LUẬN VAN THẠC SĨ ỨNG DỤNG QUÁ TRÌNH BÁN MARKOV VÀO MÔ HÌNH RỦI RO TRONG BẢO HIỂM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lời cảm ơn
Ngô Ngọc Minh

ỨNG DỤNG QUÁ TRÌNH BÁN
MARKOV VÀO MÔ HÌNH RỦI RO
TRONG BẢO HIỂM
Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Mã số: 60 46 15

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TÔ ANH DŨNG

TP. Hồ Chí Minh - 2009

Đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa
Toán - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, Bộ môn
Xác suất - Thống kê cùng tất cả Quý Thầy Cô đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi trong
suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình: TS. Tô Anh Dũng,
Đại học Khoa Học Tự Nhiên TP. HCM. Tôi cảm ơn thầy về những lời khuyên, gợi ý và
sự hỗ trợ tận tình, chu đáo của thầy trong quá trình học tập và giúp tôi hoàn thành luận
văn này.
Đồng thời, tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn đến PGS. TS Nguyễn Bác Văn, TS. Dương
Tôn Đảm. Các thầy đã trang bị cho tôi kiến thức, giúp tôi hiểu rõ hơn về xác suất, thống
kê và ảnh hưởng sâu sắc đến con đường học tập, nghiên cứu khoa học của mình.
TP. HCM - Ngày 20 tháng 06 năm 2009
Tác giả

Ngô Ngọc Minh


Lời mở đầu
Hầu hết ở các nước phát triển, vốn dự phòng ban đầu là một lượng nhỏ cố định được quy
định bởi chính phủ và phụ thuộc vào sự luân chuyển vốn của công ty bảo hiểm.
Thật vậy, điều đó giúp bảo vệ khách hàng tránh tình trạng không may là công ty phải
trả một lượng lớn tiền bồi thường trong một khoảng thời gian ngắn làm công ty mất khả
năng chi trả (rủi ro). Vấn đề quản lý rủi ro trong bảo hiểm là một trong các vấn đề quan
trọng nhất. Việc có một mô hình toán học giúp quản lí rủi ro là rất cần thiết cho các công
ty bảo hiểm.
Jarrow Land và Turnbull chỉ ra rằng có thể giải quyết được vấn đề rủi ro trong tài chính
và bảo hiểm bằng công cụ xích Markov. Sau đó nhiều bài báo đã chỉ ra rằng xích Markov
có thể nảy sinh nhiều vấn đề. Cũng từ thời điểm này người ta nghĩ đến việc ứng dụng bán
Markov vào rủi ro trong tài chính và bảo hiểm. Nguyên nhân là đối với xích Markov thời
gian chuyển đổi giữa các trạng thái là rời rạc. Đây là lý do tại sao bán Markov được dùng
tốt hơn xích Markov.
Trong luận văn này tôi sẽ trình bày ứng dụng của quá trình bán Markov vào quản lý
rủi ro trong bảo hiểm.

Mục lục
Lời cảm ơn

2

Lời mở đầu

3

Mục lục

4

1 Thuyết tái tạo
1.1 Mục đích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Định nghĩa chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo . . . . . . . .
1.4 Phương trình tái tạo . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . .
1.5.1 Phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Phép biến đổi Laplace Stieltjes (L-S) . . . .
1.5.3 Một ứng dụng đối với hàm tái tạo . . . . . .
1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Đẳng thức Wald . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Chặn dưới của hàm tái tạo R . . . . . . . .
1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t) . . . . . .
1.8 Các thời điểm hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Hàm phân phối của số lần hồi quy . . . . .
1.8.3 Dáng điệu tiệm cận . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng
1.10 Dạng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.1 Phương pháp cầu phương tổng quát . . . . .
1.10.2 Một vài công thức đặc biệt . . . . . . . . . .
1.10.3 Ví dụ thực tế về tai nạn ô tô . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

1
1
2
3
7
14
14
16
17
18
18
19
20
23
23
24
26
30
35
35

37
39

2 Xích Markov
2.1 Tính Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Định nghĩa tính Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Định nghĩa xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Phân loại trạng thái xích Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Các trạng thái tuần hoàn và không tuần hoàn . . . . . . . . . . .
2.3.2 Các trạng thái ước lượng và không ước lượng được – Tính tối giản

.
.
.
.
.
.
.

45
45
45
46
47
50
50
50

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

MỤC LỤC

2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9

5

2.3.3 Trạng thái nhất thời và hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Số lần chiếm giữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tính xác suất hấp thu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dáng điệu tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Một trường hợp trong bảo hiểm xã hội (Janssen (1966)) . . . . . . . . . .
Phương pháp số giải bài toán tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Thuật toán cho nghiên cứu xích Markov tiệm cận . . . . . . . . .
2.9.2 Mẫu dữ liệu tối giản thực tế trong bảo hiểm xe . . . . . . . . . .
2.9.3 Các ví dụ rút gọn được và không rút gọn được, dạng kết nối chính

. 51
. 54
. 55
. 56
. 60
. 63

. 65
. 65
. 68
tắc. 72

3 Quá trình tái tạo Markov, bán Markov và bước ngẫu nhiên Markov
3.1 Quá trình (J-X) dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Xích bán Markov và xích bán Markov mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Các tính chất chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Ví dụ về quá trình yêu cầu bồi thường trong bảo hiểm . . . . . . . . . . .
3.5 Quá trình tái tạo Markov, quá trình bán-Markov và quá trình đếm liên kết
3.6 Các hàm tái tạo Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Phương trình tái tạo Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Dáng điệu tiệm cận của MRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Dáng điệu tiệm cận của hàm tái tạo Markov . . . . . . . . . . . .
3.9 Dáng điệu tiệm cận của SMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.1 Trường hợp tối giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.2 Trường hợp không tối giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 MRP trì hoãn và MRP dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Trường hợp nghiên cứu về bảo hiểm xã hội . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.1 Mô hình bán Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11.2 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Quá trình (J-X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Các hàm của quá trình (J-X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.14 Các bước ngẫu nhiên cổ điển và lý thuyết rủi ro . . . . . . . . . . . . . . .
3.14.1 Các kí hiệu cơ bản trong bước ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . .
3.14.2 Sự phân loại các bước ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.15 Các bước ngẫu nhiên bán Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.16 Phân phối cận trên đúng cho các bước ngẫu nhiên bán Markov . . . . . . .

82
82
83
83
86
87
88
91
92
92
92
92
94
95
98
98
99
100
101
103
103
104
106
107

4 Các Mô Hình Rủi Ro Trong Bảo Hiểm
4.1 Mô hình ngẫu nhiên cổ điển cho lý thuyết rủi ro
4.2 Mô hình rủi ro E.S Anderson hay G/G . . . . .
4.2.1 Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Phí bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.3 Ba quá trình cơ bản . . . . . . . . . . .
4.2.4 Xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . .
4.3 Mô hình rủi ro Cramer – Lundberg hay P/G . .
4.3.1 Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Xác suất phá sản . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Quản lí rủi ro bằng xác suất phá sản . .
4.3.4 Ước lượng Cramer . . . . . . . . . . . .

109
109
110
110
110
112
113
115
115
115
120
121

và xác suất phá
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

sản
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

MỤC LỤC
4.4 Các mô hình khuyếch tán cho lý thuyết rủi ro và xác suất phá sản
4.4.1 Mô hình rủi ro khuyếch tán đơn giản . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Mô hình rủi ro ALM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Mô hình rủi ro Bán Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Mô hình rủi ro bán Markov (hay SMRM) . . . . . . . . . .
4.5.2 Mô hình rủi ro bán Markov tổng quát (hay GSMRM) . . .
4.5.3 Quá trình đếm số yêu cầu bồi thường . . . . . . . . . . . .
4.5.4 Quá trình tiền bảo hiểm tích lũy . . . . . . . . . . . . . .

4.5.5 Quá trình tiền đóng bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.6 Quá trình rủi ro và rủi ro của vốn dự trữ . . . . . . . . . .
4.5.7 Mô hình rủi ro bán-Markov dừng . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Xác suất phá sản của mô hình rủi ro bán-Markov tổng quát . . .
4.6.1 Xác suất phá sản và không phá sản . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Sự thay đổi mức phí bảo hiểm . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3 Giải pháp tổng quát cho vấn đề tiệm cận xác suất rủi ro .

6

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

123

123
124
125
125
125
128
130
131
131
132
132
132
133
134

Kết luận

137

Tài liệu tham khảo

138


1.2 Định nghĩa chính

2

Từ quan điểm toán tử, một đặc trưng quan trọng của hệ được xét tại thời điểm t là
tổng số các thay thế xảy ra trong khoảng [0, t]. Lưu ý rằng ta không xét thành phần đầu

tiên. Nếu N(t) là biến ngẫu nhiên ta vừa định nghĩa, với n ≥ 1 ta có:
N(t) > n − 1 ⇔ Tn ≤ t.

Chương 1

Thuyết tái tạo
1.1

(1.3)

Quá trình ngẫu nhiên (N(t), t ≥ 0), được thể hiện ở hình 1.1.
Mômen cấp một của N(t) sẽ cho số lượng trung bình của sự thay thế trong (0, t]. Đặc
biệt nếu tại thời điểm 0, người quản lý có đủ khả năng để thực hiện toàn bộ sự thay thế,
số lượng thay thế trung bình sẽ là kì vọng E(N(t)). Dĩ nhiên, nhà quản lý phải dự trữ
thêm để ngăn chặn sự gia tăng ngẫu nhiên. Vấn đề này sẽ được giải quyết trong mục 1.7.
Lĩnh vực nghiên cứu xác suất của các quá trình này được gọi là thuyết tái tạo. Nó được
sử dụng cho xác suất ứng dụng, một trong những chủ đề quan trọng để giải quyết một số
vấn đề trong cuộc sống.

Mục đích

Đặt (Xn , n ≥ 1) là một dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập và có cùng phân phối được
xác định trên không gian xác suất (Ω, , P ).
Ta xét vấn đề về độ tin cậy như sau: tại thời điểm 0, hệ được xét bắt đầu với một
thành phần mới và sau đó nó bị hỏng tại thời điểm ngẫu nhiên T1 . Tại thời điểm này, một
thành phần mới khác lập tức được thay thế cho thành phần đầu tiên trong hệ, sau đó nó
cũng bị hỏng tại thời điểm c và cứ tiếp tục quá trình như vậy. Tất cả các thành phần này
đều cùng loại.
Ta gọi (Tn , n ≥ 0) là các thời điểm thay thế liên tiếp, ta có
T0 = 0.

(1.1)

Tuổi thọ của các thành phần liên tiếp được đưa vào hệ cho bởi
Xn = Tn − Tn−1 , n ≥ 1.

(1.2)

1.2

Định nghĩa chính

Định nghĩa 1.1. Dãy ngẫu nhiên (Tn , n ≥ 0), trong đó
T0 = 0,
Tn = X1 + . . . + Xn ,

n≥1

(1.4)
(1.5)

được gọi là dãy tái tạo hoặc quá trình tái tạo.
Các biến ngẫu nhiên Tn , n ≥ 0 được gọi là thời điểm tái tạo và biến ngẫu nhiên Xn , n ≥ 1
được gọi là khoảng thời gian giữa hai lần chuyển đổi.
Ví dụ 1.1.
1. Ta xét hệ thống hàng đợi của một dịch vụ, quá trình khách hàng đến và quá trình
số lần phục vụ được áp dụng bởi luật FIFO, nghĩa là khách hàng nào tới trước sẽ được
phục vụ trước. Trong nhiều mô hình của lý thuyết hàng đợi, quá trình đến được thừa nhận
là một quá trình tái tạo. Trong trường hợp này, biến ngẫu nhiên Tn là thời gian đến của
khách hàng thứ n, khi đó khách hàng số 0 thì sẽ được phục vụ tại thời điểm 0 và biến

ngẫu nhiên Xn mô tả khoảng thời gian đến giữa khách hàng thứ (n − 1) và thứ n.
2. Quá trình đến cũng được xét trong lý thuyết rủi ro. Ta xét một công ty bảo hiểm
bắt đầu tại thời điểm 0 với số vốn ban đầu u(u ≥ 0). Khách hàng đóng phí bảo hiểm và
công ty bảo hiểm phải trả tiền bồi thường khi khách hàng xảy ra tai nạn. Trong trường
hợp này, biến ngẫu nhiên Tn mô tả yêu cầu bồi thường bảo hiểm thứ n và công ty sẽ bắt
đầu xem xét chi trả tiền bồi thường với yêu cầu đầu tiên được gọi là yêu cầu bồi thường
0, biến ngẫu nhiên Xn là “khoảng thời gian đến” giữa sự bồi thường thứ (n − 1) và thứ n.
3. Trong lý thuyết đếm, ta xét các mẫu đến tại thời điểm Tn , n ≥ 0 với T0 = 0, biến
ngẫu nhiên Xn thỏa các điều kiện của thời điểm đến giữa 2 lần chuyển đổi liên tục.
Định nghĩa 1.2. Với mỗi dãy tái tạo, ta có thể kết hợp các quá trình ngẫu nhiên sau có
thời gian liên tục với các giá trị trong N :

khi đó
Hình 1.1: Đồ thị của N (t)

(1.6)

(N(t), t ≥ 0)
N(t) > n − 1 ⇔ Tn ≤ t,

n ∈ N0 .

