SKKN Phuong phap chung minh bat dang thuc tu nhung bai toan don gian.DOC

Th viện SKKN của Quang Hiệu />Phần I: Đặt vấn đề.
1. Mục đích phạm vi
Hệ thống cho học sinh một số vấn đề về lý thuyết.
Phát huy khả năng suy luận, t duy lôgíc, óc phán đoán, sự linh hoạt,
sáng tạo của học sinh khi giải các bài tập về bất đẳng thức trong chơng trình
Đại số lớp 8.
Góp phần nâng cao chất lợng dạy và học trong trờng phổ thông, đặc biệt
trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi.
2. Lý do chọn đề tài.
2.1. Cơ sở lý luận:
Nếu "Toán học là một môn thể thao của trí tuệ" thì công việc của ngời
thày dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy. Có lẽ không có môn học nào
thuận lợi hơn môn Toán trong công việc đầy khó khăn này.
Quá trình giải Toán chính là quá trình rèn luyện phơng pháp suy luận
khoa học là quá trình tự nghiên cứu và sáng tạo, không dừng lại ở mỗi bài
toán đã giải hãy tìm thêm các kết quả thu đợc sau mỗi bài toán tởng chừng nh
đơn giản. Đó là tinh thần tiến công trong học toán và đó cũng là điều kiện để
phát triển t duy sáng tạo cho học sinh qua việc áp dụng công thức để chứng
minh các bài toán về bất đẳng thức.
2.2. Cơ sở thực tiễn
Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán nói chung và chứng minh
các bất đẳng thức toán học nói riêng thì việc tìm hiểu sự liên hệ của bài này
đối với bài khác của bất đẳng thức này đến bất đẳng thức khác là một trong
những yêu cầu cần đặt ra đối với học sinh. Trong quá trình giảng dạy môn Đại
số ở trờng THCS tôi nhận thấy các bài tập về phần bất đẳng thức đều mang
đậm một nội dung phong phú và đa dạng. ở những bài tập đó tiềm ẩn các giả
thiết và kết luận mới, đòi hỏi sự khai thác sáng tạo, phát hiện để mang lại
những kết quả đầy lý thú, kiến thức mở rộng và sâu sắc. Tuy nhiên để làm đợc
điều đó thì đòi hỏi ở thày và trò một quá trình làm việc nghiêm túc mang tính
1
sáng tạo. Việc phát triển t duy sáng tạo cho học sinh có thể diễn ra theo nhiều

hớng, nhiều mức độ khác nhau, nâng cao dần sự tiếp thu của học sinh. Có thể
là một trong những mức độ sau đây:
1. Với những giả thiết ban đầu, tìm ra kết luận mới cho bài toán.
2. Thay đổi thêm bớt một số điều kiện để tìm ra kết luận mới cho có tính
khái quát hơn.
3. Khai thác bài toán theo hai chiều "khi và chỉ khi".
Dựa trên những lý luận về yêu cầu giải một bài toán và xuất phát từ thực
tế giảng dạy trong nhà trờng tôi đã cố gắng và tìm hiểu nghiên cứu để từ đó
gợi ý hớng dẫn các em học sinh từng bớc hình thành phơng pháp suy nghĩ,
khả năng thực hiện yêu cầu này trong các bài tập cụ thể. Trên cơ sở những ví
dụ đã chọn tôi viết sáng kiến kinh nghiệm :"Phát triển t duy sáng tạo cho học
sinh qua giảng dạy phần chứng minh bất đẳng thức" áp dụng cho học sinh lớp
8.
2
pHần 2. Nội dung - Biện pháp thực hiện
A. Cơ sở lý thuyết.
I- Những kiến thức cần nhớ:
Trớc hết để chứng minh đợc các bất đẳng thức toán học thì học sinh
phải nắm đợc định nghĩa và các tính chất sau đây:
1. Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng a > b (hay dạng a < b; a b; a b)
là bất đẳng thức
Nếu a > b a - b > 0;
Nếu a b a - b 0;
2. Tính chất:
- Nếu a < b b > a;
- Nếu a < b, c a + c < b + c;
- Nếu a < b, c < 0 ac > bc;
- Nếu a < b, c > 0 ac < bc;
- Nếu a < b và a, b > 0
1

