Đề cương ôn tập toán 8 học kì 2

Equation Chapter 1 Section 1Đề cương ôn tập
toán 8 học kì 2
Bài 1 : Giải phương trình và bất phương trình
A. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)

3x − 2 = 5 − x

4 − 5x = 2 + x

7 − 2x = x + 2
−5 + 4 x = 3 − x

−2 x − 3 = 4 + x
5 x(2 − 3 x) = 4 − 6 x

(5 − x)(2 + 3 x) = 4 − 9 x 2
25 − x 2 = 4 x(5 + x)
x 2 − 2 x + 1 = 3x( x − 1)
4(7 x − 3) = 7 x 2 − 3 x
(3x − 2)(3 x − 1) = (3 x 2 + 1)
(4 x − 1)( x + 1) = (2 x − 3) 2
(5 x + 1) 2 = (25 x − 1)( x + 1)
(7 x − 2) 2 = (7 x − 3)(7 x + 2)
(4 − 3 x)(4 + 3 x) = (9 x − 3)(1 − x)
(2 x + 7)( x − 5)(5 x + 1) = 0

( x 2 − 4)( x 2 + 3) = 0
2 x ( x − 3) + 5( x − 3) = 0
( x − 1)2 − ( x − 2) 2 = 0
(2 x + 1)( x − 2) = (4 x − 3)(2 x + 1)

( x + 3)( x − 4) = (2 x − 3)( x − 4)
x2 − 9 x + 8 = 0


23)
24)
25)
26)

27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
42)

(4 x + 2)( x 2 − 1) = 0
3 x − 15 = 2 x( x − 5)
(2 x − 5) 2 − ( x + 2) 2 = 0
x3 = 4 x

( x + 1) 2 = 4( x 2 + 2 x + 1)
( x − 2) 2 = ( x − 2)(2 x − 1)
x2 + 5x + 6 = 0
4(2 x − 3) = 5 x + 3

(2 x − 1)(7 − 2 x) = 0
x3 − 3 x 2 + 3 x − 1 = 0

2 x −1 3x − 2 x + 1
−
=
3
6
2
x + 1 5 + 2x 3 − 4x
−
=
4
8
2
4 − 3x 4 − x x + 2
−
=
5
10
2
5 − x 9 − 3x 2 − x
−
=
2
14
7

3 − 5x 5 + 2 x 4 − 5x
−
=
3
15

5
x −1 2x −1
+
= x−3
2
4

3x − 2 x −1 9 x − 7
+
=
3
2
6
4 − 2 x x + 1 −9 x + 1
−
=
5
2
10

2 x − 3 3x + 8
+
= x −1
3
9
4 − 3 x 2 x + 1 14 − 13 x
−
=
2
3

6


43)
44)
45)

2(1 − 3x) 2 + 3x
3(2 x + 1)
−
= 7−
5
10
4
x + 29 x + 27 x + 17 x + 15
−
=
−
31
33
43
45
3x − 2 x + 3
x+3
+
=−
4
2
12
2x +

46)
47)
48)
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
58)
59)

3x − 1 5 x − 2
−
=2
2
3

2 x − 5 7 + 3x
=
2
3
x + 2 3(2 x − 1) 5 x − 3
5
+
−

= x+
3
4
6
12
x+4
x x−2
−x+4= −
5
3
2
3(2 x − 1) 3 x + 1
2(3x + 2)
−
+1 =
4
10
5
1
2 + x x(6 − x)
−
=
x − 4 x + 4 x 2 − 16
2x −1 2x +1
4
−
=
2x +1 2x −1 1 − 4x2
x + 1 x + 2 x + 2007 x + 2006
+

=
+
2009 2008
3
4
x 2 + 2 x + 2 x 2 + 8 x + 20 x 2 + 4 x + 6 x 2 + 6 x + 12
+
=
+
x +1
x+4
x+2
x+3
x + 3 x + 4 5 x + 15
−
=
x − 5 x + 5 x 2 − 16

x+3 1
3
− =
x − 3 x x( x − 3)
x( x + 1)( x + 2)( x + 3) = 24
( x − 5) 4 + ( x − 3) 4 = 16
3x
x
3x
−
+ 2
=0

x − 2 x − 5 x − 7 x + 10


60)
61)
62)
63)
64)
65)
66)
67)
68)
69)
70)
71)
72)
73)

x + 2 x2 + 5x + 4
x
=
−
2
x
x + 2x
x+2
3x + 2
6
9x2
−

= 2
3x − 2 2 + 3 x 9 x − 4
3
3 x − 20 1 13x − 102
+
+ =
2 x − 16
x −8 8
3 x − 24
x + 6 = 2x − 3
x−2 =3
x − 5 = 3x + 1
−2 x + 1 = 5 − 7 x
1
2
1
+
= 2
x +1 x −1 x −1
2( x + 1) x − 4 = 0
5 x = 3x + 4
5 − 2x = 1− x
( x 2 − 5 x) 2 + 10( x 2 − 5 x) + 24 = 0
( x 2 + x + 1)( x 2 + x + 2) = 12
x( x + 1)( x − 1)( x + 2) = 24

x( x + 1)( x 2 + x + 1) = 42

74)
B. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1)
2)
3)
4)
5)

2x − 3 x x
− ≤ −5
2
3 6

x−2 x+5
x−2
−
≤ 1−
2
3
4

2 − x 5x + 4
>
2
11
x −1 x − 2
x −3
−
≤ x−
2
3
4

3( x − 1) > 2(3x + 1)


6)
7)
8)
9)

2 x + 15 x + 1 x − 2
≥
+
9
2
3
x + 3 2x −1 5 − x
−
<
4
3
12

2 x2 − x ≥ 0
x + 3 2x −1 5 − x
−
<
4
3
12

2(3 − x ) >

10)
1−

11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)

1
x+7
2

2x − 5 3 − x
≤
6
4

2 x − 3 3x + 2
x−6
−
−1 ≤
3
4
6
2 x + 1 3x − 2 1

−
>
3
2
6

x + 6 x − 2 x +1
−
<
4
6
3
2x + 1
3 − 5x 4 x + 1
+3≥
−
2
3
4

5x − 3 2 x + 1 2 − 3x
+
≤
−5
5
4
2
(4 x − 1)( x 2 + 12)(− x + 4) > 0
x+2
<0

x −3

3x − 4 3 − x
+ 7x
5 < 2
+ 1− x
15
5

2x +

19)
20)
21)
22)
23)

x
x+2
+
>2
x−2
x
2 x(3 x − 5)
<0
x2 +1
1− x + 2x −1 > 5
x2 − 6 x + 9 < 0

24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)

x( x 2 + 2) > x 2 − x + 6
( x − 2) 2 − x + 3 > ( x − 1)( x + 3) − 2 x + 5
2(3x − 2) < 3(4 x − 3) + 11
5( x − 1) ≤ 6( x + 2)

