Lý thuyết, công thức, nhiều dạng BT lượng giác hay

Bài tập lượng giác

Lượng giác
Phần 1: Hàm số lượng giác
A. Kiến thức cần nhớ
1. Các hằng đẳng thức cơ bản
a) sin 2 x + cos 2 x = 1

b) tan x =

sin x
cos x

c) cot x =

cos x
sin x

1
1
2
e) 1 + cot x =
f) tan x. cot x = 1
2
cos x
sin 2 x
2. Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối nhau
b) Hai cung bù nhau
c) Hai cung khác nhau 2 π
cos(− x) = cos x

sin(π − x) = sin x
sin( x + 2π ) = sin x
sin( − x) = − sin x
cos(π − x) = − cos x
cos( x + 2π ) = cos x
tan(− x ) = − tan x
tan(π − x ) = − tan x
tan( x + 2π ) = tan x
cot(− x) = − cot x
cot(π − x) = − cot x
cot( x + 2π ) = cot x
d) Hai cung khác nhau π
e) Hai cung phụ nhau
sin(π + x) = − sin x
π

π

sin  − x  = cos x ; cos − x  = sin x
cos(π + x) = − cos x
2

2

tan(π + x) = tan x
π

π

tan − x  = cot x ; cot  − x  = tan x

cot(π + x ) = cot x
2

2

B. Bài tập
1. Tìm các giá trị của α để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
1
1
A=
; B=
1 + sin α
1 − cos α
2. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) sin 123o − sin 132 o
b) cot 304 o − cot 316 o
3. Rút gọn các biểu thức sau:
25π
13π
19π
− 3 tan
+ 2 cos
a) 5 tan 540 o + 2 cos1170 o + 4 sin 990 o − 3 cos 540 o b) 3 sin
6
4
3
2
o
2
o

2
o
2
o
2
o
2
o
2
o
2
c) sin 15 + sin 35 + sin 55 + sin 75 d) cos 15 + cos 35 + cos 55 + cos 75 o
3π
5π
7π
9π
11π
2 π
+ sin 2
+ sin 2
+ sin 2
+ sin 2
+ sin 2
e) sin
12
12
12
12
12
12

π
3
π
5
π
7
π
9
π
11π
2
+ cos 2
+ cos 2
+ cos 2
+ cos 2
+ cos 2
f) cos
12
12
12
12
12
12
π

 3π

+ a  h) A = sin 4 a + cos 2 a + sin 2 a. cos 2 a
g) sin(π + a ) − cos + a  + cot(2π − a) + tan
2


 2

2
a
a

 sin + cos  − 1
cos 2 696 o + tan(−260 o ). tan 530 o − cos 2 156
2
2
i) B = 
j) C =
a
a
a
tan 2 252 o + cot 2 342 o
tan − sin . cos
2
2
2
2
2
 1 − sin x
1 + sin x  1 − cos x
1 + cos x 
 17π
 7π

 13π




−
−
k)  tan
+ tan
− b  + cot
+ cot ( 7π − b )  l) 
 1 + cos x

1
+
sin
x
1
−
sin
x
1
−
cos
x
4
2
4









2
d) 1 + tan x =

tan b
tan b + cot b

1 − cos 4 a − sin 4 a
cos 4 a

m) sin 3 a (1 + cot a) + cos 3 a(1 + tan a )

n)

sin( x − π ). cos( x − 2π ). sin( 2π − x)
π

 3π

p)
sin  − x . cot(π − x). cot 
+ x
2

 2


 π

  3π



q) sin  − x  + sin(π − x ) + cos
− x  + cos(2π − x) 


 2

  2


Bai tap luong giac

o)

2

-1-

2


Bài tập lượng giác
cot(5,5π − a) + tan(b − 4π )
π


 2π

 5π

 3π

+ a . cos
+ a  + tan(π + a ). tan
− a  s)
r) sin  − a . tan
cot(a − 6π ) − tan(b − 3,5π )
3

 3

 3

 2

o
o
o
o
o
o
t) tan 50 . tan 190 . tan 250 . tan 260 . tan 400 . tan 700
4. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh:
a) sin( A + B ) = sin C ; cos(B + C) = -cosA
c) tan( A + C ) = − tan B; cot(A + B) = -cotC
A+B

C
B+C
A
A+C
B
A+B
C
= cos ; cos
= sin
= cot ; cot
= tan
b) sin
d) tan
2
2
2
2
2
2
2
2
2 + cos x
5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y =
sin x + cos x − 2
cos x + 2 sin x + 3
6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng − π < x < π : y =
.
2 cos x − sin x + 4
7. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC.
a) Cho sin 2 B + sin 2 C = 2 sin 2 A . Chứng minh A ≤ 60 o .

b) 2(a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c ⇒ ∆ABC đều.
c) Chứng minh: 0 < sin A + sin B + sin C - sinA.sinB - sinB.sinC - sinC.sinA < 1
Phần 2: Các công thức lượng giác
I. Công thức cộng
A. Kiến thức cần nhớ
1) sin( a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a
tan a ± tan b
3) tan(a ± b) =
2) cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b
1 tan a tan b
B. Bài tập
1. Chứng minh các công thức sau:
π

π

π

π

a) cos a + sin a = 2 cos − a  = 2 sin  + a  b) cos a − sin a = 2 cos + a  = 2 sin  − a 
4

4

4

4

2. Rút gọn các biểu thức:

π

2 cos a − 2 cos + a 
4

a)
π

− 2 sin a + 2 sin  + a 
4

o
o
o
b) cos10 + cos11 . cos 21 + cos 69 o. cos 79 o
c) (tan a − tan b).cot(a − b) − tan a. tan b
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
A
B
B
C
C
A
a) tan A + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC
b) tan . tan + tan . tan + tan . tan = 1
2
2
2
2
2

2
A
B
C
A
B
C
c) cot A. cot B + cot B. cot C + cot C. cot A = 1
d) cot + cot + cot = cot . cot . cot
2
2
2
2
2
2
π
1 + tan b
1 − tan a
= tan a và
= − tan b .
4. a) Cho a − b = , chứng minh:
4
1 − tan b
1 + tan a
π
b) Cho a + b = , chứng minh: (1 + tan a)(1 + tan b) = 2 và (1 − cot a )(1 − cot b) = 2
4
tan( x + a ) = m
a−b
c) Cho

. Chứngminh: tan( x + y ) =
.
tan(a − y ) = n
1 + ab
2
3
d) Cho tan a = , tan b = (0 < a, b < 1v ) . Tìm a + b.
5
7
1 π
π
e) Cho tan a = − ( < a < π ) và tan b = 3 (0 < b < ) . Tìm a + b.
2 2
2
2
1
f) Cho tan a = 1 , tan b = (0 < a, b < 1v ) . Tìm a - b.
3
4
Bai tap luong giac

-2-


Bài tập lượng giác
1
2
1
g) Cho tan a = , tan b = , tan b = . Chứng minh a + b + c = 45o.
12

5
3
π
5π
5. Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc: 15o hoặc
và 75o hoặc
.
12
12
π
6. Cho α , β , γ thoả mãn điều kiện: α + β + γ = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
A = 1 + tan α . tan β + 1 + tan β . tan γ + 1 + tan γ . tan α
7. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam giác ABC
cân:
sin B
cos 2 A + cos 2 B 1
= 2 cos A
a)
b)
= (cot 2 A + cot 2 B )
2
2
sin C
sin A + sin B 2
A
c) a + b = tan (a tan A + b tan B )
d) tan A + 2 tan B = tan A. tan 2 B
2
II. Công thức nhân đôi nhân ba.

