)
- -
ì ü
ï ï
ï ï
- - - -
í ý
ï ï
ï ï
î þ
ò
ta biểu diễn
[ ]
Iψ,ψ
dưới dạng:

[ ] [ ]
-1
0 int

Iψ,ψ = ψ.iS .ψ+I ψ,ψ . (1.41)-
Khi đó ứng với
σ = σ = 0
thì phương trình (1.40) trở thành:
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
-1
0 intσ = σ = 0
δΓ σ,σ δΓ σ,σ
iψ.iS .ψ + I ψ,ψ (ψ + ψ)
iΓ 0,0
δσ δσ
e = DψDψe . (1.42)
ì ü
ï ï
ï ï
- -
í ý
ï ï
ï ï
î þ
ò
Ta lại tìm một phiếm hàm
[ ]
1
σ,σG
thỏa mãn phương trình tương tự như (1.42)
và trở nên trùng khớp với nó khi làm một số thay đổi thích hợp trong số hạng
tương tác và hàm truyền tức là thỏa mãn:

[ ]
[ ] [ ]
{ }
-1
1 1
0 int
1
δΓ σ,σ δΓ σ,σ
iψiS ψ + I ψ,ψ,σ,σ ψ ψ
iΓ σ,σ
δσ δσ
e = DψDψe . (1.43)
é ù
- - -
ë û
ò
% % %
% % %
%
Đưa vào các biến mới:

ψ = ψ σ
ψ = ψ σ (1.44)
-
-
%
%
và khai triển tác dụng cổ điển quanh
σ,σ
ta được:

[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
2
int
Iψ,ψ = I ψ + σ,ψ + σ
δI σ,σ δI σ,σ δ I σ,σ
= Iσ,σ + ψ + ψ+ ψ ψ +I ψ,ψ,σ,σ . (1.45)
δσ δσ δσδσ
%
%
% % %
% % %
Suy ra:
10

[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
2
int
δI σ,σ δI σ,σ δ I σ,σ
Iσ,σ = I ψ,ψ ψ ψ ψ ψ I ψ,ψ,σ,σ ,
δσ δσ δσδσ
- - - -
% % %
% %

kết hợp với (1.43) ta được:
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
{ }
1 1
1
δΓ σ,σ δI σ,σ δI σ,σ δΓ σ,σ
i Iψ,ψ ψ( + ) ( + )ψ)
i{Γ σ,σ + I σ,σ }
δσ δσ δσ δσ
e = DψDψe .
(1.46)
- -
ò
%
%
%
So sánh (1.46) và (1.40) ta được khai triển một loop của tác dụng hiệu dụng :
[ ] [ ] [ ]
1
Γ σ,σ = I σ,σ +Γ σ,σ , (1.47)

trong đó
[ ]
1
σ,σG
là tổng của tất cả các giản đồ chân không bất khả quy một
hạt ứng với tương tác
[ ]

Iψ,ψ,σ,σ
và hàm truyền
1
0
S (σ,σ)
-
.
I.2.2. Khai triển bất khả quy hai hạt.
Xét trường vô hướng.
Xuất phát từ phiếm hàm sinh tổng quát :
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
1
i S + .J + .K.
iW J,K
2
1 1 1
1 1
i S + .J + .K. .J .K. Tr G.K
i{W J,K .J .K. Tr G.K }
2 2 2
2 2
Z J,K = D e = e
e = D e .
 
φ φ φ φ
 ÷

 
 
φ φ φ φ − φ − φ φ −
− φ − φ φ −
 ÷
 
φ
⇒ φ
∫
∫
Khi đó:
[ ] [ ]
{ }
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
[ ]
( ) ( ) ( )
1 1
i W J,K .J .K. Tr G,K
iΓ ,G
2 2
1
i
i S + J+K. + .K.
Tr G,K
2
2
δΓ ,G δΓ ,GδΓ ,G

i S . .iTr G
δ δG
δG
e = e
= e D e
= e D e , (1.48)
− φ − φ φ −
φ
 
 
φ φ − φ φ φ − φ φ − φ
−
φ φφ
 
      
 
 
   
 
φ − φ − φ − φ − φ φ − φ
 ÷
 
 
φ
 
 
   
