skkn một số bài TOÁN TIẾP TUYẾN THƯỜNG gặp TRONG CHƯƠNG TRÌNH môn TOÁN THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
I.LÝ DO CHON ĐỀ TÀI
Trường THPT Tam Phước

Các bài toán về sự tiếp xúc ,điển hình là bài toán tiếp tuyến luôn là vấn đề thời sự trong
Mã số: ................................
chương trình toán phổ thông .Đặc biệt nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
nghiệp THPT , tuyển sinh vào đại học và cao đẳng .Trước đây để giải bài toán tiếp xúc của
2 đồ thị (C): y = f(x) và(C’) : y = g(x), ta thường sử dụng phương pháp nghiệm bội ,nghiệm
kép.Theo quan điểm mới, để tìm điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị (C) và (C’) ta thường sử
dụng phương pháp đạo hàm, đó là giải HPT :
 f ( x)  g ( x)

 f '( x)  g '( x)
Tuy nhiên rất nhiều bài toán mà việc giải hệ gặp không ít khó khăn. Nên tôi đưa ra một số
phương pháp giải các dạng toán tiếp tuyến thường gặp,đặc biệt là Kĩ thuật giải một số bài
SÁNG
KIẾN
NGHIỆM
toán tiếp tuyến của đồ thị
hàm phân
thức đểKINH
giải quyết
được vấn đề nói trên.
II.MỤC ĐÍCH

MỘT SỐ BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN THƯỜNG GẶP
TRONG
CHƯƠNG
TRÌNH

- Giúp học
sinh củng cố
kiến thức cơ bản
về các bàiMÔN
toán tiếpTOÁN
tuyến trongTHPT
chương trình toán
THPT
- Cung cấp cho học sinh kỹ thuật giải bài toán tiếp tuyến theo phương pháp mới

III.GIỚI HẠN

Tài liệu này chỉ giới thiệu những bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong chương
trình toán THPT

Người thực hiện: Trần Thị Thanh Hương
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học 
(Ghi rõ tên bộ môn)
- Lĩnh vực khác:



Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh
 Hiện vật khác

Năm học: 2011 -2012


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. Thông tin chung về cá nhân
1. Họ và tên : TRẦN THỊ THANH HƯƠNG
2. Sinh ngày : 22 – 12 – 1977
3. Địa chỉ : Số 16 – khu 2000 - trường Sĩ Quan Lục Quân II
4. Điện thoại : 0613.529.104
5. Chức vụ : P. Hiệu Trưởng

II. Trình độ đào tạo :
1. Học vị : Thạc Sỹ
2. Năm nhận bằng : 2012
3. Chuyên ngành đào tạo : Toán Giải Tích
III. Kinh nghiệm khoa học :
1. Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Giảng dạy môn toán
2. Số năm kinh nghiệm : 13
3. các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
- những lỗi học sinh thường gặp trong chương trình môn toán THPT
- Phương pháp giải toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ.
- Kinh nghiệm quản lý tổ chuyên môn

1

1


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

2

IV.NỘI DUNG:

MỘT SỐ BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN THƯỜNG GẶP
TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN THPT
A.CƠ SỞ LÝ THUYẾT:
1-Hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong ( C )
- Hàm số y = g(x) có đồ thị là đường thẳng d
F(x)

C
B

d

Khi ( C ) tiếp xúc với d tại điểm có hoành độ x o thì d được gọi là tiếp tuyến của ( C ) .Điểm
tiếp xúc được gọi là tiếp điểm .
2-Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số đó tại
điểm Mo(xo , f(xo) ) .
3-Hai hàm số y = f(x) có đồ thị là ( C1)
y = g(x) có đồ thị là ( C2 )
 f ( x)  g ( x)

Tiếp xúc với nhau khi hệ phương trình : 
có nghiệm
 f '( x)  g '( x)
Và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của 2 đường cong đó.
4-Đường thẳng x = xo không bao giờ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(xo).