>
1
a b
A(x)
2
0 A(x) dấu "=" A(x) = 0;
- A(x)
2
0 A(x) dấu "=" A(x) = 0;
Trên cơ sở định nghĩa và tính chất của bất đẳng thức xây dựng đờng lối
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức.
a) m là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền (D) nếu nh hai điều kiện sau
đồng thời xảy ra:
1. f(x) m x (D)
2. x
0
(D) : f(x
o
) = m.
Khi đó kí hiệu m = max f(x)
b) m gọi là giá trị nhỏ nhất trên miền (D) của f(x) nếu nh hai điều kiện
sau đồng thời thoả mãn:
1. f(x) m x (D).
2. x
0
(D) sao cho f(x
o
) = m.
3
Khi đó kí hiệu m = min f(x)

II. Một số bài toán minh hoạ
Đầu tiên cho học sinh nắm biết đợc:
A(x)
2
0 A(x) dấu "=" A(x) = 0;
- A(x)
2
0 A(x) dấu "=" A(x) = 0;
(a b)
2
0 dấu "=" a = b;
(ay - bx)
2
0 dấu "=" ay = bx;
Trên cơ sở các bất đẳng thức đó học sinh xây dựng các bất đẳng thức sau:
*/ Cách xây dựng:
Từ : (a - b)
2
0 a
2
+ b
2
- 2ab 0
a
2
+ b
2
2ab (1)
1. Cộng hai vế của (1) với a
2

+ b
2
ta đợc:
2(a
2
+ b
2
)

(a + b)
2


a
2
+ b
2
(
a + b
)
2
2 2
2. Cộng hai vế của (1)với 2ab ta đợc:

3. Cho a, b > 0 từ


Từ 2(a
2
+ b

2
)

(a + b)
2
(*)
(*) là bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki
với a, b > 0; thì từ
Bất đẳng thức Cô-si
4
(a + b)
2
4ab
ab (
a + b
)
2
2
(a + b)
2
4ab
1

1
(a + b)
2
4ab
1
+
1

1
a b a +b
(a + b) 2(a
2
+ b
2
)

(a + b)
2
4ab a + b 2ab

Để vận dụng một số cách thành thạo các bất đẳng thức trên cho học sinh
làm một số bài tập sau:
Bài toán 1.1:
Cho a, b > 0; c > 0; Chứng minh rằng:
A =
a + b
+
a + c
+
b + c
6
c b a
Hớng dẫn:
A =
a
+
b

+
b
+
c
+
a
+
c
c c a a b b
A = (
a
+
c
) + (
b
+
c
) + (
a
+
b
) 6
c a c b b a
(Lu ý:a, b > 0; c > 0; )

a
+
c
2;
b

+
c
2;
a
+
b
2;
c a c b b a
Nâng dần mức độ bài toán 1. 1 thành bài 1.2.
Bài toán 1.2:
Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng:
A =
(a + b)
2
+
(a + c)
2
+
(b + c)
2
4(a + b + c)
c b a
Hớng dẫn:
áp dụng bất đẳng thức Côsi
(a + b)
2
+ 4c 2
(a + b)
2
4c = 4 (a + b )

c c
Tơng tự:
(a + c)
2
+ 4b 4 (a + c)
b
(b + c)
2
+ 4a 4 (b + c)
a
Cộng vế với vế ta đợc điều phải chứng minh.
5
Từ bài toán 1.2 bài toán 1.3
Bài toán 1.3:
Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng:
A =
(a + b)
+
(a + c)
+
(b + c)
> 4
c b a
Hớng dẫn:
(a + b)
=
(a + b)
c c (a + b)
với a, b , c > 0
có c (a + b)

