câu hỏi và bài tập tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

CHỦ ĐỀ
7.

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Bài 01
GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ
TỪ 0 0 ĐẾN 180 0
1. Định nghĩa
Với mỗi góc α (0 0 ≤ α ≤ 180 0 ) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị
sao cho xOM = α và giả sử điểm M có tọa độ M ( x 0 ; y0 ). Khi đó ta có định nghĩa:

• sin của góc α là y0 , kí hiệu sin α = y0 ;

y

• cosin của góc α là x 0 , kí hiệu cos α = x 0 ;
• tang của góc α là

y0
y
( x 0 ≠ 0), kí hiệu tan α = 0 ;
x0
x0

• cotang của góc α là

1

M

y0

x0
x
( y0 ≠ 0), kí hiệu cot α = 0 .
y0
y0
−1

2. Tính chất

α
x0

x

1

O

Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu xOM = α thì

xON = 180 0 − α. Ta có y M = y N = y0 , x M = −x N = x 0 . Do đó

sin α = sin (180 0 − α )

y

cos α = − cos (180 − α )
0

tan α = − tan (180 0 − α )

y0

N

cot α = − cot (180 0 − α ).

M
x

α
−x 0

x0

O

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
Giá trị
lượng giác

00

30 0

450

60 0

sin α

0

1
2

2
2

cos α

1

2
2

tan α

0

3
2
1

3
2
1
2

1

3

cot α

3
3

1

1
3

90 0

180 0

1

0

0

−1
0

0

Trong bảng kí hiệu " " để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên,
ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.
Chẳng hạn
3
sin120 0 = sin (180 0 − 60 0 ) = sin 60 0 =
2
2
cos1350 = cos (180 0 − 450 ) = − cos 450 = −
.
2

4. Góc giữa hai vectơ
a) Định nghĩa
Cho hai vectơ a và b đều khác vecto 0. Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA = a và

OB = b. Góc AOB với số đo từ 0 0 đến 180 0 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b. Ta

( )

( )

kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là a, b . Nếu a, b = 90 0 thì ta nói rằng a và b
vuông góc với nhau, kí hiệu là a ⊥ b hoặc b ⊥ a.
A

b
a

a

B

b
O

b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có a, b = b, a .

( ) ( )

CÂU HỎI V. B.I TẬP TRẮC NGHIỆM 10
NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH

Đăng ký mua trọn bộ trắc nghiệm 10 FILE WORD
Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975 120 189
/>Khi mua có sẵn

File đề riêng;
File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 1. Giá trị cos 450 + sin 450 bằng bao nhiêu?
A. 1.

B.

2.

C.

3.

D. 0.

Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT

cos 450 = 2

2

→ cos 450 + sin 450 = 2. Chọn B.
ta được 


2
sin 450 =
2



Câu 2. Giá trị của tan 30 0 + cot 30 0 bằng bao nhiêu?
A.

4
3

B.

.

1+ 3
.
3

C.

2
3

D. 2.

.

Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT

tan 30 0 = 1
4
3 
ta được 
→ tan 30 0 + cot 30 0 =
. Chọn A.


3
0
cot 30 = 3
Câu 3. Trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào là đúng?

3
.
2
1
C. tan150 O = −
.
3

A. sin150 O = −

B. cos150O =

3
.
2

D. cot150 O = 3.

Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT
1
. Chọn C.
ta được tan150 O = −
3
Câu 4. Tính giá trị biểu thức P = cos 30 cos 60 − sin 30 sin 60 .
A. P = 3.

B. P =

3
.

2

C. P = 1.

D. P = 0.

sin 30 0 = cos 60 0
Lời giải. Vì 30 0 và 60 0 là hai góc phụ nhau nên 

sin 60 0 = cos 30 0


→ P = cos 30 cos 60 − sin 30 sin 60 = cos 30 cos 60 − cos 60 cos 30 = 0. Chọn D.

Câu 5. Tính giá trị biểu thức P = sin 30 cos 60 + sin 60 cos 30 .
A. P = 1.

B. P = 0.

C. P = 3.
D. P = − 3.
sin 30 0 = cos 60 0
Lời giải. Vì 30 0 và 60 0 là hai góc phụ nhau nên 

sin 60 0 = cos 30 0


→ P = sin 30 cos 60 + sin 60 cos 30 = cos 2 60 + sin 2 60 = 1. Chọn A.

Câu 6. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. sin 45O + cos 45O = 2.
B. sin 30 O + cos 60 O = 1.
C. sin 60O + cos150 O = 0.

D. sin120 O + cos 30 O = 0.

Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT

cos 30 0 = 3

2
ta được 

→ cos 30 0 + sin120 0 = 3. Chọn D.


3
sin120 0 =

2
Câu 7. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. sin 0O + cos 0 O = 0.
B. sin 90 O + cos 90 O = 1.

3 +1
.
2
Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT
cos 0 0 = 1
ta được 


→ cos 0 0 + sin 0 0 = 1. Chọn A.

sin 0 0 = 0

C. sin180 O + cos180 O = −1.

D. sin 60 O + cos 60 O =

Câu 8. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?


A. cos 45O = sin 45O.

B. cos 45O = sin135O.

C. cos 30 O = sin120O.

D. sin 60 O = cos120 O.

Lời giải. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT

cos120 0 = − 1

2
ta được 
. Chọn D.


3

0
sin 60 =
2

Câu 9. Tam giác ABC vuông ở A có góc B = 30 0. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. cos B =

1
3

.

B. sin C =

3
.
2

1
C. cos C = .
2

1
D. sin B = .
2

Lời giải. Từ giả thiết suy ra C = 60 0.
Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được
3
cos B = cos 30 0 =

. Chọn A.
2
Câu 10. Tam giác đều ABC có đường cao AH . Khẳng định nào sau đây là đúng?

3
3
1
1
. B. cos BAH =
.
C. sin ABC =
.
D. sin AHC = .
2
2
2
3

1
sin BAH =

2
0
Lời giải. Ta có BAH = 30 
→ 
. Do đó A sai; B sai.

3
cos BAH =
2


A. sin BAH =

Ta có ABC = 60 0 
→ sin ABC =

3
. Do đó C đúng. Chọn C.
2

Vấn đề 2. HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU
Câu 11. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. sin (180°− α ) = − cos α.

B. sin (180°− α ) = − sin α.

C. sin (180°− α ) = sin α.

D. sin (180°− α ) = cos α.

Lời giải. Hai góc bù nhau α và (180°− α ) thì cho có giá trị của sin bằng nhau.
Chọn C.
Câu 12. Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đẳng thức sau đây,
đẳng thức nào sai?
A. sin α = sin β.

B. cos α = − cos β.

C. tan α = − tan β.

D. cot α = cot β.

Lời giải. Hai góc bù nhau α và β thì cho có giá trị của sin bằng nhau, các giá trị còn
lại thì đối nhau. Do đó D sai. Chọn D.
Câu 13. Tính giá trị biểu thức P = sin 30° cos15° + sin150° cos165°.
3
1
A. P = − .
B. P = 0.
C. P = .
D. P = 1.
4
2
Lời giải. Hai góc 30 0 và 150 0 bù nhau nên sin 30° = sin150° ;
Hai góc 15° và 165° bù nhau nên cos15° = − cos165° .


