skkn hướng dẫn học sinh 12 làm tốt bài toán tính thể tích khối lăng trụ

HƯỚNG DẪN HỌC SINH 12
I
N NH H
CH H I
I. Ý D

CHỌN ĐỀ

NG

I

Làm thế nào để học tốt môn toán ? Đó là băn khoăn chung của học sinh, là sự
lo lắng, lung túng đối với học sinh có học lực trung bình yếu. Để giải quyết câu hỏi
này, ngoài việc đòi hỏi các em sự cần cù, tích cực phấn đấu; còn cần phải có phương
pháp học tập phù hợp, phải căn cứ vào tính đặc thù từng môn học để có cách làm thật
c thể. hương pháp học tốt là có thể bỏ công sức ít mà kết qủa đạt cao. Penna - nhà
sinh lý học người háp đã nói : “ hương pháp học tốt giúp ta phát huy được tài năng
vốn có, phương pháp học dở sẽ cản trở phát triển tài năng”. Do đó , cần hướng d n
cho học sinh có m t phương pháp học tập c thể, phù hợp với khả năng tiếp thu của
các em.
Rất nhiều học sinh gặp khó khăn, lúng túng trong việc định hướng giải m t bài
toán hình, đặc biệt là hình học không gian. Các em qúa coi trọng việc học thu c định
lý, công thức mà không chú ý các thao tác trong quá trình dựng hình, phương pháp
chứng minh các định lý và công thức đó. Do đó, trong thực tế đã có những trường
hợp thu c định lý và công thức nhưng không thể vận d ng vào để giải bài tập. Hiểu
rõ n i dung của định lý, quy tắc và công thức không những giúp ích cho việc nắm
vững các định lý mà còn biết được phương pháp làm bài tập. Do vậy cần coi trọng
quá trình hướng d n các em phân tích đề bài, biết suy luận và nắm vững tiến trình
khi giải m t bài toán liên quan đến tính thể tích khối đa diện..
Với quan điểm dạy học là nhằm phát huy tích tích cực và tính đ c lập về nhận

thức của học sinh. Rõ ràng hướng d n học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở
việc cung cấp cho học sinh những bài giải m u mà còn phải hướng d n cho học sinh
suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng bu c giữa giả thiết và kết luận của bài
toán, từng bước giúp học sinh đ c lập suy nghĩ để giải bài toán. Từ thực tế giảng dạy,
tôi đã rút ra được m t số kinh nghiệm về việc hướng d n học sinh lớp 12 biết phân
tích, nhận dạng và giải quyết bài toán tính thể tích của khối đa diện nói chung và khối
lang tr nói riêng..
Để giúp các em chủ đ ng giải quyết m t bài toán tính thể tích khối đa diện, tiếp
t c với chuyên đề hướng d n học sinh làm tốt bài toán tính thể tích khối chóp, lần này
tôi chọn đề tài : H

ă

rụ.

II. HỰC

ẠNG

ƯỚC

HI HỰC HIỆN C C GIẢI PH P CỦA ĐỀ

I

.

uậ ợ
- ua quá trình giảng dạy tại trương ph thông, với nhiều đối tượng học sinh với lực
học chênh lệch nhau nên ít nhiều tôi đã tích lũy được m t số kinh nghiệm cho bản

thân trong việc hướng d n học sinh các bước để giải m t bài toán hình học không
gian.
1


- Việc được góp ý sau những lần dự giờ, được trao đ i chuyên môn với đồng nghiệp
đã giúp tôi ngày càng tích lũy, học hỏi được m t số kinh nghiệm trong việc giảng dạy
về hướng d n học sinh giải bài tập m t cách chủ đ ng.
- ua việc tôi được điều đ ng chấm thi tốt nghiệp TH T hàng năm cũng đã ít nhiều
giúp tôi có được cách nhìn khái quát về những ưu, khuyết trong việc học sinh thực
hiện các bước c thể khi giải m t bài toán hình có liên quan đến tính thể tích khối đa
diện.
.

ó

ă

- hả năng tiếp thu của học sinh trong m t lớp thường có sự chênh lệch lớn nên việc
truyền đạt sao cho cho mọi đối tượng học sinh trong lớp đều hiểu bài và nắm vững
n i dung bài học qua các tiết dạy thật sự còn rất nhiều khó khăn.
- hông ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ đ ng phân
tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết bài toán mà các em chỉ
làm m t cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chính xác, đôi lúc không phân
biệt được đâu là giả thiết, đâu là phần cần chứng minh. Do đó kết quả đạt được không
như mong đợi.
- Học hình học nói chung và hình học không gian nói riêng thật sự là m t điều ngán
ngại của đa số học sinh vì tính chất đặc thù của môn học và sự thiếu n lực của bản
thân các em.
3. S

ệu

ê.

ua thống kê sơ b điểm kiểm tra 1 tiết của môn toán với n i dung tính thể khối lăng
tr của 2 lớp; 12A7 ; 12A9 năm học 2010 - 2011, lớp 12A3 ; 12A11 năm học 2011 - 2012,
kết qủa như sau :
+ Bài kiểm tra m t tiết (2010 - 2011 ), trong 92 bài kiểm tra có :





6 bài diểm 8
13 bài điểm 6, 7
21 bài điểm 5
52 bài điểm dưới 5

tỷ lệ 6,5 %
tỷ lệ 14,1 %
tỷ lệ 22,8 %
tỷ lệ 56,6 %

+ Bài kiểm tra m t tiết (2011 - 2012 ), trong 91 bài kiểm tra có :
 7 bài diểm 8
tỷ lệ 7,7 %
 19 bài điểm 6, 7
tỷ lệ 20,9 %
 26 bài điểm 5

tỷ lệ 28,6 %
 39 bài điểm dưới 5
tỷ lệ 42,8 %

2


III. NỘI DUNG ĐỀ
I
1. Cơ ở ý uậ
uy trình dạy học được hiểu là t hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được
tiến hành theo m t trình tự nhất định trên m t đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn,
quy trình bốn bước của Polya để giải m t bài toán gồm :





Bước 1 : Tìm hiểu n i dung bài toán
Bước 2 : Xây dựng thuật giải
Bước 3 : Thực hiện thuật giải
Bước 4 : iểm tra, nghiên cứu lời giải

M t trong những nhiệm v dạy học môn toán chương trình ph thông đặc biệt
là dạy hình học là hướng d n từng thao tác: dựng hình, tìm mối liên hệ giữa giả thiết
và điều cần chứng minh, nghĩa là biết vận d ng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về
hình học phẳng và các công thức có liên quan vào giải toán. Để giải m t bài toán tính
thể tích khối lăng tr ta thực hiện theo các bước sau :
 Bước 1 : Đọc k n i dung đề bài, phân tích và nhận dạng khối lăng tr .
 Bước 2 : Dựng hình và thể hiện n i dung giả thiết đã cho trên hình vẽ.