B. CÁC BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN THƯỜNG GẶP:
1.BÀI TOÁN 1:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(xo,f(xo) )
(Ở bài toán này khi đọc đề phải lưu ý chữ “ Tại” ý nói điểm M thuộc đồ thị hàm số
y = f(x)
* Dạng 1:
Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết hoành độ tiếp điểm là xo
+ Phương pháp : tính f(xo) và f’(xo) rồi thay chúng vào phương trình :
y = f’(xo) (x-xo) + f(xo)
Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu viết tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với trục hoành thì ta hiển
nhiên có hoành độ tiếp điểm là xo = 0
* Dạng 2:
Viết phương trình tiếp điểm của đồ thị hàm số y = f(x) biết tung dộ tiếp điểm là yo
+ Phương pháp : giải phương trình ẩn x sau đây để tìm hoành độ xo của tiếp điểm
f(x) = yo
sau khi tìm được xo thì công việc còn lại trở về bài toán 1
Chú ý :
1) Phương trình f(xo = yo có thể có nhiều hơn 1 nghiệm với mỗi nghiệm ta có 1 tiếp điểm
tương ứng
x 1
Ví dụ : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
biết hoành độ tiếp điểm là xo =0
x 1
Giải:

xo = 0 => y(xo ) = y(0) = -1
Kí hiệu A ( 0,-1)
2


Trường THPT Tam Phước
y' 

GV:Trần thị thanh Hương

3

2
( x  1) 2

y’(0) = 2
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm A(0,-1) là :
y = 2(x-0) -1
 y = 2x -1
Ví dụ : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  2 biết tung độ tiếp điểm là yo = 2
Giải :
yo = 2 => xo  2  2
 xo = 2
1
1
kí hiệu A(2,2) : y ' 
; y'
4
2 x2
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A(2,2) là :

1
y  ( x  2)  2
4
1
3
 y  x
4
2
2) Bài Toán 2:
Viết PTTT của đồ thị y = f(x) ( C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến là k
+ Phương pháp giải :
- Cách 1:
Bước 1: giải pt

f’(x) = k tìm xo => tìm f(xo)

Bước 2 : PTTT tại A(xo,f(xo) ) có dạng
Y = k(x-xo ) + f(xo)
- Cách 2:
Bước 1 : Gọi (d) là đường thẳng có hệ số góc k .PT đường thẳng d có dạng:
Y= kx + b
Bước 2 : do d là tiếp tuyến nên ta có hệ phương trình
 f ( x)  kx  b
có nghiệm

 f '( x)  k

(Đây là hệ 2 ẩn x và b)
Giải hệ tìm b và thế vào PT (d) để viết tiếp tuyến
Chú ý :

1) Đường thẳng ( d) : y = kx + b thì k gọi là hệ số góc tạo bởi chiều dương của trục Ox và
phần phía trên của đường thẳng

3


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

4

2) Cho ( d1 ) : y = k1x + b
Cho ( d2 ) : y = k2x + b
d1 // d2  k1 = k2
d1  d2  k1.k2 = -1
Ví dụ 1:
Cho hàm số y = x4 + 2x2 -1 ( C )
Viết PTTT của ( c ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y 

1
x3
8

Giải : y’ = 4x3 + 4x
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

y

1

x  3 nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 8
8

,suy ra : y’ = 8  4x3 + 4x -8 = 0
 4(x-1)(x2 + x + 2) = 0  x = 1
 y= 0
Ký hiệu A(1,0)
Vậy PTTT của ( C ) là : y = 2(4x – 3)
Ví dụ 2:
Cho C : y = x3 – 6x2 +9x -3
Viết PTTT với C có phương của đương thẳng d : y = -3x + 2 (song song hoặc trùng d)
Giải : do tiếp tuyến (  ) của C có phương của d : y = -3x + 2
Nên

có dạng : y = -3x + b

3
2

 x  6 x  9 x  3  3x  b(1)
Ta có hệ Pt :  2

3x  12 x  9  3(2)

