Nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật bằng các mô hình vật lý thống kê

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

……..….***…………
NGUYỄN PHƢỚC THỂ

NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA GOM CỤM CỦA
CÁC LOÀI SINH VẬT BẰNG CÁC MÔ HÌNH
VẬT LÝ THỐNG KÊ
Chuyên ngành: Vật lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 62440103

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Hà nội - 2016

1


Công trình đƣợc hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công
nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học 1: TS. Ngô Văn Thanh
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học 2: GS. TSKH Nguyễn Ái Việt

Phản biện 1: …
Phản biện 2: …

Phản biện 3: ….

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ, họp tại
Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công
nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ..’, ngày … tháng … năm 201….

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam

2


MỞ ĐẦU
Ngày nay, cùng với sự phát triển của Khoa học và Công nghệ thì vấn
đề về Sinh thái – Môi trường đặt ra nhiều thách thức cho con người.
Chẳng hạn như vấn đề tăng trưởng - tuyệt chủng của các loài, biến đổi
gen, bệnh lạ do các chủng virut mới, khí thải độc hại và hiệu ứng nhà
kính… Đã có nhiều cách tiếp cận từ các ngành khoa học khác nhau để
nghiên cứu vấn đề này, các nhà sinh học thường quan tâm đến một số vấn
đề liên quan đến sự tiến hóa, hành vi của các loài. Các nhà nghiên cứu vật
lý cũng đã có nhiều đóng góp quan trọng như vấn đề hiệu ứng nhà kính,
bức xạ, giải thích một số hành vi của các loài sinh vật.
Một trong những chủ đề rất thú vị của hệ sinh thái là hành vi tập thể
của các loài sinh vật, thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa
học trong những năm qua. Trong đó, các hành vi tập thể như flocking,
schooling hay swarming đã được nghiên cứu rộng rãi trong vài chục năm
trở lại đây. Để nghiên cứu vấn đề này, các nhà toán học đề xuất các mô
hình giải tích dựa trên cơ sở các phương trình động lực học cổ điển.
Nghiên cứu về các hành vi của các loài sinh vật nói chung và chuyển

pha trong các hệ này nói riêng là một vấn đề mở để nghiên cứu. Các mô
hình vật lý vẫn chưa được ứng dụng nhiều trong các bài toán phức tạp
liên ngành. Bởi vậy, chúng tôi chọn hướng nghiên cứu này làm chủ điểm
với tiêu đề của bản luận án :
“Nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật bằng các
mô hình vật lý thống kê”.
Ta biết rằng, đối với các loài sinh vật mà đặc biệt là sinh vật bậc cao,
chúng có thể tương tác với nhau và với môi trường bằng các giác quan.
Trong đó, khả năng quan sát của mắt có tính chất rất quan trọng và quyết
định đến sự vận động, đặc biệt là hành vi tập thể. Để nghiên cứu vấn đề
này, chúng tôi sử dụng lại mô hình của Vicsek, khảo sát sự phụ thuộc của
thông số trật tự vào nhiễu tương ứng với các góc quan sát khác nhau.
Đến nay các nghiên cứu dùng mô hình Vicsek làm cơ sở chỉ tập trung
vào việc giải thích hành vi chuyển pha từ trật tự sang mất trật tự tại vùng
nhiễu cao. Tuy nhiên, các loài sinh vật ở trạng thái bình thường (không bị
nhiễu từ bên ngoài) thì hệ ở trạng thái tự do, phân bố ngẫu nhiên, các con
vật tỏa ra xung quanh để tìm kiếm thức ăn. Hành vi này tương ứng với
3


pha mất trật tự trong hệ vật lý. Khi bị tác động từ bên ngoài thì chúng
gom cụm lại và sắp xếp trật tự (pha trật tự). Hành vi chuyển pha từ mất
trật tự sang trật tự này không thể giải thích được từ mô hình của Vicsek.
Thêm vào đó, theo quan sát thực nghiệm người ta dự đoán chuyển pha
của hệ là chuyển pha loại I, bởi vì hành vi này diễn ra rất nhanh. Trong
khi đó, từ mô hình Vicsek thì chuyển pha xảy ra là liên tục. Để giải quyết
những hạn chế này, chúng tôi đã đề xuất hai mô hình mới:
Mô hình thứ nhất chúng tôi xây dựng là từ cơ sở mô hình spin XY,
Hamiltonian của hệ được định nghĩa bởi các thế tương tác giữa các cá thể
với nhau bao gồm tương tác trao đổi, thế Morse và thế hóa học.

Mô hình thứ hai dựa trên cơ sở mô hình Potts đồng hồ q trạng thái
(q-Potts). Chúng tôi giả thuyết rằng, mỗi cá thể như một hạt với hai bậc
tự do: một là tham số bên ngoài đặc trưng cho định hướng của chuyển
động; hai là tham số nội tại để mô tả cho trạng thái bị kích thích hoặc
không bị kích thích của mỗi cá thể dưới tác động của nhiễu. Trạng thái
nội tại là tham số điều khiển tương tác của các cá thể. Các kết quả thu
được phù hợp với quan sát thực nghiệm và đã khắc phục được những
nhược điểm của mô hình spin XY.
Nội dung của bản tóm tắt luận án được trình bày trong 3 chương.
Tổng quan về hành vi tập thể của các loài sinh vật cũng như các mô hình
lý thuyết sẽ được trình bày trong Chương 1. Lý thuyết chuyển pha và các
phương pháp mô phỏng trên máy tính sẽ được trình bày trong Chương 2,
với đầy đủ các thuật toán ứng dụng trong mô phỏng. Chương 3 trình bày
những kết quả nghiên cứu về hiệu ứng góc quan sát đối với chuyển pha
gom cụm, trình bày chi tiết về các mô hình mới được đề xuất và ứng
dụng của chúng trong nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh
vật, đặc biệt là chuyển pha ở vùng nhiễu thấp.