 Bước 3 : Xác định đường cao của khối lăng tr và hình thành công thức tính
thể tính khối lăng tr .
 Bước 4 : Dựa vào công thức tính thể tích để tìm các các cạnh và góc liên quan.
Tuy nhiên qua thực tế , việc học và nắm vững các bước trên để vận d ng vào
giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là m t qúa trình trừu tượng
hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học. Do vậy, thông qua m t số
bài toán c thể để hướng d n các em làm quen dần với việc giải bài toán tính thể tích
khối lăng tr .
2. Nộ u ,
ồm ba phần:

ệ p

p

ự

ệ

ả p

p ủa đề

.

: Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh lớp 12 học tốt n i dung tính
thể tích khối lăng tr .
1 hững khó khăn và những sai lầm mà học sinh thường mắc phải.
2 Biện pháp khắc ph c.
hai: Hệ thống kiến thức cơ bản vế hình học lớp 10 và lớp 11

: Tính thể tích khối lăng tr
1 hối lăng tr (xiên)
2 hối lăng tr đứng
3 hối lăng tr đều
4/ Khối h p, khối h p chữ nhật, khối lập phương

3


ự

PH N Ộ
ả p p u
ộ u

r

p

p 12
ă
rụ
.
hi giải bài toán hình học không gian nói chung và bài toán tính thể tích khối
lăng tr nói riêng, học sinh phải có kiến thức cơ bản về hình học ở các lớp dưới, k
năng phân tích n i dung đề bài và dựng hình trong không gian, qua đó thấy được mối
quan hệ giữa kiến thức cũ và mới, giữa bài toán đã gặp và bài toán đang giải quyết, tứ
đó hình thành phương pháp giải toán bền vững và sáng tạo. Trong thực tế, đa số học
sinh không nhớ các kiến thức liên quan đến tam giác, tứ giác , lúng túng trong việc
phân tích n i dung đề bài để dựng hình, thậm chí không vẽ được m t hình đơn giản

chứ đừng nói đến chứng minh hay tính thể tích.
.
hắc ph c những hạn chế nêu trên, cần có những bước đi thật c thể:
+ Các tiết bài tập cần chu n bị thật chu đáo, phải được thiết kế theo trình tự từ
d đến khó, chú ý vào các dạng toán cơ bản, tạo hứng thú cho học sinh, giúp các em
quen dần với các dạng toán có liên quan.
+ Bài tập nêu trong sách giáo khoa thường rất phức tạp, do vậy khi hướng d n
học sinh ta cần điều chỉnh m t số giả thiết cho phù hợp với khả năng nhận thức của
các em.
+ Cần tạo điều kiện cho các em có sự chu n bị bị ở nhà theo t nhóm, qua m i
dạng toán cần hướng d n các em nhận x t để rút ra những bài học kinh nghiệm nhằm
khắc sâu kiến thức và rèn luyện k năng giải bài toán tính thể tích.
Hệ
ơ ả

.
H

ứ
 Đị

ợ

PH N HAI
ơ ả
p 10

ề

o

ý

ô

: Cho

p

ABC vuông

p 11

ở A ta có :
A

o : BC 2  AB 2  AC 2

 BA 2  BH .BC ; CA2  CH .CB
 AB. AC = BC. AH
1
1
1



2
2
AH
AB
AC 2

 AH2 = BH.CH

c
B

b

h
c’

M b’

H

C

a

 BC = 2AM
b
a

c
a

b
c

 sin B  , cosB  , tan B  , cot B 

c
b

 b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =

b
b

sin B cos C

 b = c. tanB = c.cot C
4


H
ứ
ợ
o
* Định lý hàm số Côsin:

:
a 2  b 2  c 2  2bc.cos A
b 2  a 2  c 2  2ac.cos B
c 2  a 2  b 2  2ab.cos C
a
b
c


 2R

sin A sin B sin C

* Định lý hàm số Sin:

ô
ứ
d
.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:

1
1
1
bhb = chc
2
2
2
1
1
1
 S  a.b.sin C  a.c.sin B  b.c.sin A
2
2
2
abc
 S
( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC )
4R
 S  pr
( r là bán kính đường tròn n i tiếp ABC )

 S  aha =

 S  p.( p  a)( p  b)( p  c)
 Đặ

với

p

abc
2

1
2

: ABC vuông tại A: S  AB. AC
ABC đều cạnh a: S 

b/ Diện tích hình vuông :
c/ Diện tích hình chữ nhật :
d/ Diên tích hình thoi :

a2 3
4

S = cạnh x cạnh
S = dài x r ng
1
S = (ch o dài x ch o ngắn)

2
1
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2

d/ Diện tích hình thang :

S

e/ Diện tích hình bình hành :
f/ Diện tích hình tròn :

S = đáy x chiều cao
S   .R 2

2.

- rông)

ơ ả

ề

a

p 11

QUAN HỆ SONG SONG – QUAN HỆ VUÔNG GÓC
A. QUAN HỆ SONG SONG
1. ĐƯỜNG HẲNG V

Đ Nếu đườ
ẳ d
k
ằm r mp P)
và so so với đườ
ẳ a ằm r mp P)
ì đườ
ẳ d so
so với mp P)

Ặ PHẲNG S NG S NG
d

d  (P)

d / /a  d / /(P)
a  (P)


a
(P)

5


Đ
Nếu đườ
ẳ
a so so với mp P)
ì mọi mp Q)

a a
mà ắ mp P) ì ắ
eo iao uyế so
so với a.
Đ 3 Nếu
ai mặ
p ẳ
ắ
au ù
so
so
với mộ
đườ
ẳ
ì iao
uyế
ủa
ú g song
so
với đườ
ẳ
đó.

a/ /(P)

 d / /a
a  (Q)
(P)  (Q)  d


(P)

d
a
Q
P

Ặ PHẲNG S NG S NG

a,b  (P)

 (P) / /(Q)
a  b  I
a/ /(Q),b / /(Q)


(P) / /(Q)
 a/ /(Q)

a  (P)

a
P b I
Q

a
P
Q

R

(P) / /(Q)

