skkn PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN

Mã số: ………………..

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC”

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hòa
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục

- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
- Phương pháp giáo dục 
- Lĩnh vực khác: ………… 
Có đính kèm
 Mô hình

Phần mềm

Phim ảnh

Năm học: 2012-2013

-1-

Hiện vật khác


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ LIÊN HUYỆN TÂN PHÚ-ĐỊNH QUÁN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Thị Hòa
2. Ngày tháng năm sinh: 12/08/1988
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: Tổ 5- Ấp 7 – xã Nam Cát Tiên - Tân Phú - Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0613856483 (cơ quan), ĐTDĐ : 01675691938
6. Fax: ………….. E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Đơn vị công tác: Trường phổ thông Dân Tộc Nội Trú liên huyện Tân
Phú – Định Quán.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân Cao
đẳng sư phạm.
- Năm nhận bằng: 2009
- Chuyên ngành đào tạo: Toán – Tin học
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán THCS.
- Số năm có kinh nghiệm: 4 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

-2-


SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
“PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC”
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Bất đẳng thức là một khái niệm được học sinh làm quen trong chương trình

toán 8. Không ít học sinh đã gặp khó khăn trong việc chứng minh các bất đẳng
thức. Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức và tùy vào mỗi bài toán
mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có
thể áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau, cũng có bài phải phối hợp
nhiều phương pháp một cách hợp lí.
Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào các dạng bài
toán giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình. Đặc biệt,
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ...Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm
được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.
Qua tình hình thực tế tại trường PT dân tộc nội trú, các em là những học sinh
người dân tộc thiểu số đến từ hai huyện Tân Phú - Định Quán, hoàn cảnh kinh tế
gia đình khó khăn; sự quan tâm của gia đình đến việc học của các em cũng chưa
thật sâu sắc. Mặt khác, đa số các em chỉ thích học các môn vận động, năng
khiếu,..khả năng tư duy các môn tự nhiên chậm, đặc biệt với những bài toán chứng
minh…Do đó, học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bất
đẳng thức, vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải
mẫu, không theo một phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được
hướng giải bài toán. Mặt khác vì nhận thức của học sinh còn có nhiều hạn chế và
khả năng tư duy chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận
dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác.
Trong nội dung của đề tài xin được giới thiệu một số phương pháp hay được
sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức như: dùng định nghĩa, biến đổi tương
đương, dùng các bất đẳng thức đã biết, phương pháp phản chứng, ...... và một số
bài tập vận dụng, nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng
minh hay vận dụng bất đẳng thức, giúp học sinh khối 8 có thể tự định hướng được
phương pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và
bộ môn Toán nói chung. Hy vọng với phần tài liệu này, có thể giúp các em nắm
được cơ bản các dạng toán “chứng minh bất đẳng thức”. Đồng thời vận dụng
chúng để làm một số bài tập một cách linh hoạt, khoa học. Qua đó học sinh lĩnh
hội được kiến thức một cách chủ động, sáng tạo và hình thành thói quen vận dụng

kiến thức vào các môn học, vào thực tiễn.
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận:
Toán học là một môn khoa học tự nhiên có một vai trò rất quan trọng trong
các lĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú,
trong đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó, để giải được các bài
toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản
của bất đẳng thức, mỗi học sinh phải có sự đam mê, tìm tòi để lĩnh hội các kiến
thức. Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống, trong khoa học và trong công
nghệ hiện đại, việc nắm vững các kiến thức toán học giúp cho học sinh có cơ sở
-3-


nghiên cứu các bộ môn khoa học khác, đồng thời có thể hoạt động có hiệu quả
trong mọi lĩnh vực.
Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức thì rất phong phú nhưng để cho
học sinh hình thành được phương pháp chứng minh cũng như ứng dụng Bất đẳng
thức trong Toán học thì chưa có. Số học sinh hiểu và được điểm giỏi của phần này
rất thấp thậm chí không có, đa số các em chỉ được điểm Trung Bình hoặc Yếu.
Ngoài ra, số lượng thời gian nghiên cứu chuyên sâu phần Bất đẳng thức trong kiến
thức của chương trình THCS rất ít nên học sinh ít thời gian để ý đến các kiến thức
mà giáo viên giảng trong phần này. Do đó học sinh không có hứng thú khi học sinh
bắt gặp dạng toán Bất đẳng thức.
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
* Phương pháp dùng định nghĩa
a/ Kiến thức:
Định nghĩa bất đẳng thức:
+ a nhỏ hơn b, kí hiệu a < b;
+ a lớn hơn b, kí hiệu a > b;
+ a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu a  b;