Quá trình này được gọi là quá trình đếm kết hợp hoặc quá trình đếm tái tạo. N(t) mô
tả tổng số tái tạo trong (0, t].


1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo

3

Định nghĩa 1.3. Hàm tái tạo được định nghĩa
(1.7)

H(t) = E(N(t))
trong đó kì vọng được quy định là hữu hạn.
1.3

4

Trong một vài trường hợp, nó hữu ích để xét tái tạo ban đầu và để định nghĩa biến
ngẫu nhiên N (t) vào thời điểm t là tổng số tái tạo trong [0, t].
Rõ ràng, với mọi t ≥ 0:
N (t) = N(t) + 1
(1.17)
do đó:

Sự phân loại của các quá trình tái tạo

Ta giả sử rằng các biến ngẫu nhiên được định nghĩa trên R có hàm phân phối F như vậy:
(1.8)

F (0) < 1.

E(N (t)) = H(t) + 1.

(1.18)

R(t) = E(N (t))

(1.19)

Đặt
Theo hệ thức 1.18, 1.16 và 1.13 ta có:
∞

Nếu
ta sẽ có trường hợp thông thường của các biến ngẫu nhiên thực.
Từ hệ thức 1.5, ta có:
P (N(t) > n − 1) = F

(n)

(t),

là tích chập n lần của hàm F với chính nó.
Từ đó với n ≥ 1

n≥1

R(t) = U0 (t) + H(t).
(1.10)

(1.11)

Áp dụng hệ thức 1.10 ta có:
P (N(t) = n) = F (n) (t) − F (n+1) (t),

n ≥ 1.

(1.12)

F (0) đựơc định nghĩa là phân phối Heaviside với giá trị tại thời điểm ban đầu
F (0) = U0 ,

(1.13)

hệ thức 1.12 vẫn đúng cho n = 0, do đó
P (N(t) = 0) = 1 − F (t).

(1.14)

Áp dụng bổ đề Stein, kết quả quan trọng sau được chứng minh.
Mệnh đề 1.4. Nếu F (0) < 1, với mọi t thì N(t) có mô men bậc bất kì.
Đặc biệt, mệnh đề này có nghĩa là hàm tái tạo hữu hạn với mọi t hữu hạn. Do đó, ta
có thể viết :
∞

E(N(t)) =
n=1

n F (n) (t) − F (n+1)

= F (t) − F (2) (t) + 2F (2) (t) − 2F (3) (t) + · · ·

(1.15)

= F (t) + F (2) (t) + F (3) (t) + · · ·

vì thế sử dụng hệ thức 1.7:

F (n) (t).
n=1

(1.21)

Sự phân loại của quá trình tái tạo dựa trên ba khái niệm: hồi quy, nhất thời và tuần hoàn.
Định nghĩa 1.5.
i) Một quá trình tái tạo (Tn ,n ≥ 1) là hồi quy nếu Xn < ∞ với mọi n, ngược lại nó
được gọi là nhất thời.
ii) Một quá trình tái tạo (Tn ,n ≥ 1) là tuần hoàn với chu kì δ nếu các giá trị có thể có
của các biến ngẫu nhiên Xn , n ≥ 1 có dạng tập hợp đếm được {0, δ, 2δ, . . .}, và δ là số lớn
nhất. Ngược lại, nếu không có δ nào dương thì quá trình tái tạo là không tuần hoàn.
Kết quả trực tiếp của định nghĩa này là đặc trưng của một kiểu quá trình tái tạo với
sự trợ giúp của hàm phân phối F.
Mệnh đề 1.6. Một quá trình tái tạo của hàm phân phối F là
i) Hồi quy khi và chỉ khi F (∞) = 1.
ii) Nhất thời khi và chỉ khi F (∞) < 1.
iii) Tuần hoàn với chu kì δ (δ > 0) khi và chỉ khi nếu F là hằng số nằm ngoài khoảng
[nδ,(n + 1)δ), n ∈ N và tất cả các bước nhảy của nó xảy ra tại các điểm nδ, n ∈ N.
Nếu t tiến đến +∞ hệ thức 1.16 cho:

nếu F (+∞) = 1
 +∞
F (+∞)
H(+∞) =
(1.22)
nếu F (+∞) < 1.

1 − F (+∞)
Hoặc tương đương với với hệ thức 1.20:


 +∞
1
R(+∞) =

1 − F (+∞)

nếu F (+∞) = 1
nếu F (+∞) < 1.

(1.23)

Điều này sẽ được chứng minh ở định lí tiếp theo.

Mệnh đề 1.7. Quá trình tái tạo của hàm phân phối F là hồi quy hay nhất thời phụ thuộc
vào H(+∞) = +∞ hoặc H(+∞) < +∞. Trong trường hợp cuối, ta có

∞

H(t) =

(1.20)

n=0

Hiển nhiên ta có:

(n)

P (N(t) = n) = P (N(t) > n − 1) − P (N(t) > n).

F (n) (t).

R(t) =

(1.9)

F (+∞) = 1

F

1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo

(1.16)

R(+∞) =

F (+∞)
1
hoặc H(+∞) =
.
1 − F (+∞)
1 − F (+∞)

(1.24)


1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo

5

Sự phân loại được trình bày ở trên sẽ rõ ràng hơn với khái niệm tuổi thọ của quá trình
tái tạo.
Định nghĩa 1.8. Tuổi thọ của quá trình tái tạo (Tn , n ≥ 1) là biến ngẫu nhiên L được
định nghĩa:
L = sup{Tn : Tn < ∞}.
(1.25)
Vì thế, nếu L = , có nghĩa là chỉ có một số lượng hữu hạn sự tái tạo trên [0, ∞). Ta
cũng định nghĩa một biến ngẫu nhiên N mới, nó là tổng số lượng tái tạo trên [0, L).

1.3 Sự phân loại của các quá trình tái tạo

Vì vậy, có thể tính được trung bình của tổng số các tái tạo một cách dễ dàng trong
trường hợp nhất thời. Ta cũng có thể đưa ra hàm phân phối của L. Thực vậy, ta có:
∞

P (L ≤ t) =

N = sup{N(t), t ≥ 0}.

(1.26)

và tổng quát với k ∈ N :

P (N = 1) = F (+∞)(1 − F (+∞))

P (N = k) = (F (+∞))k (1 − F (+∞)).

(1.28)

P (L ≤ t) = (1 − F (+∞))R(t).

+∞

(1.29)

= F (+∞)
vì thế

1
với |x| < 1 (hay −1 < x < 1) có thể viết dưới dạng chuỗi lũy thừa:
Như hàm số
1−x
1
=
1−x

∞

(1.32)

xn .
n=0

∞

nxn−1 .

∞

E(N) =

F (t)
dt + E(L).F (+∞)
F (+∞)

(F (+∞) − F (t))dt + E(L).F (+∞).

(1.40)

(1.41)

Và cuối cùng
E(L) =

1
1 − F (+∞)

+∞

0

(F (+∞) − F (t)) dt.

(1.42)

Vì vậy, với quá trình tái tạo nhất thời, tuổi thọ luôn hữu hạn và có một giá trị trung
bình hữu hạn được cho bởi hệ thức 1.42.

F (x) =

Viết hệ thức 1.31 dưới dạng

theo 1.33 ta có:

0

(1.33)

n=1

E(N) = F (+∞)(1 − F (+∞)).

1−

(1.39)

Ví dụ 1.2 (Quá trình Poisson). Trong lý thuyết hàng đợi và lý thuyết rủi ro đã được
trình bày trong ví dụ 1.1, giả thiết cổ điển của quá trình đến là nó hình thành quá trình
tái tạo mà ở đó biến ngẫu nhiên Xn thường có hàm phân phối được cho bởi

Với x ∈ (−1, +1) và như vậy, lấy đạo hàm ta được
1
=
(1 − x)2

(1.38)

+∞

E(L) =
(1.31)

(1.37)

Để tính tuổi thọ trung bình của quá trình, ta sử dụng thủ thuật sau dựa trên tính độc
lập của các biến ngẫu nhiên Xn , n ≥ 1, ta có thể viết:

∞

k[F (+∞)]k (1 − F (+∞)).

F (n) (t)(1 − F (+∞)).

Cuối cùng, theo đẳng thức 1.20:

Trong trường hợp quá trình tái tạo nhất thời, theo hệ thức 1.29 ta có:

k=1

n=1

E(L) = E(T1 .I{T1 <∞} ) + E(L).E(I{T1 <∞} )

(1.30)

(1.36)

∞

Hiển nhiên nếu F (+∞) = 1, ta có

E(N) =

P (Tn ≤ t, Xn+1 = +∞).

P (L ≤ t) = 1 − F (+∞) +

0

N = +∞.

n=0

Với Tn và Xn+1 độc lập nhau ta suy ra :

Định nghĩa 1.9. Tổng số lượng các tái tạo trong (0, ∞), có thể là vô hạn, được cho bởi

Trong lý thuyết độ tin cậy, biến cố {N = k} có nghĩa là thành phần thứ (k + 1) được
đưa vào hệ thống và sẽ có tuổi thọ là vô hạn. Phân phối xác suất của N được cho bởi công
thức
P (N = 0) = 1 − F (+∞),
(1.27)

6

k[F (+∞)]k−1

(1.34)

k=1

F (+∞)
.
1 − F (+∞)

(1.35)

0
1 − e−λx

nếu x < 0
nếu x ≥ 0

(1.43)

với λ là một hằng số xác định dương.
Với F (+∞) = 1 thì quá trình đến là một quá trình hồi quy. Theo 1.10, có thể có biểu
thức giải tích của tích chập liên tục n lần. Thực vậy, ta có thể viết tiếp:


1.4 Phương trình tái tạo

7

0
t

(1 − e−λ(t−x) )e−λx dx

(1.44)

t

H(t) = F (t) +
(e−λx − e−λt )dx

=λ

(1.46)
(1.47)

= 1 − e−λt (1 + λt)

F (t − x)dH(x).

(1.45)

0

= 1 − e−λt − λte−λt
và tổng quát:

(1.55)

0

Hoặc
F • H(t) = H • F (t)

(1.56)

suy ra H(t) = F (t) + H • F (t) hay

t
n−1

F

(n)

−λt

(t) = 1 − e

k=0

(λt)k
.
k!

n−1

P (N(t) = n) = 1 − e−λt

k=0

∞

∞

= e−λt
n=1
∞
−λt

=e

λt
n=1

H(t) = λt.

(1.58)

∞

(1.51)

hoặc

H(t − x)f (x)dx.

Trong trường hợp này, ta có thể áp dụng tính hội tụ trội cho 1.16 chỉ ra sự tồn tại của
hàm mật độ h của H là:

(λt)n
(n − 1)!

(λt)n−1

.
(n − 1)!

H(t) = F (t) +
0

(1.50)

n=1

t

(1.49)

(λt)n
n!

ne−λt

(1.57)

Trong trường hợp riêng trong đó hàm mật độ f của F tồn tại thì phương trình tích phân
cuối cùng trở thành:

Với mọi t cố định, quá trình (N(t)) là quá trình Poisson của tham số λt.
Giá trị của hàm tái tạo H theo hệ thức 1.16 và 1.15
H(t) =

H(t − x)dF (x).
0

n

(λt)k
(λt)k
(λt)n
− 1 + e−λt
= e−λt
.
k!
k!
n!
k=0

H(t) = F (t) +

(1.48)

Áp dụng kết quả 1.12 ta có:

f [n] (t)

h(t) =

(1.59)

n=1

với
(1.60)

f [1] (t) = f (t)
t

(1.52)

f [2] (t) =
..
.

(1.53)

0

f (t − x)f (x)dx

(1.61)

f [n−1] (t − x)f (x)dx.

