Tiếp cận bất đẳng thức qua các bài toán trong đề thi quốc gia nguyễn đại dương

T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

TI P C N B T Đ NG TH C
THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN TRONG Đ THI
Đ I H C CAO Đ NG
2016
Trong c{c năm v a qua b|i to{n B t Đ ng Th c v| Gi{ Tr L n Nh t
Gi{ Tr Nh Nh t l| c}u h i khó đ chinh ph c đi m
trong đ thi Đ i
H c Cao Đ ng v| Kì Thi THPT Qu c Gia cũng nh trong c{c kì thi HSG
Theo xu h ng c a c{c năm g n đ}y thì vi c ki m đi m c a c}u h i n|y
th c s không ph i l| m t vi c qu{ khó kh n n u nh c{c em có ki n th c
v b|i to{n n|y
Đ i v i c{c em thi Y D c An Ninh Công An thì vi c chinh ph c c}u
h i n|y l| đi u c n thi t Chính vì v y c{c em ph i b t đ u ngay t b}y gi
m t c{c nghiêm túc l| có l trình đ có đ y đ ki n th c nh m l|m t t b|i
to{n n|y trong đ thi Vi c h n kém nhau
đi m đã có th quy t
đ nh v n đ đ u v| r t c{c tr ng TOP
M c tiêu c a c{c em c n đ t ra l| h c đ v| v n d ng t t không nên
h c qu{ cao siêu nh ng nh qu{ th a thãi B não c a c{c em ph i ho t
đ ng đ c}n b ng t t c c{c môn đ đ t t ng th|nh tích cao nh t ch ko
ph i đ t th|nh tích cao ch môn.
D i đ}y l| m t v|i l u c a th y khi b t đ u h c v B t Đ ng Th c
S

Bi t đ c và v n d ng đ c b t đ ng th c chính là b t đ ng th c
AM-GM (Cauchy, Cosi) và b t đ ng th c Cauchy-Schwarz (BunyakovskiCauchy-Schwarz).
S
ộ m rậ đ c đi m r i là gì S d ng các đánh giá t ng ng đ
đ m b o đi m r i nh th nào
S
Bi t và v n d ng đ c các đánh giá th ng g p nh t các b t đ ng
th c ph quen thu c
S
ờèn luy n th ng xuyên đ quen tay và t o s nh y bén x lí t c
đ cao trình bày rậ ràng chi ti t
D
I ĐỨỤ TH Ụ T ộG CỦC EỘ L I GI I VÀ CỦCH T DUỤ C A
CỦC BÀI TỚỦộ B T Đ ộG TH C TờỚộG CỦC Đ THI CHÍộH TH C
C A B GIỦỚ D C VÀ ĐÀỚ T Ớ
CHÚC CỦC EỘ TI ớ C ộ VÀ Đ ộH H
KÌ THI

ộG ĐÚộG CHU ộ B CHỚ

3
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D
Bài 1: Cho x, y , z là các s th c d

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

ng Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

x 1 
y 1  z 1 
P  x    y    z 

 2 zx   2 xy 
 2 yz 
Đ tuy n sinh Đ i H c kh i B-2007
PH N T CH
D th y b|i to{n đ i x ng nên đi m r i l| x  y  z .

Ta có P 
l| l

x2  y 2  z 2 x2  y 2  z2

. T s l| l
xyz
2

ng xyz nên ta có th đ a v l

xy  yz  zx Đ t nhiên ta ch n l



Ta có 3 x  y  z
2

2

 x  y  z
P

2

6

ét h|m s
 f ' t  

2

f t  



ng trung gian l| x  y  z ho c

ng x  y  z .

S d ng c{c b t đ ng th c x  y  z
2

2

2

 x  y  z


   x  y  z
9x  y  z

x  y  z


 x  y  z

3

2

3

BÀI GI I
2

2

ng x2  y 2  z2 v| m u s

v|  x  y  z   27 xyz
3

v| 27xyz   x  y  z 

6

2



3

9
xyz

t2 9
 v i t  x y  z t  0
6 t

t 9
  f ' t   0  t  3
3 t2

BBT:
t
f t

0


3
0








f(t)

9
2
9
9
D a v|o b ng bi n thiên  f  t   f  3    P 
2
2
x  y  z

Đ ng th c x y ra khi 
 x  y  z 1

x  y  z  3

K t lu n V y gi{ tr nh nh t c a P l|

9
khi x  y  z  1 .
2

4

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D
Bài 2: Cho x, y , z là các s th c d
x  y  z

ng th a mãn xyz  1 Tìm giá tr nh nh t
y2  z  x 

2

c a bi u th c

P

y y  2z z



ng Fb:ThayNguyenDaiDuong



z z  2x x

z2  x  y 
x x  2y y

Đ tuy n sinh Đ i H c kh i A-2007
PH N T CH
D đo{n đi m r i l| x  y  z  1
M u s ch a t ng c a c{c đ i l

ng x x , y y , z z g n nh l| không bi n

c n u có thì 2x x  x  x  1  x2  x s đ a m u v d ng ph c t p

đ iđ

h n
Ta th y t s c{c ph}n th c có s đ c bi t l| ch a c ba bi n x, y, z d a v|o

đi u ki n b|i to{n ta đ{nh gi{ nh sau x2  y  z   2x2 yz  2x x đ n đ}y
ta th y t s tr th|nh đ i l

ng gi ng m u
BÀI GI I

C

Áp d ng AM-GM: x2  y  z   2x2 yz  2x x
T

ng t

P

y 2  z  x   2 y y , z2  x  y   2z z
2x x

y y  2z z



2y y
z z  2x x



2z z
x x  2y y

2a
2b
2c


b  2c c  2 a a  2b
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz:

Đ t a  x x;b  y y;c  z z  P 

a  b  c
2a2
2b 2

2c 2


2
a  b  2 c  b  c  2 a  c  a  2b 
3  ab  bc  ca 
2

a  b  c  1
3  ab  bc  ca    a  b  c  
3  ab  bc  ca 
2

M|

2

2a
2b
2c



b  2 c c  2 a a  2b
Đ ng th c x y ra khi a  b  c  x  y  z  1
P

C
Đ t a  x x  2 y y ; b  y y  2z z ; c  z z  2x x
x x 

4 c  a  2b
4 a  b  2c
4b  c  2 a
;y y 
;z z 
9
9
9
5
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

2  4c  a  2 b 4 a  b  2c 4b  c  2 a 
P 



9
b
c
a


b a c 
2 a b c
 P      4      6
9 b c a
a c b 
2
 P   3  4.3  6   2
9
Đ ng th c x y ra khi a  b  c  x  y  z  1 .