+ a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu a  b;
Ta gọi hệ thức a < b (hay a > b; a  b; a  b) là bất đẳng thức
a  b  a – b  0; a  b  a – b  0
b/ Phương pháp:
Để chứng minh A  B, ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B  0.
Lưu ý : A2  0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0.
c/ Ví dụ:
a b
Ví dụ 1: Cho a, b là hai số cùng dấu, chứng minh rằng   2
b a
Giải:

a  b  2ab (a  b)
a b

Xét hiệu H =   2 =
ab
ab
b a
2

2

2

Vì a, b cùng dấu nên ab > 0
Mặt khác (a – b)2  0 (Dấu “=” xảy ra  a = b)
a b
a b
Do đó H =   2  0    2

b a
b a
Ví dụ 2: Với mọi số x, y, z
Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z)
Giải :
Ta xét hiệu
H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z) = x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z
=(x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1)
= (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2
Do (x - 1)2  0 với mọi x;
(y - 1)2  0 với mọi y;
(z - 1)2  0 với mọi z;
Suy ra H  0 với mọi x, y, z
-4-


Hay x2 + y2 + z2 +3  2(x + y + z) với mọi x, y, z
Dấu bằng xảy ra  x = y = z = 1.
Ví dụ 3: Cho a, b, c, d, e là các số thực.
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a(b + c + d + e)
Giải :
2
2
2
2
2
Xét hiệu : H = a + b + c + d + e - a(b + c + d + e)
a
a
a

2
2
2
a
Do (  b )2  0 với mọi a, b;
2
a
(  c )2  0 với mọi a, c;
2
a
(  d )2  0 với mọi a, d;
2
a
(  e )2  0 với mọi a, e;
2
Suy ra H  0 với mọi a, b, c, d, e

a
2

= (  b )2 + (  c )2 + (  d )2 + (  e )2

Dấu '' = '' xảy ra  b = c = d = e =

a
2

d/ Bài tập:
a2  b2  a  b 


Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức:

2
 2 
1
1
2


Bài 2: Với ab > 1. Chứng minh rằng:
2
2
1  ab
1 a
1 b
2

Bài 3: Cho a + b > 2. Chứng minh rằng a4 + b4  2.
Nhận xét: Phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa là
một phương pháp đơn giản và phổ biến. Trong phương pháp này học sinh cần chú
ý:
(a  b)2  0
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 +2ab +2bc +2ca +2abc  0
* Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức
a/ Kiến thức:
Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
Tính chất 1: Tính chất đối xứng: a  b  b  a;
Tính chất 2: Tính chất bắc cầu: a  b và b  c  a  c;
Tính chất 3: Tính đơn điệu của phép cộng:
a  b  a + c  b + c (Hoặc a  b  a + c  b + c);

Hệ quả: a  b  a - c  b - c (Hoặc a  b  a - c  b - c);
a + c  b  a  b – c;
Tính chất 4: Tính đơn điệu của phép nhân:
a  b và c  0  ac  bd;
a  b và c < 0  ac  bd
Tính chất 5: a  c và b  d  a + c  b + d;
(Lưu ý: Không trừ cùng chiều)
-5-


a  b và c  d  a - c  b – d;
Tính chất 6: a > b > 0; c > d > 0  ac > bd;
Tính chất 7: a > b > 0  a2 > b2;
|a| > |b|  a2 > b2
a > b  an > bn với n là số tự nhiên lẻ
Một số bất đẳng thức thông dụng:
+ Bất đẳng thức Côsi: Với 2 số dương a, b ta có:

ab
 ab
2

Dấu “=” xảy ra  a = b
Mở rộng Với a, b, c,d  0 thì:
abc

  abc (dấu “=” xảy ra  a = b = c)
3



3

abcd 

  abcd (dấu “=” xảy ra  a = b = c = d)
4


4

+ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
Với mọi số a; b; x; y ta có ( ax + by )2  (a2 + b2)(x2 + y2);
Dấu “=” xảy ra 

a b

x y

a b
  2 với a, b > 0 (Dấu “=” xảy ra  a = b);
b a
1 1
4
+  
với a, b > 0 (Dấu “=” xảy ra  a = b);
a b ab

+

+ Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:

a  b  a  b (Dấu “=” xảy ra  ab  0);
a  b  a  b (Dấu “=” xảy ra  a  b  0 hoặc a  b  0);
b/ Phương pháp:
+ Áp dụng tính chất của bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức phải chứng
minh thành một bất đẳng thức đúng đã biết.
+ Áp dụng tính chất của bất đẳng thức biến đổi bất đẳng thức đúng đã biết
thành bất đẳng thức phải chứng minh.
c/ Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho a > 2, b > 2. Chứng minh rằng: ab > a + b.
Giải
Ta có: a > 2 và b > 0  ab > 2b (1)
b > 2 và a > 0  ab > 2a (2)
Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều (1) và (2), ta được:
2ab > 2(a + b)
Chia hai vế cho 2, ta được: ab > a + b
Ví dụ 2: Giả sử a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
a
b
c