φ
φ
∫

∫
từ (1.15) và (1.16); đồng thời bằng cách biểu diễn tác dụng cổ điển
[ ]
S φ
với
0φ =
phương trình (1.48) sẽ có dạng:
11
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
( )
-1
k
0 int
=0
δΓ δΓ 0,G
1
δΓ 0,G
i .iG . + S . .
iTr G
2δ δG
iΓ 0,G
δG
e = e D e . 1.49
φ
 
φ
 

 
φ φ φ − φ − φ φ
 
 
φ
 
   
φ
∫
Ta đưa vào hằng số

( )
( )
1
-1 -1
-
-1
2
0 0
0
1 1
.G . Tr lnG
ln DetG
2 2
D e = e = e 1.50
− φ φ −
 
 
φ
∫

và chia vế theo vế của (1.49) cho (1.50) ta thu được:
[ ]
{ }
-1
0
i
iΓ 0,G Tr lnG
2
e
−
 
 
=
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
( )
-1
k
0 int
=0
-1
0
δΓ δΓ 0,G
1
i .iG . + S . .
δΓ 0,G 2 δ δG
iTr G
δG
1

i .iG .
2
D e
= e . . 1.51
D e

φ
 
φ
φ φ φ − φ − φ φ
 
φ
 
 
 
 
φ φ
φ
φ
∫
∫
Cũng giống như khai triển bất khả quy một hạt, ta cần tìm phiếm hàm
[ ]
2
δΓ ,Gφ
thỏa mãn phương trình giống (1.51) và trở nên đồng nhất với nó khi một số
thay đổi thích hợp trong số hạng tương tác và hàm truyền, tức là:
{ }
%
% % % % % %

%
% %
( )
2
-1
2 0
2k 2
-1
0 int
-1
0
δΓ ,G
i
iTr G
iΓ ,G Tr lnG
δG
2
δΓ δΓ ,G
1
i .iG . + S , . .
2δ δG
1
i .iG .
2
e = e
D e
,
D e
1.52
φ

 
 
 
 
φ −
 
 
 
 
 
φ φ
    
 
   
 
φ φ φ φ − φ − φ φ
 
 
φ
 
 
φ φ
×
φ
×
φ
∫
∫
với
%

φ
thỏa mãn:

%
.φ = φ − φ
Khi
0φ =
thì (1.52) được viết lại như sau:
12
[ ]
{ }
[ ]
[ ]
[ ]
-1
2 0
2k
-1
2
0 int
0
2
-1
0
i
iΓ 0,G Tr lnG
2
δΓ ,G
δΓ 0,G
1

i .iG . + S . .
2δ δG
δΓ 0,G
iTr G
δG
i
.iG .
2
e =
D e
= e . . (1.53)
D e
φ=
−
 
 
 
φ
 
 
 
φ φ φ − φ − φ φ
 
φ
 
 
 
 
 
φ φ

φ
φ
∫
∫
Khai triển tác dụng cổ điển quanh giá trị
φ
ta sẽ có:

[ ]
% %
( )
% %
-1
0 int
δS
1
S S .iG . . S , ,
2
φ
 
 
 
φ = φ − φ − φ φ φ − φ φ
 
 
 
δφ
trong đó
( )
2

-1
0
S
iG .
(x) (y)
δ
φ =
δφ δφ
. Nhân cả hai vế của (1.53) cho
[ ]
iS
e
φ
ta có:
[ ] [ ]
{ }
%
[ ]
%
[ ]
%
[ ]
%
-1
2 0
2 2k
-1
2
0
i

i S +Γ ,G Tr lnG
2
δΓ ,G δΓ
δS δΓ ,G
i
iTr G i S ( + ) ( G + )
δG δ δ 2 δG
e =
= e D e . (1.54)
φ φ −
 
 
φ φ
      
φ φ
 
   
φ − φ − φ φ
 
 
φ φ
 
   
φ
∫
Ta lại có :

( )
[ ]
1

-1 -1
-
-1
2
1 1 1
.G . Tr lnG Tr lnG
ln DetG
2 2 2
D e = e = e = e . (1.55)
− φ φ −  
 