(R)  (P)  a  a/ / b
(R)  (Q)  b


B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1.ĐƯỜNG HẲNG VUÔNG GÓC VỚI
Đ
Nếu đườ
ẳ
d vu
ó với ai
đườ
ẳ
ắ
au
a và b ù
ằm ro
mp P) ì đườ
ẳ
d vu
ó với mp P).

a
d

(P)  (Q)  d


 d / /a
(P) / /a
(Q) / /a


2. HAI
Đ
Nếu mp P)
a
ai đườ
ẳ a, b
ắ
au và
ù
so
so
với mặ
p ẳ
Q) ì P) và
Q) so
so
với
nhau.
Đ
Nếu mộ đườ
ẳ
ằm mộ ro
ai mặ p ẳ
so
so

ì so so với
mặ p ẳ kia.
Đ 3 Nếu ai mặ
p ẳ
P) và Q) so
so
ì mọi mặ
p ẳ
R) đã ắ P)
ì p ải ắ Q) và á
iao uyế ủa ú
song song.

(Q)

d  a ,d  b

a ,b  mp(P)  d  mp(P)
a,b caétnhau


P

a
b

Q

Ặ PHẲNG
d

b
P

a

6


Đ
(Ba đườ vu
ó )
o đườ
ẳ
ak
vu
ó với
mp P) và đườ
ẳ
b ằm ro
P). K i
đó, điều kiệ ầ và đủ
để b vu
ó với a là
b vu
ó với ì
iếu a’ ủa a r
P).

a

a  mp(P),b  mp(P)
b  a  b  a'

3. HAI

Ặ PHẲNG VUÔNG GÓC

Đ Nếu
mộ
mặ
p ẳ
a mộ đườ
ẳ vu
ó với mộ a  mp(P)
 mp(Q)  mp(P)
mặ p ẳ k á
ì ai 
a

mp(Q)
mặ p ẳ đó vu
ó 
với au.
Đ Nếu ai mặ p ẳ
(P) và (Q) vuông góc
với
au
ì bấ
đườ

ẳ a ào ằm
ro
P), vu
ó với
giao uyế
ủa P) và
Q) đều vu
ó với
mặ p ẳ
Q).

b

a'

P

(P)  (Q)

(P)  (Q)  d  a  (Q)
a  (P),a  d


Đ 3 Nếu
ai mặ
p ẳ
P) và Q) vu
ó với
au và A là
mộ điểm ro

P) ì
đườ
ẳ
a đi qua
điểm A và vu
ó với
Q) sẽ ằm ro
P)

(P)  (Q)

A  (P)
 a  (P)

A

a

a  (Q)

Đ 4 Nếu
ai mặ
p ẳ
ắ
au và ù
vu
ó
với mặ
p ẳ
ba ì iao

uyế ủa ú vu
ó với mặ p ẳ
ba.

(P)  (Q)  a

 a  (R)
(P)  (R)
(Q)  (R)


Q
a

P

P
a

Q

d

P
a
A

Q

P

Q
a

R

7


3.

H ẢNG C CH

1. K o
ừ
ớ
ẳ ,
ế
ặ
ẳ
K oả
á ừ điểm M đế đườ
ẳ a oặ
đế mặ p ẳ
P)) là k oả
á
iữa ai điểm
M và , ro đó là ì
iếu ủa điểm M r
đườ

ẳ a oặ r mp P))
d(O; a) = OH;

O

O
H

a

P

d(O; (P)) = OH

2. K o
ẳ
ặ
ẳ
song song:
K oả
á
iữa đườ
ẳ a và mp P) so
so với a là k oả
á ừ mộ điểm ào đó ủa
a đế mp P).
d(a;(P)) = OH

ẳ
ó

u

O

a

P

3. K o
ặ
ẳ
o
o
là k oả
á ừ mộ điểm bấ kỳ r mặ p ẳ
ày đế mặ p ẳ kia.
d((P);(Q)) = OH
4.K o
nhau:
là độ dài đoạ vu
ẳ đó.
d(a;b) = AB

H

H

O

P

H

Q

éo

a

A

ủa ai đườ
b
B

4. GÓC
.G
ẳ
là ó iữa ai đườ
ẳ a’ và b’ ù đi qua
mộ điểm và lầ lượ ù p ươ với a và b.

a

a'

b'
b

.G
ặ
ẳ ( )
là ó iữa a và ì

ẳ

ô

ô

ớ

iếu a’ ủa ó r

mp P).

Đặ
: Nếu a vu
ó với mặ p ẳ
P) ì
a ói rằ
ó iữa đườ
ẳ a và mp P) là
0
90 .

a

P

a'

8


3. G
ặ
ẳ
là ó iữa ai đườ
ẳ
với ai mặ p ẳ đó.

b

a

lầ lượ vu

ó
Q

P

oặ là ó iữa 2 đườ
ẳ
ằm ro 2
mặ p ẳ
ù vu
ó với iao uyế ại 1

điểm

a

b

Q

P

S

4. D
ì
ế : Gọi S là diệ
iá
) ro mp P) và S’ là diệ í
’) ủa ) r mp P’) ì

í
ì

ủa đa
iếu

S'  Scos
ro

đó:  là ó

iữa ai mặ p ẳ

C



A

P)và P’).
B

C. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN XOAY

1. H
H I

V = B.h

CH
NG

:

ộp

a)

(B: Sđáy ; h: chiều cao)

ữ

ậ:

V = a.b.c
(a,b,c là ba kích thước)

b)

ập p
với a là đ dài cạnh

2. H

CH

ơ

:

H I CHÓP:

V = a3
(a là đ dài cạnh)

1
3

V= Bh
(B: Sđáy ; h: chiều cao)
S

C'
A'

3. Ỉ S
H
H I CHÓP

CH CỦA

VS . ABC
SA SB SC

VS . A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '

A

B'
C
B

9


A'

4. H
CH H I
CHÓP C :

h

( B  B ' B.B ' )
3

V

B'
C'

A

B

C

5.

1
1
V = Bh=  r 2h
3
3

H I NÓN

Sxq =  rl

V =Bh= r2h

6.

H I

Sxq = 2 rl

V=

7.

H IC U

4 3
r
3

S= 4 r 2

Chú ý:
1/ Đường ch o của hình vuông cạnh a là a 2 ,
Đường ch o của hình lập phương cạnh a là a 3 ,
Đường ch o của hình h p chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là a2  b2  c2 ,
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

a 3
2

3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau
(hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng tr đều là lăng tr đứng có đáy là đa giác đều.