2
bc
ca
ab
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
-6-

a
2a

bc abc
b
2b

,
ca abc

a + (b + c)  2 a(b  c) 
Tương tự ta thu được:

c
2c

ab abc

Dấu bằng của ba bất đẳng thức trên không thể đồng thời xảy ra, vì khi đó có:
a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 (trái với giả thiết a, b, c đều là số
dương)
Từ đó suy ra :

a
b
c


2
bc

ca
ab

Ví dụ 3: Với mọi số a, b, c. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2  ab + bc + ca
Giải
Cách 1: Nhân cả hai vế của bất đẳng thức cần chứng minh với 2, rồi cộng
–ab –2bc– 2ca vào hai vế của bất phương trình vừa thu được, ta có:
2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca  0
Hoặc (a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2)  0
Hay (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2  0 bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c vì là
tổng của ba số không âm. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Cách 2: Ta có thể chứng minh bất đẳng thức đã cho xuất phát từ bất đẳng thức
a2  b2
b2  c2
c2  a2
 ab;
 bc;
 ca
luôn đúng
2
2
2
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức này, ta được:
a2  b2
b2  c2
c2  a2


 ab  bc  ca
2

2
2
2
2
2
 a + b + c  ab + bc + ca
d/ Bài tập:
Bài 1: Cho x , y là 2 số thực thoả mãn x2 + y2 = x 1  y 2  y 1  x 2
Chứng minh rằng : 3x + 4y  5
Bài 2: Cho a, b, c  0 ; a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
a. a  b  b  c  c  a  6
b. a  1  b  1  c  1  3,5
Bài 3: Cho các số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c = 1.
1 1 1
Chứng minh rằng:    9
a b c
1 1
4
Bài 4: Cho x, y > 0. Chứng minh rằng:  
x y x y
Nhận xét: Với phương pháp này đòi hỏi cần có sự linh hoạt trong quá trình biến
đổi, vận dụng các tính chất phù hợp với từng bài toán.
Dựa vào những kiến thức ở trên ta xét thêm một số phương pháp khác để
chứng minh bất đẳng thức.
* Phương pháp dùng phép biến đổi tương đương
a/ Phương pháp:
-7-


Giả sử chứng minh A > B (1), ta biến đổi tương đương

A> B  A1 > B1  A2 > B2  …  C > D. Nếu bất đẳng thức cuối đúng thì bất
đẳng thức (1) là đúng.
Chú ý: Nếu chưa chứng tỏ được bất đẳng thức cuối đúng thì chưa thể kết luận bất
đẳng thức đầu tiên là đúng.
b/ Ví dụ:
Ví dụ 1: chứng minh bất đẳng thức (a + b)2  2(a2 + b2)
Giải:
2
2
2
(a + b)  2(a + b )  (a + b)2 - 2(a2 + b2)  0
2
2
 -(a – 2ab + b )  0
2
 -(a – b)  0
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên bất đẳng thức đã cho là đúng.
Ví dụ 2: Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1.
Chứng minh rằng:

1
1
4


a 1 b 1 3

Giải:
3(a + 1 + b + 1)  4(a + 1) (b + 1)  9  4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)
 9  4ab + 8

 1  4ab
2
 (a + b)  4ab
2
 (a – b)  0 (Luôn đúng)
Suy ra điều phải chứng minh.
3
a3  b3  a  b 

 ; trong đó a >0; b >0
Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức
2
 2 
Giải:
Dùng phép biến đổi tương đương Với a > 0; b > 0 => a + b > 0
3
2
a3  b3  a  b 
ab 2
ab ab


2

  

.(a  ab  b )  
.
2
 2 

 2 
 2   2 

ab
2
2

 a - ab + b  
 2 
2

2

2

2

2

 4a - 4ab + 4b  a + 2ab + b
2
2
2
2
 3a - 6ab + 3b  3(a - 2ab + b )  0
2
 3(a – b)  0

a3  b3  a  b 



Bất đẳng thức cuối cùng đúng; suy ra
2
 2 

3

c/ Bài tập:
a 2  b2
 ab
Bài 1: Chứng minh rằng: 
với mọi a, b
 
2
 2 
2

2
2
Bài 2: Chứng minh: a  b  1  ab  a  b với mọi a, b
2
2
2
Bài 3: Chứng minh: a  b  c  ab  ac  bc với mọi a, b, c

-8-


Bài 4: Cho a  b  1 . Chứng minh rằng:

1
1
2


2
2
1 a 1 b
1  ab

Bài 5: Cho a, b , c > 0. Chứng minh rằng:
1
1
1
1



a 3  b3  abc b3  c 3  abc c 3  a 3  abc abc
Chú ý các đẳng thức sau:
- Bình phương của tổng, hiệu
- Lập phương của tổng, hiệu
(a+ b + +c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
(a+ b + +c +d)2 = a2 + b2 + c2 +d2 + 2ab + 2bc + 2cd + 2da + 2ac + 2bd
a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)( a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
* phương pháp dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác
a/ Kiến thức: a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác
 a < b+c (1)
b < a+c (2)
c < a+b (3)

Từ 3 bất đẳng thức về tổng ba cạnh của tam giác ta suy ra được 3 bất đẳng thức về
hiệu hai cạnh a < b+c (1)  a  b  c (4)
b < a+c (2)  b  c  a (5)
c < a+b

(3)  c  a  b (6)

b/ Ví dụ:
Ví dụ 1:Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài các cạnh
của tam giác). Chứng minh rằng:

1 1 1
1
1
1


2(   )
a b c
p a pb pc
Giải:

bca
 0 (Vì b + c > a)
2
Tương tự p - b > 0; p - c > 0;
Ta có p - a =

1
1

4
4



p  a p  b ( p  a )  ( p  b) c
1
1
4


Tương tự
p b p c a
1
1
4


pa pc b

Ta được

 2(

1
1
1
1 1 1



)  4(   )
pa pc pc
a b c

 điều phải chứng minh.

