skkn sử DỤNG TÍNH đơn điệu của hàm số để GIẢI PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Phần 1: Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hiện nay ,giáo dục không ngừng được cải cách và đổi mới. Để kịp với xu hướng
này,rất nhiều yêu cầu được đặt ra. Một trong số đó chính là làm sao để có được những
phương pháp giải toán hay ,nhanh,mà vẫn cho kết quả chính xác. Phương pháp sử dụng
tính đơn điệu của hàm số là một phương pháp giải toán như vậy.
Có rất nhiều bài toán thoạt nhìn tưởng rất khó,nếu giải được thì lời giải sẽ khó
hiểu,rắc rối .Nhưng nếu áp dụng phương pháp này ,bài toán sẽ trở thành đơn giản ,gọn
hơn rất nhiều .Đó chính là một trong những ứng dụng của phương pháp này ,ngoài ra
phương pháp sử dụng tính đơn điệu còn phát huy sự ưu việt trong nhiều trường hợp khác
.
Nói tóm lại,phương pháp này rất cần thiết đối với các em học sinh đang chuẩn bị
ôn thi tốt nghiệp trung học phổ thông,thi đại học và cao đẳng.Nó sẽ giúp các em phát huy
tối đa tính sáng tạo trong việc tìm ra con đường giải toán nhanh nhất ,hay nhất và chính
xác nhất .
Trong quá trình dạy học môn toán ở bậc trung học phổ thông, chúng ta gặp rất
nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức ,giải phương trình ,bất phương trình ,hệ phương
trình.Để giải các bài toán dạng trên có bài ta giải được bằng nhiều phương pháp khác
nhau , cũng có bài chỉ có thể giải được bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm
số.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán là một phương pháp hay,thông thường
để giải quyết một bài toán sẽ đơn giản,gọn nhẹ hơn so với phương pháp khác .
Tuy nhiên để học sinh có kỹ năng ta cần hệ thống hoá lại bài tập ,để học sinh và giáo viên
bớt lúng túng hơn.
Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán ,chiếm một vị trí đặc
biệt quan trọng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình ,bất
phương trình ,hệ phương trình.Phương pháp này dựa trên mối liên hệ giữa tính đồng biến
và nghịch biến của một hàm số với đạo hàm của nó .
[Type text]

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Để sử dụng phương pháp này,điều cốt yếu là chúng ta cần xây dựng một hàm số
thích hợp ,rồi nghiên cứu tính đồng biến ,nghịch biến của nó trên đoạn thích hợp.Các
hàm số ấy trong nhiều trường hợp có thể nhận ra ngay từ đầu ,còn trong các trường hợp
đặc biệt ta cần khôn khéo để phát hiện ra chúng .
Phần 2 : PHƯƠNG PHÁP ,CÁCH THỨC THỰC HIỆN .
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1) Nhắc lại tính đơn điệu của hàm số
a) Hàm số y = f(x) gọi là tăng hay đồng biến trong khoảng (a;b) nếu với mọi x1;x2
thuộc khoảng (a;b) mà x1 < x2 thỡ f(x1) < f(x2).
b) Hàm số y = f(x) gọi là giảm hay nghịch biến trong khoảng (a;b) nếu với mọi
x1;x2 thuộc khoảng (a;b) mà x1 < x2 thỡ f(x1) > f(x2).
2) Điều kiện cần và điều kiện đủ của tính đơn điệu
Định lý 1(điều kiện cần): Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b).
a. Nếu hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b ) thì f '(x)  0, x(a;b) .
b. Nếu hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b ) thì f '(x)  0,x(a;b).
Đ ịnh lý 2(điều kiện đủ) : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b).
a. Nếu f '(x) > 0, x(a;b) thỡ hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b ).
b. Nếu f '(x) < 0, x(a;b) thỡ hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b ).
Định lý 3 : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b).
a. Nếu f '(x)  0, x(a;b) , đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của
(a;b) thỡ hàm số f(x) tăng trong khoảng (a;b ) .
b. Nếu f '(x)  0, x(a;b), đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của
(a;b) thỡ hàm số f(x) giảm trong khoảng (a;b ).
3) Hàm số hằng:
Định lý 4 : Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a;b) và f '(x) = 0
x(a;b) thỡ hàm số y = f(x) không đổi trong khoảng (a;b).
[Type text]