3( x − 1) > 2(3x + 1)
4( x − 2) > 5( x + 1)

(2 x + 1)2 + (1 − x )3x ≤ ( x + 2)2

Bài 2 : Giải toán bằng cách lập phương trình
A. DẠNG HÌNH HỌC
1) Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng . Nếu tăng chiều rộng
64m 2

thêm 3m và giảm chiều dài 2m thì diện tích sẽ tăng
. Tính kích thước
hình chữ nhật
2) Một hình chữ nhật và một hình vuông có cùng diện tích , nhưng cạnh hình
vuông lớn hơn chiều rông hình chữ nhật là 2m và bé hơn chiều dài hình chữ
nhật là 3m . Tính độ dài cạnh của mỗi hình
3) Hiệu số đo chu vi của hai hình vuông là 32m và hiệu số đo diện tích của

464m 2

chúng là
. Tính số đo cạnh của mỗi hình
4) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m . Nếu giảm
16m 2

chiều dài 3m và tăng chiều rộng 2m thì diện tích đất giảm
. Tính kích
thước lúc ban đầu của khu vườn
5) Một hình chữ nhật có chui vi bằng 80m . Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm
33m 2

chiều dài 3m thì diện tích tăng
. Tính kích thước lúc ban đầu của hình
chữ nhật
6) Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 320m . Nếu tăng chiều dài 10m ,
2700m 2

tăng chiều rộng 20m thì diện tích
. Tính chiều dài và chiều rộng ban
đầu
7) Hình chữ nhật có chu vi 56m . Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 6m
42m 2

thì diện tích giảm xuống
. Tính kích thước hình chữ nhật
8) Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 56m . Nếu giảm chiều chiều dài 4m ,
tăng chiều rộng 4m thì diện tích tăng thêm
khu vườn

8m 2

. Tính chiều dài , chiều rộng


20m 2

9) Tổng chu vi của hai hình vuông là 40m , hiệu diện tích của chúng là
.
Tính cạnh của mỗi hình vuông
10) Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 8m có chu vi bằng 64m .
Tính diện tích hình chữ nhật
B. DẠNG SỐ HỌC VÀ THÊM BỚT , QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ
1) Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số là 8 đơn vị . Nếu thêm 2 đơn vị vào tử
3
4

số và bớt mẫu số đi 3 đơn vị thì được một phân số mới bằng . Tìm phân số
đã cho
2) Một số tự nhiên lẻ có 2 chữ số và chia hết cho 5 . Hiệu của số đó và chữ số
hàng chục của nó bằng 68 . Tìm số đó
3
2

3) Một số có 2 chữ số . Tỉ số giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là
. Nếu viết thêm chữ số 0 xen vào giữa 2 chữ số của nó thì được 1 số mới lớn
hơn số đã cho là 540 . Tìm số đã cho
4) Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số biết rằng :
- Tổng 2 chữ số là 12

- Nếu đổi chỗ hai chữ số thì được một số mới lớn hơn số ban đầu 36 đơn vị
5) Một số tự nhiên có 2 chữ số . Chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng
chục . Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới
hơn số ban đầu là 370 . Tìm số ban đầu
6) Hai giá sách có 450 cuốn . Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ
4
5

hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng số sách ở giá thứ nhất . Tính số sách
lúc đầu ở mỗi giá ?
7) Thùng dầu A chứa số dầu gấp 2 lần thùng dầu B . Nếu lấy bớt ở thùng dầu A
đi 20 lít và thêm vào thùng dầu B 10 lít thì số dầu thùng A bằng
dầu B . Tính số dầu lúc đầu ở mỗi thùng

4
3

lần thùng

5
6

8) Tổng hai số là 321 . Tổng của số này và 2,5 số kia bằng 21 . Tìm hai số đó
9) Tìm số học sinh của hai lớp 8A và 8B biết rằng nếu chuyển 3 học sinh từ lớp
8A sang lớp 8B thì số học sinh hai lớp bằng nhau , nếu chuyển 5 học sinh lớp
11
19

8B sang lớp 8A thì số học sinh 8B bằng
số học sinh lớp 8A

10) Tìm một số tự nhiên có sáu chữ số , biết rằng chữ số tận cùng của nó bằng 4
và nếu chuyển chữ số 4 đó lên vị trí chữ số đầu tiên thì số phải tìm tăng lên
gấp 4 lần


11) Tính tuổi của hai mẹ con hiện nay , biết rằng cách đây 4 năm thì tuổi mẹ gấp
5 lần tuổi con , sau đây hai năm thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con
12) Hai giá sách có 450 cuốn sách . Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá
4
5

thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng số sách ở giá thứ nhất . Tính số
sách lúc đầu ở mỗi giá ?
13) Thùng dầu A chứa số dầu gấp 2 lần thùng dầu B . Nếu lấy bớt ở thùng dầu A
4
3

đi 20 lít và thêm vào thùng dầu B 10 lít thì số dầu thùng bằng lần thùng
dầu B . Tính số dầu lúc đầu ở mỗi thùng
14) Tìm số học sinh của hai lớp 8A và 8B biết rằng nếu chuyển 3 học sinh từ lớp
8A sang lớp 8B thì số học sinh hai lớp bằng nhau , nếu chuyển 5 học sinh từ
11
19

lớp 8B sang lớp 8A thì số học sinh lớp 8B bằng
số học sinh lớp 8A ?
15) Hai học sinh lớp 9A và 9B có tổng số 80 bạn quyên góp được 198 quyển
vở . Một bạn lớp 9A góp 2 cuốn , một bạn lớp 9B góp 3 cuốn . Tìm số học
sinh mỗi lớp ?
16) Tổng số học sinh của lớp 8A và 8B là 78 em . Nếu chuyển 2 em từ lớp 8A