K t lu n V y gi{ tr nh nh t c a P l| khi x  y  z  1
ng th a mãn x  x  y  z   3yz Ch ng minh

Bài 3: Cho x, y , z là các s th c d
r ng

 x  y   x  z
3

3

 3  x  y  y  z  z  x   5  y  z 

3

Đ tuy n sinh Đ i H c kh i A-2009
PH N T CH
B t đ ng th c ch ch a x  y , y  z v| z  x nên ta h ng đ n vi c đ i bi n
cho g n b|i to{n Đ t a  x  y; b  y  z , c  z  x , khi đó đi u ki n tr th|nh:

b2  ac  a2  c 2 , b t đ ng th c tr th|nh a3  c 3  3abc  5b3
Ta th y đi u ki n v| b|i to{n đ ng c p (thu n nh t nên ta chia qua đ
2

2

ac a
c
 2  2
bb b
b
3
3
a
c
ac
a3  c 3  3abc  5b3  3  3  3
5
bb
b
b
a
c
Đ t u  ,v 
Đi u ki n  u2  v2  uv  1 b|i to{n  u3  v3  3uv  5
b
b
Ta đã đ a v b|i to{n bi n đ i x ng đ n gi n V| ta có th hi u b|i to{n
l| tìm gi{ tr l n nh t c a bi u th c P  u3  v3  3uv

BÀI GI I
a  x  y
abc
abc
bca

;y 
;z 
Đ t b  y  z  x 
2
2
2
c  z  x

gi m bi n: b2  ac  a2  c 2  

2

2

a c
ac
 1 (1)
 x  x  y  z   3yz  a  c  b  ac       
bb
b b
2

2

2

3

3

a c
ac
 5 (2)
B t đ ng th c tr th|nh a  c  3abc  5b        3
bb
b b
3

3

3

6
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

a
c
Đ t u  , v   1  u2  v2  uv  1 v|  2   u3  v3  3uv  5
b
b
2
2
3
Áp d ng AM-GM: 1   u  v   3uv  1   u  v   1  u  v  2
4





ét P  u3  v3  3uv   u  v  u2  uv  v 2  u  v   1  u  v   u  v   1
2

2

 P  22  2  1  5   2  đúng Đ ng th c x y ra khi u  v  1 .

goài ra ta c)ng c th

ánh giá b ng A -G nh sau
2
2
3
Ta có b2  a2  c 2  ac   a  c    a  c   2b  a  c
4

C





 a3  c 3  3abc   a  c  a2  c 2  ac  3abc   a  c  b2  3abc  2b.b2 

2
3
a  c b

4

2
3
2b  b  5b3 . Đ ng th c y ra khi a  b  c .

4
K t lu n V y b t đ ng th c đúng đ ng th c x y ra khi x  y  z .

 a3  c 3  3abc  2b3 

Bài 4: Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn a  b  c  1 . Tìm giá tr nh
nh t c a bi u th c





P  3 a2 b2  b2 c 2  c 2 a2  3  ab  bc  ca   2 a2  b2  c 2

Đ tuy n sinh Đ i H c kh i B-2010
PH N T CH
B|i to{n đ i x ng ba bi n không }m nên đ ng th c x y ra khi có ít nh t
bi n b ng Ta c đ nh m t bi n c  0  a  b  1  b  1  a thay v|o P :









P  3 a2  1  a   0  0  3 a 1  a   0  0  2 a2  1  a   0 2

S

i:

2

TAB E

CASIO

F  X   3X 2 1  X   3X 1  X   2 X 2  1  X 
2

2

 START = 0
 END = 1
 STEP = 0.1
D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s có c c
đ i trong kho ng  0.4,0.6  v| đ t gi{ tr nh
nh t l| khi X  0 v| X  1 .
Khi X  0  a  0  b  1 v| X  1  a  1  b  0

2

X

F(X)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9

2
2.1053
2.206
2.2854

2.335
2.3517
2.335
2.2854
2.206
2.053
7

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

V y đi m r i c a b|i to{n l| a  1, b  c  0 v| c{c
ho{n v .
Ta th y v i đi m r i trên thì :



1



a2 b2  b2 c 2  c 2 a2  0  3 a2 b2  b2 c 2  c 2 a2   ab  bc  ca 

2

2

Chính vì v y ta s ép bi n v t  ab  bc  ca
Ta không th đ{nh gi{ : a2  b2  c 2  ab  bc  ca nên ta s bi n đ i t
đ

ng

ng : a  b  c   a  b  c   2  ab  bc  ca 
2

2

2

2

a  b  c
n : 0  ab  bc  ca 

V| đi u ki n c a bi

3



2



BÀI GI I



S d ng b t đ ng th c : 3 x2  y 2  z 2   x  y  z 



 1
1
 t  0, 
3
 3



 3 a2 b2  b2 c 2  c 2 a2   ab  bc  ca 

2

2

M| :  a  b  c   a2  b2  c 2  2  ab  bc  ca   a2  b2  c 2  1  2  ab  bc  ca 
2

 P   ab  bc  ca   3  ab  bc  ca   2 1  2  ab  bc  ca 
2

a  b  c
Ta có : 0  ab  bc  ca 

2



1
3

3
 1
Đ t t  ab  bc  ca  t  0,   P  f  t   t 2  3t  2 1  2t
 3

S d
CASIO v i:

PH N T CH HÀM S
TABLE b

F  X   X 2  3X  2 1  2X

 START = 0
 END = 0.35
 STEP = 0.05
D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s
 1
đ n đi u tăng trên 0,  v| h|m s đ t gi{

