SKKN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ôn THI đại học – CAO ĐẲNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị : Trường THPT NAM-HÀ
Mã số: ................................
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Người thực hiện: NGUYỄN VŨ KHANH
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN



- Lĩnh vực khác: ................................................... 
Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN
 Mô hình  Phần mềm

 Phim ảnh

 Hiện vật khác

Năm học 2012 – 2013

THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 1

BM02-LLKHSKKN

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
_________________
I.

II.

III.

THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Vũ Khanh
2. Ngày tháng năm sinh: 30 – 06 – 1963
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 10/3 K1 ấp Đồng Nai, xã Hoá An, Tỉnh lộ 16, tp Biên Hòa - Đồng Nai
5. Điện thoại:
/ (NR) 0613 855 837; ĐTDĐ: 0948 935 272
6. Fax:
E-mail:
7. Chức vụ: TTCM
8. Đơn vị công tác:
Trường THPT Nam Hà
ệp a TP
n a, Đồng Nai
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị ( hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ ) cao nhất : Cử nhân
- Năm nhận bằng : 1985
- Chuyên ngành đào tạo : Cử nhân Toán
KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : giảng dạy môn Toán
- Số năm có kinh nghiệm : 27
- Các sáng kiến kinh nghiệm đ có trong 5 năm gần đây :
 Vấn đề xét dấu một biểu thức & ứng dụng vào giả phương trình
bất phương trình.
 Cá à t án t ếp t ến a đồ thị hàm ố.
 Nguyên hàm c a một số hàm phân thức hữu tỉ.
 Khoảng cách từ một đ ểm đến mặt phẳng trong bài toán hình học
không gian.

THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 2


Tên sáng kiến kinh nghiệm:

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
I . LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
P ƯƠNG TRÌN LƯỢNG GIÁC (PTLG) là ch đề thường xuyên có mặt trong các
đề th Đại học – Ca đẳng trong những năm gần đâ . Ch đề nà hưa phải là câu
khó nhất tr ng đề th d đó nó trở thành câu kiếm đ ểm quan trọng.
Tr ng hương trình phổ thông S được tạo dựng ăn ản về LG ở HK2 c a năm lớp
10 và tiếp tục với HSLG ở HK1 lớp 11 sau cùng là giải PTLG. Kiến thức và mứ độ
yêu cầu trong nhà trường chỉ ở mức trung bình hoặc cao một chút nếu HS học
hương trình nâng a . D đó S ẽ gặp nhiề khó khăn kh đối diện với PTLG
tr ng á đề th đại học.
Vì vậy, chuyên đề nà được viết h đố tượng HS luyện th Đ và một số ít HS giỏi
khối 11.
II . TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi: Bản thân tô đ ó một ít kinh nghiệm q a á năm dạy Toán.

2. Khó khăn: ọc sinh vẫn thường gặp nhiề khó khăn kh g ả P ƯƠNG
TRÌN LƯỢNG GIÁC tr ng á đề th Đại học.
III . NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận :
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TỔNG QUÁT
Hiển nhiên không có cách giải chung cho mọ phương trình lượng giác. Đó là ự khó khăn
đồng thờ ũng là ự hấp dẫn c a phương ttrình LG. Vấn đề là làm a để giải một phương
trình lượng giác tổng quát ?
Trước hết ta cần nhận xét dựa trên nhiều yếu tố: HSLG, số đ các cung, hệ số c a các số hạng,
PT có dạng tương tự vớ phương trình đ ết hay không ? … rồi từ đó chọn một hướng mở
thích hợp với công thứ lượng giác thích hợp để biến đổ phương trình đ h về phương
trình quen thuộc hoặc phương trình dạng tích.
Sa đâ tôi xin đề nghị một số hướng nhận xét để tìm tòi cách giải.
A. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DỄ NHẬN THẤY HƯỚNG BIẾN ĐỔI
Dạng 1: Dùng công thức biến đổi tổng  tích

ab
a b
.cos
2
2
ab
a b
cos a  cos b  2sin
.sin
2
2
ab
a b
sin a  sin b  2sin

.cos
2
2
ab
a b
sin a  sin b  2cos
.sin
2
2
cos a  cos b  2cos

1
cos  a  b   cos  a  b  
2
1
sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b  
2
1
sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b  
2
cos a.cos b 

THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 3


Ví dụ 1.
G ả phương trình: sin x  sin 2 x  sin3x  sin 4 x  sin5x  sin6 x  0
Giải
Cần lưu ý:
Pt tương đương với:

Nếu gặp dạng tổng (hiệu)
của các số hạng sinax
(sin6 x  sin x)  (sin5x  sin2 x)  (sin4 x  sin3x)  0
(cosax) ta cần lưu ý đến
7x
5x
7x
3x
7x
x
 2sin cos  2sin cos  2sin cos  0
cung sao cho tổng hoặc
2
2
2
2
2
2
hiệu các góc bằng nhau.
7x 
5x
3x
x
Từ đó sắp xếp theo cặp rồi
 2sin  cos  cos  cos   0
2 
2
2
2
áp dụng CT biến đổi sẽ

đưa đến phương trình
7 x 
5x
x
3x 
 sin  cos  cos   cos   0
dạng tích.
2 
2
2
2
7x
3x
 4sin cos  cos x  1  0
2
2
Ví dụ 2.
G ả phương trình: sin 4 x sin5x  sin 4 x sin3x  sin 2 x sin x  0 (1)
(1)  sin 4 x sin 5 x  sin 4 x sin 3 x  sin 2 x sin x  0
Hiển nhiên ta sử dụng CT
biến đổi tích thành tổng rồi
1
1
1
  cos x  cos9 x    cos x  cos7 x    cos x  cos3 x   0 rút gọn.
2
2
2
 cos x  cos9 x  cos7 x  cos3 x  0

  cos9 x  cos x    cos7 x  cos3 x   0
 2sin 5 x sin 4 x  2sin 5 x sin 2 x  0
 2sin 5 x sin 2 x  2cos 2 x  1  0
 sin5 x  0 V sin 2 x  0 V cos2 x  

1
2

Ví dụ 3.
G ả phương trình: cos7 x  sin8 x  cos3x  sin2x
Pt tương đương vớ : (cos7 x  cos3x)  (sin8x  sin2x)  0
 2sin5 x.sin 2 x  2sin5 x.cos3x  0

 sin5 x(cos3x  sin 2 x )  0



 sin 5 x cos3x  cos   2 x    0
2


x 
 5x  
 ( 2)sin 5 x.sin    .sin     0
2 4
 2 4

- Sắp xếp từng cặp theo
giá trị LG rồi áp dụng CT
biến đổi tổng thành tích.