Dấu '' = '' xảy ra khi p - a = p - b = p - c  a = b = c .
Khi đó tam giác ABC là tam giác đều.
Ví dụ 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
-9-


Chứng minh rằng: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)  abc
Giải:
Bất đẳng thức về ba cạnh của tam giác cho ta viết
b  c  a  0  a 2  (b  c)2  a 2

c  a  b  0  b2  (c  a)2  b2
a  b  c  0  c 2  (a  b)2  c 2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
Từ đó a  (b  c) b  (c  a) c  (a  b)  a b c

 (a+b-c)(a-b+c)(b-c+a)(b+c-a)(c-a+b)(c+a-b)  a b c

2 2 2

2
2
2
 (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b)  a b c
 (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)  abc

2 2 2

Vì a, b, c, là ba cạnh của một tam giác nên
a + b – c >0
b + c – a >0
c + a – b >0 và abc >0
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh
c/ Bài tập:
Bài 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a
b
c


 2;
bc ac ba
1
1
1
;
;
(b)

cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác.
ba bc ca

(a)

(c) a2(b + c – a) + b2(c + a – b) + c2(a + b – c)  3abc.
Bài 2: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
(a) abc  (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
(b) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0 (với a < b < c)
* Phương pháp chứng minh phản chứng .
a/ Kiến thức: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng, ta hãy giả sử bất
đẳng thức đó sai, sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để
suy ra điều vô lý.
Điều vô lý có thể là trái với giả thiết, hoặc là những điều trái nhược nhau, từ đó
suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Một số hình thức chứng minh phản chứng:
+ Dùng mệnh đề đảo;
+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết.
+ Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng.
+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau.
+ Phủ định rồi suy ra kết luận.
b/ Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho 0 < a, b, c, d <1. Chứng minh rằng ít nhất có một trong các bất đẳng
thức sau là sai:
2a(1 - b) > 1
3b(1 - c) > 2
- 10 -


8c(1 - d) > 1

32d(1 - a) > 3
Giải:
Giả sử ngược lại cả bốn đẳng thức đều đúng. Nhân từng vế
ta có 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3 (Vì a, b, c, d là các số
dương nhỏ hơn 1)
 a (1  a )b(1  b)c(1  c)d (1  d ) 

1
256

(1)

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
a (1  a ) 

a 1 a 1
1

 a(1 - a) 
2
2
4

1
4
1
c(1 - c) 
4
1
d(1 - d) 

4

Tương tự b(1 - b) 

Nhân từng về các bất đẳng thức; ta có:

a(1  a)b(1  b)c(1  c)d (1  d ) 

1
256

(2)

Từ (1) và (2) suy ra vô lý
Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả ba bất
1
1
1
đẳng thức sau: a   2 ; b   2 ; c   2
c
a
b
Giải (Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau)
Giả sử tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức:
1
1
1
a   2; b   2; c   2
c

a
b
Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:
1
1
1
b c  6
b
c
a
1
1
1
 (a  )  (b  )  (c  )  6 (1)
a
b
c
1
1
1
Vì a, b, c > 0 nên ta có (a  )  2 ; (b  )  2 ; (c  )  2
c
b
a
1
1
1
 ( a  )  (b  )  (c  )  6 Điều này mâu thuẫn với (1)
a
b

c
a

Vậy không tồn tại 3 số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên.
 đpcm.
Ví dụ 3: Cho a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b  2.
Giải: (Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng)
Giả sử a + b > 2  (a + b )3 > 8
3
3
 a + b + 3ab(a + b) > 8
- 11 -


3

3

 2 + 3ab(a + b) > 8 (Vì a + b = 2)
 ab(a + b) > 2
3
3
3
3
 ab(a + b) > a + b (Vì a + b = 2)

Chia cả hai vế cho số dương a, b ta được:
ab > a2 - ab + b2  0 > (a - b)2 (Vô lý)
Vậy a + b  2
c/ Bài tập:

Chứng minh rằng không có các số dương a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức
sau: 4a(1 - b) > 1; 4b(1 - c) > 1; 4c(1 - a ) > 1
* Phương pháp dùng tính chất tỉ số
a/ Kiến thức: Cho 3 số dương a, b, c
a ac
a

 1 thì
b bc
b
a ac
a
+ Nếu  1 thì 
b bc
b
a c
a ac c

+ Nếu b, d > 0 thì từ   
b d
b bd d

+ Nếu

b/ Ví dụ: Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng:
1

a
b
c



2
ab cb ac

Giải

a
a
ac


(3)
abc ab abc
b
b
ab


Tương tự ta có: 
(4)
abc cb abc
c
c
cb


và: 
(5)
abc ca abc

Do c > 0 

cộng vế với vế 3 bất đẳng thức kép(3),(4) và (5) ta được:
1

a
b
c


 2 (đpcm)
ab cb ac

c/ Bài tập: Cho các số dương a1, a2, a3, b1, b2, b3 thoả:

a1 a 2 a3

 .
b1 b2 b3

a1 a1  a 2  a3 a3


b1 b1  b2  b3 b3
* Phương pháp đổi biến số
a/ Kiến thức:
Thực hiện phương pháp đổi biến số nhằm đưa bài toán đã cho về dạng đơn
giản hơn, gọn hơn, dạng những bài toán đã biết cách giải ...
b/ Ví dụ:

Chứng minh rằng:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Nếu a, b, c > 0 thì
Giải:
Đặt b + c = x, c + a = y, a + b = z
- 12 -

a
b
c
3



bc ca ba 2


x yz
2
x yz
zx y
yzx
, b=
, c=
 a=
2
2
2
Khi đó:

a
b
c
yzx zx y x yz




VT =
=
bc ca ba
2x
2y
2z
1 y x
1 z x 1 z y 3
3 3
= (  )  (  )  (  )   111 
2 x y
2 x z
2 y z
2
2 2
Ví dụ 2: chứng minh rằng: (a – 1)(a – 2)(a – 3)(a – 4) + 1  0
Giải:
VT = (a – 1)(a – 2)(a – 3)(a – 4) + 1 = (a2 – 5a + 4)(a2 – 5a + 6) + 1
Đặt a2 – 5a + 5 = m. Khi đó: VT = (m – 1)(m + 1) + 1 = m2  0
(dấu “=” xảy ra khi m = 0 hay a2 – 5a + 5 = 0)
Ví dụ 3: Cho a, b, c > 0; a + b + c  1. Chứng minh rằng
1

1
1


9
a 2  2bc b 2  2ca c 2  2ab
Giải:
2
2
2
Đặt a + 2bc = x; b + 2ca = y; c + 2ab = z
Khi đó x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab
= (a + b + c)2  1
Bài toán trở thành Cho x, y, z > 0, x + y + z  1.
1 1 1
Chứng minh rằng    9
x y z
1 1 1
Ta chứng minh được (x + y + z)(   )  9
x y z
Theo bất đẳng thức Côsi
1 1 1
Mà x + y + z  1 nên suy ra    9
x y z
c/ Bài tập
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y ta có bất đẳng thức
1 ( x 2  y 2 )(1x 2 y 2 ) 1

- 
4 (1  x 2 ) 2 (1  y 2 ) 2 4

Bài 2: Cho a1 + a2 + a3 +… …+ an = k.
 a+b+c=

k2
Chứng minh rằng: a  a  a  ......  a  .
n
2
1

2
2

2
3

2
n

* Phương pháp dùng phép quy nạp toán học
a/ Kiến thức: Với những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n, ta thường dùng
phương pháp quy nạp toán học để chứng minh
Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng phương pháp quy nạp toán
học, ta tiến hành:
+ Chứng minh mệnh đề đúng với n = 0 (n = n0)
- 13 -


+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k (k > n0) (giả thiết quy nạp)
+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0)

b/ Ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì
(n + 1)(n + 2)(n + 3)…2n > 2n. (*)
Giải:
Với n = 2 ta có (2 + 1)(2 + 2)(2 + 3)…2.2 = 2.4.5…> 22 = 4
Vậy (*) đúng với n = 2.
Giả sử (*) đúng với n = k (k  2, k  N), nghĩa là
(k + 1)(k + 2)(k + 3)…2k > 2k
Ta chứng minh (*) đúng với n = k + 1
Theo giả thiết quy nạp ta có: (k + 1)(k + 2)(k + 3)…2k > 2k
k
 (k + 1)(k + 2)(k + 3)…(2k)(2k + 1) > 2
k
 2(k + 1)(k + 2)(k + 3)…(2k)(2k + 1) > 2.2
k+1
 (k + 2)(k + 3)…(2k)(2k + 1)(2k + 2) > 2
Vậy (*) đúng với mọi số tự nhiên lớn hơn 1.
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  3 thì 2n > 2n + 1 (*)
Giải :
n
3
Với n = 3, ta có 2 = 2 = 8; 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7; 8 > 7.
Vậy đẳng thức (*) đúng với n = 3 .
Giả sử (*) đúng với n = k (k  N; k > 3), tức là 2k > 2k + 1
ta phải chứng minh 2k+1 > 2(k + 1) + 1 hay 2k+1 > 2k + 3 (**)
Thật vậy 2k+1 = 2.2k, mà 2k > 2k + 1 (theo giả thiết quy nạp)
do đó 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 (Vì 2k - 1 > 0)
Vậy (**) đúng với mọi k > 3.
Kết luận 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dương n  3

Ví dụ 3: Chứng minh rằng:

1 3 5
2n  1
. . ...