Từ (2) ta có x = 2 thế vào (1) có b = 5
Vậy PTTT cần tìm là : y = -3x + 5
Ví dụ 3 : cho P : y = x2 – 2x +3 Viết PTTT của P biết tiếp tuyến tạo với trục hoành
1 góc 45o
4

Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

5

Giải : y’ = 2x -2 ,gọi k là hệ số góc tiếp tuyến
TH1 : phần phía trên của tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc 45o
ta có k = tan 45o = 1
Nên 2x -2 = 1 => x 

3
9
=> y 
2
4

y
45o

3 9
PTTT tại A( , )
2 4

x

3 9
y  (x  ) 
2 4

 y  x

3
4

TH2 : Phần phía trên của tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc 135o
Ta có k = tan 135o = -1
Nên 2x – 2 = -1  x 

1
2

y
=> y 

9
4

135o
x
PTTT Tại điểm B(

1 9
, )
2 4

1 9
Có dạng: y  1( x  ) 
2 4

 y  x 

11
4

3) Bài toán số 3 : Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(xM,yM)
Chú ý :
a) ta có thể thay chữ “qua “ bằng “kẻ từ” hoặc “ xuất phát từ”
b) ta không cần quan tâm đến việc điểm M có thuộc đồ thị hàm số hay không
c) tiếp tuyến qua điểm có thể không tiếp tuyến nào hoặc nhiều hơn 1 tiếp tuyến
+ Phương pháp giải :
-

Cách 1 : gọi hoành độ tiếp điểm là xo .Khi đó tiếp tuyến cần tìm có phương trình
Y = f’(xo) (x-xo) + f(xo)

5


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

6

Do tiếp tuyến đi qua điểm M (xM,yM) nên
YM – f’(xo) (x-xo) + f (xo)
Giải tìm xo => tìm f(xo) ,f’(xo) rồi viết PTTT
-

Cách 2 : gọi đường thẳng đi qua M có dạng y = kx –kxo + yo (d)

 f ( x)  kx  kxo  yo
Để d tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x) thì hệ Pt : 
 f '( x)  k
Có nghiệm.Đây là HPT hai ẩn x và k. Giải k thế vào d để có PTTT
Ví dụ 1: cho P : y = x2 viết PTTT cho P biết tiếp tuyến xuất phát từ A(0,-1)
Giải:
Đặt f(x) = x2 và goi Mo là điểm thuộc P với hoành độ xo .Khi đó tọa độ của điểm Mo là
(xo,f(xo) ) hay (xo ,xo2 )
Cách 1 : Ta có y’ = 2x .PTTT của P tại điểm Mo là y = 2xo(x-xo) + xo2
 y = 2xo x – xo2
tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0,-1) nên ta có : -1 = 2xo . 0 + xo2  xo = 1 hoặc xo = - 1
+ với xo =1 => f(xo) = 1 ,f’(xo) = 2
nên PTTT cần tìm là y = y= 2(x-1) +1  y = 2x – 1
+ với xo = -1 => f(xo) = 1 ,f’(xo) = -2
nên PTTT cần tìm là y = -2 (x+1 ) +1  y = -2x-1
y
Vậy có 2 tiếp tuyến của ( P)
phương trình tương ứng là :

y  2 x  1

đi qua A với các

(P)
Y=-2x-1
Y=2x-1

x

Cách 2: PTĐT (d) qua A (0,-1) với hệ số góc k là : y = kx-1

 x 2  kx  1(1)
Để (d ) tiếp xúc với P thì HPT 
2 x  k (2)
6


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

7

Có nghiệm. Thế (2) vào (1) ta có Pt : x2 = 2x2 -1
 x2 = 1  x = 1
+ Với x = 1 => k= 2
x = -1 => k= -2
Vậy ta có PTTT là : y  2 x  1
*Ví dụ 2:
chứng minh đường thẳng d : y = px + q là tiếp tuyến của parapol y = ax 2 + bx + c khi và
chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm
ax2 + bx + c = px + q (1) có nghiệm kép
Giải : (1)  ax2 + (b-p)x + c-q = 0 (1)
Có nghiệm kép tức là :   (b  p)2  4a(c  q)  0

ax 2  bx  c  px  q(3)
Thật vậy để d tiếp xúc với ( C ) thì HPT : 