(1.62)

t

Theo đó, trong quá trình tái tạo Poisson thì hàm tái tạo là tuyến tính.
Ta sẽ thấy trong phần 1.5, một quá trình tái tạo có thể cũng được mô tả bởi hàm tái
tạo của nó. Quá trình tái tạo Poisson là một quá trình có hàm tái tạo tuyến tính.
1.4

8

Hệ thức này được gọi là phương trình tích phân của thuyết tái tạo, hoặc đơn giản là phương
trình tái tạo. Nó được viết như sau:

t

F (2) (t) = λ

1.4 Phương trình tái tạo

[n]

f (t) =
0

Từ hệ thức 1.58 hoặc 1.59 ta được phương trình tích phân cho h :

Phương trình tái tạo

h(t) = f (t) + f ⊗ h(t)

Trở lại hệ thức 1.16 ta sử dụng tính liên đới của tích chập ta có:
H(t) = F (t) + F (2) (t) + F (3) (t) + · · ·
(2)

= F + F • [F + F + · · · ](t)
= F (t) + F • H(t).

với

(1.63)

t

f ⊗ h(t) =

(1.54)

f (t − x)h(x)dx.

(1.64)

0

Hoặc
f ⊗ h(t) = h ⊗ f (t),

(1.65)


1.4 Phương trình tái tạo

9
h(t) = f (t) + h ⊗ f (t).

(1.66)

Thực tế, phương trình tái tạo 1.55 là trường hợp riêng của một dạng phương trình tích
phân:
X(t) = G(t) + X • F (t)

(1.67)

ở đó X là một hàm chưa biết, F và G là các hàm đo được bị chặn trên một khoảng hữu
hạn và • là tích chập.
Phương trình tích phân đó được gọi là thuộc kiểu tái tạo.
Khi G = F, ta được phương trình tái tạo. Các phương trình tích phân này đã được
nghiên cứu từ lâu gồm các đóng góp của Lotka (1940), Feller (1941), Smith (1954), Cinlar
(1969). Cinlar đưa ra hai mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.10 (Sự tồn tại và tính duy nhất). Phương trình tích phân của kiểu tái tạo
1.67 có duy nhất một nghiệm được cho bởi
X(t) = R • G(t)

(1.68)

R được định nghĩa bởi hệ thức 1.20.
Chứng minh.
1. Sự tồn tại: Trong thành phần thứ hai của phương trình 1.67, ta thay X bởi biểu
thức 1.68:
G(t) + R • G • F (t).
(1.69)
Sử dụng tính chất giao hoán của tích chập ta có:

(1.70)

G(t) + R • G • F (t) = R • G(t).

(1.71)

Áp dụng phép quy nạp ta được:

Y = Y • F (t)

Y =Y •F

(n)

với mọi n > 0.

(1.74)

n

lim Y • F (n) (t) = 0 với mọi t ≥ 0

(1.76)

Y (t) = 0 với mọi t ≥ 0.

(1.77)

n

Và với 1.74:

Mệnh đề 1.11 (Dáng điệu tiệm cận và định lí khóa tái tạo).
i) Trong trường hợp nhất thời, ta có:
lim X(t) = R(∞)G(∞)

(1.78)

G(∞) = lim G(t)

(1.79)

t→∞

cho ta giới hạn
t

tồn tại.
ii) Trường hợp hồi quy, ta có:
1
m

lim X(t) =

t→∞

∞

G(x)dx,

(1.80)

(1 − F (x))dx.

(1.81)

0

với G Reiman khả tích trên [0, ∞) và giả sử:
m = E(Xn ) =

Hệ quả 1.12. Trong trường hợp quá trình tái tạo hồi quy với phương sai hữu hạn σ 2 ,ta
có:
t
m2 + σ 2
lim R(t) −
=
.
(1.82)
t→∞
m
2m2
Chứng minh. Trong phương trình tích phân của kiểu tái tạo 1.67, ta chọn

(1.73)

Hàm tái tạo R có thể được định nghĩa bởi chuỗi 1.20 hội tụ với mọi t dương, ta biết
rằng:
lim F (n) (t) = 0 với mọi t ≥ 0.
(1.75)
Do đó

Nó cũng có thể dùng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận cho phép giải các kiểu phương
trình tái tạo. Kết quả cơ bản là “định lí khóa tái tạo” đã được chứng minh bởi W.L Smith
(1954), trên thực tế về mặt toán học nó tương đương với định lí Blackwell (1948), được
trình bày ở đây bởi hệ quả 1.13.
Kết quả của định lí khóa tái tạo áp dụng định lí Blackwell được tìm thấy ở Cinlar
(1975b).

0

Vì vậy, hàm R • G(t) là một kết quả của phương trình kiểu tái tạo 1.67.
2. Tính duy nhất: Đặt X1 và X2 là hai nghiệm của phương trình 1.67, và Y được định
nghĩa bởi:
Y = X1 − X2
(1.72)
Khi đó ta có

10

∞

G(t) + R • G • F (t) = (U0 (t) + R • F (t)) • G(t).
Và bởi 1.21

1.4 Phương trình tái tạo

X(t) = R(t) −

t
.
m

(1.83)

Ta sẽ tính hàm G, như vậy phương trình tích phân này có giá trị.
Ta lấy:
(1.84)

G(t) = X(t) − X • F (t)
= R(t) −

t

t
1
− R • F (t) +
m
m

F (t − x)dx.

(1.85)

0

Từ 1.21, với mọi t ≥ 0 ta có:
R(t) = U0 + H(t)

(1.86)


1.4 Phương trình tái tạo

11

vì thế:
1

t
− F (t) − F • H(t) +
G(t) = 1 + H(t) −
m
m

12

lấy tích phân từng phần ta được:

t

0

1.4 Phương trình tái tạo

F (t − x)dx.

∞

(1.87)

Áp dụng phương trình tái tạo 1.55 và trong thành phần thứ hai của tích phân đặt
x = t − x ta được:

σ 2 + m2 = 2

x (1 − F (x))dx.

(1.96)

0

Trở lại hệ thức 1.93, cuối cùng ta có:

t

1
t
+
G(t) = 1 −
m m

F (x )dx .

∞

(1.88)

G(t)dt =

0

σ 2 + m2
.
2m

(1.97)

0

Và như vậy:
G(t) = 1 −

Như vậy hệ quả 1.12 là hệ quả trực tiếp của kết quả (ii) của mệnh đề 1.11.

t

1
m

(1 − F (x))dx.

(1.89)

0

Từ

∞

m=

(1 − F (x))dx,

(1.90)

0

ta suy ra:

G(t) =

Chú ý 1.1.
1) Từ kết quả 1.82, ta được một kết quả tương tự cho hàm tái tạo H. Thực vậy, từ hệ
thức 1.21 ta biết rằng
R(t) = H(t) + U0 (t), t ≥ 0.
(1.98)
Áp dụng kết quả 1.82, ta được:
lim

∞

1
m

(1 − F (x))dx.

(1.91)

t

H(t) −

t→∞

lim

0

0

∞

G(t)dt =

∞

1
m

x (1 − F (x))dx.

0

(1.93)

0

(1.99)

H(t) −

t
m

σ 2 − m2
.
2m2

(1.100)

=

R(t) =

m2 + σ 2
t
+
+ O(1)
m
2m2

(1.101)

H(t) =

σ 2 − m2
t
+
+ O(1)
m
2m2

(1.102)

trong đó O(1) là hàm của t xấp xỉ 0 khi t tiến đến vô cực.
Hệ quả 1.13. Trong trường hợp một quá trình tái tạo hồi quy với giá trị trung bình m
hữu hạn ta có:
1
R(t)

lim
= .
(1.103)
t→∞
t
m
Hệ quả 1.14 (Định lí Blackwell). Trường hợp quá trình tái tạo hồi quy với m trung bình
hữu hạn và với mỗi τ dương ta có:

và ta có:
∞

σ 2 + m2 =

m2 + σ 2
−1
2m2

2) Hai kết quả 1.82 và 1.100 thường được viết theo các dạng sau:

t

Dùng phép hoán đổi thứ tự tích phân (định lí Fubini). Ta được:

=

hoặc
t→∞

Kết luận: Hàm G được đưa ra trong hệ thức cuối là hàm duy nhất cho phương trình

tích phân kiểu tái tạo có nghiệm là hệ thức 1.83.
Rõ ràng, hàm G là hàm đơn điệu không tăng trên [0, +∞) và:
∞

∞
∞
1
 (1 − F (x))dxdt.
(1.92)
G(t)dt =
m

t
m

x2 dF (x)

(1.94)

lim (R(t) − R(t − τ )) =

t→∞

0
∞

x2 d(1 − F (x)).

=−
0

(1.95)

τ
.
m

(1.104)

Chứng minh. Ta xét phương trình kiểu tái tạo 1.67 với hàm G được định nghĩa như sau:
G(t) =

1
, 0≤t≤τ
τ
0,
τ
(1.105)


1.4 Phương trình tái tạo

13

1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace

Trong đó τ là một số thực cố định dương. Từ định lí khóa tái tạo (mệnh đề 1.11, phần
(ii)), ta biết rằng cách giải duy nhất đó được cho bởi mệnh đề 1.10:

như vậy

lim X(t) =

t→∞

1
m

∞

=
v=1
∞

(1.106)

X(t) = R • G(t)

=

∞

(1.107)

G(x)dx.

1
1
R(t) − R(t − τ )

τ
τ

k(t)dt = f (t)dt +

•

F (v ) (t)

(1.119)

v =1

∞

v=1

(1.110)

f (x)k(t − x)dt.
0

Từ phần duy nhất nghiệm của mệnh đề 1.10, với mọi t ≥ 0 ta được:
k(t) = h(t).

(1.111)

(1.112)

α2 (t) = E((N(t))2 ).

(1.113)

k 2 (U0 − F ) • F (v) (t)
∞

(1.114)

k 2 F (k+1) (t)

k 2 F (k) (t)−
k=1
∞

k=1
∞
(k)

(1.121)

V ar(N(t)) = H(t) + 2H (2) (t) − (H(t))2 .

(1.122)

Kết quả cuối cùng là:

1.5

Sử dụng phép biến đổi Laplace
Phép biến đổi Laplace

Để chỉ ra sự hữu ích của phép biến đổi Laplace trong việc giải phương trình tái tạo, ta giả
sử rằng hàm phân phối F đặc trưng cho quá trình tái tạo hồi quy được xét có hàm mật
độ là f . Ta dùng các kí hiệu tổng quát như sau: với bất kì hàm α nào trên [0, ∞), α
˜ sẽ mô
tả biến đổi Laplace của nó, với:
∞

(t)−
v=1

e−sx α(x)dx, (= ˜(α(x))).

α
˜ (s) =

(v − 1) F

(v)

(t)

(1.115)

(1.123)

0

Với quy ước này và sử dụng tính chất của phép biến đổi Laplace
từ phương trình tái tạo ta có:

˜(α ⊗ β)(x)) = α(s)
˜
˜ · β(s)

(1.124)

˜
h(s)
= f˜(s) + ˜h(s) · f˜(s).

(1.125)

Theo biến đổi Laplace ta được:

˜
h(s)
=
2

(1.120)

α2 (t) = H(t) + 2H (2) (t).

Theo kết quả 1.12, tiếp theo ta có:
∞

(v − 1)F (v) (t).

Sử dụng 1.16 và thay thế kết quả cuối cùng này vào 1.118, ta được:

1.5.1

Vì vậy, xác suất được định nghĩa ở trên được cho bởi h(t)dt và tổng quát hơn là bởi
dH(t) với một sai số chính xác của O(dt).
2) Phương sai của N(t): Từ bổ đề Stein, ta biết rằng với mọi t thì N(t) có mô ment
bậc bất kì.
Đặt α2 (t) là mô men có tâm bậc 2 của N(t) :

k=1

∞

F (v) (t)

H (2) (t) =

t

k F

(1.118)

khi đó ta dễ dàng thấy rằng:
(1.109)

Chú ý 1.2.
1) Giải thích xác suất của hàm mật độ tái tạo. Đặt k(t)dt là xác suất có sự tái tạo
trong khoảng thời gian (t, t + dt) và phải thỏa mãn hệ thức sau, hệ thức này có được bởi
tham số xác suất đơn giản sử dụng tính độc lập của tuổi thọ liên tục:

=

F (v) (t).
v=1

∞

v=1

Thay các kết quả của 1.108 và 1.109 vào hệ thức 1.107 ta được 1.104.