(a + b + c)
2
1

2
dấu "=" c = a + b
c (a + b ) a + b + c
a + b

2 (a + b)
dấu "=" c = a + b
c (a + b ) a + b + c
Tơng tự:
c + a

c + a
dấu "=" b = c + a
b (c + b ) a + b + c
b + c

2
dấu "=" a = b + c
a (b + c ) a + b + c
cộng vế của bất đẳng thức ta đợc điều phải chứng minh.
Chú ý: Trong bài này dấu "=" không xảy ra vì:
a, b , c > 0; a + b + c > 0;
*/ Ta có thể áp dụng bài toán 1.1 để giải bài toán sau đây:
6

Bài toán 1.4: Cho a, b , c > 0; Chứng minh rằng:
D =
(a + b)
+
(a + c)
+
(b + c)
3 2
c b a
Hớng dẫn: Ta có:
D
2
=
(a + b)
+
(a + c)
+
(b + c)
c b a
+
(a+b) (b+c)
+
(a + b)(b+c)
+
(c+a)(b + c)
bc ac ab
Theo kết quả bài toán 1.1 ta có:
a + b

+
a + c
+
b + c
6 dấu "=" a = b = c
c b a
mặt khác ta lại có:
(a + b)(c + a) a + bc
(a + b)(b + c) b + ac
(b + c)(a + c) c + ab
D
2
6 + 2 (
a + bc
+
b + ac
+
c + ab
)
bc ac ab
D
2
6 + 2 + 2 +2 + 2(
a
+
b
+
c
)
bc ac ab

mà
a
+
b
+
c
3
bc ac ab
D
2
12 + 2 . 3 D
2
18 D 3 2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
a = b = c;
Khai thác bài toán này ta thấy:
7
Cho a, b , c > 0; thì :
Min D = 3 2 khi và chỉ khi a = b = c
với
D =
(a + b)
+
(a + c)
+
(b + c)
c b a
Ta có thể đa bài toán sau về bài toán 1.1
Bài toán 1.5: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh:
E =

a
+
b
+
c
3
b+c-a a+c-b c+a-b
Dùng phơng pháp đặt ẩn phụ để đa bài toán trên về dạng quen thuộc bài
1.1.
Đặt: x = b + c - a > 0;
y = a + c - b > 0;
z = a + b - c > 0;

y + z
+
x + z
+
x + y
6
x y z
Bài toán 1.1

2a
+
2b
+
2c
6
b+c-a a+c-b c+a-b
2 (

a
+
b
+
c
) 6
b+c-a a+c-b c+a-b
2E 6 E 3
Sử dụng kết quả của bài toán 1.1 để làm bài tập sau:
Bài toán 1.6: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh:
H =
a
+
b
+
c
3
b+c-a a+c-b c+a-b
8
Hớng dẫn:
Đặt: x = b + c - a ;
y = a + c - b ;
z = a + b - c ;
Vì a, b, c là các cạnh của tam giác nên x, y, z > 0;
và x + y + z = a + b + c
a =
y + z
; b =
x + z
; c =

x + y
2 2 2
H =
2
(
y + z
+
x + z
+
x + y
) 3
2 x y z
áp dụng bài toán 1.4
(
y + z
+
x + z
+
x + y
) 3 2
x y z
H =
2.
3 2 H 3
2
Bài toán 2.1:
Chứng minh rằng:
1
+
1

4
a b a + b
Với a, b > 0;
Hớng dẫn:
Xét hiệu:
H = (
1
+
1
)-
4
=
b(a+b) + a(a+b) - 4ab
=
a
2
+

b
2
- 2ab
a b a + b ab(a+b) ab(a+b)

(a-b)
2
0 (dấu "=" xảy ra a = b)
ab(a+b)
Vậy
1

+
1

4
(dấu "=" xảy ra a = b)
a b a + b
9
Sö dông kÕt qu¶ bµi 2.1 ®Ó lµm bµi to¸n 2.2
Bµi to¸n 2.2:
1
+
1
+
1
≥ 2 (
1
+
1
+
1
)
p - a p - b p - c a b c
Víi a, b, c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vµ p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c ®ã.
Híng dÉn:
V× a, b, c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c
nªn a, b, c > 0; p - a> 0; p - b> 0; p - c> 0;
¸p dông kÕt qña bµi to¸n 2.1 ta cã:
1
+
1