PH N A

NH H
D

: H

CH

H I

CH
NG

H I

NG

(XIÊN)

o n 1.1 Cho lăng tr ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Mặt
bên  ABB ' A ' là hình thoi cạnh a . Mặt phẳng  ABB ' A ' vuông góc với đáy. óc giữa
mặt phẳng  ACC ' A ' với mặt phẳng  ABC  bằng  . Tính thể tích khối lăng tr
ABC.A ' B ' C ' theo a và  .
10


Hoạ
ủ
o
 Dự đ

ữ
ó ă ề ậ
ủa
:
+ Học sinh không không phân biệt được sự khác nhau giữa lăng tr (xiên) và lăng
tr đứng nên đa số vẽ các cạnh bên vuông góc với đáy.
+ Học sinh không xác định được đường cao của khối lăng tr
+ Học sinh không xác định được góc giữa hai mặt phẳng  ACC ' A ' và  ABC 
 H
p â
đề
đ ự
:
+ Dựng tam giác A ' B ' C ' và vẽ 3 cạnh bên A ' A; B ' B; C ' C song song và bằng nhau
( không vuông góc với đáy  ABC  ); vẽ tam giác ABC
+ Dựng H là hình chiếu vuông góc của A ' trên AB  A ' H   ABC 
+ Xác định góc giữa 2 mặt phẳng  ACC ' A ' và  ABC 
 H
r
ộ
ả
+ Xác định đường cao của khối lăng tr để hình thành công thức tính thể tích
+ Tính diện tích của ABC bằng công thức nào ?
+ Xác định góc giữa 2 mặt phẳng  ACC ' A ' và  ABC  để tính chiều cao h
:
ọi H là hình chiếu vuông góc của A’ trên AB
Dựng hình:

A’

B’
C’

A

)

B

H
C

 A ' H  AB
 ABB ' A '   ABC 

 ABB ' A '   ABC   AB  A ' H   ABC 
 A ' H  AB

ABC.A ' B ' C '
VABC . A ' B 'C '  A ' H .SABC
ABB ' A ' là hình thoi cạnh a và ABC vuông cân tại A
 AB  AC  a
1
a2
 SABC  AB 2 
2
2
A ' H   ABC   A ' H  AC 

  AC   ABB ' A '

AB  AC 

 AC  AA '
 ACC ' A '   ABC   AC

·
 AA '   ACC ' A ' ; AA '  AC  A ' AB   là góc giữa

 AB   ABC  ; AB  AC
hai mặt phẳng  ACC ' A ' và  ABC 

Trong A ' AH ta có :
A' H
 A ' H  AA '.sin   a sin 
AA '
a3 sin 
Vậy: VABC . A ' B 'C '  A ' H .SABC 
(đvtt)
2
sin  

11


o

1.2 Cho lăng tr ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C.
Biết CA  CB  a . Mặt phẳng  AA ' B ' B  vuông góc với đáy. AA '  a 3 và ·
A ' AB nhọn .
óc giữa mặt phẳng  ACC ' A ' với mặt phẳng  ABC  bằng 600 Tính thể tích khối lăng

tr ABC.A ' B ' C ' theo a
Hoạ
ủ
o
Dựa vào cách giải bài toán 1, giáo viên hướng d n học sinh phân tích đề bài, dựng
hình và tìm kết quả.
 H
p â
đề
đ ự
:
+ Dựng hình lăng tr ABC.A ' B ' C ' (như hình vẽ của bài toán 1)
+ Chú ý: ABC vuông cân tại C và óc giữa mặt phẳng  ACC ' A ' với mặt phẳng
 ABC  bằng 600
 H
r
ộ
ả :
+ Xác định đường cao của khối lăng tr để hình thành công thức tính thể tích
+ Tính diện tích của ABC ( ABC vuông cân tại C)
+ Xác định góc giữa 2 mặt phẳng  ACC ' A ' và  ABC  để tính chiều cao A ' H
:
ọi H là hình chiếu vuông góc của A’ trên AB

Dựng hình:

A’

B’

VABC . A ' B 'C '

C’

A

H

B

I
C

A
I

C

H

B

ABC.A ' B ' C '
 A ' H .SABC

1
a2
2
 SABC  AC 
2

2
Dựng HI  AC  I  AC 

600

)

 A ' H  AB
 ABB ' A '   ABC 

 ABB ' A '   ABC   AB  A ' H   ABC 
 A ' H  AB


A ' H   ABC   A ' H  AC 

  AC   A ' IH 
HI  AC 

 AC  A ' I
 ACC ' A '   ABC   AC

0
·
 A ' I   ACC ' A ' ; A ' I  AC  A ' IH  60

 HI   ABC  ; HI  AC
Trong A ' HA ta có:

A ' H  AA '2  AH 2  3a2  AH 2 (1)

AIH vuông cân tại I : AH 2  2IH 2
Trong A ' HI ta có:
A' H
A' H
A' H 2
2
IH 


IH

tan 600
3
3
12


 AH 2  2 IH 2 

2A' H 2
3

(2)

Từ (1) và (2) ta có:
2A' H 2
5
9a 2
 A ' H 2  3a 2  A ' H 2 
3

3
5
3
3 5a
Vậy : VABC . A ' B 'C '  A ' H .S ABC 
(đvtt)
10
A ' H 2  3a 2 

o

1.3 Cho lăng tr ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A và
AB  a; BC  2a Mặt bên  ABB ' A ' là hình thoi . Mặt phẳng  BCC ' B ' vuông góc với
đáy. óc giữa mặt phẳng  ABB ' A ' với mặt phẳng  BCC ' B ' bằng  . Tính thể tích
khối lăng tr ABC.A ' B ' C ' theo a và  .
Hoạ
ủ
o
 Dự đ
ữ
ó ă ề ậ
ủa
:
+ So sánh với bài toán 1 và 2 thì bài toán 3 có n i dung phức tạp hơn.
+ Học sinh không xác định được đường cao của khối lăng tr
+ Học sinh gặp nhiều khó khăn khi tính chiều cao của khối lăng tr
 H
p â
đề
đ ự

:
+ Dựng hình : cần chú ý xác định các đỉnh cho phù hợp
+ ABC vuông tại A và có AB  a; BC  2a
+ óc giữa mặt phẳng  ABB ' A ' với mặt phẳng  BCC ' B ' bằng 
+  BCC ' B '   ABC 
 H
r
ộ
ả :
+ Xác định đường cao của khối lăng tr để hình thành công thức tính thể tích
1
2

