15 ĐỀ THI HSG TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN ĐẦY ĐỦ

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1

Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán- Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giaođề)

Bài 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
 y − xy
 
x
y
x + y 
+ x:
+
−
M = 
  xy + y
xy − x
xy 
 x+ y
 
a. Tìm điều kiện để biểu thức M có nghĩa; rút gọn M

b. Tính giá trị của M tại x = 1; y = 1 + 8 2 +

82 8
+

92 9

Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
a. x + 3 +

4x
x+3

=4 x

b. 2x4 – 5x3 + 6x2 – 5x + 2 = 0
Bài 3: (2 điểm)
a
b
c
+
+
=1
b+c c+a a+b
a2
b2
c2
+
+
Tính P =
b+c c+a a+b

Cho

Bài 4: (2 điểm)
Cho hình thang ABCD; góc A = góc B = 900 và AB = BC + CD
Chứng minh rằng: trung điểm của cạnh DC là tâm đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh còn lại
của hình thang
Bài 5: (2điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A; AB = AC = b; góc A = 2 ∝
a. Chứng minh rằng: Diện tích tam giác ABC : S ∆ABC =

1 2
b Sin 2 ∝
2

b. Chứng minh rằng: Sin2 ∝ = 2Sin ∝ Cos ∝
-------- HẾT ---------(Đề thi gồm có … trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh................................


UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán - Lớp 9

Bài 1: (2điểm)

Ý/Phần
a)

Đáp án

Điểm
0,25đ

Điều kiện đúng
Rút gọn M =

b)

1,25đ

y+ x

Tính y = 9

0,25đ

Thay x; y => M = 2

0,25đ

Bài 2: (2điểm)

Ý/Phần

Đáp án

a)

Điều kiện

2
Đưa về ( x − 3 − 2 x ) = 0
Tìm x; kết luận

Điểm
0,25đ
0,25đ
0,25đ

b)

Chia 2 vế cho x2 ( x2 ≠ 0)

0,25đ

1
Đặt t = x + ( - 2 ≤ t ≤ 2)
x

0,25đ

Đưa về phương trình ẩn t

0,25đ

Giải phương trình được t =

1
hoặc t = 2
2

0,25đ

Thay tìm được x = 1

0,25đ

Bài 3: (2điểm)

Ý/Phần

Đáp án
Viết được P + a + b + c =

2

Điểm
2

2

a
b
c
+a+
+b+
b+c
c+a
a+b

1đ

Biến đổi P + a + b + c
P = 0 và kết luận đúng

0,5đ
0,5đ

Đáp án
Vẽ hình vẽ đường các đường vuông góc từ trung điểm DC
tới các cạnh
Chứng minh được 3 đoạn bằng nhau
Kết luận đúng

Điểm

Bài 4: (2điểm)

Ý/Phần

0,75đ
0,75đ
0,5đ


Bài 5: (2điểm)

Ý/Phần
a)

Đáp án
Vẽ đường cao từ B hoặc C. Tính được đường cao bằng :
B SinA = b Sin 2 ∝
=> S =

b)

1 2
b Sin 2 ∝
2

Điểm
0,5đ
0,5đ

Vẽ đường cao từ A => góc A1 = góc A2 =
Tính được đường cao từ A là b. cos ∝ và
=> S = b sin ∝ cos ∝

2∝
=∝
2

1
BC = b Sin ∝
2

0,5đ

2

1 2
b sin 2 ∝
2
=> sin2 ∝ = 2 sin ∝ cos ∝

Kết hợp S =

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

0,5đ

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT 1

Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0 điểm)


1   x −1
x −1 
−
÷.
x
x+ x ÷


Cho biểu thức P =  x −
÷: 
x  


a) Tìm x ñeå P xaùc ñònh, rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x =

2
.
2+ 3

c) Tìm giá trị của x thỏa mãn đẳng thức P. x = 6 x − 3 − x − 4 .
Bài 2: (2,0 điểm) Giải các phương trình
a) x 2 − 3x + 2 + x + 3 = x − 2 + x 2 + 2 x − 3
b) x 2 + 5 x + 9 = ( x + 5) x 2 + 9 .
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b + c = 2015
1 1 1
1
và + + =
thì một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2015.
a b c 2015

(

)(

)

2
2
b) Cho x và y thỏa mãn x + x + 2015 y + y + 2015 = 2015 . Tính x + y.

Bài 4: (3,0 điểm)


Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi D là
trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam giác ACD, G là giao điểm của CD và AO.
Chứng minh:
b) OE ⊥ CD

a) EG // AB
c) SDAC + SBDO =

3
SABC
4

Bài 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn(AB < AC). Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường
vuông góc với đường phân giác của góc A cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng
minh: BM = CN.
---------- HẾT ---------(Đề thi gồm có 01 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.....................................................; Số báo danh................................


UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán - Lớp 9

Bài 1: (2 điểm)
Ý/Phần
a)

0,75
điểm

Đáp án
1   x −1
x −1 

P= x−
−
÷ , ĐKXĐ: x > 0, x ≠ 1
÷: 
x  x
x+ x ÷



0,25


x −1
 x −1   x −1
−

=
÷: 
x
 x 
x x +1


0,25

(

)

0,5
điểm
c)

(

(
(

)

x +1

2

Nên P = (

)

3 −1+1

ĐK: x ≥ 4

(

⇔
⇔

)

2

)

2

x +1

x +1

3
3
=
3 −1

=

= 6 x −3−

(

x −2

)

2

Kết luận

).

3 +1
2

0,25

0,25

(

x −2

0,25

x−4

x−4 ⇔

≥ 0 ∀ x > 0;

Nên để (*) xảy ra thì

x = 3 −1

x−4

⇔ x + 2 x + 1 = 6 x −3−
Do

(

0,25

x−4

. x = 6 x −3−

x

(

2

3 −1

P. x = 6 x − 3 −

0,75
điểm

 x −1 x −1− x +1
=
:
x

x x +1


) = ( x + 1) 2
(
)
x − 1)
x
2
∈ ĐKXĐ, x = 4 − 2 3 = ( 3 − 1) ⇒
Với x =
2+ 3
x− x
x −1
x −1 x
×
=
:
=
x x +1
x
x

x

b)

Điểm

(

)

2

x − 2 + x − 4 = 0 (*)

0,25

x−4 ≥ 0, ∀x ≥ 4

)

2

= 0 và

x − 4 = 0 ⇒ x = 4 (TM ĐKXĐ)

0,25


Bài 2: (2 điểm)

Ý/Phần

a)

Đáp án
a, x 2 − 3x + 2 +

Điểm

x + 3 = x − 2 + x 2 + 2 x − 3 (1)

x 2 − 3x + 2 ≥ 0

⇔x≥2
ĐK: x + 3 ≥ 0
x 2 + 2 x − 3 ≥ 0


0,25

(1) ⇔ + = +

 x −1 = a ≥ 0

Đặt:  x − 2 = b ≥ 0

1 điểm
 x + 3 = c ≥ 0
⇔ a.b + c = b + a.c
(1)

⇔ a(b - c) - (b - c) = 0

0,25

a = 1
⇔ (a - 1)(b - c) = 0 ⇔ 
b = c

0,25

Với a = 1 ⇒

x − 1 = 1 ⇔ x - 1 = 1 ⇔ x = 2 (thoả mãn

Với b = c ⇒
vô nghiệm

x − 2 = x + 3 ⇒ x - 2 = x + 3 ⇒ 0x = 5

đk)

0,25

Vậy phương trình (1) có nghiệm x = 2

b)

x 2 + 5 x + 9 = ( x + 5) x 2 + 9 .

0,25

Đặt x 2 + 9 = y (với y ≥ 3 )
1 điểm Khi đó, ta có: y 2 + 5 x = ( x + 5) y ⇔ ( y − 5)( y − x ) = 0 ⇔  y = 5

Từ đó tìm được nghiệm của phương trình là: x = ±4.

y = x

0,5
0,25


Bài 3: (2 điểm)
Ý/Phần

a)

Đáp án

Điểm

1 1 1
1
1 1
1
1
+ + =
⇔ ( + )+( −
)=0
a b c a+b+c

a b
c a+b+c
a+b
a+b
+
=0
ab c(a + b + c)
1
1
⇔(a + b )(
+
) =0
ab c ( a +b +c )

⇔

⇔(a + b )(ab + ac +bc + c 2 ) = 0
⇔(a + b )(b + c )(c + a ) = 0
a +b = 0
⇔
b + c = 0

c + a = 0

+) Nếu a + b = 0 thì suy ra c = 2015
+) Nếu b + c = 0 thì suy ra a = 2015
+) Nếu a + c = 0 thì suy ra b = 2015
Chứng tỏ trong 3 số a, b, c phải có một số bằng 0.
b)

)(

(x+

)

x2 + 2015 y + y2 + 2015 = 2015 (hai nhaân töû v.traùi phaûi khaùc 0)

)

(

2
Nên x + x + 2015 =

1 điểm

2015
y + y 2 + 2015

2

Tương tự y + y + 2015 =

= y2 + 2015 − y

0,5

2

x + 2015 − x

Cộng vế theo vế, ta có
x + y + y 2 + 2015 + x 2 + 2015 =
⇒ 2(x + y) = 0 nên x + y = 0

y 2 + 2015 + x 2 + 2015 − x − y

0,5


Bài 4: (3 điểm)
Ý/Phần

Đáp án

Điểm

a)
1 điểm

0,25

Vẽ hình chính xác
Chứng minh EG //AB:
Kẻ các đường trung tuyến CM, DN của ∆ ADC chúng cắt nhau ở E
Hai trung tuyến AO và CD cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm ∆

