bài tập tích phân bội

BÀI TẬP TÍCH PHÂN BỘI

1

Hãy cho biết các tích phân sau dùng để tính thể tích
của vật thể nào, hãy vẽ vật thể đó trong không gian 3
chiều.
1.

2
0

2.

1
−1

1
0

dx
dx

2xdy.

√
1−x2
√
− 1−x2

2dy.

(1 + x2 + y 2 )dxdy, trong đó D là hình tròn x2 + y 2 ≤ 1.

3.
D

4dxdy, trong đó D là tam giác OAB, O(0, 0), A(0, 2), B(1, 1).

4.
D

(x2 + 1)dxdy, trong đó D là hình chữ nhật −1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 4.

5.
D

2

3

Tính tích phân lặp sau đây và vẽ hình miền lấy tích
phân.
1.

2
−1

dx

2

−2

(ex+y − 2x) dy.

2.

2
−1

dx

2
−2

(xy 2 − 2x) dy.

3.

2
0

4.

0
−1

dx

0

5.

−1
−3

dx

√
2x+6
√
− 2x+6

6.

1
−1

dx

2−x2
x2

√
√ 2x
2x−x2

dx

√

1−x2

(x − 1 + y) dy.
(x − y) dy +
xydy +

5
−1

1
0

dx

1−x
0

(x − y) dy.

√

dx

2x+6
x−1

xydy

dy.

Tính các tích phân kép sau
D

1
x2
dxdy, D giới hạn bởi y = , y = x, x = 2.
2
y
x

D

1
2

1.
2.

x
, với D : xy = 1, x = y, x = 9y, x ≥ 0.
y

ydxdy, G giới hạn bởi y = x2 + 2x, y =

3.
D

x2
x
, y = 1 + , x ≥ 0.

2
2

dxdy , D : y = 3, y = x2 − 2x, 0 ≤ x ≤ 3.

4.
D

y 2 exy dxdy, D : 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ x ≤ y.

5.
D

6.

y
dxdy, D : y = 1, y = x2 , x ≥ 0.
+1

D

x5

D

x3 y 2
dxdy, D : y = 1, y = x2 , x ≥ 0.
y5 + 1

7.

y 2 − x2 , D : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1.

x

8.
D

(x +

9.

√

y)dxdy với D : y ≤ −x2 + 2x + 3, y ≤ x2 + 2x + 1, y ≥ 0.

D

√
ydxdy, với D : y = x x + 2, y = x2 .

10.
D

4

Tính các tích phân sau trong tọa độ cực hoặc tọa độ cực
mở rộng.
1.

y

x2 + y 2 dxdy, với D : −1 ≤ y ≤ 0, −

1 − y2 ≤ x ≤

x

x2 + y 2 dxdy, với D : x2 + y 2 ≤ 2x, y ≥ x.

D

2.
D

xydxdy, với D : x2 + y 2 ≤ 2x, y ≥ −x.

3.
D

2 +y 2

ex

4.

dxdy, với D : x2 + y 2 ≤ 1, y ≤ x ≤ −y.

D

ln (x2 + y 2 + 1) dxdy, với D : 4 ≤ x2 + y 2 ≤ 9.

5.
D

dxdy, với D : 1 ≤ x2 + y 2 ≤ −2y.

6.
D

ydxdy, với D : x2 + y 2 ≤ 1, x2 + y 2 ≤ −2y.

7.
D

|x − y| dxdy, với D : x2 + y 2 ≤ −2x.

8.
D

|x2 + y 2 − 1| dxdy, với D : x2 + y 2 ≤ 4.

9.
D

|x2 − y 2 | dxdy, với D : x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ y.

10.
D

(x + y)dxdy, với D : x2 + y 2 ≤ 2y, y ≥ 1.

11.
D

2xdxdy, với D : x2 + y 2 + 2x + 2y + 1 ≤ 0, x + y ≤ 2.

12.
D

9x2 + 3y 2 dxdy, với D :

13.
D

5
5.1

x2 y 2
+
≤ 1, y ≥ −x.
3
9

Ứng dụng hình học của tích phân kép
Tính diện tích các miền phẳng dưới đây
1. D : x2 + y 2 ≤ 1, |x| + |y| ≥ 1.
2. D : 2y ≤ x2 + y 2 ≤ 4y, y ≥ −x.
3. D :

x2 y 2
x y
+
≤ 1, + ≥ 1.
25
9
5 3

4. D : x2 + y 2 ≤ 2x, x + y ≤ 2.

1 − y2.


5.2

Tính thể tích các vật thể dưới đây
1. Ω : z = x2 + 2x − y, z = 0, y = x + 2, x ≥ 0.
2. Ω : z = x2 + y 2 , z = 0, x2 + y 2 = 1, x2 + y 2 = 2.
3. Ω : z = x2 + 1, z = 2x, y = x, y = 2x, x = 1.
√
4. Ω : z = 2 − x2 − y 2 , z = x2 + y 2 , 0 ≤ 3x ≤ y.
5. Ω : z = 4 − x2 − y 2 , z = 3, x = y 2 .
6. Ω : y 2 + z 2 = 2y, z = 2x, z = 3x.
7. Ω : z =

5.3

x2 + y 2 , z = 2 − x2 − y 2 , x ≥ 0, y ≤ 0.

Tính diện tích các mặt cong sau
1. Phần mặt nón z = 3 x2 + y 2 , phần nằm dưới paraboloid z = 4 − x2 − y 2 .
2. Phần mặt phẳng x + y + z = 1, bị cắt bởi trun y 2 = x và mặt phẳng x = 1.
3. Phần mặt nón z =

x2 + y 2 nằm trong trụ z 2 = 2y.

4. Phần mặt cầu z =

1 − x2 − y 2 nằm giữa 2 mặt phẳng x = z, x =

√
3z.