Các công thức và phương trình lượng giác

I, Các đẳng thức lượng
giác,
1, Công thức cơ bản.
 Sin
2
x + Cos
2
x = 1

xTan
xCos
2
2
1
1
+=

xCotg
xSin
2
2
1
1
+=
 Sin
2
x = (1–Cosx)(1+Cosx)
 Sin
2
x =
xTan

xTan
2
2
1+
 Cotgx.Tanx = 1
 Tan
2
x =
xCos
xCos
21
21
+
−
 Sin
2
x =
2
21 xCos−
 Cos
2
x =
2
21 xCos+
 Sinx.Cosx =
xSin2
2
1
2, Cung đối nhau.
 Cos(–x) = Cosx

 Sin(–x) = – Sinx
 Tan(–x) = – Tanx
 Cotg(–x) = – Cotgx
3, Cung bù nhau.
 Sin
=− )( x
π
Sinx
 Cos
−=− )( x
π
Cosx
 Tan
−=− )( x
π
Tanx
 Cotg
−=− )( x
π
Cotgx
4, Cung hơn kém.
 Sin
−=+ )( x
π
Sinx
 Cos
−=+ )( x
π
Cosx
 Tan

=+ )( x
π
Tanx
 Cotg
=+ )( x
π
Cotgx
5, Cung phụ nhau.
 Sin
)
2
( x−
π
= Cosx
 Cos
)
2
( x−
π
= Sinx
 Tan
)
2
( x−
π
= Cotgx
 Cotgx
)
2
( x−

π
= Tanx
6, Cung hơn kém.
 Sin
Cosxx =+ )
2
(
π
 Cos
)
2
( x+
π
=
Sinx
−
 Tan
)
2
( x+
π
=
Cotgx−
 Cotg
)
2
( x+
π
=
Tanx

−
Ghi nhớ: Cos đối – Sin bù – Phụ chéo.
7, Công thức cộng.
 Sin(a
+
−
b) = SinaCosb
+
−
CosaSinb
 Cos(a
+
−
b) = CosaCosb
−
+
SinaSinb
 Tan(a+b) =
TanaTanb
TanbTana
−
+
1
 Tan(a–b) =
TanaTanb
TanbTana
+
−
1
 Cotg(a+b) =

CotgbCotga
CotgaCotgb
+
−1
 Cotg(a–b) =
CotgbCotga
CotgaCotgb
−
+1
8, Công thức nhân đôi.
 Sin2x = 2SinxCosx
 Cos2x = Cos
2
x – Sin
2
x
= 2Cos
2
x - 1
= 1 – 2Sin
2
x
 Tan2x =
xTan
Tanx
2
1
2
−
 Cotg2x =

Cotgx
xCotg
2
1
2
−
Lưu ý:
 Cosx =
22
22
x
Sin
x
Cos −
= 2Cos
2
1
2
−
x
= 1 – 2Sin
2
2
x
 Sinx = 2Sin
2
x
Cos
2
x

9, Công thức theo “t”.
Đặt Tan
2
x
= t ta có:
 Sinx =
2
1
2
t
t
+
 Cosx =
2
2
1
1
t
t
+
−
 Tanx =
2
1
2
t
t
−
10, Công thức nhân 3.
 Sin3x =

xx
3
sin4sin3 −
 Cos3x = 4Cos
3
x – 3Cosx
 Tan3x =
xTan
xTanTanx
2
3
31
3
−
−
11, Công thức tích thành tổng.
 CosxCosy=
[ ]
)()(
2
1
yxCosyxCos −++
 SinxCosy =
[ ]
)()(
2
1
yxSinyxSin −++
 SinxSiny=
[ ]

)()(
2
1
yxCosyxCos −−+−
12, Công thức tổng(hiệu) thành tích.
 Sinx + Siny = 2Sin






−






+
22
yx
Cos
yx
 Sinx – Siny = 2Cos







−






+
22
yx
Sin
yx
 Cosx + Cosy = 2Cos






−






+
22
yx

Cos
yx
 Cosx – Cosy = – 2Sin






−






+
22
yx
Sin
yx
 Tanx + Tany =
CosxCosy
yxSin )( +
 Tanx – Tany =
CosxCosy
yxSin )( −
 Cotgx + Cotgy =
SinxSiny
yxSin )( +

 Cotgx – Cotgy =
SinxSiny
xySin )( −
Nguyễn Văn Định - Trường THPT Bỉm Sơn Trang số 1
13, Các hệ qủa thông dụng.
 Sinx + Cosx =






−=






+
4
2
4
2
ππ
xCosxSinx
 Sinx – Cosx =







+−=






−
4
2
4
2
ππ
xCosxSinx
 4.Sinx.Sin(60
o
– x).Sin(60
o
+ x) = Sin3x
 4.Cosx.Cos(60
o
– x).Cos(60
o
+ x) = Cos3x
 1 + Sin2x = (Sinx + Cosx)
2
 1 – Sin2x = (Sinx – Cosx)

2







+=
−
+
41
1
π
xTan
Tanx
Tanx







−−=
+
−
41
1
π

xTan
Tanx
Tanx
 Cotgnx – Tannx = 2Cotg2nx
 Cotgx + Tanx =
xSin2
2

Công thức liên quan đến phương trình
lượng giác
 Sin3x =
xSinSinx
3
43 −
⇔
Sin
3
x =
4
33 xSinSinx −
 Cos3x = 4Cos
3
x – 3Cosx
⇔
Cos
3
x =
4
33 xCosCosx +
 Sin

4
x + Cos
4
x = 1
xSin 2
2
1
2
−
 Sin
4
x – Cos
4
x = – Cos2x
 Sin
6
x + Cos
6
x = 1
xSin 2
4
3
2
−
 Sin
6
x – Cos
6
x = Cos2x







− xSin 2
4
1
1
2
III, Phương trình lượng giác.
1, Cosx = Cos
α




+−=
+=
⇔
πα
πα
2
2
kx
kx
( k
Z∈
)
Đặc biệt:

 Cosx = 0
⇔
x =
π
π
k+
2
 Cosx = 1
⇔
x = k2
π
 Cosx =
1−
⇔
x =
ππ
2k
+
2, Sinx = Sin
α



+−=
+=
⇔
παπ
πα
2
2

kx
kx
( k
Z∈
)
Đặc biệt:
 Sinx = 0
⇔
x =
π
k
 Sinx = 1
⇔
x =
π
π
2
2
k+
 Sinx =
π
π
2
2
1 kx +−=⇔−
3, Tanx = Tan
α
⇔
x =
πα

k+
( k
Z∈
)
Đặc biệt:
 Tanx = 0
π
kx =⇔
 Tanx không xác định khi
π
π
kx +=
2
(Cosx=0)
4, Cotgx = Cotg
α
⇔
x =
πα
k+
( k
Z∈
)
Đặc biệt:
 Cotgx = 0
⇔
π
π
kx +=
2

 Cotgx không xác định khi:
x =
π
k
( Sinx=0)
Nguyễn Văn Định - Trường THPT Bỉm Sơn Trang số 2