 3
tr nh nh t b ng khi X  0

F X

X

0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35

2
2.0498
2.0988
2.1458
2.1891
2.2267
2.2549
2.2679

ab  bc  ca  0

t i t  0 Khi đó gi{ tr c n tìm c a a, b, c l| 
 a  1, b  c  0


a  b  c  1
v| c{c ho{n v th a mãn yêu c u b|i to{n Nên ta đ nh h ng ch ng minh
8
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D
h|m s

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

 1
f  t   t 2  3t  2 1  2t đ ng bi n trên 0, 
 3

 1
ét h|m : f  t   t 2  3t  1  2t v i t  ab  bc  ca  t  0, 
 3
 1
1
 f '  t   2t  3 
 0 v i m i t  0, 
1  2t
 3

H|m s đ ng bi n nên f  t   f  0   2  P  2

Đ ng th c x y ra khi a  1, b  c  0 v| c{c ho{n v
K t lu n : V y gi{ tr nh nh t c a P l| khi a  1, b  c  0 .
Bài 5: Cho x, y , z là các s th c thu c 1,4  và x  y , x  z Tìm giá tr nh nh t
y
x
z


P
c a bi u th c :
2x  3y y  z z  x
Đ tuy n sinh Đ i H c kh i A-2011
PH N T CH
Bi u th c thu n nh t b c v| hai ph}n th c cu i t ng đ ng nhau nên ta
1
1
1
s chia đ gi m bi n P 
nh ng hai ph}n th c cu i


y
z
x
1
1
23
y
z

x
kh{ l| quen thu c chúng ta liên h đ n m t b t đ ng th c ph :
1
1
2


v i ab  1 (1)
1  a 1  b 1  ab
Ta c n đi u ki n đ s d ng b t đ ng th c trên t đi u ki n 

z x x
.  1
y z y

th a mãn {p d ng (1) đ a b|i to{n v kh o s{t h|m s v i bi n t 

x
y

đ}y tôi không trình b|y c{ch ch ng minh b t đ ng th c ph trên vì qu{
quen thu c c{c em t ch ng minh v|o b|i gi i
BÀI GI I
1
1
2


v i ab  1
Áp d ng b t đ ng th c :

1  a 1  b 1  ab


1
z
1
y



1
x
1
z



2
x
1
y

P

1
y
23
x



2
x
1
y

.

9
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D
Do x , y  1,4  , x  y  

x
4 Đ t t
y

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

x
t2
2
 P  f t   2


y
2t  3 1  t

PH N T CH HÀM S
TABLE b

S d
CASIO v i:

F X 

X

2



2
X 1

2X  3
 START = 1
 END = 4
 STEP = 0.25
D a v|o b ng gi{ tr trên ta nh n th y h|m
s đ n đi u gi m trên 1,2  v| gi{ tr nh
nh t đ t t i X  2 .
Nh v y gi{ tr nh nh t c a f  t  l| f  2 
2

X

F(X)
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2

1.2
1.1756
1.1539
1.1344
1.1165
1.1
1.0845
1.0698
1.056
1.0428
1.0303

x
y  4


 x  4, y  1, z  2
Khi t  2 gi{ tr c n tìm c a x, y , z l| 
z  x  z x 1
 y z y z

Gi{ tr n|y th a mãn đi u ki n c a b|i to{n nh v y ta đ nh h
minh h|m s

f t  

ét h|m f  t  

t

t

2t  3

2

2t  3
2

2

2





1
đ n đi u gi m khi t  1,2 
t 1

2
v i t
1 t

x
 t  1,2 
y

4 t  t  1  t 2  6  t   9 
  0 t  1,2 
 f ' t   
 
2
2
2
2t  3  t  1
3





34
34
P

H|m ngh ch bi n trên 1,2   f  t   f  2  
33
33
 x
2

 y
 x  4, y  1, z  2
Đ ng th c x y ra khi 
z  x  z x 1
y z y z


K t lu n V y gi{ tr nh nh t c a P l|

34
khi x  4, y  1, z  2 .
33

10
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

ng ch ng


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

Bài 6: Cho x, y , z là các s th c th a mãn x  y  z  0 . Tìm giá tr nh nh t c a
bi u th c

P3

x y

3

yz

3

z x

 6 x2  6 y 2  6 z 2

Đ tuy n sinh Đ i H c kh i A-2012
PH N T CH
Ta có x  y  z  0 nên s có ít nh t bi n }m nh ng b t đ ng th c v| đi u
ki n đ i x ng nên đi m r i khi có ít nh t hai bi n b ng nhau Do vai tr
bi n nh nhau nên ta gi s x  y  2x  z  0  z  2x thay v|o P đ c
0

P3 3

S

CASIO

T
đi
tr
V

i

3x

3

3x

 6 x2  6 x2  6  2 x   2.3
2

TAB E

F  X   2.3

3X

3x

6 x 1

X

F(X)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4

 6X  1

 START = 0
 END = 4
 STEP = 0.5
b ng gi{ tr trên ta th y h|m s đ n
u tăng v| tăng r t nhanh h|m đ t gi{
nh nh t l| khi X  0 .
y đi m r i c a b|i to{n l| x  y  z  0

3
8.3923
49
272.59
1447
7561.9
39349
204531

1.106
B|i to{n có ch a h|m mũ đ i x ng nên ta tìm m t đ{nh gi{ đ đ a v đa
th c đ m b o đi m r i t i x  y  z  0 .
Ta có đ{nh gi{ 3t  t  1 t  0  3

x y

3

yz

3

zx

 xy  yz  zx

Khi đó ta c n tìm ki m m t đ{nh gi{ ho c bi n đ i sao cho:



6 x2  6 y 2  6 z 2  f x  y , y  z , z  x
Ta bi n đ i t

ng đ



ng k t h p đi u ki n

6x2  6 y 2  6z 2  2  x  y   2  y  z   2  z  x   2  x  y  z 
2



2

2

2

2

 6x2  6 y 2  6z 2  2 x  y  y  z  z  x



2

2



2

Ta suy ra P  x  y  y  z  z  x  2 x  y  y  z  z  x



2

2

3


N u ta đ t a  x  y , b  y  z c  z  x  P  a  b  c  2 a 2  b2  c 2  3
thì c{c đ{nh gi{ đ a v h|m s s b ng c d u
Do d đo{n gi{ tr nh nh t c a P l| nên ta s đ{nh gi{