φ
∫
Nhân hai vế của (1.54) với (1.55) ta có :
[ ]
{ }
[ ]
%
[ ]
%
[ ]
%
( )
2
-1
2 0
2k 2
-1 -1
0
δΓ ,G

i
iTr G
iΓ ,G + S Tr lnGG
δG
2
δΓ δΓ ,G
δS
i i
i S ( + ) G G + .
δ δ 2 2 δG
e = e
× D e . 1.56
φ
  
 
 
φ φ −
 
 
 
 
 
φ φ
 
 
   
φ
 
   
φ − φ − φ φ − φ

 ÷
 
φ φ
 
  
φ
∫
%
So sánh (1.56) và (1.48) ta thu được khai triển bất khả quy hai hạt của các tác
dụng hiệu dụng cho các toán tử Composite:
( )
-1 -1
0 0 2
i
Γ ,G = S Tr lnGG GG +1 + Γ ,G , 1.57
2
φ φ − − φ
 
     
     
 
13
ở đây
2
Γ ,Gφ
 
 
bao gồm tổng tất cả các giản đồ chân không bất khả quy hai
hạt. Phương trình (1.52) là một phương trình vi-tích phân của phiếm hàm sinh
2

Γ ,Gφ
 
 
và nó tạo ra các giản đồ chân không với một hàm truyền và tác
dụng đã được thay đổi.
Xét trường Fermion.
Tương tự như đã làm với trường Boson, từ phiếm hàm sinh tổng quát:
[ ]
[ ]
iWη,η,ς i{I ψ,ψ + ψ.η + η.ψ + ψ.ς.ψ}
i{Wη,η,ς σ.η η.σ σ.ς.σ Tr Sς }
i{Iψ,ψ + ψ.η + η.ψ + ψ.ς.ψ σ.η η.σ σ.ς.σ Tr Sς }
Zη,η,ς = e = DψDψe
e =
= DψDψe .
é ù é ù
ê ú ê ú
ë û ë û
é ù
- - - -
ê ú
ë û
é ù
- - - -
ê ú
ë û
é ù
ê ú
ë û
Þ

ò
ò
Ta có:
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
i{Wη,η,ς σ.η η.σ σ.ς.σ Tr Sς }
iΓ σ,σ,ς
-iTr Sς i{I ψ,ψ + (ψ σ)(η + σ.ς)+(η + σ.ς)(ψ σ) + (ψ σ).ς.(ψ σ)}
δΓ σ,σ,ς
iTr S
δS
δΓ σ,σ,ς δΓ σ,σ,ς δΓ σ,σ,ς
i{Iψ,ψ (ψ σ) (ψ σ) (ψ σ) (ψ σ)}
δσ δσ δS
e =e
=e DψDψe
=e
DψDψe ,
(1.58)
é ù
- - - -
ê ú
ë û
- - - -
é ù
ê ú

ê ú
ë û
- - - - - - -
´
´
ò
ò
khai triển tác dụng cổ điển:

[ ] [ ]
-1
0 int
Iψ,ψ = ψ.iS ψ +I ψ,ψ-
,
phương trình (1.58) được viết lại như sau:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
-1
0 int
iΓ σ,σ,ς
δΓ σ,σ,ς
iTr S
δS
δΓ σ,σ,ς δΓ σ,σ,ς δΓ σ,σ,ς
i{ψ.iS ψ + I ψ,ψ (ψ σ) (ψ σ) (ψ σ) (ψ σ)}
δσ δσ δS
e =
=e

DψDψe .
é ù
ê ú
ê ú
ë û
- - - - - - - -
´
´
ò
Khi đó ứng với
σ=σ=0
ta có :
14
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
-1
k k
0 int
σ=σ=0
iΓ 0,0,ς
δΓ 0,0,ς
iTr S
δS
δΓ σ,σ,ς δΓ σ,σ,ς δΓ 0,0,ς
i{ψ.iS ψ + I ψ,ψ (ψ + ψ) ψ ψ},
δσ δσ δS
e =
= e

DψDψe
é ù
ê ú
ê ú
ë û
- - -
´
´
ò
ta có :
( )
-1 -1
-1
0 0
0
ln DetS Tr lnS
ψ.S .ψ
DψDψe = e = e .
 