qua lớp 8B thì số học sinh của hai lớp bằng nhau . Tính số học sinh của mỗi
lớp
17) Có 15 quyển vở gồm hai loại : loại 1 giá 2000 đồng một quyển , loại 2 giá
1500 đồng một quyển . Số tiền mua 15 quyển vở là 26000 đồng . Hỏi có mấy
quyển vở mỗi loại ?
18) Tổng của hai chồng sách là 90 quyển . Nếu chuyển từ chồng thứ hai sang
chồng thứ nhất 10 quyển thì số sách ở chồng thứ nhất sẽ gấp đôi chồng thứ
hai . Tìm số sách ở mỗi chồng lúc ban đầu
19) Hiệu của hai bằng 50 . Số này gấp 3 lần số kia . Tìm hai số đó
C. DẠNG CHUYỂN ĐỘNG
1) Một ô tô đi từ TP.HCM đến Vũng Tàu với vận tốc 40km/h . Sau 2 giờ nghỉ
ngơi , xe lại quay về TP.HCM với vận tốc 30km/h . Tổng thời gian cả đi lẫn
về là 10giờ 45phút ( kể cả nghỉ lại ở Vũng Tàu ) . Tính quãng đường
TP.HCM –Vũng Tàu
2) Một ô tô khởi hành từ tỉnh A lúc 8 giờ sáng dự định đến tỉnh B vào lúc 10giờ
30phút . Nhưng mỗi giờ ô tô đã đi chậm 10km so với dự định ban đầu nên
mãi 11giờ 20phút xe mới đến tỉnh B . Tính quãng đường AB và vận tốc dự
định của ô tô
3) Quãng đường AB dài 120km . Hai xe cùng khởi hành từ A đến B . Xe thứ
nhất vận tốc gấp 1,2 vận tốc xe thứ hai nên đến B sớm hơn 40phút . Tính vận
tốc mỗi xe
4) Một ô tô phải đi quãng đường từ TP.HCM – Mỹ tho dài 60km . Trong một
thời gian nhất định . Xe đi nửa quãng đường đầu với vận tốc dự định là


10km/h và đi nửa quãng đường sau với vận tốc kém hơn dự định là 6km/h .
Xe cũng đến Mỹ Tho đúng giờ qui định . Tính thời gian và vận tốc
5) Lúc 7 giờ sáng một xe máy khởi hành đi từ A để đến B . Sau 1 giờ ô tô cũng
xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe
máy là 20km/h , cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 10giờ 30phút cùng ngày .

Tính vận tốc trung bình của mỗi xe và độ dài quãng đường AB
6) Một ô tô dự định đi từ A đến B mất 1giờ 30phút . Nếu vận tốc ô tô giảm đi
8km/h thì sẽ đến B chậm hơn dự định 18phút . Tính vận tốc dự định của xe ô
tô
7) Một ca-nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4giờ ; và ngược dòng từ bến B
đến bến A mất 5giờ . Tính khoảng cách giữa hai bến AB biết rằng vận tốc của
dòng nước là 2km/h
8) Một xe gắn máy đi từ A đến B với vận tốc 25km/h . Lúc về xe máy đi với vận
tốc 30km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20phút . Tính quãng đường
AB
9) Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 48km , sau đó 1giờ 40phút , một
người đi xe gắn máy cũng khởi hành từ A và đến B sớm hơn người đi xe đạp
1giờ . Tính vận tốc mỗi xe biết rằng vận tốc xe gắn máy gấp 3 lần vận tốc xe
đạp
10) Quãng đường AB dài 250km . Lúc 7 giờ một xe ô tô 1 khởi hành từ A đến B
với vận tốc 60km/h . Đến 7giờ 30phút một xe ô tô 2 khởi hành từ B đi đến A
với vận tốc 50km/h . Hỏi hai xe gặp nhau lúc mấy giờ ?
11) Một ô tô đi từ TP.HCM –Vũng Tàu với vận tốc 60km/h . Lúc về ô tô đi với
vân tốc 50km/h , vì vậy thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 24phút . Hỏi
quãng đường đi từ TP.HCM –Vũng Tàu
12) Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B đi ngược chiều và gặp
nhau sau 2giờ . Biết vận tốc xe đi từ A nhỏ hơn vận tốc xe đi từ B là 10km/h .
Tính vận tốc mỗi xe biết quãng đường AB dài 220km
13) Một xe ô tô đi từ A đến B hết 3giờ 12phút . Nếu vận tốc tăng thêm 10km/h
thì đến B sớm hơn 32phút . Tính quãng đường AB và vận tốc ban đầu của xe
14) Một người đi từ A đến B với vận tốc 40km/h và đi từ B trở về A với vận tốc
lớn hơn vận tốc đi từ A đến B là 10km/h . Biết rằng thời gian cả đi và về mất
5giờ 24phút . Tính quãng đường AB
15) Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50km/h rồi quay về A với vận tốc 40km/h
. Cả đi và về mất 5giờ 24phút . Tính quãng đường AB

16) Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc là 50km/h . Khi về , người đó đi với
vận tốc là 30km/h nên thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 2giờ . Tính
quãng đường AB
17) Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60km/h . Lúc về , ô tô đó đi với vận tốc
tăng thêm 20km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 1giờ . Tính quãng
đường AB


18) Một ô tô khởi hành từ A đến B với vận tốc là 50km/h , một xe máy khởi
hành từ B đến A với vận tốc là 40km/h . Hỏi sau bao lâu thì hai xe gặp nhau
biết quãng đường AB dài 180km
19) Một xe ô tô khởi hành đi từ A đến B . Sau khi đi được 43km thì xe dừng lại
40phút . Để đi đến B kịp thời gian dự định thì xe ô tô phải tăng vận tốc bằng
1,2 lần vận tốc trước đó . Tính vận tốc lúc đầu , biết quãng đường AB dài
163km
20) Một xe máy khởi hành đi từ A đến B trên một quãng đường dài 35km . Lúc
về , người đó đi đường khác dài 42km với vận tốc kém hơn vận tốc lúc đi là
6km/h . Tính vận tốc lúc đi và vận tốc lúc về biết thời gian về bằng 1,5 lần
thời gian đi
21) Lúc 6giờ 15phút , một ô tô đi từ A đến B với vận tốc là 70km/h . Khi đến
B , người đó nghỉ 1giờ 30phút , rồi quay về A với vận tốc là 60km/h và đến A
lúc 11giờ cùng ngày . Tính quãng đường AB
22) Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc là 50km/h . Đi được 24phút thì gặp
đường xấu nên vận tốc trên quãng đường còn lại giảm còn 40km/h . Vì vậy
xe tải đến B chậm mất 18phút . Tính quãng đường AB
23) Một xe gắn máy chạy trên quãng đường AB . Lúc đi xe chạy với vận tốc
42km/h . Lúc về xe chạy với vận tốc 36km/h . Vì vậy thời gian về nhiều hơn
thời gian đi là 1giờ . Tính quãng đường AB
24) Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 45km/h rồi quay về A với vận tốc 40km/h
. Thời gian cả đi và về là 8giờ 30phút . Tính quãng đường AB

