Chuyên đề III Tích phân

Giáo viên : Nguyễn Thị Hồng Ánh


Nội dung. TÍCH
NỘI DUNG

PHÂN (TIẾT 1)

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

I. KHÁI NIỆM
TÍCH PHÂN

DT


Nội dung. TÍCH PHÂN (TIẾT 1)
NỘI DUNG
I. KHÁI NIỆM
TÍCH PHÂN

1. Diện tích
hình thang
cong

1. Diện tích hình thang cong
a) Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu
trên đoạn [a;b]. Hình phẳng giới hạn bởi:
Đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, và hai đường
thẳng x = a; x = b được gọi là hình thang cong

y

y = f(x)
x

b
O a
b)Ví dụ 1:Tính diện tích hình thang cong giới
2
hạn bởi đường cong y = x , trục hoành và các
đường thẳng x = 0, x = 1.
VD 1


Nội dung. TÍCH PHÂN (TIẾT 1)
1. Diện tích hình thang cong
NỘI DUNG Một cách tổng quát: Cho hình thang cong giới hạn
I. KHÁI NIỆM
TÍCH PHÂN

1. Diện tích
hình thang
cong

y

Oa

y = f(x)

b

bởi các đường thẳng x=a, x=b, (ađường cong y=f(x), trong đó f(x) là hàm số liên tục,
không âm trên đoạn [a;b].

Giải tương tự như ví dụ trên:
Với mỗi x ∈ [ a; b ] ,kí hiệu S(x) là diện tích của

phần hình thang cong đó nằm giữa hai đường thẳng
vuông góc với Ox lần lượt tại a và x.
Ta cũng chứng minh được S(x) là một nguyên hàm
x của f(x) trên đoạn [a;b]

và S(x) = F(b) – F(a)
với F(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b]

Ta có diện tích hình thang cần tìm S(b) = F(b) - F(a)


Nội dung . TÍCH
NỘI DUNG
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình thang
cong

PHÂN (TIẾT 1)

Hoạt động 2:

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b],
F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x).
Chứng minh rằng :
F(b) – F(a) = G(b) – G(a).

S = F(b) – F(a)
F(x) là một nguyên hàm
của f(x) trên đoạn [a;b]


Nội dung . TÍCH
NỘI DUNG

PHÂN (TIẾT 1)

2. Định nghĩa tích phân

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

a) Định nghĩa:

1. Diện tích hình thang
cong

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b].
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên
đọan [a;b].
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a
đến b (hay gọi là tích phân xác định trên đoạn
[a;b] của hàm số f(x)).Kí hiệu là: b

∫ f ( x )dx

S = F(b) – F(a)
F(x) là một nguyên hàm
của f(x) trên đoạn [a;b]
2. Định nghĩa tích phân

a

 Vậy:
b

∫

b

f ( x )dx = F ( x ) a = F (b ) − F (a )

a

(công thức Newton – Laipnit)


2. Định nghĩa tích phân
cận trên
dấu tích phân

cận dưới

b

∫

f ( x ) dx

a

biểu thức dưới dấu tích phân
hàm số dưới dấu tích phân


Nội dung . TÍCH
NỘ
I DUNG
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình thang
cong

PHÂN (TIẾT 1)

2. Định nghĩa tích phân
a) Định nghĩa:
b

∫

b

f ( x )dx = F ( x ) a = F (b ) − F (a )

a

với F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b]

(công thức Newton – Laipnit)
b) Chú ý:

a

 Nếu a = b quy ước ∫a
S = F(b) – F(a)
F(x) là một nguyên hàm
của f(x) trên đoạn [a;b]
2. Định nghĩa tích phân

f ( x )dx = 0

b

a

a

b

 Nếu a > b quy ước ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx


Nội dung . TÍCH

NỘ
I DUNG
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong

2. Định nghĩa tích phân
a) Định nghĩa:
b

∫ f ( x )dx = F ( x )

b

c) Ví dụ:
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau
π
2

1.

với F(x) là một nguyên hàm 3.

∫ f ( x )dx = 0
a

a>b
b

a

a

b

∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx
c) Ví dụ:

2

1

3
∫1 t dt
e

a

∫

2. ( x − 3 x + 2015)dx

e

a

b) Chú ý:

∫ cos xdx

1

0

a

của f(x) trên đoạn [a;b].

PHÂN (TIẾT 1)

3
3’.∫ dx
x
1

e

3
3

3’’.∫  + 1 ÷dt 3’’’.∫ dt
t

1 t
1
e

e


Nội dung . TÍCH

PHÂN (TIẾT 1)

NỘ
I DUNG

d) Nhận xét:
I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
 Tích phân không phụ thuộc vào biến số
1. Diện tích hình thang cong
2. Định nghĩa tích phân
a) Định nghĩa:
b

∫

∫

b

a

b

f ( x )dx = F ( x ) a

b

b

a

a

f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du = ... =F (b) − F (a)
chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b.

 Ý nghĩa hình học của tích phân:
Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn
với F(x) là một nguyên hàm
[a;b]. Diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi
của f(x) trên đoạn [a;b].
đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, và hai đường
y
b) Chú ý:
y = f(x)
thẳng x = a; x = b là:
a

c) Ví dụ:
d) Nhận xét:

b

S
. = f ( x )dx
∫
a

S(x)

O a

b

x


Nội dung . TÍCH

PHÂN (TIẾT 1)

* Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b].
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đọan [a;b].
b

∫ f ( x )dx = F ( x )

b
a

= F (b ) − F (a )

a

* Ý nghĩa hình học của tích phân:

Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b].
Diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f(x), trục Ox, và hai đường thẳng x = a; x = b là:
b

S = ∫ f ( x )dx
a


CẢM ƠN CÁC THẦY CÔ GIÁO
VÀ CÁC EM ĐÃ THAM GIA TIẾT HỌC