A. Lý thuyết cần nhớ
sin 2a = 2sin a cos a
2 tan a
cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 1 − 2sin 2 a = 2 cos 2 a − 1 ; tan 2a =
1 − tan 2 a
sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a ; cos 3a = 4 cos 3 a − 3cos a
B. Bài tập
1. Rút gọn các biểu thức sau:
π
π
 π

tan 2 − 1
sin  − a .sin  + a 
8
a)
c) cos 20 o. cos 40 o. cos 80 o
4
 4
 b)
tan π 8
sin 3a cos a − cos 3a sin a
2
2 a
2 a
d) 2 sin a cos a(cos 2 a − sin 2 a ) e) cos 4 a − 6 sin 2 a cos 2 a + sin 4 a f) cos a − 4 sin cos
2
2
g) 1− 8 sin 2 a cos 2 a
h) 8 cos10 o cos 20 o cos 40 o i) 4 sin 3 a cos 3a + 4 cos 3 a sin 3a

π
2π
j) 4 sin 4 4a + sin 2 2a
k) cos cos
l) cos 20 o cos 40 o cos 60 o cos 80 o
5
5
m) tan a + 2 tan 2a + 4 tan 4a + 8 tan 8a + 16 tan 16a + 32 tan 32a
cos a − cos 3a
sin 3 a + sin 3a
n)
o)
3
sin a + sin 3a
cos a − cos 3a
2. Chứng minh:
π
π
 π
 1
a) sin a sin  − a  sin  + a  = sin 3a . Áp dụng với a = .
9
3
 3
 4
π
π
π
π
b) 8 sin 3 18 + 8 sin 2 18 = 1

c) 8 + 4 tan + 2 tan + tan = cot
d) tan 2 36 o tan 2 72 o = 5
8
16
32
32
π
5π
7π
π
 π
 1
3 tan a − tan 3 a
e) cos a cos − a  cos + a  = cos 3a . Tính: cos cos cos
f) tan 3a =
18
18
18
3
 3
 4
1 − 3 tan 2 a
5 −1
π
 π

o
o
o
g) tan a tan − a  tan + a  = tan 3a . Chứng minh: tan 6 tan 54 tan 66 =

.
3
 3

10 + 2 5
2 ab
(a, b > 0) . Tìm sin 2α , cos 2α , tan 2α .
a+b
2a
b) Cho cos α =
. Tìm sin 2α , cos 2α , tan 2α .
1+ a2
3. a) Cho sin α =

Bai tap luong giac

-3-


Bài tập lượng giác
5
. Tìm sin 2α , cos 2α , tan 2α .
4
4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:
π  π

a) y = sin  x +  sin  x − 
b) y = cos 4 x − sin 4 x
4
4


 

c) Cho sin α + cosα =

c) y = 1− 8 sin 2 x cos 2 x

III. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo t = tan
A. Lý thuyết cần nhớ
1 + cos 2a = 2 cos 2 a

sin a =

1 − cos 2a = 2 sin 2 a
B. Bài tập
1. Chứng minh các biểu thức sau:
2 sin a − sin 2a
a
= tan 2
a)
2 sin a + sin 2a
2

2t
1+ t 2

a+b
2

1 + sin a

π a 
= cot 2  − 
1 − sin a
 4 2

a −b
h) (sin a − sin b) + (cos a − cos b) = 4 sin
2
2

2t
1− t 2

tan a =

1 − sin 2a + cos 2a
π

= tan − a 
1 + sin 2a + cos 2a
4

a
a
d) tan = cot − 2 cot a
2
2
f) tan 7 o 30' =

2

g) sin a (sin a + sin b) + cos a(cos a + cos b) = 2 cos

2

1− t2
1+ t2

b)

2
2
2
c) (sin a + sin b) + (cos a + cos b) = 4 cos

e)

cos a =

a
.
2

2

(

3− 2

)(

)

2 −1

a −b
2

π a 
π a 
sin  +  sin  − 
i)
 4 2  −  4 2  (0 < a < π )
1 − sin a
1 + sin a

2. Rút gọn các biểu thức sau:
1 1 1 1
1 1 1 1
b)
+
+ cos α (0 < α ≤ π )
−
+ cos α (0 < α ≤ π )
2 2 2 2
2 2 2 2
a
a
a
a
a

1
1
2 cot
cot − tan
tan
tan
−
2
2
2
2
2
+
a
a
c)
d)
e)
f)
a
a
a
a
a
1 − tan
1 + tan
1 + cot 2
cot + tan
1 + tan
1 − tan

2
2
2
4
4
2
2
1 − cos α + cos 2α
sin 2α
cos α
.
g)
h)
sin 2α − sin α
1 + cos 2α 1 + cos α
3. Tìm giá trị biểu thức
sin a
a
tan a + sin a
a 2
a)
biết tan = 2
b)
Biết tan =
3 − 2 cos a
2
tan a − sin a
2 15
4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:


2 π
2
a) y = 2 cos 2 x + sin 2 x
b) y = 2 sin 2 x − cos 2 x c) y = sin  − x  + (sin x − cos x)
4

IV. Công thức biến đổi tổng và tích
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
1
sin a cos b = [ sin(a + b) + sin( a − b) ] ;cos a cos b = [ cos( a + b) + cos( a − b) ]
2
2
1
sin a sin b = [ cos(a − b) − cos( a + b) ]
2
2. Công thức biến đổi tổng thành tích
a)

Bai tap luong giac

-4-


Bài tập lượng giác

sin(a + b)
a+b
a−b

tan a + tan b =
. cos
cos a cos b
2
2
sin(a − b)
a+b
a−b
tan a − tan b =
sin a − sin b = 2 cos
.sin
cos a cos b
2
2
a+b
a −b
sin(a + b)
cos a + cos b = 2 cos
. cos
cot a + cot b =
2
2
sin a sin b
a+b
a −b
sin( a − b)
cos a − cos b = −2 sin
.sin
cot a − cot b = −
2

2
sin a sin b
B. Bài tập
1. Rút gọn biếu thức
a) cos a + cos(a + b) + cos(a + 2b) + ... + cos(a + nb) (n ∈ N)
cos a − cos 3a + cos 5a − cos 7 a
cos a + 2 cos 2a + cos 3a
b)
c)
sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7 a
sin a + sin 2a + sin 3a
π
π