Do đó P = sin 30° cos15° + sin150° cos165° = sin150°.(− cos165°) + sin150° cos165° = 0 .
Chọn B.
Câu 14. Cho hai góc α và β với α + β = 180° . Tính giá trị của biểu thức
P = cos α cos β − sin β sin α .

A. P = 0.

B. P = 1.

C. P = −1.

D. P = 2.

Lời giải. Hai góc α và β bù nhau nên sin α = sin β ; cos α = − cos β .
Do đó, P = cos α cos β − sin β sin α = − cos 2 α − sin 2 α = −(sin 2 α + cos 2 α ) = −1 . Chọn C.
Câu 15. Cho tam giác ABC . Tính P = sin A.cos ( B + C ) + cos A.sin ( B + C ) .
A. P = 0.

B. P = 1.

C. P = −1.

D. P = 2.

Lời giải. Giả sử A = α; B + C = β . Biểu thức trở thành P = sin α cos β + cos α sin β .
Trong tam giác ABC , có A + B + C = 180° ⇒ α + β = 180° .
Do hai góc α và β bù nhau nên sin α = sin β ; cos α = − cos β .
Do đó, P = sin α cos β + cos α sin β = − sin α cos α + cos α sin α = 0 . Chọn A.
Câu 16. Cho tam giác ABC . Tính P = cos A.cos ( B + C ) − sin A.sin ( B + C ) .
A. P = 0.

B. P = 1.

C. P = −1.

D. P = 2.

Lời giải. Giả sử A = α; B + C = β . Biểu thức trở thành P = cos α cos β − sin α sin β .
Trong tam giác ABC có A + B + C = 180° ⇒ α + β = 180° .
Do hai góc α và β bù nhau nên sin α = sin β ; cos α = − cos β .
Do đó, P = cos α cos β − sin α sin β = − cos 2 α − sin 2 α = −(sin 2 α + cos 2 α ) = −1 . Chọn C.
Câu 17. Cho hai góc nhọn α và β phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?
A. sin α = − cos β. B. cos α = sin β.

C. tan α = cot β.

D. cot α = tan β.

Lời giải. Hai góc nhọn α và β phụ nhau thì sin α = cos β ; cos α = sin β ; tan α = cot β ;

cot α = tan β . Chọn A.
Câu 18. Tính giá trị biểu thức S = sin 2 15° + cos 2 20° + sin 2 75° + cos 2 110° .
A. S = 0.

B. S = 1.

C. S = 2.

D. S = 4.

Lời giải. Hai góc 15° và 75° phụ nhau nên sin 75° = cos15°.
Hai góc 20° và 110° hơn kém nhau 90° nên cos110° = − sin 20°.
Do đó, S = sin 2 15° + cos 2 20° + sin 2 75° + cos 2 110°
2

= sin 2 15° + cos 2 20 + cos 2 15° + (− sin 20°) = (sin 2 15° + cos 2 15°) + (sin 2 20° + cos 2 20°) = 2 .
Chọn C.
Câu 19. Cho hai góc α và β với α + β = 90° . Tính giá trị của biểu thức
P = sin α cos β + sin β cos α .

A. P = 0.

B. P = 1.

C. P = −1.

D. P = 2.

Lời giải. Hai góc α và β phụ nhau nên sin α = cos β ; cos α = sin β .
Do đó, P = sin α cos β + sin β cos α = sin 2 α + cos 2 α = 1 . Chọn B.
Câu 20. Cho hai góc α và β

với α + β = 90° . Tính giá trị của biểu thức

P = cos α cos β − sin β sin α .

A. P = 0.

B. P = 1.

C. P = −1.

D. P = 2.

Lời giải. Hai góc α và β phụ nhau nên sin α = cos β ; cos α = sin β .


Do đó, P = cos α cos β − sin β sin α = cos α sin α − cos α sin α = 0 . Chọn A.

Vấn đề 3. SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Câu 21. Cho α là góc tù. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. sin α < 0.
B. cos α > 0.

C. tan α < 0.

D. cot α > 0.

Lời giải. Chọn C.
Câu 22. Cho hai góc nhọn α và β trong đó α < β . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. cos α < cos β. B. sin α < sin β.
Lời giải. Chọn A.
Câu 23. Khẳng định nào sau đây sai?
A. cos 75° > cos 50°.
C. tan 45° < tan 60°.

C. cot α > cot β.

D. tan α + tan β > 0.

B. sin 80° > sin 50°.
D. cos 30° = sin 60°.

Lời giải. Chọn A. Trong khoảng từ 0° đến 90° , khi giá trị của góc tăng thì giá trị
cos tương ứng của góc đó giảm.
Câu 24. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin 90° < sin100°.
B. cos 95° > cos100°.
C. tan 85° < tan125°.

D. cos145° > cos125°.

Lời giải. Trong khoảng từ 90° đến 180° , khi giá trị của góc tăng thì:
- Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm.

- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm.
Chọn B.
Câu 25. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin 90° < sin150°.
B. sin 90°15 ′ < sin 90°30 ′.
C. cos 90°30 ′ > cos100°.

D. cos150° > cos120°.

Lời giải. Trong khoảng từ 90° đến 180° , khi giá trị của góc tăng thì:
- Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm.
- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm.
Chọn C.
Vấn đề 4. TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Câu 26. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos 2 α + sin 2 α = 1?
α
α 1
α
α 1
A. cos 2 + sin 2 = .
B. cos 2 + sin 2 = .
2
2 2
3
3 3



α
α

D. 5 cos 2 + sin 2  = 5.

5
5
α
α
Lời giải. Từ biểu thức cos 2 α + sin 2 α = 1 ta suy ra cos 2 + sin 2 = 1.
5
5
 2α

α
Do đó ta có 5 cos
+ sin 2  = 5. Chọn D.

5
5
α 3
α
α
Câu 27. Cho biết sin = . Giá trị của P = 3 sin 2 + 5 cos 2
bằng bao nhiêu ?
3 5
3
3
105
107
109
111
A. P =

.
B. P =
.
C. P =
.
D. P =
.
25
25
25
25
α
α
α
α 16
Lời giải. Ta có biểu thức sin 2 + cos 2 = 1 ⇔ cos 2 = 1 − sin 2 = .
3
3
3
3 25
2
3
α
α
16 107
Do đó ta có P = 3 sin 2 + 5 cos 2 = 3.   + 5. =
. Chọn B.