25) Một người đi bộ từ A đến B với vận tốc 9km/h . Đến B , người đó trở về A
bằng xe đạp với vận tốc 21km/h trên một quãng đường khác dài hơn quãng
đường AB là 7km . Tính quãng đường AB , biết thời gian cả đi lẫn về là 4giờ
2phút
26) Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15km/h rồi từ B về A với vận
tốc 12km/h . Tất cả mất 4giờ 30phút . Tính quãng đường AB
27) Một ô tô đi từ A đến B mất 1giờ 30phút . Nếu vận tốc ô tô giảm 8km/h thì
đến B chậm hơn 18phút . Tính vận tốc ô tô
28) Lúc 7giờ một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 30km/h . Sau đó
một giờ , người thứ hai cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 45km/h .
Hỏi đến mấy giờ người thứ hai mới đuổi kịp người thứ nhất ? Nơi gặp nhau
cách A bao nhiêu km ?
29) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 25km/h . Lúc về người đó đi
với vận tốc 30km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 20phút . Tính
quãng đường AB
30) Một xe ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48km/h . Sau khi đi được 1giờ
thì xe bị hỏng phải dừng lại sửa 15phút . Do đó để đến B đúng giờ dự định ô
tô phải tăng vận tốc thêm 6km/h . Tính quãng đường AB
31) Hai người đi từ A đến B , vận tốc người thứ nhất là 40km/h , vận tốc người
thứ 2 là 25km/h . Để đi hết quãng đường AB , người thứ nhất cần ít hơn
người thứ 2 là 1giờ 30phút . Tính quãng đường AB


32) Một ca-nô xuôi dòng từ A đến B hết 1giờ 20phút và ngược dòng hết 2giờ .
Biết vận tốc dòng nước là 3km/h . Tính vận tốc riêng của ca-nô
33) Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60km trong một thời gian nhất định .
Xe đi nửa đầu quãng đường với vận tốc hơn dự định 10km/h và đi với nửa
sau kém hơn dự định 6km/h . Biết ô tô đến đúng dự định . Tính thời gian dự
định đi quãng đường AB
34) Một tàu chở hàng khởi hành từ TP.HCM với vận tốc 36km/h . Sau đó 2giờ

một tàu chở khách cũng xuất phát từ đó đuổi theo tàu hàng với vận tốc
48km/h . Hỏi sau bao lâu tàu khách gặp tàu hàng ?
35) Ga Nam Định cách ga Hà Nội 87km . Một tàu hỏa đi từ Hà Nội đi TP.HCM ,
3

2
5

sau 2giờ một tàu hỏa khác xuất từ Man Định đi TP.HCM . Sau
h tính từ
khi tàu thứ nhất khởi hành thì hai tàu gặp nhau . Tính vận tốc mỗi tàu , biết
rằng ga Nam Định nằm trên quãng đường từ Hà Nội đi TP.HCM và vận tốc
tàu thứ nhất lớn hơn tàu thứ hai là 5km/h
36) Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 40km/h . Lúc xuất phát ô tô chạy
với vận tốc đó (40km/h) . Nhưng khi còn 60km nữa thì được nửa quãng
đường AB , ô tô tăng tốc thêm 10km/h trong suốt quãng đường còn lại do đó
đến B sớm hơn 1giờ so với dự định . Tính quãng đường AB
37) Lúc 7giờ một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40km/h , đến 8giờ
30phút cùng ngày một người khác đi xe máy từ B đến A với vận tốc 60km/h .
Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ ?
38) Một xe ô tô đi từ A đến B dài 110km với vận tốc và thời gian đã định . Sau
9
8

khi đi được 20km thì gặp đường cao tốc nên ô tô đạt vận tốc vận tốc ban
đầu . Do đó đến B sớm hơn dự định 15phút . Tính vận tốc ban đầu
39) Một tàu chở hàng từ ga Vinh về ga Hà Nội . Sau 1,5giờ một tàu chở khác
xuất phát từ Hà Nội đi Vinh với vận tốc lớn hơn vận tốc chở hàng là 24km/h .
Khi tàu khách đi được 4giờ thì nó còn cách tàu hàng 25km . Tính vận tốc mỗi
tàu , biết rằng hai ga cách nhau 319km

40) Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30km/h , sau đó lại ngược từ
B trở về A . Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1giờ 20phút . Tính
khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5km/h
41) Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tải đi với vận tốc
3
4

30km/h , xe con đi với vận tốc 45km/h . Sau khi đi được quãng đường
AB , xe con tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại . Tính quãng
đường AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20phút
42) Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km . Sau đó 1giờ 30phút , một
người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1giờ . Tính vận tốc của mỗi
xe , biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp


43) Một xe ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60km/h rổi quay về A với vận
tốc 50km/h . Thời gian lúc đi ít hơn thời gian lúc về 48 phút . Tính quãng
đường AB
44) Một ô tô khởi hành từ A đến B với vận tốc 65km/h , một xe máy khởi hành
cùng lúc với ô tô từ B về A với vận tốc 45km/h . Hỏi sau bao lâu hai xe gặp
nhau , biết rằng quãng đường AB dài 220 km ?
45) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h . Lúc về , người đó đi
với vận tốc 24km/h . Tính quãng đường AB ? Biết rằng thời gian về nhiều
hơn thời gian đi là 30 phút
46) Lúc 7 giờ sáng một xe máy đi từ thành phố A đến thành phố B . Sau đó 30
phút một ô tô cũng đi từ thành phố A đến thành phố B và cả 2 xe cùng đến
thành phố B lúc 10 giờ sáng . Tìm khoảng cách giữa 2 thành phố A và B biết
vận tốc xe ô tô lớn hơn xe máy là 10km/h
47) Một người đi mô tô từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h . Rồi quay về
A với vận tốc trung bình 25km/h . Biết thời gian cả đi lẫn về là 5giờ 30phút .