2

∞

(v − 1)F (v) (t)+

H (2) (t) =

0

=

(1.117)

=2

(1.108)

G(x)dx = 1.

k=1
∞

(2v − 1)F (v) (t)

Bây giờ nếu ta tính H (2) (t) bởi trung bình của hệ thức:

∞

α2 (t) =

(1.116)

v=1

Theo định nghĩa 1.105 của hàm G ta có

và

[v 2 − (v − 1)2 ]F (v) (t)

v=1
∞

0

X(t) =

14

f˜(s)
.
1 − f˜(s)

Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược ta tìm được giá trị của h(t).

(1.126)


1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace

15

Chú ý 1.3. Từ phương trình đại số 1.125, ta suy ra được biểu thức hàm mật độ f như
là hàm mật độ tái tạo h. Trong phép biến đổi Laplace, ta có:
˜
h(s)
.
˜
1 − h(s)

˜ =
f(s)

(1.127)

Phép biến đổi Laplace ngược cho ta một hàm của h.
Điều này dẫn đến kết quả quan trọng là mỗi quá trình tái tạo (nếu có) được đặc trưng

bởi mật độ tái tạo của nó hoặc bởi hàm tái tạo của nó. Như vậy, có sự tương ứng một-một
giữa hàm phân phối F của hàm tái tạo và hàm tái tạo H của nó.

x ≥ 0.

1.5.2

Phép biến đổi Laplace Stieltjes (L-S)

Phép biến đổi L-S tổng quát hơn phép biến đổi Laplace. Thực vậy, cho hàm α xác định
trên [0, ∞), α
¯ là phép biến đổi L-S của nó và có dạng:
∞

Với một hàm α sao cho
lim e−sx α(x) = 0

(1.137)

tích phân từng phần cho ta hệ thức giữa α
˜ và α
¯:
α(s)
¯
= −α(0) + sα(s).
˜

(1.138)

Hàm ¯ thỏa mãn tính chất sau:

¯((α • β)(x)) = ¯(α(x)) · ¯(β(x))

(1.129)

(1.139)

từ phương trình tái tạo 1.57 ta được:

0

vì thế
f˜(s) =
Theo đẳng thức 1.126 ta được:

(1.136)

0

∞

e−(s+λ)x dx

e−sx dα(x) (= ¯(α(x))).

α(s)
¯
=

(1.128)

Trường hợp này ta có phép biến đổi Laplace f˜ :
˜ =λ
f(s)

16

x→∞

Ví dụ 1.3 (Quá trình Poisson). Xét lại ví dụ 1.2. Từ hệ thức 1.43, ta được
f (x) = λe−λx ,

1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace

λ
.
s+λ

(1.130)

(1.131)

K
s

(1.132)

(K) =

hoặc:
¯

H(s)
=

λ
˜
h(s)
= .
s

Với mỗi hằng số K:

¯
¯
H(s)
= F¯ (s) + H(s)
· F¯ (s).

Từ đó:

(1.133)

F¯ (s) = f˜(s)

(1.142)

˜
¯
H(s)
= h(s)

(1.143)

và vì vậy cho nên các hệ thức 1.141 và 1.126 là đồng nhất.
Ví dụ 1.4. Xét mô hình tất định với F = U1 . Từ

t

H(t) =

(1.141)

hệ thức trên tương đương với hệ thức 1.126 nếu ta không thừa nhận sự tồn tại hàm mật
độ của F . Hiển nhiên nếu tồn tại hàm mật độ thì từ 1.136 ta có:

và sử dụng tính duy nhất của phép biến đổi Laplace ngược ta suy ra:
h(t) = λ.

F¯ (s)
1 − F¯ (s)

(1.140)

h(x)dx

∞

(1.134)

F¯ (s) =

0

Ta cũng có:
H(t) = λt.

0
−s

=e

(1.135)

Theo đó quá trình Poisson là duy nhất cho loại mà có hàm tái tạo tuyến tính.
Kết quả này đã được trình bày trong ví dụ 1.2. Trong trường hợp này, các kết quả của
hệ quả 1.13 và 1.14 là chính xác.

e−sx dUl(x)

(1.144)
(1.145)

1.141 cho ta:
e−s
1 − e−s
= e−s 1 + e−s + e−2s + · · ·

¯
H(s)
=

(1.146)
(1.147)

∞

e−ks .

=
k=1

(1.148)


1.5 Sử dụng phép biến đổi Laplace

17

1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald

Nhưng

Ta có thể viết:
∞

(1.149)

(k)

e−sx dUk (x) = ¯

U1 (x)

0

= e−ks
¯ để được:
ta có thể đảo H

(1.150)

hoặc:

(1.151)

Giả sử rằng α < 1 ta được:

∞
(k)

U1 (t).

H(t) =

Một ứng dụng đối với hàm tái tạo

hoặc

−λx

H(t) = λt ⇔ F (x) = 1 − e

,

x ≥ 0.

(1.153)

Nếu nhân H(t) với hằng số µ thì hàm

F¯α (s) = α
n=0

(1.155)

Tổng quát hơn, Daley (1965) xét vấn đề là nhân một hàm tái tạo H với hằng số α nếu
có thể, để mô tả đặc điểm cho một quá trình tái tạo mới. Ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.15 (Daley (1965)). Nếu H là một hàm tái tạo, thì hàm αH với hằng số α
thuộc [0, 1] vẫn là hàm tái tạo tương ứng với hàm phân phối Fα sau:
∞

(1 − α)n−1 F (n) (x),

x ≥ 0.

(1.156)

Chứng minh. Giả sử rằng Fα là hàm phân phối tương ứng với hàm tái tạo αH.
Hệ thức 1.140 vẫn đúng cho αH nên ta có:

Từ đó với 1.141:

¯
H(s)
=

n
(1 − α)n F¯ (s) .

(1 − α)n−1 F¯ (s)

x→∞

n=0

(1.157)

F¯ (s)
1 − F¯ (s)

(1.158)

n

(1 − α)n−1 .

(1.163)

(1.164)

Bây giờ ta có thể nói rằng Fα là một hàm phân phối, và do đó hàm phân phối duy
nhất có αH là một hàm tái tạo.

1.6
1.6.1

Ứng dụng của đẳng thức Wald
Đẳng thức Wald

Chúng ta đều biết rằng
E(Sn ) = nm

(1.165)

Sn = X0 + . . . + Xn

(1.166)

E(N(t)) = R(t).

(1.167)

với
và

¯
αH(s)
¯ .
1 + αH(s)

(1.162)

∞

lim Fα (x) = α

vẫn là một hàm tái tạo. Chính xác hơn, H1 tương ứng với hàm phân phối F1 cho bởi:
F1 (x) = 1 − e−µλx .

để mô tả F¯α (s):

hoặc 1.156 bởi phép nghịch đảo.
Rõ ràng hàm Fα là một hàm không âm và không giảm xác định trên [0, α), như vậy:

(1.154)

H1 (t) = µλt

F¯α (s) =

(1.161)
−1

∞

Từ ví dụ 1.3, ta biết rằng H tuyến tính khi và chỉ khi quá trình tái tạo là Poisson:

n=1

(1.160)

∞

F¯α (s) = F¯ (s)
n=0

Fα (x) = α

(1.159)

αF¯ (s)
.
1 − (1 − α) F¯ (s)

Như vậy ta có thể sử dụng dạng mở rộng của hàm số (1 − x)

(1.152)

Uk (t).
k=1

1.5.3

1
.
αF¯ (s)
1+
¯
1 − F (s)

0 ≤ (1 − α) F¯ (s) ≤ (1 − α) < 1.

∞

H(t) =

αF¯ (s)
.
F¯α (s) =
1 − F¯ (s)

F¯α (s) =

k=1

Hoặc:

18

Bây giờ ta xét thời điểm của lần thay đổi đầu tiên sau thời gian t. Nó được cho bởi
SN (t) . Bổ đề Wald tính giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên này.
Mệnh đề 1.16 (Bổ đề Wald ).
E(SN

(t) )

= mR(t).

(1.168)


1.6 Ứng dụng của đẳng thức Wald

19

1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t)

Chứng minh. Từ các định nghĩa tổng quát, ta có thể viết: nếu N(t) = n thì ta có N (t) =
n + 1 và do đó:

Chứng minh. Theo định nghĩa N (t), ta có:
t ≤ SN (t) .

(1.181)

t ≤ E SN (t) .

(1.182)

t ≤ mR(t)

(1.183)

n

SN (t) = Sn+1 =

Xk+1 I[Sn ≤t
(1.169)
Lấy kì vọng cho cả hai vế ta được:

k=0

như vậy trong trường hợp này:
Sn ≤ t < Sn+1 .

(1.170)
Hoặc từ mệnh đề 1.16 :

Vì vậy, khi không biết giá trị của N(t), ta có:
∞

n

Xk+1 I[Sn ≤t
SN (t) =

(1.171)

n=0 k=0

∞
(t)

k

Xk+1I[Sn ≤t
=

(1.172)

k=0 n=0
∞

k

I[Sn ≤t
Xk+1

=

(1.173)

n=0

k=0
∞

Xk+1 I[Sk ≤t] .

=

ta được bất đẳng thức 1.180.

Chú ý 1.5. Sau này, ta sẽ thấy rằng khái niệm quá trình tái tạo dừng sẽ dẫn đến chặn
trên của R(t) cho một lớp lớn của các quá trình tái tạo.

Hoán vị các tổng trên ta được
SN

(1.174)

1.7

Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t)

Phần này sẽ cho ta hai kết quả quan trọng có liên quan đến quá trình đếm (N(t), t ≥ 0)
kết hợp với quá trình tái tạo hồi quy được đặc trưng bởi hàm phân phối F.
Mệnh đề 1.18 (Luật mạnh số lớn). Nếu m < ∞ thì hầu như chắc chắn rằng:
lim

k=0

t→∞

Các biến ngẫu nhiênXk+1 và Sk độc lập, sử sụng định lí Lebesgue hội tụ đơn điệu ta có:
E (Xk+1 ) .E I[Sk ≤t]

(1.175)

mF (k) (t)

(1.176)

Theo đó:

k=0
∞

=
k=0

(1.177)

= mR(t)

SN (t) ≤ t ≤ SN (t)+1 .

(1.185)

N(t)
N(t)
N(t)
<
.
≤
SN (t)+t
t
SN (t)

(1.186)

lim N(t) = ∞.

t→∞

Chú ý 1.4. Theo 1.17:
N (t) = N(t) + 1

(1.178)

áp dụng hệ thức 1.21 ta có thể viết kết quả cho 1.168 như sau:
E(SN (t)+1 ) = m[H(t) + 1].

(1.179)

Hoặc
lim

n→∞

Hạng của
R(t) ≥

t
.
m

(1.187)

Với bởi giả thiết Xn độc lập và có cùng phân phối, ta sử dụng luật mạnh số lớn khi đó
ta có:
X1 + ... + Xn
= m.
(1.188)
lim
n→∞
n

Chặn dưới của hàm tái tạo R

Hệ quả 1.17. Với mọi t dương ta có

(1.184)

Như một quá trình tái tạo hồi quy, ta sử dụng 1.30 để thấy rằng:

áp dụng kết quả 1.20.

1.6.2

N(t)
1
= .
t
m

Chứng minh. Với bất mẫu đường dẫn của một quá trình tái tạo, ta có:

∞

E SN (t) =

20

N(t)
,t > 0
SN (t)

1
n
= .
Sn
m

là một dãy con của

(1.180)
lim

t→∞

(1.189)

n
, n > 0 , ta cũng có:
Sn

N(t)
1
= .
SN (t)
m

(1.190)


1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t)
Và

21

N(t) + 1 N(t)
N(t)
=
.
SN (t)+1
SN (t)+1 N(t) + 1

1.7 Dáng điệu tiệm cận của quá trình N(t)
Bây giờ ta xét sác suất của thành phần đầu tiên trong đẳng thức 1.195. Ta có:

(1.191)
P (N(t) ≥ n) = P

theo kết quả 1.187, lập luận tương tự ta cũng có:
lim

t→∞

1
N(t)
=
SN (t)+1
m

(1.192)

n−t m

σ 2 t m3

Mệnh đề 1.19 (Định lí giới hạn trung tâm). Nếu σ 2 < ∞, thì với mọi y ∈ R :
N(t) − t m

lim P

σ 2 t m3

≤y

= Φ(y),

(1.193)

lim P

n→∞

lim P

t→∞

Tn − nm
√
≤y
σ n

= Φ(y).

σ 2 t m3

N(t) − t m
σ 2 t m3

(1.194)

=

nm − t √
√
m
σ t

=

nm − t
√
σ n

≥ −y

lim P

N(t) − t m
σ 2 t m3

=P

Tn − nm
t − nm
√
≤ √
σ n
σ n

.