- Đến đâ thì
giả được.

như pt đ

Bài tập tương tự: Giả á phương trình sau:
1) cos x  cos2 x  cos3x  cos4 x  0 (HVQHQT-1999)
2) ( K*) sin x  sin3x  2sin5x  0
3) cos x.cos3x  sin 2 x.sin6 x  sin 4 x.sin6 x  0
5x
3x
4) 4cos .cos  2(8sin x  1)cos x  5 (CĐ-2010)
2
2
Dạng 2: Dùng công thức hạ bậc

1  cos2a
1  cos2a
1
; sin 2 a 
; sin a.cos a  sin 2a
2
2
2
Lưu ý: Hạ bậc xuống, số đo tăng gấp đôi.
cos2 a 

THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 4

Ví dụ 4.
G ả phương trình: sin2 3x  cos2 4 x  sin2 5x  cos2 6 x (B-2002)
Pt tương đương vớ :
ạ ậ rút gọn ta đượ pt
ó dạng 1 (dạng dùng CT
1  cos6 x 1  cos8 x 1  cos10 x 1  cos12 x



ến đổ )
2
2
2
2
  cos6 x  cos8 x   cos10 x  cos12 x
 cos12 x  cos6 x  cos10 x  cos8 x  0
3
Ví dụ 5.
G ả phương trình: sin 2 x  sin 2 3x  sin 2 5 x 
2
Pt tương đương vớ :
- VT có 3 ố hạng và VP ó
3/2 thì h àn t àn phù hợp
1
1
1
3
(1  cos 2 x )  (1  cos6 x )  (1  cos10 x ) 
h v ệ rút gọn kh dùng

2
2
2
2
CT hạ ậ .
  cos 2 x  cos6 x  cos10 x  0

 (cos10 x  cos 2 x )  cos6 x  0
 2cos6 x.cos 4 x  cos6 x  0
 cos6 x (2cos 4 x  1)  0

10 x  2 x
 6 x từ
2
đó ta đượ PT dạng tí h.
3
Ví dụ 6.
G ả phương trình: cos2 x  cos2 2 x  cos2 3x  cos2 4 x 
2
PT tương đương vớ :
- VT “ hỉ ó” 3/2 d đó ta
hỉ n n hạ ậ 3 tr ng 4 ố
1
3
(1  cos2 x  1  cos4 x  1  cos6 x )  cos2 4 x 
hạng ở VT mà thôi.
2
2
- Lư ý

 cos2 x  cos4 x  cos6 x  2cos2 4 x  0
 (cos6 x  cos2 x )  cos4 x  2cos2 4 x  0
 2cos4 x.cos2 x  cos4 x  2cos 2 4 x  0
cos4 x  0

2cos2 x  1  2cos4 x  0 (2)

6x  2x
 4x
2
Từ đó ta đượ PT dạng tí h.
- Lư ý

- Pt (2) là PT ậ ha the
cos2x.
2
2
Ví dụ 7.
G ả phương trình: cos 3x.cos2 x  cos x  0 (A-2005)
PT tương đương vớ :
Dễ dàng nghĩ đến CT hạ
ậ rút gọn a ùng thì
1
1
(1  cos6 x )cos2 x  (1  cos2 x )  0
nhận đượ PT ậ ha q en
2
2
th ộ .
 cos2 x  cos6 x.cos2 x  1  cos2 x  0

1
 (cos8 x  cos4 x )  1  0
2
 2cos2 4 x  cos4 x  3  0
Bài tập tương tự: Giả á phương trình sau:
x
5) 3sin x  cos2 x  sin 2 x  2sin x.cos2 (DB2-B-2008)
2
2
6) cos4 x  12sin x  1  0 (CĐ-D-2011)


7) 2sin 2  x    2sin 2 x  tan x
4

x
 x 
8) sin 2    tan 2 x  cos 2  0 (D-2003)
2
2 4
THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 5


9) 2sin2 2 x  sin7 x  1  sin x (B-2007)


9



10) sin 4 x  sin 4  x    sin 4  x  1  (Đ GTVT-2001)
4
4
8


 21

11) sin 2 4 x  cos 2 6 x  1  sin    10 x  (Đ Ydược -1999)
 2

Dạng 3: Đặt ẩn số phụ
3.1 Phương trình đẳng cấp bậc hai, bậc ba đối với sinx và cosx:
G ả phương trình: 2sin2 x  (3  3)sin x cos x  ( 3  1)cos2 x  1 (1)
- cosx = 0 thì sin2x = 1 do
1
2
(1)  2 tan x  (3  3) tan x  ( 3  1)  
đó
x = 0 không thỏa
cos2 x
Pt(1) vậ h a ha vế a
 3tan 2 x  (3  3) tan x  3  0
pt(1) cho cos2x ta đượ pt
tương đương.
1
 1  tan 2 x
- Thay
2
cos x

3
2
2
Ví dụ 9.
G ả phương trình: cos x  4sin x cos x  sin x cos x  2sin3 x  0 (1)
3
Vì
x = 0 không thỏa pt(1) n n h a ha vế h
x ta đượ
Tương tự như pt đẳng ấp
pt tương đương:
ậ ha ta h a ha vế h
3
2
cos3x.
2 tan x  tan x  4 tan x  1  0
Ví dụ 8.