5
3

3
25
25
C. cos 2

α
α 1
+ sin 2 = .
4
4 4

6 sin α − 7 cos α
bằng bao nhiêu ?
6 cos α + 7 sin α
4
5
4
5
A. P = .
B. P = .
C. P = − .
D. P = − .
3
3
3
3
sin α
6
−7
6 sin α − 7 cos α

6 tan α − 7 5
Lời giải. Ta có P =
= cos α
=
= . Chọn B.
α
sin
6 cos α + 7 sin α 6 + 7
6 + 7 tan α 3
cos α
2
cot α + 3 tan α
Câu 29. Cho biết cos α = − . Giá trị của P =
bằng bao nhiêu ?
3
2 cot α + tan α
19
19
25
25
A. P = − .
B. P = .
C. P = .
D. P = − .
13
13
13
13
5
2

2
2
2
Lời giải. Ta có biểu thức sin α + cos α = 1 ⇔ sin α = 1 − cos α = .
9
2
 2 
cos α
sin α
−  + 3. 5
+3
2
2
cot α + 3 tan α
9 19
cos α = cos α + 3 sin α =  3 
Ta có P =
= sin α
= .
2
2
2
cos α sin α
2 cot α + tan α
13
2
cos
α
+
sin

α


2
5
2
+

2.−  +
sin α cos α
 3 
9
Câu 28. Cho biết tan α = −3. Giá trị của P =

Chọn B.
Câu 30. Cho biết cot α = 5. Giá trị của P = 2 cos 2 α + 5 sin α cos α + 1 bằng bao nhiêu ?
10
100
50
101
A. P = .
B. P =
.
C. P = .
D. P =
.
26
26
26
26

 cos 2 α
cos α
1 
Lời giải. Ta có P = 2 cos 2 α + 5 sin α cos α + 1 = sin 2 α 2
+5
+ 2 
2
 sin α
sin α sin α 

=

1
3 cot 2 α + 5 cot α + 1 101
2 cot 2 α + 5 cot α + 1 + cot 2 α ) =
=
. Chọn D.
(
2
1 + cot α
cot 2 α + 1
26

Câu 31. Cho biết 3 cos α − sin α = 1 , 0 0 < α < 90 0. Giá trị của tan α bằng
4
3
4
5
A. tan α = .
B. tan α = .

C. tan α = .
D. tan α = .
4
4
3
5
Lời giải. Ta có 3 cos α − sin α = 1 ⇔ 3 cos α = sin α + 1 → 9 cos 2 α = (sin α + 1)

2

⇔ 9 cos 2 α = sin 2 α + 2 sin α + 1 ⇔ 9 (1 − sin 2 α ) = sin 2 α + 2 sin α + 1


 sin α = −1

⇔ 10 sin α + 2 sin α − 8 = 0 ⇔ 
4 .
 sin α =

5
2

• sin α = −1 : không thỏa mãn vì 0 0 < α < 90 0.
4
3
sin α 4
• sin α = ⇒ cos α = 
→ tan α =
= . Chọn A.
5

5
cos α 3
Câu 32. Cho biết 2 cos α + 2 sin α = 2 , 0 0 < α < 90 0. Tính giá trị của cot α.
A. cot α =

5
.
4

B. cot α =

3
.
4

C. cot α =

2
.
4

2
.
2

D. cot α =

Lời giải. Ta có 2 cos α + 2 sin α = 2 ⇔ 2 sin α = 2 − 2 cos α → 2 sin 2 α = (2 − 2 cos α )

2

⇔ 2 sin 2 α = 4 − 8 cos α + 4 cos 2 α ⇔ 2 (1 − cos 2 α ) = 4 − 8 cos α + 4 cos 2 α
cos α = 1

⇔ 6 cos 2 α − 8 cos α + 2 = 0 ⇔ 
1.
cos α =

3
• cos α = 1 : không thỏa mãn vì 0 0 < α < 90 0.
• cos α =

1
2 2
cos α
2
⇒ sin α =

→ cot α =
=
. Chọn C.
3
3
sin α
4

Câu 33. Cho biết sin α + cos α = a. Tính giá trị của sin α cos α.
A. sin α cos α = a 2 .
a 2 −1
C. sin α cos α =

.
2

B. sin α cos α = 2a.
a 2 − 11
D. sin α cos α =
.
2

Lời giải. Ta có sin α + cos α = a → (sin α + cos α ) = a 2
2

⇔ 1 + 2 sin α cos α = a 2 ⇔ sin α cos α =

a 2 −1
. Chọn C.
2

1
Câu 34. Cho biết cos α + sin α = . Giá trị của P = tan 2 α + cot 2 α bằng bao nhiêu ?
3
5
7
9
11
A. P = .
B. P = .
C. P = .
D. P = .
4

4
4
4
1
1
2
Lời giải. Ta có cos α + sin α = → (cos α + sin α ) =
3
9
1
4
⇔ 1 + 2 sin α cos α = ⇔ sin α cos α = − .
9
9
2

 sin α cos α 
2
Ta có P = tan 2 α + cot 2 α = (tan α + cot α ) − 2 tan α cot α = 
+
−2
 cos α sin α 
2

 sin 2 α + cos 2 α 
= 
 − 2 =
 sin α cos α 

Câu 35. Cho biết sin α − cos α =

2

 9
7
−  − 2 = . Chọn B.
 4
4

1
. Giá trị của P = sin 4 α + cos 4 α bằng bao nhiêu ?
5

17
19
.
C. P =
.
5
5
1
1
2
Lời giải. Ta có sin α − cos α =
→ (sin α − cos α ) =
5
5
A. P =

15

.
5

2


1
 − 2 =


 sin α cos α 

B. P =

D. P =

21
.
5


⇔ 1 − 2 sin α cos α =

1
2
⇔ sin α cos α = .
5
5

Ta có P = sin 4 α + cos 4 α =

2

= 1 − 2 (sin α cos α ) =

2

(sin 2 α + cos2 α )

− 2 sin 2 α cos 2 α

17
. Chọn B.
5

Vấn đề 5. GÓC GIỮA HAI VECTƠ
Câu 36. Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP . Góc nào sau đây
bằng 120 O ?
A. MN , NP

(

B. MO , ON .

)

(

C. MN , OP .

)

D. MN , MP .

(
)
Lời giải. • Vẽ NE = MN . Khi đó ( MN , NP ) = ( NE , NP )

(

P

= PNE = 180 0 − MNP = 180 0 − 60 0 = 120 0. Chọn A.

(

) (

F

)

• Vẽ OF = MO . Khi đó MO , ON = OF , ON = NOF = 60 0.

(

)

O

)

• Vì MN ⊥ OP 
→ MN , OP = 90 0.

(

)

M

N

E

• Ta có MN , MP = NMP = 60 0.

Câu 37. Cho tam giác đều ABC . Tính P = cos AB, BC + cos BC , CA + cos CA, AB .

(

A. P =

3 3
.
2

3
B. P = .
2

)

(

3
C. P = − .
2

)

D. P = −

(

)

3 3
.
2

Lời giải. Vẽ BE = AB . Khi đó AB, BC = BE , BC = CBE = 180 − CBA = 120 0
C
1

→ cos AB, BC = cos120 0 = − .
2
1
Tương tự, ta cũng có cos BC , CA = cos CA, AB = − .
2
A

B
3
Vậy cos AB, BC + cos BC , CA + cos CA, AB = − . Chọn C.
2

(

) (

)

(

)

)

(

(

(

)

(

)

(

)

E

)

Câu 38. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH . Tính AH , BA .

(

A. 30 0.

B. 60 0.

C. 120 0.

D. 150 0.

Lời giải. Vẽ AE = BA .

(

C

)

Khi đó AH , AE = HAE = α (hình vẽ)
0

0

0

H

α

0

= 180 − BAH = 180 − 30 = 150 .
Chọn D.

)

B

A

E

Câu 39. Tam giác ABC vuông ở A và có góc B = 50 . Hệ thức nào sau đây sai?
0


A. AB, BC = 130 0.

B. BC , AC = 40 0.

(

)
C. ( AB, CB ) = 50 .