4


Chƣơng 1. HÀNH VI TẬP THỂ CỦA CÁC LOÀI SINH VẬT
1.1 Tổng quan
1.1.1 Hành vi tập thể
Hành vi tập thể của các loài sinh vật là hành vi của một hệ bao gồm
các cá thể sinh vật cùng loài như cá, chim… Đặc điểm hành vi tập thể
được hình thành từ các tác động qua lại lẫn nhau của cá thể để hình nên
các quy tắc, tính chất động học của cả hệ. Ví dụ, quy tắc sắp xếp để các
cá thể sinh vật sắp xếp theo hướng của các con lân cận để dễ dàng cùng
di chuyển và có lợi về năng lượng. Một số hành vi đặc trưng là flocking,

schooling hay swaming đã được nghiên cứu trong một thời gian dài cho
đến nay [1, 2], [14].
1.1.2 Hệ tự tổ chức
Tự tổ chức (self-organized) là một quá trình hình thành vận động tập
thể bởi các quy tắc tương tác cục bộ từ một hệ hỗn loạn ban đầu. Quá
trình này là tự phát, không có sự chỉ đạo hoặc kiểm soát bởi bất cứ tác
nhân hoặc hệ con từ bên trong hoặc bên ngoài [14].
1.1.3 Hệ có con đầu đàn
Trái lại với hệ tự tổ chức, trong một nhóm sinh vật có một hoặc một
số con đầu đàn, nó có ưu thế nổi bật, có đầy đủ thông tin và khả năng
thực hiện lãnh đạo đàn gọi là hệ có tổ chức [14]
1.2
t ố hành vi tập thể của các loài sinh vật
1.2.1 Schooling
Trong hệ các loài động vật, nếu một nhóm các cá thể cùng loài, cùng
kích thước, chuyển động cùng tốc độ và cùng chiều gọi là hành vi
schooling [14].
1.2.2 Flocking
Trong vật lý, hành vi flocking là hành vi chuyển động tự hợp của một
đàn sinh vật cùng loài được hình thành từ một số tương tác giữa các thành
phần trong hệ với nhau [3].
1.2.3 Swarming
Swarming là hành vi của số lớn các cá thể sinh vật có kích thước
tương tự, chúng tụ tập tạo thành bầy đàn đông đúc để cùng chung sống,
duy trì nòi giống, chống lại vặt săn, tiết kiệm năng lượng [4].
5


1.3 Giới thiệu các mô hình lý thuyết
1.3.1 Mô hình SPP

Mô hình SPP (self-propelled particles) được đề xuất bởi Viscek và
cộng sự năm 1995, mục đích của mô hình là thành lập các điều kiện "tối
thiểu", cần thiết để giải thích hành vi tập thể của các loài sinh vật, điển
hình là hành vi chuyển pha [14, 15]. Mô hình được xây dựng bởi hai
thông tin chủ đạo là sắp xếp và nhiễu, quy tắc sắp xếp thiết lập trên cơ sở
mô hình spin XY, nhiễu có vai trò như nhiệt độ là tham số điều khiển.
Để nghiên cứu chuyển pha, Vicsek sử dùng thông số trật tự được định
nghĩa bởi công thức
.

(1.1)

Trong đó là vận tốc của cá thể thứ i và là giá trị tuyệt đối của
vận tốc. Tương tự như lý thuyết nhiệt động học, chuyển pha trong mô
hình SPP là chuyển pha liên tục từ trật tự sang mất trật tự khi tăng cường
độ nhiễu. Giá trị của bằng 1 khi nhiễu thấp và bằng 0 khi nhiễu cao.
1.3.2 Mô hình CS
Mô hình nghiên cứu hành vi tập thể dưới dạng các phương trình động
học Bolzmann được đề xuất bởi Cucker và Smale vào năm 2007 mà ta
gọi là mô hình CS [3]. Mô hình toán học này đầu tiên dùng để nghiên cứu
hiện tượng gom cụm của đàn chim, các con chim chuyển động trong một
không gian
.
1.4 Kết luận
Trong chương này chúng tôi giới thiệu tổng quan về nghiên cứu hành
vi của các loài sinh vật theo các cách tiếp cận khác nhau như sinh học, vật
lý và toán học. Các hành vi điển hình được nghiên cứu rộng rãi trong thời
gian gần đây là schooling, flocking và swarming. Các mô hình vật lý toán
áp dụng tốt cho nghiên cứu các hành vi này hiện nay là SPP hay CS với
hai thông tin chủ đạo là quy tắc sắp xếp và nhiễu.

Trong chương tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày về các cơ sở lý thuyết
vật lý trong việc nghiên cứu hành vi của các loài sinh vật.

6


Chƣơng 2. CHUYỂN PHA VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP
PHỎNG

Ô

2.1 Chuyển pha và các mô hình spin
2.1.1 Chuyển pha
Như chúng ta biết, chuyển pha là sự thay đổi trạng thái từ mức độ đối
xứng này sang mức độ đối xứng khác để hình thành nên các đặc điểm,
tính chất mới của hệ. L. D. Landau đưa ra khái niệm thông số trật tự
[12]. Thông số trật tự thay đổi từ 0 (hỗn độn tuyệt đối) đến 1 (trật tự tuyệt
đối). Dưới điểm tới hạn
, hệ chuyển từ trạng thái hỗn độn sang
trật tự một phần, nếu tiếp tục giảm nhiệt độ thì trật tự hoàn toàn có thể đạt
được. Nếu thông số trật tự thay đổi không liên tục trong quá trình chuyển
pha tại điểm tới hạn [5], chúng ta gọi là chuyển pha loại I, nếu liên tục là
chuyển pha loại II.
2.1.2 Các mô hình spin
a) Mô hình spin Ising
Mô hình spin Ising là một mô hình nghiên cứu sắt từ trong cơ học
thống kê. Mô hình gồm các spin, nó có thể ở một trong hai trạng thái 
hoặc , mỗi spin tương tác với hầu hết các spin lân cận của nó. Mô hình
Ising là một trong các mô hình thống kê đơn giản nhất để nghiên cứu sự
chuyển pha.