 (tan x  1)(2 tan 2 x  3tan x  1)  0
Ví dụ 10. G ả phương trình: 2cos3 x  sin x  3sin2 x.cos x  0 (1)
Có thể
Pt(1) là pt gần
tan x
 3tan 2 x  0
Pt tương đương vớ : 2 
2
vớ pt đẳng ấp ậ a và ta
cos x
2
2

ó thể g ả tương tự.
 2  tan x (1  tan x )  3tan x  0
1
 1  tan 2 x
Thay
 tan3 x  3tan 2 x  tan x  2  0
2
cos x
 (tan x  2)(tan 2 x  tan x  1)  0
Ví dụ 11. G ả phương trình: sin 3 x  3 cos3 x  sin x.cos2 x  3 sin 2 x.cos x (B-2008)
Pt tương đương vớ : tan 3 x  3  tan x  3 tan 2 x
 tan 3 x  3 tan 2 x  tan x  3  0
 (tan x  3)(tan 2 x  1)  0

Bài tập tương tự: Giả á phương trình sau:
12) 2sin3 x  4cos3 x  3sin x (SBT NC lớp 11- tr 14)
13) sin3 x  sin x sin2 x  3cos3 x  0
14) 1  3tan x  2sin 2 x (Đ CĐ-2000)
15) cos3 x  4sin3 x  3cos x sin2 x  sin x  0 (Đ NT-1996)
16) cos3 x  sin x  3sin2 x cos x  0 (Đ
-1998)
3
17) sin x sin2 x  sin3x  6cos x (Đ Dược tpHCM-1997)
18) 2cos3 x  sin3x (HVKTQS-1996)
3.2 phương trình đối xứng hoặc bán đối xứng đối với sinx và cosx.
Nhận dạng: Phương trình chứa tổng (hiệu) và tích của sinx và cosx.
THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 6


Cách giải: Đặt tổng (hiệu) bằng t sau đó tính tích theo t, thì nhận được pt bậc 2 (hoặc bậc 3)

theo ẩn phụ t.
G ả phương trình: (2  2)(sin x  cos x)  2sin x cos x  2 2  1
Lư ý:


Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   ,  2  t  2 ;
Cần th ộ lòng ông thứ
4



Ta có t 2  1  2sin x cos x  2sin x cos x  t 2  1 Pt trở thành:
sin x  cos x  2 sin  x  
4

t  2 (loai )
2
t  (2  2)t  2 2  0  


sin x  cos x  2 sin  x  
t  2 ( nhan )
4






t  2  2 sin  x    2  sin  x    1  x   k 2

4
4
4


Ví dụ 12.

(kZ).

1
1
10


(S TNC lớp 11-tr 15)
sin x cos x 3
Kh đồng thờ tha nx
Đ ề k ện: sin x  0 và cos x  0
ở
x và
x ở nx
1

 10

ến đổ pt thành: (sin x  cos x )  1 

thì pt không tha đổ . Vậ
 sin x cos x  3
đâ là pt đố xứng đố vớ



sinx và cosx. D đó ta ến
Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   ,  2  t  2 ;
4

đổ the tổng và tí h a
2
2
sinx và cosx.
Ta có t  1  2sin x cos x  2sin x cos x  t  1 Pt trở thành:
3
2
2
3t  10t  3t  10  0  (t  2)(3t  4t  5)  0
Ví dụ 14. G ả phương trình: (1  sin 2 x )cos x  (1  cos2 x )sin x  1  sin 2 x (A-2007)
Pt tương đương vớ :
Đâ là pt đố xứng đố vớ
2
2
nx và
x. D đó ta ến
sin x  cos x  sin x cos x  sin x cos x  1  sin 2 x
đổ the tổng và tí h a
 (sin x  cos x )  sin x cos x(sin x  cos x )  1  2sin x cos x
sinx và cosx.


Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   ,  2  t  2 ;
4


t2  1
Ta có t 2  1  2sin x cos x  sin x cos x 
Pt trở thành:
2
t2  1
t
.t  1  t 2  1  t (t 2  2t  1)  0  t  0 V t  1
2
Ví dụ 15. G ả phương trình: 6 sin x  cos x  sin x cos x  6
Đâ ũng là pt đố xứng


Đặt t  sin x  cos x  2 sin  x   , 0  t  2 ;
đố vớ nx và
x.
4

1  t2
2
Ta có t  1  2sin x cos x  sin x cos x 
Pt trở thành:
2
t  1
1  t2
6t 
 6  t 2  12t  13  0  
2
t  13(loai )
Ví dụ 13.

G ả phương trình: sin x  cos x 

t = 1 suy ra





2 sin  x    1  2sin 2  x    1
4
4



- Dùng CT hạ ậ thì tốt
hơn.

THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 7





 1  cos  2 x    1  sin 2 x  0  x  k , k  Z
2
2


Bài tập tương tự: Giả á phương trình sau:

19) sin 3 x  cos3 x  2(sin x  cos x )  1
20) sin3 x  cos3 x  cos2 x (Đ NN-Tin học tp HCM-2001)
21) cos3 x  sin3 x  sin x  cos x (Đ ĐNẳng-1999)
22) cos3 x  sin3 x  sin2 x  sin x  cos x (Đ CSND-2000)
23) 2sin3 x  sin x  2cos3 x  cos x  cos2 x (HVKTQS-1999)
24) 2(sin x  cos x)  tan x  cot x


25) sin 2 x  2 sin  x    1
4

3.3 phương trình chứa sin2a, cos2a, tan2a và tana.