11
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D



ng Fb:ThayNguyenDaiDuong
2

2

xy  yz  zx  2 xy  yz  zx

Ta bình ph

2

 0

ng v| s d ng b t đ ng th c: a  b  a  b
BÀI GI I

f t   3  t v i t  0

ét h|m s

t

 f '  t   3t ln 3  1  0 v i m i t  0

H|m đ ng bi n  f  t   f  0   1  3t  t  1
Áp d ng ta đ

c 3

x y

3

yz

3

zx

 xy  yz  zx 3

6 x2  6 y 2  6z 2  2  x  y   2  y  z   2  z  x   2  x  y  z 
2

M|



2

2

2

2

 6x2  6 y 2  6z 2  2 x  y  y  z  z  x



2

2



2

3
 zx 

P xy  yz  zx  2 xy  yz  zx

Ta có

 xy  yz  zx

2



2

 xy  yz





2

2

2

2

2

2

2 xy yz  yz zx  zx xy  xy  yz  zx

2

Áp d ng b t đ ng th c : a  b  a  b



yz  x y  zx  yz

 xy  yz  xyyz  xz  zx xy  yz  zx

T

ng t





2

xy yz  zx  xy ,



2

2

 xy  yz  zx  2 xy  yz  zx

2

2
2



 P   . Đ ng th c x y ra khi x  y  z  0 .

K t lu n : V y gi{ tr nh nh t c a P l| khi x  y  z  0 .
Bài 7: Cho x, y , z là các s th c th a mãn x  y  z  0 và x2  y 2  z 2  1 Tìm
giá tr l n nh t c a bi u th c

P  x5  y 5  z 5

Đ tuy n sinh Đ i H c kh i B-2012
PH N T CH
B|i to{n đ i x ng v| bi n th c nên đi m r i khi có bi n b ng nhau do

12
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D
vai tr c a bi n l| nh nhau ta gi s

Thay v|o  P  

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

 x  2 y
 x  2 y  0


yz 2
1
2
 x  2 y  1  y  
6


2
1
5 6
,y  z  
kh năng đi m r i c a s l| x 
.
36
6
6

Đ đ m b o ta s d ng CASIO nh sau: z  x  y  x2  y 2   x  y   1
2

2


y
y
y
1 3y 2
1 3y 2
 x   
x 

z
2
2
4
2
2
4
2


 y
1 3y2
Thay v|o  P    

 2
2

4

S
TAB E
CASIO i

5

1 3y 2

2
4
5


 y
3y 2 
  y5     1 


 2
2
4 



X
F(X)
 0.28
0.8

5
5
0.0175
0.7
 X
 X
1 3X 2 
1 3X 2 
5





X   

F X   
0.21
0.6
 2
 2
2
4 
2
4 




0.3125

0.5
0.34
0.4
 START = 1
0.3075
0.3
 END = 1
0.23
0.2
 STEP = 0.1
0.1225
0.1
D a v|o b ng ta th y h|m s đ t gi{ tr l n
0
0
nh t t i gi{ tr g n X  0.4 v| t i gi{ tr
 0.122
0.1
X  0.8 h|m s đ t nhiên tăng nhanh nên ta
 0.23
0.2
ti p t c s d ng TABLE v i
 0.307
0.3
 START = 0.8
 0.34
0.4
 END = 0.82
 0.312
0.5

 STEP =0.001
 0.21
0.6
Ta thu đ c b ng v| th y h|m s gi{ tr l n
 0.017
0.7
nh t t i gi{ tr g n X  0.816 v| gi{ tr n|y v|o
0.8
0.28
kho ng 0.3383 g n b ng gi{ tr t i X  0.4 .
V y h|m s đ t gi{ tr l n nh t t i gi{ tr g n v i X  0.4 v| X  0.816
2
1
,y  z  
ph h p v i d đo{n x 
v| gi{ tr l n nh t x p x 0.34
6
6

g n đúng v i d đo{n

5 6
.
36
13

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

Ta s nh p v|o CASIO m t l n n a đ x{c nh n chính x{c gi{ tr

x

2
6

l|

5
5

 X
d  X
1 3X 2 
1 3X 2  
5
 
  X   

c c tr Nh p



2  0 do
 2
dx   2
2
4 
2
4   x 


 
6

2
2
đ o h|m c a h|m s F  X  b ng t i x 
nên x 
l| c c tr
6
6
V i d đo{n đi m r i khi có bi n b ng nhau ta s đ{nh gi{ đ a v m t
bi n V i bi n s th c thì t t nh t ta rút th đi k m v i đ{nh gi{ luôn đúng

1 x  y  z  x
2

2

2

 y  z



2

2

2

x

2

 x 


2

3x 2
2
2

x
2
6
6



2





Cu i c ng ta s đ a P v bi n x b ng đ{nh gi{ 16 y 5  z 5   y  z   x5
Đ{nh gi{ ch đúng khi y  z  0 khi đó P  x2 

2

đi m r i x y ra khi x 

 0 Nên ta s gi s

6

5

x5 15 5
 x r r|ng khi đó
16 16

x  0  y  z  x  0 .

BÀI GI I
x  0  y  z  x  0

Không m t t ng qu{t gi s





Ta có a2  b2  2ab  2 a2  b2   a  b  a, b  R
x y z x
2

2

2

2

 y  z


2

x

2



2

2

 x 


2



2

3 2
2
6
6
x
x  x2   
2
3
3
3

   y  z
 16  y  z   y  y z  y z  yz  z    y  z 
Do y  z  0
 16  y  y z  y z  yz  z    y  z 
 y  3z  2 y z  4 yz  y  z 
  y  z   2  y  z   0 luôn đúng Đ ng th c x y ra khi y  z .