b) Mô hình spin XY
Mô hình XY cổ điển còn được gọi là mô hình quay cổ điển hay mô
hình O(2), đây là trường hợp đặc biệt của mô hình n-véc tơ với n = 2.
Trong mô hình XY, các spin cổ điển hai chiều tại các vị trí mạng
được biểu diễn bởi một véc tơ trên một mặt hai chiều.
c) Mô hình spin Heisenberg
Mô hình spin Heisenberg là trường hợp n = 3 của mô hình n-véc tơ,
một trong số các mô hình sử dụng vật lý thống kê để nghiên cứu hành vi
của sắt từ và các hiện tượng khác.
d) Mô hình q-Potts
Trong cơ học thống kê, mô hình Potts là một sự tổng quát hoá của mô
hình Ising, là mô hình về các spin tương tác trên một mạng tinh thể. Điểm
mạnh của mô hình Potts không chỉ là mô hình hoá tốt các hệ vật lý đơn
7


giản mà còn các hệ phức tạp khác. Mô hình Potts gồm các spin sắp xếp
trên một mạng, mạng thường được chọn là mạng Euclide vuông hai chiều,
nhưng nó thường được tổng quát hoá cho các chiều khác hoặc các mạng
khác.
2.2 Phƣơng pháp mô phỏng đ ng học phân tử
2.2.1 Khái niệm
MD là một phương pháp mô phỏng được sử dụng để nghiên cứu sự
thay đổi theo thời gian của hệ nhiều vật với nhiều tương tác khác nhau.
Yếu tố căn bản nhất của phương pháp này là xác định được thế năng
tương tác giữa các vật thể trong hệ đang xét [9]. Từ đó ta có thể xác định
được lực tương tác và xây dựng được phương trình chuyển động của các
thành phần trong hệ. Giải phương trình chuyển động cho ta kết quả về
cấu hình của hệ tại mỗi thời điểm: toạ độ và vận tốc.
2.2.2 Phương trình chuyển động và thế năng tương tác

Trong phương pháp MD, sự thay đổi theo thời gian của vị trí và vận
tốc các hạt trong hệ được tính qua tích phân chuyển động theo phương
trình chuyển động Newton
,

(2.1)

trong đó,
là khối lượng, gia tốc và lực tác dụng lên hạt thứ i.
Biểu thức tính lực sẽ xác định thông qua đạo hàm riêng của thế năng
theo khoảng cách
(2.2)
Dạng đơn giản nhất của thế năng tương tác được biểu diễn bằng tổng
các thế năng tương tác cặp đôi giữa các hạt trong hệ
,
(2.3)
trong đó,
là thế năng tương tác cặp đôi giữa hạt thứ i và j.
2.2.3 Thuật toán Verlet
Phương pháp Verlet được đề xuất bởi Verlet là một trong những
phương pháp được dùng phổ biến nhất trong việc tính tích phân phương
trình chuyển động [13]. Vận tốc và toạ độ được xác định bởi hệ
phương trình sau
8


,

(2.4)
,

(2.5)

ở đây,
là tổng hợp lực tác dụng lên hạt tại thời điểm t.
2.2.4 Thuật toán Leap – Frog
Một cải tiến của phương pháp Verlet có tính đến giá trị vận tốc của
các hạt được đề xuất bởi Hockney có tên là Leap–Frog [11]. Thuật toán
này sử dụng vị trí ở thời điểm và vận tốc ở thời điểm
.
Vận tốc và vị trí tại thời điểm
được tính toán thông qua các biểu
thức dưới đây
(2.6)
Thuật toán này tạo ra quỹ đạo tương tự như kết quả thu được từ thuật
toán Verlet, các vị trí cập nhật của chúng được xác định bởi
.
Đây là thuật toán bậc 3 theo toạ độ

(2.7)

và có thể tính ngược thời gian.

2.3 Phƣơng pháp mô phỏng Monte Carlo
Monte Carlo (MC) là phương pháp dùng số ngẫu nhiên để lấy mẫu
(sampling) trong một tập hợp thống kê bất kỳ cho trước [7,11].
2.3.1 Nguyên tắc cơ bản của phương pháp mô phỏng Monte Carlo
Mục đích của phương pháp MC là tính giá trị trung bình của các đại
lượng vĩ mô của một hệ nhiều hạt khi biết được Hamiltonian của hệ. Một
số đại lượng thường gặp là tính năng lượng trung bình

, độ
từ hóa trung bình
… Thuật toán cơ bản nhất trong mô
phỏng Monte-Carlo là thuật toán Metropolis và nó có thể được diễn tả bởi
biểu thức xác suất cho phép chuyển cấu hình
.

(2.8)

2.3.2 Lấy mẫu quan trọng
Phép thử quan trọng quyết định bởi cách chọn hàm xác suất sao cho
nó thoả mãn biểu thức
. Có hai cách chọn
xác xuất chuyển trạng thái
9


,

(2.9)

hoặc là
(2.10)
là một hệ số tùy ý mà nó có thể chọn là đơn vị [11].
2.3.3 Các phương pháp biểu đồ
a) Phương pháp biểu đồ đơn
Mô phỏng Monte Carlo được thực hiện tại nhiệt độ T0 bằng cách tạo
ra các cấu hình với xác suất tỉ lệ thuận với trọng số Boltzmann
tronng đó
, và

là Hamiltonian của hệ.
Biểu thức phân bố xác suất với bất kỳ có dạng
,

(2.11)

trong đó
. H(E,M) là biểu đồ thu được từ mô phỏng.
Từ
, giá trị trung bình của bất cứ hàm
nào của E
và M, có thể được tính như là một hàm liên tục của K
.

(2.12)

b) Phương pháp đa biểu đồ
Phương pháp đa biểu đồ [8] cho phép xác định các đại lượng vật lý
chính xác hơn trong một khoảng nhiệt độ rộng hơn.
Hệ phương trình đa biểu đồ có dạng
,

(2.13)

trong đó
.

(2.14)

Như vậy, giá trị trung bình của toán tử nào của S bất kỳ có thể tính

được như là một hàm liên tục theo K. Đó là

10


,

(2.15)

trong đó
.