2 tan a
1  tan 2 a
2 tan a
Sử dụng CT: sin 2a 
;cos2a 
;tan 2a 
2
2
1  tan a
1  tan a
1  tan 2 a
Chứng minh:

sin 2a 

2sin a cos a
2 tan a

cos2 a  sin 2 a 1  tan 2 a

;
(chia tử và mẫu cho
cos2
a


sin 2 a  cos2 a 1  tan 2 a
cos2 a  sin 2 a 1  tan 2 a

cos2a); tan 2a  tan(a  a ) 

tan a  tan a
2 tan a

1  tan a. tan a 1  tan 2 a

Ví dụ 16. G ả phương trình: (1  tan x)(1  sin2 x)  1  tan x
2 tan x
2t
Đ ề k ện: cos x  0 .
sin 2 x 

2
Đặt t = tanx ta đượ phương trình:
1  tan x 1  t 2
2t 

(1  t )  1 

 1  t  (1  t )(1  t ) 2  (1  t )(1  t 2 )
2 
 1 t 
t  1  0
t  1
 tan x  1  x   / 4  k 


suyra 

2
2
t  0
 tan x  0
x  k
1  t  1  t
Thỏa đ ề k ện.
Ví dụ 17.

G ả phương trình: sin x  cot

Đ ề k ện: sin

x
2
2

x
 0 ; Phương trình tương đương vớ :
2

x
2  1  2 ; Đặt t = tan x ta đượ phương trình:
x
x
2
1  tan 2
tan
2
2
3
2
2t  3t  2t  1  0  (t  1)(2t 2  t  1)  0  t  1
x
x 

suy ra tan  1    k   x   k 2 (thỏa đk)
2
2 4
2
2 tan

Cách 2 : Ch a ha vế h
x
sin 2 , ta đượ phương trình
2
tương đương:

THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 8

x
x
1
2
 cot .

2
2 sin 2 x sin 2 x
2
2
x
x
x
 2cot  cot  1  cot 2 
2
2
2
x

 2  1  cot 2 
2


2cot

Bài tập tương tự: Giả á phương trình sau:
26) sin 2 x  cos2 x  tan x  2
27) sin 2 x  2 tan x  3 (BK Hà Nội-2001)
28) sin 2 x  cos2 x  tan x

B. CÁC NHẬN XÉT GỢI Ý HƯỚNG BIẾN ĐỔI
Với cá phương trình phức tạp để tìm hướng biến đổi ta cần nhận xét dựa trên nhiều yếu tố:
HSLG, số đ hệ số, có dạng tương tự vớ phương trình đ ết ha không ? … rồi từ đó liên
kết với công thứ lượng giác thích hợp để biến đổ phương trình đ h về phương trình quen
thuộc hoặ phương trình dạng tích.
Sa đâ tô x n đề nghị một số hướng nhận xét để tìm tòi cách giải.
Nhận xét 1: Biến đổi dựa trên mối liên hệ giữa các cung LG
Sự liên hệ giữa các cung (góc) lượng giác mở ra cho ta rất nhiề hướng khai thác:
* Dùng cung liên kết để chuyển về cung đơn giản hơn, nhờ đó ta nhận được phương trình
cũng đơn giản hơn.
1
1
 7


 4sin 
 x  (A-2008)
Ví dụ 18. G ả phương trình
3 
sin x

 4

sin  x  
2 

Ch t ết dễ lư ý là ố đ
a
3 







Ta có: sin  x    sin  x   2   sin  x    cos x
cung.
2 
2
2




S th ộ CT về ng l n

  kết là ó thể dễ dàng ến đổ
 7



 


sin 
 x   sin  2   x   sin    x    sin  x  
4
4  PT đ h thành một PT đơn
 4




 4


Phương trình (1) tương đương với:
g ản hơn.
1
1



 4sin  x  
sin x cos x
4

Đ ều kiện:
sin x  0
 sin 2 x  0 phương trình tương đương với:

cos x  0

THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 9




sin x  cos x  4sin  x   sin x.cos x
4






 2 sin  x    4sin  x   sin x.cos x
4
4





 
x

 k

sin  x    0
4

4
 

sin 2 x  1
1  2 2 sin x.cos x

2


 x   4  k

(thỏa đ ều kiện)


5

 x    k V x 
 k

8
8




G ả phương trình: 5cos3  x    3cos5  x    0
6
10 


- Cần tìm ự l n hệ g ữa




Ta có: cos3  x    cos  3 x     sin 3x




6

2


3  x   và 5  x   .
6
10 






và cos5  x    cos  5 x    sin 5 x . D đó phương trình
Tìm đượ mố l n hệ đó
10 
2


ẽ g úp g ả đượ PT.
tương đương với: 5sin3x  3sin5x  0 .
- Dựa và hệ ố ta ến đổ
 5sin 3x  3sin 5 x  2sin 3 x  3(sin 5 x  sin 3 x)
như a :
 2sin 3x  6cos 4 x.sin x
- Dựa và ố đ á
ng
ta dùng CT nhân ba thì
 2(3sin x  4sin 3 x )  6cos 4 x.sin x
đượ pt dạng tí h.
sin x  0

sin x  0
- Lạ nhìn và ố đ và á


2
2
GTLG ta ến đổ pt (2)
3

4sin
x

3cos
4
x
(2)
3cos
x

cos
2
x

2

0


thành pt ậ ha theo
cos2x.

Ví dụ 19.

Chú ý rằng: Không phải chỉ với một nhận xét về sự liên hệ số đo mà giải được PT. Nhận xét
đó là bước đi đầu tiên để thay PT ban đầu bởi PT khác đơn giản hơn. Và quá trình đó có thể
lại tiếp tục.

 3 x  1   3 x 
   sin    (Đ TL-2001)
G ả phương trình: sin 
 10 2  2  10 2 
Ta có
Trước khi biến đổi PT, ta
cần tìm sự liên hệ giữa hai
 3x 
  3x 

 9 3x 
 3 x 
sin     sin       sin     sin 3    ,
 3 x 
10 2 
 10 2 

 10 2 
 10 2 
  và
cung 
 10 2 
3 x

 thì phương trình trở thành:
Đặt t 
  3x 
10 2
  
2sin t  sin3t , dùng công thứ nhân a ta được pt dạng tích.
 10 2 
Ví dụ 20.