 
∫
Do vậy:

[ ]
[ ]
-1
0
iΓ 0,0,ς + iTr lnS
e =
[ ]

[ ]
[ ] [ ] [ ]
-1
k k
0 int
σ=σ=0
-1
0
δΓ σ,σ,ς δΓ σ,σ,ς δΓ 0,0,ς
i{ψ.iS ψ + I ψ,ψ (ψ + ψ) ψ ψ}
δΓ 0,0,ς
δσ δσ δS
iTr S
δS
i(ψ.iS ψ)
DψDψe
= e .
DψDψe
(1.59)
- - -
é ù
ê ú
ê ú
ë û
-
ò
ò
Cũng như khai triển bất khả quy một hạt, ta đi tìm hàm
[ ]
2

σ,σ,ςG
thỏa mãn :
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
2
-1
2 0
-1
2k 2k 2
0 int
σ=σ=0
-1
0
δΓ σ,σ,ς
iTr S
iσ,σ,ς iTr lnS
δS
δΓ σ,σ,ς δΓ σ,σ,ς δΓ σ,σ,ς
i{ψ.iS ψ + I ψ,ψ,σ,σ (ψ + ψ) ψ ψ}
δσ δσ δS
i(ψ.iS ψ)
DψDψe
DψDψe
(1.60)
e e
é ù
ê ú
é ù
G +

ê ú
ë û ë û
é ù
- - -
ë û
-
= ´
´
ò
ò
% % % %
% % % %
%
%
%
%
%
%
với :

ψ= ψ σ; ψ= ψ σ- -
%
%
và khai triển tác dụng cổ điển quanh
σ,σ
ta được:
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
2

int
δI σ,σ δI σ,σ δ I σ,σ
Iσ,σ = I ψ,ψ ψ ψ ψ ψ I ψ,ψ,σ,σ
δσ δσ δσδσ
- - - -
% % %
% %
.
Nhân (1.60) với
[ ]
e
iIσ,σ
sẽ được:
15
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
2
-1
2 0
-1
2k 2k 2
0
δΓ σ,σ,ς
iTr S
i{Γ σ,σ,ς + iTr lnS + I σ,σ }
δS
δΓ σ,σ,ς δI σ,σ δΓ σ,σ,ς δI σ,σ δΓ σ,σ,ς
i{Iψ,ψ ψ( + ) ( + )ψ ψ( iS + )ψ}

δσ δσ δσ δσ δS
e = e
DψDψe .
(1.61)
é ù
ê ú
é ù
ê ú ê ú
ë û ë û
- - - -
´
´
ò
% %
% %
%
%
Ta lại có:

( )
-1 -1
-1
ln DetS Tr lnS
ψ.S .ψ
DψDψe = e = e
 
 
∫
%
%

%
%
và có thể viết lại (1.61) như sau :
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2
-1
2 0
δΓ σ,σ,ς
iTr S
i{Γ σ,σ,ς +iTr lnSS +I σ,σ }
δS
e = e
é ù
ê ú
ê ú
ë û
´
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
-1 -1
2k 2k 2
0
δΓ σ,σ,ς δI σ,σ δΓ σ,σ,ς δI σ,σ δΓ σ,σ,ς
i{Iψ,ψ ψ( + ) ( + )ψ ψ(iS iS + )ψ}
δσ δσ δσ δσ δS
× DψDψe .
(1.62)

- - - -
ò
% %
% %
%
%
So sánh (1.62) với (1.58) sẽ thu được khai triển bất khả quy hai hạt cho tác
dụng hiệu dụng CJT.