Tính quãng đường AB
48) Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60km/h . Khi về từ B đến A ô tô chạy với
vận tốc 50km/h , do đó thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ . Tìm thời
gian đi từ A đến B của ô tô
49) Một xe máy đi từ A đến B trên đường dài 35km . Lúc về bằng đường khác
3
2

dài 42km với vận tốc kém vận tốc lúc đi 6km/h , nên thời gian về bằng
thời gian đi . Tính vận tốc lúc đi và lúc về của xe máy
50) Hai địa điểm cách nhau 56km . Lúc 6giờ 45phút một người đi xe đạp từ A
đến B với vận tốc 10km/h . Sau đó 2 giờ một người đi xe đạp từ B đến A với
vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ hai người gặp nhau và điểm gặp nhau cách
A bao nhiêu km ?
51) Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B . Xe tải đi với vận tốc
30km/h , xe con đi với vận tốc 45km/h . Sau khi đi được 0,75 quãng đường
xe con tăng thêm 5km/h nữa nên đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20phút . Tính
quãng đường AB
52) Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 40km/h . Lúc đầu đi với vận tốc
đó , khi còn 60km nữa được nửa quãng đường thì người lái xe tăng tốc thêm
10km/h nên đã đến B sớm hơn 1 giờ . Tính quãng đường AB ?
53) Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B . Ca nô một chạy với vận tốc 20km/h ,
ca nô hai chạy với vận tốc 24km/h . Trên đường đi ca nô hai dừng 40 phút
sau đó tiếp tục chạy . Tính chiều dài AB biết hai ca nô đến B cùng lúc ?
54) An đi từ A đến B . Đoạn đường AB gồm đoạn đường đá và đoạn đường nhựa
, đoạn đường đá bằng

2
3

đoạn đường nhựa . Đoạn đường nhựa An đi với vận


tốc 12km/h , đoạn đường đá An đi với vận tốc 8km/h . Biết An đi cả đoạn
đường AB hết 6 giờ . Tính quãng đường AB ?
55) Một người dự định đi từ A đến B trong một thời gian quy dionh95 với vận
tốc 10km/h . Sau khi đi được nửa quãng đường người đó nghỉ 30 phút nên để
đến B đúng dự định người đó tăng vận tốc lên 15km/h . Tính quãng đường
AB
56) Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h . Lúc về
người ấy đi với vận tốc trung bình 30km/h , biết rằng thời gian cả đi lẫn về
hết 3giờ 30phút . Tính quãng đường AB
57) Lúc 8 giờ , một xe máy khởi hành từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc
35km/h . Sau đó 24 phút , trên cùng tuyến đường đó , một ô tô xuất phát từ B
đi đến A với vận tốc 45km/h . Biết quãng đường AB dài 90km . Hỏi hai xe
gặp nhau lúc mấy giờ ?
58) Lúc 7 giờ , một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 36km rồi ngay lập tức
quay trở về bên A lúc 11giờ 30phút . Tính vận tốc của ca nô khi xuôi dòng .
Biết rằng vận tốc nước chảy là 6km/h
59) Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ , và ngược dòng từ bến B
đến bến A mất 5 giờ . Tính khoảng cách giữa hai bến , biết vận tốc dòng nước
2km/h
60) Một bạn học sinh đi học từ nhà đến trường với vận tốc trung bình 4km/h .
2
3

Sau khi đi được quãng đường bạn ấy đã tăng vận tốc lên 5km/h . Tính
quãng đường từ nhà đến trường của bạn học sinh đó , biết rằng thời gian bạn
ấy đi từ nhà đến trường là 28 phút
61) Một xe ô tô đi từ A đến B hết 3giờ 12phút . Nếu vận tốc tăng thêm 10km/h

thì đến B sớm hơn 32 phút . Tính quãng đường AB và vận tốc ban đầu của xe
62) Một người đi từ A đến B , nếu đi bằng xe máy thì mất thời gian là 3giờ
30phút , còn đi bằng ô tô thì mất thời gian là 2giờ 30phút . Tính quãng đường
AB , biết rằng vận tốc ô tô hơn vận tốc xe máy là 20km/h
63) Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15km/h , lúc về đi với vận tốc
20km/h . Tính quãng đường AB , biết thời gian về ít hơn thời gian đi là 20
phút
64) Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 35km/h . Sau đó một giờ , trên cùng
tuyến đường đó , một xe ô tô đi từ B đến A với vận tốc 45km/h . Biết quãng
đường từ A đến B dài 115km . Hỏi sau bao lâu , kể từ khi xe máy khởi hành ,
hai xe gặp nhau ?
65) Một người đi từ A đến B với vận tốc 24km/h nếu đi tiếp từ B đến C với vận
tốc 32km/h . Tính quãng đường AB , BC ; biết rằng quãng đường AB dài hơn
quãng đường BC là 6km và vận tốc trung bình của người đó trên cả quãng
đường
D. DẠNG TOÁN NĂNG XUẤT


1) Một xí nghiệp dự định sản xuất 1500 sản phẩm trong 30 ngày . Nhưng nhờ tổ
chức pháp lý nên thực tế sản xuất mỗi ngày vượt 15 sản phẩm . Do đó xí
nghiệp sản xuất không những vượt mức dự định 225 sản phẩm mà còn hoàn
thành trước thời hạn . Hỏi thực tế xí nghiệp đã rút ngắn được bao nhiêu ngày
2) Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất 50 sản phẩm . Khi
thực hiện tổ đã sản xuất được 57 sản phẩm một ngày . Do đó đã hoàn thành
trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm . Hỏi theo kế hoạch tổ
phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm
3) Hai công nhân được giao làm một số sản phẩm , người thứ nhất phải làm ít
hơn người thứ hai 10 sản phẩm . Người thứ nhất làm trong một 3giở 20phút ,
người thứ hai làm trong 2giờ , biết rằng mỗi giờ người thứ nhất làm ít hơn
người thứ hai là 17 sản phẩm . Tính số sản phẩm người thứ nhất làm được

trong một giờ ?
4) Một lớp học tham gia trồng cây ở một lâm trường trong một thời gian dự
định với năng suất 300 cây / ngày . Nhưng thực tế đã trồng thêm được 100
cây / ngày . Do đó đã trồng thêm được tất cả là 600 cây và hoàn thành trước
kế hoạch 01 ngày . Tính số cây dự định
5) Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành công việc đó trong
24 giờ . Nếu đội thứ nhất là 10 giờ , đội thứ hai làm 15 giờ thì cả đôi làm
được một nửa công việc . Tính thời gian mỗi đội làm một mình để xong công
việc
6) Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa với công suất
Khi bơm được