+ Tính diện tích của ABC ( ABC vuông tại A)  S ABC  AB. AC
+ Xác định góc giữa 2 mặt phẳng  ABB ' A ' và  BCC ' B ' để tính chiều cao B ' H
:
ọi H là hình chiếu vuông góc của B’ trên BC

Dựng hình:
B’

C’
A’

VABC . A ' B 'C '

I

ABC.A ' B ' C '
 B ' H .SABC

ABC vuông tại A

K
B

 B ' H  BC
 BCC ' B '   ABC 

 BCC ' B '   ABC   BC  B ' H   ABC 
 B ' H  BC


C

H
A

 AC  BC 2  AB2  4a2  a2  a 3
1
a2 3
S ABC  AB. AC 
2
2

13


ọi là hình chiếu vuông góc của A trên BC và I là
hình chiếu vuông góc của trên BB’

 AK  BC
 AK   BCC ' B '  AK  BB '

 AK  B ' H
 BB '  AK
 BB '   AIK   AI  BB '

 BB '  IK

 ABB ' A '   BCC ' B '   BB '

·
 AI   ABB ' A ' ; AI  BB '  AIK  

 KI   BCC ' B ' ; KI  BB '
Trong ABC :
1
1
1
4
a 3


 2  AK 
2
2
2
AK
AB
AC

3a
2
· '  BKI
·
ó ó ạ
ươ
vu
ó )
HBB
B ' H IK
IK
 BHB ' : BIK 

 B'H  a
BB ' BK
BK
ABK vuông tại K
3a 2 a
 BK  AB  AK  a 

4
2
2

2

2

AIK vuông tại K, ta có: IK 

 B'H 

AK
a 3

tan  2 tan 

aIK a 3

KB tan 

Vậy: VABC . A ' B 'C '  B ' H .SABC 

3a 3
(đvtt)
2 tan 

o 1.4 Cho lăng tr ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Điểm
A’ cách đều 3 điểm A,B,C.Cạnh bên AA’ tạo với đáy m t góc 60o.
Tính thể tích khối lăng tr ABC.A ' B ' C ' theo a
Hoạ
ủ
o
 Dự đ
ữ
ó ă ề ậ
ủa
:
+ hác biệt với 3 bài toán trên: đáy của hình lăng tr là m t tam giác đều cạnh a
+ Học sinh chưa hiểu được ý nghĩa n i dung: Điểm A’ cách đều 3 điểm A,B,C

+ Học sinh gặp khó trong việc xác định góc giữa cạnh bên AA’ tạo với đáy.
+ Trở ngại lớn nhất là xác định đường cao và tính chiều cao của khối lăng tr .
 H
p â
đề
đ ự
:
+ Dựng hình : cần chú ý đáy là tam giác đều và A ' cách đều 3 điểm A,B,C
a 3
2
2
a 3
+ Diện tích tam giác đều cạnh a là
4
+ óc giữa cạnh bên AA ' với mặt đáy bằng 600

+ Đường cao tam giác đều cạnh a là

14


 H
r
ộ
ả :
+ Vẽ ABC , xác định trọng tâm H của ABC ( cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC )
+ Xác định đường cao A ' H của hình lăng tr , hình thành công thức tính thể tích.
+ Tính diện tích tam giác đều ABC cạnh a
+ Xác định góc giữa AA ' và  ABC  từ đó tính chiều cao A ' H
:

ọi H là trọng tâm của ABC

Dựng hình:

 HA  HB  HC 
  A ' H   ABC 
A' A  A ' B  A 'C 

VABC . A ' B 'C '
A’

C’

A

B

M

2
a 3
AM 
3
3

1
a2 3
 AM .BC 
2
4

AH là hình chiếu vuông góc của AA’ trên  ABC 
C

H

ọi M là trung điểm của BC  AH 
S ABC

B’

ABC.A ' B ' C '
 A ' H .SABC

·
A ' AH  600 là góc giữa AA ' và  ABC 
AHA ' vuông tại H, ta có:

a 3
. 3a
3
a3 3
 A ' H .S ABC 
4

A ' H  AH .tan 600 

Vậy: VABC . A ' B 'C '

(đvtt)

o 1.5 Cho lăng tr ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Tâm O
của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của điểm A ' trên
 ABC  .Cạnh bên AA’ tạo với đáy m t góc 60o. Tính thể tích khối lăng tr ABC.A' B ' C '
theo a
Hoạ
ủ giáo viên:
 Dự đ
ữ
ó ă ề ậ
ủa
:
+ Học sinh không nhớ các tính chất của tam giác đều
+ Học sinh lung túng khi xác định đường cao của hình lăng tr (giả thiết đã cho)
+ hông xác định được góc giữa cạnh bên AA ' và mặt đáy  ABC 
 H
p â
đề
đ ự
:
+ Dựng hình tương tự hình vẽ bài toán 4 (thay điểm H thành điểm O)
+ Dựng A ' O   ABC 
A ' AO  600
+ Xác định góc giữa cạnh bên AA ' và mặt đáy  ABC  , đó là góc ·
 H
r
ộ
ả :
+ Xác định đường cao của khối lăng tr và hình thành công thức tính thể tích
a2 3

+ Tính diện tích tam giác đều ABC cạnh a : SABC 
4
+ Xác định góc giữa cạnh bên AA ' và mặt đáy  ABC  , từ đó tìm chiều cao A ' O

15


:

Ta có: A ' O   ABC 

Dựng hình:

VABC . A ' B 'C '
A’

C’

ọi M là trung điểm của BC  AM 
S ABC 

B’

A )60

ABC.A ' B ' C '
 A ' O.SABC
a 3
2

1
a2 3
AM .BC 
2
4

AO là hình chiếu vuông góc của AA’ trên  ABC 
·
A ' AO  600 là góc giữa AA ' và  ABC 

0

AOA ' vuông tại O, ta có:
a 3
A ' O  AO tan 600 
. 3a
3
a3 3
Vậy: VABC . A ' B 'C '  A ' O.S ABC 
4

C
O

M

B

ậ

(đvtt)

d
C’

A’

Bài 1. Cho lăng tr ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là
tam giác đều cạnh a . Biết cạnh bên bằng a 3
và tạo với đáy m t góc 60o. Tính thể tích khối
lăng tr ABC.A ' B ' C ' theo a

B’

) 60

A

0

C

ết quả:

H

VABC . A ' B 'C '  C ' H .S ABC 

3 8a 3
(đvtt)

8

B

A’

C’

B’

A

)600

300(
G

M

C

Bài 2. Cho hình lăng tr tam giác ABC.A’B’C’
có đáy ABC là tam giác vuông tại B với
·
ACB  300 và AA '  a .
óc giữa đường thẳng
AA’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Hình chiếu
vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC)
trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể
tích của khối lăng tr ABC.A’B’C’ theo a .