ABC
Xét ∆ MCD, ta có:

CE CG 2
=
= ⇒ EG // DM hay EG // AB
CM CD 3

Chứng minh OE ⊥ CD :
OD ⊥ AB (Đường kính qua trung điểm D của dây AB)
Mà EG // AB nên EG ⊥ OD (1)
1 điểm ∆ ABC cân tại A ⇒ OG ⊥ BC, mà BC // DN nên OG ⊥ DN (2)
Từ (1) và (2) suy ra G là trực tâm ∆ ODE, do đó OE ⊥ DG
hay OE ⊥ CD

0,25
0,5

b)

c)

0,5

Chứng minh: SDAC + SBDO =
S ODC

1 điểm

3
SABC:
4

1
1
1 1
1
1
= OC × OA = × BC × OA = OA.BC
2
2
2 2
2
8
1
OA.BC
= 2
=4
1
OA.BC
8

0,5

S ABC
S ODC

Vậy SABC = 4 SODC hay SODC =

0,5

1
SABC

4

Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC –

1
3
SABC = SABC
4
4

0,5



Bài 5: (1 điểm)
Ý/Phần

Đáp án

Vẽ hình chính xác
Chứng minh: BM = CN
1 điểm Gọi K là giao điểm của MN và đường phân giác của góc A
Từ B kẻ đường thẳng song song với MN nó cắt AC tại P
∆ AMN là tam giác cân tại A (AK vừa là đường cao vừa là đường
phân giác) ⇒ AM = AN (1)
BP//MN nên BP ⊥ AK.Tương tự ∆ ABP cân tại A ⇒ AB = AP
(2)
BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra BM = PN (4)
Trong ∆ BCP, D là trung điểm của BC, DN// BP ⇒ N là trung

điểm
của CP hay NP = NC (5).
Từ (4),(5) ⇒ BM = CN

Điểm

0,25

0,5

0,25

Lưu ý: Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
.

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
HÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1
Năm học 2015 - 2016
Môn thi: Toán – Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2,0 điểm)
 x+2
x
1  x −1
+
+
÷

÷: 2
 x x −1 x + x +1 1− x 

1.Cho biểu thức A = 

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng 0 < A ≤ 2 .
2. Cho biểu thức:
x+2
.
x-2

2+x+ 2-x
= 2 với –2 < x < 2 và x ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức
2+x− 2-x


Bài 2: (2 điểm)
1. Giải phương trình: x 2 − 7 x = 6 x + 5 − 30
2. Cho hai đường thẳng (d1): y = ( m – 1 ) x – m2 – 2m (Với m là tham số)
(d2): y = ( m – 2 ) x – m2 – m + 1
cắt nhau tại G.
a) Xác định toạ độ điểm G.
b) Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi.
Bài 3: (2 điểm)
a/ Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 – 1 M24.
b/ Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương
c/ Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: y 2 + 2 xy − 3x − 2 = 0
Bài 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn, M
di động trên đường thẳng d, kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O,R), OM cắt AB

tại I.
a. Chứng minh tích OI.OM không đổi.
b. Tìm vị trí của M để ∆ MAB đều.
c. Chứng minh rằng khi M di động trên d thì AB luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5: (1 điểm)
Cho các số thực dương x; y; z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng
x
y
z
9
+
+
≤
x + yz y + zx z + xy 4

…………………HẾT.…………………..
(Đề thi gồm có 02 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………………..;Số báo danh:…………………


UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Câu

ý

HƯỚNG DẪN CHẤM
Môn thi: Toán – Lớp 9

Đáp án và hướng dẫn chấm

Điểm
0,25đ

a/ với x ≥ 0, x ≠ 1
Ta có A =
 x+2
x
1  x −1 x + 2 + x − x − x − x −1 2
+
+
.

÷
÷: 2 =
x −1
x −1 x + x + 1
 x x −1 x + x +1 1− x 

(

(
1

1

b/

x − 2 x +1

)(

)

x −1 x + x +1

.