(2.16)

c) Phương pháp Wang-Landau
Các phương pháp biểu đồ chỉ có hiệu quả cao trong việc tính toán các
hiệu ứng kích thước hữu hạn. Vì vậy, Wang và Landau đã đề xuất một
thuật toán mới được gọi là “thuật toán biểu đồ phẳng” áp dụng trong
không gian năng lượng nhằm xác định hàm mật độ trạng thái, từ đó xác
định các đại lượng vật lý như là hàm liên tục theo nhiệt độ [16].
Trong vật lý thống kê thì tổng thống kê có thể viết dưới dạng
(2.17)
Khi tìm được mật độ trạng thái g(E), các đại lượng vật lý như năng
lượng, độ từ hoá, nhiệt dung riêng, độ cảm từ… có thể tính được một
cách dễ dàng như là một hàm liên tục theo nhiệt độ


A T  

E

Ag ( E )e E / kBT ,
Z

(2.18)

trong đó, Z là tổng thống kê.
2.4 Kết luận
Chuyển pha gom cụm tồn tại trong hầu hết các loài sinh vật. Ở đó,
các quy tắc sắp xếp đóng vai trò chủ đạo cùng với tham số trường ngoài
(nhiễu) để cấu thành hành vi. Lý thuyết chuyển pha trong các hệ vật lý
được áp dụng một cách tương tự cho hệ sinh học, mặc dù trong các hệ
này chỉ từ vài chục đến vài triệu đơn vị. Vì vậy, hiểu rõ chuyển pha trong
các hệ vật lý có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc nghiên cứu hành
vi của các loài sinh vật.
Hành vi tập thể của các loài sinh vật, đặc biệt là hành vi gom cụm
được mô phỏng tốt bằng các mô hình spin trong hệ vật lý. Trong chương
này chúng tôi có giới thiệu khái quát về các mô hình spin: Ising, XY,
Heisenberg và q-Potts, đó là cơ sở lý luận quan trọng cho việc lựa chọn
mô hình để nghiên cứu trong luận án.
11


Ngoài ra, chúng tôi cũng đã trình bày về phương pháp mô phỏng MD
và mô phỏng MC. Trong nghiên cứu về chuyển pha thì phương pháp MC
với thuật toán Metropolis được sử dụng rất hiệu quả. Để nghiên cứu hiệu
ứng kích thước hữu hạn, người ta sử dụng các phương pháp biểu đồ để
tính chính xác các lũy thừa tới hạn. Thuật toán biểu đồ phẳng được đề
xuất gần đây bởi Wang và Landau, đây là phương pháp hữu hiệu trong
việc xác định chuyển pha loại I.

Trên cơ sở lý thuyết này, tùy thuộc vào hành vi của sinh vật và mục
đích nghiên cứu, chúng ta sẽ lựa chọn các mô hình và phương pháp hiệu
quả nhất để áp dụng. Trong chương tiếp theo chúng tôi sẽ giới thiệu các
kết quả nghiên cứu về chuyển pha gom cụm trong các hệ sinh vật bằng
các phương pháp mô phỏng MD và MC.

Chƣơng 3. NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG CÁC HỆ
TỰ TỔ CHỨC
3.1 Giới thiệu chung
Để áp dụng các mô hình vật lý trong việc nghiên cứu các hành vi của
các loài sinh vật, người ta đưa ra một số khái niệm và đại lượng tương
đương giữa hai hệ này:
- Những tác động từ bên ngoài gây ảnh hưởng đến hành vi của các cá
thể trong nhóm sinh vật được gọi là “nhiễu”, nó đóng vai trò tương
đương với một đại lượng vật lý cơ bản, đó là nhiệt độ.
- Hành vi của các loài sinh vật và pha trong mô hình spin sắt từ:
 Khi không có sự tác động của các yếu tố xung quanh, gây nguy
hiểm đến tính mạng, các cá thể trong bầy (đàn) sinh vật sẽ có
khuynh hướng di chuyển tản mát ra xung quanh tìm kiếm thức
ăn. Vị trí và hướng chuyển động của chúng trong không gian là
khác nhau, vì vậy mà chúng được xem như là một hệ hỗn độn.
Hành vi này được gọi là hành vi tự do và nó tương đương với pha
mất trật tự trong mô hình spin.
 Khi có tác động từ bên ngoài thì các cá thể sinh vật sẽ chuyển
động lại gần nhau và tạo thành cụm (flocking), chúng cố gắng sắp
xếp theo cùng một định hướng nhằm tạo nên một khối vững chắc
để tự vệ. Hành vi này được gọi là gom cụm (flocking), và có thể
xem như tương đương với pha trật tự của hệ spin ở nhiệt độ thấp.
12



Khi tác động từ bên ngoài trở nên rất mạnh và nó có thể gây nguy
hiểm đến tính mạng của các cá thể sinh vật, thì chúng sẽ bỏ chạy
tán loạn ra mọi hướng với tốc độ di chuyển nhanh nhất mà chúng
có thể. Hành vi này tương đương với pha mất trật tự ở nhiệt độ
cao trong mô hình spin.
- Chuyển pha: quá trình chuyển từ hành vi này sang hành vi khác của
các loài sinh vật được gọi là “chuyển pha”. Điển hình là quá trình
thay đổi hành vi gom cụm sang hành vi chạy tán loạn của các loài
sinh vật.
3.2 Hiệu ứng góc quan sát
3.2.1 Góc quan sát

Hình 3-1 Thông số trật tự phụ thuộc nhiễu tương ứng với các góc
quan sát xác định [10].

Trong việc nghiên cứu hiệu ứng góc quan sát, Gao và các cộng sự [10]
đã đưa vào định nghĩa mới cho thông số trật tự Va

1

n

n

e 

i i (t )

và

i 1

khảo sát được sự phụ thuộc của thông số trật tự vào nhiễu. Tuy nhiên, kết
quả công bố cho thấy rằng, nhiễu tới hạn tăng khi giảm góc giới hạn từ
xuống
. Mặt khác, thông số trật tự mà họ thu được không diễn tả đúng
dáng điệu của thông số trật tự tương ứng với các góc quan sát và
(Hình 3-1).
Để nghiên cứu về vấn đề này, chúng tôi sử dụng mô hình Vicsek
chuẩn kết hợp với định nghĩa góc quan sát để khảo sát ảnh hưởng của góc
quan sát vào hành vi flocking.