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

B. MỘT SỐ BÀI TOÁN
I.
SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRèNH
1.Phương phỏp :
Sử dụng cỏc tớnh chất đơn điệu của hàm số để giải các phương trỡnh là dạng toỏn khỏ quen
thuộc. Ta có các hướng ỏp dụng sau:
Hướng 1 : Thực hiện theo các bước :
Bước 1 : Chuyển phương trỡnh về dạng : f(x) = k (1)
Bước 2 : Xột hàm số y = f(x)
Dựng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu ( giả sử hàm số đồng biến)
Bước 3 : Nhận xột :
 Với x = x0 f(x) = f(x0) = k , do đó x = x0 là nghiệm.
 Với x > x0  f(x) f(x0) = k , do đó phương trỡnh vụ nghiệm.
 Với x < x0  f(x) Vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh.
Hướng 2: Thực hiện theo các bước:
Bước 1 : Chuyển phương trỡnh về dạng : f(x) = g(x) (2)
Bước 2 : Xột hàm số y = f(x) và y = g(x).
Dựng lập luận khẳng định hàm số y = f(x) là hàm đồng biến cũn hàm số y = g(x) là
hàm hằng hoặc hàm nghịch biến.
Xác định x0 sao cho f(x0) = g(x0).
Bước 3 : Vậy x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh.
Hướng
: Thực: hiện theo các bước:
2. Áp3 dụng
Bước 1 : Chuyển phương trỡnh về dạng f(u) = f(v) (3).
Bước 2 : Xột hàm số y = f(x) .

Dựng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu ( giả sử hàm số đồng biến)
Bước 3 : Khi đó : (3)  u = v với u, v Df
[Type text]


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Nhận xét :Bài toán này nếu khử căn dẫn đến số mũ cao hơn và phức tạp hơn .Nhưng nếu
ta quan sát thấy đạo hàm vế trái luôn dương trên tập xác định của nó thì ta áp dụng
tính đơn điệu sẽ hay hơn.
2.Áp dụng:
V ớ d ụ 1. Giải phương trỡnh : x5 + x3

1  3x + 4 =0

(1)

Nhận xét :Bài toán này nếu khử căn dẫn đến số mũ cao hơn và phức tạp hơn .Nhưng nếu
ta quan sát thấy đạo hàm vế trái luôn dương trên tập xác định của nó thì ta áp dụng
tính đơn điệu sẽ hay hơn.
Giải: Điều kiện: x  1/ 3 . Đặt f(x) = x5 +x3 - 1  3x +4
Ta cú f '(x) = 5x4 +3x2 +

3
> 0 với x < 1/3
2 1  3x

 f(x) đồng biến trờn (- ;

]

Vậy phương trỡnh (1) nếu cú nghiệm thỡ nghiệm đó là duy nhất.
Mặt khỏc x = -1 thỏa phương trỡnh (1) nên phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất x = -1.
Ví dụ 2.Giải phương trình:

(2)

Nhận xét :Bài toán này nếu khử căn dẫn đến số mũ cao hơn và phức tạp hơn .Nhưng nếu
ta quan sát thấy trong căn có chung “ x2 – x ” và đạo hàm

luôn dương

(với t = x2 – x ) trên tập xác định của nó thì ta áp dụng tính đơn điệu sẽ hay hơn.
Giải : Điều kiện :
Đặt t = x2 – x
[Type text]

 -1≤ x ≤ 2


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Phương trình trở thành :

, đk 3≤ t ≤ 2
với -3≤ t ≤ 2

Xét hàm số f(t) =
Ta có f '(t) =

> 0  t(-3; 2) .Suy ra hàm số đồng biến trên (-3; 2).

+

Do đó : phương trình (2a) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Thấy t = 1 thỏa mãn phương trình (2a)
Khi đó : x2 –x = 1 

. Vậy phương trình có nghiệm

V ớ d ụ 3. Giải phương trỡnh : 3x2

.

