HSG toan 8 sam son 2013

Hướng dẫn giải đề thi học sinh giỏi toán 8 Sầm Sơn
Bài 1: đặt : f(x)= ax3 + bx -24
ý 2: Vì ax3 + bx -24 M ( x+1) (x+3)
M x+1 theo bê du f(-1) =0 suy ra a +b = -24 (1)
nên
ax3 + bx -24
3
ax + bx -24 (x+3) nên f(-3) = 0 suy ra 27a +3b = -24 (2)
từ (1) ; (2) tìm được a =2; b=-26
Bài 2 : 1) ĐKXĐ x ∉ { 0; −2}
2
 y = −1
x2 + 4 x + 4
= y ta có phương trình y + + 3 = 0 giải tìm được 
y
x
 y = −2
 x = −1
 x = −1
⇔
Với y=-1 ta có phương trình: x2 +5 x +4 =0 ⇔ (x+1) (x+4) =0 ⇔ 
 x = −4
 x = −4

Đặt

(T/M)
với y=-2 ta có phương trình x2 +6x +4 =0 ⇔ ( x+3 - 5 ) ( x+3 + 5 ) =0
x = 5 − 3
⇔

 x = −3 − 5

từ đó phương trình có 4 nghiệm
2)dễ thấy x=2013 và x=2014 là nghieemjvowis x<2013 chứng minh vế trái lớn
hơn 1.
x> 2014 chứng minh cho vế trái lớn hơn 1
2013
0 < x − 2013 < 1;0 < x − 2014 < 1

nên vế trái nhỏ hơn

x − 2013 + x − 2014 = x − 2013 + 2014 − x = 1

vậy phương trình có tập nghiệm : S = { 2013; 2014}
Bài 3:1) từ giả thiết suy ra :
tính được N=3
1

1

2 (a − b) 2 + (b − c ) 2 + (c − a ) 2  = 0 tử đó chỉ ra a=b=c
1

2) M = 4 x 2 − 4 x + 5 = (2 x − 1) 2 + 4 ≤ 4 đẳng thức xảy ra khi x=1/2
Max M =1/4 khi x=1/2
câu 4
G
dùng t/c đường trung bình chứng minh
tứ giác MNPQ là hình thoi từ đó suy ra đpcm

b) cách 1 gọi k là giao điểm của MQ với AB
vì MQ//AC ; M là trung điểm của BC nên K là
Trung điểm AB theo ta lét ta có

F
A

E

KA ME
AB
ME
=
=
hay
AF EF
2 AF MF

K

Cách 2:

P

H

AB
AB
=
Kẻ Phân giác AL tính được

2 AF AC − AB
ME ME AL AB
ME
AB
=
×
=
⇒
=
MF AL MF AC
EF AC − AB

D
N

Q
B

L

Các 3 Trên tia đối của AC lấy G sao cho AG =AB thì BG //MF và ME=
theo ta lét :

BG 2 ME AB
ME
AB
=
=
⇒
=

EF
EF
AF
EF 2 AF

C

M

BG
2


Bài 5:Ta có

2 (x+ y+ z) = xy ⇔ 4z2 =x2y2 +4x2+4y2 -4x2y -4xy2+8xy= 4x2+4y2

⇔ xy -4x-4y +8 =0 ⇔ (x-4) (y-4) =8 từ đó tìm được (x,y) = (5;12;13) ;( 6;8;10) ;

(12;5;13); (8;6;10)