Ta có đ{nh gi{ sau
4

4

3

4

4

4

16 y  z
5

3

2 2

2 2

3

2

3

2

2

5

4

4

4

2 2

5

5

2

2

Áp d ng b t đ ng th c  P  x

5

 y  z


5

x

5

 x 


5



16
16
1
,y  z  
Đ ng th c x y ra khi x 
v| c{c ho{n v .
6
6

15x5 5 6

16
36

2

14
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D
K t lu n V y gi{ tr l n nh t c a P l|

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

2
1
5 6
,y  z  
khi x 
.
36
6
6

ng th a mãn  a  c  b  c   4c 2 . Tìm giá tr

Bài 8: Cho a, b, c là các s th c d
nh nh t c a bi u th c
P

32a3

 b  3c 

3



32b3

 a  3c 

3

a 2  b2
c



Đ tuy n sinh Đ i H c kh i A-2013
PH N T CH
B|i to{n v| đi u ki n đ i x ng theo hai bi n a, b nên đi m r i khi a  b
thay v|o đi u ki n ta đ c đi m r i a  b  c .
Đi u ki n v| b|i to{n l| c{c bi u th c đ ng c p nên ta h ng đ n đ t n
ph gi m bi n.
a
b
Đ t x  ,y 
Đi u ki n   x  1 y  1  4  x  y  xy  3
c
c
32 y 3
32 x 3
P

 x 2  y 2 . Đi m r i l| x  y  1 v| min P  1  2
3
3
 y  3  x  3
Ta th y  x2  y 2  

x  y

2

 2  x  y   6 nên ta có th đ a v h|m s

v i bi n x2  y 2 ho c x  y .
Do

ph}n th c đ u có b c nên ta s ngh đ n c{c đ{nh gi{ sau:
 Đ{nh gi{

S d ng b t đ ng th c a  b
3

3

 a  b


3

4
 Đ{nh gi{ Áp d ng AM-GM:
32 x 3
1 1
32 x3
32 x3
1
x2

x







6
ho
c
3
3
3
2
 y  3 2 2 y  3
 y  3  y  3 2  y  3

T

đi u ki n  x  y  2 nên ta s đ nh h

đ{nh gi{ đ m b o h|m s thu đ

ng ép bi n v

x  y v| ph i

c đ ng bi n
BÀI GI I

a
b
Đ t x  ,y 
Đi u ki n tr th|nh
c
c
32 y 3
32 x 3
P

 x2  y 2
3
3
 y  3  x  3

 x  1 y  1  4  xy  x  y  

15
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D
Áp d ng AM-GM:  x  1 y  1

 x  y  2


4

C
Áp d ng b t đ ng th c a  b
3



32 x3

 y  3

3



32 y 3

 x  3

3

3

 a  b


3

 x
y 
 P  

 
 y3 x3

x  y

2

2

    x  y  2   x  y  2
2

3

4

 x
y 
 


 y3 x3

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

a, b  0

3

 2x  y  6

Đ NH H
NG T DU
Ta s đ{nh gi{ ti p t c đ đ a b|i to{n v x  y Do bi u th c có d ng ph}n
th c nên ta ngh ngay đ n b t đ ng th c Cauchy-Schwarz:

x  y
y
y2
x
x2




y  3 x  3 xy  3x xy  3 y 2 xy  3x  3 y
2

M u s có xy ta v n có th đ{nh gi{ ti p nh ng khoan đ{nh gi{ qu{ nhi u
s d n đ n b|i to{n b ng
P

8x  y

6

 x  y  6

3



x  y

c d u nên ta rút th xy  3   x  y 
2

 2x  y  6

Đ n đ}y ta s d ng CASIO đ đ m b o r ng b|i to{n v n c n đúng:
S
TAB E
X
F(X)
CASIO i
 0.414
2
6
8X
 0.324
2.1
 X 2  2X  6
F X 
3
 0.154
2.2

 X  6
2.3
0.0988
 START = 2
2.4
0.4439
 END = 3
2.5
0.889
 STEP 0.01
2.6
1.444
D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s
2.7
2.1201
đ n đi u tăng h|m s đ t gi{ tr nh
2.8
2.9294
nh t t i X  2 .
2.9
3.8847
Chú Đ ch c ch n ta có th ti p t c s
3
5
d ng TABLE cho kho ng r ng h n
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz:
16
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

x  y  x  y
y
y2
x
x2




y  3 x  3 xy  3x xy  3y 2xy  3x  3y x  y  6
2

P

8x  y

6

 x  y  6

3



8t 6

f t  

ét h|m s

x  y

2

2

 2x  y  6

 t 2  2t  6 v i t  x  y  t  2

t  6
24t 5  t  12 
t 1
 f ' t  

4
2
t  2t  6
t  6
3

PH N T CH HÀM S

TAB E

S
CASIO

i
F X 

X

24X  X  12 
5

 X  6

4

 START = 2
 END = 3
 STEP = 0.2
X 1

F X 

X  2X  6

b ng trên ta th y

gi{ thông qua gi{ tr
Ta có:

V|

24t 5  t  12 

t  6
t 1

t 2  2t  6

4





2
2.2
2.4
2.6
2.8
3

F(X)
2.1213
1.7777
1.5921
1.4746
1.3931
1.3333

X

2

 START = 2
 END = 3
 STEP =0.2

D a v|o

2
2.2
2.4
2.6
2.8
3

F(X)
2.625
3.8847
5.5272
7.61 9
10.193
13.333

24t 5  t  12 

t  6 

4



5
t 1

nên ta s đ{nh
2
2
t  2t  6

5
.
2
4
5
 t 6  t 5  5  t  6   0 đúng t  2
2

5
 2t  2  5 t 2  2t  6  t 2  42t  154  0 đúng t  2
2

17
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D
 f ' t  

24t 5  t  12 

t  6

4



t 1
t 2  2t  6

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

 0 t  2

H|m s đ ng bi n trên  2,    f  t   f  2   1  2  P  1  2
C
32 x 3
1 1
x
Áp d ng AM-GM:
  6
3
 y  3 2 2 y  3
32 y 3

 x  3

3



y
1 1
 6
x3
2 2

 x
2
y 
 P  

  x  y  2x  y  6  2
 y3 x3
Áp d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz:

x  y  x  y
y
y2
x
x2





y  3 x  3 xy  3x xy  3y 2xy  3x  3y x  y  6
2

P

6x  y

2

xy6

S
CASIO

 x  y



2

 2 x  y  6  2

PH N T CH HÀM S
TAB E

i
2

F X 

6X
 X 2  2X  6
X6
 START = 2
 END = 3
 STEP 0.01
D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s
đ n đi u tăng h|m s đ t gi{ tr nh
nh t t i X  2 .
Đ ch c ch n ta ti p t c s d ng TABLE
cho kho ng r ng h n