2 4 6
2n

1
3n  1

(*) (n là số nguyên dương)

Giải :
1
Với n = 1, ta có VT = VP = . Vậy (*) đúng với n = 1 .
2
1 3 5
2k  1
1

Giả sử (*) đúng với n = k  1 ta có . . ...
2 4 6
2k
3k  1

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức là:

1 3 5

2 k  1 2k  1
2k  1
1

. . ...
.
.
2 4 6
2k 2(k  1)
3k  1 2(k  1)
1
2k  1
1

do đó chỉ cần chứng minh
3(k  1)  1
3k  1 2(k  1)

dùng phép biến đổi tương đương, ta có:
(2k + 1)2(3k + 4)  (3k + 1)4(k +1)2
3
2
3
2
 12k + 28k + 19k + 4  12k + 28k + 20k +4
 k  0 . => (**) đúng với mọi k  1.
Vậy (*) dúng với mọi số nguyên dương n
- 14 -

c/ Bài tập:
Bài 1: Với n > 2. Chứng minh rằng (2n)! < 22n(n!)2.
Bài 2: Với n là số tự nhiên lớn hơn 4. Chứng minh rằng: 2 n > n2.
* Phương pháp xét khoảng giá trị của biên.
Ví dụ: Cho A = x10 – x9 + x4 – x + 1. Chứng minh rằng A > 0.
Giải:
+ Xét trường hợp x  1
A = x9(x – 1) + x(x3 – 1) + 1
Vì x x  1 nên x9 > 0; x – 1  0; x3 – 1  0.
Vậy A > 0 (đpcm)
+ Xét trường hợp x < 1
A = x10 + x4(1 – x5) + (1 – x)
Vì x < 1 nên 1 – x5 > 0; 1 – x > 0
Mặt khác x10  0; x4  0 nên A > 0
Tóm lại với mọi giá trị của x ta đều có A > 0 (đpcm)
* Phương pháp dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự nhiên.
1995
1995
a1996  b1996 a  b
Ví dụ 1: Cho a > b > 0. Chứng minh rằng 1996 1996 > 1995 1995
a b
a b
Giải :
Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta chứng minh bất đẳng thức trung gian
sau nếu a > b > 0 và m, n là hai số tự nhiên mà m > n thì
a m  bm a n  bn

(1)
a m  bm a n  bn
Thật vậy ta dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh

a m  b m  2b m a n  b n  2b n

(1) 
a m  bm
a n  bn
2b m
2b n
2b m
2b n
 1 n
 m
 n
 1- m
a  bm
a  bn
a  bm
a  bn

bm
bm

bn
bn

bm
bn
 m

 m


a
bm a n bn
a  bm a n  bn


bm bm bn bn
m
n
1
1
a
a
 m
 n
 m 1  n 1
a
a
b
b
1
1
bm

bn

am an
a
a
 m  n  ( ) m  ( ) n (2)
b

b
b
b
Bất đẳng thức (2) luôn đúng vì a > b >0 nên
luôn đúng

- 15 -

a
 1 và m > n vậy bất đẳng thức (1)
b


a m  bm a n  bn

Áp dụng bất đẳng thức trung gian m
vớii a > b >0 và m > n nên
a  bm a n  bn
khi m =1996, n=1995 thì bất đẳng thức phải chứng minh luôn đúng

a1996  b1996 a  b
>
a1996  b1996 a1995  b1995
* Phương pháp làm trội
Dùng tính chẩt của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính
tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.
- Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:
1995

1995

là biểu diễn số hạng tổng quát

về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau :

Lúc đó : Sn = (a1 – a2) + (a2 – a3) + … + (an – an+1) = a1 – an+1.
-Phương pháp chung để tính tích hữu hạn Pn  u1u 2 ...u n là biểu diễn số hạng tổng
ak
quát uk về thương của 2 số hạng liên tiếp nhau u k 
ak  1

a1a2 an1an
a
P

...
 1
Lúc đó n
a2 a3 an an1 an1
Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức sau với n là số tự nhiên.
1
1
1
1
 2  ......  2  2 
2
n
1
2
n

Giải:
1
1
1
1


Với k >1 ta có 2 
k (k  1) k  1 k
k
1
1
1
1
Lần lượt thay k = 2, 3,.., n rồi cộng lại có: 2  2  ......  2  1 
n
1
2
n
1
1
1
1
 2  2  ......  2  2 
n
1
2
n
* Phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong hình học phẳng

Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong một tam giác nhọn thì tổng các trung tuyến của
nó lớn hơn 4 lần bán kính đường tròn ngoại tiếp.
C

A1

B1
G
0

A

B
C1

Giải:
Gọi ma, mb, mc là độ dài ba đường trung tuyến ứng với các đỉnh A, B, C của
tam giác ABC và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp  ABC.
Ta phải chứng minh ma + mb +mc >4R
- 16 -


Vì  ABC là một tam giác nhọn nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
nằm trong tam giác ABC nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì tâm O nằm ở một
trong ba tam giác tam giác GAB, tam giác GAC, tam giác GBC.
Giả sử tâm O nằm trong tam giác GAB thì OA +OB=2R và GA+ GB > 2R
2
3

2

3

2
3

2
3

mà GA= AA1= ma, GB= BB1 = mb
2
3

Nên GA+GB > 2R  (ma+mb) >2R  ma+mb >3R
Mà trong tam giác OCC1 có CC1 > OC  mc >R
Do đó ma+ mb+ mc > 3R+R=4R .
Vậy ma+mb+ mc >4R
Ví dụ 2: Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một tam giác vuông đỉnh A tại
hai điểm B và C, kẻ một tiếp tuyến với đường tròn cắt các cạnh AB và AC tại M
và N, chứng minh rằng