*Nhận ra mối liên hệ giữa các cung giúp ta chọn công thức nhân đôi, nhân ba:
THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 10


Ví dụ 21. G ả phương trình cos3x  cos2 x  cos x  1  0 (D-2006)
PT tương đương với:
- PT hỉ hứa cosin theo
3
2
á ố đ x 2x 3x d đó
4cos x  3cos x  2cos x  1  cos x  1  0
ó thể đưa về
x ằng
 2cos3 x  cos2 x  2cos x  1  0
CT nhân đô nhân a.
2
 (2cos x  1)(cos x  1)  0

1
2
2




cos x  
cos
x

cos
x


 k 2


2
3 
3
 2


cos x  1
sin x  0
x  k
Cách 2: Phương trình đ h tương đương với :
(cos3x  cos x)  1  cos2 x  0  2sin2 x.sin x  2sin2 x  0
 2sin x(sin 2 x  sin x )  0  2sin 2 x(2cos x  1)  0
sin x  0

1
cos x  

2


- Chú ý:
cos2 x  1  sin x  0

3x  x
 2 x và
2
1  cos2 x  2sin2 x 
dùng CT ến đổ tổng
thành tí h và ông thứ
nhân đô .
Nhận xét:

Bài tập tương tự: Giả á phương trình sau:
29) cos3x  4cos2 x  3cos x  4  0 (D-2002)
sin 3x sin5 x

(Đ TL-2000)
30)
3
5
*Nhận ra mối liên hệ giữa các cung sẽ dễ dàng hơn nếu kết hợp với đặt ẩn phụ.
Ví dụ 22.



G ả phương trình 8cos3  x    cos3x (Đ QG N-1999)
3




 3x  3t   Phương trình trở thành:
3
8cos3 t  cos(3t  )  8cos3 t   cos3t (2)

Đặt t  x 

 8cos3 t  3cos t  4cos3 t  12cos3 t  3cos t
cos t  0
cos t  0
cos t  0



1
2
 4cos t  1  2(1  cos2t )  1 cos2t  
2



x   k
 

 

6
x  3  2  k

t  2  k 



 x  k
, kZ



x     k
t    k 

2
 k
3
3
3


x  
3



ta khó
3
nhìn thấ mố l n hệ

nhưng nế đặt t  x 
3

 3x  3t   thì ta thấ
ngay ng ù x ất h ện.
- Và ũng dựa the ố đ
pt (2) gợ h ta CT nhân
ba.
- Vớ pt 4cos2 t  1 , cách
tốt nhất là dùng CT hạ ậ .
- G ữa 3x và x 

Nhận xét 2: Phương trình có liên hệ với phương trình asinx + bcosx = c, (a2+b2 > 0)
Tóm tắt về phương trình asinx + bcosx = c

THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 11


Cách giải: Chia hai vế cho

a 2  b2 ta đượ pt tương đương:
2

2


 

a
b

sin x 
cos x 

; Vì 

  1 n n ta đặt
2
2
2
2
a

b
a

b
a 2  b2
a 2  b2
a 2  b2

 


a

a
a 2  b2

b

 cos  và

c

b
a 2  b2

 sin  rồi áp dụng CT cộng ta được pt sin( x  ) 

c
a 2  b2

Điều kiện có nghiệm: a2  b2  c2 .
Trường hợp đặc biệt:
 c = 0: a sin x  b cos x  0  tan x  

b
(a  0)
a

 c

 a = b: a sin x  a cos x  c  a (sin x  cos x )  c  2 sin  x   
4 a

 c

 a = -b: a sin x  a cos x  c  a (sin x  cos x )  c  2 sin  x   
4 a


Ví dụ 23.

G ả phương trình sin x  3 cos x  1

1
3
1
sin x  3 cos x  1  sin x 
cos x 
2
2
2


1
 1

 cos sin x  sin cos x   sin  x   
3
3
2
3 2


Ch a ha vế h

a 2  b2  2

C ố ùng ta đượ PT LG
ơ ản.
Ví dụ 24. Định m để phương trình a ó ngh ệm (2m  1)sin x  (m  1)cos x  m  3 (1)
2

2
2
Dùng đk ó ngh ệm a
(1) ó ngh ệm  (2m  1)  ( m  1)  ( m  3)
PT asinx + bcosx = c
7
7
7
7
2
2
 4m  7  m   m 
m
V m
4
2
2
2
Phương trình có liên hệ với phương trình asinx + bcosx = c (*)
Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng trong những năm gần đây có khá nhiều
phương trình lượng giác “có họ hàng” với PT nêu trên. Nếu HS nắm vững cách giải của PT
asinx + bcosx = c thì có thể giải được các phương trình này.
*Để phát hiện PT “có họ hàng” với PT (*), ta dựa vào mối liên hệ số đo của các cung kết
hợp với liên hệ về hệ số.

sin x  sin 2 x
 3 (CĐ-A2004)
cos x  cos2 x
- Nhận xét: PT chứa các số
Đ ều kiện: cos x  cos2 x  0  2cos2 x  cos x  1  0

1
đ x 2x với hệ số 3 
 cos x  1 và cos x   ;
Gợi cho ta một sự sắp xếp
2
theo số đ .
vớ đ ều kiện trên thì phương trình tương đương với:
Ví dụ 25.

G ả phương trình:

sin x  sin 2 x  3(cos x  cos2 x )
 sin x  3 cos x  sin 2 x  3 cos2 x
1
3
1
3
 sin x 
cos x  sin 2 x 
cos2 x
2
2
2
2

- Phương trình nà được
giả tương tự như phương
trình bậc nhất đối với sinu
và cosu.

THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 12


Ghi nhớ các biểu thức sau: sin u  3cos u;

3sin u  cos u

G ả phương trình: sin x  3cos x  5 sin x  3cos x  4
- Dễ dàng nhận ra biểu thức
Đặt : t  sin x  3cos x  0 ;
sin x  3 cos x  Đặt ẩn
Ta đượ phương trình: t 2  5t  4  0  t  1 V t  4
phụ.
 t  1  sin x  3 cos x  1
1
3
1


- Từ đó dẫn đến phương

 sin x 
cos x   sin  x    sin
trình bậc nhất đối với sinu và
2
2
2
3
6


cosu.
 t  4  sin x  3 cos x  4 : Phương trình vô ngh ệm
vì không thỏa đk a2 + b2  c2
Ví dụ 27. G ả phương trình: 3 cos5 x  2sin 3 x cos 2 x  sin x  0 (D-2009)
Nhận xét: PT có chứa hệ số
3 cos5 x  2sin 3x cos2 x  sin x  0
3 đồng thời:
 3 cos5 x  (sin 5 x  sin x )  sin x  0
2sin3x cos2 x  sin5x  sin x
 3 cos5 x  sin 5 x  2sin x
D đó ta ến đổ như a :
3
1
- Chia hai vế cho 2:

cos5 x  sin 5 x  sin x
2
2
“ 3 chỉ đẹp kh đè l n 2 !”
Ví dụ 26.

Ví dụ 28. G ả phương trình: sin x  cos x sin2 x  3cos3x  2(cos4 x  sin3 x) (B-2009)
Phương trình tương đương với:
- PT khá phức tạp, tuy nhiên
có thể bám váo dấu hiệu có
1
1
sin x  (sin 3x  sin x )  3 cos3x  2cos4 x  2. (3sin x  sin 3x )
hệ số 3 và CT biến đổi,
2

4
CT nhân a để đưa về sin,
1
3
3
1
 sin 3x  3 cos3x  sin x  2cos4 x  sin x  sin 3x
cos theo x, 3x.
2
2
2
2

 sin 3x  3 cos3x  2cos4 x





- Chia hai vế h 2 ta được
PT quen thuộc.

Ví dụ 29. G ả phương trình: 2 cos x  3sin x cos x  cos x  3sin x  1 (B-2012)
Phương trình tương đương với:
- Cũng dựa vào dấu hiệu: Có
hệ số 3 và dùng CT nhân
2cos2 x  1  2 3sin x cos x  cos x  3sin x
đô ta được PT quen thuộc.
 cos2 x  3sin 2 x  cos x  3sin x
Như vậy cần ghi nhớ thêm các PT có dạng sau:

sin u  3cos u  2sin v;

3sin u  cos u  2cos v

sin u  3cos u  sin v  3cos v;

3sin u  cos u  sin v  3cos v

Bài tập tương tự: Giả á phương trình a :
31)

3 cos5 x  2cos3 x  sin 5 x



32) cos x  3 sin x  2cos  2 x    0
3

2
33) 2sin x  3 sin 2 x  3
34) sin8x  cos6 x  3(sin6 x  cos8x)
35) sin x  sin 2 x  cos x  cos2 x (SGKNC lớp 11-tr42)
THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 13


36) 3sin x  5 3sin x  cos x  2  cos x
(1  2sin x )cos x
 3 (A-2009)
37)

(1  2sin x )(1  sin x)
2

x
x

38)  sin  cos   3 cos x  2 (D-2007)
2
 2
39) 2cos6 x  2cos 4 x  sin 2 x  3 cos 2 x  3


40) 3 cos 2 x  sin 2 x  2sin  2 x    2 2
6

2


41) sin 2 x  3 cos 2 x  cos  2 x    5
6






Nhận xét 3: Rút gọn một biểu thức có trong phương trình
* Rút gọn một biểu thức phức tạp ở vế trái hoặc vế phải giúp ta nhận được phương trình đơn
giản hơn và giúp ta nhìn ra hướng giải dễ dàng hơn.
Muốn vậy, HS cần nhớ các hằng đẳng thức sau:





sin x  cos x  2 sin  x  
1. sin x  cos x  2 sin  x   ;
4
4


2
2
1  sin 2 x  (sin x  cos x )
2. 1  sin 2 x  (sin x  cos x ) ;
2
3. 1  cos2 x  2cos x ;
1  cos2 x  2sin2 x
1
4. sin x cos x  sin 2 x
2
1
3 1
5. sin 4 x  cos4 x  1  2sin 2 x.cos2 x  1  sin 2 2 x   cos4 x
2
4 4
3
1 3
6. sin 6 x  cos6 x  1  3sin 2 x.cos2 x  1  sin 2 2 x   cos4 x
4
4 4

4
4
2
2
7. cos x  sin x  cos x  sin x  cos2 x
1
2

8. tan x  cot x 
sin x cos x sin 2 x
 cos2 x
 2cot 2 x
9. tan x  cot x 
sin x cos x
Ví dụ 30. Tìm á ngh ệm x  (0;2) a phương trình:
cos3 x  sin 3 x 

5  sin x 
  cos 2 x  3 (A-2002)
1  2sin 2 x 

1
Đ ều kiện: sin 2 x  
2
Ta có:
cos3 x  sin 3 x sin x  2sin 2 x sin x  cos3 x  sin 3 x
sin x 

1  2sin 2 x
1  2sin 2 x

sin x  cos x  cos3 x  cos3 x  sin 3 x cos x  (sin 3 x  sin x )


1  2sin 2 x
1  2sin 2 x
cos x  2sin 2 x cos x cos x (1  2sin 2 x )


 cos x
1  2sin 2 x
1  2sin 2 x
D đó phương trình tương đương với:

Nhận xét: PT ó đk nếu rút
gọn biểu thức
cos3x  sin 3x
sin x 
thì
1  2sin 2 x
có thể ta sẽ nhận được PT
dễ giải quyết hơn.

THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 14


5cos x  cos2 x  3
 2cos2 x  5cos x  2  0  cos x  2 V cos x 

1
2

cos x  2 (loại)
1
3
1
 sin 2 x  2sin x cos x   , vậy
 cos x   sin x  
2
2
2

ta được x    k 2 .
3
x

Ví dụ 31. G ả phương trình cot x  sin x  1  tan x. tan   4 (B-2006)
2

Nếu rút gọn biểu thức
x
Đ ều kiện: cos  0  sin x  0  sin x  0 (*); Ta có:
x
2
1  tan x. tan thì ta sẽ
2
x
x
x
sin
cos x cos  sin x sin

nhận
được
PT
dễ dàng hơn.
x
sin x
2 
2
2
1  tan x. tan  1 
.
x
2
cos x cos x
cos x cos
2
2
x

cos  x  
1
2



x cos x
cos x cos
2
Phương trình tương đương với:
1

2
- Dùng hằng đẳng thức:
cot x  sin x.
 4  tan x  cot x  4 
4
2
cos x
sin 2 x
tan x  cot x 
1
sin 2 x
 sin 2 x  (thỏa đ ều kiện (*))
2




2
x


k
2

x

 k


6

12


,( k  Z )
5

5

2 x 
x 
 k 2
 k
6
12




* Trong thực tế việc giải một phương trình thường dựa trên tổ hợp nhiều nhận xét. Việc phân
chia như trên chủ yếu gợi ra một bước khởi đầu:
7
 


G ả phương trình sin 4 x  cos4 x  cot  x   cot   x  (Đ GTVT-1999)
8
3 6


Đ ều kiện:

Nhận xét:
 










sin  x   .sin   x   0  sin  x   cos  x    0
 x   và   x  là hai
3 6
3
3
3



6



cung phụ nha . D đó
2 

 sin  2 x 
  0,(*)

 


3 

cot  x   cot   x 
3 6


Phương trình tương đương với:
 


 cot  x   tan  x    1
3 
3

4
4
-Ta có: sin x  cos x

Ví dụ 32.

THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 15


3 1
7
1
1

1
 cos4 x   cos4 x   cos4 x 
4 4
8
4
8
2



 4 x    k 2  x    k
3
12
2
Thỏa đ ều kiện (*).

 1  2sin 2 x.cos 2 x
1
3 1
 1  sin 2 2 x   cos 4 x
2
4 4

Bài tập tương tự: Giả á phương trình a :

 
 3

42) cos4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     0 (D-2005)
4 

4 2


1  sin x  2cos 2 x  sin  x 
43)

1  tan x





4

44) 3sin x  cos2 x  sin 2 x  4sin x cos
45)

2



1
cos x (A-2010)
2

x
(DB2-B-2008)
2

(1  sin 2 x  cos 2 x )

 2 sin x.sin 2 x (A-2011)
1  cot 2 x

46) cot x  tan x  4sin 2 x 

2
(B-2003)
sin 2 x

2(cos6 x  sin 6 x )  sin x cos x
 0 (A-2006)
47)
2  2sin x

48) cot x  1 

cos 2 x
1
 sin 2 x  sin 2 x (A-2003)
1  tan x
2

B. CÁC PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI VỀ DANG TÍCH
Đâ là dạng phương trình thường xuyên có mặt tr ng á đề th Đại học – Ca Đẳng. Để đưa
về phương trình dạng tích ta cần nhìn ra các nhân tử “g ống nha ” tr ng á ố hạng hoặc
biến đổ để tạo ra các nhân tử đó. Nếu biến đổ được về dạng tích thì có thể xem như phương
trình đ được giải quyết.
Để ngắn gọn, các ví dụ dướ đâ hỉ thực hiện biến đổ đến dạng tích mà thôi.
Ví dụ 33. G ả phương trình (1  2sin x ) 2 cos x  1  sin x  cos x (CĐ-A-2009)
Phương trình tương đương với:

Lư ý ha ố hạng có chứa
2
cosx ở VT và VP
(1  2sin x )  1 cos x  1  sin x

 2sin x.(2  2sin x )cos x  1  sin x
1  sin x  0
 4sin x cos x.(1  sin x )  1  sin x  
 2sin 2 x  1
Ví dụ 34. G ả phương trình 2sin x(1  cos2 x)  sin2 x  1  2cos x (D-2008)
Phương trình tương đương với:
Thay 1  cos2 x  2cos2 x
(dùng nhận xét 3)
THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 16


2sin x.2cos2 x  sin 2 x  1  2cos x
 sin 2 x.2cos x  sin 2 x  1  2cos x
 sin 2 x(2cos x  1)  1  2cos x
Ví dụ 35. G ả phương trình 2sin2 2 x  sin7 x  1  sin x (B-2007)
Phương trình tương đương với:
Phát hiện biểu thức:
2
2sin2 2 x  1   cos4 x và
sin 7 x  sin x  1  2sin 2 x  2cos4 x sin 3x  cos4 x
sin7 x  sin x  2cos4 x sin3x
cos4 x  0

2sin 3x  1
Ví dụ 36. G ả phương trình: 3cot 2 x  2 2 sin2 x  (2  3 2)cos x

- Biến đổi dựa trên nhận xét về
Đ ều kiện: sin x  0 ; PT tương đương với:
2
2
hệ số.
3cot x  3 2 cos x  2cos x  2 2 sin x


x   2  cos x 

 cos x

 3cos x  2  2   2 cos x  2 sin 2 x
 sin x




 3cos x cos x  2 sin 2



2 sin 2 x



x
x
 x
G ả phương trình: 1  sin .sin x  cos sin 2 x  2cos 2   

2
2
4 2
PT tương đương với:
Nhận xét:
x
x
 x


 x
2cos2     1  cos   x 
sin .sin x  cos sin 2 x  2cos2     1
2
2
4 2
2

4 2
 sin x
x
x
 sin .sin x  cos sin 2 x  sin x
2
2
sin x  0
 x
x
sin  cos sin x  1 (2)
2

 2
x
x
x
x
x
x
(2)  sin  2sin cos2  1  sin  2sin 1  sin 2   1
2
2
2
2
2
2
x
x
 2sin 3  sin  1  0
2
2
Ví dụ 38. G ả phương trình: sin 3x  cos3x  sin x  cos x  2 cos 2 x (D-2012)
PT tương đương với:
Quan sát VT, ta có áp dụng
CT biến đổi tổng thành tích thì
(sin 3x  sin x )  (cos3x  cos x )  2 cos2 x
tạo ra thừa số cos2x.
 2cos2 x sin x  2cos2 x cos x  2 cos2 x
cos 2 x  0
Còn lại là PT quen thuộc.