)(

)

2
2
=
x −1 x + x +1

với x ≥ 0, x ≠ 1 ta luôn có A > 0

Lại có: x + x + 1 ≥ 1 ⇒
Vậy 0 < A ≤ 2

0,25đ

0,25đ

2
≤ 2 hay A ≤ 2

x + x +1

0,25đ
0,25đ
0,25đ

a c
a-b c-d
= ⇒
=
; từ giả thiết
b d
a+b c+d
0,25
2+x+ 2-x
2 2-x
2 −1
= 2 suy ra
=
2+x− 2-x
2 2+x
2 +1

Áp dụng tính chất: Nếu

ra
2 Từ giả thiết –2 < x < 2 suy
2

2-x

2 - x  2 −1 
2+x
> 0⇒
= 
⇒
= 3+ 2 2
÷
2+x
2 + x  2 +1 ÷
2
x


⇒
2

1

(

)

2

x+2
= −17 − 12 2
x−2

Đk: x ≥ −5
2

x 2 − 7 x = 6 x + 5 − 30 ⇔ (x – 8x + 16) + (x + 5 - 6 x + 5 + 9) = 0
⇔ ( x – 4)2 + ( x + 5 - 3)2 = 0

0,25


⇔

 x − 4 = 0
⇔ x = 4.

 x + 5 − 3 = 0

0.5đ

Vậy x = 4.

2

a/ Hoành độ điểm G là nghiệm của phương trình:
(m-1)x - m2 - 2m = (m - 2)x - m2 - m + 1
⇔ x=m+1
Tung độ điểm G là: y = (m-1) (m+1) - m2 - 2m
⇔ y = -2m – 1
Toạ độ điểm G là (m + 1 ; -2m - 1)
b/ Có y = -2m - 1 = -2(m + 1) + 1
Mà x = m + 1
⇒ y = -2x + 1
Toạ độ điểm G thoả mãn phương trình đường thẳng y = -2x + 1
cố định. Chứng tỏ G luôn thuộc đường thẳng y = -2x + 1 cố định

khi m thay đổi

0.5đ

0.5đ

0.5đ

3

0,25
a/ Ta có p2 – 1 = (p – 1)(p + 1)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ do đó p – 1 và p + 1 là
hai số chẵn liên tiếp , suy ra (p – 1)(p + 1) M8
(1)
0,25
Xét ba số tự nhiên liên tiếp p – 1; p; p + 1 ta có (p – 1) p(p + 1) M
3.
Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3, 3 là 0,25
số nguyên tố suy ra (p – 1)(p + 1) M3
(2)
Từ (1) và (2) kết hợp với (3, 8)=1 và 3.8 = 24 suy ra p2 – 1 M
24 (đpcm)
b/ A = n 2 + n + 6 là số chính phương nên A có dạng
A = n 2 + n + 6 = k 2 (k ∈ N * )

0.25

⇔ 4n 2 + 4n + 24 = 4k 2 ⇔ (2k ) 2 − (2n + 1) 2 = 23
2k + 2n + 1 = 23

⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔ 
 2k − 2n − 1 = 1

0.5


(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1)
2k + 2n + 1 = 23
k = 6
⇔
⇔
 2k − 2n − 1 = 1
n = 5

Vậy với n = 5 thì A là số chính phương
c/
y 2 + 2 xy − 3 x − 2 = 0 ⇔ x 2 + 2 xy + y 2 = x 2 + 3x + 2 ⇔ ( x + y ) 2 = ( x + 1)( x + 2)

0,25đ

(*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số
0,25đ

nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.
x +1 = 0
 x = −1 ⇒ y = 1
⇔
⇔
x + 2 = 0

 x = −2 ⇒ y = 2

Vậy có 2 cặp số nguyên ( x; y ) = (−1;1) hoặc ( x; y ) = (−2; 2)
4

A
O
I
K
B
(d)
M

H

Vẽ hình đúng đến câu a
a) Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O,R)
⇒ OB ⊥ MB ; OA ⊥ MA

Chứng minh được ∆OAM = ∆OBM từ đó suy ra MA = MB
Lại có OA=OB suy ra OM là đường trung trực của đoạn thẳng
AB
⇒ OM ⊥ AB
⇒ ∆ OMB vuông tại B có BI là đường cao

0,25đ
0,25đ
0,25đ

⇒ OB2 = OI.OM
⇒ OI.OM = R2 không đổi.
b) ∆ AMB cân tại M (chứng minh trên)
Để ∆ AMB đều thì góc AMB = 600 ⇔ góc BMO = 300
⇔ ∆ OBM vuông tại B có OB = 0,5 OM
⇒ OM = 2.OB = 2R

Kết luận
c/ Kẻ OH ⊥ d, H ∈ d ⇒ H cố định, OH cắt AB tại K.
Chứng minh ∆OIK và ∆OHM đồng dạng
⇒ OH.OK = OI. OM = R2 không đổi
Mà O, H cố định nên OH không đổi ⇒ OK không đổi, K ∈ OH
cố định
⇒ K cố định

5

Ta có x + yz = x(x + y + z) + yz = (x + y)(z + x).
Tương tự ta có y + zx = (x + y)(y + z); z + xy = (y + z)(z + x)
Do đó:
x
y
z
x ( y + z ) + y ( z + x) + z ( x + y )
+
+
=
x + yz y + zx z + xy
( x + y )( y + z )( z + x)
2( ( x + y )( y + z )( z + x) + xyz )

=
( x + y )( y + z )( z + x)
2xyz

1

9

= 2 + (x + y)(y + z)(z + x) ≤ 2 + 4 = 4 ( vì áp dụng BĐT Côsi cho hai
số dương ta có: (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 2 xy.2 yz.2 zx = 8xyz ))

0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0.25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

1
3

Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = z = .
…………………HẾT.…………………..

UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Bài 1 : (2,0 điểm)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT 1

Năm học 2014 - 2015
Môn thi : Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)


3

1/ Cho x =

10 + 6 3

(

) . Tính P = ( x − 4x + 1)

3 −1

3

2009

6+2 5 − 5


x  
x +2
x +3
x +2
+
+
÷: 
÷
2/ Cho biểu thức : A =  1 −
÷ x−5 x +6
÷
x
+
1
x
−
2
3
−
x

 

5
a/ Rút gọn A;
b/ So sánh A và −
2
Bài 2 : (2,0 điểm)

(

)

1/ Giải phương trình : 2 x 2 + 2x + 3 = 5 x 3 + 3x 2 + 3x + 2
2/ Một thầy giáo còn trẻ dạy môn Toán, khi được hỏi bao nhiêu tuổi đã trả lời như
sau : “Tổng, tích, hiệu, thương của tuổi tôi và đứa con trai của tôi cộng lại là 216”.
Hỏi thầy giáo bao nhiêu tuổi?
Bài 3 : (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng :
1
(d1 ) : y = −3x + 6; (d 2 ) : y = x − 1; (d 3 ) : y = 2x + 4
2
Gọi A là giao điểm của (d1 ) và (d 2 ) ; B là giao điểm của (d 2 ) và (d 3 ) ; C là giao
điểm của (d 3 ) và (d1 ) .
1/ Vẽ (d1 ) ; (d 2 ) ; (d 3 ) . Tìm tọa độ của A, B, C;
2/ Tính diện tích của tam giác ABC.
Bài 4 : (3,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Kẻ tia Ax vuông góc với AB (tia Ax và
nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Lấy một điểm C bất kì
thuộc nửa đường tròn (C khác A và B). Qua O kẻ một đường thẳng song song với
BC cắt tia Ax tại M và cắt AC tại F.
1/ Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O;
2/ Biết bán kính của đường tròn là 5cm, dây AC = 8cm. Tính MB;
3/ BM cắt nửa đường tròn tại D. Chứng minh ∆ MDF đồng dạng với ∆ MOB.
Bài 5 : (1,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z = 2 .
x2
y2
z2
+

+
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =
y+z z+x x+y
---------HẾT--------(Đề thi gồm có 01 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh : ……………………………………; Số báo danh :
……………………….


UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn thi : Toán - Lớp 9

Bài 1 : (2,0 điểm)
Ý/Phần

Đáp án
Biến đổi :
3

x=

1/
(0,75đ)

=

3

10 + 6 3

(

)= (

3 −1

6+2 5 − 5

3

)( )
( 5 + 1) − 5

10 + 6 3

108 − 100 3
= 8=2
1

3 −1

(

)

3

Vậy khi x =

2009

3
3

=

2

(

)

2009

10 + 6 3

(

x +1

(

) thì P = 1

0,25đ

)(

)(

(
) (

)(

x−3
x−2

5 +1− 5

3 −1

6+2 5 − 5

(

:

)

= 12009 = 1

(

1

3 − 10

, ta được :

ĐKXĐ : x ≥ 0;x ≠ 4;x ≠ 9 . Khi đó, ta có :

x  
x+2
x+3
x +2
A = 1 −
+
+
÷: 
÷

÷

x + 1  x − 5 x + 6
x − 2 3 − x ÷


x+3
 x +1
x  
x+2
A=
−
+
÷: 

 x +1
x + 1 ÷  x − 2 x − 3
2/a/
x−2


(0,75đ)
x + 1− x x + 2 + x − 9 − x + 4
A=
:
x +1
x −2 x −3
A=

( 10 + 6 3 )( 6

0,25đ

Thay x = 2 vào biểu thức P = x3 − 4x + 1
P = 23 − 4.2 + 1

Điểm

x−3

)

0,25đ

)(

)(

) −(
x − 3) (

x −3

)(
x − 2 )(

x+2

)
)

x −2 
÷
x − 3 ÷÷ 0,25đ


)

=

1
x +1

:

1

x−2

=

0,25đ

x−2
x +1

0,25đ

Với x ≥ 0;x ≠ 4;x ≠ 9 . Ta có :
2/b/
(0,5đ)