π
π
cos a +  + cos a − 


cos 2a −  − cos 2a + 
3
3


d)
e)
6
6



cos a −
a
cot a − cot
2 cos a
2
1
1
2
f) cos 2a cos a − cos 4a − cos 2a
g) cos 2 3 + cos 2 1 − cos 4 cos 2
4
2
h) sin 1o + sin 91o + 2 sin 203o (sin 112 o + sin 158 o ) i) cos 35o + cos125 o + 2 sin 185o (sin 130 o + sin 140 o )
j) sin 20 o sin 40 o sin 60 o sin 80 o
k) tan 20 o tan 40 o tan 60 o tan 80 o
2. Chứng minh:
sin a + sin 3a + sin 5a + ... + sin(2n − 1)a
3
o
o
o
o
= tan na
a) sin 20 sin 40 sin 60 sin 80 =
b)
cos a + cos 3a + cos 5a + ... + cos(2n − 1) a
16
na
(n + 1) a

sin sin
2
2
c) sin a + sin 2a + sin 3a + ... + sin na =
a
sin
2
na
(n + 1)a
sin cos
2
2
d) cos a + cos 2a + cos 3a + ... + cos na =
a
sin
2
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
A
B
C
A
B
C
a) sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos
b) cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
c) sin A + sin B + sin C = 2(1 + cos A cos B cos C ) d) cos A + cos B + cos C = 1 − 2 cos A cos B cos C
A
B
C
A
B
C
e) sin A + sin B − sin C = 4 sin sin cos
f) cos A + cos B − cos C = 4 cos cos sin − 1
2
2
2
2
2
2
g) sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
h) cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C
i) sin 2 A + sin 2 B − sin 2 C = 2 sin A sin B cos C
x+ y 1
≥ (sin x + sin y ) với 0 < x, y < π .
4. Chứng minh bất đẳng thức: sin
2
2

5. Tính giá trị các biểu thức sau:
3π
5π
7π
4 π
+ sin 4
+ sin 4
+ sin 4
a) sin
b) tan 67 o 5'− cot 67 o 5'+ cot 7 o 5'− tan 7 o 5'
16
16
16
16
π
3π
5π
7π
9π
+ cos
+ cos
+ cos
c) cos 5 o cos 55 o cos 65o
d) cos + cos
11
11
11
11
11
6. Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:

Bai tap luong giac
-5sin a + sin b = 2 sin


Bài tập lượng giác

3π
π x 
4 sin 4 x + sin 2 2 x + 4 cos 2  −  với π < x <
2
 4 2


2
2π
2π
c) cos x + cos  + x  + cos  − x 
3

3

a)

b) 4 cos 4 x + cos 2 2 x − 4 cos 2 x cos 2 x


 2π

2
2  2π

+ x  + sin 2 
− x
d) sin x + sin 
 3

 3

sin B + sin C
7. Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là: sin A =
cos A + cos B
3
8. Chứng minh nếu các góc của ∆ABC thoả mãn: cos A + cos B + cos C = thì nó là tam giác đều.
2
b+c
9. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của ∆ABC thoả mãn hệ thức: cos A + cos B =
thì tam giác
a
đó là tam giác vuông.
A
B
10. Cho tam giác ABC và 5 tan tan = 1 . Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b).
2
2
Phần 3: Phương trình lượng giác
I. Phương trình lượng giác cơ bản
A. Lý thuyết cần nhớ
x = α + k 2π
1. Phương trình: sin x = sin α ⇔
2. Phương trình: cos x = cos α ⇔ x = ±α + k 2π
x = π − α + k 2π

2. Phương trình: tan x = tan α ⇔ α + kπ
4. Phương trình: cot x = cot α ⇔ α + kπ
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
π

π
3

a) sin  3 x −  =
b) sin(3x - 2) = -1
c) 2 cos 2 x −  = 1
5
6 2


π
3
d) cos(3x - 15o) = cos150o
e) tan(2x + 3) = tan
f) cot(45o - x) =
3
3
2π 
5π 
π



 = cos 3 x

 + cos 3 x +  = 0
g) sin3x - cos2x = 0
h) sin  x +
i) sin  3 x −
3 
6 
4



π
x
π


o
j) cos = − cos(2 x − 30 )
k) cos2x = cosx
l) sin  + x  = sin  2 x − 
4
2
4


π 
π 1


π
3


m) sin  x −  = 1
n) sin 12 x +  =
o) cos 6 x +  =
6 2
2 2
 12 


p) cos(π − 5 x) = −1
q) tan(3π − 6 x) = 1
r) tan ( x − 6π ) = 3
π
 1
s) tan − 2 x  =
3
4


 5π

+ 12 x  = 3
t) cot 
 6


3
 12π

− 5x  =

u) cot 
 7
 3

2
w) cos( 2 x − a ) = sin 3 x
x) sin(3 x − b) = cos 5 x
2
π

 5π

 7π

+ x
+ 7x
y) tan − x  = cot 
z) cot ( 3π − x ) = tan
4

 6

 12

II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
A. Lý thuyết cần nhớ
Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với một hàm sinx, cosx, tanx hay cotx.
Phương pháp: Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc nhất hay bậc 2 với t.
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:

a) 3 sin 2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0
b) 6 cos 2 x + 5 sin x − 7 = 0 c) cos 2 x − 5 sin x − 3 = 0
d) cos 2 x + cos x + 1 = 0
e) 6 sin 2 3x + cos12 x = 14
f) 4 sin 4 x + 12 cos 2 x = 7
v) sin (12π − 3x ) =

Bai tap luong giac

-6-


Bài tập lượng giác
g) 8 sin 2 x − cos x = 5
2. Giải các phương trình lượng giác:
π
π
2
2
a) 3 cot  x +  = 1
b) tan  2 x −  = 3
5
4


2
c) 7 tan x − 4 cot x = 12
d) cot x + ( 3 − 1) cot x − 3 = 0
III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
A. Lý thuyết cần nhớ

Dạng phương trình: a sin x + b cos x = c
Điều kiện để phương trình có nghiệm: a 2 + b 2 ≥ c 2 .
Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho

a 2 + b 2 rồi đặt: cos α =

a

; sin α =

b

a +b
a + b2
Đưa phương trình về dạng: cos α sin x + sin α cos x = sin β ⇔ sin( x + α ) = sin β . Giải ra tìm được x.
B. Bài tập
1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
a) y = (2 − 3 ) sin 2 x + cos 2 x
b) y = (sin x − cos x) 2 + 2 cos 2 x + 3 sin x cos x
cos x + 2 sin x + 3
c) y = (sin x − 2 cos x)(2 sin x + cos x) − 1
d) y =
2 cos x − sin x + 4
2. Giải các phương trình sau:
9
a) 4 sin x − 3 cos x = 5
b) 3 cos x + 2 3 sin x =
2
c) 3 sin 2 x + 2 cos 2 x = 3
d) 2 sin 2 x + 3 cos 2 x = 13 sin 14 x

e) 4 sin x − 3 cos x = 2
f) sin x − 3 cos x = 1
 3π 
; π  thoả mãn phương trình sau với mọi m:
3. Tìm các giá trị của x ∈  −
 4

2
2
2
m sin x − m sin x − m cos x + m cos 2 x = cos x − sin x
4. Tìm các giá trị của α để phương trình:
a) (cos α + 3 sin α − 3 ) x 2 + ( 3 cos α − 3 sin α − 2) x + sin α − cos α + 3 = 0 có nghiệm x = 1.
2

2

2

.