1
3

10m3

.

bể người công nhân vận hành tăng công suất máy là

3

15m / h

nên bể chứa được bơm đầy trước 48 phút . Tính thể tích bể chứa

nước ?
7) Hai thùng đựng dầu . Thùng thứ nhất có 120 lít dầu . Thùng thứ hai có 90 lít
dầu . Sau khi lấy ra ở thùng thứ nhất một lượng dầu gấp 3 lần lượng dầu lấy

ra ở thùng thứ hai thì lượng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi lượng
dầu còn lại trong thùng thứ nhất . Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng
?
E. DẠNG TOÁN PHẦN TRĂM
1) Một xí nghiệp dệt thảm được giao làm một số thảm xuất khẩu trong 20 ngày .
Xí nghiệp đã tăng năng suất lên 20% nên sau 18 ngày không những đã làm
xong số thảm được giao mà còn làm thêm được 24 chiếc nữa . Tính số thảm
mà xí nghiệp đã làm trong 18 ngày ?
2) Trong tháng Giêng hai tổ công nhân may được 800 cái áo . Tháng Hai , tổ 1
vượt mức 15% , tổ hai vượt mức 20% do đó cả hai tổ sản xuất được 945 cái
áo . Tính xem trong tháng đầu mỗi tổ may được bao nhiêu cái áo


3) Hai lớp 8A và 8B có tổng cộng 94 học sinh biết rằng 25% số học sinh lớp 8A
đạt loại giỏi , 20% số học sinh lớp 8B và tổng số học sinh giỏi của hai lớp là
21 . Tính số học sinh của hai lớp ?
4) Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than , theo đó mỗi ngày phải khai thác
50 tấn than . Khi thực hiện mỗi ngày khai thác được 57 tấn than . Do đó đội
đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày và còn vượt mức 13 tấn than . Hỏi theo
kế hoạch , đội phải khai thác bao nhiêu tấn than
5) Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể chứa không có nước thì sau 1giờ
30phút bể sẽ đầy . Nếu mở vòi thứ nhất trong 15phút rồi khóa lại và mở lại
1
5

vòi thứ hai chảy trong 20phút thì sẽ được bể . Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì
sau bao lâu thì đầy bể ?
6) Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi giờ phải làm 30 sản phẩm . Nhưng thực tế
mỗi giờ làm thêm được 10 sản phẩm nên đã hoàn thành công việc trước
30phút và còn vượt mức 20 sản phẩm so với kế hoạch . Tính số sản phẩm tổ

đó phải làm theo kế hoạch
7) Một nhóm thô đạt kế hoạch sản xuất 3000 sản phẩm . Trong 8 ngày đầu họ
thực hiện đúng mức đề ra , những ngày còn lại họ đã làm vượt mức mỗi ngày
10 sản phẩm nên đã hoàn thành công việc trước 30 phút và còn vượt mức 20
sản phẩm so với kế hoạch . Tính số sản phẩm tổ đó phải làm theo kế hoạch
8) Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong thời gian nhất định nhưng
thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm . Vì vậy mặc dù người đó đã làm thêm
mỗi giờ thêm 1 sản phẩm , song thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm
hơn so với dự định 12 phút . Tính năng suất dự kiến biết mỗi giờ người đó
làm không quá 20 sản phẩm
9) Một công nhân dự kiến hoàn thành một công việc trong thời gian dự định với
năng suất 12 sản phẩm / giờ sau khi làm xong một nửa công việc người đó
tăng năng suất 15 sản phẩm / giờ nhờ vậy công việc hoàn thành sớm hơn 1
giờ so với dự định . Tính số sản phẩm mà người công nhân đó dự định làm ?
10) Trong tháng đầu hai tổ sản xuất làm được 800 sản phẩm . Sang tháng thứ hai
tổ một tăng năng suất 15% , tổ hai tăng năng suất 20% nên đã làm được 945
sản phẩm . Tính số sản phẩm của mỗi tổ trong tháng đầu ?
11) Theo kế hoạch hai tổ phải làm 110 sản phẩm . Khi thực hiện tổ 1 tăng năng
suất 14% , tổ 2 tăng 10% nên đã làm được 123 sản phẩm . Tính số sản phẩm
theo kế hoạch của mỗi tổ ?
Bài 3 : Hình học
1) Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH
VAHB∞VABC

a) Chứng minh :
b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AB . Đường vuông góc BC
kẻ từ B cắt MN tại I . Chứng minh
c) IC cắt AH tại O . Chứng minh : O là trung điểm của AH

d) Gọi K là giao điểm của CA và BI . Tính BK , biết AB = 15 cm , AC = 20
cm
2) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , biết AB = 9cm , AC = 12cm
a) Tính BC và AH
b) Tia phân giác của

·ABC

cắt AH tại E và cắt AC tại F . Chứng minh :

VABF ∞VHBE

VAEF

c) Chứng minh :
cân
d) Chứng minh : AB . FC = CB . AF
3) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ) . Vẽ hai đường cao BD và CE
a) Chứng minh :
b) Chứng minh :

VABD∞VACE

VADE∞VABC

. Suy ra : AB . AE = CA . AD
.

c) Tia DE cắt BC tại I . Chứng minh :

VIBC ∞VIDC

ID.IE = OI 2 − OC 2

d) Gọi O là trung điểm của BC . Chứng minh :
4) Cho tam giác ABD vuông tại A có AB = 15cm , BC = 25cm . AH là đường
cao ( H thuộc BC ) , BM là phân giác của
a) Tính AC , AH
b) Chứng minh :

·ABC

AB 2 = BH .BC

c) Gọi N là giao điểm của BM và AH . Chứng minh :

NH MA
=
NA MC

S ABN

d) Tính
5) Cho hình vuông ABCD có M thuộc AB . Gọi N là giao điểm của DM và BC .
Qua D kẻ Dx vuông góc với DN và Dx cắt BC tại K
a) Chứng minh : AM . BN = AD . MB
b) Chứng minh :

VDMK

vuông cân

1
1
+
2
DK
DN 2

c) Chứng minh :
không đổi
6) Cho hình thang cân MNPQ ( MN // PQ , MN < PQ ) , NP = 15 cm , NI = 12
cm , QI = 16 cm
a) Tính IP , MN
QN ⊥ NP

b) Chứng minh :
c) Tính diện tích hình thang MNPQ
d) Gọi E là trung điểm của PQ . Đường thẳng vuông góc với EN tại N cắt
KN 2 = KP.KQ

