Đề thi HSG Toan 8 Duc tho- Ha tinh ( 2013)

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8- lần 2
( Thời gian: 120 phút)
Bi 1: (4 im)
a) Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t:
a) (x + y + z)
3
x
3
y
3
z
3
.
b) Gii phng trỡnh:
x 241 x 220 x 195 x 166
10
17 19 21 23

+ + + =
.
Bi 2 (3 im): Cho x, y, z ụi mt khỏc nhau v
0
z
1
y
1
x
1
=++
.
Tớnh giỏ tr ca biu thc:

xy2z
xy
xz2y
xz
yz2x
yz
A
222
+
+
+
+
+
=
Bài 3: (5 điểm)
a. Chứng minh rằng nếu
0; 0x y
> >
thì
1 1 4
x y x y
+
+
b. Cho
; ;a b c
là số đo ba cạnh một tam giác.
Chứng minh:
1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
+ + + +

+ + +
Bài 4: (6 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BD. Phân giác của
góc DAH cắt DH tại M, phân giác của góc BAC cắt BC tại N. Chứng minh:
a. Tam giác AHD và tam giác ABC đồng dạng.
b. MH.NC = MD.NB
c. Tam giác AMN vuông.
Bài 5: (2 điểm)
Một tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dơng và số đo diện tích bằng số
đo chu vi. Tính diện tích tam giác đó.
§¸p ¸n
Bài 1: ( 4 ®iÓm)
a) (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
=
( )
3
3 3 3
x y z x y z
 
 
+ + − − +
 
 

=
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2
y z x y z x y z x x y z y yz z
 
+ + + + + + + − + − +
 
=
( )
( )
2
y z 3x 3xy 3yz 3zx
+ + + +
= 3
( ) ( ) ( )
y z x x y z x y
+ + + +
 
 
= 3
( ) ( ) ( )
x y y z z x+ + +
.
b)
x 241 x 220 x 195 x 166
10
17 19 21 23
− − − −

+ + + =
x 241 x 220 x 195 x 166
1 2 3 4 0
17 19 21 23
− − − −
⇔ − + − + − + − =
x 258 x 258 x 258 x 258
0
17 19 21 23
− − − −
⇔ + + + =
( )
1 1 1 1
x 258 0
17 19 21 23
 
⇔ − + + + =
 ÷
 
 x= 258
• Bài 2 (3 điểm):
0
z
1
y
1
x
1
=++
0xzyzxy0

xyz
xzyzxy
=++⇒=
++
⇒
⇒
yz = –xy–xz
x
2
+2yz = x
2
+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)

Tương tự: y
2
+2xz = (y–x)(y–z) ; z
2
+2xy = (z–x)(z–y)
Do đó:
)yz)(xz(
xy
)zy)(xy(
xz
)zx)(yx(
yz
A
−−
+
−−
+

−−
=

Tính đúng A = 1
Bµi 3: (5 ®iÓm)
a. Chøng minh r»ng nÕu
0; 0x y> >
th×
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
Do
0; 0x y> >
nªn ta cã
2 2
1 1 4 4
( ) 4 ( ) 0
x y
x y xy x y
x y x y xy x y
+
+ ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ − ≥
+ +
(®óng)
Suy ra đpcm.
b) Vì
; ;a b c
là số đo ba cạnh một tam giác nên
; ;a b c b c a c a b+ + +

là các số dơng, áp
dụng kết quả câu a, ta có:
1 1 2
a b c b c a b
+
+ +
(1)
1 1 2
b c a c a b c
+
+ +
(2)
1 1 2
a b c c a b a
+
+ +
(3)
Cộng từng vế các bất đẳng thức (1);(2) và(3) ta có:
1 1 1 2 2 2
2
a b c b c a c a b a b c

+ + + +
ữ
+ + +


1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
+ + + +

+ + +
(đpcm)
Bài 4:
A
B
D
C
H
M
N
P
a) xét
AHD
và
ABC

có
o
AHD ABC 90 = =

HDA BCA ( DAC) = =
Suy ra
AHD
và
ABC
đồng dạng.
b) Ta có AM là phân giác của
MH AH
AHD
MD AD

=
(1)
AN là phân giác của
NB AB
ABC
NC AC
=
(2)
Lại có
AHD
và
ABC

đồng dạng (cmt)
AH AB
AD AC
=
. (3)
Từ (1);(2) và(3) ta có:
MH NB
MH.NC MD.NB
MD NC
= =
(đpcm)
c) Qua M kẻ đờng thẳng song song với AD cắt AH tại P ta có:
MP MH
AD HD
=
(talet).
Mặt khác

MH NB MH NB
(cmt)
MD NC HD BC
= =
Suy ra
MP NB
AD BC
=
mà AD//BC và AD = BC
nên MP//NB và MP = NB

Tứ giác MPBN là hình bình hành

BP// MN.
do MP// AD

MP

AB, mà AH

BM nên P là trực tâm tam giác AMB

BP

AM
lại có BP// MN(cmt)

MN

AM hay tam giác AMN vuông.

Bài 5: Gọi cạnh huyền và các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó thứ tự là a; b và c
(a;b;c

N
*
), giả sử b

c.
vì số đo diện tích bằng số đo chu vi nên ta có:
2
bc
a b c+ + =
2 2
2 2 2 2 2
2
2 4
bc b c
a b c a b c b c bc bc = = + + +
Mà
2 2 2
a b c= +
(pitago) nên suy ra:
2 2
2 2 2 2 2 2
2 4 4 8 4 4 8 0
4
( 4)( 4) 8
b c
b c bc bc o b c b c bc bc o bc b c
b c

+ = + = + =
=
Do b; c nguyên dơng và b

c nên ta có bảng giá trị sau.
b - 4 1 2
c - 4 8 4
b 5 6
c 12 8
* nếu b = 5; c = 12

a = 13 (thoả mãn) khi đó diện tích tam giác đó bằng 30 đvdt.
* nếu b = 6; c = 8

a = 10 (thoả mãn) khi đó diện tích tam giác đó bằng 24 đvdt.