b) (2 sin α − cos 2 α + 1) x 2 − ( 3 sin α ) x + 2 cos 2 α − (3 − 3 ) sin α = 0 có nghiệm x = 3 .
5. Giải phương trình:
5
+8 = 0.
a) 12 cos x + 5 sin x +
12 cos x + 5 sin x + 14
b) (4 sin x − 5 cos x) 2 − 13(4 sin x − 5 cos x) + 42 = 0
6
=6

c) 3 cos x + 4 sin x +
3 cos x + 4 sin x + 1
IV. Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = d
- Nếu cosx = 0. Thế vào phương trình thử nghiệm.
- Nếu cos x ≠ 0 . Chia cả 2 vế của phương trình cho cos 2 x rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối với tanx:
(a − d ) tan 2 x + b tan x + c − d = 0 .
B. Bài tập
1. Giải các phương trình sau:
a) sin 2 x − 2 sin x cos x − 3 cos 2 x = 0
b) 6 sin 2 x + sin x cos x − cos 2 x = 2
c) sin 2 x − 2 sin 2 x = 2 cos 2 x
d) 2 sin 2 2 x − 2 sin 2 x cos 2 x + cos 2 2 x = 2
π

 3π

− x  cos(π + x) = 1
e) 4 sin x cos x −  + 4 sin(π + x) cos x + 2 sin 
2

 2

Bai tap luong giac

-7-


Bài tập lượng giác

2
2
f) 3 sin x − 4 sin x cos x + 2 cos x =

1
2

2. Giải các phương trình sau:
a) 2 sin 3 x + 4 cos 3 x = 3 sin x
x
x
x
x
 3π x 
x π
2 x
+  + 3 sin 2 cos = sin cos 2 + sin 2  + 
b) 3 sin cos
2
2
2
2
2
 2 2
2 2
3. Số đo độ của một trong các góc trong tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình:
sin 3 x + sin x sin 2 x − 3 cos 3 x = 0 . Chứng minh tam giác ABC vuông cân.
V. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng phương trình: a (sin x ± cos x) + b sin x cos x = c .

Cách giải: Đặt t = sin x ± cos x , ta có: | t |≤ 2 . → t 2 = 1 ± 2 sin x cos x = 1 ± sin 2 x . Thay vào phương trình rồi
giải ra t.
B. Bài tập
1. Giải phương trình sau:
a) cot x − tan x = sin x + cos x
b) 2 sin x + cot x = 2 sin 2 x + 1
3
3
c) cos x − sin x = −1
d) | sin x − cos x | +4 sin 2 x = 1
3
3
3
e) 1 + sin 2 x + cos 2 x = sin 4 x
f) (1 + cos x )(1 + sin x) = 2
2
VI. Một số dạng phương trình lượng giác khác
1. Giải các phương trình lượng giác sau:
3x
sin 4 x + cos 4 x 1
a) cos 2 x + cos − 2 = 0
b)
= (tan x + cot x)
4
sin 2 x
2
2
2
c) 4 cos x + 3 tan x − 4 3 cos x + 2 3 tan x + 4 = 0 d) 1 + sin x + 1 − sin x = 2 cos x
x 7

1
2
5
2
2π
+ =0
e) sin x cos 4 x − sin 2 x = 4 sin  −  −
f) tan x −
2
cos x 2
 4 2 2
3
2
g) (4 − 6m) sin x + 3(2m − 1) sin x + 2(m − 2) sin x cos x − (4m − 3) cos x = 0 (Biện luận theo m).
h) 1 − tan 2 x = 2 tan x tan 2 x
i) sin 4 x = 2 cos 2 x − 1
2 x
j) 8 cos 4 x − cos 4 x = 1
k) 1 + cos 2 x + sin x = 2 cos
2
3
2
2
l) sin 2 x + sin 4 x =
m) tan x + tan 2 x = sin 3 x cos x
2
n) tan x − 3 cot x = 4(sin x + 3 cos x)
o) sin 3 x + cos 3 x = cos 2 x
p) sin 4 x = tan x
q) sin 4 x − 4 sin x − (cos 4 x − 4 cos x) = 1

r) 3(cot x − cos x ) − 5(tan x − sin x ) = 2
s) cos 7 x − 3 sin 7 x = − 2
t) tan x − 2 2 sin x = 1

u) 2 cos 3 x = sin 3 x

1 + cos x
1 − sin x
4
sin 2 x + cos 4 2 x
= cos 4 4 x
x)
π
 π

tan − x  tan + x 
4
 4

2
z) cos 2 x + sin x + 2 cos x + 1 = 0
2. Giải các phương trình lượng giác sau:
1 − tan x
= 1 + sin 2 x
a)
1 + tan x

5
6
6

4
4
w) sin x + cos x = (sin x + cos x)
6
6
6
sin x + cos x
1
=−
y)
4
π
 π

tan − x  tan + x 
4
 4


2
v) tan x =

Bai tap luong giac

1
1
π

+
b) 2 2 sin  + x  =

4
 cos x sin x
-8-


Bài tập lượng giác
c) 9 sin x + 6 cos x − 3 sin 2 x + cos 2 x = 8
sin 5 x
=1
e)
5 sin x

d) (cos 2 x − cos 4 x) 2 = 6 + 2 sin 3 x
x
3x
x
3x 1
=
f) cos x cos cos − sin x sin sin
2
2
2
2 2
 π
g) sin 2 4 x − cos 2 6 x = sin(10,5π + 10 x) . Tìm các nghiệm thuộc khoảng  0; 
 2
5
8
8
10

10
h) sin x + cos x = 2(sin x + cos x) + cos 2 x
i) 3 sin 2 x − 2 cos 2 x = 2 2 + 2 cos 2 x
4
3
1
2
2
2
j) sin x + sin 2 x + sin 3 x =
k) 3 sin x + cos x =
2
cos x
l) cot 2 x = tan 2 x + 2 tan 2 x +1
m) 2 cos x + 2 sin 10 x = 3 2 + 2 cos 28 x sin x
n) sin 2 x + 2 cos 2 x = 1 + sin x − 4 cos x
o) sin 2 x + 2 tan x = 3
1
1
2 (cos x − sin x)
p) ( 1 − cos x + cos x ) cos 2 x = sin 4 x
q)
=
2
tan x + cot 2 x
cot x − 1

3 π
r) sin  + x  = 2 sin x
s) 8 2 cos 6 x + 2 2 sin 3 x sin 3 x − 6 2 cos 4 x − 1 = 0

4

t) cos 3 x + sin 3 x = sin 2 x + sin x + cos x
u) 3 − 4 cos 2 x = sin x(2 sin x + 1)
v) 4 3 sin x cos x cos 2 x = sin 8 x
w) tan 2 x cot 2 2 x cot 3 x = tan 2 x − cot 2 2 x + cot 3x
4x
cos − cos 2 x
π