(
)
D. ( AC , CB ) = 40 .
Lời giải. (Bạn đọc tự vẽ hình) Chọn D. Vì ( AC , CB ) = 180 − ACB = 180
Câu 40. Tam giác ABC vuông ở A và có BC = 2 AC . Tính cos ( AC , CB ).
1
1
A. cos ( AC , CB ) = .
B. cos ( AC , CB ) = − .
2
2
0

0

0

C. cos AC , CB =

(

)

3
.
2

D. cos AC , CB = −

(

)

Lời giải. Xác định được AC , CB = 180 0 − ACB.

(

Ta có cos ACB =

(

)

0

− 40 0 = 140 0.

3
.
2

C

AC 1
= 
→ ACB = 60 0
CB

2

)


→ AC , CB = 180 0 − ACB = 120 0
1
Vậy cos AC , CB = cos120 0 = − . Chọn B.
2

(

B

A

)

Câu 41. Cho tam giác ABC . Tính tổng AB, BC + BC , CA + CA, AB .

(

A. 180 .

B. 360 .
 AB, BC = 180 0 − ABC


0
Lời giải. Ta có 

 BC , CA = 180 − BCA


0
 CA, AB = 180 − CAB


(
(
(

(

) (

) (

)

C. 270 .

D. 120 .

)
)
)

) (

) (

)

(

)


→ AB, BC + BC , CA + CA, AB = 540 0 − ABC + BCA + CAB = 540 0 −180 0 = 360 0.
Chọn B.
Câu 42. Cho tam giác ABC với A = 60 . Tính tổng AB, BC + BC , CA .

(

A. 120 .

B. 360 .

C. 270 .

) (

)

D. 240 .


0
 AB, BC = 180 − ABC


Lời giải. Ta có 
 BC , CA = 180 0 − BCA


(
(

(

)
)

) (

)

(


→ AB, BC + BC , CA = 360 0 − ABC + BCA

)

= 360 0 − 180 0 − BAC = 360 0 −180 0 + 60 0 = 240 0. Chọn D.

(

)

Câu 43. Tam giác ABC có góc A bằng 100

và có trực tâm H . Tính tổng

(HA, HB ) + (HB, HC ) + (HC , HA).
A. 360 .

B. 180 .

C. 80 .

D. 160 .


 HA, HB = BHA


Lời giải. Ta có 
 HB, HC = BHC


HC , HA = CHA


(
)
(
)
(
)


→ ( HA, HB ) + ( HB, HC ) + ( HC , HA ) = BHA + BHC + CHA

= 2 BHC = 2 (180 0 −100 0 ) = 160 0

H
F
I

A
100 0

B

(do tứ giác HIAF nội tiếp. Chọn D.

C

Câu 44. Cho hình vuông ABCD . Tính cos AC , BA .

(

(
) 22 .
C. cos ( AC , BA) = 0.

)

(
) 22 .
D. cos ( AC , BA) = −1.

A. cos AC , BA =

B. cos AC , BA = −

Lời giải. Vẽ AE = BA .

(

)

(

Khi đó cos AC , BA = cos AC , AE

= cos CAE = cos1350 = −

C

D

B

A

)

2
.
2

Chọn B.

E

Câu 45. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng AB, DC + AD, CB + CO , DC .

(

A. 450.

B. 4050.

) (

C. 3150.

) (

D. 2250.

Lời giải. • Ta có AB, DC cùng hướng nên AB, DC = 0 0 .

(

)

(
)
(CO, DC ) = (CO,CE ) = OCE = 135 .

• Ta có AD, CB ngược hướng nên AD, CB = 180 0 .
• Vẽ CE = DC , khi đó

0

B

A
O

D

C

E

Vậy AB, DC + AD, CB + CO , DC = 0 0 + 180 0 + 1350 = 3150. Chọn C.

(

) (

) (

)

)

Baứi 02
TCH VO HệễNG CUA HAI VECTễ
1. nh ngha
Cho hai vect a v b u khỏc vect 0. Tớch vụ hng ca a v b l mt s, kớ hiu
l a.b, c xỏc nh bi cụng thc sau:

( )

a.b = a . b cos a, b .
Trng hp ớt nht mt trong hai vect a v b bng vect 0 ta quy c a.b = 0.
Chỳ ý

Vi a v b khỏc vect 0 ta cú a.b = 0 a b.
2

Khi a = b tớch vụ hng a.a c kớ hiu l a v s ny c gi l bỡnh phng
vụ hng ca vect a. Ta cú
2

2

a = a . a .cos 0 0 = a .

2. Cỏc tớnh cht ca tớch vụ hng
Ngi ta chng minh c cỏc tớnh cht sau õy ca tớch vụ hng:
Vi ba vect a, b, c bt kỡ v mi s k ta cú:

a.b = b.a (tớnh cht giao hoỏn);
a (b + c ) = a.b + a.c (tớnh cht phõn phi);

(ka ).b = k (a.b ) = a.(kb ) ;
2

2

a 0, a = 0 a = 0.
Nhn xột. T cỏc tớnh cht ca tớch vụ hng ca hai vect ta suy ra:
2

2

2

2

2

2

(a + b ) = a + 2a.b + b ;
(a b ) = a 2a.b + b ;
2

2

(a + b )(a b ) = a b .

3. Biu thc ta ca tớch vụ hng

(

)

Trờn mt phng ta O ; i ; j , cho hai vect a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ). Khi ú tớch vụ
hng a.b l:

a.b = a1b1 + a2 b2 .
Nhn xột. Hai vect a = (a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ) u khỏc vect 0 vuụng gúc vi nhau khi
v ch khi

a1b1 + a2 b2 = 0.

4. ng dng
a) di ca vect


Độ dài của vectơ a = (a1 ; a2 ) được tính theo công thức:

a = a12 + a22 .
b) Góc giữa hai vectơ
Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a = (a1 ; a2 ) và b = (b1 ; b2 ) đều
khác 0 thì ta có

( )

a.b

cos a; b =

a1b1 + a2 b2

=

2
1

a + a22 . b12 + b22

a.b

.

c) Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm A ( x A ; y A ) và B ( x B ; y B ) được tính theo công thức:
2

2

AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) .
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Câu 1. Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A. a.b = a . b .

B. a.b = 0 .

C. a.b = −1 .

D. a.b = − a . b .

Lời giải. Ta có a.b = a . b .cos a, b .

( )

( )

( )

→ cos a, b = 1 .
Do a và b là hai vectơ cùng hướng nên a, b = 0 0 
Vậy a.b = a . b . Chọn A.
Câu 2. Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định góc α giữa hai vectơ a và b khi

a.b = − a . b .
A. α = 180 0.

B. α = 0 0.

C. α = 90 0.

D. α = 450.

Lời giải. Ta có a.b = a . b .cos a, b .

( )

Mà theo giả thiết a.b = − a . b , suy ra cos a, b = −1 
→ a, b = 180 0. Chọn A.

( )

( )

Câu 3. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = 3, b = 2 và a .b = −3. Xác định góc α
giữa hai vectơ a và b.
A. α = 30 0.

B. α = 450.

C. α = 60 0.

Lời giải. Ta có a.b = a . b .cos a, b 
→ cos a, b =

( )

Chọn D.