(1.196)

lim

như vậy

t − nm
√ = y.
σ n

√
n
t
t − nm
√ = √ −
m
σ n
σ n
σ

Từ 1.197 cho ta:

lim

t→∞
n→∞

t
√ = +∞.
σ n

(1.198)
(1.199)

Hoặc

một ứng dụng của kết quả 1.199 chỉ ra rằng lý thuyết giới hạn có vai trò quan trọng:
nm
lim
= 1.
t→∞
t
n→∞

(1.201)

(1.204)

(1.205)

= Φ(y).

(1.206)

t→∞
n→∞

= 1 − Φ(−y)

(1.207)

= Φ(y)

(1.208)

σ2
t
m3

(1.209)

Ví dụ 1.5 (Áp dụng cho lý thuyết thống kê). Vấn đề sau chỉ ra rằng mệnh đề 1.19 có thể
dẫn đến các kết quả ứng dụng. Một thiết bị kĩ thuật có tuổi thọ ngẫu nhiên trung bình
là m = 100 giờ và có độ lệch chuẩn là σ = 60 giờ. Với lý do an toàn, các thay thế phải
được thực hiện liên tục không đựơc gián đoạn trong suốt 8000 giờ. Số lượng của các thiết
bị được thay thế vào hệ tại thời điểm 0 để không có sự gián đoạn nào với xác suất 0.95 là
bao nhiêu?
Từ 1.193, ta có:

Như vậy, ta có

N(8000) − 8000 100

√
≤ 1.65
60 8000 1000000

∼
= 0.95.

(1.210)

√
P N(8000) ≤ 80 + 165.0.6. 0.008 ∼
= 0.95.

(1.211)

P (N(8000) ≤ 80 + 9) ∼
= 0.95.

(1.212)

P
(1.200)

nm
.
t

là kết quả của sự rút gọn của 1.122.

Tương tự vậy

t − nm
t (1 − nm t )
√ =
√
σ n
σ n

(1.203)

Chú ý 1.6. Từ mệnh đề 1.19, ta có xấp xỉ cho số lớn t như sau:
var(N(t) ∼

(1.197)

(1.202)

m3

bởi tính chất của hàm phân phối chuẩn.

Bây giờ ta cố định biến y và đặt n và t tiến ra +∞ theo cách đó:
t→∞
n→∞

σ2t

= lim P (N(t) ≥ n)

≤y

Theo định nghĩa 1.2 ta chuyển từ dãy Tn sang quá trình N(t):
(1.195)

n−t m

Kết quả cuối cùng có nghĩa là:

t→∞

P (N(t) ≥ n) = P (Tn ≤ t)

≥

Nếu n → ∞ và t → ∞, theo hệ thức 1.197 và 1.201 thì lượng bên trên sẽ tiến đến −y:

trong đó Φ là hàm phân phối chuẩn.
Chứng minh. Ta biết rằng các tuổi thọ X1 , X2 , ..., Xn , ... liên tiếp của quá trình tái tạo là
độc lập cùng phân phối và có phương sai hữu hạn. Như vậy, ta có thể áp dụng định lí giới
hạn trung tâm cổ điển cho dãy tổng riêng (Tn , n ≥ 0), khi đó:

N(t) − t m

trong đó

Như vậy kết quả của mệnh đề là do từ 1.188 và từ kết quả giới hạn cổ điển của dãy.

t→∞

22

1.8 Các thời điểm hồi quy

23

Do đó số lượng các thiết bị dự trữ tại thời điểm 0 ít nhất là 89.
Ở đây con số 89 có thể tìm ra bằng cách tính toán như trên nhưng thường dùng quy
8000
= 80, ta cộng thêm 10% an toàn ta có 88 gần với kết quả tối ưu trên.
tắc tỉ số t µ =
100
1.8
1.8.1

1.8 Các thời điểm hồi quy
1.8.2

24

Hàm phân phối của số lần hồi quy

Trước hết ta đưa ra hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên δ(t), γ(t) và XN (t)+1 với mọi
t. Kế đến, ta sẽ nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của các hàm phân phối này tức là khi t
tiến dần ra +∞.
Mệnh đề 1.20 (Phân phối của tuổi (δ(t))). Nếu Fδ(t) là hàm phân phối tuổi δ(t) thì:

Các thời điểm hồi quy

Fδ(t) (x) = 1,

Định nghĩa

Xét quá trình tái tạo (Tn , n ≥ 0) được đặc trưng bởi hàm phân phối F của giá trị trung
bình m. Tại thời điểm t dương, ta biết rằng tuổi thọ của XN (t)+1 hoặc XN (t) là:
SN (t) ≤ t ≤ SN (t)+1 .

(1.219)

Fδ(t) =

(1.220)

[1 − F (t − u)] dH(u).
[t−s,t]

Mệnh đề 1.21 (phân phối của tuổi thọ còn lại). Nếu Fγ(t) là hàm phân phối của γ(t),
với mọi x dương ta có:
Fγ(t) (x) =

và thời gian mà thành phần này phải đợi đến khi bị hư hỏng là γ(t), được cho bởi:
γ(t) = SN (t)+1 − t.

(1.218)

Fδ(t) (x) − Fδ(t) (t − 0) = 1 − F (t),

(1.213)

Trong giới hạn của quá trình thay thế, thành phần chịu tác động tại thời điểm t có độ
tuổi δ(t) cho bởi

δ(t) = t − SN (t)
(1.214)

x≥t

[F (t − u + x) − F (t − u)] dR(u).

(1.221)

[0,t]

(1.215)

Hiển nhiên ta có tổng tuổi thọ của thành phần này là XN (t)+1 thõa :
XN (t)+1 = δ(t) + γ(t).

(1.216)

Ta sẽ sử dụng các thuật ngữ sau: biến ngẫu nhiên δ(t), γ(t) và XN (t)+1 được gọi là tuổi,
tuổi thọ còn lại và thời gian tồn tại.

Hình 1.3: Phân tích biến cố tuổi thọ

Chú ý 1.7. Theo 1.21 chúng ta có thể viết
P (γ(t) ≤ x) = F (t + x) − F (t) +

[F (t − u + x) − F (t − u)] dH(u).

(1.222)

[0,t]

Hình 1.2: Tuổi, tuổi thọ còn lại và thời gian tồn tạo

Các biến ngẫu nhiên này hay chính xác hơn là các quá trình ngẫu nhiên này thì có ích
cho nhiều ứng dụng. Ví dụ, ta có thể tính toán được xác suất mà thiết bị bắt đầu hoạt
động tại thời điểm t và không hư hỏng trong suốt khoảng thời gian [t, t + τ ], ta tính phải
tính được xác suất sau:
P (γ(t) > τ ).
(1.217)

Chú ý 1.8. Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của Fγ(t) , hệ thức 1.222 được sử dụng dưới
một dạng khác. Dạng này có được do ta thay F bằng 1 − F c trong tích phân 1.221 , trong
đó F c (x) mô tả
F c (x) = P (Xn > x).
(1.223)
Ta có
[F c (t − u) − F c (t − u + x)] dH(u).

P (γ(t) ≤ x) = F (t + x) − F (t) +
[0,t]

(1.224)


1.8 Các thời điểm hồi quy

25

Hoặc tương đương:



P (γ(t) ≤ x) = F (t + x) −
[0,t]

F c (t − u + x)dH(u) − F (t) −

t

0



F c (t − u)dH(u) .

(1.225)
Theo phương trình tái tạo 1.55, giới hạn trong ngoặc xấp xỉ bằng 0. Điều này cho kết
quả sau:
P (γ(t) ≤ x) = F (t + x) −

c

F (t − u + x)dH(u).

(1.226)

1.8 Các thời điểm hồi quy

Một khả năng khác đó là tồn tại ít nhất một sự tái tạo trước hoặc tại thời điểm t.
Nếu ta giả sử thành phần chịu tác động vào thời điểm t đã được đưa vào hệ thống trong

khoảng thời gian từ u đến u + du, ta phải tính xác suất mà thành phần này có tuổi thọ
trong khoảng (t − u, x). Kết quả này kết hợp với chứng minh xác suất của hàm tái tạo cho
ta tích phân của 1.229. Hiển nhiên, nếu x ≤ t thì nhất thiết sẽ có ít nhất một sự tái tạo
trước hoặc tại thời điểm t và xác suất của biến cố XN (t)+1 ≤ x được cho bởi tích phân.
Chú ý 1.10. Áp dụng hàm tái tạo R được xác định bởi hệ thức 1.20, ta có kết quả của
1.227 như sau
t

FXN(t)+1 (x) =

[0,t]

Chú ý 1.9. (Kì vọng của γ(t)) Sử dụng kết quả 1.179 kết hợp với 1.215 ta được:
E (γ(t)) = m [H(t) + 1] − t.

[F (x) − F (t − u)] dR(u).

(1.230)

t−x

(1.227)

Kết quả này cho ta giá trị chính xác của kì vọng khi ta biết được H(t). Áp dụng kết
quả 1.227 cho quá trình Poisson ta có:
E (γ(t)) = m

26

(1.228)

là kết quả tự nhiên nếu ta nhớ “tính không nhớ” của phân phối mũ.

Thừa nhận rằng hàm H và R bằng 0 với đối số có giá trị âm.
Hệ quả 1.23. Nếu F có đạo hàm là f thì FXN(t) cũng có đạo hàm là fXN(t) và :
fXN(t) =

f (x)[M(t) − M(t − x)]
f (x)[M(t) − M(t − x)] + f (x)

nếu x ≤ t
nếu x > 1.

(1.231)

Chứng minh. Hệ quả này là hệ quả đơn giản của công thức mà cho ta đạo hàm của hàm
λ(x) theo x, được định nghĩa:

Mệnh đề 1.22 (Phân phối của thời gian tồn tại). Nếu FXN(t)+1 là hàm phân phối của
thời gian tồn tại XN (t) thì ta có:
 t


[F (x) − F (t − u)]dH(u)
nếu x ≤ t

FXN(t)+1 (x) = t−x
(1.229)
t



 F (x) − F (t) + [F (x) − F (t − u)]dH(u) nếu x > t

β(x)

(1.232)

K(u, x)du

λ(x) =
α(x)
β(x)

∂
K(u, x)du + β (x)K(β(x), x) − α (x)K(α(x), x).
∂x

λ (x) =

0

(1.233)

α(x)

1.8.3

Dáng điệu tiệm cận

Trong nhiều trường hợp thực tiễn, ta giả sử rằng quá trình tái tạo được quan sát sẽ tiếp

diễn trong một thời gian dài, vì vậy với các điều kiện đúng để quan sát quá trình “cân
bằng”, đó là trạng thái dừng khi t → ∞.
Mệnh đề tiếp theo cho ta dáng điệu tiệm cận của hàm phân phối Fδ(t) , Fγ(t) và FXN(t)+1 .
Mệnh đề 1.24. Nếu m hữu hạn thì với mọi x dương:
(i)
lim Fδ(t) (x) = lim Fγ(t) (x) =

t→∞

Hình 1.4: Phân tích các biến cố thời gian tồn tại

Chứng minh. Ta xét các biến cố XN (t)+1 ≤ x.
Giả sử x > t. Như vậy, thành phần chịu tác động tại thời điểm t vẫn là thành phần
đầu tiên. Trong trường hợp này, xác suất của biến cố được xét là F (x) − F (t).

t→∞

x

1
m
0

(ii)

[1 − F (u)] du.

(1.234)

x

lim FX(t)+1 (x) =

t→∞

1
m

udF (u).
0

(1.235)


1.8 Các thời điểm hồi quy

27

1.8 Các thời điểm hồi quy

28

với

Chứng minh.
(i) Từ biểu đồ 1.2 ta có thể viết
P (δ(t) ≤ x) = P (γ(t − x) ≤ x)

(1.236)

Fδ(t) (x) = Fγ(t−x) (x).

(1.237)

hoặc
Với bất kì hàm g và x cố định ta có:
lim g(x, t) =

t→∞

lim

(t−x)→∞

g(x, t)

(1.238)

Vì thế, từ 1.236 ta suy ra Fδ(t) và Fγ(t) có cùng giới hạn. Từ 1.222 ta có:
t

F c (t − u + x)dH(u) + F c (t + x).

P (γ(t) > x) =

(1.239)

∞

[1 − F (u)] du

(1.247)

F¯XN(t)+1 (x) = K(x, t).

(1.248)

m=
0

ta có điều cần chứng minh.
(ii) Xét

Trong cách đặt điều kiện cho giá trị của X1 (gọi là y), ta có

nếu y > max{x, t}
 1
P XN (t)+1 > 1,X1 = y =
K(x, t − y) nếu y ≤ t

0
nơi khác.