π

3
x)
y) sin  3x −  = sin 2 x sin  + x 
=0
4

4

1 − tan 2 x
z) sin x + cos x = cos 2 x
3. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 9 cot x + 3cot x − 2 = 0
b) cos 2 x + sin x + 1 = 0
c) sin 3 x + 2 cos 2 x − 2 = 0
d) sin 3 x − sin x + sin 2 x = 0
e) cos 2 x + 3 cos x + 2 = 0
f) 3 cos 4 x − 2 cos 2 3 x = 1
g) 1 + 3 cos x + cos 2 x = cos 3x + 2 sin x sin 2 x

h) tan x + tan 2 x = − sin 3 x cos 2 x
1 + cos x
3
2
3
3
i) tan x =
j) 1 + sin 2 x + cos 2 x = sin 4 x
cos x
2
k) tan x + cot x = 2(sin 2 x + cos 2 x)
l) 2 2 (sin x + cos x) cos x = 3 + cos 2 x
π
π
9
sin 2 x
4
4
4
+ 2 cos x = 0
m) sin x + sin ( x − ) + sin ( x + ) =
n)
4
4
8
1 + sin x
o) cos 3 x + sin x − 3 sin 2 x cos x = 0
p) 2 sin 3 x + cos 2 x = sin x
q) 3 − cos x − 1 + cos x = 2
r) sin x cos x + 2 sin x + 2 cos x = 2

1
s) cos x cos 2 x cos 4 x cos 8 x =
t) sin 2 x + sin 2 3 x = cos 2 2 x + cos 2 4 x
16
u) sin 3 x(cos x − 2 sin 3 x) + cos 3 x(1 + sin x − 2 cos 3 x) = 0
3(1 + sin x)
π x 
3
− 8 cos 2  −  = 0
v) 3 tan x − tan x +
2
cos x
 4 2
3
w) 2 cos x = sin 3 x
x) cos 2 x − 3 sin 2 x − 3 sin x − cos x + 4 = 0
y) cos 2 x = cos 2 x 1 + tan x
z) 3 cot 2 x + 2 2 sin 2 x = (2 + 3 2 ) cos x
4. Giải các phương trình sau:
1 

=0
a) tan x − sin 2 x − cos 2 x + 2 2 cos x −
b) 4(sin 3 x − cos 2 x) = 5(sin x − 1)
cos x 

c) 2 cos 2 x + sin 2 x cos x + sin x cos 2 x = 2(sin x + cos x)
d) tan x sin 2 x − 2 sin 2 x = 3(cos 2 x + sin x cos x)
e) sin 2 x(cot x + tan 2 x ) = 4 cos 2 x
Bai tap luong giac

-9-


Bài tập lượng giác
1
2
−
(1 + cot 2 x cot x) = 0
f) 48 −
4
cos x sin 2 x
h) cos 3 x + cos 2 x + 2 sin x − 2 = 0
j) cos 3 x + 2 − cos 2 3x = 2(1 + sin 2 2 x)
l) cot x − tan x = sin x + cos x
1
n) 2 cos 2 x − 8 cos x + 7 =
cos x
p) 9 sin x + 6 cos x − 3 sin 2 x + cos 2 x = 8

g) sin 6 x + cos 6 x = cos 4 x
x
2
k) sin x + sin 2 x + sin 3x = 0
m) sin 3 x + cos 2 x = 1 + 2 sin x cos 2 x
i) 2 + cos x = 2 tan

3
3
3

o) cos 3 x cos x − sin 3 x sin x = cos 4 x +

1
4

q) sin 3 x cos 3x + cos 3 x sin 3 x = sin 3 4 x

r) sin x + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x
sin 2 2 x + cos 4 2 x − 1
2
2
=0
s) 2 sin x − sin x cos x − cos x = −1
t)
sin x cos x
u) 2 sin 3 x − cos 2 x + cos x = 0
v) 1 + cos 3 x − sin 3 x = sin 2 x
w) 1 + cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0
x) cos x + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x = 0
2
3
y) cos x + sin x + cos x = 0
z) cos x sin x + | cos x + sin x |= 1
5. Giải các phương trình sau:
a) 2 + cos 2 x = −5 sin x
b) sin 3 x + cos 3 x = 2(sin 5 x + cos 5 x)
π
3
c) sin 2 x = cos 2 2 x + cos 2 3 x
d) 8 cos  x +  = cos 3x e) | sin x − cos x | + | sin x + cos x |= 2

3

13
6
6
2
f) 2 sin x + cot x = 2 sin 2 x + 1 g) cos x − sin x = cos 2 x
h) 1 + 3 tan x = 2 sin 2 x
8
2
2
i) sin 3 x = cos x cos 2 x(tan 2 x + tan 2 x)
j) 9 sin x + 9 cos x = 10
k) 4 cos 3 x + 3 2 sin 2 x = 8 cos x
π
sin 3 x sin 5 x
x2
3
=
l) 1 −
m) sin  x +  = 2 sin x
n)
= cos x
4
3
5
2

VII. Hệ phương trình lượng giác
1. Giải các hệ phương trình lượng giác sau:

1
x+ y+ z =π
1
tan x tan y =
sin x cos y =
3
4
a)
b)
c) tan x tan y = 3
π
3 tan x = tan y
x+ y =
tan y tan z = 6
3
tan y − tan x − tan x tan y = 1
sin x + sin y = 2
sin 2 x = cos x cos y
d)
e)
f)
cos 2 y + 3 cos 2 x = −1
cos 2 x = sin x sin y
cos x + cos y = 2
π

3
tan x + cot x = 2 sin  + y 
sin x + cos y =
4



2
g)
h)
π
5

tan y + cot y = 2 sin  x − 
cos 2 x + sin 2 y =
4
4

VIII. Các dạng bài tập khác
1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 1 − 5 sin x + 2 cos 2 x = 0 thoả mãn cos x ≥ 0 .
2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = sin x cos x + cos x sin x .
3. Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc thoả mãn: sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = m . Nếu m = 2 thì tam giác
ABC vuông, m > thì ba góc A, B, C đều nhọn và nếu m < 2 thì tam giác có góc tù.
A
B
C
4. Cho các góc của tam giác ABC thoả mãn: sin A + sin B + sin C − 2 sin sin = 2 sin . Chứng minh rằng số
2
2
2
đo của góc C là 120o.
Bai tap luong giac

- 10 -

Bài tập lượng giác
A
B
3
C
+ tan = 1 . Chứng minh rằng: ≤ tan < 1 .
2
2
4
2
2
2
6. Biện luận theo tham số a về số nghiệm của PT: 2 − x sin x + 2 + x cos x =| a + 1 | + | a − 1 | .
7. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức:
1
1
1
+
+
− (cot A + cot B + cot C ) = 3
sin A sin B sin C
8. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện: cos 2 A + cos 2 B + cos 2C + 1 = 0 thì tam giác đó là
tam giác vuông.
9. Chứng minh rằng trong tam giác có: (b 2 + c 2 ) sin(C − B) = (c 2 − b 2 ) sin(C + B ) thì tam giác đó vuông hoặc
cân.
 π π
10. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 5 cos x − cos 5 x trên − ;  .
 4 4
m sin x − 2 m cos x − 2