B

ết quả:

VABC . A ' B 'C '  A ' G.SABC 

27a 3
(đvtt)
112

16


D

: H

CH

H I

NG

ĐỨNG

o 2.1 Cho lăng tr đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
A. Biết BC  a 2 và A ' B  3a . Tính thể tích khối lăng tr ABC.A ' B ' C ' theo a
Hoạ
ủ

o
 Dự đ
ữ
ó ă ề ậ
ủa
:
+ Học sinh không phân biệt được lăng tr và lăng tr đứng
+ hi được hỏi: các mặt bên của lăng tr đứng là hình gì? Do cách vẽ, các em sẽ trả
lời là hình bình hành.
 H
p â
đề
đ ự
:
+ Dựng ABC , dựng các cạnh bên AA ', BB ', CC ' song song, bằng nhau và cùng
vuông góc với 2 đáy
+ Đáy là tam giác vuông cân tại A
 H
r
ộ
ả :
+ Dựa vào tính chất của lăng tr đứng để xác định đường cao và hình thành công
thức tính thể tích khối lăng tr đứng
1
2

+ Tính diện tích ABC : S ABC  AB 2
Dựng hình:

:

AA '   ABC 

A’

C’

VABC . A ' B 'C '
B’

ABC vuông cân tại A
 2 AB 2  BC 2  2a 2  AB  a
1
1
S ABC  AB 2  a 2
2
2
ABA ' vuông tại A, ta có:

A
C
B

ABC.A ' B ' C '
 AA '.SABC

AA '  A ' B2  AB2  9a2  a2  2 2a
Vậy: VABC. A' B 'C '  AA '.SABC  a3 2 (đvtt)

o

2.2 Cho lăng tr đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B.
Biết BA  BC  a . A ' B tạo với mặt đáy m t góc 600 . Tính thể tích khối lăng tr
ABC.A ' B ' C ' theo a
Hoạ
ủ
o
 Dự đ
ữ
ó ă ề ậ
ủa
:
+ Học sinh không xác định được góc giữa đường ch o A ' B với mặt đáy
+ Mặc dù đã quen tính diện tích ABC vuông cân tại A nhưng khi tính diện tích
ABC vuông cân tại B, học sinh v n lúng túng.
+ Học sinh quên những công thức liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác vuông
17


 H
p â
đề
đ ự
:
+ Hình vẽ như bài toán 2.1. Cần chú ý : ABC vuông cân tại B
+ Xác định hình chiếu vuông góc của A ' B trên mặt phẳng  ABC 
 H
r
ộ
ả :

+ Dựa vào tính chất của lăng tr đứng để xác định đường cao và hình thành công
thức tính thể tích khối lăng tr đứng
1
2
+ Xác định góc giữa A ' B và  ABC  để tình chiều cao của hình lăng tr

+ Tính diện tích ABC : SABC  BA2 ( ABC vuông cân tại B)

:

Dựng hình:
A’

C’

B’

AA '   ABC 
ABC.A ' B ' C '
VABC . A ' B 'C '  AA '.SABC
1
1
ABC vuông cân tại B  S ABC  BA2  a 2
2
2
AB là hình chiếu vuông góc của A ' B trên  ABC 
·
ABA '  600 là góc giữa A ' B và  ABC 

A

C
600

(
B

ABA ' vuông tại A , ta có:
AA '  AB.tan 600  a 3

Vậy: VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC 

a3 3
(đvtt)
2

o

2.3 Cho lăng tr đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Biết
ACB  600 và BC ' tạo với mặt phẳng  ACC ' A ' m t góc 300 .
AC  a ; ·
Tính thể tích khối lăng tr ABC.A ' B ' C ' theo a
Hoạ
ủ
o viên:
 Dự đ
ữ
ó ă ề ậ
ủa
:

+ Học sinh không nhận biết được đăc điểm của tam giác đáy tam giác vuông có
thêm m t góc bằng 600 nên là nửa tam giác đều)
+ Học sinh gặp khó khi tìm hình chiếu vuông góc của BC ' trên  ACC ' A ' để xác
định góc giữa BC ' tạo với mặt phẳng  ACC ' A '
+ Học sinh không nhớ cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
 H
p â
đề
đ ự
:
+ Hình vẽ như bài toán 2.1. Cần chú ý : ABC vuông tại A
ACB  600
+ Xác định ·
+ Xác định hình chiếu vuông góc của BC ' trên mặt phẳng  ACC ' A '
 H

r

ộ

ả :
18


+ Dựa vào tính chất của lăng tr đứng để xác định đường cao và hình thành công
thức tính thể tích khối lăng tr đứng
+ Tính diện tích ABC (là nửa diện tích tam giác đều cạnh 2 a )
+ Xác định góc giữa BC ' và  ACC ' A ' để tình đ dài AA '
Dựng hình:

:

AA '   ABC 

A’

C’
B’

VABC . A ' B 'C '

ABC.A ' B ' C '
 AA '.SABC

ABC vuông tại A  AB  AC.tan 600  a 3
AB  AC 

 ABC là nửa tam giác đều cạnh 2a
0
·
ACB  60 


(
300

1  2a  3 a 2 3
SABC  .

