CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CỰC KÌ HIỆU QUẢ

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
--------------

Tên đề tài:
"Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức
BUNHIACôPxKI để giải phơng trình
và hệ phơng trình không mẫu mực"


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2008 - 2009

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm
Tên đề tài

"Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức
BUNHIACôPxKI để giải phơng trình
và hệ phơng trình không mẫu mực"

I- Đặt vấn đề

Chơng trình toán THCS, nhất là chơng trình Đại số lớp 8 và 9 khi giải

một số phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực học sinh gặp nhiều
khó khăn vì các em cha vận dụng linh hoạt, sáng tạo và nhanh nhạy công cụ
để giải phơng trình và hệ phơng trình loại không mẫu mực. Một trong những
công cụ để giải quyết các phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực là
vận dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki. Vì vậy cần phải đa ra một
số bài toán cụ thể áp dụng kiến thức đó để trên cơ sở đó các em có thể vận
dụng linh hoạt giải các bài toán khác tơng tự.
II- Các số liệu điều tra khảo sát

Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi, cũng nh qua bản thân thấy đợc
từ các kỳ thi học sinh giỏi các cấp tôi đã cố gắng tìm tòi nghiên cứu đa ra
một số bài toán phù hợp với trình độ học sinh THCS để cho các em tiếp cận
làm quen với phơng pháp giải phơng trình và hệ phơng trình dựa vào bất
đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki.
Một số liệu cụ thể để chứng minh cho việc khi áp dụng đề tài này:
- Khi cha học chuyên đề, số học sinh vận dụng đợc đề tài là 10%.
- Khi đã học chuyên đề, số học sinh vận dụng đợc đề tài là 55%.

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm
III- Nội dung đề tài

1. Bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacôpxki.
* Bất đẳng thức Cauchy.
Cho n số không âm: a1, a2, a3, ... , an-1, an

Ta luôn có:

a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n 1 + a n n
a 1 ì a 2 ì a 3 ì . . . ì a n 1 ì a n
n

Dấu bằng xẩy ra khi a1 = a2 = ... = an.
Bất đẳng thức Cauchy còn đợc gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và
trung bình nhân.
* Bất đẳng thứcBunhiacôpxki

Cho n số: a1, a2, a3, ... , an-1, an
và: b1, b2, b3, ... , bn-1, bn

Ta luôn có:

( a 1 b1 + a 2 b 2 + ... + a n b n ) 2 ( a 12 + a 22 + ... + a 2n )( b12 + b 22 + ... + b 2n )
Dấu bảng xẩy ra khi:

a1 a 2
a
=
= ... = n
b1 b 2
bn

Bất đẳng thức trên còn đợc gọi là bất đẳng thức Schwarz, hay bất đẳng
thức Cauchy- Schwarz.
2. Nội dung:
* Vận dụng bất đẳng thức trên vào giải các phơng trình và hệ phơng trình.

Bài toán 1: Giải phơng trình
x 2 + 4 x = x 2 6x + 11

ĐK: 2 x 4

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:

(

)

2

x 2 + 4 x (1 + 1)(x - 2 + 4 - x) = 4



x 2 + 4x 2

(1) vì

x 2 + 4x 0

x2 - 6x+ 11 = x2 - 6x + 9 + 2 = (x - 3)2 + 2 2

(2)

Từ (1) và (2) dấu "=" xẩy ra khi
x 2 + 4x =2
x =3
2
x 6 x + 11 = 2
Vậy phơng trình có nghiệm x = 3
Bài toán 2: Giải phơng trình
x 2 + 2x + 2x 1 = 3x 2 + 4x + 1

x2 + 2x 0

x -2 hoặc x 0

ĐK: 2x - 1 0



3x2 + 4x + 1 0

x

1
2

x -1 hoặc x -

Kết hợp các điều kiện trên ta có:

x

1
3

1
2

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 dãy
x, 1 ,

x+2 ,

2x 1 ta có:

2
3x2 + 4x + 1 = (x + 1)(3x + 1) ( x . x + 2 + 1. 2x 1 )

1

(1)
x
2
Vậy ta có:
3x 2 + 4x + 1 x 2 + 2x + 2x 1 ( 2)

Dấu "=" trong (2) với điều kiện (1) xẩy ra khi:

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm
x
1
1
=
và x
x+2
2x 1
2

2x 2 x = x + 2 và x

1
2

x2 - x - 1 = 0
x=

1
1 5
1+ 5
với x x =
là nghiệm của pt.