 2sin x  2cos x  2

2sin x  1
cos2 x  2cos x  7sin x  5

Ví dụ 39. Giả phương trình:
(1)
2cos x  3 cos2 x  2cos x  1  3(cos x  1)
(Th thử Đạ họ – Ch n L ồng Ph ng tp CM – 2012)
Ta có :
Nhận xét :
Có thể rút gọn mẫu thức ở VP.

Ví dụ 37.

THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 17


cos2 x  2cos x  1  3(cos x  1)
 2cos2 x  2cos x  3(cos x  1)



 2cos x(1  cos x )  3(cos x  1)  (1  cos x ) 2cos x  3
D đó đ ều kiện c a PT là: cos x  1  cos x 



3
2

Kh đó PT (1) tương đương với:

 2sin x  1 (1  cos x )  cos2 x  2cos x  7sin x  5

 2sin x cos x  cos x  cos2 x  9sin x  4  0
 cos x (2sin x  1)  2sin 2 x  9sin x  5  0
 cos x (2sin x  1)  (2sin x  1)(sin x  5)  0
 (2sin x  1)(sin x  cos x  5)  0
 2sin x  1  0
Bài tập tương tự: Giả á phương trình a :
49) sin 2 x  2cos2 x  1  sin x  4cos x (Đ An N nh D-2001)
50) 1  sin x  cos x  sin2x  cos2 x  0 (B-2005)
51) (sin2 x  cos2 x)cos x  2cos2 x  sin x  0 (B-2010)
52) sin 2 x  cos2 x  3sin x  cos x  1  0 (D-2010)
53) sin 2 x cos x  sin x cos x  cos2 x  sin x  cos x (B-2011)
54)

sin 2 x  2cos x  sin x  1
 0 (D-2011)
tan x  3

THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 18


III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Bản thân tôi nhận thấy a kh đưa và g ảng dạ h n đề này thì các em đ ó
nhiều tiến bộ, các em có thể đưa ra nh ề hướng giải mở đầ kh đứng trên những
nhận xét khác nhau. Đ ều này có tác dụng tích cực giúp các em tự t n hơn kh g ải
á đề th Đại học – Ca Đẳng hoặ á đề thi thử tương đương.
Riêng về phần so sánh nghiệm th được c a pt cuối cùng vớ đ ều kiện c a pt ban
đầu thì không ó đề cập tr ng h n đề nà mà x n đượ nó đến ở một dịp khác.

IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
- Đề nghị áp dụng giảng dạy cho HS giỏi toán lớp 11 và HS luyện th Đ tr ng nhà
trường.
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
- Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 ơ ản và nâng cao.
- Sách Bài tập Đại số và Giải tích lớp 11 ơ ản và nâng cao.
- Đề thi tuyển nh Đại học – Ca đẳng á năm.
- Kỹ thuật giả nhanh phương trình lượng giác – Nguyễn Thành Longwww.mathvn.com.
KẾT LUẬN
Tr n đâ chỉ là vài kinh nghiệm góp nhặt được trong thời gian giảng dạy Toán cấp
trung học phổ thông và dĩ nh n khó có thể tránh khỏi những thiếu sót. Do đó, rất
mong quý Thầy Cô nào có cùng quan tâm đến vấn đề này xin vui lòng góp ý. Tôi xin
chân thành cảm ơn.
n a, tháng 04 – 2013
Người thực hiện

Nguyễn Vũ Khanh

THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 19


BM04-N ĐGSKKN

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị THPT Nam - Hà

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Biên Hòa, ngày

25

tháng 4

năm 2013

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2012 – 2013
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm: P ƯƠNG TRÌN LƯỢNG GIÁC ÔN T I ĐẠI HỌC
Họ và tên tác giả:

Nguyễn Vũ Khanh

Chức vụ: TTCM

Đơn vị: THPT Nam Hà Xã Hiệp Hòa, Tp Biên Hòa
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: ............................... 

- Phương pháp g á dục



- Lĩnh vực khác: ........................................................ 

Sáng kiến kinh nghiệm đ được triển khai áp dụng: Tạ đơn vị 

Trong Ngành 

1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)


-

Có giải pháp hoàn toàn mới

-

Có giải pháp cải tiến đổi mới từ giả pháp đ

ó



2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
-

Hoàn toàn mớ và đ tr ển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 

-

Có tính cải tiến hoặ đổi mới từ những giả pháp đ
toàn ngành có hiệu quả cao 

-

Hoàn toàn mớ và đ tr ển khai áp dụng tạ đơn vị có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặ đổi mới từ những giả pháp đ
vị có hiệu quả 

ó và đ tr ển khai áp dụng trong

ó và đ tr ển khai áp dụng tại đơn

3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạ h định đường lối, chính sách:
Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đưa ra á g ải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ
đ và
ộc sống:
Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đ được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả
trong phạm vi rộng:
Tốt 
Khá 
Đạt 
Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác nhận của người có
thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA PHÓ HIỆU TRƯỞNG
CHUYÊN MÔN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)

THPT Nam-Hà\SKKN 2012-2013\GV Nguyễn Vũ Khanh - 20