18x + 24 =

(3)

Nhận xét :Bài toán này học sinh khử dấu giá trị tuyệt đối dẫn đến nhiều trường hợp và
phức tạp hơn.Nhưng ta quan sát thấy biểu thức chứa trong hai giá trị tuyệt đối nếu bình
phương từng cái và trừ cho nhau dẫn đến vế trái của phương trình nên tìm cách đưa
về phương trình dạng f(u) = f(v)( Hướng 3) sẽ giải dễ dàng hơn.
Giải : Điều kiện : x ≠
(3)  (2x – 5)2

5
2

và x ≠ 1.

= (x

1)2



(*)

Xột hàm số f(t) = t2
Đạo hàm f '(t) = 2t +
Khi đó : (*) 

với t > 0
> 0 , t > 0 nờn hàm số đồng biến trờn ( 0 ; +)
=

x=4vx=2

Vậy phương trỡnh cú hai nghiệm x = 4 và x = 2.
[Type
V ớtext]
dụ

4. Giải phương trỡnh : x3

x2 + 78x

(4)

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Nhận xét :Bài toán này nếu khử căn dẫn đến số mũ cao hơn và phức tạp hơn .Nhưng nếu
ta quan sát thấy số bậc của vế trỏi và số bậc căn của vế phải giống nhau thỡ ta biến đổi
về Hướng 3 theo dạng f(u) = f(v) thì ta áp dụng tính đơn điệu sẽ dễ dàng hơn.
Giải: TXĐ: D = R
(4) 


) (*)

Xột hàm số f(t) = t3 + 5t với t R
Ta cú f '(t) = 3t2 + 5 > 0 ,
 Hàm số đồng biến trờn R

Khi đó (*) 




Vậy phương trỡnh (4) cú nghiệm x = 4 ;
V ớ d ụ 5. Giải phương trỡnh :

.

. (5)

Nhận xét :Bài toán này học sinh sẽ lúng túng vì hai cơ số không giống nhau.Nhưng ta
Nhận xét :Quan sát thấy biểu thức chứa trong logarit của hai vế chung “ x2 – 2x” nên
đặt ẩn phụ cho nó rồi tìm cách đưa về phương trình mũ và áp dụng tính đơn điệu sẽ giải

dễ dàng hơn.

[Type text]


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

 x < 1-

Giải : Điều kiện :
(5) 

v x > 1+

.

.



(a)

Đặt t = x2 – 2x – 4 ( t > 0 ), khi đó :
(a) 

(b)

Đặt y =
(b) 





=

= 1 (c)

là hàm số nghịch biến trên (-;+) nên phương trình (c) có

Hàm số f(y) =

nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Nhận xét thấy y = 1 là nghiệm của phương trình (c)
Khi đó : t = 4  x2 – 2x – 4 = 4  x = 4 v x = -2.
Vậy phương trình (5) có nghiệm x = 4, x = -2 .
V ớ d ụ 6. Giải phương trỡnh :

=

(6)

Nhận xét :Bài toán này học sinh sẽ lúng túng vì VT có cơ số còn VP là đa thức.Nhưng ta
quan sát thấy biểu thức

phân tích được (x2 – x) – (x – 1 ) giống số mũ của VT

nên đặt ẩn phụ cho nó rồi tìm cách đưa về phương trình dạng f(u) = f(v)( Hướng 3) sẽ
giải dễ dàng hơn.
Giải : (6) 

+x–1=

+ x2 – x

 f(x – 1) = f(x2 – x ) (*)

[Type text]


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Xét hàm số f(t) =

+t

TXĐ: D = R
f '(t) =

.ln2 + 1 > 0  tD  hàm số đồng biến trên (-;+)

Vậy (*)  x2 – x = x – 1  x = 1
Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
V ớ d ụ 7. Giải phương trỡnh :

x>0

Giải : Điều kiện :
Đặt t =

x=

.


Phương trình trở thành :
Vì hàm số f(t) =

=



+

= 1 (7)

đồng biến trên (-;+) nên phương trình (7) có nghiệm thì

+

nghiệm đó là duy nhất .
Thấy t = -1 là nghiệm của phương trình (7)
Khi đó :

x= .

Vậy phương trình có nghiệm x = .