đường thẳng PQ tại K . Chứng minh :
7) Cho tam giác ABC vuông tại A . Kẻ đường cao AH của tam giác ABC


VABH ∞VCAH

a) Chứng minh :
b) Tính AH biết AB = 6cm , AC = 8cm
c) Gọi BE là phân giác của

·ABC

( E thuộc AC ) , BE cắt AH tại I . Chứng

IA EA
−
=1
IH EC

minh :
8) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn , hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H
AH ⊥ BC

a) Chứng minh :
tại D
b) Chứng minh : CE . CA = CD . CB
c) Chứng minh :

·ADE = ·ACH

VAEF ∞VABC

d) Chứng minh :
e) Gọi N là giao điểm của DE và CF . Chứng minh : HF . CN = HN . CF
·
xAy

9) Cho góc
. Trên tia Ax lấy 2 điểm B và C sao cho AB = 8cm , AC = 15cm

. Trên tia Ay lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 10cm , AE = 12cm
VABE∞VADC

a) Chứng minh :
b) Chứng minh : AB . DC = AD . BE
c) Tính DC . Biết BE = 10cm
d) Gọi I là giao điểm của BE và CD . Chứng minh : IB . IE = ID . IC
10) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm , AC = 8cm . Kẻ đường cao
AH
a) Chứng minh :
b) Chứng minh :
c) Tính BC , AH

VABC ∞VHBA

AH 2 = HB.HC

·ACB

d) Phân giác của
cắt AH tại E , cắt AB tại D . Tính tỉ số diện tích của
hai tam giác ACD và HCE
11) Cho tam giác ABC , 3 đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H .
a) Chứng minh :

VAEF ∞VABC
VCFD∞VCBH

và

VBFD∞VBCA

b) Chứng minh :
c) Gọi I là giao điểm của FE và BC . Chứng minh : IF . IE = IB . IC
·
DFE

d) Chứng minh : FH là phân giác của
12) Cho tam giác ABC cân tại A , có AB = AC = 6 cm , BC = 4 cm . Các đường
phân giác BD và CE cắt nhau tại I
a) Tính AD , ED
VADB∞VAEC

b) Chứng minh :
c) Chứng minh : IE . CD = ID . BE


S ABC = 60cm 2

S AED

d) Cho
. Tính
13) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH ( H thuộc BC )
a) Chứng minh :
b) Chứng minh :
HD ⊥ AB

VHBA∞VABC

AH 2 = BH .HC
HE ⊥ AC

VAED∞VABC

c) Vẽ
,
. Chứng minh :
d) Nếu AB . AC = 4AD . AE thì tam giác ABC là tam giác gì ?
14) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm , AC = 8cm . Đường cao AH
và phân giác BD cắt nhau tại I
a) Tính AD , DC
b) Chứng minh :
c) Chứng minh :

VHBA∞VABC
VABI ∞VCBD

IH AD
=
IA DC

d) Chứng minh :
15) Cho tam giác ABC , 3 đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh : AH . HD = CH . HF
VCEH ∞VBEA

b) Chứng minh :
c) Chứng minh : FD . CH = CD . DH
d) Chứng minh :

VBDF ∞VBAC

·
DFE

e) Chứng minh : FH là phân giác của
f) Gọi K là giao điểm của DF và BE . Chứng minh : HK . BE = BK . HE
16) Cho tam giác ABC , 3 đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H
VAFH ∞VADB

a) Chứng minh :
b) Chứng minh : BH . HE = CH . HF
c) Chứng minh :

VBFH ∞VCFA

VBFD∞VBCA

d) Chứng minh :
e) Gọi M là giao điểm của DF và AC . Chứng minh : MA . MC = MF . MD
17) Cho tam giác ABC nhọn , vẽ 2 đường cao BE và CF cắt nhau tại H
VABE∞VACF

a) Chứng minh :
b) AH cắt BC tại D . Chứng minh : BH . BE = BD . BC
c) Chứng minh :
DM ⊥ AB

BH .BE + CH .CF = BC 2

DN ⊥ AC

d) Vẽ
,
. Chứng minh : MN // EF
18) Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) . Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại
H
a) Chứng minh :

VAEB∞VAFC


VAEF ∞VABC

b) Chứng minh :
c) Tia EF cắt tia CB tại D . Chứng minh : DF . DE = DB . DC
d) Đường thẳng AH cắt BC tại K . Tính AK , biết KH = 2 ; KB = 3 ; KC = 4
19) Cho tam giác ABC nhọn . Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H
a) Chứng minh : HA . HD = HB . HE
b) Chứng minh :

VHED∞VHAB

VHDF ∞VHCA

c) Tia CH cắt AB tại F . Chứng minh :
d) Chứng minh : H là trực tâm đường tròn nội tiếp DEF
20) Cho tam giác ABC nhọn . Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H
a) Chứng minh : DH . DB = DA . DC
b) Chứng minh : CH . CE = CD . CA

c) Gọi M là trung điểm của BC . Đường thẳng qua H và vuông góc với HM
cắt AB tại P và cắt AC tại Q . Chứng minh :

VAHP∞VCMH

và

VAHQ∞VBMH

d) Chứng minh : HP = HQ
21) Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) . Hai đường cao AD và BE cắt nhau
tại H
VAEH ∞VADC

a) Chứng minh :
b) Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của AC . Gọi O là giao
điểm của hai đường trung trực của BC và AC . Chứng minh : tam giác
HAB và tam giác OMN có 3 cặp cạnh song song từng đôi một
VHAB∞VOMN

c) Chứng minh :
và tính tỉ số đồng dạng
d) Gọi G là trong tâm . Chứng minh : H , G , O thẳng hàng
22) Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 6cm , AC = 8cm , BC = 10cm .
Đường cao AH
a) Chỉ ra các cặp tam giác đồng dạng và chứng minh
b) Cho AD là phân giác của tam giác ABC . Tính DB và DC
AB 2 = BH .HC

c) Chứng minh :

d) Vẽ đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt AD tại E . Chứng minh :
VABD∞VECD

23) Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 3cm , AC = 4cm . Vẽ đường cao
AH
a) Tính BC
b) Chứng minh :

VHBA∞VHAC
HA2 = HB.HC

c) Chứng minh :
d) Kẻ đường phân giác AD . Tính DB , DC ?
24) Cho tam giác ABC vuông tại A , điểm M thuộc cạnh AC . Vẽ MD vuông góc
BC tại D . Gọi E là giao điểm AB và MD