ét h|m s
 f ' t  

f t  

t  6

X
2
.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9

3

6t 2
 t 2  2t  6 v i t  x  y  t  2
t6

6t  t  12 
2

2



t 1
t 2  2t  6

18
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

F(X)
 0.414
 0.348
 0.258
 0.148
 0.021
0.1204
0.2749
0.441
0.6178
0.8043

1


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D
6t  t  12 

Ta có:
V|

t  6

2

t 1
t  2t  6
2

 f ' t  





5
 7t 2  84t  180  0 đúng t  2
2

5
 t 2  42t  154  0 đúng t  2
2

6t  t  12 

t  6

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

2

t 1



t 2  2t  6

 0 t  2

H|m s đ ng bi n trên  2,    f  t   f  2   1  2  P  1  2
x  y  2

Đ ng th c x y ra khi 
 x  y 1 a  b  c

x  y
K t lu n V y gi{ tr nh nh t c a P l| 1  2 khi a  b  c .
Bài 9: Cho a, b, c là các s th c d ng Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

4
9
P

a2  b2  c 2  4  a  b   a  2c  b  2c 
Đ tuy n sinh Đ i H c kh i B-2013
PH N T CH
P đ i x ng theo a, b nên d đo{n đi m r i khi a  b .
Ta không đ{nh gi{ : a  b  c
2

2

Nên ta s đ{nh gi{  a  b 

2

a  b  c


2

vì ch a ch c a  b  c .

3

 a  2c  b  2c 

v a 2  b2  c 2 :

 a  b  a  2c  b  2c    a  b  a  b2 4c  a

 b2  2ab  4ac  4bc
2
2
2
2
2
2
Ta ép v a  b  c nên c n cm a  b  2ab  4ac  4bc  f a2  b2  c 2
2





C}n b ng h s trong AM-GM ta đ c a  b  c v|:
a2  b2  2ab  4ac  4bc
 2 a 2  b2  c 2
2
BÀI GI I
Áp d ng AM-GM:
2
2
 a  b  a  2c  b  2c    a  b  a  b2 4c  a  b  2ab2  4ac  4bc
M| 2ab  a2  b2 , 4ac  2 a2  c 2 v| 4bc  2 b2  c 2













19
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D



a2  b2  2ab  4ac  4bc
 2 a 2  b2  c 2
2
4
9
P

2
2

2
a2  b2  c 2  4 2 a  b  c




ng Fb:ThayNguyenDaiDuong





Đ t t  a 2  b2  c 2  4  t  2  P  f  t  

4
9

2
t 2 t 4





Đ NH H
NG T DU
Do b|i to{n không có đi u ki n nên đ bi u th c có gi{ tr l n nh t thì h|m
s ph i có c c đ i v| đ t gi{ tr l n nh t t i đi m c c đ i
S
TAB E

X
F(X)
CASIO i
2.5
 0.4
4
9
3
0.4333
F X  
X 2 X2  4
3.5
0.5974
4
0.625
 START = 2
4.5
0.6119
 END = 7
5
0.5857
 STEP = 0.5
5.5
0.5558
D a b ng gi{ tr trên ta th y h|m s đ t
6
0.526
c c đ i trong kho ng  3.5,4.5  v| đ t
6.5
0.4977

gi{ tr l n nh t t i đó
7
0.4714
Ta x{c nh n xem X  4 có ph i l| c c tr hay không Nh p v|o m{y tính


d 4
9

CASIO ta đ c

 0 nên h|m s đ t c c đ i t i
dx  X 2 X 2  4  x  4


X  4 Đi m r i c a b|i to{n l| a  b  c  2 .
4
9
ét h|m f  t   
v i t  a 2  b2  c 2  4  2
t 2 t2  4









 f ' t   

4
t

2





9t
t2  4







2

 f ' t   0  t  4

BBT:
t
f t

2



f(t)

4
0
5
8





20
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

0


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D
D a v|o b ng bi n thiên  f  t   f  4  

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

5
5

P
8
8


a  b  c
Đ ng th c x y ra khi 
abc2
2
2
2

 a b c 4 4
C
Sau khi nh h ng
c bài toán và i m r i nh trên thì ta c th gi i
b ng cách ép v bi n a  b  c .

Ta c

a b c
2

2

2

 a  b  c  2
4

2

4

 a2  b2  c 2  4 

a  b  4c 2  a  b  c 
Và  a  b   a  2c  b  2c    a  b 

2
3
8
27
8
27
P

 f t  

a  b  c  2 2  a  b  c 2
t  2 2t 2

abc2
2
2

5
khi a  b  c  2 .
8

K t lu n V y gi{ tr l n nh t c a P l|

Bài 10: Cho x, y , z là các s th c không âm th a mãn x2  y 2  z2  2

Tìm giá

tr l n nh t c a bi u th c
P

x2
x  yz  x  1
2



1  yz
yz

9
x y  z 1

Đ tuy n sinh Đ i H c kh i A-2014
PH N T CH
B|i to{n có đi u ki n l| m t bi u th c đ i x ng P không đ i x ng nh ng
đ i x ng theo bi n y , z do đi u ki n c{c bi n không }m nên ta không th
đo{n đi m r i l| y  z Ta s xét c{c tr

