Hệ phương trình, bất phương trình và lời giải chi tiết của thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Lyhung95

Facebook:

T
a
gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia
2016!

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

h
m


Ví dụ 1.
[ĐVH]: Giải
hệ phương

2 y 2x

4xy 2 +x 4 8 =x 3 4

)

trình

+
3x 3

x2 + 2 y = x +

2
Lời giải

yx
4xy 2x 4

Điều kiện: x 2 + 2 y 0

(
(2)
1
0

+y 1

)

0

2 y 2x 1
2 y 2x 1
y + 1 + y 2 + 2x + 2
x2 + 2 y + x + 1
0
2 y 2x 1
(
)
y +1+

y 2 + 2x + 2
x2 + 2 y + x + 1

3

y 2 + 2x + 2

+y 2 +2x + 2 +x 2

1
+
=
+
=

4

0

2 y + x= 1 0
(
)

2y

y

y 2 + 2x +

2 y 2=x 1 0 (Do y x

3

4)

+
Thay vào (2) ta được 2x 2x 2 4+ 8 x 3 =4 3x 3
Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có:
3x 3 = 2 4 + x 3 4 + x 2+ x 2 2
(
(
)

8 x3

4

2x 2x 2

4

2

4
4
2
=

Dấu bằng xảy ra khi

x
x

2

= x3

5
2

=
2

=y

(thỏa mãn)

2

Vậy hệ có nghiệm
5
duy nhất 2; .
Ví dụ 2. [ĐVH]: Giải bất
phương

trình

Lời giải.
x 5 . Bất phương trình đã cho tương đương với

Điều kiện 5

(

4
x 2 16
x 4 x 4
(
)(
)
x 4
3
25 x 2 +x3 +x 2+ x 4
+

( x + 4)

(

x2

1

)

+ 4x 2 + x + 1 + 25 x 2 0

x3
(

x ℝ .
)


3 + 25 x 2
+

+( x 4 ) +x 2 1 +
)
0

(x

1
( )

x
3 + 25 x 2
3 + 25
+4 x 2 1
)
2

x 4
Nếu x + 4 < 0 ⇒
3
25
x 4
2
2

< 0 ⇒ x +1
>x
⇒
+
+
0
x 4 x2 1
x 4
(
)
3
25
<
•

3

25 x 2

+
+
+
0.
x
Khi đó (1) vô nghiệm.
4
x 4
> x2
2

•

Nếu 4 3

25

4 ⇒ x2 + 1

0

x
3 + 25 x + 4 > 0

+
⇒

(

x + 4 x2 + 1
)


0,
x
(1) nghiệm
2

đúng.
3

3
x 4
x2 1
x 4 3x 2+ x 7
• Nếu x 4 0 ⇒ x + 4 > 0; x 2 +1
+
=
>
3 + 25 x 2
0, x 4 .
Tổng hợp các trường hợp ta thu được nghiệm 4 x 5 .

TẶNG HỌC SINH CHĂM HỌC TRÊN FACEBOOK THẦY HÙNG ĐZ 10/3 Thầy
Đặng Việt Hùng – Moon.vn


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT,
ẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95

B
T

ham gia các khóa Luyện thi trực tuyến
môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm

số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!

2x

2y

y+

x
2x

Ví

dụ 3. [ĐVH]: Giải hệ
phương
trình

+

2

Điều kiện: x + y

0

2x y 0
+x y
2x= y

(1)
=
x

2y

2y

(

x

- Nếu
2x

2y
x + y + 2x

x

2y

= 0

x

y=

x + y + 2x

y

2x

x + y + 2x

y=

2x

2x + x

2+ x

y 2x = y
)(
)

vô nghiệm do x > 0 .
2

- Nếu 2 y = x thay vào (2) ta được 3x 2
x+ 2x 2x 1

x

2

y=
3x 2
y+

2
2= 2 x+ 4 y 2x 1
Lời giải
1

x

x

2x 1 + 1 2
)

( x+ 1)2

=x 1 2
)

x+ 2= 2
0 (3)

x 2x

2x+ 1

)

x+ +2x 1 x+ 2= x 1 0

0


x 2x 1 1
(
Ta có x 1 2 0

(
)
1
2

2

0
với x

1 Nên (3)

(

x 12
)

0

x=0
2x 1= 1
=x 1

= x =1

2

y

x =1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x; y = 1; 1 .
(
)
1
6
y
x

4

1
8

y
y
=

+ +

Ví dụ 4.

[ĐVH]: Giải hệ phương trình
2x + 1 = 5 x 2 + y 2 + 3
2
2

x

2

+ 2x 2 + 1

2 y2 +1 .

2

Lời giải.
Điều kiện 2x y+ 1 0 . Phương trình thứ nhất tương đương với x +
f t =t +
( )
f t =1
( )
=
=
>

1
2t + 1

;t

0 thì

1
2x + 1

= y+

1

2 y +1

.