13


3.2.2 Phát triển mô hình
Mô hình lý thuyết được đề xuất bởi Vicsek và các cộng sự [15], hệ
bao gồm
cá thể, ký hiệu bởi chỉ số i trong khoảng từ 1 đến N, chuyển
động trong mặt phẳng (x, y) có kích thước
với điều kiện biên tuần
hoàn. Cá thể thứ i được đặc trưng bởi vị trí
và vận tốc có trị
tuyệt đối
.
Trong mô phỏng ta sử dụng điều kiện đầu tại thời điểm
các hạt

phân bố ngẫu nhiên trong không gian với cùng vận tốc tuyệt đối , chiều
chuyển động của mỗi cá thể được xác định bởi góc có giá trị ngẫu
nhiên trong khoảng từ 0 đến . Quy tắc cập nhật vị trí và chiều ở thời
điểm
của cá thể thứ i có dạng
,
(3.1)
,
(3.2)
(3.3)
ở đây
là bước thời gian,
và
tương ứng là các thành
phần vị trí và hướng của cá thể thứ i ở thời điểm t. Số hạng cuối trong
công thức (3.3) là một số ngẫu nhiên được chọn trong khoảng
, được gọi là nhiễu mà nó đóng vai trò như thông số nhiệt
độ. Ký hiệu
là trung bình của các hướng chuyển động của các cá
thể trong vòng tròn
định bởi biểu thức sau

bán kính R quanh các thể i và chính nó, được xác

.

(3.4)

Để nghiên cứu hiệu ứng về góc quan sát, chúng tôi giả thiết rằng khả
năng quan sát của cá thể thứ i được xác định bởi hình rẻ quạt có bán kính

R. Góc nhìn toàn phần được xác định bởi góc (Hình 3-2). Trong trường
hợp
, ta thu lại được mô hình Vicsek chuẩn. Để thuận tiện trong
việc tính toán do tính đối xứng góc qua véc tơ định hướng , ta sử dụng
ký hiệu
. Như vậy, chỉ có các cá thể lân cận nằm trong tầm nhìn
của của cá thể thứ i mới được xét đến trong quá trình tương tác, nghĩa là
được đưa vào tính toán góc trung bình trên công thức (3.4).

14


Hình 3-2 Góc quan sát của cá thể thứ i, ký hiệu
nửa góc quan sát.

là một

Thông số trật tự của hệ này được viết lại dưới dạng
,

(3.5)

trong đó N là tổng số cá thể. Dĩ nhiên, thông số trật tự là một hàm của
nhiễu . Tương tự như trong lý thuyết nhiệt động lực học, chúng ta sử
dụng biểu thức variance của thông số trật tự (hay còn gọi là độ cảm từ)
.

(3.6)

Từ đó, chúng ta có thể xác định được giá trị tới hạn của nhiễu tại điểm

chuyển pha thông qua việc xác định giá trị
mà đạt giá trị cực đại.
3.2.3 Kết quả mô phỏng
Trong tất cả các mô phỏng, chúng tôi sử dụng các tham số mô hình cụ
thể như sau: bán kính đường tròn
và bước thời gian
, vận
tốc tuyệt đối
và mật độ xác định
, nghĩa là kích
thước không gian
. Tổng số cá thể của hệ được xét là
100,
196, 400, 900, 1600, 2500 và 3600, N được gọi là kích thước hệ. Góc
quan sát thay đổi giữa 0 và , hay
.
Đầu tiên chúng tôi khảo sát trong trường hợp tới hạn khi góc quan sát
của các cá thể là 360o, chúng ta thu được thông số trật tự và variance của
nó phụ thuộc nhiễu
biểu diễn trên các Hình 3-3 với kích thước hệ N
= 100. Kết quả này hoàn toàn phù hợp với kết quả mô phỏng của Vicsek.
Sau đó thay đổi các góc quan sát
và thu được
giá trị nhiễu tới hạn tính toán được tương ứng với các góc quan sát là
và
. Kết quả chỉ rõ rằng, trong tất cả
15


các trường hợp góc quan sát thay đổi, giá trị thông số trật tự đều bằng 1

tại miền nhiễu thấp và dần về 0 khi nhiễu cao. Điều này là đúng với ý
nghĩa của Landau về thông số trật tự. Kết quả này đã khắc phục tồn tại
trong nghiên cứu của Gao và các cộng sự (Hình 3-1).

Hình 3-3 Thông số trật tự (hình bên trái) và varian của nó (hình bên
phải) biến thiên theo
với các góc quan sát
và
.

Ta thấy trên Hình 3-3 thông số trật tự đạt giá trị cực đại (
)ở
vùng nhiễu thấp. Các cá thể trong nhóm chuyển động song song với nhau
theo cùng một hướng nào đó, và hệ được xem như ở pha trật tự. Trạng
thái này tương đương với hành vi gom cụm của các loài sinh vật. Khi
tăng nhiễu lên thì các cá thể bắt đầu chuyển động với định hướng lệch so
với hướng trung bình của các cá thể lân cận, bởi vậy giá trị trung bình
hướng chuyển động của các cá thể giảm, dẫn đến thông số trật tự giảm.
Ở vùng nhiễu cao, các cá thể trong nhóm sinh vật chuyển động một cách
hỗn loạn, dẫn đến thông số trật tự của hệ giảm dần đến zero. Trạng thái
này của hệ được gọi là hỗn độn hay pha mất trật tự ở vùng nhiễu cao. Nó
tương đương với hành vi chạy tán loạn của các loài sinh vật khi gặp nguy
hiểm.
Tiếp tục khảo sát chi tiết trên nhiều giá trị khác nhau của góc quan sát,
chúng ta thiết lập giản đồ pha trong không gian
với biến thiên
trong khoảng từ 0 đến (nghĩa là
). Kết quả chỉ ra trong Hình
3-4 cho chúng ta thấy giá trị tới hạn
giảm nhanh khi giảm góc quan sát

từ
đến
, sau đó
giảm chậm trong miền
.

16


Hình 3-4 Giản đồ pha trong không gian
với N = 100, 400
và 900. Pha (I) và (II) ứng với góc quan sát của con mồi và vật săn.