ng h p sau

TH 1: C đ nh x  0  y 2  z2  2  y  2  z2 thay v|o P đ

P

S

2  z2  z

1  z 2  z2
9
2  z2  z  1
TAB E i

1  X 2  X2
9
2  X2  X  1
 START = 0
 END = 1.5
 STEP = 0.2

F X 

2  X2  X





X
0
0.2
0.4

0.6
0.8
1
1.2
1.4

c
F(X)
0.4746
0.4744
0.4698
0.4628
0.4543
0.4444
0.4304
0.3837
21

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s

1.5

ERROR

đ n đi u gi m trên 0, 2  . Nên h|m s đ t gi{ tr l n nh t khi X  0 suy


ra gi{ tr l n nh t trong tr

ng h p n|y  0.4746 khi x  0, y  2 , z  0

TH 2: C đ nh z  0  x2  y 2  2  y  2  x2

do b|i to{n đ i x ng theo

bi n y , z nên ta không c n xét TH y  0 )
x2

P

x2  x  1

S

x  2  x2  1
TAB E i :

ng
F X 

2  x2



X2
X  X 1
2

2  X2





X

1
9



1
9

F(X)
0. 746
0.4596
0.4835
0.5171

0.5443
0.5555
0.5383
0.4153

0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4

X  2X 1
 START = 0
 END = 1.5
 STEP = 0.2
D a b ng gi{ tr trên ta th y h|m s đ t c c
đ i trong kho ng  0.8,1.2  v| h|m s đ t gi{ tr l n nh t t i X  1 Ta ki m
2

tra xem X  1 có ph i l| c c đ i hay không Nh p v|o m{y tính CASIO ta
2  X2
1
d 
X2


đ c



 0 nên X  1 l| c c đ i
dx  X 2  X  1 X  2  X 2  1 9  x  1


5
Gi{ tr l n nh t trong tr ng h p n|y l| khi x  1, y  1, z  0 .
9
K t h p hai tr ng h p ta th y đi m r i c a b|i to{n l| x  1, y  1, z  0
ho c x  1, y  0, z  1 .
Đ NH H

NG T DU
yz
x
Ta có nh n đ nh : 2
v|
d ng ph}n s có m u đ ng
x y z1
x  yz  x  1
2

nh t v s l ng cũng nh h s nên ta ngh đ n vi c đ{nh gi{ sao cho hai
m u đ ng nh t T đi u ki n ta đ{nh gi{ đ c:
x2   y  z   2  2 yz  2 1  yz   2x  y  z   1  yz  xy  xz
2



x2
x  yz  x  1
2



x2
x  x  xy  xz
2



x
x y  z1

V| x  y  z  2  x   y  z   2  2 yz  2 1  yz 
2

2

2

2

2

 x  y  z


22

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

2

2


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

Đ n đ}y ta đã đ a b|i to{n v bi n x  y  z T đi u ki n b|i to{n ta đ{nh
gi{ đ

c 0  x  y  z  6 nên ta s đ nh h



ng ch ng minh h|m s đ t

c c đ i t i t  x  y  z  2 trên 0, 6  .

BÀI GI I
Áp d ng AM-GM:
x2  y 2  z2  2  2 1  yz   x2   y  z   x  y  z   1  yz  x  y  z 
2

V|

2 1  yz   x   y  z 
2

2

 x  y  z


2

2

 x  y  z
 1  yz 

2

4

 x  y  z  x  y  z  x  y  z
yz
P 2


36
36
x y  z 1

x  x  x y  z x  y  z  1
2

x2





2

L i có 3 x2  y 2  z2   x  y  z    x  y  z   6  0  x  y  z  6
ét h|m s
 f ' t  

2

2



t
t2
v i t  x  y  z  t  0, 6 


t  1 36
2
3
t 18  t  2t  t



, f 't   0  t  2
2
18
18  t  1

f t  

1

 t  1

2

BBT:
0

t

2

f t



0
5
9

f(t)

6


D a v|o b ng bi n thiên  f  t   f  2  

5
5
P
9
9
Đ ng th c x y ra khi x  y  1, z  0 ho c x  z  1, y  0

K t lu n V y gi{ tr l n nh t c a P l|

5
khi x  y  1, z  0 .
9

Bài 11: Cho a, b, c là các s th c không âm th a mãn i u ki n

 a  b c  0

Tìm

giá tr nh nh t c a bi u th c
P

a

b
c


bc
a  c 2  a  b

Đ tuy n sinh Đ i H c kh i B-2014
23
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

B|i to{n đ i x ng theo

PH N T CH
bi n a , b m|  a  b  c  0 nên đi m r i không th l|

a  b  0 ho c c  0 đ

c nên đi m r i khi m t trong hai bi n a ho c b

a c 1 a 1




c 2a 2 c 2
to{n l| a  c , b  0 ho c a  0, b  c . T
quen thu c ta ngh đ n c{c b t đ ng th
b ng

Khi đó P 

a c 3

 suy ra đi m r i c a b|i
c 2a 2
đi u ki n v| P ch a hai căn th c
c

a
b
ab

2
bc
ac
a  b  2c

 Đ{nh gi{

a
b

c


2
bc
ac
ab
c n đi u ki n c  min a, b, c nên không ph h p Đ{nh gi{

 Đ{nh gi{
Đ{nh gi{

đ i x ng v| x y ra khi a  b, c  0 v| c{c ho{n v nên ph h p Nh ng v n
đ chính l| mu n s d ng đ{nh gi{ thì ta ph i ch ng minh nó khi đó n u
d ng h|m s thì ph i s d ng đ{nh gi{ v| ph i ch ng minh đ{nh gi{
b ng Cauchy-Schwarz r t d|i v| khó Ta s s d ng c{ch ch ng minh đ{nh
gi{ b ng AM-GM r t hay nh sau :

a  a  b  c   2a b  c 

a
2a

bc abc
Khi đ{nh gi{ b ng AM-GM thì đ ng th c ch x y ra khi b  0 nên đ đ m
b o đ ng th c x y ra khi a ho c b b ng 0 ta nh}n thêm cho
t :

b  a  b  c   2b a  c 

P

2  a  b
abc



b
2b

ac abc

c
c
đ a b|i to{n v h|m s theo bi n t 
0
a

b
2  a  b

BÀI GI I
Áp d ng AM-GM:

a  b  c  2 a  b  c   a  a  b  c   2a b  c 
Đ{nh gi{ t
P

ng t :