2ax+b=p(4)

Có nghiệm .
Giả sử x = xo là nghiệm của hệ trên .Khi đó vì a # 0 nên từ (4) ta có xo =

p b
2a

( p  b) 2
( p  b)
 (b  p)
cq  0
Thay vào (3) ta được : a
2
4a
2a

Từ đó suy ra : (b-p)2 – 4a(c-q) = 0
Vậy phương trình (3) có nghiệm kép
Đảo lại .nếu phương trình (3) có nghiệm kép xo thì xo 

p b
2a

Hiển nhiên x = xo cũng là nghiệm của (4) . Vậy hệ Pt trên có nghiệm .Do đó đường thẳng là
tiếp tuyến của ( P)
Chú ý : Ta có thể áp dụng điều khẳng dịnh trong ví dụ 3 để xét sự tiếp xúc của đường thảng
và parabol
Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1,-2) và tiếp xúc với
parabol y = x2 -2x

7


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

Giải: phương trình đường thẳng đi qua A(1,-2) và có hệ số góc k là:
Y = k(x-1) – 2 (d)

 x 2  2 x  kx  k  2
Cách 1 :(d) tiếp xúc với P khi HPT : 
2 x  2  k
 x  2

k  2
 
 x  0

 k  2

Vậy tiếp tuyến là : y = 2x – 4 và y = -2x
Cách 2 : để ( d ) tiếp xúc với P thì Pt hoành độ giao điểm :
X2 -2x = kx – k- 2 có nghiệm kép
 x2 – (k+2)x + k +2 có nghiệm kép Điều kiện :   0
 k2 – 4 = 0  k =2 hoặc k = -2
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là y = 2x -4 và y = -2x
2 x 2  3x  2
Ví dụ 4: Viết Pt các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 

x 1

Biết các tiếp tuyến này đi qua điểm A(-1,-3)
Giải:
Gọi d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc là k
Phương trình dường thẳng d có dạng : y = k(x+1) +3
Để d là tiếp tuyến của (H) thì HPT :


2 x 2  3x  2
y

 k ( x  1)  3(1)

x 1

 2
 2 x  4 x  1  k (2)
 ( x  1) 2

Có nghiệm .
Thế( 2) vào (1 ) ta có:

8

8


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

9

2 x 2  3x  2 2 x 2  4 x  1

( x  1)  3
x 1
( x  1)2
 x = 0 thế vào 2 ta có k = 1
Vậy PTTT là y = x – 2
 x2  x  5
Ví dụ 5: Chứng minh đồ thị hàm số y 
x 1

Không có bất kì tiếp tuyến nào đi qua điểm A(-1,3)
Giải : đường thẳng đi qua A có hệ số góc k có dạng y-3 = k(x+1)
 y = kx +k +3

HPT

  x2  x  5
 x  1  kx  k  3(1)

 2
  x  2 x  6  k (2)
 ( x  1) 2

Thế (2) vào (1) ta có Pt vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.Vậy không có tiếp tuyến nào của đồ
thị đi qua điểm A