(1.249)

Lấy kì vọng toán học cho cả hai thành phần ta được:
t

0

K(x, t) = 1 − F (max{x, t}) +

Như 1.21 ta biết rằng

K (x, t − y)dF (y).

(1.250)

0

R(u) = U0 (u) + H(u);

u ∈ R.

(1.240)

Áp dụng mệnh đề 1.10 ta có:

Ta cũng có:
P (γ(t) > x) =
0

F c (t − u + x)dR(u) − F c (t + x) + F c (t + x)

(1.241)

t

F c (t − u + x)dR(u).

=

(1.242)

0

Ta có thể sử dụng mệnh đề 1.11 để chỉ ra rằng
lim P (γ(t) > x) =

t→∞

Bây giờ, áp dụng kết quả 1.80 của mệnh đề 1.11 ta có dáng điệu tiệm cận của K(x, t)
với t → ∞:
∞
1
[1 − F (max{x, u})] du.
(1.252)
lim K(x, t) =
t→∞
m
0

Áp dụng tích phân từng phần và với khai triển sau đây, tích phân này được biến đổi
thành:
∞

∞

1
m

F c (z + x)dz.

(1.243)

0

0

[1 − F (x)] du +

(1.253)

[1 − F (u)] du
x
∞

= [1 − F (x)] x + [(1 − F (u))u]∞
x +

Thay biến u = z + x, ta được:

udF (u).

(1.254)

x

lim P (γ(t) > x) =

t→∞

∞

1
m

F c (u)du.

(1.244)

Với giá trị trung bình hữu hạn m cho ta:
t→∞

Từ hệ thức 1.223 ta có:

(1.245)

Fc = 1 − F
lim P (γ(t) ≤ x) = 1 −

1
m

do đó, với hai số hạng đầu đối nhau, ta có:

[1 − F c (u)] du.

(1.246)

∞

∞

udF (u).

[1 − F (max{x, u})] du =

∞

x

(1.255)

lim [1 − F (u)] u = 0

x

t→∞

∞

x

[1 − F (max{x, u})] du =

0

khi đó:

(1.251)

K(x, t) = (1 − F (max{x, .}) • R(.)) (t).

t

0

Vì vậy, kết quả 1.235 có được từ 1.252.

x

(1.256)


1.8 Các thời điểm hồi quy

29

1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng

Hệ quả 1.25. Nếu m hữu hạn thì :
(i) Phân phối hữu hạn Fδ của Fδ(t) và Fγ(t) có hàm mật độ fδ được cho bởi
fδ (u) =

1 − F (u)
m

Áp dụng hệ thức 1.222, ta được
P (γ(t) > x,δ(t) > y) = 1 − F (t + x) −

(1.257)

[1 − F (t − u + x)] dH(u)

uf (u)
m

F c = 1 − F.

(1.265)

lim P (γ(t − y) > x + y) = lim P (γ(t) > x + y) .

(1.266)

(ii) Từ tính chất giới hạn, ta có:

(1.258)

hàm F có f là hàm mật độ.

t→∞

t→∞

Một ứng dụng của 1.263 và kết quả 1.234 của mệnh đề 1.24 cho:

Mệnh đề 1.26. (i) Với mọi t, x, y, y < t dương

x+y

t−y
c

0

c

F (t − u + x) dH(u) + F (t + x).

lim P (γ(t) > x,δ(t) > y) = 1 −

(1.259)

t→∞

=

lim P (γ(t) > x,δ(t) > y) =

1
m

1
m

[1 − F (u)]du

(1.267)

0

(ii) Nếu m hữu hạn thì

t→∞

(1.264)

[0,t−y]

1.259 có được do kết hợp với:

(ii) Phân phối hữu hạn của FXN(t)+1 có mật độ phân phối:

P (γ(t) > x,δ(t) > y) =

30

∞

1
m

[1 − F (u)du

(1.268)

x+y

∞

[1 − F (u)] du.

(1.260)

với

x+y

∞

m=

Chứng minh.
(i) Biểu đồ bên dưới chỉ rõ sự tương đương của các biến cố

0

1.9

(1.269)

[1 − F (u)] du.

Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng

Khái niệm quá trình tái tạo dừng là một phần của quá trình tái tạo trì hoãn. Quá trình
tái tạo trì hoãn A cũng là một quá trình tái tạo nhưng biến ngẫu nhiên đầu tiên X1 không
cùng phân phối với các biến ngẫu nhiên khác dù chúng vẫn độc lập nhau.

Chính xác hơn, đặt (Xn , n ≥ 1) là dãy các biến độc lập độc lập không âm, G là hàm
phân phối của tất cả các biến ngẫu nhiên khác.
Dãy tương ứng (Tn , n ≥ 0), với
T0 = 0,
(1.270)

và
Do đó,

(1.271)

Tn = X1 + . . . + Xn

Hình 1.5: Phân tích các biến cố tuổi thọ và tuổi thọ còn lại

{ω: γ(t, ω) > x, δ(t, ω) > y}

(1.261)

{ω: γ(t − y) > x + y} .

(1.262)

P (γ(t) > x,δ(t) > y) = P (γ(t − y) > x + y) .

(1.263)

được gọi là dãy tái tạo trì hoãn hoặc quá trình tái tạo trì hoãn.
Rõ ràng, định nghĩa cổ điển của quá trình tái tạo có thể được mở rộng cho trường hợp
quá trình tái tạo trì hoãn. Ví dụ nếu Hd (t) là hàm tái tạo của quá trình tái tạo trì hoãn

và nếu đặt điều kiện là X1 = x, thì ta có:
Hd (t|X1 = x) =

0
1 + H(t − x)

nếu x > t
nếu x ≤ t

(1.272)

trong đó H là hàm tái tạo kết hợp với hàm phân phối F . Khi đó, với định nghĩa:
Hd (t|X1 ) = E(N(t)|X1 )

(1.273)


1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng

31

ta được:

1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng

32

Từ 1.277 và tính chất của phép biến đổi L-S, ta được:
(1.274)

E(N(t)) = E(Hd (t, X1 ))

G(s) =

t

=

[1 + H(t − x)]dG(x).

(1.275)

(1.276)

Hd = G(t) + H • G(t).

Vì thế nếu biết được hàm tái tạo H muốn tính Hd thì ta chỉ cần tính tích chập.
Khái niệm quá trình tái tạo trì hoãn này đựơc trình bày bởi vì nó giải thích rằng nếu
một quá trình tái tạo được khảo sát và nó đang hoạt động trong một khoảng thời gian
dài thì biến đầu tiên X1 được khảo sát là tuổi thọ còn lại γ tại thời điểm bắt đầu của quá
trình khảo sát. Ta có thể giả sử rằng hàm phân phối giới hạn của γ được cho bởi 1.234.
Hiển nhiên, các biến ngẫu nhiên Xn ,n ≥ 2 còn lại có hàm phân phối F .
Như vậy ta có quá trình tái tạo trì hoãn riêng cho nó là
G(x) =


1 1
=
−
m s

[1 − F (u)]du;

x ≥ 0.

G(s) =

Quá trình như vậy được gọi là quá trình tái tạo dừng.
Hai kết quả chính, liên quan đến quá trình tái tạo dừng, có liên quan đến hàm tái tạo
H và hàm phân phối tuổi thọ còn lại.
Mệnh đề 1.27. Với mỗi quá trình tái tạo dừng được đặc trưng bởi hàm phân phối (G, F )
với giá trị trung bình hữu hạn m cho f , với mọi t ta có:
t
Hs (t) =
m

Chứng minh. Nếu áp dụng phép biến đổi Laplace Stieltjes cho cả hai vế của 1.276 ta được:

với quy ước:

(1.279)

∞

e−sx dK(x).

K(s) =

(1.280)

0

Từ phương trình tái tạo cổ điển 1.57 ta suy ra:
H(s) = F (s) + F (s).H(s)

−su

e
0

(1.281)



F (u)du .

1 1 − F (s)
.
m
s

H(s) =

(1.284)

(1.285)

F (s)
1 1 − F (s)
.

1−
m
s
1 − F (s)

(1.286)

11
.
ms

(1.287)

Hs (s) =
Ta biết rằng

∞

1
e−sx dx = .
s

(1.288)

0

Như vậy, theo đó phép biến đổi Laplace Stieltjes ngược của 1.287 cho ta:
Hs (t) =

(1.278)

Hs là hàm tái tạo của quá trình tái tạo dừng.

H d (s) = G(s) + H(s).G(s)

∞

(1.283)

Thay H(s) và G(s) bằng 1.282 và 1.285 vào đẳng thức 1.279 ta được:

(1.277)

0

e−su [1 − F (u)] du

Lấy tích phân từng phần ta có:

Hoặc sau khi rút gọn ta được:

x

1
m

∞

0

0

hoặc:

1
m

t
.
m

(1.289)

Mệnh đề 1.27 có ý nghĩa quan trọng. Thực vậy, giá trị Hs là tiệm cận đúng cho mọi
quá trình tái tạo, nhưng ở đây với trường hợp quá trình tái tạo dừng, biểu thức tiệm cận
này đúng với mọi t.
Bây giờ, đặt γs (t) là tuổi thọ còn lại tại thời điểm t với quá trình tái tạo dừng và khi
đó:
(1.290)
Fγcs (t) (x) = 1 − Fγs (x).

Mệnh đề 1.28.
(i) Mỗi quá trình tái tạo dừng được đặc trưng bởi hàm phân phối (G, F ) có giá trị trung
bình hữu hạn m cho F và với mọi t ta được:
P (γ(t) ≤ x) = G(t + x) −

[1 − F (t + x − u)] dHd (u).

(1.291)

[0,t]

(ii) Hơn nữa, nếu quá trình tái tạo là dừng với mọi t thì :

hoặc
F (s)
H(s) =
.
1 − F (s)

(1.282)

x

P (γ(t) ≤ x) =

1
m

[1 − F (u)] du.
0

(1.292)


1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng

33

Chứng minh. (i) Điều kiện cho giá trị của X1

γs (t) =

nếu t < X1
nếu t ≥ X1

X1 − t
γ(t − X1 )

1.9 Quá trình tái tạo trì hoãn và quá trình tái tạo dừng
Thay u = t − u được:

(1.293)

Fγcs (t) (x) = 1 − G(t + x) +

Từ đó, với t > x:
1 − G(y)
1 − G(t)

P (X1 > y|X1 > t) =
và từ 1.293 ta suy ra:

(1.294)

Fγcs (t) (x) = 1 −

= [1 − G(t)] .

1 − G(t + x)
+

1 − G(t)

P (γ(t − y) > x) dG(y)

(1.295)

P (γ(t − y) > x) dG(y).

(1.296)

0
t

0

c
Fγ(t−y)
(x)dG(y).

(1.297)

0
c
Đẳng thức này biểu diễn Fγcs (t) như một hàm của Fγ(t)
. Hàm cuối này có được từ mệnh
đề 1.21 và theo 1.222 có thể được viết lại dưới dạng:

1
m

x+t

[1 − F (u)]du +
0

[1 − F (t − u − x)] dH(u).

[1 − F (u)]du.

(1.306)

x

Fγs (t) (x) = 1 −

[1 − F (u)] du

(1.307)

hoặc 1.292.
Phần (ii) trong mệnh đề 1.28 cho kết luận tương tự như định lí trước: trong trường hợp
dừng, phân phối tiệm cận của tuổi thọ còn lại γ(t) là phân phối đúng với mọi t. Kết quả
này đưa ra một số hệ quả quan trọng.
Hệ quả 1.29. Với mỗi quá trình tái tạo dừng và với mọi t ta có:
(i)

(1.298)

c
Fδ(t)

(x) =

x

1
m

[1 − F (u)] du.

(ii)
1 − F (t + x) = F x (t).

Fγcs (t) (x) = F x (t) + F x (t − u) • H(t).

(1.299)
(1.300)

P (γ(t) > x, δ(t) > y) =

(1.308)

Fγcs (t) (x) = 1 − G(t + x) + F x • G(t) + F x • H • G(t)

(1.301)

Fγcs (t) (x) = 1 − G(t + x) + F x • [G + H • G](t).

(1.302)

Fγcs (t) (x) = 1 − G(t + x) + F x • Hd (t)

(1.303)

hoặc
Sử dụng hàm tái tạo Hs và áp dụng hệ thức 1.276 thì 1.302 trở thành:

đây là điều phải chứng minh.
(ii) Với mệnh đề 1.27, trong trường hợp dừng, hệ thức 1.303 trở thành:
t

0

du
F¯x (t − u) .
m

∞

1
m

[1 − F (u)] du.