Xét hàm số


4t

( 2t

2

+1 2
)

2t + 1
4t 4 + 4t 2 4+t 1 ( 2 )2
4t 4 + 2t 1 2 2t 2 + 1 2
(
) (
)

0, t 0 .
Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực. Thu được f x = f y
(
(

=x y .

(
2
2

Phương trình thứ hai khi đó trở thành
6x+ 4+x =8 5 +x 1 2x+ 3
)
x +1

6x 2 + 4x + 8

= 5 2x 2 + 3

(
2

2 x+ 2+x 1 5+( x 1) 2+x 2 + 3
)
2 2+x 2 =3 0
(
)

2 +x 1)2 5+( x 1) 2+x 2 + 3 2 2+x 2 =3 0 Với x
(
)

2x 2 + 3 = v v > 0 thu được
(
)
2

u = 2v

2u 2 5uv+ 2v = 0

v = 2u

(

u 2v 2=u v 0
)(
)

1, đặt x + 1 = u;


Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: Lyhung95
Tha
m
môn
điểm số cao nhất
TH
PT
201
6!

gia

các khóa Luyện thi trực tuyến

Toán tại MOON.VN để đạt
trong kì thi
Quốc gia

Xét các trường

hợp
x

1
x

1

u = 2v
x 2 + 2x +1 = 8x 2 +12
7x 2 2x+

11=

(Hệ vô nghiệm).

0
x

1
v = 2u

x

1

2x 2 + 3 = 4 x 2 + 2x + 1
(
)
2x 2 + 8x + 1 = 0 ⇒ x = 4+ 2 14 ⇒ y = +4 2 14 .
Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất x =
Ví dụ 5. [ĐVH]: Giải bất phương trình

5x 2

4+

14

;y=

+4

2
2
+
>
+
8x 4 x x 2 x 1

5
Lời giải.
Điều kiện x 0 x

)
)

8

. Bất phương trình đã cho tương đương với

(

)
1
()

x 5x 8 > x3
(
+
>
+

>

x2

x 4

x 5x 8 2
(
)

x3

x2

x 6

14
(

.

x ℝ .
)


<
x 5x 8 + 2
5x 2 8x 4 (
x 5x 8 +
5x + 2 (

(x

2 ) +x 2 + x 3
2

2

0

)

( x + 2 )+ x 2

x 3

4

Nhận xét x 2 + x + 3 = x +

1

2

+

11

> 0, x

ℝ . Xét các trường hợp

)

2
5x 2
5x 2
+) Nếu

< 0; x 5x + 8 +
(

2
<
x
x+

2

3

x

(

5

x + 8+

)

x
x 5x 8 2
5x + 2 (
)
2
5x + 2 2x 3x+ 4

3

2

23

5x + 2 0 ⇒ x 2 + x + 3
+
x 2 +x 3
=
=
+
>
2
+
0, x ℝ .
Do đó 1
(
2
5
5

2

4

x< 2 0<

x

16

2 , suy ra

Kết hợp với điều kiện ta thu được nghiệm x 0
2

5x + 2 < 0 ⇒ x

8

< x 2.

> 0 , (1) nghiệm đúng. 2
+) Nếu

0⇒
+


Ví dụ 6. [ĐVH]: Giải bất phương trình
Lời giải

(

12x+ 5+ x 2 2x x 3
)

3x 2

1 2x + 10x 5

3x 2 12x+ 5 0
Điều kiện: x 2
x

2x

0

2 . Trước hết, để ý rằng:

2

x3 1 0
2x 2 10x+ 5=

(x

5

2

=2x

(

3x 2 12+x
3x + 1+2x 5

x2

2x

3+x 2 12x 5

)

x2

2x

)

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:

)

(
3
3
2
2

2
3

x
x3 1
(

x2

3x 2 1+2x 5 x 2
2x +3x 2 12x 5
)

2x +

x3 1

x2

2+

3x 2 12x 5

x+

x2

2+x 1 2

2+x 2 1+0x + 6 2 x 2 + 3x 2+ x 3 + x 2 x 0
(
(
)
( x+ x+ x ) ( x3 x 2 x

(

x3

1

)

x3

2

)

2 x+
(

3x +2 x+
)(
2 +
)
+

x
x + 3 x2
0 do đó

x2

3 x 2 + 3x+
(
+
+

2
x + 3x
x

)

0

x3 + x + x

3 x2

3x 2

)

0

( )

Với điều kiện
2 suy ra
x3 + x 2 +
3x+ 2>


The trial version converts only 3 pages. Evaluation only.
Converted by PDF Focus .Net 5.6.1.28.
(Licensed version doesn't display this notice and converts the whole PDF
document!)

Click to get the license for PDF Focus .Net.