7 x + 1 > 0
5
x −2 5 2 x −4+5 x +5
7 x +1

A+ =
+ =
=
> 0 vì 
2
x +1 2
2 x +1
2 x +1
2 x + 1 > 0
5

5
Do A + > 0 ⇒ A > −
2
2

(

)

(

)

(

)

0,25đ
0,25đ


Bài 2 : (1,0 điểm)
Ý/Phần

Đáp án

ĐKXĐ : x ≥ −2 .
Khi đó, ta có :

(

)

Điểm
0,25đ

(

)

2 x 2 + 2x + 3 = 5 x 3 + 3x 2 + 3x + 2 ⇔ 2 x 2 + 2x + 3 = 5

( x + 2) ( x

2

)

+ x +1

Đặt a = x + 2;b = x 2 + x + 1 (a;b ≥ 0) . Phương trình đã cho trở thành :
2 a2 + b2 = 5ab ⇔ 2a2 − 5ab + 2b2 = 0 ⇔ 2a2 − ab − 4ab − 2b2 = 0

(

1/
(1,0đ)

)

(

) (

 b = 2a
⇔ a ( 2a − b ) − 2b ( 2a − b ) = 0 ⇔ ( 2a − b ) ( a − 2b ) = 0 ⇔ 
 a = 2b
*) Trường hợp 1 :
b = 2a ⇔ b2 = 4a2 ⇒ x 2 + x + 1 = 4 ( x + 2 ) ⇔ x 2 − 3x − 7 = 0
2

)

0,25đ

2



3  37
3  37
⇔ x − ÷ −
= 0 ⇔ x − ÷ =
2
4
2
4


3 ± 37

3 ± 37 (thỏa mãn)
=
⇔x=
2
2
2
*) Trường hợp 2 :
a = 2b ⇔ a2 = 4b2 ⇒ x + 2 = 4 x 2 + x + 1 ⇔ 4x 2 + 3x + 2 = 0
⇔x−

(

0,25đ

)

2


3  23
⇔  2x + ÷ +
= 0 (phương trình vô nghiệm)
4  16


2/
(1,0đ)

0,25đ

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3 ± 37
2
Gọi x, y lần lượt là tuổi của thầy giáo và tuổi của con thầy giáo (x, y nguyên
dương; x > y)
0,25đ
Theo đề bài, ta có phương trình :
( x + y ) + ( x − y ) + xy + xy = 216 ⇔ 2x + xy + xy = 216 (*)
0,25đ
x
(t ∈ N* ) , phương trình (*) trở thành :
Đặt t =
y
2ty + ty 2 + t = 216 ⇔ t ( y + 1) = 216
2

⇒ ( y + 1) là ước của 216 ⇒ ( y + 1) ∈ { 4;9;36}
2

2

Từ đó, suy ra cặp nghiệm ( x;y ) phù hợp là ( 30;5)
Vậy tuổi của thầy giáo là 30 tuổi.

0,25đ
0,25đ


Bài 3 : (2,0 điểm)
Ý/Phần
Đáp án

1/
*) Hàm số : y = −3x + 6 (d1 )
(1,5đ) +)x = 0 ⇒ y = 6 ⇒ M(0;6)
+)y = 0 ⇒ x = 2 ⇒ N(2;0)
⇒ Đồ thị hàm số là đường thẳng MN
1
*) Hàm số : y = x − 1 (d 2 )
2
+)x = 0 ⇒ y = −1 ⇒ P(0; −1)
+)y = 0 ⇒ x = 2 ⇒ Q(2;0)
⇒ Đồ thị hàm số là đường thẳng PQ
*) Hàm số : y = 2x + 4 (d 3 )
+)x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ E(0;4)
+)y = 0 ⇒ x = −2 ⇒ F(−2;0)
⇒ Đồ thị hàm số là đường thẳng EF
*) Vẽ :

Điểm

0,25đ

0,25đ

0,25đ

0,25đ


0,25đ
0,25đ

2/
(0,5đ)

*) Tìm tọa độ của A, B, C:
+) Theo cách vẽ dễ thấy A trùng với N và Q ⇒ A(2;0)
+) Hoành độ giao điểm của B là nghiệm của phương trình :
1
−10
−8
x − 1 = 2x + 4 ⇔ x − 2 = 4x + 8 ⇔ −3x = 10 ⇔ x =
⇒y=
2
3
3
 −10 −8 
⇒ B
; ÷
3
3 

+) Hoành độ giao điểm của C là nghiệm của phương trình :
 2 24 
2
24
−3x + 6 = 2x + 4 ⇔ −5x = −2 ⇔ x = ⇒ y =
⇒ C ; ÷
5
5
5 5 