=
11. Cho phương trình:
m − 2 cos x m − 2 sin x
a) Giải phương trình khi m = 1.
b) Khi m ≠ 0 và m ≠ ± 2 , phương trình có bao nhiêu nghiệm nằm trong đoạn [20π ,30π ] .
A
C
12. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 2b = a + c ⇔ cot cot = 3 .
2
2
A
B
13. Cho tam giác ABC có: 5 tan tan = 1 . Chứng minh rằng: 3c = 2( a + b) .
2
2
14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: f ( x) = 2 sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 .
15. Tìm các giá trị x ∈ (0,2π ) sao cho cos x − sin x − cos 2 x > 0 .
2 sin x + 1
=t.
16. Tìm t để phương trình sau có đúng 2 nghiệm x ∈ [0, π ] :
sin x + 2
a2 + b2 + c2
17. Cho tam giác ABC. Chứng minh: cot A + cot B + cot C =
.
4S
π
3
18. Chứng minh với 0 < x < thì: 2 2 sin x + 2 tan x > 2 2 x +1 .
2
a cos A + b cos B + c cos C 1

= . Chứng minh tam giác ABC đều.
19. Cho tam giác ABC thoả mãn:
a+b+c
2
1
20. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 2(1 + sin 2 x cos 4 x) − (cos 4 x − cos 8 x) .
2
cot x
cot x
21. Giải phương trình sau: 9 + 3 − 2 = 0 .
b
c
a
+
=
22. Cho tam giác ABC thoả mãn:
. Chứng minh tam giác ABC vuông.
cos B cos C sin B sin C
23. Cho tam giác ABC, chứng minh ta luôn luôn có: cos A + cos B + cos C > 1 .
24. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông hoặc cân khi và chỉ khi a cos B − b cos A = a sin A − b sin B .
C
25. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có: tan A + tan B = 2 cot thì tam giác ABC cân.
2
1
2
26. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số trên đoạn: y = sin x − cos x + .
2
2
(n )
27. Cho y = sin 5 x . Tính y .

3 sin x
28. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = 1 +
.
2 + cos x
2x
4x
+ cos
+ 1.
29. Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số: y = sin
2
1+ x
1+ x2
5. Hai góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện: tan

Bai tap luong giac

- 11 -


Bài tập lượng giác

 π
30. Xác định m để phương trình sau có nghiệm trong  0;  : m cos 2 2 x − 4 sin x cos x + m − 2 = 0 .
 4
4
31. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = cot a + cot 4 b + 2 tan 2 a tan 2 b + 2 .
32. Với giá trị nào của a thì phương trình: 1 + sin 2 na = cos x có nghiệm duy nhất.
 π
33. Tìm m để bất phương trình: 2 sin 2 x − m cos x − 3 ≤ 0 nghiệm đúng ∀x ∈  0;  .
 2

5
34. Tính các góc của tam giác ABC nếu các góc thoả mãn: cos 2 A + 3 (cos 2 B + cos 2C ) + = 0 .
2
A+B
35. Cho tam giác ABC thoả mãn: a tan A + btanB = (a + b)tan
. Chứng minh tam giác ABC cân.
2
36. Chứng minh rằng tam giác ABC tù khi và chỉ khi cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C > 1 .
b+c
37. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn cos B + cos C =
thì tam giác ABC vuông.
a
38. Cho phương trình: cos 3 x + sin 3 x = k sin x cos x .
a) Giải phương trình với k = 2 .
b) Với giá trị nào của k thì phương trình có nghiệm.
3
2
39. Giải và biện luận phương trình: 2m(cos x + sin x) = 2m + cos x − sin x + .
2
2
40. Cho phương trình: cos 2 x = m(cos x) 1 + tan x .
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm trong đoạn.
π
1
1
+
>6
41. Chứng minh rằng ∀x ∈ (0; ) ta có: cos x + sin x + tan x + cot x +
2

sin x cos x
42. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y = sin 20 x + cos 20 x .
A
B
C
A
C
43. Chứng minh rằng nếu cot , cot , cot theo thứ tự lập thành 1cấp số cộng thì cot . cot = 3 .
2
2
2
2
2
π
1
1


+
44. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =
với x ∈  0;  .
sin x cos x
 2
C
45. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn a + b = tan ( a tan A + b tan B ) thì nó cân.
2
4
46. Tìm m để hàm số sau xác định với mọi x: f ( x) = sin x + cos 4 x − 2m sin x cos x .

LƯỢNG GIÁC

Phần 1: Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
A. Kiến thức cần nhớ
1. Các hằng đẳng thức cơ bản
sin x
a) sin 2 x + cos 2 x = 1
b) tan x =
cos x
1
1
2
2
d) 1 + tan x =
e) 1 + cot x =
2
cos x
sin 2 x
2. Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối nhau
b) Hai cung bù nhau

Bai tap luong giac

c) cot x =

cos x
sin x

f) tan x. cot x = 1
c) Hai cung khác nhau 2 π

- 12 -


Bài tập lượng giác
cos(− x) = cos x
sin(π − x) = sin x
sin( x + 2π ) = sin x
sin( − x) = − sin x
cos(π − x) = − cos x
cos( x + 2π ) = cos x
tan(− x ) = − tan x
tan(π − x ) = − tan x
tan( x + 2π ) = tan x
cot(− x) = − cot x
cot(π − x) = − cot x
cot( x + 2π ) = cot x
d) Hai cung khác nhau π
e) Hai cung phụ nhau
sin(π + x) = − sin x
π

π

sin  − x  = cos x ; cos − x  = sin x
cos(π + x) = − cos x
2

2

tan(π + x) = tan x

π

π

tan − x  = cot x ; cot  − x  = tan x
cot(π + x ) = cot x
2

2

B. Bài tập
1. Tìm các giá trị của α để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
1
1
A=
; B=
1 + sin α
1 − cos α
2. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) sin 123o − sin 132 o
b) cot 304 o − cot 316 o
3. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5 tan 540 o + 2 cos1170 o + 4 sin 990 o − 3 cos 540 o
25π
13π
19π
− 3 tan
+ 2 cos
b) 3 sin
6

4
3
2
o
2
o
2
o
c) sin 15 + sin 35 + sin 55 + sin 2 75 o
d) cos 2 15 o + cos 2 35 o + cos 2 55 o + cos 2 75 o
3π
5π
7π
9π
11π
2 π
+ sin 2
+ sin 2
+ sin 2
+ sin 2
+ sin 2
e) sin
12
12
12
12
12
12
π
3

π
5
π
7
π
9
π
11π
2
+ cos 2
+ cos 2
+ cos 2
+ cos 2
+ cos 2
f) cos
12
12
12
12
12
12
π
3
π




+ a
g) sin(π + a ) − cos + a  + cot(2π − a) + tan

2

 2

4
2
2
2
h) A = sin a + cos a + sin a. cos a
2
a
a

sin
+
cos

 −1
2
2


i) B =
a
a
a
tan − sin . cos
2
2
2

2
o
cos 696 + tan(−260 o ). tan 530 o − cos 2 156
j) C =
tan 2 252 o + cot 2 342 o
2

 17π
 7π

 13π

k)  tan
+ tan
− b  + cot
+ cot ( 7π − b ) 
4
4
 2




 1 − sin x
1 + sin x  1 − cos x
1 + cos x 


−
−

l) 