Chúng ta dễ dàng nhận thấy giản đồ được chia thành hai pha phân
cách bởi góc quan sát
. Pha thứ nhất (pha I) tương ứng với góc
quan sát rộng của các loài con mồi có cấu trúc mắt nằm ở hai bên. Pha
thứ hai tương ứng với các loài thú săn có cấu trúc mắt nằm ở phía trước.
Một câu hỏi gợi mở từ điều này là phải chăng có sự tách pha xảy ra tại
giá trị góc quan sát
? Để giải đáp cho câu hỏi này, chúng ta tiến
hành khảo sát giá trị tới hạn của nhiễu phụ thuộc vào kích thước của hệ
với các giá trị của góc quan sát khác nhau.

Hình 3-5 Nhiễu tới hạn
như là hàm của nghịch đảo của kích
thước hệ 1/N đối với
.

Trên Hình 3-5. Ta thấy, nhiễu tới hạn

giảm khi tăng kích thước
của hệ N. Đối với các giá trị góc quan sát ở pha I (
),
hội tụ về
một giá trị không đổi (hằng số). Ngược lại, đối với góc quan sát
ở pha II thì
hội tụ về 0, nghĩa là không có chuyển pha trong
17


miền này. Kết quả này đã thêm phần khẳng định về sự tách pha theo góc
quan sát tại giá trị tới hạn
, phù hợp với những nhận xét trên
giản đồ pha. Tóm lại, chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật chỉ xảy
ra đối với các loài sinh vật thuộc loại con mồi với cấu trúc mắt có góc
quan sát rộng hơn 180o,
.
Như chúng ta đã biết thì luỹ thừa tới hạn trong hệ spin được xác
định thông qua hệ thức
[7], trong đó L là kích thước mạng
và là một luỹ thừa tới hạn khác. Chú ý là ta không thể xác định được
luỹ thừa tới hạn trong mô hình đang xét. Bởi vậy, ta đưa vào một định
nghĩa tương đương mà nó được xác định dựa trên hệ thức
,
với N là tổng số cá thể của hệ và
là giá trị cực đại của variance
(công thức (3.6)).
Xét một số trường hợp góc tới hạn mà chúng đại diện cho pha (I) và
pha (II), chúng ta tính toán được các luỹ thừa tới hạn
,

tương ứng với các góc quan sát
và
,
tương ứng với
.

Hình 3-6 Sự phụ thuộc của

vào N tính theo tỷ lệ

.

Kết quả tính toán luỹ thừa tới hạn này đã được trình bày trên Hình
3-6. Các điểm số liệu gần như hoàn toàn nằm trên đường thẳng lý thuyết.
Về mặt định lượng, ta thấy có sự khác biệt về độ lớn của luỹ thừa tới hạn.
Giá trị
đối với các góc quan sát rộng
(pha I), và
tương ứng với trường hợp ngược lại của góc quan sát (pha II).
Tóm lại, dưới tác động của môi trường xung quanh, hành vi của các
loài sinh vật thay đổi từ pha gom cụm có trật tự sang pha mất trật tự.
Chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật phụ thuộc rất nhiều vào khả
năng quan sát của các loài sinh vật. Khả năng quan sát càng rộng thì hành
18


vi gom cụm càng thể hiện rõ. Có sự tồn tại của giá trị tới hạn của góc
quan sát
mà nó phân chia chuyển pha gom cụm thành hai miền
(pha I và II) tương ứng với cấu trúc mắt của hai loài con mồi và thú săn.

Khi số lượng cá thể của hệ tăng lên thì giá trị tới hạn của nhiễu tại điểm
chuyển pha giảm. Như vậy, nhiễu tới hạn không chỉ phụ thuộc vào góc
quan sát mà còn phụ thuộc vào kích thước hệ N.
3.3 Đề xuất các mô hình mới để nghiên cứu chuyển pha gom cụm của
các loài sinh vật
Trong nghiên cứu chuyển pha trật tự của các hệ các loài sinh vật, cơ
sở nghiên cứu là mô hình Vicsek chỉ giải thích được chuyển pha ở miền
nhiễu cao, nghĩa là chuyển pha từ trật tự sang mất trật tự mà không giải
thích được chuyển pha trong miền nhiễu thấp. Mặc khác, các kết quả
nghiên cứu từ đó cũng cho rằng chuyển pha là liên tục. Tuy nhiên, quan
sát các kết quả thực nghiệm ta nhận thấy chuyển trạng thái diễn ra rất
nhanh nên ta dự đoán là chuyển pha gián đoạn (loại I). Vì vậy chúng tôi
sẽ nghiên cứu rõ các vấn đề chuyển pha này bằng cách đề xuất các mô
hình mới dựa trên cơ sở các mô hình vật lý thống kê.
3.3.1 Mô hình spin XY
Trong mô hình này, chúng ta xét các cá thể trong nhóm giống như các
spin XY, có thể chuyển động tự do với cùng vận tốc trong mặt phẳng có
kích thước
. Hướng chuyển động của cá thể thứ i được diễn tả bởi
véc tơ spin hai thành phần
. Định nghĩa này tương tự với
vận tốc trong mô hình Vicsek.
a) Định nghĩa tương tác
Xét một hệ tự tổ chức gồm N phần tử chuyển động liên tục trong mặt
phẳng (x, y). Phần tử thứ i có vị trí
và hướng chuyển động
với giá trị tuyệt đối là
.
Hamiltonian của hệ được định nghĩa dưới dạng
,

(3.7)
trong đó
được gọi là tương tác trao đổi giữa các cá thể. Nghĩa là
,

19

(3.8)


với
là khoảng cách giữa cá thể thứ i và thứ j.
là hằng số dương,
đặc trưng cho tương tác sắt từ trong mô hình spin. Số hạng thứ hai trong
phương trình (3.7) có dạng thế Morse
,

(3.9)

ở đây,
là các hằng số đặc trưng cho mô hình. Do sự cạnh tranh
tương tác giữa tương tác trao đổi và thế Morse ở khoảng cách gần, các
hạt có xu hướng tiến lại gần nhau và đồng thời đổi hướng
. Để
tránh hiện tượng này, chúng ta đưa thêm vào thế hoá học
có biểu thức
được viết dưới dạng như sau
,
(3.10)
là hằng số,

được xác định qua biểu thức
là tổng số hạt trong một đơn vị diện tích bao quanh cá thể i.
Phép lấy tổng trong các công thức (3.8) và (3.9) được tính cho các cá
thể lân cận gần nằm trong vòng tròn bán kính
có tâm tại vị trí của hạt
đang xét. Bán kính này được gọi là bán kính cắt (cut-off) sao cho giá trị
của thế tương tác giữa hai hạt đủ bé khi khoảng cách giữa chúng lớn hơn
bán kính này (
).
Tương tự như trong mô hình spin, chúng ta sử dụng các định nghĩa
cho thông số trật tự (độ từ hoá) là
với
và

,

(3.11)

Để đánh giá mức độ gom cụm của các cá thể trong một hệ, ta sử dụng
đại lượng mật độ có dạng
.