Ta có : AF = 4
24
1 24 48
⇒ S∆CAF = .4. =
(ñvdt)
+) ∆CAF có chiều cao ứng với AF là
5
2
5
5
8
1 8 16
(ñvdt)
+) ∆BAF có chiều cao ứng với AF là ⇒ S∆BAF = .4. =
3
2 3 3
48 16 224
+
=
(ñvdt)
Vậy diện tích ∆ABC là :
5
3
15

0,25đ
0,25đ


Bài 4 : (3,0 điểm)

Ý/Phần

1/
(0,75đ)

2/
(1,0đ)

Đáp án

Điểm

Vẽ hình đúng; ghi giả thiết, kết luận đúng
∆ABC có AB là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ⇒ ∆ABC vuông
tại C ⇒ AC ⊥ BC
Do MO // BC ⇒ MO ⊥ AC ⇒ F là trung điểm của AC
⇒ OM là đường trung trực của AC
⇒ MA = MC
Xét ∆MAO và ∆MCO có :
MO chung
MA = MC
OA = OC
⇒ ∆MAO = ∆MCO (c.c.c)
·
·
⇒ MCO
= MAO
= 90 0 ⇒ MC ⊥ OC ⇒ MC là tiếp tuyến của nửa đường
tròn tâm O
AC = 8cm ⇒ AF = 4cm

+) ∆MAO vuông tại A có đường cao AF
1
1
1
1 1
9
400
20
⇒
=
−
= 2− 2=
⇒ MA 2 =
⇒ MA = (cm)
2
2
2
400
9
3
MA
AF
AO
4 5
+) ∆MAB vuông tại A

0,25đ

0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ

2

 20  1300
10 13
⇒ MB = AB + MA = 10 +  ÷ =
⇒ MB =
(cm)
3
9
3
 
+) Chứng minh ∆MDA và ∆MAB đồng dạng
MD MA
⇒
=
⇒ MD.MB = MA 2
MA MB
2

3/
(1,0đ)

2

2

2

0,25đ

0,25đ
0,25đ


+) Chứng minh MA 2 = MF.MO

MD MO
=
MF MB
+) Chứng minh ∆MDF đồng dạng với ∆MOB (c.g.c)
+) Do đó : MD.MB = MF.MO ⇒

0,25đ
0,25đ

Bài 5 : (1,0 điểm)
Ý/Phần

Đáp án
Vì x, y, z dương. Theo bất đẳng thức Côsi, ta có :
x2
y+z
x2 y + z
+
≥ 2.

.
=x
+)
y+z
4
y+z 4

Điểm

(1)

2
x2
y+z
=
⇔ 4x 2 = ( y + z ) ⇔ 2x = y + z
Dấu “=” xảy ra ⇔
y+z
4
2
2
+) y + z + x ≥ 2. y . z + x = y (2)
z+x
4
z+x 4
2
y2
z+x
Dấu “=” xảy ra ⇔
=

⇔ 4y 2 = ( z + x ) ⇔ 2y = z + x
z+x
4

z2
x+y
z2 x + y
+
≥ 2.
.
=z
+)
x+y
4
x+y 4

(3)

2
z2
x+y
=
⇔ 4z 2 = ( x + y ) ⇔ 2z = x + y
Dấu “=” xảy ra ⇔
x+y
4

0,5đ

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức cùng chiều (1), (2) và (3) ta có :

x2
y2
z2
y+z z+x x+y
+
+
+
+
+
≥x+y+z
y+z z+x x+y
4
4
4
x2
y2
z2
x+y+z
⇒
+
+
≥
=1
y+z z+x x+y
2
2x = y + z

2y = z + x
2


Dấu “=” xảy ra ⇔ 2z = x + y ⇔ x = y = z =
3
x + y + z = 2

x;y;z > 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi x = y = z =

---------HẾT---------

2
3

0,5đ


UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT I
Năm học 2015 – 2016
Môn thi: Toán - Lớp 9
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức: P =

x
2
x+2
+

+
x − x x + 2 x ( x − 1)( x + 2 x )

a. Rút gọn P .
b. Tính P khi x = 3 + 2 2 .
c. Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (2 điểm)
a.Giải phương trình x 2 − 2 x − x x − 2 x + 4 = 0
b. Cho hàm số: y = x − 2m − 1 ; với m tham số.
Tính theo m tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy.
2
H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của m để OH =
2

Bài 3: (2 điểm)
a. Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: y 2 + 2 xy − 3x − 2 = 0
b. Tìm số tự nhiên n để: A = n2012 + n2002 + 1 là số nguyên tố.
Bài 4: (3 điểm)
a, (1 điểm) Cho tam giác ABC. Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường vuông góc với
đường phân giác của góc A cắt AB và AC lần lượt tại M và N.Chứng minh: BM = CN: b,
(2 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi D là
trung điểm của AB, E là trọng tâm của tam giác ACD, G là giao điểm của CD và AO.
Chứng minh: a) EG // AB
b) OE ⊥ CD
c) SDAC + SBDO =

