Sang kien kinh nghiem mon toan

Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông
A. Đặt vấn đề
I. Lời mở đầu.
Trong sự nghiệp giáo dục mà Đảng và Chính phủ đã xác định là quốc sách
hàng đầu, giáo dục toán học chiếm một vị trí đặc biệt quan trọng. Toán học là
môn học duy nhất đợc giảng dạy từ lớp 1 đến lớp 12 ở bậc phổ thông và giai đoạn
đầu ở bậc đại học.
Phần biến hình ở trờng phổ thông là một phần học gây đợc nhiều hứng thú
cho học sinh, tuy nhiên đứng trớc một bài toán biến hình không phải lúc nào ng-
ời học cũng dễ dàng nhận ra đợc phép biến hình cụ thể ngay cả đối với học sinh có
học lực khá. Vì vậy việc học sinh nắm đợc mỗi loại biến hình, hiểu sâu sắc về
phơng pháp, cách trình bày của mỗi dạng là hết sức quan trọng. Để giúp ngời học
có đợc những định hớng ban đầu khi đứng trớc một bài toán biến hình, bằng
những gì bản thân tôi có đợc tôi xin đề xuất Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các
phép biến hình ở trờng phổ thông.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
1. Thực trạng
Hiện nay việc dạy và học các phép biến hình trong chơng trình phổ thông
còn gặp không ít những khó khăn, ngời dạy, ngời học không phải lúc nào cũng
nhận ra đợc phép biến hình cần đợc sử dụng trong mỗi trờng hợp cụ thể. Học sinh
còn lúng túng trớc những vấn đề đợc đa ra dới một hình thức khác, yếu tố sáng tạo,
vận dụng linh hoạt ở các em còn nhiều hạn chế.
Đề tài nghiên cứu trên cơ sở các phép biến hình đợc trình bày trong SGK
Hình học lớp 10- Nhà xuất bản giáo dục
2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên
Từ thực trạng trên, để việc dạy và học về phép biến hình đạt hiệu quả tốt hơn, tôi
xin mạnh dạn đề xuất nội dung ph ơng pháp nghiên cứu và ph ơng pháp dạy học các
phép biến hình ở tr òng phổ thông.
Trang 1.
Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2
Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông

B. Giải quyết vấn đề
Phơng pháp nghiên cứu và phơng pháp dạy học các phép
biến hình ở trờng phổ thông.
1) Ph ơng pháp nghiên cứu
a) Nghiên cứu các phép biến đổi Aphin, các phép biến đổi trực giao trong hình học
Aphin và hình học Ơclit để làm cơ sở soi sáng giáo trình hình học phổ thông về
các phép biến hình, dời hình và đồng dạng .
b) Các cách trình bày khác nhau chứng minh các định lý về các tính chất của phép
dời hình và đồng dạng.
c) Cách trình bày phép dời hình trong cơ sở hình học.
Ví dụ: sự xác định phép dời hình có thể trình bày nhờ tích của các phép đối xứng
trục ( SGK Hình học lớp 10)
Có thể chứng minh định lý về sự xác đinh phép dời hình nhờ phơng pháp
khai triển một véctơ theo hai vectơ không cộng tuyến.
Định lý: Nếu trong mặt phẳng cho hai bộ ba điểm không thẳng hàng A, B, C
và A, B, C sao cho : AB = AB ; BC = BC; CA = CA thì tồn tại duy nhất một
phép dời hình biến A, B, C tơng ứng thành các điểm A, B, C.
Sự tồn tại phép dời hình đợc chứng minh nh sau:
Xét quy tắc f trong mặt phẳng chứa các điểm A, B, C, A, B, C nh sau:

f :A A';f :B B';f :C C'
Điểm M trong mặt phẳng biến thành M sao cho: MA=MA; MB=MB;
MC=MC.
Rõ ràng điểm M đợc xác định là duy nhất, thuộc giao của ba đờng tròncó tâm lần
lợt là A , B, C bán kính tơng ứng là : MA, MB, MC ( hình vẽ)
Giả sử N là điểm tuỳ ỳ của mặt phẳng, ảnh tơng ứng của nó là N. Cần chứng minh
MN = MN. Thậy vậy, do các vec tơ:
AB,AC không cộng tuyến
uuur uuur
, nên