( )

a .b
a .b

D. α = 120 0.

=

−3
1

= − 
→ a, b = 120 0.
3.2
2

( )


Câu 4. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a = b = 1 và hai vectơ u =

2
a − 3b và
5

v = a + b vuông góc với nhau. Xác định góc α giữa hai vectơ a và b.
A. α = 90 0.

B. α = 180 0.

C. α = 60 0.
D. α = 450.
2
2

2 2 13
Lời giải. Ta có u ⊥ v 
→ u.v = 0 ⇔  a − 3b  a + b = 0 ⇔ a − ab − 3b = 0
 5

5

5

(

)

a = b =1


→ ab = −1.

( )

a .b

Suy ra cos a, b =

= −1 
→ a, b = 180 0. Chọn B.

( )

a .b

Câu 5. Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai?
2
2
2
2
1

1 2
2
A. a .b =  a + b − a − b .
B. a .b =  a + b − a − b .


2
2
2
2
2
2


1
1
C. a .b =  a + b − a − b .
D. a .b =  a + b − a − b .




2
4
1
1
Lời giải. Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số
và
nên đáp án sai sẽ rơi vào
2

4
C hoặc D.
2
2
2
2
2
2
1
Ta có a + b − a − b = a + b − a − b = 4 ab 
→ a.b =  a + b − a − b . Chọn C.


4

(

2

) (

(

• A đúng, vì a + b = a + b

)

2

) = (a + b ).(a + b ) = a.a + a.b + b.a + b.b = a

2

2

+ b + 2a.b

2
2
1
2

→ a .b =  a + b − a − b .

2
2

(

• B đúng, vì a − b = a − b

2

) = (a − b ).(a − b ) = a.a − a.b − b.a + b.b = a

2

2

+ b − 2a.b

2
2
1 2

→ a .b =  a + b − a − b .

2

Câu 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB. AC .
A. AB. AC = 2a 2 . B. AB. AC = −

a2 3
a2
. C. AB. AC = − .
2
2

D. AB. AC =

a2
.
2

Lời giải. Xác định được góc AB, AC là góc A nên AB, AC = 60 0.

(

(

)

)

(

Do đó AB. AC = AB. AC .cos AB, AC = a.a.cos 60 0 =

)

a2
. Chọn D.
2

Câu 7. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng AB.BC .
A. AB.BC = a 2 .

B. AB.BC =

a2 3
.
2

C. AB.BC = −

a2
.
2

D. AB.BC =

a2
.
2

Lời giải. Xác định được góc AB, BC là góc ngoài của góc B nên AB, BC = 120 0.

(

)

(

)

a2
. Chọn C.
2
Câu 8. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a . Mệnh đề nào sau đây
là sai?
1
1
a2
1
A. AB. AC = a 2 . B. AC .CB = − a 2 .
C. GA.GB = .
D. AB. AG = a 2 .
2
2
2

6

(

)

Do đó AB.BC = AB.BC .cos AB, BC = a.a.cos120 0 = −


Lời giải. Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

(

)

(

)

• Xác định được góc AB, AC là góc A nên AB, AC = 60 0.

(

)

Do đó AB. AC = AB. AC .cos AB, AC = a.a.cos 60 0 =

(

2

a

→ A đúng.
2

)

(

)

• Xác định được góc AC , CB là góc ngoài của góc C nên AC , CB = 120 0.

(

)

Do đó AC .CB = AC .CB.cos AC , CB = a.a.cos120 0 = −

(

)

a2

→ B đúng.
2

(

)

• Xác định được góc GA, GB là góc AGB nên GA, GB = 120 0.

(

a

)

Do đó GA.GB = GA.GB.cos GA, GB =

(

3

.

a
3

.cos120 0 = −

)

(

a2


→ C sai. Chọn C.
6

)

• Xác định được góc AB, AG là góc GAB nên AB, AG = 30 0.

(

)

Do đó AB. AG = AB. AG.cos AB, AG = a.

a
3

.cos 30 0 =

a2

→ D đúng.
2

Câu 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH . Mệnh đề nào sau
đây là sai?
a2
a2
A. AH .BC = 0. B. AB, HA = 150 0. C. AB. AC = .
D. AC .CB = .
2

2

(

)

Lời giải. Xác định được góc AC , CB là góc ngoài tại đỉnh C nên AC , CB = 120 0.

(

(

)

(

)

Do đó AC .CB = AC .CB.cos AC , CB = a.a.cos120 0 = −

)

a2
. Chọn D.
2

Câu 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = AC = a. Tính AB.BC .
A. AB.BC = −a 2 . B. AB.BC = a 2 .

C. AB.BC = −

a2 2
a2 2
. D. AB.BC =
.
2
2

Lời giải. Xác định được góc AB, BC là góc ngoài của góc B nên AB, BC = 1350.

(

)

(

)

Do đó AB.BC = AB.BC .cos AB, BC = a.a 2.cos1350 = −a 2 . Chọn A.

(

)

Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c , AC = b. Tính BA.BC .
A. BA.BC = b 2 .

B. BA.BC = c 2 .

C. BA.BC = b 2 + c 2 .

D. BA.BC = b 2 − c 2 .
c
Lời giải. Ta có BA.BC = BA.BC .cos BA, BC = BA.BC .cos B = c . b 2 + c 2 .
= c 2.
2
2
b +c

(

)

Chọn B.
Cách khác. Tam giác ABC vuông tại A suy ra AB ⊥ AC ⇒ AB. AC = 0.
2

Ta có BA.BC = BA. BA + AC = BA + BA. AC = AB 2 = c 2 . Chọn B.

(

)

Câu 12. Cho ba điểm A, B, C thỏa AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 5cm. Tính CA.CB.
A. CA.CB = 13.

B. CA.CB = 15.

C. CA.CB = 17.

D. CA.CB = 19.

Lời giải. Ta có AB + BC = CA ⇒ ba điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C .
Khi đó CA.CB = CA.CB.cos CA, CB = 3.5.cos 0 0 = 15. Chọn B.

(

Cách khác. Ta có AB 2 = AB

2

)
= (CB − CA)

2

= CB 2 − 2CBCA + CA 2



→ CBCA =

1
1
(CB 2 + CA2 − AB 2 ) = 2 (32 + 52 − 2 2 ) = 15.
2

Câu 13. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c . Tính P = AB + AC .BC .

(

A. P = b 2 − c 2 .

2

2

c +b
.
2

B. P =

C. P =

2

2

2

c +b +a
.
3

)

D. P =

2

c + b2 − a2
.
2

Lời giải. Ta có P = AB + AC .BC = AB + AC . BA + AC .

(

)

2

(

)(

)

2

= AC + AB . AC − AB = AC − AB = AC 2 − AB 2 = b 2 − c 2 . Chọn A.

(

)(

)

Câu 14. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c . Gọi M là trung điểm cạnh

BC . Tính AM .BC .
b2 − c 2
A. AM .BC =
.
2
c 2 + b2 + a2
C. AM .BC =
.
3

c 2 + b2
.
2
c 2 + b2 − a2
D. AM .BC =
.
2
B. AM .BC =

Lời giải. Vì M là trung điểm của BC suy ra AB + AC = 2 AM .