3
SABC
4
3

 x −1 
 3 − 2x x 
1
1
+
+ ÷
Bài 5: (1 điểm) Cho x > 1; y > 0 , chứng minh:
÷ + 3 ≥ 3
3
( x − 1)  y  y
 x −1 y 

---------HẾT--------( Đề thi gồm có 1 trang)
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh………………………………..; Số báo danh………………
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI

HƯỚNG DẪN CHẤM


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO

Câu

.
Nội dung cần đạt

Ý

P=

a

1

Môn thi: Toán- Lớp 9

x
2
x+2
+
+
x ( x − 1)
x ( x + 2)
x ( x − 1)( x + 2)

=

x( x + 2) + 2( x − 1) + x + 2 x x + 2 x + 2 x − 2 + x + 2
=
x ( x − 1)( x + 2)
x ( x − 1)( x + 2)

=

x x + 2x + 2 x + x
=
x ( x − 1)( x + 2)

x ( x + 1)( x + 2) ( x + 1)
=
x ( x − 1)( x + 2) ( x − 1)

x = 3 + 2 2 ⇔ x = 2 + 2 2 + 1 = ( 2 + 1) = 2 + 1
2

b

c

P=

( x + 1)
2 +1+1
2+2
=
=
= 1+ 2
( x − 1)
2 +1−1
2

ĐK: x > 0; x ≠ 1 : P =

( x + 1)
=
( x − 1)

x −1+ 2

2
= 1+
x −1
x −1

Học sinh lập luận để tìm ra x = 4 hoặc x = 9
ĐK: x ≥ 0 . Nhận thấy: x = 0 không phải là nghiệm của phương

2

Điểm
0,25
0,25
0.5
0.25

2,0

0.25
0.25
0.25
0.25

trình, chia cả hai vế cho x ta có:
x2 − 2x − x x − 2 x + 4 = 0 ⇔ x − 2 − x −

Đặt x +
a

2 4

4
2
+ = 0 ⇔ (x + ) − ( x +
) −0.25
2=0
x
x x
x

2
4
4
= t > 0 ⇔ t2 = x + 4 + ⇔ x + = t2 − 4 ,
x
x
x

0.25

thay vào ta có:
t = 3
⇔ (t 2 − 4) − t − 2 = 0 ⇔ t 2 − t − 6 = 0 ⇔ (t − 3)(t + 2) = 0 ⇔ 
t = −2

0.25

Đối chiếu ĐK
⇒t =3⇔ x +

b

x = 4
2
= 3 ⇔ x − 3 x + 2 = 0 ⇔ ( x − 2)( x − 1) = 0 ⇔ 
x
x = 1

Tìm được tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A
2,0

( 2m + 1;0 )
Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B ( 0; −2m − 1)
Ta có: ∆ AOB vuông tại O và có OH là đường cao nên:

0,5


m = 0
1
1
2
1
1
1
2= 2 + 2 ⇔2=
⇔
=
+
2
2

2
2 Hay
x A yB
(2m + 1)
OH
OA OB
 m = −1
y + 2 xy − 3x − 2 = 0 ⇔ x + 2 xy + y = x + 3x + 2 ⇔ ( x + y ) = ( x + 1)( x + 2)
2

2

2

2

2

0,5
0,25

(*)
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên
a

liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0.

0.25

x +1 = 0

 x = −1 ⇒ y = 1
⇔
⇔
x + 2 = 0
 x = −2 ⇒ y = 2

0,25

Vậy có 2 cặp số nguyên ( x; y ) = (−1;1) hoặc ( x; y ) = (−2; 2)

0,25
2.0

3

Xét n = 0 thì A = 1 không phải nguyên tố; n = 1 thì A = 3 nguyên

0.25

tố.
Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + 1
= n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1)
b

Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 -1, suy ra (n3)670 – 1) chia hết cho n2
+n+1

0,25
3 667

Tương tự: (n )

2

– 1 chia hết cho n + n + 1

Vậy A chia hết cho n2 + n + 1>1 nên A là hợp số. Số tự nhiên cần
tìm n = 1.
4

0.25

0,25

1

Chứng minh: BM = CN
Gọi K là giao điểm của MN và đường phân giác của góc A
Từ B kẻ đường thẳng song song với MN nó cắt AC tại P
∆ AMN là tam giác cân tại A (AK vừa là đường cao vừa là đường
phân giác) ⇒ AM = AN (1)
BP//MN nên BP ⊥ AK.Tương tự ∆ ABP cân tại A ⇒ AB = AP

0,25 3.0