Trang 2.
Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2
Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông
1 1
AM x AB y AC;= +
uuuur uuur uuur
tơng tự:
2 2
AN x AB y AC= +
uuur uuur uuur
, lập luận tơng tự đối với sự khai
triển vectơ
A'M'và A'N' theocácvéctơ A'B'và A'C'
uuuuuur uuuuur uuuur uuuur
ta có hệ thức tơng tự:
1 1
A'M' x 'A'B' y 'A'C ';= +
uuuuuur uuuuur uuuuur

2 2
A'N' x 'A'B' y 'A'C '= +
uuuuur uuuuur uuuuur
vì các góc
ã
ã
ã
ã
MAB M'A'B' và MAC M'A'C'= =
suy ra sự bằng nhau cáu các hình
bình hành AEMF và AEMF

từ đó suy ra x
1
= x
1
và y
1
= y
1
, x
2
= x
2
, y
2
= y
2

ta lại có:
2 1 2 1
MN AN AM (x x )AB (y y )AC (1)= = +
uuuur uuur uuuur uuur uuur


2 1 2 1
M'N' A'N' A'M' (x x )A'B' (y y )A'C ' (2)= = +
uuuuuur uuuuur uuuuuur uuuuur uuuuur
Từ các đẳng thức (1) và (2) suy ra:
ã
2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1

MN (x x ) AB (y y ) AC 2(x x )(y y )AB.AC.cosBAC (3)= + +
ã
2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
M'N' (x x ) A'B' (y y ) A'C' 2(x x )(y y )A'B'.A'C'.cosB'A'C' (4)
= + +
Do
ABC A'B'C ' =
và từ các đẳng thức (3) và (4) suy ra :
MN
2
= MN
2
MN = MN
Vạy f là phép dời hình.
Bây giờ giả sử g là phép dời hình biến A. B, C thành A, B, C khi đó g
-1
biến A, B, C tơng ứng thành A, B, C. Từ đó:
Trang 3.
Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2
A
B
M
C
F
E
A
B
M
C

F
E
Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông
g
-1
.f biến A, B, C thành A, B, C vậy g
-1
.f = e f = g ( phép dời hình có
ba điểm bất động là phép đồng nhất).
2) Ph ơng pháp dạy học các phép biến hình
a) Phơng pháp dạy học các khái niệm biến hình, dời hình, vị tự, đồng dạng:
- Các con đờng quy nạp hình thành các khái niệm trên.
Ví dụ 1: Từ khái niệm đối xứng tâm, đối xứng trục, phép quay đã xét trong SGK,
từ quy tắc dựng ảnh các phép trên cho học sinh biểu tợng về quan hệ 1-1 tập hợp
các điểm của mặt phẳng lên chính nó và từ đó hình thành khái niệm về phép biến
hình mặt phẳng .
Ví dụ 2: Từ các tính chất bảo tồn khoảng cách của phép biến hình cụ thể
trên, khái quát đi đến khái niệm phép dời hình.
- Cấu trúc các định nghĩa trên là cấu trúc hội.
- Nêu các phản ví dụ: Chẳng hạn phép chiếu vuông góc biến các điểm của đ-
ờng tròn thành hình chiếu vuông góc lên một đờng kính không là quan hệ 1-1
( song ánh) nên không phải là phép biến hình.
- Hoạt động nhận dạng, thể hiện:
Thông qua các mô hình nh hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, đoạn
thẳng, đờng thẳng, đờng tròn, xét các tâm đối xứng, trục đối xứng, dựng ảnh qua
tích các phép biến hình.
b) Phơng pháp dạy học các tính chất của phép biến hình cụ thể:
Trớc hết cần chỉ rõ các tính chất chung của phép dời. Đặc biệt các tính chất
đặc thù cho từng phép dời hình cụ thể. Chẳng hạn;
- Qua