1
1
AB + AC .BC = AB + AC . BA + AC
2
2
2
2
1

1
1
b2 − c 2
= AC + AB . AC − AB = AC − AB = ( AC 2 − AB 2 ) =
. Chọn A.
2
2
2
2

Khi đó AM .BC =

(

(

)

)(

)

(

(

)(

)

)

Câu 15. Cho ba điểm O , A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô

(

)

hướng OA + OB . AB = 0 là
A. tam giác OAB đều.

B. tam giác OAB cân tại O.

C. tam giác OAB vuông tại O.

D. tam giác OAB vuông cân tại O.

Lời giải. Ta có OA + OB . AB = 0 ⇔ OA + OB . OB − OA = 0

(

2

)

(

)(

)

2

⇔ OB − OA = 0 ⇔ OB 2 − OA 2 = 0 ⇔ OB = OA. Chọn B.
Câu 16. Cho M , N , P , Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
A. MN NP + PQ = MN .NP + MN .PQ . B. MP .MN = −MN .MP .

(

)

C. MN .PQ = PQ.MN .

D. MN − PQ MN + PQ = MN 2 − PQ 2 .

(

)(

)

Lời giải. Đáp án A đúng theo tính chất phân phối.
Đáp án B sai. Sửa lại cho đúng MP .MN = MN .MP .
Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán.
Đáp án D đúng theo tính chất phân phối. Chọn B
Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB. AC .
A. AB. AC = a 2 .

B. AB. AC = a 2 2.

C. AB. AC =

2 2
a .
2

D. AB. AC =

Lời giải. Ta có AB, AC = BAC = 450 nên AB. AC = AB. AC .cos 450 = a.a 2.

(

Chọn A.

)

1 2
a .
2

2
= a2.
2


Câu 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính P = AC . CD + CA .

(

A. P = −1.

B. P = 3a 2 .

)

C. P = −3a 2 .

D. P = 2a 2 .

Lời giải. Từ giả thiết suy ra AC = a 2.

(
)
= −CA.CD cos (CA, CD ) − AC

Ta có P = AC . CD + CA = AC .CD + AC .CA = −CA.CD − AC
2

(

= −a 2.a.cos 450 − a 2

2

)

2

= −3a 2 . Chọn C.

Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P = AB + AC . BC + BD + BA .

(

)(

)

A. P = 2 2a.
B. P = 2a 2 .
C. P = a 2 .
D. P = −2a 2 .
BD = a 2

Lời giải. Ta có 
.

BC + BD + BA = BC + BA + BD = BD + BD = 2 BD


(

(

)

)

Khi đó P = AB + AC .2 BD = 2 AB.BD + 2 AC .BD = −2 BA.BD + 0

2
= −2a 2 . Chọn D.
2
Câu 20. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua C . Tính

(

)

= −2.BA.BD cos BA, BD = −2.a.a 2.

AE . AB.
A. AE . AB = 2 a 2 . B. AE . AB = 3a 2 .

C. AE . AB = 5a 2 .

Lời giải. Ta có C là trung điểm của DE nên DE = 2 a.

(

)

D. AE . AB = 5a 2 .
A
B

Khi đó AE . AB = AD + DE . AB = AD. AB + DE . AB
0

= DE . AB.cos DE , AB = DE . AB.cos 0 = 2a 2 . Chọn A.

(

)

0

D

C
E
Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC
AC
sao cho AM =
. Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC . Tính MB.MN .
4
A. MB.MN = −4. B. MB.MN = 0.

C. MB.MN = 4.

D. MB.MN = 16.

Lời giải. Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ MB, MN theo các vectơ có
giá vuông góc với nhau.

1
1
3
1
• MB = AB − AM = AB − AC = AB − AB + AD = AB − AD.

4
4
4
4
1
1
1
• MN = AN − AM = AD + DN − AC = AD + DC − AB + AD
4
2
4
1
1
3
1
= AD + AB − AB + AD = AD + AB.
2
4
4
4

(

)

(

(

)

A

B

M

D

N

C

)


2
2
3
 3
 1
1
1
Suy ra MB.MN =  AB − AD  AD + AB  =
9 AB. AD + 3 AB − 3 AD − AD. AB
 4
 4
 16
4
4

(

=

)

1
(0 + 3a 2 − 3a 2 − 0) = 0 . Chọn B.
16

Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8. Tính AB.BD.
A. AB.BD = 62.

B. AB.BD = 64.

C. AB.BD = −62.

D. AB.BD = −64.

Lời giải. Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ AB, BD theo các vectơ có
giá vuông góc với nhau.
Ta có AB.BD = AB. BA + BC = AB.BA + AB.BC = −AB. AB + 0 = −AB 2 = −64 . Chọn D.

(

)

Câu 23. Cho hình thoi ABCD có AC = 8. Tính AB. AC .
A. AB. AC = 24.

B. AB. AC = 26.

C. AB. AC = 28.

D. AB. AC = 32.

Lời giải. Gọi O = AC ∩ BD . Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ AB, AC
theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.
B

C

A

O
D

(

)

Ta có AB. AC = AO + OB . AC = AO. AC + OB. AC =

1
1
AC . AC + 0 = AC 2 = 32 . Chọn D.
2
2

Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8cm, AD = 12cm , góc ABC nhọn và diện

(

)

tích bằng 54cm 2 . Tính cos AB , BC .
A. cos AB, BC =

2 7
.
16

B. cos AB , BC = −

2 7
.
16

C. cos AB, BC =

5 7
.
16

D. cos AB, BC = −

5 7
.
16

(

(

)

)

(

)

(

)

Lời giải. Ta có S ABCD = 2.S∆ABC = 54 ⇔ S∆ABC = 27 cm 2 .

1
1
Diện tích tam giác ABC là S∆ABC = . AB.BC .sin ABC = . AB. AD.sin ABC .
2
2
2.S∆ABC
2.27
9
5 7
⇒ sin ABC =
=

=

→ cos ABC = 1 − sin 2 ABC =
(vì ABC nhọn).
AB. AD 8.12 16
16
A

D

C

B

Mặt khác góc giữa hai vectơ AB, BC là góc ngoài của góc ABC

(

)

(

)

Suy ra cos AB , BC = cos 180 0 − ABC = − cos ABC = −

5 7
. Chọn D.
16

Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = a 2 . Gọi K là trung điểm
của cạnh AD. Tính BK . AC .
A. BK . AC = 0.

B. BK . AC = −a 2 2. C. BK . AC = a 2 2.

Lời giải. Ta có AC = BD = AB 2 + AD 2 = 2a 2 + a 2 = a 3.

A
BK = BA + AK = BA + 1 AD
2
Ta có 

 AC = AB + AD


1
B

→ BK . AC =  BA + AD  AB + AD


2

(

D. BK . AC = 2 a 2 .
K

D

C

)

1
1
1
= BA. AB + BA. AD + AD. AB + AD. AD = −a 2 + 0 + 0 + a 2
2
2
2

(

2

)

= 0. Chọn A.

Vấn đề 2. QUỸ TÍCH
Câu 26. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB + MC = 0 là

(

A. một điểm.

B. đường thẳng.

C. đoạn thẳng.

)

D. đường tròn.

Lời giải. Gọi I là trung điểm BC 
→ MB + MC = 2 MI .

(

)

Ta có MA MB + MC = 0 ⇔ MA.2 MI = 0 ⇔ MA.MI = 0 ⇔ MA ⊥ MI .