[ ] [ ] [ ]
-1 -1
0 0 2
Γ σ,σ,S = I σ,σ + iTr lnSS SS (σ,σ) + 1 + Γ σ,σ,S , (1.63)
é ù
-
ê ú
ë û
với:

[ ] [ ] [ ] [ ]
k 2k
Γ σ,σ,0 = Γ σ,σ = I σ,σ + Γ σ,σ . (1.64)
Phương trình (1.60) cho thấy
2
Γ σ,σ,S
 
 
là tổng của tất cả các giản đồ chân
không bất khả quy 2 hạt ứng với tương tác
°

int
Iψ,ψ,σ,σ
 
 
 
và hàm truyền S.
Từ (1.63) ta có:
[ ] [ ]
[ ]
-1 -1
2
0
-1 -1
2
0
δΓ σ,σ,S δΓ σ,σ,S
= iS iS (σ,σ) + = ς
δS δS
δΓ σ,σ,S
S = S (σ,σ) + iς i , (1.65)
δS
- -
Þ -
đó chính là phương trình SD cho hàm truyền .
16
I.3. Thế hiệu dụng.
Xét trường vô hướng
φ
, với khai triển bất khả quy một hạt, ta có thể khai
triển tác dụng

Γ[ ]φ
theo chuỗi lũy thừa của
φ
. Biểu thức khai triển được viết:
4 4 n
1 2 1 n 1 2 n
n=0
1
Γ[ ] = d x d x (x ) (x )Γ (x ,x , ,x ),
n!
∞
φ φ φ
∑
∫
(1.66)
trong đó :

n
n
1 2
1 n
Γ[ ]
Γ (x , ,x )=
(x ) (x ).
δ φ
δφ δφ
là các hàm Green một hạt bất khả quy. Biến đổi Fourier của
n
G
và

φ
được viết:
i i
4
n
ip xn 4 4 n
i
1 n 1 n
4
i=1
d p
Γ (x)= { e }(2π) δ (p + +p )Γ (p , ,p ),
(2π)
Õ
ò


°
4 -ipx
(p)= d xe (x), (1.67)
φ φ
∫
chú ý hệ đồng nhất, đẳng hướng ta có :

n
1 n c
(x ) (x )φ φ = φ
.
Đưa vào thế hiệu dụng
eff c

V ( )φ
với định nghĩa như sau:

4
c eff c
Γ[ ] = V ( ) d x.
φ − φ
∫
Với trường vô hướng
φ
. Trong trường hợp bất biến tịnh tiến, trường cổ điển
(x)φ
là một hằng số:

c
(x) .φ = φ
Khi đó biểu diễn tác dụng hiệu dụng
c
Γ[ ,G]φ
dưới dạng:

4
c eff c
Γ[ ,G] = V ( ) d x,
φ − φ
∫
17
eff c
V ( ,G)φ
được gọi là thế hiệu dụng và từ khai triển (1.57) ta nhận được thế

hiệu dụng trong không gian xung lượng:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
4
-1 -1
eff c c 0 0 c 2 c
4
i d p
V ,G = U + Tr lnG p G p G ,p +1 + V ,G ,
2
2π
(1.68)
φ φ − φ φ
 
 
∫
ở đây
c
U( )φ
là thế cổ điển và
( )
eff c
V ,Gφ
là tổng tất cả các giản đồ chân
không bất khả quy hai hạt.
Điều kiện dừng mô tả trạng thái cơ bản sẽ là:

( )

eff c
c
V ,G
0,
δ φ
=
δφ
(1.69)

( )
eff c
V ,G
0.
G
δ φ
=
δ
(1.70)
Các lập luận trên đây cho trường vô hướng tự động mở rộng cho trường
fermion.
I.4. Một số ví dụ tính toán thế hiệu dụng.
I.4.1. Tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết
4
φ
.
Ta khảo sát một mô hình đơn giản nhất của trường vô hướng thực được
mô tả bằng Lagrangien.

2 2 4
1 1

L= m . (1.71)
2 2 4!
µ
µ
λ
∂ φ∂ φ − φ − φ
Lagrangien này mô tả trường thực tự tương tác với chính nó thông qua số
hạng
4
φ
. Có thể viết lại:

0
1
L V ( ), (1.72)
2
µ
µ
= ∂ ∂ − φ
với
2 2 4
0
1λ
V ( ) m . (1.73)
2 4!
φ = φ + φ
18
Tác dụng cổ điển trong trường hợp này là:

4 2 2 4 4

1 1
S( ) Ld x ( m )d x.
2 2 4!
µ
µ
λ
φ = = ∂ φ∂ φ − φ − φ
∫ ∫
Sử dụng công thức chuyển tích phân thể tích sang tích phân mặt và chú ý đến
điều kiện triệt tiêu của trường ở biên:
4 4
d x d x,
µ
µ
∂ φ∂ φ = − φ φ
∫ ∫
W
ta nhận được:
( )
( )
2 4 4 4
1
0 int
1
S m d x d x
2 4!
1
.iG . S , (1.74)
2
−

λ
= − φ + φ − φ
= φ φ + φ
∫ ∫
W
với
( )
( )
1 2
0
4 4
int
iG m ,
S d x. (1.75)
4!
−
= − +
λ
φ = − φ
∫
W
Phiếm hàm sinh cho các hàm Green liên kết W có dạng:

[ ]
[ ]
1
i(S .J .K. )
iW
2
e D e Z J,K . (1.76)

φ +φ + φ φ
= φ =
∫
Đưa vào trường cổ điển
φ
là giá trị trung bình của trường lượng tử
φ
bằng
biểu thức:

W
(1.77)
J
δ
= φ = φ
δ
và hàm truyền G(x,y) thỏa mãn:

W 1
G(x,y) , (1.78)
K 2
δ
 
= φφ +
 
δ
ta nhận được tác dụng hiệu dụng CJT bằng biến đổi Legendre loại II:
19

[ ] [ ]

1 1
,G W J,K .J .K. Tr G,K . (1.79)
2 2
 
Γ φ = −φ − φ φ−
 
Trạng thái cơ bản ứng với sự triệt tiêu của nguồn ngoài được mô tả bằng
phương trình Gap:

,G
0 (1.80)
 
δΓ φ
 
=
δφ
và phương trình SD:
,G
0. (1.81)
G
 
δΓ φ
 
=
δ
Khai triển 2 loop của tác dụng hiệu dụng
,G
 
Γ φ
 

sẽ có dạng :

-1 -1
0 2
i
,G S Tr lnGG GG ( )+1Γ ,G ,
2
       
Γ φ = φ − − φ + φ
       
ở đây
2
,G
 
Γ φ
 
là tổng của tất cả các giản đồ chân không bất khả quy hai hạt
G
0
là hàm truyền Boson thỏa mãn (1.75).
Do bất biến tịnh tiến ta có
c
φ = Φ
và do đó:

4
c
,G ,G V d x.
   
Γ φ = Γ φ −

   
∫
Từ đó thế hiệu dụng trong không gian xung lượng là:
( )
( ) ( ) ( )
0 c
4
-1 -1
4
0 0 c 2 c
V=V ( )+
i d p
Tr lnG p G p G p G ( ,P) 1 V ( ,G), (1.82)
2
2π
φ
+ − φ + + φ
 
 
∫
ở đây
0 c
V ( )φ
là thế cổ điển ( tức là
4
0 c c
λ
V ( )
4!
φ = φ

) và theo (1.75) thì

-1 2 2
0
iG =p m . (1.83)−
Ngoài ra từ (1.75) và (1.37) ta có:
20

1 2 2 2
0 c
iG ( ) p m ,
2
−
λ
φ = − − φ
hay

1 2 2
0 c
iG ( ) p m ( ),
−
φ = − φ
(1.84)
với
2 2 2
c c
m ( ) m ,
2
λ
φ = − φ

(1.85)
là khối lượng hiệu dụng và
2 c
V ( ,G)φ
là các đóng góp của các giản đồ chân
không bất khả quy hai hạt:

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 4 4
c
4 4
2 c
2
4 4
4 4
d p d k
V ( ,G) tr G p G p-k G k
(3!)
2π 2π
λ d p d k
+ tr G p G k .
4!
2π 2π
λ φ
φ =  
 
 

 
∫
∫
(1.86)
Các giản đồ cho thế hiệu dụng
2 c
V ( ,G)
φ
có dạng như hình vẽ. Như vậy có hai
kiểu đỉnh: Đỉnh của ba đường và đỉnh của bốn đường, trong đó các đường liền
nét biểu diễn hàm truyền G.