(3.12)

3.3.2 Kết quả mô phỏng
Bây giờ ta áp dụng thuật toán vừa được trình bày ở phần trên để mô
phỏng tính toán các đại lượng cơ bản của mô hình mới. Chúng ta sử dụng
các tham số mô hình như sau:
, bán kính cut-off của thế tương
tác trao đổi (3.8) và thế hoá học (3.10) được chọn là

. Các
tham số cho thế Morse là
và
. Thế
20


hoá học
. Vận tốc cực đại có giá trị không đổi
. Với
mỗi giá trị nhiễu , thời gian tính cân bằng là
bước MC trên mỗi
cá thể, số bước MC trên mỗi cá thể thực hiện để tính toán các đại lượng
trung bình là
. Điều kiện biên tuần hoàn được áp dụng trên cả hai
chiều x, y.
Xét hệ gồm
cá thể chuyển động tự do trong không gian giới hạn
bởi hình vuông kích thước
. Thông số trật tự của hệ và mật độ các
cá thể được xác định thông qua các biểu thức (3.11) và (3.12).

Hình 3-7 Thông số trật tự và mật độ phụ thuộc vào nhiễu với N = 100.

Hình 3-7 là đồ thị của thông số trật tự và mật độ phụ thuộc vào nhiễu.
Ta thấy rằng, hệ trải qua hai điểm chuyển pha khi nhiễu thấp
và nhiễu cao
. Các điểm chuyển pha tách hệ thành 3 pha: pha
I, II và III tương ứng với nhiễu thấp
, nhiễu trung bình

và nhiễu cao
. Trong pha I, thông số trật tự
có giá trị khoảng 0.2 và mật độ
. Ta nói, hệ ở pha không trật tự
với mật độ thấp. Pha I có thể xem như tương ứng với hành vi tự do của
các loài sinh vật khi không bị tác động của trường ngoài, ở đó các cá thể
phân bố rộng trong không gian và định hướng mất trật tự để dễ dàng tìm
kiếm thức ăn.
Trong trường hợp nhiễu cao
, hệ thay đổi từ pha trật tự mật
độ cao (pha II) sang pha không trật tự mật độ thấp (III). Thông số trật tự
giảm nhanh về 0, đồng thời mật độ giảm nhanh xấp xỉ bằng 0. Pha
III tương ứng với hành vi chạy tán loạn của các cá thể trong nhóm sinh
vật, chúng chạy tản ra theo mọi hướng khác nhau với tốc độ nhanh nhất
nhằm tránh xa thú săn để bảo toàn sinh mạng.
Như vậy, với việc đề xuất mô hình mới dựa trên một số định nghĩa
tương tác đã biết trong vật lý, chúng ta đã diễn tả được một cách đầy đủ
21


cả hai quá trình chuyển pha ở vùng nhiễu thấp và ở vùng nhiễu cao. Diễn
tả được các hành vi của các loài sinh vật. Đã khắc phục được hạn chế của
các mô hình đã được đề xuất trước đây bởi các tác giả khác. Tuy nhiên,
mô hình mới được đề xuất vẫn còn tồn đọng một số hạn chế, đó là chưa
xác định được loại chuyển pha gom cụm. Nguyên nhân là phải thực hiện
thời gian mô phỏng rất lâu để có thể đưa hệ về trạng thái cân bằng ở vùng
nhiễu thấp. Đôi khi, hệ rơi vào trạng thái đông cứng từng phần (frozen).
Để khắc phục những hạn chế trên, chúng tôi sẽ tiếp tục đề xuất một mô
hình khác dựa trên mô hình q-Potts và sẽ được trình bày trong mục tiếp
theo của chương này.

3.3.3 Mô hình q-Potts
Trên quan sát thực tế thì các cá thể sinh vật trong cùng một nhóm có
phản ứng khác nhau trước tác động của môi trường bên ngoài. Ví dụ như
khi đối mặt với một đối tượng kích thích nào đó, một số cá thể sẽ phản
ứng ngay với kích thích này, trong khi đó có một số cá thể sẽ phản ứng
chậm hơn hoặc không có phản ứng gì. Hiện tượng này thường được diễn
tả bởi các tập logic “mờ” (fuzzy logic). Hay nói cách khác, hành vi phản
ứng của các loài sinh vật thường là không đồng nhất, cho dù chúng sống
chung trong cùng một bầy đàn.
a) Xây dựng mô hình
Dựa vào cơ sở suy luận vừa trình bày ở trên, chúng ta đưa ra giả thiết
rằng, mỗi một cá thể sinh vật được đặc trưng bởi hai bậc tự do, tương ứng
với trạng thái nội tại và trạng thái thể hiện ra bên ngoài của chúng. Trạng
thái nội tại có thể rơi vào một trong hai lựa chọn: hoặc là bị kích thích,
hoặc là không bị kích thích. Trạng thái nội tại này được lượng hoá bởi ký
hiệu mà nó chỉ nhận một trong hai giá trị:
nếu như cá thể này bị
kích thích và
nếu như nó không bị kích thích. Trạng thái bên ngoài
(bậc tự do thứ 2) của một cá thể được đặc trưng bởi vị trí trong không
gian và hướng chuyển động . Chú ý là trạng thái nội tại là một thông số
quan trọng của mô hình và nó sẽ quyết định cho hành vi của mỗi cá thể
trong đàn, nghĩa là quyết định cho việc tương tác hay không tương tác với
các cá thể lân cận.
Chúng ta giả thiết thêm rằng, trạng thái nội tại của một cá thể nào đó
ở trạng thái không bị kích thích (không lo lắng, sợ hãi) thì năng lượng nội
tại của nó có giá trị là
(với là một số dương). Ngược lại, năng lượng
22

của nó sẽ là
nếu như chúng cảm thấy sợ hãi trước tác động của nhiễu,
hay còn gọi là trạng thái bị kích thích. Theo lý thuyết vật lý thống kê thì
xác suất để cá thể nào đó nằm ở trạng thái không bị kích thích
hoặc bị
kích thích
có thể xác định được dựa trên các biểu thức [6]:
,