(* )

Biểu thức (*) chứng tỏ MA ⊥ MI hay M nhìn đoạn AI dưới một góc vuông nên tập
hợp các điểm M là đường tròn đường kính AI . Chọn D.
Câu 27. Tập các hợp điểm M thỏa mãn MB MA + MB + MC = 0 với A, B, C là ba

(

đỉnh của tam giác là
A. một điểm.
B. đường thẳng.

C. đoạn thẳng.

)

D. đường tròn.

→ MA + MB + MC = 3 MG.
Lời giải. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC 

(

)

Ta có MB MA + MB + MC = 0 ⇔ MB.3 MG = 0 ⇔ MB.MG = 0 ⇔ MB ⊥ MG.

(* )

Biểu thức (*) chứng tỏ MB ⊥ MG hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vuông nên tập
hợp các điểm M là đường tròn đường kính BG. Chọn D.
Câu 28. Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.BC = 0 là
A. một điểm.

B. đường thẳng.

C. đoạn thẳng.

D. đường tròn.

Lời giải. Ta có MA.BC = 0 ⇔ MA ⊥ BC .
Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC . Chọn B.
Câu 29*. Cho hai điểm A, B cố định có khoảng cách bằng a . Tập hợp các điểm N
thỏa mãn AN . AB = 2a 2 là

A. một điểm.

B. đường thẳng.

C. đoạn thẳng.

D. đường tròn.

Lời giải. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B . Khi đó AC = 2 AB.
2

Suy ra AB. AC = 2 AB = 2a 2 .


Kết hợp với giả thiết, ta có AN . AB = AB. AC

(

)

⇔ AB AN − AC = 0 ⇔ AB.CN = 0 ⇔ CN ⊥ AB .
Vậy tập hợp các điểm N là đường thẳng qua C và vuông góc với AB. Chọn B.
Câu 30*. Cho hai điểm A, B cố định và AB = 8. Tập hợp các điểm M thỏa mãn

MA.MB = −16 là
A. một điểm.

B. đường thẳng.

C. đoạn thẳng.

D. đường tròn.

→ IA = −IB.
Lời giải. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB 

(

)(

) (

)(

Ta có MA.MB = MI + IA MI + IB = MI + IA MI − IA
2

2

= MI − IA = MI 2 − IA 2 = MI 2 −
Theo giả thiết, ta có MI 2 −

)

AB 2
.
4

AB 2
AB 2

82
= −16 ⇔ MI 2 =
−16 = −16 = 0 
→ M ≡ I.
4
4
4

Chọn A.

Vấn đề 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ
Cho tam giác ABC với ba đỉnh có tọa độ xác định A ( x A ; y A ), B ( x B ; y B ), C ( xC ; yC ) thì
•

 x + x B y A + y B 
Trung điểm I của đoạn AB 
→ I  A
;
.
 2
2 

•

 x + x B + xC y A + y B + yC 
→ G  A
Trọng tâm G 
;
.



3
3

•

HA.BC = 0

Trực tâm H 
→
.
 HB.CA = 0


•
•
•
•
•

 AE 2 = BE 2
Tâm đường tròn ngoại tiếp E 
→ EA = EB = EC ⇔ 
.
2
2
 AE = CE
 AK .BC = 0

→

Chân đường cao K hạ từ đỉnh A 
.

BK = k BC
AB
→ DB = −
.DC .
Chân đường phân giác trong góc A là điểm D 
AC
Chu vi: P = AB + BC + CA .
1
1
Diện tích: S = AB. AC .sin A = AB. AC . 1 − cos 2 A .
2
2

(

)

•

Góc A : cos A = cos AB, AC .

•

 AB. AC = 0
Tam giác ABC vuông cân tại A 
→ 
.

 AB = AC


Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A (3; −1), B (2;10 ), C (−4;2). Tính
tích vô hướng AB. AC .
A. AB. AC = 40.

B. AB. AC = −40.

C. AB. AC = 26.

D. AB. AC = −26.


Lời giải. Ta có AB = (−1;11), AC = (−7;3) .
Suy ra AB. AC = (−1).(−7 ) + 11.3 = 40. Chọn A.
Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (3; −1) và B (2;10 ). Tính tích vô
hướng AO.OB.
A. AO.OB = −4. B. AO.OB = 0.

C. AO.OB = 4.

D. AO.OB = 16.

Lời giải. Ta có AO = (−3;1), OB = (2;10 ).
Suy ra AO.OB = −3.2 + 1.10 = 4. Chọn C.
Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = 4i + 6 j và b = 3i − 7 j . Tính
tích vô hướng a.b.
A. a.b = −30.

B. a.b = 3.

C. a.b = 30.

D. a.b = 43.

Lời giải. Từ giả thiết suy ra a = (4;6 ) và b = (3; −7 ).
Suy ra a.b = 4.3 + 6.(−7) = −30. Chọn A.
Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (−3;2 ) và b = (−1; −7 ). Tìm
tọa độ vectơ c biết c .a = 9 và c .b = −20.
A. c = (−1; −3).

B. c = (−1;3).

C. c = (1; −3).

D. c = (1;3).

Lời giải. Gọi c = ( x ; y ).

c .a = 9
−3 x + 2 y = 9
x = −1
Ta có 
⇔ 
⇔ 

→ c = (−1;3). Chọn B.

c .b = −20 −x − 7 y = −20  y = 3

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (1;2), b = (4;3) và c = (2;3).

(

)

Tính P = a. b + c .
A. P = 0.

B. P = 18.

C. P = 20.

D. P = 28.

Lời giải. Ta có b + c = (6;6 ).
Suy ra P = a. b + c = 1.6 + 2.6 = 18. Chọn B.

(

)

Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (−1;1) và b = (2;0) . Tính
cosin của góc giữa hai vectơ a và b .
A. cos a, b =

( )

1
2

C. cos a, b = −

( )

1
2 2

2
.
2

B. cos a, b = −

( )

.

1
D. cos a, b = .
2

( )

.

Lời giải. Ta có cos a, b =

( )

a.b
a.b

−1.2 + 1.0

=

2

2

2

=−

(−1) + 1 . 2 + 0

2

2
. Chọn B.
2

Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (−2; −1) và b = (4; −3) . Tính
cosin của góc giữa hai vectơ a và b .
A. cos a, b = −

( )

C. cos a, b =

( )

5
.
5

3
.
2

B. cos a, b =

( )

2 5
.
5

1
D. cos a, b = .
2

( )


Lời giải. Ta có cos a, b =

( )

a.b

=

−2.4 + (−1).(−3)

=−

4 + 1. 16 + 9

a.b

5
. Chọn A.
5

Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = ( 4;3) và b = (1;7 ) . Tính góc

α giữa hai vectơ a và b .
A. α = 90O.

B. α = 60O.

Lời giải. Ta có cos a, b =

( )

a.b

=

a.b

C. α = 45O.

4.1 + 3.7
16 + 9. 1 + 49

=

D. α = 30O.

2

→ a, b = 450. Chọn C.
2

( )

Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ x = (1;2 ) và y = (−3; −1) . Tính
góc α giữa hai vectơ x và y.
A. α = 45O.