V ớ d ụ 8. Giải phương trỡnh :

[Type text]

. (8)


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Nhận xét :Bài toán này học sinh sẽ lúng túng vì VT có logarit và số mũ .Nhưng ta quan
sát thấy biểu thức trong căn và số mũ đưa về

nên đặt ẩn phụ rồi tìm cách đưa

về phương trình dạng f(u) = f(v)( Hướng 3) sẽ giải dễ dàng hơn.
Giải : Điều kiện : x ≤ 1 v x ≥ 2
Đặt t =

= 1 – t 2.

, t ≥ 0. Suy ra

Khi đó (8) có dạng :
–

. (*)
–

Xét hàm số f(t) =
f '(t) =

+

với t ≥ 0.

=
.ln5 > 0 ,  t[0;+).

Suy ra hàm số đồng biến trên [0;+).
Mặt khác : f(1) =

= 2.

Vậy (*)  f(t) = f(1)  t = 1 
Vậy phương trình có nghiệm x =

= 1 x=

.

.

II. SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRèNH
1.Phương phỏp :
Thực hiện theo các bước:
Bước 1 : Đặt điều kiện cho cỏc biểu thức trong hệ cú nghĩa.
Bước 2 : Từ hệ ban đầu, chúng ta xác định được một phương trỡnh hệ quả một ẩn hoặc
[Type text]

cả hai ẩn.Giải phương trỡnh này bằng phương pháp hàm số đó biết.

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

2. Áp dụng :
V ớ d ụ 1. Giải hệ phương trỡnh :

Nhận xét :Trong phương trỡnh (1) xuất hiện dạng hàm số f(x) = f(y) và đạo hàm luôn
dương nên ta dùng phương pháp hàm số cho phương trỡnh (1).
(1) 



(*)

Xột hàm số f(t) =
f '(t) =

.Suy ra hàm số đồng biến trờn R

(*) x = y thế vào (2) ta được : 3

= 12  x =

.

Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (2;2) ; (-2;-2)
V ớ d ụ 2. Giải hệ phương trỡnh :

Nhận xét :Trong hệ phương trỡnh trờn là loại hệ phương trỡnh đối xứng loại 2.Khi đó
ta trừ hai phương trỡnh cho nhau ,ta thấy xuất hiện hàm số f(x) = f(y).
Hệ phương trỡnh 



(*)

Xột hàm số f(t) =
f '(t) =

.Suy ra hàm số đồng biến trờn R

(*) x = y thế vào (3) ta được :
[Type text]



(**)


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Xột hàm số f(x) =
.Suy ra hàm số đồng biến trờn R

f '(x) =
tại x = 1 thỏa f(1) = 0

Do đó phương trỡnh (**) cú nghiệm duy nhất x = 1
Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (1;1) .

V ớ d ụ 3. Giải hệ phương trỡnh :

Nhận xét : Hệ phương trỡnh trờn thoạt nhỡn ta thấy khó. Nhưng ta quan sát kỹ phương
trỡnh (5) là phương trỡnh bậc hai theo x(xy+2) và cú duy nhất nghiệm nên ta rút được
.Do đó ta dự đoán đưa về hàm số f(

y=

và dựng hàm số để giải.

Điều kiện : x ≠ 0



(5) 



Ta được:


(*)

Xột hàm số f(t) =
.Suy ra hàm số đồng biến trờn R

f '(t) =
(*)

=

x=2y=

Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (x ; y) = (2;
[Type text]

thế vào (4)


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

V ớ d ụ 4. Giải hệ phương trỡnh :

Nhận xét : Hệ phương trỡnh trờn thoạt nhỡn ta thấy khó. Nhưng ta quan sát kỹ phương
trỡnh (6) xuất hiện “2(3 – y) = (5 – 2y)+1” tương tự “

”.Do đó ta dự đoán đưa

và dựng hàm số để giải.

về hàm số f(

Điều kiện :



(6) 

(*)

Xột hàm số f(t) = (t2 + 1) t có đạo hàm f '(t) = 3t2 + 1 > 0,

Suy ra hàm số đồng biến trờn R
(*)  2x =



4x2 +

thế vào (7) ta được:
( 8)

Nhận thấy x = 0 và x = khụng phải là nghiệm của phương trỡnh (8).
Xột hàm số g(x) = 4x2 +

trờn (0;

g '(x) = 8x – 8x

trờn (0;

Suy ra g(x) nghịch biến trờn (0;
Tại x =  g(
Suy ra pt(8) cú nghiệm duy nhất x =
[Type text]



.