AB  AC
AB  AC
 MB + NC <
2
3

Giải
A

N

C

l
M
0
B

Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với đường tròn tâm O tính chất tiếp
tuyến cho ta MB = MI, NC = NI
Từ đó MN = MB + NC nhưng tam giác vuông AMN thì MN < AM + AN
Nên 2MN < AM + AN + BM + CN =AB +AC
 MN <

AB  AC
2

Ngoài ra trong tam giác vuông AMN ta cũng có cạnh huyền
MN >AM và MN > AN  2MN > AM + AN
Vì MN = BC + CN
Nên 3MN > AM + AN + BM + CN
AB  AC
3
AB  AC
AB  AC
 MB+NC <
Vậy
2
3

Do đó 3MN > AB+AC  MN >

* Ngoài ra còn có một số phương pháp khác để chứng minh bất đẳng thức
như: Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi, tam thức bậc hai, lượng giác ...
ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù
hợp.
Nhận xét:
- Chứng minh bất đẳng thức là dạng bài tập đòi hỏi tư duy cao, tùy từng bài
mà ta có thể vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp để giải cho phù hợp.

- 17 -


- Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, song trong chương trình
toán 8 các em sử dụng chủ yếu các phương pháp: dùng định nghĩa, tính chất, biến
đổi tương đương, phản chứng, quy nạp và xét các khoảng giá trị của biến.
3. BÀI TẬP ÁP DỤNG
* Bài tập chứng minh
Bài 1: Cho hai số x và y mà x + y = 1. Chứng minh rằng:
1
2

a) x2 + y2  ;

b) x4 + y4 

1
8

Bài 2: Cho a, b, c, d,e là các số thực. Chứng minh rằng

a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = a(b + c + d + e)
Bài 3: Cho hai số dương x, y và x3 + y3 = x – y. CMR: x2 + y2 <1
x3  y 3
x y 3
(
)
Bài 4: Cho hai số dương x, y. CMR :
2
2
1
1
2


Bài 5: Cho ab  1 CMR:
2
2
1 a 1 b
1  ab

Bài 6 : Cho 3 số x, y, z không âm sao cho x + y + z = a.
CMR: (a - x)(a - y)(a - z)  8xyz
Bài 7: Cho a  0, b  0, c  0 . CMR: a4 + b4 + c4  abc(a + b + c)
5
Bài 8: Cho x2+4y2=1 CMR: x  y 
2
Bài 9: CMR: Nếu a  1; b  1 thì a  b  1  ab
Bài 10: CMRvới mọi số nguyên dương n  3thì 2n > 2n+1
Bài 11: Cho a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác.
a b bc c a 1




CMR:
ab bc ca 8
* Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho ba số dương x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 12. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức M = x4 + y4 + z4.
Bài 2: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=

1 1 1
 
a b c

x2  x 1
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2
x  x 1
Bài 4 : Giải phương trình: 13 x  1 + 9 x  1 = 16x

Bài 5: a, Tìm giá trị lớn nhất của L = 2 x  3 + 5  2 x
b. Giải phương trình: 2 x  3 + 5  2 x - x2 + 4x - 6 = 0 (*)
6  x + x  2 = x2 - 6x + 13
x 3  2 y 2  4 y  3  0
Bài 7 : Giải hệ phương trình:  2
2 2
 x  x y  2y  0

Bài 6 : Giải phương trình:

- 18 -


Bài 8 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

1 1 1
 
=2
x y z

4. KẾT LUẬN
Chứng minh bất đẳng thức có rất nhiều ứng dụng trong toán học phổ thông.
Vì vậy trong quá trình giảng dạy ngoài việc đưa ra các phương pháp chứng minh
cần làm cho học sinh thấy được từng ứng dụng cụ thể, giúp giải quyết vấn đề trong
cuộc sống. Giáo viên lấy nhiều ví dụ lồng ghép vào các bài giảng. Đó chính là
giúp học sinh thấy toán học gắn liền với các nội dung khác. Từ đó hình thành ý
thức học tập, góp phần tạo động cơ và hứng thú học tập.
Tùy theo trình độ đối tượng học sinh mà có phần bài tập đề xuất phù hợp
không quá khó, nhưng cũng không quá đơn giản tương tự như trong sách giáo
khoa. Tránh làm cho học sinh nhàm chán với những dạng bài tập quá quen thuộc
và dễ dàng. Phải có những dạng bài phong phú quanh chủ đề nhưng phải tạo động
cơ và hứng thú tìm hiểu của các em.
III. HIỆU QUẢ ĐỀ TÀI
Qua quá trình vận dụng đề tài vào trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy
học sinh đã có sự đam mê tìm tòi và hứng thú trong quá trình làm các bài tập và
không thấy sợ khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Các em đã có sự
tiến bộ trong quá trình học tập, kết quả kiểm tra học sinh đạt điểm trên trung bình
tăng lên rõ rệt so với khi chưa vận dụng đề tài. Cụ thể như sau:
Tổng
Số HS trên