2

4
2
AA '   ABC   AA '  AB 

  AB   ACC ' A '
AC  AB 

 AC ' là hình chiếu vuông góc của BC ' trên  ACC ' A '
·
AC ' B  300 là góc giữa BC ' và  ACC ' A '
2

A

600 (
B

C

AC ' B vuông tại A , ta có: AC ' 

AB
 3a
tan 300

Trong AA ' C ' , ta có: AA '  AC '2  A ' C '2  2 2a
Vậy: VABC. A' B 'C '  AA '.SABC  a3 6 (đvtt)

o

2.4 Cho lăng tr đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B.
ACB  600 và mặt phẳng  A ' BC  tạo với mặt phẳng  ABC  m t góc
Biết BA  BC  a ; ·
600 . Tính thể tích khối lăng tr ABC.A ' B ' C ' theo a
Hoạ

ủ

o

 Dự đ
ữ
ó ă ề ậ
ủa
:
+ Học sinh không biết cạnh bên lăng tr đứng vuông góc vói đáy để suy ra tam giác
vuông
+ Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng .
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm đ dài
các cạnh tam giác.
 H
p â
đề
đ ự
:
+ Hình vẽ như bài toán 2.1. Cần chú ý : ABC vuông cân tại B
+ Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng  A ' BC  và  ABC  để xác định góc giữa 2
mặt phẳng đó.
19

 H
r
ộ
ả :
+ Dựa vào tính chất của lăng tr đứng để xác định đường cao và hình thành công
thức tính thể tích khối lăng tr đứng
+ Tính diện tích ABC (là tam giác vuông cân tại B)
+ iao tuyến của  A ' BC  và  ABC  ? AB và A'B có vuông góc với BC không ? tại
sao? Xác định góc giữa 2 mặt phẳng  A ' BC  và  ABC  ?
Dựng hình:

:

AA '   ABC 

A’

C’
B’

A
600

C

(
B

ABC.A ' B ' C '

VABC . A ' B 'C '  AA '.SABC
1
1
ABC vuông cân tại B  S ABC  BA2  a 2
2
2
AA '   ABC   AA '  BC 

  BC   ABB ' A '
AB  BC 

 A ' B  BC
 A ' BC    ABC   BC 

A ' B   A ' BC  ; A ' B  BC   ·
ABA '  600 là góc giữa 2

AB   ABC  ; AB  BC 
mặt phẳng  A ' BC  và  ABC 
AA ' B vuông tại A , ta có: AA '  AB.tan 600  a 3

Vậy: VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC 

a3 3
(đvtt)
2

o

2.5 Cho lăng tr đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Biết

BA  BC  a . óc giữa A ' B với mặt phẳng  ABC  bằng 600 . Tính thể tích khối lăng tr
Trí đề ố
iệp T PT ăm 2012)
ABC.A ' B ' C ' theo a
Hoạ

ủ

o

 Dự đ
ữ
ó ă ề ậ
ủa
:
+ Học sinh không nhận biết được các điểm giống và khác nhau giửa hình lăng tr và
hình lăng tr đứng, nên không chủ đ ng trong việc dựng hình.
+ Học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
+ Học sinh không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm đ dài
đường cao của hình lăng tr .
 H
p â
đề
đ ự
:
+ Hình vẽ như bài toán 2.1. Cần chú ý : ABC vuông tại B
+ Xác định hình chiếu vuông góc của A ' B trên mặt phẳng  ABC  , từ đó suy ra góc
giữa A ' B với mặt phẳng  ABC 
20

 H
r
ộ
ả :
+ Dựa vào tính chất của lăng tr đứng để xác định đường cao và hình thành công
thức tính thể tích khối lăng tr đứng
+ Tính diện tích ABC (là tam giác vuông cân tại B, vì BA  BC  a )
+ Xác định góc giữa A ' B với mặt phẳng  ABC 
Dựng hình:

:

AA '   ABC 

A’

C’
B’

ABC.A ' B ' C '
VABC . A ' B 'C '  AA '.SABC
1
1
ABC vuông cân tại B  S ABC  BA2  a 2
2
2
AB là hình chiếu vuông góc của A ' B trên  ABC 
·
A ' AB  600 là góc giữa A ' B với mặt phẳng  ABC 

A
600

C

(

Vậy: VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC 

B

ập p ụ

AA ' B vuông tại A , ta có: AA '  AB.tan 600  a 3

a3 3
(đvtt)
2

:

Dựng hình:
C’

A’

)

300

B’

Bài 1. Cho lăng tr đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC
vuông cân tại B biết A'C = a và A'C hợp với mặt
bên (AA'B'B) m t góc 30o . Tính thể tích lăng tr
ABC.A ' B ' C ' theo a
ết quả:

A

VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC 

C

a3 2
(đvtt)
16

B

Dựng hình:
A’

C’
B’

Bài 2. Cho lăng tr đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC
vuông tại B ; biết BB '  AB  a và B'C hợp với mặt
bên (ABC) m t góc 30o . Tính thể tích lăng tr

ABC.A ' B ' C ' theo a
ết quả:

300 (

A

C

VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC 

a3 3
(đvtt)
2

B

21


Dựng hình:
A’
B’

C’

300

Bài 3. Cho lăng tr đứng ABC. A'B'C' có đáy ABC
·

vuông tại A biết AC = a và ACB
 60o .Biết BC'
hợp với mặt bên (AA'C'C) m t góc 30o.
a/ Tính thể tích lăng tr ABC. A'B'C'
b/ Tính diện tích tam giác ABC'.

A

B

D

3:

H I

NG

C

ết quả: a/ VABC. A' B 'C '  AA '.SABC  a3 6 (đvtt)
b/ SABC ' 

3 3a 2
2

ĐỀU

o 3.1 Cho lăng tr tam giác đều ABC.A ' B ' C ' có AB  a ; óc giữa hai mặt
phẳng  A ' BC  và  ABC  bằng 600 . ọi là trọng tâm của tam giác A ' BC .

a/ Tính thể tích khối lăng tr ABC.A ' B ' C ' theo a
b Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
Trí

đề uyể si

Đại ọ k ối B ăm 2010)

Hoạ
ủ
o
 Dự đ
ữ
ó ă ề ậ
ủa
:
+ Học sinh không nhận biết được đây là lăng tr hay lăng tr đứng vì đề bài không
không có từ “đứng” nên không thể dựnh hình.
+ Học sinh quên : Hình lăng tr đứng có đáy là m t đa giác đều được gọi là hình
lăng tr đều (trang 110, SGK 11 – Trần Văn Hạo Tổ
ủ bi ), XB iáo d c, 2007).
+ Học sinh không xác định được trọng tâm của tam giác A ' BC trên hình vẽ.
 H
p â
đề
đ ự
:
+ Dựng hình lăng tr đứng, có đáy là tam giác đều.
+ Xác định điểm là trọng tâm của tam giác A ' BC
+ Xác định tứ diện GABC để tìm tâm I và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

GABC

 H
r
ộ
ả :
+ Dựa vào tính chất của lăng tr đứng để xác định đường cao và hình thành công
thức tính thể tích khối lăng tr đứng
a2 3
+ Tính diện tích tam giác đều ABC cạnh a : SABC 
4
+ Chứng minh: GH / / AA ' ( là trọng tâm của A ' BC và H là trọng tâm của ABC )

từ đó xác định tâm I và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABC
22


Dựng hình:

:

AA '   ABC 

A’

C’
B’

H

ABC.A ' B ' C '
VABC . A ' B 'C '  AA '.SABC

a2 3
4
ọi M là trung điểm của BC  AM  BC
AA '   ABC   AA '  BC 

  BC   AMA '
AM  BC 

 A ' M  BC

 A ' BC    ABC   BC

A ' M   A ' BC  ; A ' M  BC   ·
AMA '  600 là góc

AM   ABC  ; AM  BC 
giữa 2 mặt phẳng  A ' BC  và  ABC 

ABC là tam giác đều cạnh a : S ABC 

G
A

a.