4) Bài toán số 4 :Viết PTTT chung của đồ thị hàm số y= f(x) và y = g(x)
+)phương pháp giải :
Cách 1: ta sẽ tìm hoành độ xo của điểm Mo ,x1 của M1 sao cho đường thẳng MoM1 tiếp xúc
với đồ thị hàm số y = f(x) tại Mo và với đò thị y = g(x) tại M1 .Muốn vậy ta kết luận như
sau
PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) tại Mo(xo,f(xo) )là:
Y = f’(xo)(x-xo) + f(xo) hay y = x.f’(xo) + f(xo)- xo.f’(xo)
PTTT của đồ thị hàm số y = g(x) tại điểm M1(x1,f(x1)) là
Y = g’(x1)(x-x1)+ g(x1) hay y = x.g’(x1) + g(x1) – x1.g’(x1)
Để MoM1 là tiếp tuyến chung của 2 đồ thị hàm số đã cho thì điều kiện cần và đủ là:
Hệ I
 f '( x)  g '( x)

 x0 f '( x)  f ( xo )   x1 g '( x1 )  g ( x1 )
Giải hệ I ta tìm được x0o và x1 .từ đó tìm được PTTT chung
Cách 2: gọi đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến chung của đồ thị hàm số y = f(x) và y =
g(x) .Tại các điểm tương ứng là Mo và M1 ,ta phải tìm a và b từ HPT
Hệ II
 f ( xo )  ax0
 f '( x)  a


 g ( x1 )  ax1  b
 g '( x1 )  a
Chú ý : bằng cách khử a và b ở hệ( II) ,dễ dàng thấy( II )( I)
9


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

10

Ví dụ : Tìm PTTT chung của đồ thị hai hàm số y = f(x) = x2 và y = g(x) = x2- 2x +2

y  x

1
4

Giải :
Gọi Mo(xo,xo2) và M1(x1,x12 – 2 x1 + 2 ) là hai tiếp điểm của tiếp tuyến chung phải tìm :
Theo (I) ta có

2 xo  2 x1  2

2
2

 xo (2 xo  xo )  x(2 x1  2)  xo  2 x1  2
1
3
Giải hệ này ta được x0  , x1 
2
2
1
Nên PTTT chung cần tìm là : y  x 
4

C. Một số bài toán tiếp tuyến thường gặp trong các đề thi tuyển sinh Đại Học
và Cao Đẳng :
Các bài toán về sự tiếp xúc ,điển hình là bài toán tiếp tuyến luôn là vấn đề thời sự trong
chương trình toán phổ thông .Đặc biệt nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt
nghiệp THPT , tuyển sinh vào đại học và cao đẳng .Trước đây để giải bài toán tiếp xúc của
2 đồ thị (C): y = f(x) và(C’) : y = g(x), ta thường sử dụng phương pháp nghiệm bội ,nghiệm
kép.Theo quan điểm mới, để tìm điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị (C) và (C’) ta thường sử
dụng phương pháp đạo hàm , đó là giải HPT :
 f ( x)  g ( x)

 f '( x)  g '( x)
Tuy nhiên rất nhiều bài toán mà việc giải hệ gặp không ít khó khăn. Nên tôi đưa ra Kĩ
thuật giải có thể giải quyết được vấn đề nói trên
x2  x  a
Ví dụ 1 : cho hàm số: y 
x 1
Tùy theo a hãy viết các PTTT của đồ thị hàm số kẻ từ góc tọa độ
Giải : đường thẳng( d) vơi hệ số góc k đi qua gốc tọa độ O(0,0) có phương trình y = kx
(d)là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

a

 x  x  1  kx(1)

1  a 2  k (2)
 ( x  1)
hệ này tương đương
10

Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

a

 x  1  x  1  kx  1(3)

 x  1  a  k ( x  1)(4)

x 1

trừ 2 vế của (3) cho( 4) ta được
2a
1
k 1
 k 1 

x 1
x  1 2a

kết hợp với( 2)ta có
k 1
 1
 x  1  2a
Kết hợp với(2 )ta có 
2
1  (k  1)  k

4a

k  1
 k  1  4a
=> 
(k  1)(k  1  4a)  0
Suy ra PTTT cần tìm là y = (1-4a)x
Ví dụ 2 :
x2  2 x  2
Cho đường cong C: y 
x 1
Tìm các điểm trên mp toạ độ kẻ được 2 tiếp tuyến tới( C) và 2 tiếp tuyến vuông góc
Giải : đường thẳng với hệ số góc k đi qua M(a,b) có phương trình y = k(x-a) +b
Đường thẳng này là tiếp tuyến của( C) khi và chỉ khi HPT sau có nghiệm:
1

 x  1  x  1  k ( x  a)  b(1)