VDBE ∞VABC

a) Chứng minh :
b) Chứng minh : MA . MC = MD . ME
VMAD∞MEC

c) Chứng minh :
d) Chứng minh : AB . AE = AM . AC
µA = 60

25) Cho hình thoi ABCD có
. Qua C kẻ đường thẳng d không cắt hình
thoi nhưng cắt đường thẳng AB tại E và cắt đường thẳng AD tại F

a) Chứng minh :
b) Chứng minh :
c) Chứng minh :

VBEC ∞VAEF

VDCF ∞VAEF

BE.DF = DB 2
VBDE ∞VDBF

d) Chứng minh :
26) Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 30cm , AC = 40cm ; đường cao
AE và phân giác BD . Gọi F là giao điểm của AE và BD
VEAC ∞VABC

a) Chứng minh :
và tính AE
b) Chứng minh : BD . EF = BF . AD
c) Chứng minh : AF = AD
d) Tính AF
27) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 12cm , AC = 16cm . Vẽ đường cao
AH , đường phân giác AD
a) Tính BC
VABH ∞VABC

b) Chứng minh :
và tính AH
c) Tính BD và CD
d) Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD

28) Cho tam giác ABC có AB = 9cm , AC = 6cm . Điểm D nằm trên cạnh AB
sao cho AD = 2cm . Gọi E là trung điểm AC
VAED∞VABC

a) Chứng minh :
b) Chứng minh : AE . DC = AD . EB
c) Tia DE cắt tia BC tại M . Chứng minh : MD . ME = MB . MC
AK AH
−
=1
AC AB

d) Vẽ MK // AB , MH // AC . Chứng minh :
29) Cho hình chữ nhật ABCD , có AB = 8cm , BC = 6cm . Từ A kẻ đường thẳng
vuông góc với BD tại H và cắt CD tại M
a) Tính BD
VAHB∞VMHD

b) Chứng minh :
c) Chứng minh : MD . DC = HD . BD
S MDB

d) Tính
30) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH và đường phân giác AD biết AB
= 8cm , BC =9cm , AC = 10cm


a) Tính BD và CD
b) Đường trung trực của BC tại M cắt AD tại K và cắt AC tại E . Chứng
minh :

VDBK ∞VDAC

·ABC

c) Gọi S là trung điểm AK . Chứng minh : BS là phân giác của
d) Gọi F là giao điểm của BE và AD . Chứng minh : F là trung điểm AD
31) Cho tam giác ABC vuông tại B . Đường phân giác AD . Biết AB = 6cm , AC
= 10cm
a) Tính BD và CD
b) Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại K . Qua K kẻ đường
thẳng vuông góc với AD cắt AD , AB , BC lần lượt tại E , F , H . Chứng
VABD∞VHDK

minh :
c) Chứng minh : AK // DF
d) Chứng minh : tam giác CHA vuông tại A
CH KD
=
AH BF

e) Chứng minh :
32) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ( AB < AC ) ; AD , BE , CF là đường cao
cắt nhau tại H
VAEB∞VAFC

a) Chứng minh :
b) Chứng minh : HE . HB = HC . HF
c) Tính

S BHC

, biết AD = 5cm , BD = 3cm , DC = 4cm
HD HE HF
+
+
=1
AD BE CF

d) Chứng minh :
33) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) , đường cao AH
a) Chứng minh :

VHBA∞VABC

AH 2 = BH .CH

b) Chứng minh :
c) Cho biết AB = 6cm , AC = 8cm . Tính BC , AH
d) Tia phân giác của

·ABC

cắt AH tại D , cắt AC tại E . Chứng minh :

HD AE
=
DA EC

34) Cho tam giác ABC ( AB < AC ) . Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a) Chứng minh : AE . AB = AD . AC
VADE ∞ABC

b) Chứng minh :
c) Đường thẳng DE cắt BC tại K . Chứng minh : KE . KD = KB . KC
d) Gọi O là trung điểm BC . Chứng minh :

KO 2 − OC 2 = KE.KD


·
BAC

35) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ) có AD là phân giác của
.
Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại I và cắt AB kéo dài tại K
a) Chứng minh : BA . BK = BD . BC
b) Chứng minh : KA . KB = KI . KD
c) Chứng minh : tam giác KDC vuông cân
KD 2 = KA.KB + DB.DC

d) Chứng minh :
36) Cho tam giác ABC vuông tại A , có đường cao AH
VAHC ∞BAC

a) Chứng minh :
b) Trên CB lấy điểm M sao cho CA = CM . Đường thẳng qua M vuông góc
MH CH
=
MB CM

với AC tại K và cắt AH tại E . Chứng minh :
c) Đường thẳng CE cắt AM tại I , cắt AB tại D . Chứng minh : AI . CD = AC
. AD
d) Chứng minh : tam giác AIH cân
37) Cho tam giác ABC vuông tại A . Tia phân giác của
Đường cao AH của tam giác ABC cắt BD tại K

·ABC

cắt AC tại D .

AB 2 = BH .BC

a) Chứng minh :
b) Biết AB = 12cm , AC = 16cm . Tính AK và KH
c) Gọi E là hình chiếu của điểm C trên cùng đường thẳng BD . Chứng minh :
·AKB = BAE
·

38) Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB = 6cm , AC = 8cm . Tia phân giác
·ABC

của
cắt cạnh AC tại D . Từ C kẻ CE vuông góc BD tại E . Từ E kẻ EH
vuông góc BC tại H
a) Tính tỉ số

AD
DC

b) Chứng minh :

VABD∞VEBC

VECB∞VEDC

c) Chứng minh :
d) Chứng minh : CH . CB = ED . EB
39) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm , AC = 8cm . Vẽ tia phân giác
·ABC

MD ⊥ BC

của
cắt AC tại M , kẻ
, E là giao điểm của AB và MD
a) Tính BC , MA , MC
b) Chứng minh : EA . EB = EM . ED
c) Chứng minh :

EA.EB + DB.DC = DE 2

d) BM cắt EC tại N . Chứng minh : DE là phân giác của

·ADN


40) Cho tam giác ABC đều . Trung tuyến AM . Vẽ đường cao MH của tam giác
AMC

VABM ∞VAMH

a) Chứng minh :
b) Gọi E , F lần lượt là trung điểm BM , MH . Chứng minh : AB . AF = AM .
AE
BH ⊥ AF

c) Chứng minh :
d) Chứng minh : AE . EM = BH . HC