C

600(

M

B

AA ' M vuông tại A , ta có: AA '  AM .tan 600 

Vậy: VABC . A ' B 'C '  AA '.S ABC

3 3a 3

(đvtt)
8

ặ
oạ ế ứ d
ọi H là trọng tâm của ABC .

b.

Trong AA ' M , ta có :

3a
2

GA

AH
A 'G 2


  AA '/ / GH
AM A ' M 3

AA '   ABC 

  GH   ABC 
AA '/ /GH


G
E
A

H

I

ọi I là tâm mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABC
 I là giao điểm của H với trung trực của A
trong mặt phẳng  AGH 
ọi E là trung điểm của A
GE. AG GA2

GH
2GH
AA ' a
a 3
7a 2
GH 

 ; AH 
; GA2  GH 2  AH 2 
3
2
3
12
2
GA
7a

Vậy: R  GI 
(đvđd)
2GH 12
IGE : AGH  GI 

o

3.2 Cho lăng tr tam giác đều ABC.A ' B ' C ' có AB  4 ; Biết diện tích tam giác
A ' BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng tr ABC.A ' B ' C '
Hoạ
ủ
o
 Dự đ
ữ
ó ă ề ậ
ủa
:
+ Học sinh sẽ lung túng khi gặp những bài toán có những số liệu thật c thể, đồng
23

nghĩa với khả năng nhận biết và suy luận của học sinh còn chậm.
+ Học sinh không tính được đ dài đường cao của hình lăng tr vì không thấy được
sự liên quan giữa giả thiết và điều cần chứng minh.
 H
p â
đề
đ ự
:
+ Dựng hình lăng tr đứng, có đáy là tam giác đều.
+ vẽ tam giác A ' BC , tìm đường cao của tam giác A ' BC , làm cơ sở để tính đ dài AA '
 H
r
ộ
ả :
+ Dựa vào tính chất của lăng tr đứng để xác định đường cao và hình thành công
thức tính thể tích khối lăng tr đứng

4 3
2 3
h 

2
+ Tam giác đều ABC có cạnh bằng 4  
42 3
S

4 3
 ABC
4

Dựng hình:

:

AA '   ABC 

A’

C’
B’

A

C
M
B

ABC.A ' B ' C '
VABC . A ' B 'C '  AA '.SABC
ABC là tam giác đều cạnh bằng 4: SABC  4 3
ọi M là trung điểm của BC  AM  BC
AA '   ABC   AA '  BC 

  BC   AMA '
AM  BC 

 A ' M  BC
2S
1

16
S A ' BC  A ' M .BC  A ' M  A ' BC 
4
2
BC
4
AA ' M vuông tại A , ta có:

AA '  A ' M 2  AM 2  16 12  2
Vậy: VABC. A' B 'C '  AA '.SABC  8 3 (đvtt)

3.3 Cho lăng tr tam giác đều ABC.A ' B ' C ' . Mặt bên  A ' BC  tạo với đáy m t
góc 30 ; Biết diện tích tam giác A ' BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng tr ABC.A ' B ' C '
o

0

Hoạ
ủ
o
Bài toán 3.3 có n i dung tương tự bài toán 3.2
 Dự đ
ữ
ó ă ề nhậ
ủa
:
+ Học sinh không nắm vững các bước xác định góc giữa 2 mặt phẳng, do vậy không
tính được chiều cao của hình lang tr .
+ hó khăn nhất là tính đ dài cạnh của tam giác ABC
 H

p â
đề
đ ự
:
+ Dựng hình: vẽ giống hình bài toán 3.2
+ Xác định góc giữa 2 mặt phẳng  A ' BC  và  ABC 
 H
r
ộ
ả :
+ Dựa vào tính chất của lăng tr đứng để xác định đường cao và hình thành công
24


thức tính thể tích khối lăng tr đứng
+ Đáy là tam giác đều ABC ; vì A ' BC có chứa cạnh BC cũng là cạnh của tam giác
đều ABC, do đó cần tập trung tìm đ dài cạnh BC
Dựng hình:

:

AA '   ABC 
VABC . A ' B 'C '

ABC.A ' B ' C '
 AA '.SABC

ọi M là trung điểm của BC  AM  BC

A’

C’
B’

A

C

30(0
M
B

AA '   ABC   AA '  BC 

  BC   AMA '
AM  BC 

 A ' M  BC

 A ' BC    ABC   BC

A ' M   A ' BC  ; A ' M  BC   ·
AMA '  300 là góc

AM   ABC  ; AM  BC 
giữa 2 mặt phẳng  A ' BC  và  ABC 

iả sử: BM  x  0  AM 

2x 3

x 3
2

AA ' M vuông tại A , ta có:
AM
2 AM
A' M 

 2x
0
cos 30
3
AA '  AM .tan 300  x
1
1
S A ' BC  A ' M .BC  .2 x.2 x  2 x 2  8  x  2
2
2
AA
'

2



1
1
SABC  AM .BC  .2 3.4  4 3



2
2
Vậy: VABC. A' B 'C '  AA '.SABC  8 3 (đvtt)

o

3.4 Cho lăng tr tam giác đều ABC.A ' B ' C ' có AB  a ; hoảng cách giữa đường

thẳng A ' B ' đến mặt phẳng  ABC ' bằng

a
.Tính thể tích khối lăng tr
2

ABC.A ' B ' C ' theo a

Hoạ
ủ
o
 Dự đ
ữ
ó ă ền ậ
ủa
:
+ Tính khoảng cách là n i dung khá phúc tạp ở lớp 11, vì trước khi tính khoảng cách
các em phải xác định được khoảng cách.
+ Muốn tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng, học sinh phải nắm vững
kiến thức về vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
+ Học sinh quên cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
+ Mặc dù chứng minh được đường thẳng song song với mặt phẳng nhưng các em

cũng khó xác định được khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng.
25