1  1 2  k (k #1)(2)
 ( x  1)

Hệ này tương đương với :
1

 x  1  x  1  k ( x  a )  b(3)

 x  1  1  k ( x  1)(4)
( x  1)

Lấy (3 ) trừ (4 )theo vế ta được:
1
k (1  a )  b


x 1
2
Kết hợp với( 2 )ta được
k  1


k (1  a)  b 2
) k
1  (
2

11

11


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

12

k  1
<=> 
2 2
2
(a  1) k  2(1  a)b  2k  b  4  0

Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với (C) khi và chỉ khi hệ trên có 2 nghiệm phân biêtk

k1,k2 và k1.k2 = -1

a  1  0
 2
 b 4
 1

2
(
a

1)

(a  1) 2  2(1  a)b  2  b 2  4  0

a  1

<=> (a  1)2  b2  4
a  b  1  0

Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm I(1,0) bán kính bằng 2 bỏ đi 4 điểm là
giao điểm của các đường thẳng x = 1 và –x + y +1 = 0 với đường tròn đó là A(1,2) B(1,-2) ,
C (1  2, 2) , D (1  2,  2) .

2.Các bài toán tiếp tuyến thường gặp trong các đề thi đại học ,cao đẳng
Bài 1: Tìm trên Oy những điểm có thể kẻ ít nhất một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số
4 x2  4 x  4
y
x 1
Giải : gọi I(0,a)

PT đường thẳng (d)qua I (0 , a) có hệ số góc là k có dạng y = kx +a
Để từ I kẻ được ít nhất một tiếp tuyến thì HPT :
 4x2  4 x  4
 ( x  1)  kx  a(1)

 2
 4 x  8 x  k (2)
 ( x  1) 2
Thế 2 vào 1 ta có
x  1
(*)
 2
ax  2(4  a) x  a  4  0
Để I có ít nhất một nghiệm thì PT (* ) phải có ít nhất 1 nghiệm khác 1
TH1 : a = 0 thay vào (1) ta có -8x + 4 = 0
a  0
a  0

TH2:  '  0
<=> 
a  4
a.12  2(4  a).1  a  4  0

Vậy a  4 thoã mãn điều kiện bài toán
12


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

13

Bài 2:
Cho hàm số : y = x3 – 3 x2 + 2 có đồ thị (C) .Tìm trên y = 2 những điểm
a) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến tới (C)
b) kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C) trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau
Giải :
Gọi A(a,2) đường thẳng y = 2
Đường thẳng (d) qua A có hệ số góc là k có PT : y = kx – ka +2
Để d tiếp xúc với C thì HPT :
x 3  3x 2  2  kx  ka  2

 2

3x  6 x  k
Có nghiệm
Thế (2) vào (1) ta có
x3 – 3x2 + 2 = (3x2 – 6x )x - (3x2 – 6x ) a +2
 x( -2x2 + 3(a +1) x – 6a ) = 0
x  0
 
(*)
2

2
x

3(
a


1)
x

6
a

Đặt g(x) = -2x2 + 3(a +1) x – 6a
a) để từ A có 2 nghiệm phân biệt ,trong đó 1 nghiệm bằng 0 hoặc nghiệm kép khác 0
9a 2  30a  9  0
  0
TH1 : 

 g (0)  0
6a  0

1

a  (, )  (3, )
<=> 
a0
3

a  0
TH2 :
a 
a  3

  0
1


 a 
 
a  1
f
(0)
#
0
3

 