(3.13)

trong đó là hàm tổng thống kê và được định nghĩa bởi công thức
.
(3.14)
Chú ý rằng,
do
. Bởi vậy, xu hướng chuyển về trạng
thái không bị kích thích sẽ tỷ lệ với
. Từ đó ta tính được tổng số
cá thể ở trạng thái không bị kích thích:

.

(3.15)

với
là tổng số cá thể trong hệ. Từ đây ta có thể suy ra số các cá thể bị
kích thích
.

(3.16)
Bây giờ, chúng ta đặt hệ bao gồm N cá thể này trên một mạng có cấu
trúc tam giác 2 chiều với kích thước
. Kích thước không gian được
chọn sao cho tổng số các nút mạng phải lớn hơn nhiều so với tổng số các
cá thể, nghĩa là
. Nhờ vậy mà các cá thể có thể dịch chuyển dễ
dàng từ nút mạng này sang nút mạng khác. Trạng thái định hướng của
mỗi cá thể được chọn tương tự với spin trong mô hình Potts đồng hồ q
trạng thái, nghĩa là véc tơ định hướng có góc lệnh so với trục hoành
nhận q giá trị gián đoạn từ 0 đến
, nghĩa là
với
. Để đơn giản, chúng ta chọn giá trị
tương ứng
với 6 lân cận gần nhất của một cá thể trong mạng tam giác. Lúc đó, trạng
thái định hướng của mỗi cá thể được gán cho các giá trị là
với các góc lệch tương ứng
.
Các véc tơ định hướng này được diễn tả trên Hình 3-8.

23


Hình 3-8 Sơ đồ các véc tơ định hướng với

trạng thái.

Hamiltonian của hệ được viết dưới dạng
,

(3.17)

ở đây tổng
được tính trên các cá thể lân cận bậc III. Hệ số
được chọn có dạng của thế Lennard-Jones:
,
(3.18)
trong đó
là khoảng cách giữa hai cá thể
và . Ta chọn
để cho
tại khoảng cách
(tính theo đơn vị hằng số mạng),
là một số dương. Tương tác giữa hai cá thể
và hoàn toàn phụ
thuộc vào trạng thái nội tại của chúng. Cụ thể là
nếu cả hai cá
thể không bị kích thích
, và
trong các trường hợp
còn lại. Chú ý là một cá thể ở trạng thái bị kích thích vẫn tương tác với
các cá thể không bị kích thích, nhờ vậy mà nó có thể diễn tả được hành vi
tập thể của các loài sinh vật.
b) Nghiên cứu chuyển pha trong hành vi gom cụm
Tương tự như đã thực hiện mô phỏng cho mô hình spin XY, chúng ta
sử dụng lại các đại lượng vật lý cơ bản như thông số trật tự và mật độ
được định nghĩa như sau:
- Thông số trật tự
,

(3.19)

với
.

(3.20)

Phép tính tổng trong công thức (3.20) được thực hiện trên tất cả các cá
thể của hệ. Ta thấy rằng, khi hệ ở pha trật tự thì tất cả các cá thể có cùng
24


một giá trị , do đó mà thông số trật tự đạt giá trị cực đại
. Đối
với pha mất trật tự, các cá thể có thể nhận tất cả các giá trị khả dĩ của ,
nghĩa là
với mọi giá trị
, dẫn đến
.
- Mật độ
,

(3.21)

với là số cá thể lân cận gần nhất xung quanh . Đại lượng trong
công thức (3.21) đặc trưng cho phân bố không gian của các cá thể. Như
vậy, hành vi của một nhóm sinh vật hoàn toàn có thể được mô tả đầy đủ
bởi hai tham số và .
Tiếp theo, chúng ta thực hiện mô phỏng bằng phương pháp MonteCarlo với các thông số mô hình được chọn như sau:

,
(tính theo đơn vị năng lượng), kích thước hệ
và 900, kích
thước mạng không gian
. Ban đầu, vị trí của các cá thể được
gieo ngẫu nhiên tuân theo phân bố đều trên không gian mạng. Giá trị định
hướng của các cá thể cũng được gieo ngẫu nhiên bởi các số nguyên từ
1 đến 6.
Tại mỗi bước mô phỏng với một giá trị xác định của nhiễu , ta tính
toán số các cá thể bị kích thích
dựa trên công thức (3.16). Sau đó ta
chọn ngẫu nhiên
cá thể trong hệ và gán trạng thái nội tại của chúng
với trạng thái bị kích thích
. Các cá thể còn lại hiển nhiên được gán
cho trạng thái không bị kích thích
. Vị trí và định hướng của một
cá thể đang xét sẽ được cập nhật theo thuật toán Metropolis. Quá trình
mô phỏng được thực hiện với
bước MC trên một cá thể để đưa hệ
về trạng thái cân bằng, các đại lượng trung bình thống kê được tính toán
trên
bước MC cho mỗi cá thể. Để bảo toàn số hạt trong không
gian đang xét, ta sử dụng điều kiện biên tuần hoàn trên cả hai chiều x và y.
Xét trường hợp kích thước của hệ
và
ta thấy trên
Hình 3-9 thông số trật tự và mật độ phụ thuộc vào nhiễu có dáng điệu
tương tự như kết quả mô phỏng cho mô hình spin XY. Các đồ thị cho
thấy rõ hệ được chia thành 3 pha : pha I ở vùng nhiễu thấp, pha II ở vùng

nhiễu trung bình và pha III ở vùng nhiễu cao.

25