B. α = 60O.

C. α = 90O.
D. α = 135O.
1.(−3) + 2.(−1)
2
x. y

Lời giải. Ta có cos x , y =
=
=−

→ x , y = 1350. Chọn D.
2
1 + 4. 9 + 1
x.y

( )

( )

Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (2;5) và b = (3; −7 ) . Tính góc

α giữa hai vectơ a và b .
A. α = 30O.

B. α = 45O.

C. α = 60O.
D. α = 135O.
2.3 + 5 (−7 )
2
a.b
Lời giải. Ta có cos a, b =
=
=−

→ a, b = 1350. Chọn D.

2
4 + 25. 9 + 49
a.b

( )

( )

Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a = (9;3) . Vectơ nào sau đây không
vuông góc với vectơ a ?
A. v1 = (1; −3).

B. v2 = (2; −6 ).

C. v3 = (1;3).

D. v 4 = (−1;3).

Lời giải. Kiểm tra tích vô hướng a .v , nếu đáp án nào cho kết quả khác 0 thì kết
luận vectơ đó không vuông góc với a . Chọn C.
Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A (1;2 ), B (−1;1) và C (5; −1) . Tính
cosin của góc giữa hai vectơ AB và AC .

3
.
2
5
D. cos AB, AC = −
.
5

1
A. cos AB , AC = − .
2
2
C. cos AB , AC = − .
5

(

)

(

)

B. cos AB, AC =

(

)

(

)

Lời giải. Ta có AB = (−2; −1) và AC = (4; −3) .

(

)

Suy ra cos AB , AC =

AB. AC
AB . AC

=

−2.4 + (−1).(−3)
4 + 1. 16 + 9

=−

5
. Chọn D.
5

Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (6;0 ), B (3;1) và

C (−1; −1) . Tính số đo góc B của tam giác đã cho.
A. 15O.

B. 60 O.

C. 120 O.

Lời giải. Ta có BA = (3; −1) và BC = (−4; −2) .

D. 135O.

(

)

Suy ra cos BA, BC =

BA.BC

=

3.(−4 ) + (−1).(−2)

BA . BC

9 + 1. 16 + 4

=−

2

→ B = BA, BC = 135O.
2

(

)

Chọn D.

Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A (−8;0 ), B (0;4 ), C (2;0 ) và

D (−3; −5). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hai góc BAD và BCD phụ nhau.

B. Góc BCD là góc nhọn.

C. cos AB, AD = cos CB, CD .

D. Hai góc BAD và BCD bù nhau.

(

)

(

)

Lời giải. Ta có AB = (8; 4 ), AD = (5; −5), CB = (−2; 4 ), CD = (−5;5).


8.5 + 4.(−5)
1
cos AB , AD =
=

2
2
2

2
10
8 +4 . 5 +5
Suy ra 


(−2).(−5) + 4.(−5)
1
cos CB, CD =
=−
2
2
2
2

10
2 + 4 . 5 +5


(

)

(

)


→ cos AB, AD + cos CB, CD = 0 ⇒ BAD + BCD = 180 0. Chọn D.

(

)

(

)

1
Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i − 5 j và v = ki − 4 j . Tìm k
2
để vectơ u vuông góc với v.
A. k = 20.

B. k = −20.

C. k = −40.
1

Lời giải. Từ giả thiết suy ra u =  ; −5, v = ( k ; −4 ).
 2


D. k = 40.

1
k + (−5)(−4 ) = 0 ⇔ k = −40 . Chọn C.
2
1
Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = i − 5 j và v = ki − 4 j . Tìm k

2

Yêu cầu bài toán: u ⊥ v ⇔

để vectơ u và vectơ v có độ dài bằng nhau.
A. k =

37
.
4

B. k =

37
.
2

C. k = ±

37
.
2

5
D. k = .
8

1

Lời giải. Từ giả thiết suy ra u =  ; −5, v = ( k ; −4 ).

 2

1
1
+ 25 =
101 và v = k 2 + 16 .
4
2

Suy ra u =

Do đó để u = v ⇔ k 2 + 16 =

1
101
37
37
101 ⇔ k 2 + 16 =
⇔ k2 =
⇔k =±
. Chọn C.
2
4
4
2

Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a = (−2;3), b = (4;1) và

(

)

c = ka + mb với k , m ∈ ℝ. Biết rằng vectơ c vuông góc với vectơ a + b . Khẳng định
nào sau đây đúng?
A. 2 k = 2 m.
B. 3k = 2 m.
C. 2 k + 3m = 0.
c = ka + mb = (−2 k + 4 m;3k + m )

Lời giải. Ta có 
.

a + b = (2;4 )


D. 3k + 2m = 0.

Để c ⊥ a + b ⇔ c a + b = 0 ⇔ 2 (−2 k + 4 m ) + 4 (3k + m ) = 0 ⇔ 2 k + 3m = 0. Chọn C.

(

)

(

)


Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a = (−2;3) và b = (4;1) . Tìm
vectơ d biết a.d = 4 và b.d = −2 .

5 6
 5 6
A. d =  ; .
B. d = − ; .
 7 7 
 7 7 

5 6 
C. d =  ; − .
 7 7 

 5 6
D. d = − ; − .
 7 7 


5

−2 x + 3 y = 4  x = − 7
Lời giải. Gọi d = ( x ; y ) . Từ giả thiết, ta có hệ 
⇔
. Chọn B.
 4 x + y = −2

6
 y =
7

Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ u = ( 4;1), v = (1; 4 ) và a = u + m.v
với m ∈ ℝ. Tìm m để a vuông góc với trục hoành.

A. m = 4.

B. m = −4.

C. m = −2.

D. m = 2.

Lời giải. Ta có a = u + m.v = ( 4 + m;1 + 4 m ).
Trục hoành có vectơ đơn vị là i = (1;0 ).
Vectơ a vuông góc với trục hoành ⇔ a.i = 0 ⇔ 4 + m = 0 ⇔ m = −4. Chọn B.
Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u = ( 4;1) và v = (1;4 ). Tìm m để
vectơ a = m.u + v tạo với vectơ b = i + j một góc 450.
A. m = 4.

1
B. m = − .
2

1
C. m = − .
4

1
D. m = .
2


a = m.u + v = (4 m + 1; m + 4 )
.

Lời giải. Ta có 

b = i + j = (1;1)

2
Yêu cầu bài toán ⇔ cos a, b = cos 450 =
2
5 (m + 1)
(4m + 1) + (m + 4 )
2
2
⇔
=
⇔
=
2
2
2
2
2
2 17m + 16m + 17
2 ( 4 m + 1) + (m + 4 )

( )

m + 1 ≥ 0
1
⇔ 5 (m + 1) = 17 m 2 + 16m + 17 ⇔ 
⇔ m =− .
25m 2 + 50m + 25 = 17m 2 + 16m + 17

4
Chọn C.

Vấn đề 4. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DYI
Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm M (1; − 2 ) và

N (− 3;4 ).
A. MN = 4.

B. MN = 6.

C. MN = 3 6.

D. MN = 2 13.

Lời giải. Ta có MN = (− 4;6 ) suy ra MN = (− 4 ) + 6 2 = 52 = 2 13. Chọn D.
2

Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (1;4 ), B (3;2 ), C (5; 4 ) .
Tính chu vi P của tam giác đã cho.
A. P = 4 + 2 2. B. P = 4 + 4 2.

C. P = 8 + 8 2.

D. P = 2 + 2 2.