2  a  b
abc



a T

a
2a

bc abc

b
2b

ac abc

c

2  a  b

2
1

c
ab



c

2  a  b

24
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

ng


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

c
t
2
 t  0  P  f t  

ab
1 t 2
PH N T CH HÀM S
S
TAB E
CASIO i
2X
X
F X 


X 1 2
 START = 0
 END = 5
 STEP 0.5
D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s
có c c ti u v| đ t gi{ tr nh nh t t i
X 1.
V y f  t   f 1 th a mãn yêu c u nên ta

Đ t t

X

đ nh h ng ch ng minh h|m s đ t gi{
tr nh nh t t i t  1
2
t
c
ét h|m s f  t  
 v i t
t 0
1 t 2
ab
1
2
 f ' t   
 f ' t   0  t  1
2  1  t 2

F(X)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5

2
1.5833
1.5
1.55
1.6666
1.8214
2
2.1944
2.4
2.6136
2.8333

BBT :
t
f t

0

1
0








0
f(t)

3
2
3
3
D a v|o b ng bi n thiên  f  t   f 1   P 
2
2
Đ ng th c x y ra khi a  0, b  c ho c a  c , b  0 .

C{ch

: S d ng đ{nh gi{

a
b
c



2
bc
ac
ab
2


c
1
3 3
 1  


2  a  b
 2 2
3
K t lu n V y gi{ tr nh nh t c a P l| khi a  c , b  0 ho c a  0, b  c .
2
c
c
P2


a  b 2  a  b

Bài 12: Cho a, b, c th c thu c o n 1,3  và th a mãn i u ki n a  b  c  6 .
25
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
a2 b2  b2 c 2  c 2 a2  12abc  72 1
P
 abc
ab  bc  ca
2
Đ chính th c kì thi THPT Qu c Gia
PH N T CH
Đi u ki n c a c{c bi n n m trong kho ng ch n nên kh năng đi m r i x y
ra khi có ít nh t m t bi n n m biên Do đi u ki n v| b|i to{n đ i x ng
bi n nên vai tr a, b, c nh nhau c đ nh c  1  a  b  5  b  5  a thay
v|o P đ c :
a2  5  a    5  a   a2  12a  5  a   72
2

P

2

a  5  a  5

1
 a  5  a
2

Do a, b, c  1,3 m| c  1  a, b  2,3
S
CASIO

TAB E

X

F(X)
i
2
14.545
2
2
2
2.1
14.537
X  5  X   10X  50X  97 5X  X 2
F X 

2.2
14.531
2
5  5X  X 2
2.3

14.527
 START = 2
2.4
14.525
 END = 3
2.5
14.525
 STEP = 0.1
2.6
14.525
D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s đ i
2 7
14.527
x ng v| đ t c c ti u t i X  2.5 đ t gi{ tr l n
2.8
14.531
160
nh t l|
t i X  2 v| X  3 .
2.
14.537
11
3
14.545
V i gi{ tr trên thì đi m r i c a b|i to{n l| a  3, b  2, c  1 v| c{c ho{n v
Có gi{ tr n m biên nên ta không c n xét tr ng h p n|o n a
Do đi m r i t i biên nên ta s d ng đ{nh gi{ mi n gi{ tr :
 a  1 b  1 c  1  0  abc  5  ab  bc  ca (1)

 a  3 b  3 c  3  0  abc  27   ab  bc  ca  (2)

Đ n đ}y ta đã th y đ nh h ng ép v t  ab  bc  ca ta c n đ{nh gi{ bi u
th c đ u đ a v ab  bc  ca n a l| xong Do đi m r i l| a  1, b  2, c  3
2
1
nên không th đ{nh gi{ a2 b2  b2 c 2  c 2 a2   ab  bc  ca  , nh ng ta có
3

 ab  bc  ca

2

 a2 b2  b2 c 2  c 2 a2  2abc  a  b  c   a2 b2  b2c 2  c 2 a2  12abc

26
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com


T

DUỤ TI ớ C ộ B T Đ ộG TH C

Gv ộguy n Đ i D
Ta đ{nh gi{ đi u ki n c a bi n :

ng Fb:ThayNguyenDaiDuong

a  b  c
ab  bc  ca 

2

 12 nh ng đi m
3
r i không x y ra khi ba bi n b ng nhau nên đi u ki n trên l| ch a đ t
v|
 ab  bc  ca  5  abc  3  ab  bc  ca   27  ab  bc  ca  11

Do a, b, c  1,3 nên ta có

 a  1 b  1 c  1  0  abc  5  ab  bc  ca
 a  3 b  3 c  3  0  abc  27   ab  bc  ca 

L y

(1)
(2)

 (1)  ab  bc  ca  11

a  b  c
M| : ab  bc  ca 
3

2

 12

 ab  bc  ca  a2b2  b2c2  c2 a2  2abc  a  b  c   a2b2  b2c2  c2a2  12abc
2

ab  bc  ca   72 1

1
72
5
P
  ab  bc  ca  5   ab  bc  ca  

ab  bc  ca
ab  bc  ca 2
2
2
2

Ta có

Đ t t  ab  bc  ca  t  11,12   P  f  t  
S
CASIO

i

t 72 5


2 t 2
PH N T CH HÀM S
TAB E
X

X 72 5
F X  

2 X 2
 START = 11
 END = 12
 STEP 0.1
D a v|o b ng gi{ tr trên ta th y h|m s
đ n đi u gi m trên 11,12  h|m s đ t

gi{ tr l n nh t t i X  11 th a mãn yêu
c u nên ta đ nh h ng ch ng minh h|m
s ngh ch bi n trên 11,12  .

11
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
11.9
12

F(X)
14.545
14.536
14.528

14.521
14.515
14.51
14.506
14.503
14.501
14.5
14.5

1
72 5
 v i t  ab  bc  ca  t  11,12 
f t   t 
2
t 2
1 72
 f '  t    2  0 t  11,12  H|m s ngh ch bi n trên 11,12 
2 t
160
160
 f  t   f 11 
P
11
11

ét h|m

27
T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com