(O)
Q

đờng thẳng ảnh và tạo ảnh tạo thành góc định hớng bằng góc
quay.
- Qua phép tịnh tiến mọi phơng đều bất biến
- Qua phép vị tự mọi phơng bất biến.v.v
Trang 4.
Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2
Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông
Nắm vững các tính chất đặc thù là cơ sở định hớng cho việc tìm tòi lời giải sau này
bằng cách sử dụng các phép biến hình cụ thể .
c) Vạch rõ khả năng của từng phép biến hình cụ thể để giải các dạng toán kèm
theo hệ thống các bài tập với cách sắp xếp s phạm rèn luyện kỹ năng vận dụng các
phép biến hình . Từ đó khắc sâu phơng pháp sử dụng các phép biến hình để giải
các bài toán
d) để thực hiện lời giải bài toán bằng cách sử dụng biến hình cần chú trọng các bớc
chuẩn bị cơ bản, đặc biệt là quan tâm đến các kỹ năng sau:
- Kỹ năng dựng ảnh của các hình qua phép biến hình cụ thể: ảnh của điểm,
đờng thẳng, đoạn thẳng, tam giác, đờng tròn
- Kỹ năng dịch từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ của các phép
biến hình cụ thể:
Ví dụ: Tam giác ABC đều.
Chuyển dịch qua ngôn ngữ phép quay là:
Tồn tại phép quay
0
60
A
Q
biến B thành C hoặc C thành B chiều quay phụ

thuộc vào thứ tự các đỉnh.
Tồn tại phép quay
0
120
O
Q
biến A thành B, B thành C, C thành A.
Chẳng hạn cho tam giác ABC đều. Các điểm M, N, P lần lợt thuộc các cạnh AB,
BC, CA sao cho AM = BN = CP. CMR tam giác MNP đều.
Để giải bài toán này ta sử dụng cách dịch thứ hai.
e) Một số định hớng cơ bản và quy trình cơ bản để giải các bài toán bằng phơng
pháp biến hình.
1. Các định hớng cơ bản:
1.1 Xây dựng hệ thống bài tập rèn luyện kỹ năng dựng ảnh của các
hình qua phép biến hình cụ thể; thông qua các kỹ năng đó làm cho học sinh nắm
vững các bất biến của phép biến hình.
Trang 5.
Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2
Phơng pháp nghiên cứu và dạy học các phép biến hình ở trờng phổ thông
1.2 Luyện tập cho học sinh kỹ năng xác định bài toán ngợc của bài
toán trên. Cho trớc hai hình xác định phép biến hình biến hình này thành hình kia.
Giải các bài toán trên cần thiết cho việc định hớng lựa chọn phép biến hình này nọ
để giải bài toán đã cho.
Ví dụ: Sau khi giải bài toán: Cho hai đờng tròn tiếp xúc trong, xác định
các phép vị tự biến đờng tròn này thành đờng tròn kia, đề xuất học sinh giải bài
toán:
Cho đờng tròn (O) và (O
1
) tiếp xúc trong tại I. Một tiếp tuyến của (O) tại K
cắt (O

1
) tại M, N. CMR :
ã
ã
MIK NIK=

Giải:
ã
ã
MIK NIK=

ẳ
ẳ
MK' NK '=
.
Do hai đờng tròn (O) và (O
1
) tiếp xúc trong với nhau tại I nên tồn tại
phép vị tự
1
R
R
I
V
biến tiếp tuyến MN của (O) thành tiếp tuyến Kx của (O
1
)
và Kx // MN
Từ đó suy ra
ẳ

ẳ
MK' NK '=
.
Chú ý 1: Để hỗ trợ cho định hớng thứ hai đã vạch ra ở trên khi dạy học các
phép biến hình cụ thể cần quan tâm cách cho khác nhau của phép biến hình đó.
Chẳng hạn : Cho phép quay
O
Q

đợc cho bởi hoặc tâm và góc quay hoặc hai cặp
điểm tơng ứng ( sao cho các trung trực của các đoạn thẳng nối cặp điểm đó cắt
nhau).
Trang 6.
Trơng Ngọc Hạnh-THPT Hậu lộc 2
I O
O
1
N
M
K
K
x