(1.309)

udF (u).

(1.310)

x+y

(iii)

Trở lại 1.297, ta được:

= 1 − G(t + x) +

x+t

0

Để đơn giản ta viết:

Fγcs (t) (x)

1
m

Bởi tính chất cộng tính của tích phân liên quan đến miền tích phân nên ta có:

[0,t]

Như vậy 1.298 có dạng:

(1.305)

0

t

Fγcs (t) (x) = 1 − F (t + x) +

F¯x (u)du.
0

x

Hoặc:
Fγcs (t) (x) = 1 − G(t + x) +

t

1
m

Với hàm G trong 1.277 ta có:

t

P (γs (t) > x) = [1 − G(t)] P (X1 − t > x|X1 > t) +

34

P XN (t)+1 ≤ x =

x

1
m
0

Chứng minh. Kết quả (i) và (ii) trực tiếp có được từ các hệ thức 1.236 1.263 và kết quả
1.291 từ mệnh đề 1.28.
Với (iii) ta sử dụng hệ thức 1.216 với XN (t)+1 là tổng của hai biến ngẫu nhiên δ(t) và
γ(t). Từ mệnh đề 1.28 và hệ thức 1.308, ta biết phân phối của biến ngẫu nhiên hai chiều
(γ, δ) độc lập với t và do đó nó cũng đúng cho γ(t) + δ(t).
Cho t > Xt , ta có:
XN (t)+1 = XN (t−X1 )+1
(1.311)
vì vậy:

(1.304)

P XN (t)+1 ≤ x|t > X1 = P XN (t−X1 )+1 ≤ x|t > X1 .

(1.312)


1.10 Dạng số

35

Cho t tiến ra +∞ ta được:
P XN (t)+1 ≤ x =

x

1
m
0

[1 − F (u)] du

(1.313)

1.10 Dạng số

36

Ngoài ra, N là số sao cho hk = t,hN = Y và 0 ≤ t ≤ Y , Y mô tả độ dài thời gian
horizon.
Phương pháp cầu phương tổng quát có nghĩa là giá trị của trọng số wk,l phụ thuộc vào
đa thức được sử dụng để xấp xỉ hàm lấy tích phân.
Áp dụng kết quả 1.316, ta có hệ thức xấp xỉ kết quả của 1.58 như sau:

vì biến cố {ω : t > X1 (ω)} là tiệm cận của xác suất 1. Như vậy hàm phân phối của XN (t)+1
độc lập với t, kết quả 1.310 tương đương với 1.313.

k

ˆ
H(kh)
= F (kh) +

Chú ý 1.11. Với biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ), ta có
P (X ≤ x,Y ≤ y) = 1 − P (X > x) − P (Y > y) + P (X > x,Y > y) .

l=0

(1.314)

Ta có thể ứng dụng kết quả cơ bản này vào hàm phân phối đồng thời của (γ(t), δ(t)),
được cho bởi 1.309. Khi đó ta có:


1 x+y
1 y


[1 − F (u)] du +
[1 − F (u)] du nếu x > y

m0
m x
P (γ(t) ≤ x, δ(t) ≤ y) =
x+y
x
1
1


[1 − F (u)] du +
[1 − F (u)] du nếu x ≤ y


m0
m y
(1.315)
1.10

Dạng số

Phương trình tái tạo 1.57 có thể được giải trực tiếp (như đã trình bày trong các phần
trước) trong một số trường hợp đặc biệt hoặc được giải bằng phép biến đổi Laplace hay
Laplace Stieltjes cho các trường hợp còn lại.
Bằng cách này, có thể giải phương trình tích phân 1.57 bằng phép giải tích. Nhưng
trong phần lớn các ứng dụng thực tế phương trình giải được bằng mô hình thì không giải
được bằng các phương pháp giải tích. Với các trường hợp này ta cần sử dụng phép xấp xỉ
số để giải phương trình tái tạo tổng quát 1.57 trong khoảng thời gian horizon bị chặn.
Một cách để giải quyết vấn đề này là sử dụng phép biến đổi Laplace nhưng khi đó ta
cần phép biến đổi Laplace ngược để có được nghiệm của phương trình, nhưng ta biết rằng
phép biến đổi ngược này không ổn định về mặt số học. Vì vậy, cách tốt nhất để giải 1.57
là áp dụng phương pháp số cho phương trình tích phân mà không sử dụng phép biến đổi
Laplace.
1.10.1

Ta thừa nhận hàm mật độ f của F tồn tại. Do đó ta phải giải phương trình tích phân
được cho bởi 1.58.
Công thức của phép cầu phương tổng quát được viết dưới dạng:
kh

ˆ
H(h)
ˆ
H(2h)
.
.
.
ˆ
H(kh)

ˆ
−w1,0 H(h)f
(0)
ˆ
−w2,0 H(2h)f
(0)
.
.
.
ˆ
−wk,0 H(kh)f
(0)

=
ˆ
−w2,3 H(h)f
(h)
.
.
.
ˆ
−wk,1 H((k
− 1)h)f (h)

.
.
.

.

.
.

.
.
.

ˆ
w1,1 H(0)f
(h) + F (h)
=
.

.

.
···
.

.

ˆ
w2,2 H(0)f
(2h) + F (2h)
.
.
.
ˆ
−wk,k−1 H(h)f
((k − 1)h)

.

.
.
.

.

.

.
.
=
.

ˆ
wk,k H(0)f
(kh) + F (kh)
.

.

.

.
(1.318)

Hệ 1.318 có nghiệm nếu
1 − wk,0 f (0) = 0,

(1.319)

k = 1, . . . , N.

Có một định lí được thiết lập bởi Baker (1977) đưa ra điều kiện rằng nếu h → 0 thì
H → H.
Trước khi đưa ra định lý 1.316 ta xét hai bổ đề với các số thực sau và được chứng minh
trong Baker (1977).
Bổ đề 1.30. Nếu
r−1

q≥1

(1.320)

|ξr | ≤ (Aξ + B)(1 + A)r−q ,r = q,q + 1,...q ≥ 1.

(1.321)

ˆ ≤ 0 và ph = x ≥ 0
A = hL

(1.322)

|ξr | ≤ A
trong đó A > 0, B > 0 và

i=0
q−1

i=0

thì

|ξi | + B,

r = q,q + 1, . . . ;

|ξi | ≤ ξ thì:

ˆ

(1 + A)p−q ≤ eLx nếu p ≥ q.

(1.323)

Chú ý 1.12. Từ bổ đề 1.30 và 1.31 ta được:

k

f (t)dt ∼
=
0

(1.317)

k = 1, ..., N

ˆ là giá trị xấp xỉ của hàm H.
trong đó H

Bằng cách này, hệ tuyến tính sau có:

Bổ đề 1.31. Giả sử

Phương pháp cầu phương tổng quát

ˆ
wk,l H(kh
− lh)f (lh);

wk,l f (lh)

(1.316)

l=0

Trong đó h là độ dài bước nhảy, k ≤ N, k, N ∈ N, wk,l là các trọng số liên quan
đến công thức phép cầu phương 1.316. Chúng là các hàm được tính giá trị tại cả điểm đầu
và điểm cuối.

|ξr | ≤ (Aξ + B) (1 + A)r−q ≤ (Aξ + B) eLx = hLξ + B eLrh .
Định lý 1.32. Đặt
F : [0, Y ] → R, H : [0, Y ] → R

và q ∈ {1, ...,N} , N ∈ N, như vậy Nh ≤ Y .

(1.324)
(1.325)

1.10 Dạng số

37

Đặt

ˆ
ξ k (h) = H(kh)
− H(kh),

k = 0,1,2, ..., N

ˆ
là nghiệm của 1.318
trong đó H(kh) là nghiệm của 1.57 và H(kh)
Nếu ta định nghĩa:
η k (h) = ξ k (h)
và
w = wN =
thì

max

0≤u≤k≤N

38

Cuối cùng, áp dụng phương pháp phép cầu phương (công thức hình chữ nhật), ta được
hai công thức khác: một cho ta giá trị hàm tích phân tại thời điểm ban đầu và thứ hai cho
ta vào thời điểm cuối của khoảng thời gian được xét.

Bằng cách này, ta được các hệ thức sau:

(1.327)

k

ˆ
H(kh)
= F (kh) + h
τ =1

(1.328)

k

H(kh − τ )f (τ )dτ −
0

u=0

ˆ
wku H(kh
− uh)f (uh)

τ (h) = τN (h) = max σ k (h)

(1.331)

q≤k≤N

∼
ˆ
H(kh)
= F (kh) +

(1.332)

η u (h).

k = q,q + 1, . . . , N

τ =0

∼
ˆ
H(k)
= F (k) +
(1.333)

ˆ
H(kh
− τ h)(F ((τ + 1)h) − F ((τ )h)).

(1.339)

v(τ ) =
ta được

Một vài công thức đặc biệt

τ =1

ˆ − τ )(F (τ ) − F (τ − 1)).
H(k

Hơn nữa, đặt:

trong đó mhwN c1 < 1.
1.10.2

(1.338)

k

Hơn nữa, nếu ta thừa nhận |f (t)| ≤ c1 với t ∈ [0, Y ] thì
mc1 wN kh
τ (h) + mhwN c1 ξ(h) 1−mhw
N c1 ,
η (h) ≤
e
1 − mhwN c1

ˆ
H(kh
− τ h)(F (τ h) − F ((τ − 1)h)),

τ =1

Trong 1.338 ta giả sử h = 1 thì:

u=0

k

(1.337)

k−1

∼
ˆ
H(kh)
= F (kh) +

n−1

ξ(h) =

ˆ
H(kh
− τ h)f (τ h).

k

(1.330)

k

(1.336)

Thay vi phân bởi trung bình của sai phân tương ứng cho ta kết quả sau:

(1.329)

σ (h) = t (h)

k

ˆ
H(kh
− τ h)f (τ h).

k−1

ˆ
H(kh)
= F (kh) + h
τ =0

kh

tk (h) =

|wku |
<∞
h

(1.326)

1.10 Dạng số

F (τ )
F (τ ) − F (τ − 1)

nếu τ = 0
nếu τ > 0

(1.340)

(1.341)

k

Trong phần này vài công thức của phương pháp số của phương trình tái tạo sẽ được trình
bày. Công thức 1.317 sẽ liên quan đến công thức tổng quát riêng Newton-Cotes.
Phương trình có được từ phép cầu phương Simpson là:
k
hˆ
4h 2 ˆ
ˆ
H(kh)
= F (kh) + H(kh)f
(0) +
H(kh − (2τ − 1)h)f ((2τ − 1)h)
3
3 τ =1
k
−1
hˆ
2h 2 ˆ
(kh).

H(kh − 2τ h)f (2τ h) + H(0)f
+
3 τ =1
3

H(k) = F (k) +
τ =1

(1.342)

đó là phương trình tái tạo với thời gian rời rạc xem Feller (1957 trang 330). Trong quyển
sách của Freiberger và Grenander (1971), có xấp xỉ nghiệm số của quá trình tái tạo nhưng
không có bất kì sự chứng minh nào về phương pháp này.
Bây giờ ta đặt H là hàm tái tạo với thời gian liên tục và {Tn } là các thời điểm tái tạo.
Nếu ta đặt:
Tn
h
(1.343)
Tnh =
h
và

(1.334)

H(k − τ )v(τ )

h
N h (t) = n nếu Tnh ≤ t < Tn+1

(1.344)

thì hàm tái tạo với thời gian rời rạc liên quan được cho bởi:

Áp dụng công thức Bezout ta được:

k

H h (kh) = F h (kh) +
k−1

hˆ
hˆ
ˆ
ˆ
H(kh
− τ h)f (τ h)+ H(0)f
H(kh)
= F (kh) + H(kh)f
(0) + h
(kh).
2
2
τ =1

(1.335)

τ =1

H h ((k − τ )h)v h (τ h).

(1.345)

Quá trình tái tạo Tnh được xác định trong cùng không gian xác suất (Ω, F, P ) của Tn .
Cho w ∈ Ω, ta có kết quả sau.


1.10 Dạng số

39

Định lý 1.33. Quá trình Tnh hội tụ đến Tn với ∀w khi h → 0.

Chứng minh. Theo các định nghĩa đã được nêu trong mục 1.10.2 và hệ thức 1.345 ta có:
P

N h (t) = n

= P (N(t) = n)

h→0

∀n.

(1.346)

Công thức 1.346 cho:
hcc
Tnh −−→
h→0

1.10.3

(1.347)

Tn .