1 − sin x  1 + cos x
1 − cos x 
 1 + sin x
m) sin 3 a (1 + cot a) + cos 3 a(1 + tan a )
tan b
n)
tan b + cot b
1 − cos 4 a − sin 4 a
o)
cos 4 a

Bai tap luong giac

2

- 13 -


Bài tập lượng giác
sin( x − π ). cos( x − 2π ). sin( 2π − x)
π

 3π

p)
sin  − x . cot(π − x). cot 
+ x

2

 2

2

2

 π

  3π



q) sin  − x  + sin(π − x ) + cos
− x  + cos(2π − x) 


 2

  2

π

 2π

 5π

 3π


+ a . cos
+ a  + tan(π + a ). tan
− a
r) sin  − a . tan
3

 3

 3

 2

cot(5,5π − a) + tan(b − 4π )
s)
cot(a − 6π ) − tan(b − 3,5π )
t) tan 50 o . tan 190 o. tan 250 o. tan 260 o . tan 400 o . tan 700 o
4. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh:
a) sin( A + B ) = sin C ; cos(B + C) = -cosA
c) tan( A + C ) = − tan B; cot(A + B) = -cotC
A+B
C
B+C
A
A+C
B
A+B
C
= cos ; cos
= sin
= cot ; cot

= tan
b) sin
d) tan
2
2
2
2
2
2
2
2
2 + cos x
5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y =
sin x + cos x − 2
cos x + 2 sin x + 3
6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng − π < x < π : y =
.
2 cos x − sin x + 4
7. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC.
a) Cho sin 2 B + sin 2 C = 2 sin 2 A . Chứng minh A ≤ 60 o .
b) 2(a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c ⇒ ∆ABC đều.
c) Chứng minh: 0 < sin A + sin B + sin C - sinA.sinB - sinB.sinC - sinC.sinA < 1
Phần 2: Các công thức lượng giác
I. Công thức cộng
A. Kiến thức cần nhớ
1) sin( a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a
tan a ± tan b
3) tan(a ± b) =
2) cos(a ± b) = cos a cos b sin a sin b
1 tan a tan b

B. Bài tập
1. Chứng minh các công thức sau:
π

π

a) cos a + sin a = 2 cos − a  = 2 sin  + a 
4

4

π

π

b) cos a − sin a = 2 cos + a  = 2 sin  − a 
4

4

2. Rút gọn các biểu thức:
π

2 cos a − 2 cos + a 
4

a)
π

− 2 sin a + 2 sin  + a 

4

o
o
o
b) cos10 + cos11 . cos 21 + cos 69 o. cos 79 o
c) (tan a − tan b).cot(a − b) − tan a. tan b
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
A
B
B
C
C
A
a) tan A + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC
b) tan . tan + tan . tan + tan . tan = 1
2
2
2
2
2
2
A
B
C
A
B
C
c) cot A. cot B + cot B. cot C + cot C. cot A = 1
d) cot + cot + cot = cot . cot . cot

2
2
2
2
2
2
Bai tap luong giac

- 14 -


Bài tập lượng giác
π
1 + tan b
1 − tan a
= tan a và
= − tan b .
4. a) Cho a − b = , chứng minh:
4
1 − tan b
1 + tan a
π
b) Cho a + b = , chứng minh: (1 + tan a)(1 + tan b) = 2 và (1 − cot a )(1 − cot b) = 2
4
tan( x + a ) = m
a−b
c) Cho
. Chứngminh: tan( x + y ) =
.
tan(a − y ) = n

1 + ab
2
3
d) Cho tan a = , tan b = (0 < a, b < 1v ) . Tìm a + b.
5
7
1 π
π
e) Cho tan a = − ( < a < π ) và tan b = 3 (0 < b < ) . Tìm a + b.
2 2
2
2
1
f) Cho tan a = 1 , tan b = (0 < a, b < 1v ) . Tìm a - b.
3
4
1
2
1
g) Cho tan a = , tan b = , tan b = . Chứng minh a + b + c = 45o.
12
5
3
π
5π
5. Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc: 15o hoặc
và 75o hoặc
.
12
12

π
6. Cho α , β , γ thoả mãn điều kiện: α + β + γ = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
A = 1 + tan α . tan β + 1 + tan β . tan γ + 1 + tan γ . tan α
7. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam giác ABC
cân:
sin B
cos 2 A + cos 2 B 1
2
2
= 2 cos A
a)
b)
=
(cot
A
+
cot
B
)
sin C
sin 2 A + sin 2 B 2
A
c) a + b = tan (a tan A + b tan B )
d) tan A + 2 tan B = tan A. tan 2 B
2

II. Công thức nhân đôi nhân ba.
A. Lý thuyết cần nhớ
sin 2a = 2sin a cos a

cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 1 − 2sin 2 a = 2cos 2 a − 1
2 tan a
tan 2a =
1 − tan 2 a
B. Bài tập
1. Rút gọn các biểu thức sau:
π
 π

sin  − a .sin  + a 
a)
4
 4

sin 3a cos a − cos 3a sin a
c) cos 20 o. cos 40 o. cos 80 o
e) cos 4 a − 6 sin 2 a cos 2 a + sin 4 a
g) 1− 8 sin 2 a cos 2 a
i) 4 sin 3 a cos 3a + 4 cos 3 a sin 3a
Bai tap luong giac

sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a
cos 3a = 4 cos3 a − 3cos a

π
−1
8
b)
tan π 8
tan 2

d) 2 sin a cos a(cos 2 a − sin 2 a )
2
2 a
2 a
f) cos a − 4 sin cos
2
2
o
o
h) 8 cos10 cos 20 cos 40 o
j) 4 sin 4 4a + sin 2 2a
- 15 -


Bài tập lượng giác
π
2π
k) cos cos
l) cos 20 o cos 40 o cos 60 o cos 80 o
5
5
m) tan a + 2 tan 2a + 4 tan 4a + 8 tan 8a + 16 tan 16a + 32 tan 32a
cos a − cos 3a
sin 3 a + sin 3a
n)
o)
3
sin a + sin 3a
cos a − cos 3a

2. Chứng minh:
π
π
 π
 1
a) sin a sin  − a  sin  + a  = sin 3a . Áp dụng với a = .
9
3
 3
 4
3
2
b) 8 sin 18 + 8 sin 18 = 1
π
π
π
π
c) 8 + 4 tan + 2 tan + tan = cot
8
16
32
32
2
o
2
o
d) tan 36 tan 72 = 5
π
5π
7π

π
 π
 1
e) cos a cos − a  cos + a  = cos 3a . Tính: cos cos cos
18
18
18
3
 3
 4
3
3 tan a − tan a
f) tan 3a =
1 − 3 tan 2 a
5 −1
π
 π

o
o
o
g) tan a tan − a  tan + a  = tan 3a . Chứng minh: tan 6 tan 54 tan 66 =
.
3
 3