Hình 1.1: Các giản đồ bất khả quy hai hạt cho thế hiệu dụng ở gần đúng 2 loop trong lý
thuyết trường vô hướng
4
φ
. Các đường biểu diễn hàm truyền G có hai kiểu đỉnh: dạng
đỉnh của 3 đường tỷ lệ với
c
λφ
và dạng đỉnh của 4 đường tỷ lệ với
λ
.
Thay (1.82) vào phương trình (1.81) và (1.80) ta thu được:

2 3
0 c
c c
c
V ( )

m ,
3!
δ φ λ
= φ + φ
δφ
21

( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
4
-1 -1
1 c
4
0 0 c
c c
4
-1 -1
4
0 0 c
c c
4
c
4
V ( )δ i d p
Tr lnG p G p G p G ( ,p) +1
δ 2

2π
1 d pδ δ
= { TrlnG p iG p TrG p iG ( ,p)}
2δ δ
2π
λ d p
= TrG p ,
2
2π
δ φ
= − φ 
 
δφ φ
− φ
φ φ
φ
∫
∫
∫

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 4 4
2 c c
2 4 4
c c

4 4
4 4
2 4 4
c
4 4
V ( )δ λ d p d k
{ tr G p G p-k G k
δ
3! 2π 2π
λ d p d k
+ tr G p G k }
4!
2π 2π
λ d p d k
= tr G p G p-k G k .
18
2π 2π
δ φ φ
=  
 
δφ φ
 
 
φ
 
 
∫
∫
∫
Phương trình khe có thể viết lại như sau:

( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 4 4 4
2
4 4 4
c
m d pλ d p d k
6 3 trG p tr G p G p k G k . (1.87)
λ 3
2π 2π 2π
φ =− − − − 
 
∫ ∫
Ta cũng có:
0 c
δV ( )
=0,
δG(p)
φ

( )
( ) ( ) ( ) ( )
4
-1 -1
1 c
4
0 0 c
δV ( ) δ i d p

= Tr lnG p G p G p G ,p +1
δG(p) δG(p) 2
2π
φ
− φ 
 
∫

( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
4
-1 -1
4
0 0 c
-1 -1
0 c
1 d pδ δ
= { TrlnG p iG p TrG p iG ,p }
2δG(p) δG(p)
2π
1
= Tr{iG (p) iG ,p },
2
− φ
− φ
∫
22
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 4 4
2 c c
2 4 4
4
4
2 2 4 4
c
4 4
δV ( ) δ λ d p d k
= { tr G p G p-k G k
δG(p) δG(p)
3! 2π 2π
3λ d k
+ tr G p G k }
4!
2π
λ d k 3λ d k
= tr G p-k G k + Tr G k .
12 4!
2π 2π
φ φ
 
 
 

 
φ
   
   
∫
∫
∫ ∫
Phương trình SD được viết lại như sau:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2 4 4
-1 -1 2
c
4 4
0 c
λ λ d k λ d k
G p = G p + i tr G p k G k + trG k .
2! 6 3!
2π 2π
(1.88)
φ
− φ − 
 
∫ ∫
Biểu thức (1.87) là phương trình khe, còn (1.88) là phương trình Schwinger-
Dyson cho hàm truyền. Giải hệ các phương trình này ta sẽ thu được mọi
thông tin về hệ được xét.

I.4.2. Thế hiệu dụng đối với trường Fermion.
Ta hãy xét mô hình trường tương tác của 4 fermion là mô hình Nambu Jona
Lasinio (NJL) được mô tả bằng Lagrangien đối xứng Chiral:

2
2 2
5
(1.89)
G
ˆ
Lψi ψ [(ψψ) (ψiγ τ ψ) ],
2
+= ¶ +
r
ở đây
ψ
là trường quark với hai hương
( )
f
N =2
và ba màu
( )
c
N =3
, G là hằng
số tương tác có thứ nguyên [Khối lượng]
-2
,
$
μ μ

=γ
∂ ∂
.
Bằng cách đưa vào các trường:

2
2
2
g
G = , (1.90)
m

2
g
ˆ
σ = ψψ,
m
-

a
a 5
2
g
ˆ
π = ψiγ τ ψ. (1.91)
m
-
Và áp dụng công thức:
23