3
a  0
 1 
 a  0, ,3
 3 
b) với x =0 => k = 0 => PTTT là y = 2
Ta nhận thấy y = 2 là đường thẳng song song với trục Ox nên không có tiếp tuyếnếp tuyến
nào của đồ thị( C)vuông góc với đường thẳng y = 2
Vậy để tưd A kẻ đến (C) 3 tiếp tiếp tuyến trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì
PT (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 khác 0 và (3x1 2 - 6 x1)(3x22 - 6x2) = -1
Điều kiện:
 g (0)  0

  0
(3x 2  6 x )(3x 2  6 x )  1

1
1

2
2

13


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

14

a  0

<=> 9a 2  30a  9  0
9 x x [x x  2( x  x )  4]  1
1
2
 1 2 1 2
a  0

1

<=> a  (, )  (3, )
3

27(2a  3( a  1)  4)  1
1
<=> a  
thoả mãn điều kiện bài toán

27
Bài 3 : tìm những điểm trên đường thẳng y = 7 mà tại đó tại đó ta được 2 tiếp tuyến hợp
2 x2  x  1
với nhau 1 góc 45o tới đồ thị hàm số y 
x 1
Giải : gọi A(a,7) thuộc đường thẳng y = 7 ,đường thẳng thẳng đi qua A có hệ số góc là k .
Phương trình có dạng : y = kx – ka +7 (d)
Đường thẳng đi qua A là tiếp tuyến của C khi HPT
2

2 x  1  x  1  kx  ka  1(1)

2  2 2  k (k  2)(2)
 ( x  1)
2

2( x  1)  x  1  kx  ka  4(3)
<=> 
2( x  1)  2  k ( x  1)(4)
x 1

Trừ( 3) cho( 4 )theo vế
Ta có

Kết hợp với (2)ta được :

k  2

2


 k (1  a)  4 
2  2 
  k
4



k  2
<=> 
(*)
2
2
(1  2a  a )k  8(a  2)k  0
Để từ A(a,7) kẻ được đến (C) 2 tiếp tuyến tạo với nhau 1 góc 45o thì
PT (*) phải có 2 nghiệm phân biệt k1,k2 khác nhau thoả mãn




2
1  2a  a  0
a  1


<=> a  R
 '  0


 tan 450  k1  k2
 k1  k2  1


 1  k1k2
1  k1k2
14


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

a  1
<=> 
(I )
2
2
(k1  k2 )  4k1k2  1  k1k2  2k1k2
( do k1,k2 là nghiệm của phương trình (*) )
Nên theo định lý viet thì
8(a  2)

k1  k2 
(1  a ) 2

k k  0
 1 2
(I)

a  1

2

<=>  8( a  1) 2 
 (1  a) 2   1



a  1

  8( a  2)  1
a  5  2 2
<=>   (1  a) 2
<=> 

  8( a  2)
 a  3  2 6



1
2
  (1  a)

Vậy có 4 điểm A thoả điều kiện bài toán
Bài 4 : cho hàm số y = (m -1) x2 + 2( m + 2) x + m +1
Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox
Giải : để đồ thị tiếp xúc với trục hoành thì Pt hoành độ giao điểm :
(m-1) x2 + 2(m + 2) x + m + 1 = 0 có nghiệm kép
Điều kiện:
m  1
5
m


2
4
(m  2)  (m  1)(m  1)  0
2 x 2  (1  m) x  m  1
( x  m)
xm
mọi m # -1 đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

Bài 5 : cho hàm số y 
Chứng minh :
Giải :

2 x 2  (1  m) x  m  1
y
( x  m)
xm
m( x  y  1)  2 x 2  x  xy  1  0
<=> 
x  m
Toạ độ của điểm cố định nếu có là nghiệm của HPT
x  y 1  0
 x  1

2
2 x  x  xy  1  0 <=> 
 y  2
x  m

Toạ độ điểm cố định là A( -1,-2)