≥
4
=
4

p - a p - b 2p - a- b c
1
+
1
≥
4
=
4

p -b p - c 2p - b- c a
1
+
1
≥
4
=
4

p - c p - a 2p - c- a b
Céng tõng vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc trªn ta ®îc:
2 (
1
+
1
+

1
)≥ 4 (
1
+
1
+
1
)
p - a p - b p - c a b c
DÊu "=" x¶y ra ⇔ a = b = c;
Bµi to¸n 3.1:
Cho a, b > 0; a + b = 2.
H = (1 -
4
)( 1-
4
)
a
2
b
2
T×m min H?
Híng dÉn: Ta cã:
H = (
a
2
- 4
)(
b
2

- 4
)
a
2
b
2
H =
a
2
b
2
- 4a
2
- 4b
2
+ 16
a
2
b
2
H = 1 +
- 4 (a
2
+ b
2
) + 16
(*)
a
2
b

2
10
Do a + b = 2 a
2
+ b
2
= 4 - 2ab thay vào (*)
H = 1 +
- 4 (4 - 2ab) + 16
a
2
b
2
H = 1 +
- 16 + 8ab - 16
a
2
b
2
mà a, b > 0 và a + b = 2
ab (
a + b
)
2
theo Cô-si
2
H = 1 +
8
ab 1
ab

H = 1 + 8
8
8
ab
Vậy H = (1 -
4
)( 1-
4
) 9
a
2
b
2
Min H = 9
Khai thác bài toán 3.1 ta đa ra bài toán 3.2
Bài toán 3.2 :
Nếu cho a, b > 0 và a + b = 3
H' = (1 -
9
)( 1-
9
)
a
2
b
2
Tìm Min H'?
*/ Bằng cách làm tơng tự bài toán 3.1 học sinh cũng chứng minh đợc:
H' 9. min H' = 9
Ta có bài toán tổng quát nh sau:

Nếu a, b > 0 và a + b = R thì bài toán tổng quát có dạng:.
M = (1 -

2

)( 1-

2
)
a
2
b
2
Tìm Min M?
*/ Kết quả : Min M = 9;
11
Phần 3. Kết quả
Thông qua một số bài toán về chứng minh bài toán về chứng minh bất
đẳng thức học học sinh hiểu biết về các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
và từ những bài toán đơn giản, cơ bản học sinh đã khái quát lên đợc những bài
toán mang tính chất tổng hợp hơn. Nh vậy ta đi từ bài tập mang tính chất cơ
bản rồi dần nâng cao lên thì hầu hết học sinh đều nắm đợc cách làm và hiểu
bài.
Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu và áp dụng, cụ thể tôi đã khảo sát
chất lợng thực chất lớp 8A :
Với một đề toán: (Thời gian là: 60')
Câu 1:(2 đ) Chứng minh bất đẳng thức (a + b)
2

4 ab;

Câu 2: (2 đ) Cho a > 2; b > 2; Chứng minh rằng: ab > a + b
Câu 3: (6 đ) Chứng minh các bất đẳng thức:
a. (
a + b
)
2
ab a,b > 0
2
b. (
a + b + c
)
3
abc a,b,c > 0
3
c. (
a + b + c + d
)
4
abcd a,b,c,d > 0
4
*/ Kết quả đạt đợc:
- Kiểm tra lớp 8 A - Tổng số học sinh: 33 h/s;
Điểm 1-2 Điểm 3- 4 Điểm 5 - 7 Điểm 8 trở lên
Số bài 0 2 25 6
% 0 6 76 18
12
Phần 4: Bài học kinh nghiệm
Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy và trớc bức xúc cuả việc phụ đạo học
sinh yếu và bồi dỡng học sinh khá giỏi. Tôi đã tập trung nghiên cứu thông qua
một số tài liệu và qua thực tế giảng dạy để viết đề tài này, hy vọng giúp cho