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (x ; y) = (

.

V ớ d ụ 5. Giải hệ phương trỡnh :

Nhận xét : Hệ phương trỡnh trờn thoạt nhỡn ta thấy khó. Nhưng ta quan sát kỹ phương
trỡnh (9) xuất hiện “

” và “

”cú thể đưa về hằng đẳng thức.Do đó

ta dự đoán đưa về hàm số f(

và dựng hàm số để giải.

Hệ phương trỡnh 

(10) 



(9)  f ( x – 1 ) = f( y + 1) (*)
Xột hàm số f(t) = t3 – 12t trờn [
Suy ra hàm số nghịch biến trờn [

cú f '(t) = 3t2 – 12 = 3( t2 – 4 ) < 0,

[

.

(*)  x – 1 = y + 1  y = x – 2 thế vào (10) ta được :
4x – 8x + 3 = 0 
2




Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (

;

Phần 3 : HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI .
Sử dụng phương pháp tính đơn điệu của hàm số để giải phương trỡnh và hệ phương trỡnh
giỳp cho bài toỏn trở nờn ngắn gọn và cú hiệu quả cao.Nú giỳp cho học sinh và giỏo
viờn
[Type text]


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

trỡnh bày một cỏch lụgic và làm vấn đề đơn giản hơn nhiều so với ban đầu.Phương pháp
này gúp phần rất lớn trong giải toỏn ,khụng phải chỉ có phương trỡnh ,bất phương trỡnh
và
hệ phương trỡnh mà cũn ỏp dụng cho nhiều bài toỏn khỏc : như tỡm giỏ trị lớn nhất và
nhỏ nhất của hàm số,chứng minh bất đẳng thức,...Thậm chớ , một số phương trỡnh và bất
phương trỡnh chớ ỏp dụng phương pháp này mới giải quyết được vấn đề.

Sau khi thực hiện phương pháp này ,các lớp tụi dạy cú hiệu quả rừ rệt.Nú gúp một
phần vào tỉ lệ đậu tốt nghiệp và đại học.Cụ thể năm 2011 – 2012 , các lớp tụi dạy đều
đạt tốt nghiệp 100% và số lượng đậu Đại học cao hơn nhiều so với năm trước đó.
Phần 4 : KẾT LUẬN .
-Sau khi được rèn luyện hệ thống kiến thức trên,các em học sinh đã mạnh dạn hơn ,linh
hoạt hơn trong việc dùng đạo hàm để giải toán .
-Cái hay của cách giải này là sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số để giải phương
trình.
-Tránh phải xét nhiều trường hợp ở một số bài toán.
-Tránh việc bình phương hai vế dễ dẫn đến sai sót ,thừa nghiệm và tránh việc giải
phương trình bậc cao.
Nội dung phương pháp này chỉ nờu một số vớ dụ không đáng kể trong mụn toỏn, bờn
cạnh
đó có những gợi ý nho nhỏ để học sinh nhận dạng bài toán .Đây cũng là một phương
phỏp giải toỏn nhằm nõng cao chất lượng cho việc dạy của giỏo viờn và việc học cho học
sinh ( phương pháp này hơi nghiêng về học sinh khỏ – giỏi).
Nội dung phương pháp này không phải là vấn đề mới mẻ mà các đồng nghiệp khác đó

[Type text]


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

thực hiện từ lõu. Tuy nhiờn, tụi muốn đưa ra đây để các đồng nghiệp đóng góp ý kiến
xõy
dựng thờm giỳp tụi hoàn thiện hơn trong phương pháp giảng dạy sau này nhằm đạt kết
quả cao nhất.

Phần 5 :TÀI LIỆU THAM KHẢO .
1. Phương pháp giải toỏn Đạo hàm và ứng dụng của tỏc giả Ths.Lờ Hồng

Đức(chủ biờn) của Nhà xuất bản Đại học sư phạm , năm xuất bản 2004.
2. Một số đề thi Đại học của các năm và bài tập tham khảo.

Biờn Hũa ngày 25 thỏng 05 năm 2013
Người thực hiện

Ninh Thế Phụng

[Type text]


SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH.

[Type text]