2 x 2  m 4 x  m 2  2m  1
y' 
( x  m)2
Y’(-1) = 1
PTTT của đồ thị tại A( -1 , -2) là y = x -1
Nhận xét : để giải được bài toán dạng này ta thực hiện qua 2 bước

15

15


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

16

Bước 1 : Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua
Bước 2 : Viết PTTT tại điểm cố định
Bài 6 : Tìm tiếp tuyến cố định của họ đường cong có phương trình
( m  1) x
y
,m  0
xm
Giải : đường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến cố định của đường cong khi và chỉ khi HPT
sau có nghiệm với mọi m # 0

m2
m


1

 ax  b(1)

xm

2
 m  a, (a  0)(2)
 x  m
<=>

m2
m

1

 ax  b(3)

xm

2
 m  a( x  m)(4)
 x  m
Trừ (3 )và( 4 )theo vế ta được
1
a
(m(a  1)  b  1) 2
2
4m

 (a + 1 )2m2 + 2(a – 1) (b+1)m + (b+1)2 = 0
Pt này được thoả mãn với

(a  1)2  0
a  1

2(a  1)(b  1)  0  
b  1
(b  1)2  0

Vậy đồ thị đã cho luôn tiếp xúc với đường thẳng cố định y = -x -1
Nhận xét : Khi đọc đề học sinh thường nhầm lẫn cách làm bài 6 giống bài 5 ở đây ta phải
chú ý đồ thị hàm số của hàm số bài 6 không cần phải có điểm cố định .

16


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

17

V.PHẦN KẾT
Sáng kiến kinh nghiệm này có thể hỗ trợ quý thầy, cô dạy tốt hơn phần các bài
toán tiếp tuyến thường gặp trong chương trình toán THPT. Đặc biệt giúp cho các em học
sinh tự ôn tập thi tốt nghiệp, đại học và cao đẳng phần các bài toán tiếp tuyến .Tuy nhiên để
đạt được những điều này thì các em phải chịu khó giải bài tập và tự phân loại các dạng toán
ở phần mình đang học.

17


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

VI.TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Giải tích 12 nâng cao
2. Giải tích
3. Bài tập Giải tích 12 nâng cao
4. Bài tập Giải tích
5. Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao
6. Sách giáo viên Giải tích 12
7. Tuyển tập báo Toán học tuổi trẻ 2008

18

ĐOÀN QUỲNH (chủ biên)
VĂN HẠO(chủ biên)
NGUYỄN HUY ĐOAN(chủ biên)
VŨ TUẤN (chủ biên)
ĐOÀN QUỲNH (chủ biên)
TRẦN VĂN HẠO(chủ biên)

18


Trường THPT Tam Phước

GV:Trần thị thanh Hương

19

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

SỞ GDĐT ĐỒNG NAI
Đơn vị : THPT TAM PHƯỚC

Biên hòa , ngày 22 tháng 5 năm 2013

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2012-2013
Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN THƯỜNG GẶP

TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN THPT
Họ và tên tác giả: TRẦN THỊ THANH HƯƠNG Đơn vị (Tổ): TOÁN – TIN HỌC
Lĩnh vực:
Quản lí giáo dục



Phương pháp dạy học bộ môn: ........................... 

Phương pháp giáo dục



Lĩnh vực khác: .................................................. 

1. Tính mới


-

Có giải pháp hoàn toàn mới

-

Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có



2. Hiệu quả
-

Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng
trong ngành có hiệu quả cao 
-

Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng
tại đơn vị có hiệu quả 
3. Khả năng áp dụng
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính
sách:

Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện
và dễ đi vào cuộc sống:
Tốt 
Khá 
Đạt 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu
quả trong phạm vi rộng:
Tốt 
Khá 
Đạt 
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)

TRẦN THỊ THANH HƯƠNG

Hoàng Thị Hương

19