các em học sinh có một công cụ để giải các bài toán về bất đẳng thức và qua
đó phát triển t duy sáng tạo cho học sinh. Bên cạnh đó tôi hy vọng đem lại sự
định hớng cho việc phụ đạo học sinh yếu và bồi dỡng học sinh khá giỏi cho
các bạn đồng nghiệp.
Phần 5: điều kiện áp dụng
Thông qua kinh nghiệm sáng kiến này và cùng với sự tự nghiên cứu, học
hỏi các bạn đồng nghiệp tôi đã rút ra đợc bài học kinh nghiệm:
- Học sinh của chúng ta có rất nhiều đối tợng các em có lực học trung
bình, khá, giỏi để cho tất cả đối tợng học sinh của chúng ta ham học, học
sinh trung bình thì hiểu bài, học sinh khá giỏi không nhàm chán thì chúng ta
nên đa ra các bài tập phù hợp với đối tợng học sinh, đa các em vào hoàn cảnh
có vấn đề. Các bài tập mang tính chất cơ bản dành cho các em trung bình,
khai thác nâng cao các bài tập đó lên cho các em khá, giỏi.
Hệ thống các bài tập trên đợc sắp xếp phù hợp với mọi đối tợng học sinh.
Bên cạnh những bài tập dễ dành cho những học sinh yếu còn có những bài
toán phát triển t duy, năng lực sáng tạo để bồi dỡng học sinh khá giỏi. Do đó
giáo viên nên đa ra các bài tập phù hợp với từng đối tợng học sinh.
Kinh nghiệm này có thể áp dụng giảng dạy cho học sinh toàn khối, bồi d-
ỡng học sinh giỏi và ôn luyện học sinh vào cấp 3.
13
Phần 6:
Những vấn đề hạn chế và h ớng đề xuất giải quyết
Về phía học sinh tôi nhận thấy các em đã phần nào hiểu đợc yêu cầu
của dạng bài tập này ở các bài tập khác nhau, phần lớn là các em khai thác lời
giải theo mức độ thứ nhất. Tuy nhiên khả năng tổng hợp khái quát hoá còn
nhiều hạn chế.
Vậy đối với chơng trình cần dành thêm nhiều tiếp luyện tập để dần dần
từng bớc hình thành cho các em phơng pháp kỹ năng và khả năng t duy sáng
tạo cho học sinh.
Phần 7. kết luận

Khai thác lời dạy của một bài toán nói chung và một bài tập chứng minh
bất đẳng thức đại số nói riêng có tác dụng rất lớn đối với các đối tợng học
sinh. Đối với những học sinh trung bình thì đi từ những bài tập đơn giản, từ
những số liệu cụ thể dần dần khai thác tổng quát thành những bài toán khó
mang tính khái quát hơn. Việc khai thác này giúp các em phát triển t duy một
cách linh hoạt, sáng tạo và khả năng tự nghiên cứu.
Mặc dù quá trình giảng dạy mới đợc ít năm song đây là toàn bộ kinh
nghiệm đợc rút ra trong quá trình phụ đạo học sinh yếu, bồi dỡng học sinh khá
giỏi.
Để có đợc những kinh nghiệm đó phần lớn là do sự học hỏi, đúc rút kinh
nghiệm của các đồng nghiệp và cũng là yêu cầu cấp thiết của học sinh. Các ví
dụ mà tôi đa ra trên đây có thê cha khai thác hết các tình huống hoặc cha thật
đã là các ví dụ điển hình. Vì vậy tôi rất mong có đợc sự đóng góp ý kiến của
các bạn đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn./.

14
Tài liệu tham khảo
1/ Chuyên đề bất đẳng thức chọn lọc cho học sinh THCS
Tác giả: Phan Huy Khải
2/ 225 bài toán Đại số chọn lọc
- Tác giả: Vũ Dơng Thuỵ
3/ Toán nâng cao đại số 8
- Tác giả: Vũ Hữu Bình
4/ Tạp chí toán học và tuổi trẻ - Hội toán học Việt Nam.
5/Một số vấn đề phát triển Đại số 8
- Tác giả: Vũ Hữu Bình
6/ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 8
- Tác giả: Bùi Văn Tuyên.
7/ Bất đẳng thức chọn lọc cấp II

- Tác giả: Nguyễn Vũ Thanh.
15
16