Số HS dưới
%
%
số HS
trung bình
trung bình
Khi chưa áp
68
45
66.18%
23
33.82%
dụng chuyên đề
Sau khi áp
69
62
89.86%
07
10.14%
dụng chuyên đề
IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Chứng minh bất đẳng thức là một dạng bài toán khó, đòi hỏi học sinh phải có sự
yêu thích môn học cũng như phải có khả năng tư duy sáng tạo cao. Do đó, tùy
thuộc vào đối tượng học sinh mà đưa ra các bài toán phù hợp. Đối với học sinh
trung bình, yếu giáo viên đưa ra các bài tập đơn giản và sử dụng các phương pháp
dùng định nghĩa, tính chất, phép biến đổi tương đương để giải quyết các bài tập về
bất đẳng thức; đối với học sinh khá giỏi, giáo viên nâng mức độ bài tập và sử dụng
thêm các phương pháp phản chứng, đổi biến số, xét khoảng giá trị của biến…để
chứng minh bất đẳng thức. Ngoài ra giáo viên có thể vận dụng các phương pháp
chứng minh bất đẳng thức còn lại cho học sinh khá, giỏi vào các tiết ngoài giờ

chính khóa.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa lớp 8 của Bộ Giáo dục và Đào tạo;
2. Các dạng toán và phương pháp giải toán 8 - tác giả Tôn Thân, Hữu Bình,
Nguyễn Vũ Thanh, Bùi Văn Tuyên – NXBGD – 2009;
3. Tuyển tập các bài toán hay và khó Đại số 8 - tác giả Phan Văn Đức, Nguyễn
Hoàng Khanh– NXBGD – 2008;
4. Các vấn đề trọng tâm toán 8 - tác giả Nguyễn Văn Lộc Hà – NXBGD – 2007;
- 19 -


5. Bổ trợ kiến thức THCS phương pháp giải toán Đại số 8 - tác giả Lê Bích Ngọc,
Lê Hồng Đức – NXBGD – 2006;
6. Đại số sơ cấp và thực hành giải toán - tác giả Hoàng Kỳ, Hoàng Thanh.
7. Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8 - Tác giả Bùi Văn Tuyên –
NXBGD – 2010.
8. Tổng hợp kiến thức toán THCS 8 - tác giả Phạm Thu – NXBĐHSP – 2005.
DUYỆT CỦA BGH

Tân Phú ngày 14 tháng 5 năm 2013
Người viết
Nguyễn Thị Hòa

- 20 -


MỤC LỤC
Trang
Sơ lược lý lịch khoa học .......................................................................... 2
I. Lý do chọn đề tài .................................................................................. 3

II. Tổ chức thực hiện đề tài ..................................................................... 3
1. Cơ sở lý luận ................................................................................. 3
2. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức .............................. 4
* Phương pháp dùng định nghĩa ................................................. 4
* Phương pháp dùng các tính chất của bất đẳng thức ................. 5
* Phương pháp dùng phép biến đổi tương đương ....................... 7
* Phương pháp dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác ...... 9
* Phương pháp chứng minh phản chứng.................................... 10
* Phương pháp dùng tính chất tỉ số ........................................... 12
* Phương pháp đổi biến số ........................................................ 12
* Phương pháp dùng phép quy nạp toán học ........................... 13
* Phương pháp xét khoảng giá trị của biến ............................... 15
* Phương pháp dùng bất đẳng thức tổng quát chứa lũy thừa
các số tự nhiên ....................................................................................... 15
* Phương pháp làm trội ............................................................. 16
* Phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong hình học
phẳng .................................................................................................... 16
* Ngoài ra còn có một số phương pháp khác để chứng minh
bất đẳng thức như: Phương pháp sử dụng tính chất hàm lồi, tam thức
bậc hai, lượng giác,... ............................................................................. 17
3. Bài tập áp dụng ........................................................................ 18
* Bài tập chứng minh ................................................................. 18
* Bài tập vận dụng ..................................................................... 18
4. Kết luận .................................................................................... 19
III. Hiệu quả đề tài .................................................................................. 19
IV. Đề xuất, khuyến nghị khả năng áp dụng .......................................... 19
V. Tài liệu tham khảo ............................................................................. 19

- 21 -

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Trường PT DTNT liên huyện
Tân Phú - Định Quán

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Tân Phú, ngày 14 tháng 5 năm 2013

PHIẾU NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2012-2013
Tên sáng kiến kinh nghiệm:
“PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC”
Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Hòa.
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị: Tổ khoa học Tự nhiên;
Trường phổ thông Dân tộc Nội trú liên huyện Tân Phú - Định Quán

Lĩnh vực:
Quản lý giáo dục 
Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
Phương pháp giáo dục 
Lĩnh vực khác: …………………… 
Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 
1. Tính mới
- Có giải pháp hoàn toàn mới 
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 
2. Hiệu quả

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến và đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng
trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai tại đơn
vị có hiệu quả 
3. Khả năng áp dụng
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính
sách:
Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện
và dễ đi vào cuộc sống: Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu
quả trong phạm vi rộng: Tốt 
Khá 
Đạt 
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

- 22 -

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