Ví dụ thực tế về tai nạn ô tô

a) Mô tả dữ liệu.

Trong phần này phương trình tái tạo được ứng dụng cho dữ liệu thực trong thống kê bảo
hiểm. Chúng ta hy vọng rằng quá trình tái tạo có thể được ứng dụng cho trường hợp tổng
quát với dữ liệu từ quan sát thống kê. Trong trường hợp này ta sử dụng công thức được
cho bởi hệ thức 1.342.
Ta áp dụng thuyết tái tạo cho trường hợp tai nạn xe. Trong một hợp đồng bảo hiểm
xe mỗi lần người được bảo hiểm gặp tai nạn, công ty bảo hiểm sẽ trả tiền tổn thất cho
họ. Điều đó có nghĩa là khi xe được bảo hiểm mang đi sữa chữa thì đó chính là được tái
tạo. Tại thời điểm bắt đầu của hợp đồng thì thuyết tái tạo cũng được áp dụng. Ta có dữ
liệu tai nạn thô của một công ty bảo hiểm được theo dõi trong 50 năm. Từ dữ liệu này ta
có thể xây dựng hàm phân phối tăng dần với thời gian tái tạo rời rạc về tai nạn xe. Nói
chung, ta có dữ liệu của 156.428 người mua bảo hiểm và trong số họ 22.395 người có ít
nhất một lần bị tai nạn trong thời gian mua bảo hiểm. Trong hồ sơ không có dữ liệu liên
quan đến ngày mua bảo hiểm.
Ta xây dựng hai vector. Vector thứ nhất đếm số lượng người được bảo hiểm mà lần
thứ hai bị tai nạn trong vòng 1 năm, 2 năm,. . . kể từ lần đầu tiên. Vector thứ hai ta đếm
số người được bảo hiểm bị tai nạn lần thứ ba trong 1 năm, 2 năm,. . . kể từ lần thứ 2.
Chính xác hơn, tại thời điểm ban đầu, ta đặt tất cả các phần tử của hai vector là 0. Ta
thêm 1 tại phần tử thứ n của vector đầu tiên khi tai nạn lần thứ hai được xác định sau
n − 1 và trước n năm kể từ lần tai nạn đầu tiên.
Tương tự vậy, ta thêm 1 tại phần tử thứ n của vector thứ hai khi tai nạn lần thứ ba

được xác minh sau n − 1 và trước n năm kể từ tai nạn lần thứ hai. Cuối cùng, phần tử
thứ n của hai vector sẽ đưa ra số tai nạn trong suốt năm thứ n từ năm trước đó.
Kết quả thu được sẽ được trình bày trong bảng 1.1. Ví dụ, số 1.576 ở hàng thứ ba
trong bảng mô tả số tai nạn lần thứ hai xảy ra sau hai năm và trước năm thứ ba kể từ tai
nạn đầu tiên và tương tự số 226 mô tả số tai nạn lần thứ ba xảy ra sau hai năm và trước
năm thứ ba sau tai nạn lần thứ hai.
Số năm
1
2
3
4
5

1-2
153
695
1 576
1 549
1344

2-3
88
126
226
224
172

1-2 + 2-3
241
821

1 802
1 773
1 516

1.10 Dạng số

40

6
928
176
1 104
7
619
138
757
8
386
107
493
9
278
86
364
10
189
69
258
11
139

61
200
12
101
33
134
13
77
21
98
14
40
15
55
15
36
16
52
16
15
7
22
17
11
3
14
18
11
4
15

19
10
3
13
20
7
2
9
21
14
1
15
22
6
6
23
8
8
24
7
7
25
7
7
26
2
2
27
28
4

4
29
3
3
30
5
5
31
3
3
32
2
2
33
1
1
34
35
1
1
36
37
1
1
Tổng
8228 1578
9 806
Bảng 1.1: Số tai nạn xảy ra trong một năm
Trong bảng 1.2 ta trình bày số lượng trung bình và phương sai hằng năm liên quan đến
ba phân phối của bảng 1.1

1-2
2-3
1-2 + 2-3
Trung bình 5.3453
5.8676
5.4293
Phương sai 10.8680 11.7207 11.0421
Bảng 1.2: Trung bình và phương sai hằng năm của các
tai nạn


1.10 Dạng số

41

Trong bảng 1.3, ta trình bày phân phối thực nghiệm của ba vector trong bảng 1.1. Các
kết quả trong cột có được là do chia mỗi ô cho tổng số tai nạn xảy ra trong vector (phần
tử cuối cùng). Mặc dù giá trị trung bình và phương sai không bằng nhau nhưng biểu đồ
có được từ bảng 1.3 có dạng giống như quá trình Poisson.
Năm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37

1-2
0.018595

0.084468
0.191541
0.18826
0.163345
0.112786
0.075231
0.046913
0.033787
0.02297
0.016894
0.012275
0.009358
0.004861
0.004375
0.001823
0.001337
0.001337
0.001215
0.000851
0.001702
0.000729
0.000972
0.000851
0.000851
0.000243
0
0.000486
0.000365
0.000608
0.000365

0.000243
0.000122
0
0.000122
0
0.000122
Bảng 1.3:

2-3
0.055767
0.079848
0.143219
0.141952
0.108999
0.111534
0.087452
0.067807
0.054499
0.043726
0.038657
0.020913
0.013308
0.009506
0.010139
0.004436
0.001901
0.0002535
0.001901
0.001267
0.000634

1-2 + 2-3
0.02457679
0.08372425
0.183765042
0.180807669
0.154599225
0.112584132
0.077197634
0.050275342
0.037120131
0.026310422
0.020395676
0.013665103
0.009993881
0.005608811
0.005302876
0.002243524
0.001427697
0.001529676
0.001325719
0.000917805
0.001529676
0.00061187
0.000815827
0.000713849
0.000713849
0.000203957
0
0.000407914

0.000305935
0.000509892
0.000305935
0.000203957
0.000101978
0
0.000101978
0
0.000101978
Phân phối tần số

Quan sát dữ liệu dẫn đến các vấn đề cần xem xét sau:

1.10 Dạng số

42

i) Cả ba phân phối đều có cùng dạng.
ii) Các phân phối này có dạng Poisson nhưng phương sai xấp xỉ gấp đôi giá trị trung
bình.
iii) Giá trị trung bình và phương sai của hai cột đầu tiên trong bảng 1.1 là tương tự
nhau.
Do đó, ta có thể nói rằng giả thiết tái tạo là chấp nhận được vì chúng đồng dạng và có
cùng tham số của hai phân phối đầu tiên. Ta có thể giả sử rằng sau một tai nạn quá trình
được tái tạo và chế độ của người được bảo hiểm là giống nhau. Để có được dữ liệu đáng
tin cậy hơn ta gộp các phân phối thứ nhất và thứ hai lại với nhau ta sẽ có cột thứ ba cho
mỗi bảng.
a) Phân phối kết quả

Bây giờ ta xét tần số trong cột cuối cùng của bảng 1.3 như xác suất mà một tai nạn mới

xảy ra sau n − 1 và trước n năm kể từ tai nạn trước. Kết quả thứ n được xem như một
ước lượng xác suất sẽ có một tai nạn sẽ xảy ra giữa năm n − 1 và n, ít nhất là một tai
nạn, như đã nói ở trên, ta không có dữ liệu liên quan đến dữ liệu của hợp đồng bảo hiểm
đầu tiên.
Ta xét khoảng thời gian giữa hai lần xảy ra tai nạn. Các giá trị được nêu trong cột
thứ hai là xác suất có điều kiện của biến cố có ít nhất một tai nạn như đã được trình bày
trước đó. Áp dụng mô hình tái tạo ta cần xây dựng hàm phân phối cho xác suất có một
tai nạn trong vòng n năm.
Xác suất có ít nhất một tai nạn (được cho bởi dữ liệu thô) là ta chia số lượng người bị
ít nhất một tai nạn (22.395) cho tổng số người có bảo hiểm (156.428).
Với 9.806 là số tai nạn xảy ra sau khi đã từng bị tai nạn.
Ta định nghĩa các biến cố sau cho người được bảo hiểm:
A: biến cố có ít nhất hai tai nạn trong suốt thời gian khảo sát.
Bn : biến cố một tai nạn khác xảy ra sau năm thứ n − 1 và trước năm thứ n kể từ tai
nạn trước.
C: có ít nhất một tai nạn trong suốt thời gian kí hợp đồng (xác suất: 22.395/156.428
= 0,14316).
Ta hy vọng có thể ước lượng được các xác suất sau cho các tai nạn xảy ra liên tiếp. Dn :
có một tai nạn sau năm thứ n − 1 và trước năm thứ n kể từ ngày kí hợp đồng bảo hiểm
hoặc từ tai nạn trước đó.
Phần tử thứ n trong cột thứ hai của bảng 1.3 bằng với cột thứ tư trong bảng 1.2 có
giá trị như sau:
P [Bn /A] .
(1.348)
Nhưng ta quan tâm đến:
P [Dn /C]
(1.349)
Trong dữ liệu, như phần lý thuyết đã trình bày, ta không có ngày của hợp đồng bảo
hiểm. Ta quan tâm đến xác suất P [Dn ]. Theo giả thiết tái tạo ta có: P [Bn /A] ∼
= P [Dn /C].

Khi đó với ý nghĩa của định lí Bayes, ta xây dựng lại xác suất ρ [Dn ] để có xác suất
của tai nạn đầu tiên sau một năm, hai năm,. . . Các kết quả này được trình bày trong cột
thứ ba của bảng 1.4.


1.10 Dạng số

Năm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37

43

Tần số có điều kiện Tần số
0.024577
0.003519
0.083724
0.11986
0.183765
0.026309
0.180808
0.025885
0.154599
0.022133
0.112584

0.016118
0.077198
0.011052
0.050275
0.007198
0.03712
0.005314
0.02631
0.003767
0.020396
0.00292
0.013665
0.001956
0.009994
0.001431
0.005609
0.000803
0.005303
0.000759
0.002244
0.000321
0.001428
0.000204
0.00153
0.000219
0.001326
0.00019
0.000918
0.000131
0.00153

0.000219
0.000612
8.76E-05
0.000816
0.000117
0.000714
0.000102
0.000714
0.000102
0.000204
2.92E-05
0
0
0.000408
5.84E-05
0.000306
4.38E-05
0.00051
7.38E-05
0.000306
4.38E-05
0.000204
2.92E-05
0.000102
1.46E-05
0
0
0.000102
1.46E-05
0

0
0.000102
1.46E-05
Bảng 1.4: kết quả tái

Tần Số Số lượng trung bình
0.003519
0.003519
0.015505
0.01551738
0.041814
0.14191078
0.067699
0.06812506
0.089832
0.09107341
0.10595
0.10866922
0.117002
0.12175334
0.1242
0.13130704
0.129514
0.13903198
0.133281
0.14506757
0.136201
0.15000748
0.138157
0.15371498

0.139588
0.15663962
0.140391
0.15870604
0.14115
0.16051876
0.141471
0.16170875
0.141676
0.16261899
0.141895
0.16340732
0.142085
0.16404851
0.142216
0.16453603
0.142435
0.16503802
0.142523
0.16535298
0.142639
0.16565263
0.142742
0.16590744
0.142844
0.16613383
0.142873
0.16626641
0.142873
0.16635287

0.142931
0.16648298
0.142975
0.16658543
0.143048
0.16670596
0.143092
0.16679003
0.143121
0.16685396
0.143136
0.16690042
0.143136
0.16692826
0.14315
0.16696609
0.14315
0.16698588
0.143165
0.16701685
tạo của tai nạn

Trong cột thứ tư của bảng này, hàm phân phối tăng có được bởi các thành phần của
cột thứ ba. Trong trường hợp này, thành phần thứ n mô tả xác suất xảy ra tai nạn đầu
tiên trong vòng n năm. Các dữ liệu này mô tả hàm phân phối trong phương trình tái tạo
với thời gian rời rạc để ước tính số lượng tai nạn trung bình của một người có bảo hiểm
trong 1, 2, ..., n năm. Giải phương trình tái tạo với thời gian rời rạc (36) ta được kết quả

1.10 Dạng số

44

trình bày ở cột cuối cùng trong bảng 1.3.
Ở đây các kết quả cho ta số lượng tai nạn trung bình là thấp. Với dữ liệu được sử dụng
là thực, được cung cấp bởi công ty bảo hiểm và hơn nữa đây là kết quả kết hợp với giá
trị xác suất có ít nhất một tai nạn xảy ra trong suốt thời gian bảo hiểm, như ta đã nêu ở
trên là 0,14316.