2
2
2

Bài toán 3: Giải phơng trình
x2
1
5x + 3x + 3x 2 =
+ 3x
2
2
3



2

(x

2

+ x + 1) ( 5x 2) =

(x

2

+ x + 1) + ( 5x 2 )
2

(1)

2

1 3

Ta có: x + x + 1 = x + + > 0 với x nên ĐK (1) có nghĩa khi
2 4

2

5x - 2 0 x

2
5

(2)

Theo (2) và bất đẳng thức Cauchy
Dấu "=" xẩy ra khi x2 + x + 1 = 5x - 2
x 1

x2 - 4x + 3 = 0
x = 3
Vậy phơng trình có nghiệm là x = 1 hoặc x = 3
Bài toán 4: Giải phơng trình
8x2 +

1 5
=

x 2

ĐK: x > 0
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta đợc:
"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm

8x2 +

1
1 1 1 1 1 1 1 1 5
= 8x2 +
+
+
+

x
4 x 4 x 4 x 4 x 2

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi:
8x2 =

1
1
x=

x
4

Vậy nghiệm của phơng trình là: x =

1
4

Bài toán 5: Giải hệ phơng trình
2x 2
=y

2
1
+
x

2 y 2
=z

2
1
+
y

2z 2
=x

1 + z 2

Nhận xét x = 0, y = 0, z = 0 là một nghiệm của hệ
Vế trái các phơng trình của hệ đều là các số không âm
x > 0, y > 0, z > 0 nhân vế với vế các phơng trình của hệ ta có:
2y
2x
2z
.
.
=1
1+ x 2 1+ y 2 1+ z 2

(1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) = 8xyz
x, y, z > 0 nên theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
x2 + 1 2x dấu bằng xẩy ra khi x = 1
y2 + 1 2y dấu bằng xẩy ra khi y = 1
z2 + 1 2z dấu bằng xẩy ra khi z = 1
Nhân vế với vế ta có:
(1 + x2)(1 + y2)(1 + z2) 8xyz

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Dấu bằng xẩy ra khi x = y = z = 1
Vậy hệ có nghiệm x = 0, y = 0, z = 0 hoặc x = 1, y = 1, z = 1
Bài toán 6: Giải hệ phơng trình:

x 2 y 2 2 x + y 2 = 0
2
3
2 x 4 x + 3 + y = 0

Từ hệ đã cho ra suy ra:
y2 =

2x
1+ x 2

2(x - 1)2 + 1 + y3 = 0

(1)
(2)

Từ (1) hệ có nghiệm khi x 0
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 + x2 2x

2x
1
1+ x 2

Từ (1) y2 1
-1 y 1
Vì y -1 1 + y3 0 và (x - 1)2 0
Vậy 2(x - 1)2 + 1 + y3 0
1 + y 3 = 0
Dấu "=" xẩy ra trong (2) khi
2

( x 1) = 0

x = 1

y = 1

Vậy hệ có nghiệm x = 1 ; y = -1
Bài toán 7: Giải hệ phơng trình:
x 3 + 2 y 2 4 y + 3 = 0
2
2
x + x y 2 y = 0

(1)
(2)

Từ (1) x3 = -1 - (2y2 - 4y + 2) = -1 -2 (y - 1)2 - 1
Từ (2) x2 =

(3)

2y
y0
1+ y 2

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12

Sáng kiến kinh nghiệm

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 2y 1 + y2
Vậy x2 1 -1 x 1

2y
1
1+ y 2

(4)

x = 1
y = 1

Từ (3) và (4)

Vậy hệ có nghiệm x = -1; y = 1
Bài toán 8: Giải hệ phơng trình:
x 3 y = 9

3x + y = 6

Giả sử x0, y0 là nghiệm tuỳ ý của hệ khi đó ta có:
x 30 y 0 = 9

3x 0 + y 0 = 6

Từ (1) x0 , y0 cùng dấu, từ (2) x0 , y0 cùng là các số dơng, theo
bất đẳng thức Cauchy:

3x0 + y0 = x0 + x0 + x0 + y0 44 x 30 y 0
6 4 9 3 2 3 hay 1,5 3 điều này vô lý.
Vậy hệ vô nghiệm.
Bài toán 9: Giải hệ
x + 4 32 x y 2 = 3
4
x + 32 x + 6 y = 24

(1)
(2)

ĐK: 0 x 32
Cộng phơng trình (1) và (2) ta có:

(

x +

) (

32 x +

4

x +

4

)

32 x = y2 - 6y + 21

(3)

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Do y2 - 6y + 21 = y2 - 6y + 9 + 12 = (y - 3)2 + 12 12
Dấu "=" xẩy ra khi y - 3 = 0 y = 3
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:

(
(

) (1 + 1) (x + 32 - x)
32 x ) 8

x +

32 x

x +

2

x = 32 x x = 32 - x x = 16

Dấu "=" xẩy ra khi

Lại theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:

(

4




x +

(
(

4

32 x

4

x +

4

4

x +

4

)

2

(1 + 1)

(

x +

32 x

)

)
32 x ) 4
2

32 x 2.8 = 16

Dấu "=" xẩy ra khi x = 16
Vậy

(

x +

) (

32 x +

4

x +

4

)

32 x 12

Dấu "=" xẩy ra khi:
x +

32 x + 4 x +

4

32 x = 12

y 2 6 y + 21

= 12

x = 16
y = 3

Vậy x = 16 và y = 3 là nghiệm của hệ.
Bài toán 10: Tìm x, y > 0 biết:
1 4
+ 3
x y
x + y = 3


(1)
(2)
1
x

4
y

Nhân vế với vế (1) và (2) ta có (x + y) ( + ) 9

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:

1
9 =
x

2
x+
y

2

1 4
y + (x + y)
x y


2
1
x = y 1 = 2 y = 2x
x y
x
y

Dấu "=" xẩy ra khi

3x = 3
y = 2x

Thay vào (2) ta có:

x = 1

y = 2

Vậy hệ có nghiệm x = 1; y = 2
Bài toán 11: Tìm x, y, z > 0 biết:
1 4 9
+ + =3
x y z
x + y + z 12


(1)
(2)

Nhân vế với vế của (1) với (2) ta đợc:
1 4 9
(x + y + z) + + 36
x y z
Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có:
1
36 =
x

2
x+
y

2

1 4 9

3
y+
z + + (x + y + z)
x y z
z


2
1
3
Dấu "=" xẩy ra khi x = y = z 1 = 2 = 3 6x = 3y = 2z
x y z
x
y
z
Thay vào (2) khi x + y + z = 12 ta có x = 2 , y = 4 , z = 6

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm
Bài toán 12: Giải hệ:
x 2 + y 2 = 1

125y 3 125y 5 = 6 15
Hệ tơng đơng với:
x 2 + y 2 = 1

3
6 15
2
y (1 y ) =
125


x 2 = 1 y 2

3 2 6 15
y x =
125


áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho y2 , y2 , y2 ,

x 2 = 1 y 2

6 4 2 2 . 33
y x = 5
5


(1)
(2)

3 2 3 2
x , x ta có:
2

2

2 3 . 33
y x 5
5
6

4

Dấu "=" xẩy ra khi y2 =

3 2
x
2


x =
3
2
Từ (3) và (1) x2 + x = 1
2
y =


(3)
10
5
15
5

Một số bài tập vận dụng:
Giải các phơng trình:
Bài 1:

Bài 2:
Bài 3:
Bài 4:

6 x + x + 2 = x 2 6 x +13
x 2 + 2 x + 4 = 3 x3 + 4 x
36
+
x2

1
= 28 4 x 2 y 1
y 1

2 x 2 11x + 21 = 33 4 x 4

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Giải các hệ phơng trình:
Bài

x + y + z = 12

5: xy + xz + xt + yz + yt + zt = xyzt 27
x, y , z , t > 0


Bài 6

2009
1 + x1 + 1 + x2 + + 1 + x2008 = 2008
2008


2007
1 x + 1 x ++ 1 x
1
2
2008 = 2008

2008


x 3 9 y 2 + 27 y 27 = 0

Bài 7: y 3 9 z 2 + 27 z 27 = 0
z 3 9 x 2 + 27 x 27 = 0

Bài 8:





x
+
y

y
+
z

z
=3
x

y
+
x

z
+
y

x

=3
z

xyz = 1

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm
III- Kết luận

Chuyên đề này đã đợc áp dụng vào quá trình giảng dạy trong chơng
trình Đại số 8&9 nhất là trong việc bồi dỡng học sinh giỏi; vì nó vừa có tính
khoa học, cơ sở lý luận, vừa có cơ sở thực tiễn. Vì vậy đề tài đã đem lại cho
học sinh khối 8, 9 và giáo viên thêm phơng pháp giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực.
Tuy nhiên trong khuôn khổ của một sáng kiến kinh nghiệm không thể
tránh khỏi những sai sót, mong các đồng nghiệp góp ý giúp đỡ./.

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12


Sáng kiến kinh nghiệm

----------

Đề tài:

Sáng kiến kinh nghiệm

"Vận dụng bất đẳng thức cauchy và bất đẳng thức BUNHIACÔPxKI
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

Họ và tên:
Đơn vị công tác:

nguyễn xuân thái

Trờng THCS Bình An
Năm học 2008 - 2009

"Vận dụng bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunhiacôpxki
để giải phơng trình và hệ phơng trình không mẫu mực"

12