10 + 2 5
2 ab
(a, b > 0) . Tìm sin 2α , cos 2α , tan 2α .
a+b

2a
b) Cho cos α =
. Tìm sin 2α , cos 2α , tan 2α .
1+ a2
5
c) Cho sin α + cosα = . Tìm sin 2α , cos 2α , tan 2α .
4
4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:
π  π

a) y = sin  x +  sin  x − 
b) y = cos 4 x − sin 4 x
4 
4

3. a) Cho sin α =

c) y = 1− 8 sin 2 x cos 2 x

III. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo t = tan
A. Lý thuyết cần nhớ
1 + cos 2a = 2 cos 2 a

sin a =

1 − cos 2a = 2 sin a
B. Bài tập
1. Chứng minh các biểu thức sau:
2 sin a − sin 2a
a

= tan 2
a)
2 sin a + sin 2a
2
2

e)

1− t2
cos a =
1+ t2

2t
1+ t 2

2
2
2
c) (sin a + sin b) + (cos a + cos b) = 4 cos

a+b
2

1 − sin 2a + cos 2a
π

= tan − a 
1 + sin 2a + cos 2a
4


a
a
d) tan = cot − 2 cot a
2
2
f) tan 7 o 30' =

2
g) sin a (sin a + sin b) + cos a(cos a + cos b) = 2 cos

Bai tap luong giac

2t
1− t 2

tan a =

b)

1 + sin a
π a 
= cot 2  − 
1 − sin a
 4 2

2
2
2
h) (sin a − sin b) + (cos a − cos b) = 4 sin

a
.
2

a −b
2

(

3− 2

)(

)

2 −1

a −b
2

- 16 -


Bài tập lượng giác
π a 
π a 
sin  +  sin  − 
i)
 4 2  −  4 2  (0 < a < π )
1 − sin a

1 + sin a
2. Rút gọn các biểu thức sau:
1 1 1 1
1 1 1 1
b)
+
+ cos α (0 < α ≤ π )
−
+ cos α (0 < α ≤ π )
2 2 2 2
2 2 2 2
a
a
a
2 cot
cot − tan
2
2
2
c)
d)
a
a
a
1 + cot 2
cot + tan
2
4
4
a

a
1
1
tan
tan
−
2
2
+
a
a
e)
f)
a
a
1 − tan
1 + tan
1 + tan
1 − tan
2
2
2
2
1 − cos α + cos 2α
sin 2α
cos α
.
g)
h)
sin 2α − sin α

1 + cos 2α 1 + cos α
3. Tìm giá trị biểu thức
sin a
a
tan a + sin a
a 2
a)
biết tan = 2
b)
Biết tan =
3 − 2 cos a
2
tan a − sin a
2 15
4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a) y = 2 cos 2 x + sin 2 x
b) y = 2 sin 2 x − cos 2 x

2 π
2
c) y = sin  − x  + (sin x − cos x)
4

IV. Công thức biến đổi tổng và tích
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
sin a cos b = [ sin( a + b) + sin( a − b)]
2
1

cos a cos b = [ cos(a + b) + cos(a − b)]
2
1
sin a sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b)]
2
2. Công thức biến đổi tổng thành tích
sin(a + b)
a+b
a−b
tan a + tan b =
sin a + sin b = 2 sin
. cos
cos a cos b
2
2
sin(a − b)
a+b
a−b
tan a − tan b =
sin a − sin b = 2 cos
.sin
cos a cos b
2
2
a+b
a −b
sin(a + b)
cos a + cos b = 2 cos
. cos
cot a + cot b =

2
2
sin a sin b
a+b
a −b
sin( a − b)
cos a − cos b = −2 sin
.sin
cot a − cot b = −
2
2
sin a sin b
a)

B. Bài tập
1. Rút gọn biếu thức
a) cos a + cos(a + b) + cos(a + 2b) + ... + cos(a + nb) (n ∈ N)

Bai tap luong giac

- 17 -


Bài tập lượng giác
cos a − cos 3a + cos 5a − cos 7 a
b)
sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7 a

π
π



cos 2a −  − cos 2a + 
d)
6
6


cos a −
2 cos a

cos a + 2 cos 2a + cos 3a
sin a + sin 2a + sin 3a
π
π


cos a +  + cos a − 
3
3


e)
a
cot a − cot
2
c)

1
1

2
f) cos 2a cos a − cos 4a − cos 2a
g) cos 2 3 + cos 2 1 − cos 4 cos 2
4
2
o
o
o
sin
1
+
sin
91
+
2
sin
203
(sin 112 o + sin 158 o )
h)
i) cos 35o + cos125 o + 2 sin 185o (sin 130 o + sin 140 o )
j) sin 20 o sin 40 o sin 60 o sin 80 o
k) tan 20 o tan 40 o tan 60 o tan 80 o
2. Chứng minh:
3
o
o
o
o
a) sin 20 sin 40 sin 60 sin 80 =
16

sin a + sin 3a + sin 5a + ... + sin(2n − 1)a
= tan na
b)
cos a + cos 3a + cos 5a + ... + cos(2n − 1) a
na
(n + 1) a
sin sin
2
2
c) sin a + sin 2a + sin 3a + ... + sin na =
a
sin
2
na
(n + 1)a
sin cos
2
2
d) cos a + cos 2a + cos 3a + ... + cos na =
a
sin
2
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
A
B
C
a) sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos
2
2
2

A
B
C
b) cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin sin sin
2
2
2
2
2
2
c) sin A + sin B + sin C = 2(1 + cos A cos B cos C )
d) cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 − 2 cos A cos B cos C
A
B
C
e) sin A + sin B − sin C = 4 sin sin cos
2
2
2
A
B
C
f) cos A + cos B − cos C = 4 cos cos sin − 1
2
2
2
g) sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
h) cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C
i) sin 2 A + sin 2 B − sin 2 C = 2 sin A sin B cos C
x+ y 1

≥ (sin x + sin y ) với 0 < x, y < π .
4. Chứng minh bất đẳng thức: sin
2
2
5. Tính giá trị các biểu thức sau:
3π
5π
7π
4 π
+ sin 4
+ sin 4
+ sin 4
a) sin
16
16
16
16
o
o
o
b) tan 67 5'− cot 67 5'+ cot 7 5'− tan 7 o 5'
c) cos 5 o cos 55 o cos 65o
π
3π
5π
7π
9π
+ cos
+ cos
+ cos

d) cos + cos
11
11
11
11
11
Bai tap luong giac

- 18 -


Bài tập lượng giác
6. Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
x
3π
4
2
2π
a) 4 sin x + sin 2 x + 4 cos  −  với π < x <
b) 4 cos 4 x + cos 2 2 x − 4 cos 2 x cos 2 x
2
 4 2



 2π

2
2π
2π

2
2  2π
+ x  + sin 2 
− x
c) cos x + cos  + x  + cos  − x 
d) sin x + sin 
3

3

 3

 3

sin B + sin C
7. Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là: sin A =
cos A + cos B
3
8. Chứng minh nếu các góc của ∆ABC thoả mãn: cos A + cos B + cos C = thì nó là tam giác đều.
2
b+c
9. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của ∆ABC thoả mãn hệ thức: cos A + cos B =
thì tam giác
a
đó là tam giác vuông.
A
B
10. Cho tam giác ABC và 5 tan tan = 1 . Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b).
2
2

Bai tap luong giac

- 19 -